Сложение смешанных дробей. Дроби в виде смешанного числа.

Давайте сначала вспомним пройденные темы. Повторение –  мать учения, кто не повторил, тот забыл.

• Дробь как термин будет обозначает тип деления, который рассматривается как часть целого и  указывает на разделение целого на равные доли или части, где знаменатель показывает, на сколько частей мы разделили, а числитель – сколько взяли частей от этого целого.
• Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. 

Вспомнили? Двигаемся дальше.

Смешанная дробь состоит из целого и дробного числа. Например, \(2\frac{2}{7}\) — смешанная дробь, в которой \(2\) –  целое число, а \(\frac{2}{7}\)- дробь.

Как сложить две смешанные дроби?

Существуют два способа.

Первый способ.

1.  Переводим в неправильные дроби.
2.  Приводим к общему знаменателю, пользуясь основным свойством  дробей.
3.  Складываем полученные дроби.
4.  Исходную новую дробь переводим в правильную:

                                                                                                    

                                                                                    

Второй способ.

1.  Отдельно складываем дробную и целую части соответственно.
2.  Исходную новую дробь переводим в правильную:

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Сложение смешанных чисел. Онлайн калькулятор

Чтобы сложить смешанные числа, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить.

Пример:

Условились считать, что любое натуральное число имеет дробную часть, равную нулю, а любая правильная дробь имеет целую часть, равную нулю. Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными числами можно по правилу сложения смешанных чисел.

Так как натуральное число имеет дробную часть, равную нулю, то при сложении смешанного числа с натуральным числом, складывается только целая часть c натуральным числом, а дробная часть остаётся без изменений:

Так как правильная дробь имеет целую часть, равную нулю, то при сложении смешанного числа с правильной дробью, складывается только дробная часть с правильной дробью, а целая часть остаётся без изменений:

При сложении дробных частей двух смешанных чисел или дробной части смешанного числа с правильной дробью может получиться неправильная дробь. В этом случае неправильную дробь нужно представить в виде смешанного числа:

Если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели, то сначала их нужно привести к общему знаменателю:

Также, смешанные числа можно записать в виде неправильных дробей и выполнить сложение, а в конце (если требуется по условию задания) записать результат в виде смешанного числа:

Калькулятор сложения смешанных чисел

Данный калькулятор поможет вам выполнить сложение смешанных чисел. Просто введите слагаемые и нажмите кнопку

Вычислить. Данный калькулятор позволяет также выполнять сложение: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.

naobumium.info

Сложение смешанных дробей | Математика

Рассмотрим, как выполнить сложение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило.

Чтобы сложить смешанные дроби, надо:

1) отдельно сложить их целые части;

2) отдельно сложить дробные части.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, надо выделить из нее целую частьи прибавить ее к уже имеющейся целой части.

С помощью букв правило сложения смешанных дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:

   

Примеры.

Выполнить сложение смешанных дробей:

   

   

   

   

   

   

Решение:

   

Обычно сложение целых частей и сложение дробных частей выполняют устно и пишут короче:

   

   

Здесь дробная часть второго слагаемого равна нулю.

   

В этом примере равна нулю целая часть второго слагаемого.

   

Так как при сложении дробных частей получили неправильную дробь, выделяем целую часть и добавляем ее к уже полученной целой части:

   

   

   

   

   

www.for6cl.uznateshe.ru

Сложение и вычитание смешанных дробей

Пример 2. Вычислить сумму .

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сложить их целые части, а дробные части привести к наименьшему общему знаменателю и тоже сложить. Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

24 = 2*2*2*3;

16 = 2*2*2*2.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*2*3*2=48.

3

23/24

+ 1

15/16

= 3 + 1 +

23/24

+

15/16

= 4 +

46/48

+

45/48

= 4

46+45/48

= 4

91/48

= 5

43/48

.

Пример 3. Вычислить сумму

.

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сложить их целые части, а дробные части привести к наименьшему общему знаменателю и тоже сложить. Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

12 = 2*2*3;

20 = 2*2*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.

6

5/12

+ 2

19/20

= 6 + 2 +

5/12

+

19/20

= 8 +

25/60

+

57/60

= 8

25+57/60

= 8

82/60

= 9

22/60

= 9

11/30

.

Вычитание смешанных дробей

Чтобы выполнить вычитание смешанных дробей, дробные части уменьшаемого и вычитаемого привести к наименьшему общему знаменателю, и отдельно выполнить вычитание целых частей и вычитание дробных частей. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то нужно дробную часть уменьшаемого превратить в неправильную дробь, уменьшив на 1 целую часть уменьшаемого. Рассмотрим вычитание смешанных дробей на примерах.

Пример 1. Вычислить разность

.

Чтобы найти разность этих дробей, нужно дробные части привести к наименьшему общему знаменателю 16 и выполнить отдельно вычитание целых частей и отдельно дробных:

5

7/8

— 4

3/16

= 5 — 4 +

7/8

—

3/16

= 1 +

14/16

—

3/16

= 1

14-3/16

= 1

11/16

.

Пример 2. Вычислить разность

.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

9 = 3*3;

6 = 2*3.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 3*3*2=18.

7

4/9

— 2

5/6

= 7 — 2 +

4/9

—

5/6

= 5 +

8/18

—

15/18

= 4 +

26/18

—

15/18

= 4

11/18

.

Пример 3. Вычислить разность

.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

12 = 2*2*3;

20 = 2*2*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.

1

1/12

—

19/20

= 1 +

1/12

—

19/20

= 1 +

5/60

—

57/60

=

65/60

—

57/60

=

8/60

=

2/15

.

Пример 4. Вычислить разность

.6 — 2

2/3

= 5 +

3/3

— 2

2/3

= 5 — 2 +

3/3

—

2/3

= 3

1/3

.

ru.intemodino.com

Смешанные дроби

Определение смешанной дроби

В математике сумму $n+\frac{a}{b}$, где $n$ -натуральное число, $\frac{a}{b}$ — правильная обыкновенная дробь, принято записывать без знака $«+»$ в виде $n\frac{a}{b}$.

Пример 1

Например, сумма $4+\frac{3}{5}$ записывается $4\frac{3}{5}$. Такая запись называется смешанной дробью, а число, которое ей соответствует, — смешанным числом.

Определение 1

Смешанное число — это число, которое равно сумме натурального числа $n$ и правильной обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, и записано в виде $n\frac{a}{b}$. В таком случае число $n$ называется $n\frac{a}{b}$, а число $\frac{a}{b}$ — дробной частью числа/

Для смешанных чисел справедливы равенства $n\frac{a}{b}=n+\frac{a}{b}$ и $n+\frac{a}{b}=n\frac{a}{b}$.

Пример 2

Например, число $7\frac{4}{9}$ является смешанным числом, где натуральное число $7$ — целая его часть, $\frac{4}{9}$ — дробная часть. Примеры смешанных чисел: $17\frac{1}{2}$, $456\frac{111}{500}$, $23000\frac{4}{5}$.

Встречаются числа в смешанной записи, которые в дробной части содержат неправильную дробь. Например, $3\frac{54}{5}$, $56\frac{9}{2}$. Запись этих чисел можно представить в виде суммы их целой и дробной части. Например, $3\frac{54}{5}=3+\frac{54}{5}$ и $56\frac{9}{2}=56+\frac{9}{2}$. Такие числа не подходят по определению смешанного числа, т.к. дробная часть смешанных чисел должна быть правильной дробью.

Число $0\frac{2}{7}$ также не смешанное число, т.к. $0$ — не натуральное число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь:

1. Записать смешанное число $n\frac{a}{b}$ в виде суммы целой и дробной части этого числа, т.е. в виде $n+\frac{a}{b}$.

2. Целую часть исходного смешанного числа заменить дробью со знаменателем $1$.

3. Сложить обыкновенные дроби $\frac{n}{1}$ и $\frac{a}{b}$ для получения искомой неправильной дроби, равной исходному смешанному числу.

Пример 3

Представить смешанное число $7\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом перевода смешанного числа в неправильную дробь.

1. Смешанное число $7\frac{3}{5}=7+\frac{3}{5}$.

2. Запишем число $7$ в виде $\frac{7}{1}$.

3. Сложим обыкновенные дроби $\frac{7}{1}+\frac{3}{5}=\frac{35}{5}+\frac{3}{5}=\frac{38}{5}$.

Запишем краткую запись данного решения:

\[7\frac{3}{5}=7+\frac{3}{5}=\frac{7}{1}+\frac{3}{5}=\frac{35}{5}+\frac{3}{5}=\frac{38}{5}.\]

Ответ: $7\frac{3}{5}=\frac{38}{5}$

Весь алгоритм перевода смешанного числа $n\frac{a}{b}$ в неправильную дробь сводится к \textit{формуле перевода смешанного числа в неправильную дробь}:

Пример 4

Записать смешанное число $14\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся формулой $n\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b+a}{b}$ для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В данном примере $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Получим, $14\frac{3}{5}=\frac{14\cdot 5+3}{5}=\frac{73}{5}$.

Ответ: $14\frac{3}{5}=\frac{73}{5}$

Выделение целой части из неправильной дроби

При получении числового решения не принято оставлять ответ в виде неправильной дроби. Неправильная дробь преобразуется в равное ей натуральное число (если числитель делится нацело на знаменатель), или выделяют целую часть из неправильной дроби (если числитель не делится нацело на знаменатель).

Определение 2

Выделением целой части из неправильной дроби называется замена дроби равным ей смешанным числом.

Для выделения целой части из неправильной дроби нужно представить неправильную дробь $\frac{a}{b}$ в виде смешанного числа $q\frac{r}{b}$, где $q$ — неполное частное, $r$— остаток от деления $a$ на $b$. Таким образом, целая часть равна неполному частному от деления $a$ на $b$, а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение. Для этого достаточно показать, что $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$.

Переведем смешанное число $q\frac{r}{b}$ в неправильную дробь с помощью формулы:

Т.к. $q$— неполное частное, $r$— остаток от деления $a$ на $b$, то является справедливым равенство $a=b\cdot q+r$. Таким образом, $\frac{q\cdot b+r}{b}=\frac{a}{b}$, откуда $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$, что и требовалось показать.

Таким образом, сформулируем \textit{правило выделения целой части из неправильной дроби} $\frac{a}{b}$:

1. Разделить $a$ на $b$ с остатком, при этом определить неполное частное $q$ и остаток $r$.

2. Записать смешанное число $q\frac{r}{b}$, равное исходной дроби $\frac{a}{b}$.

Пример 5

Выделить целую часть из дроби $\frac{107}{4}$.

Решение.

Выполним деление в столбик:

Рисунок 1.

Итак, в результате деления числителя $a=107$ на знаменатель $b=4$ получаем неполное частное $q=26$ и остаток $r=3$.

Получаем, что неправильная дробь $\frac{107}{4}$ равна смешанному числу $q\frac{r}{b}=26\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{{\rm 107}}{{\rm 4}}{\rm =26}\frac{{\rm 3}}{{\rm 4}}$.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Правило сложения смешанного и натурального числа:

Для сложения смешанного и натурального числа нужно к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, дробная часть остается без изменения:

где $a\frac{b}{c}$ — смешанное число,

$n$ — натуральное число.

Пример 6

Выполнить сложение смешанного числа $23\frac{4}{7}$ и числа $3$.

Решение.

\[23\frac{4}{7}+3=\left(23+3\right)+\frac{4}{7}=26\frac{4}{7}.\]

Ответ: $23\frac{4}{7}+3=26\frac{4}{7}.$

Сложение двух смешанных чисел

При сложении двух смешанных чисел складываются их целые части и дробные части.

Пример 7

Сложить смешанные числа $3\frac{1}{5}$ и $7\frac{4}{7}$.

Решение.

Воспользуемся формулой:

\[a\frac{b}{c}+d\frac{e}{f}=\left(a+d\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{e}{f}\right).\] \[3\frac{1}{5}+7\frac{4}{7}=\left(3+7\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{4}{7}\right)=10+\frac{1\cdot 7}{35}+\frac{4\cdot 5}{35}=10+\frac{27}{35}=10\frac{27}{35}.\]

Ответ: $10\frac{27}{35}.$

spravochnick.ru

Сложение смешанных дробей, 5 класс. Решено

Сложение смешанных дробей, 5 класс

Как сложить смешанные дроби?

Сложение смешанных дробей рассмотрим на примерах.

Но прежде изучим правила сложения смешанных дробей.

Правила сложения смешанных дробей

Правила сложения смешанных дробей:

При сложении смешанных дробей отдельно складываем целые части и отдельно дробные.

Сложение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями

Сложить смешанные дроби с одинаковыми знаменателями:

Отдельно складываем целые части и отдельно дробные:

2 + 3 +	1	+		2	=	5	3
	11			11			11

Сложение смешанных дробей с разными знаменателями

Сложить смешанные дроби с разными знаменателями:

Отдельно складываем целые части и отдельно дробные:

2 + 3 +	1	+		2	=
	2			3
5 +	1	+		2
	2			3

Целые части мы сложили, результат равен 5, осталось сложить дробные части:

У дробей разные знаменатели. Чтоб можно было их сложить, приведем дроби к общему знаменателю.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Сначала найдем НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей 2 и 3.

Это число 6:

НОК(2, 3) = 6

НОК, равный 6, есть общий знаменатель дробей 1/2 и 2/3

Разделим общий знаменатель 6 на знаменатели наших дробей:

6 : 2 = 3
6 : 3 = 2

3 – это дополнительный множитель для дроби 1/2.

2 – это дополнительный множитель для дроби 1/3.

Чтоб привести дробь 1/2 к общему знаменателю 6, умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3:

Чтоб привести дробь 1/3 к общему знаменателю 6, умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

Теперь, когда обе дроби приведены к общему знаменателю, их можно сложить:

Итак, сложение целых частей смешанных дробей дало 5, а сложение дробных частей дало 5/6.

Ответ:

www.sbp-program.ru

Смешанные дроби или смешанные числа.

Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.

Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?

Рассмотрим неправильную дробь \(\frac{21}{9}\)

Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.

После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.

Получаем дробь  \(2\frac{3}{9}\), такие дроби называются смешанными. В этой смешанной дроби число 2 – целая часть, а  \(\frac{3}{9}\) – правильная дробь.

Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.

Рассмотрим еще одну неправильную дробь \(\frac{76}{5}\)

Разделим ее столбиком:

Получили смешанную дробь \(15\frac{1}{5}\)

Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?

Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:

\(\color{blue} {3}\frac{\color{green} {2}}{\color{red} {5}} = \frac{\color{red} {5} \times \color{blue} {3} + \color{green} {2}}{\color{red} {5}} = \frac{17}{5}\)

Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.

Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.

Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.

Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.

Пример №1:
Представьте дробь в виде смешанного числа: \(\frac{508}{17}\)

Решение:
Разделим дробь столбиком:

Ответ: Получили смешанную дробь \(29\frac{15}{17}\)

Пример №2:
Представьте число в виде неправильной дроби: а) \(9\frac{2}{3}\), б) \(1\frac{3}{7}\)
Решение:
а) \(9\frac{2}{3} = \frac{9 \times 3 +2}{3} = \frac{29}{3}\\\\\)
б) \(1\frac{3}{7} = \frac{1 \times 7 +3}{7} = \frac{10}{7}\\\\\)

Задача №1:
Миша готовился к экзамену. За месяц он решил 120 задач. За первую неделю Миша решил \(\frac{2}{5}\) от этого числа. Сколько задач решил Миша за первую неделю?

Решение:
У нас есть дробь \(\frac{2}{5}\), знаменатель равен 5 это значит, что общее число 120 надо разделить на 5 и получим сколько составляет одна часть.
\(120 \div 5 = 24\) задачи это одна часть или \(\frac{1}{5}\)
В числителе стоит 2, значит нам надо взять две части, поэтому 24 умножаем на 2.
\(24 \times 2 = 48\) задач
Ответ: за неделю Миша решил 48 задач.

tutomath.ru