Как сравнивать отрицательные числа. Сравнение чисел

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Назовите координаты точек, изображенных на координатной прямой Назовите точки, которые лежат левее нуля Назовите точки, которые лежат правее нуля.

Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число: -3 0 2,6

Найди соответствие 7 0,1 5 -0,5 -0,1 -5 0,5 -7

«Восстанови равенство» │12│= │0│= │- 6│= 12 6 0

Числа отрицательные новые для вас Лишь совсем недавно изучил ваш класс Сразу же прибавилось вам теперь мороки: Изучить все правила сравнения на уроке.

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

Девиз: Вместе возьмемся, всего добьемся

15 28 13,7 8,6 12,3 о -8 6 — 25 -32.

1 Вывести правило сравнения положительных чисел и нуля. 1. Отметьте точки на координатной прямой: А(3), В(5), D(1), O(0). 2 . Левее или правее находятся точки относительно нуля? 3 . Сравните с помощью координатной прямой числа: 3 * 0 5 * 0 1 * 0 4 . Сформулируйте правило сравнения любого положительного числа и нуля. Приведите свои примеры. Положительное число всегда ……… нуля больше

Вывести правило сравнения отрицательных чисел и нуля. 1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), В(-5), D (-1), O (0). 2. Левее или правее расположены точки относительно нуля? 3. Сравните с помощью координатной прямой числа: -3 * 0 -5 * 0 0 * -1 4. Сделайте вывод о сравнении любых отрицательных чисел с нулем. Приведите свои примеры. Отрицательное число всегда ………..… нуля. меньше

3. Вывести правило сравнения положительных и отрицательных чисел 1.Отметьте на координатной прямой точки: А(-5), В(2), O(0), С(-2) 2. Точки с какой координатой лежит левее точки О(0), какая правее токи О(0)? 3.Выполните сравнение: -5 * 2 -2 * 2 4 . Какое больше из чисел положительное или отрицательное? 5 . Сформулируйте правило сравнения отрицательных и положительных чисел. 6. приведите свои примеры Положительное число всегда ……….. отрицательного. больше

1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), В(-2). 2. Точка с какой координатой лежит левее? 3. Найдите модули этих чисел. |- 3| = |-2|= 4. Сравните модули. Какой из двух модулей больше? |- 3| * |-2| 5. Сравните числа -3 и -2. Какое число будет меньше? -3 * -2 6. Какое из двух отрицательных чисел будет меньше? 7. Сформулируйте правило сравнения двух отрицательных чисел. Приведите свои примеры. IV. Вывести правило сравнения двух отрицательных чисел. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого ………. больше

1.Положительное число всегда больше отрицательного. 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. 3.Отрицательное число всегда меньше нуля. 4. Положительное число всегда больше нуля.

*** Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой

Положительное число всегда ……….. отрицательного. больше Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого ………. больше Отрицательное число всегда ………..… нуля. меньше Положительное число всегда ……… нуля. больше

Я хорошо понял, как сравнивают числа и могу научить другого -Я не все понял, у меня были затруднения

Спасибо Вам за урок! Вы- большие молодцы!

В этом уроке мы вспомним, как сравнить положительные числа и рассмотрим сравнение отрицательных чисел.

Начнем с задачи. Днем температура воздуха была +7 градусов, к вечеру понизилась до +2 градусов, ночью стала -2 градуса, а на утро еще понизилась до -7 градусов. Как изменялась температура воздуха?

В задаче речь идет о понижении, т.е. об уменьшении температуры. Значит, в каждом случае конечное значение температуры меньше начального, поэтому 2

Обозначим числа 7, 2, -2, -7 на координатной прямой. Вспомним, что на координатной прямой большее положительное число расположено правее.

Посмотрим на отрицательные числа, число -2 находится правее, чем -7, т.е. для отрицательных чисел на координатной прямой сохраняется тот же порядок: при движении точки вправо ее координата увеличивается, а при движении точки влево ее координата уменьшается.

Можно сделать вывод: Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. 1 > 0; 12 > -2,5. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. -59

Сравнивать рациональные числа (т.е. все и целые, и дробные числа) удобно с помощью модуля.

Положительные числа раполагаются на координатной прямой в порядке возрастания от начала координат, значит чем дальше число от начала координат, тем больше длина отрезка от нуля до числа, т.е. его модуль. Следовательно, из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Например. Сравним числа -1 и -5. Точка, соответствующая числу -1расположена ближе к началу отсчёта, чем точка, соответствующая числу -5. А значит длина отрезка от 0 до -1 или модуль числа -1 меньше, чем длина отрезка от 0 до -5 или модуль числа -5 , значит, число -1, больше, чем число -5.

Делаем выводы:

При сравнении рациональных чисел обращаем внимание на:

– знаки: отрицательное число всегда меньше положительного и нуля;

– на расположение на координатной прямой: чем правее, тем больше;

– на модули: у положительных чисел модуль больше и число больше, у отрицательных чисел модуль больше, а число меньше.

Литература:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.

2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.

3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.

4. Справочник по математике —

Репетитор по математике

5. Справочник для учащихся в средней школе

Вы знаете, что числа можно сравнивать. Давайте вспомним, какие числа вы уже умеете сравнивать:

Следовательно, вы умеете сравнивать любые положительные числа друг с другом и с нулём. А как вы думаете, отрицательные числа можно сравнивать? Конечно! И отрицательные друг с другом, и отрицательные с положительными, и отрицательные с нулём. Сегодня на уроке мы об этом и поговорим.

Давайте начертим координатную прямую, отметим на ней начало отсчёта, выберем единичный отрезок и укажем направление.

Напомним, на горизонтальной координатной прямой положительные числа изображаются правее нуля , а отрицательные – левее нуля . Возьмём два числа, например

, 1 и . Вы знаете, что . Отметим на координатной прямой точки А(1) и В().

Понятно, что точка А на координатной прямой расположена левее точки В.

Напомним, правило : на горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой . Соответственно, на горизонтальной координатной прямой точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой .

А теперь давайте возьмём два отрицательных числа, например , ­­– 2 и – . Как сравнить такие числа? Отметим на координатной прямой точки С(– 2) и D(– ).

Запишем правило сравнения любых чисел :

Из двух чисел больше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой правее . И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой левее .

Пример

Если рассматривать вертикальную координатную прямую, то в сформулированном правиле сравнения нужно заменить слово «правее » на «выше », а слово «левее » – на «ниже ».

Сформулируем правило сравнения чисел на вертикальной координатной прямой .

Из двух чисел больше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой выше . И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой ниже .

Хотелось бы сразу уточнить, что все положительные числа больше нуля, а все отрицательные – ме

правила, примеры, сравнение рациональных чисел с разными знаками

В статье рассмотрим основные моменты по теме сравнения рациональных чисел. Изучим схему сравнения чисел с различными знаками, сравнения нуля с любым рациональным числом, а также более детально разберем сравнение положительных рациональных чисел и сравнение отрицательных рациональных чисел. Всю теорию закрепим практическими примерами.

Сравнение рациональных чисел с разными знаками

Сравнение заданных чисел с разными знаками является простым и очевидным.

Определение 1

Любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше любого положительного.

Приведем простые примеры для иллюстрации: из двух рациональных чисел 47 и -0,13 больше число 47, т.к. оно является положительным. При сравнении чисел -6,53 и 0,00(1) очевидно, что число -6,53 меньше, т.к. оно – отрицательное.

Сравнение рационального числа с нулем

Определение 2

Любое положительное число больше нуля; любое отрицательное число – меньше нуля.

Простые примеры для наглядности: число 14 больше, чем 0. В свою очередь 0 меньше, чем

число 14. Число -6,57 меньше нуля, с другой стороны нуль больше, чем число -6,57.

Отдельно нужно сказать про сравнение нуля с нулем: нуль равен нулю, т.е. 0 = 0.

Стоит также уточнить, что число нуль может быть представлено в виде, отличном от 0. Нулю будет соответствовать любая запись вида 0n (n – любое натуральное число) или 0, 0, 0, 00,…, до 0,(0). Таким образом, сравнивая два рациональных числа, имеющих записи, например, 0,00 и 03, делаем вывод, что они равны, т.к. этим записям соответствует одно и то же число – нуль.

Сравнение положительных рациональных чисел

Производя действие сравнения положительных рациональных чисел, нужно в первую очередь сравнить их целые части.

Определение 3

Большим является то число, у которого целая часть больше. Соответственно меньшим является число, целая часть которого меньше.

Пример 1

Необходимо определить, какое из рациональных чисел меньше: 0,57 или 323?

Решение

Рациональные числа, заданные для с

Как сравнить положительное и отрицательное число. Видеоурок «Сравнение чисел

Вы знаете, что числа можно сравнивать. Давайте вспомним, какие числа вы уже умеете сравнивать:

Следовательно, вы умеете сравнивать любые положительные числа друг с другом и с нулём. А как вы думаете, отрицательные числа можно сравнивать? Конечно! И отрицательные друг с другом, и отрицательные с положительными, и отрицательные с нулём. Сегодня на уроке мы об этом и поговорим.

Давайте начертим координатную прямую, отметим на ней начало отсчёта, выберем единичный отрезок и укажем направление.

Напомним, на горизонтальной координатной прямой положительные числа изображаются правее нуля , а отрицательные – левее нуля . Возьмём два числа, например , 1 и . Вы знаете, что . Отметим на координатной прямой точки А(1) и В().

Понятно, что точка А на координатной прямой расположена левее точки В.

Напомним, правило : на горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой . Соответственно, на горизонтальной координатной прямой точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой .

А теперь давайте возьмём два отрицательных числа, например , ­­– 2 и – . Как сравнить такие числа? Отметим на координатной прямой точки С(– 2) и D(– ).

Запишем правило сравнения любых чисел :

Из двух чисел больше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой правее . И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой левее .

Пример

Если рассматривать вертикальную координатную прямую, то в сформулированном правиле сравнения нужно заменить слово «правее » на «выше », а слово «левее » – на «ниже ».

Сформулируем правило сравнения чисел на вертикальной координатной прямой .

Из двух чисел больше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой выше . И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой ниже .

Хотелось бы сразу уточнить, что все положительные числа больше нуля, а все отрицательные – меньше нуля.

Любое отрицательное число меньше положительного .

Вообще очень удобно сравнивать числа при помощи понятия «модуль числа ». Так как большее из двух положительных чисел на координатной прямой изображается правее, т.е. дальше от начала отсчёта, то это число имеет больший модуль.

Запомните, из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше .

Так как большее из двух отрицательных чисел на координатной прямой изображается правее, т.е. ближе к началу отсчёта, то это число имеет меньший модуль.

Запомните, из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше .

Чтобы научиться легко сравнивать отрицательные числа, не пользуясь координатной прямой, давайте порассуждаем. Когда теплее – при – 25° или при – 5°?

Конечно, каждому понятно, что теплее при -5.

А сейчас забудем о температуре и зададим такой вопрос: какое из чисел -25 и -5 больше? Ясно, что

В чём можно убедиться, используя координатную прямую:

Задание

Расположите числа в порядке возрастания:

.

Решение :

Задание

Расположите числа в порядке убывания:

.

Решение :

Итоги

Из двух чисел больше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой правее. И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой левее.

Все положительные числа больше нуля.

Все отрицательные – меньше нуля.

Любое отрицательное число меньше положительного.

Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.

Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.

В этом уроке мы вспомним, как сравнить положительные числа и рассмотрим сравнение отрицательных чисел.

Начнем с задачи. Днем температура воздуха была +7 градусов, к вечеру понизилась до +2 градусов, ночью стала -2 градуса, а на утро еще понизилась до -7 градусов. Как изменялась температура воздуха?

В задаче речь идет о понижении, т.е. об уменьшении температуры. Значит, в каждом случае конечное значение температуры меньше начального, поэтому 2

Обозначим числа 7, 2, -2, -7 на координатной прямой. Вспомним, что на координатной прямой большее положительное число расположено правее.

Посмотрим на отрицательные числа, число -2 находится правее, чем -7, т.е. для отрицательных чисел на координатной прямой сохраняется тот же порядок: при движении точки вправо ее координата увеличивается, а при движении точки влево ее координата уменьшается.

Можно сделать вывод: Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. 1 > 0; 12 > -2,5. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. -59

Сравнивать рациональные числа (т.е. все и целые, и дробные числа) удобно с помощью модуля.

Положительные числа раполагаются на координатной прямой в порядке возрастания от начала координат, значит чем дальше число от начала координат, тем больше длина отрезка от нуля до числа, т.е. его модуль. Следовательно, из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Например. Сравним числа -1 и -5. Точка, соответствующая числу -1расположена ближе к началу отсчёта, чем точка, соответствующая числу -5. А значит длина отрезка от 0 до -1 или модуль числа -1 меньше, чем длина отрезка от 0 до -5 или модуль числа -5 , значит, число -1, больше, чем число -5.

Делаем выводы:

При сравнении рациональных чисел обращаем внимание на:

определение, примеры, какое число больше положительное или отрицательное

В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.

Что такое положительные и отрицательные числа

Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.

Определение 1

Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.

Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).

Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.

Определение 2

Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.

После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры. Так, к положительным относятся любые натуральные числа – 1, 9, 134 345 и др. Положительные рациональные числа – это, например, 79, 7623, 4,65 и 0,(13)=0,126712… и так далее. К положительным иррациональным числам относится число π, число e, 95, 809,030030003… (это так называемая бесконечная непериодическая десятичная дробь).

Приведем примеры отрицательных чисел. Это -23 , −16, −57,58 −3,(4). Иррациональные отрицательные числа – это, например, минус пи, минус e и др.

Можно ли сразу сказать, что значение числового выражения log3 4-5 является отрицательным числом? Ответ неочевиден. Нам придется выразить это значение десятичной дробью и потом посмотреть (подробнее см. в материале о сравнении действительных чисел).

Для того чтобы уточнить, что число положительное, перед ним иногда ставят плюс, так же, как и перед отрицательным – минус, но чаще всего он опускается. Не забывайте, чт

правила, примеры, решения, как сравнить дроби с разными знаменателями

Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 37, то она имеет 3 доли 17, тогда дробь 87 имеет 8 таких долей.  Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 37 и 87 сравниваются числа 3 и 8.

Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.

Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.

Пример 1

Произвести сравнение заданных дробей 65126 и 87126.

Решение

Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что  87126 больше 65126.

Ответ: 87126>65126.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.

Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:

• найти общий знаменатель;
• сравнить дроби.

Рассмотрим данные действия на примере.

Пример 2

Произвести сравнение дробей 512 и 916.

Решение

В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16. Это число 48. Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 512 , это число находится из частного 48:12=4, для второй дроби  916– 48:16=3. Запишем получившееся таким образом: 512=5

Отрицательное число — Википедия

Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение. В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание — например, выражение 3+4−5{\displaystyle 3+4-5} допустимо, а выражение с переставленными операндами 3−5+4{\displaystyle 3-5+4} недопустимо.

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел». При дальнейших расширениях множества чисел рациональными или вещественными числами для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для комплексных чисел упорядоченность не определена, и понятия «отрицательное число» не существует.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

n+(−n)=0.{\displaystyle n+\left(-n\right)=0.}

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

b−a=b+(−a).{\displaystyle b-a=b+\left(-a\right).}

Пример: 25−75=−50.{\displaystyle 25-75=-50.}

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, деление −24 на 5 с остатком допускает два представления:

−24=5⋅(−5)+1; −24=5⋅(−4)−4{\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1;\ -24=5\cdot (-4)-4}

Правильным является только первое из них, в котором остаток неотрицателен.

Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в до н. э.), а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта (III в н. э.), признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными, он определил все четыре операции с отрицательными числами.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что 0−4=0{\displaystyle 0-4=0}, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто»^[1]. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси, благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(−1)=(−1):1{\displaystyle 1:(-1)=(-1):1} — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность^[2]. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)^[3].

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

1. ↑ Сухотин А. К. Превратности научных идей. М.: Мол. гвардия. 1991, стр. 34.
2. ↑ Панов В. Ф., 2006, с. 399..
3. ↑ Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.