Как узнать уравнение линейное или нет: Линейное уравнение — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Урок 42. уравнения первой степени с одним неизвестным. линейные уравнения с одним неизвестным — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 42

Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

Линейные уравнения.

Корень уравнения.

Решение линейных уравнений.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте посмотрим на 2 уравнения: 10x = 36 и 3x2 = 2

Можем ли мы сказать, что оба уравнения являются линейными уравнениями первой степени?

Конечно, нет. Хотя, по определению линейных уравнений, оба уравнения подходят, у второго уравнения переменная входит в него во второй степени, а это противоречит отличительной особенности линейного уравнения первой степени.

Определение: Уравнение вида ax = b, где – x переменная, a, b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

А что означает решить уравнение?

Решить уравнение – означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.

Давайте подумаем, является ли уравнение 2(5x + 4) = 2x – 16 – линейным уравнением первой степени? Нет, так как оно не записано в виде ax = b. Можно ли привести его к такому виду?

Попробуем это сделать. Переменная x входит в это уравнение первой степени. Все такие уравнения можно преобразовать в вид ax + b = 0 с помощью тождественных преобразований. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным законом умножения.

10x + 8 = 2x + 16

Вычтем из правой и левой частей уравнения 2x и 8.

Затем приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим уравнение стандартного вида.

8x = 8

А как же проверить, является ли число корнем уравнения, не решая его?

В таком случае, нам достаточно подставить значение переменной в уравнение и проверить, выполняется равенство или нет.

Чтобы узнать, является ли число корнем уравнения, нужно:

— Подставить вместо переменной числовое значение.

— Упростить.

— Посмотреть, получилось верное равенство или нет.

Если верное, то число является корнем уравнения, в противном случае – нет.

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени и числа.

2(3x – 5) = x – 3

Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки:

6x – 10 = x – 3

6x – x = 10 – 3

5x = 7

Линейное уравнение имеет вид:

ax = b, где a = 5 и b = 7.

Тренировочные задания.

Задание 1. Какое значение переменной удовлетворяет уравнению 4x – 2 = 14?

Варианты ответа:

x = 0

x = 2,5

x = 4

x = 0,1

Решение:

Для того чтобы определить, какое из значений удовлетворяет уравнению, нужно подставить вместо переменной соответствующее значение и проверить, получается ли истинное равенство. Соответственно, при истинности, значение переменной будет удовлетворять условию.

При x = 0 получаем: 4 · 0 – 2 = 14

–2 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 2,5 получаем: 4 · 2,5 – 2 = 14

3 = 14 – ложь. Следовательно, x = 2,5 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 4 получаем: 4 · 4 – 2 = 14

14 = 14 – истина. Следовательно, x = 4 удовлетворяет решению уравнения.

При x = 0,1 получаем: 4 · 0,1 – 2 = 14

–1,6 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0,1 не удовлетворяет решению уравнения.

Ответ: x = 4

Задание 2. Уравнение 2(2x – 3) = 2x + 16 надо привести к стандартному виду.

Варианты ответа:

4x + 3 = 2x + 16

2x – 19 = 3x

4x = 22

2x = 22

Решение:

Для того чтобы определить, какое из значений является верным приведением уравнения к стандартному виду, нужно просто привести уравнение к стандартному виду.

2(2x – 3) = 2x + 16 – раскроем скобки, умножив число на разность;

4x – 6 = 2x + 16 – преобразуем уравнение, перенеся слагаемые, содержащие переменные в левую часть уравнения, а числа в правую, меняя при этом знак на противоположный;

4x – 2x = 16 – 6 – упростим выражение, приведя подобные слагаемые;

2x = 22 – полученное уравнение приведено к стандартному виду ax = b, где a = 1, b = 22

Ответ: 2x = 22

Онлайн урок: Решение уравнений по предмету Математика 6 класс

Решить линейное уравнение с одним неизвестным вида a ∙ x = b 

— это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Наличие и количество корней линейного уравнения зависит от значений коэффициента а и значения свободного члена уравнения b.

1. Линейное уравнение при a ≠ 0 и — любое число, будет иметь один единственный корень; это значит, что неизвестная имеет единственное верное решение, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Известно, что деление — это обратное действие умножению (т.е. по известному множителю и произведению можно определить неизвестный множитель).

Следовательно, решение уравнения a ∙ x = b, где a ≠ 0 выглядит так:

x = b ÷ a

или \(\mathbf{x = \frac{b}{a}}\) (это корень линейного уравнения).

2. Линейное уравнение при a = 0

и b ≠ 0 не имеет корней.

Если коэффициент а равен нулю, линейное уравнение запишется, как

0 ∙ x = b

Свойство умножения числа на нуль дает право утверждать, что при любом значении неизвестной х уравнение обращается в неверное равенство 0 = b.

Равенство 0 = b при b ≠ 0 неверно, а это значит, что в таком случае решения уравнения нет, т.е. уравнение не имеет корней.

3. Линейное уравнение при а = 0 и b = 0 имеет бесконечное множество корней, т.е. при любом значении неизвестной х уравнение обращается в верное равенство.

0 ∙ x = 0

0 = 0 (верное равенство)

Чтобы решить линейное уравнение необходимо выполнить ряд математических преобразований.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть
  1. В линейной функции константа b представляет наклон линии, который всегда одинаков, где бы вы его ни измеряли. В нелинейной функции наклон всегда меняется, поэтому в уравнении, измеряющем наклон, нет константы.

    Это иллюстрирует основное правило, согласно которому функции являются линейными, а какие нет:

    • линейные функции не имеют показателей выше 1, а график выглядит как прямая линия.
    • нелинейные функции имеют по крайней мере один показатель степени больше 1 и график не является прямой линией.

    Итоги урока

    В этом уроке вы узнали о линейных и нелинейных функциях.

    • Уравнение линейной функции не имеет показателей выше 1, а график линейной функции представляет собой прямую линию.
    • Уравнение нелинейной функции имеет хотя бы один показатель степени больше 1, а график нелинейной функции представляет собой кривую линию.

    Линейные функции можно записать в виде y = a + bx , но нелинейные функции не имеют такой простой базовой формы; они все разные. В линейной функции наклон представлен константой b , но нелинейные функции не имеют единственного наклона, поэтому нет одной константы, которая дает вам наклон всей функции.

    Теперь попробуйте ответить на вопросы викторины, чтобы проверить, насколько хорошо вы все это запомнили!

    Ключевые термины

    • Линейная функция: функция, график которой представляет собой прямую линию и не имеет показателей выше 1
    • Нелинейная функция: функция, график которой не является прямой линией и имеет хотя бы один показатель степени выше 1
    Примеры линейных и нелинейных функций.

    Результат обучения

    Изучив этот урок, вы должны уметь различать линейную функцию и нелинейную функцию.

    Линейные функции

    Линейные функции

    Линейная функция популярна в экономике. Он привлекателен тем, что просто и легко обрабатывать математически. Он имеет много важных приложений.

    Линейные функции — это функции, график которых представляет собой прямую линию.

    Линейная функция имеет следующий вид:

    у = е(х) = а + Ьх

    Линейная функция имеет одну независимую переменную и одну зависимую переменную. Независимая переменная — это х, а зависимая переменная — это у.

    a — постоянный член или точка пересечения y. Это значение зависимого переменная при x = 0,

    b — коэффициент независимой переменной. Он также известен как наклон и дает скорость изменения зависимой переменной.

     

    График линейной функции

    Для построения графика линейной функции:

    1. Найдите 2 точки, удовлетворяющие уравнению

    2. Нарисуйте их

    3. Соедините точки прямой линией

    Пример:

    г = 25 + 5 х

    пусть x = 1
    тогда
    y = 25 + 5(1) = 30

    пусть x = 3
    тогда
    y = 25 + 5(3) = 40

     

     

    Простой пример линейного уравнения

    Компания имеет постоянные затраты в размере 7000 долл. США на заводы и оборудование и переменные затраты. затраты 600 долларов на единицу продукции.
    Какова общая стоимость при различных уровнях выпуска?

    пусть x = единицы продукции
    пусть C = общая стоимость

    C = постоянные затраты плюс переменные затраты = 7000 + 600 x

    выход общая стоимость
    15 шт. С = 7000 + 15(600) = 16000
    30 шт. С = 7000 + 30(600) = 25000

     

     

    Комбинации линейных уравнений

    Линейные уравнения можно складывать, умножать или делить.

    Простой пример сложения линейных уравнений

    C(x) — функция стоимости

    C(x) = фиксированная стоимость + переменная стоимость

    R(x) — функция дохода

    R(x) = цена продажи (количество проданных товаров)

    прибыль равна выручке за вычетом затрат

    P(x) — функция прибыли

    Р(х) = Р(х) — С(х)

    x = количество произведенных и проданных товаров

     

    Данные:

    Компания получает 45 долларов за каждую проданную единицу продукции. Имеет переменную стоимость 25 долларов за единицу и фиксированную стоимость 1600 долларов.
    Какова его прибыль, если он продаст (а) 75 единиц, (б) 150 единиц и (в) 200 единиц?

    R(x) = 45x С(х) = 1600 + 25х
    Р(х) = 45х -(1600 + 25х)  
           = 20x — 1600  
    пусть х = 75 P(75) = 20(75) — 1600 = -100        а потеря
    пусть х = 150 Р(150) = 20(150) — 1600 = 1400
    пусть х = 200 Р(200) = 20(200) — 1600 = 2400

    [Индекс]


    Как определить, что уравнение не имеет решения

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    Сент-Луис, Миссури 63105

    Или заполните форму ниже:

     

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.