Чтобы лучше усвоить первое свойство равносильного преобразования уравнения, можно запомнить такое интересное сравнение.

Представьте ситуацию.

К хозяину дома приходит долгожданный гость.

Так как гость пришел с улицы, ему нужно уличную обувь переодеть на гостевые домашние тапочки.

Попробуем провести аналогию между рассмотренной ситуацией и первым свойством равносильного преобразования уравнения.

Например, возьмем уравнение 8х — 3 = 2х + 4.

Итак, в левой части уравнения слагаемое 8х является «хозяином» — он у себя «дома», «обувь» ему переодевать не нужно, значит, 8х знак свой не меняет.

Из правой части уравнения идет его «гость», слагаемое 2х. Ему как «гостю» приходится менять «обувь», т.е. менять свой знак на противоположный.

В правой части 2х был со знаком «+», при переходе меняет свой знак на противоположный и в левой части в «гостях» появляется со знаком «-».

Аналогично число 4 является «хозяином» в правой части уравнения, его знак остается неизменным, он у себя «дома».

Из левой части уравнения в «гости» идет слагаемое -3. Ему как «гостю» приходится менять «обувь», т.е. менять свой знак на противоположный.

В правой части слагаемое -3 было со знаком «-», при переходе знак меняется на противоположный и в левой части, в «гостях», становится знаком «+».

Получилось эквивалентное уравнение исходному, оно выглядит так:

8х — 2х =4 + 3

Приведем подобные, получим простейшее линейное уравнение.

6х = 7

\(\mathbf{x = \frac{7}{6}}\)

\(\mathbf{x =1 \frac{1}{6}}\)

Ответ: \(\mathbf{x =1 \frac{1}{6}}\)

Рассмотрим второе свойство равносильного преобразования уравнения.

Снова обратимся к аналогии с весами.

Для того, чтобы весы оставались в равновесии, увеличивая массу груза в 1,5 раза в одной из чаш, необходимо увеличить массу груза в 1,5 раза в другой чаше весов.

Увеличивая или уменьшая массу грузов на каждой чаше весов в одинаковое количество раз, равновесие весов будет сохраняться.

Так же происходит и с уравнением. Сформулируем второе свойство равносильного преобразования уравнения:

Разделив (или умножив) обе части на одно и тоже ненулевое число, равенство остается верным, получится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим пример

Дано уравнение 4 ∙ (2х — 1) = 16

Приведем данное уравнение к стандартному виду: ax =b

Раскрытие скобок только усложнит исходное уравнение.

Заметим, что левую и правую часть можем разделить на 4 (это наименьшее общее кратное чисел 4 и 16).

4 ∙ (2х — 1) = 16          |÷4

\(\mathbf{\frac{4 \cdot (2x — 1)}{4} = 16 \div 4}\)

2х — 1 = 4

Слагаемые с неизвестным оставляем в левой часть уравнения, а слагаемое -1 переносим в правую часть уравнения, сменив знак числа на противоположный, т.е. на «+».

2x = 4 + 1

2x = 5 получили уравнение вида ax = b

х = 5/2

x = 2,5

Ответ: х = 2,5

Решение линейных уравнений происходит с помощью нескольких преобразований, которые могут быть выполнены в любом порядке.

1. Освобождение от дробных членов уравнения (если такие есть) с помощью умножения левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число

2. Деление левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число

3. Раскрытие скобок (если они есть и это необходимо)

4. Перенос членов уравнения из одной части в другую со сменой их знаков на противоположные

5. Приведение подобных слагаемых

Завершая решение уравнения, стоит выполнить проверку, подставив в исходное уравнение найденное значение неизвестного. Если уравнение обратилось в верное равенство, значит, корень уравнения найден верно.

Итогом решения уравнения является ответ, в котором перечисляются все найденные корни уравнения.

Перькова Ирина Васильевна, учитель математики

Урок алгебры в 7 классе.
Тема урока: Линейное уравнение с одной переменной
Тип урока – объяснение нового материала
Цели:
1) Познакомить с понятием линейное уравнение.
2) Научить распознавать среди других уравнений, определять коэффициенты a и b.
3) Научить кодировать информацию с помощью схем.
4) Сформировать умение решать линейные уравнения разных видов при:
а) а=0, b=0
б) а=0,b≠0
в) а≠0,b=0
г) а≠0,b≠0
5) Показать возможности дальнейшего использования линейных уравнений.
6) Развивать интеллектуальные навыки: сравнение, классификация, анализ.
7) Развивать коммуникативные навыки.
8) Воспитывать диалоговую культуру.
9) Воспитывать любовь к предмету.
1
Уч: Ребята, какой была наша предыдущая тема?
Д: Уравнение и его корни.
Уч: Давайте вспомним, какие вопросы, касающиеся этой темы, мы рассматривали на прошлом уроке.
Д:
— Узнали, какие уравнения называют уравнениями с одной переменной.
-Узнали определение корня уравнения.
— Узнали, какие уравнения называются равносильными.
— Узнали, что значит решить уравнение.
— Какие свойства используют при решении уравнений.
Уч: Верно. Оказывается, уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и Египте, более чем 4 тыс. лет назад.
(слайд карты Древнего Вавилона и Египта)
Я хочу прочитать вам задачу из папируса Ринда (Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000 – 1700 г. до н.э.
( слайд с текстом задачи)
Найти число, если известно, что от прибавления к нему ⅔ его и вычитания от полученной суммы ее трети получится число 10.
Как вы думаете, мы могли бы решить эту задачу арифметическим способом по действиям.
Д: Нет. Эту задачу мы можем решить алгебраическим способом, т. е. с помощью уравнения
Уч: Чтобы решить эту задачу, нам нужно хорошо изучить условие.
Что мы примем за x?
Д: Неизвестное число.
( Детям предлагается проинсценировать данное уравнение, наделяя каждого из них карточкой). Обсуждается условие по наводящим вопросам, получается:
x — первый ученик
+ — второй ученик
⅔x — третий ученик
— — четвертый ученик
⅓ — пятый ученик
(x+⅔x) — шестой ученик
= — седьмой ученик
10 — восьмой ученик
В результате получилось уравнение x+⅔x-⅓(x+⅔x)=10.
Дети записывают данное уравнение в тетрадь.
Уч: Ребята, а мы можем решить это уравнение, опираясь на наши прежние знания.
Д: Да.
— Мы можем раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения.
— А потом мы можем привести подобные слагаемые в левой части уравнения, сложив коэффициенты при неизвестном.
( на экране появляются слайды, где по щелчку мышки показывается решение уравнения)
x+⅔x-⅓(x+⅔x) =10
x+⅔x-⅓x-2/9x=10
9/9x+6/9x-3/9x-2/9x=10
10/9x=10
Уч: Ребята, в результате преобразований мы получили уравнение линейное. Мы можем найти его корень?
Д: Конечно. Здесь x – неизвестный множитель и, чтобы его найти нужно произведение разделить на известный множитель.
x=10:10/9
x=9
Уч: Дети, а такие уравнения мы с вами встречали раньше
Д: Да, встречали.
Уч: Мы только не знали, что они называются линейными. В школьном курсе мы будем изучать различные уравнения и квадратичные, и логарифмические, и тригонометрические…, а сегодня тема нашего урока: Линейное уравнение с одной неизвестной.
(слайд с названием темы урока)
Уч: Как вы думаете, какие вопросы, возможно, возникнут при изучении этой темы?
Д:
— Какие уравнения называют линейными?
— Как распознать их среди других?
— Что значит решить линейное уравнение?
— Способы решения линейных уравнений.
— Всегда ли эти уравнения имеют решение
— Где эти уравнения могут пригодиться?
— Выяснить решали ли мы их раньше.
Уч: Верно, ребята. Я, верно, поняла вас, что нам необходимо:
1) Узнать определение
2) Распознавать среди других
3) Уметь решать
(на доску наклеивается план изучения темы)
2
Уч: В изучении нового как всегда помогут наши старые знакомые — знания. Это мостик от старых знаний к новым.
Сейчас вы будете работать в парах. Возьмите в руки карточку, которая лежит на вашем столе. Карточка называется Проверь себя. Это математическая мозаика, она содержит пять заданий. Вы должны закончить предложение. Вам даны варианты ответов, среди которых вы должны выбрать нужный. Будьте внимательны, так как среди ответов есть и неверные
(дети под руководством учителя работают с карточками.)
Уч: А теперь проверим, что у вас получилось. Сейчас мы выполним самопроверку, как обычно выставляя + за каждое верно выполненное задание.
(дети по парам поочередно читают свои ответы, на экране появляются слайды с верными ответами)
Проверь себя.
1) Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее переменную.
2) Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
3) Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
4) Уравнения, которые имеют одинаковые корни, называют равносильными.
5) Какое число является корнем уравнения x2=9
Выбери верный вариант ответа:
а) 3
б) -3 и 3
в) -3
(Дети оценивают себя. Учитель корректирует знания по необходимости.)
Уч: Итак, вы готовы к изучению линейных уравнений. Я хочу предложить вам ряд линейных уравнений, а вы, внимательно рассмотрев ряд предложите свои по тому же подобию.
(слайд с рядом уравнением: 10/9x=10; 3z=27; -8y=25.7…)
Дети предлагают свои уравнения: -7k=4; 8/13c=-11; 32x=-8.2 и т.д.
Уч: Дети, чем вы руководствовались при составлении своих уравнений, продолжающих ряд?
Д:
— В левой части уравнения стоит произведение числа и переменной, а в правой – число.
— Переменная одна.
Уч: Скажите, а являются продолжением ряда уравнения:
2x+3y=8 и x2=9
Д: Нет. В первом уравнении две переменных, а во втором неизвестная во второй степени, а в нашем ряду переменная в первой степени.
Уч: Ребята, а какой буквой обозначена переменная здесь существенно?
Д: Нет, можно переменную обозначить любой буквой.
Уч: А какими могут быть коэффициенты?
Д: Коэффициенты могут быть любыми числами.
Уч: А как можно записать линейное уравнение в общем виде
Д: аx=b или ck=d, где k- переменная, c,d- числа
( на экране слайд)
Определение: Уравнение вида аx=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Уч: Определение есть у вас в учебнике на стр. 25. Поработайте в парах и выделите ключевые слова в данном определении, т. е. существенные признаки по которым мы сможем отличать данный объект от остальных.
(Обсуждают. После обсуждения появляется слайд, где выделены ключевые слова уравнение вида аx=b). Уравнение аx=b называют стандартным видом линейного уравнения.
3
Уч: Итак, для того чтобы нам распознать линейное уравнение мы должны проверить существенные признаки. Это должно быть уравнение и вид его должен быть аx=b. Давайте попробуем распознавать линейные уравнения. Выполним упражнение на да и нет. Возьмите таблицу. Вы будете работать карандашом ставя + или — в нужном столбце
объект
уравнение
вид ax=b
линейное
3x-24
—
—
3y=24
+
+ a=3, b=24
+
-z=0
+
+ a=-1, b=0
+
0.91=0.1x
+
+ a=0.1, b=0.91
+
x2=25
+
—
—
6x-8=x+6
+
+ a=5, b=14
+
3×2-x=8
+
—
—
0x=0
+
+ a=0, b=0
+
0x=7
+
+ a=0, b=7
+
Уч: А теперь проверим, что у вас получилось.
(появляются слайды, дети работают ручкой в таблицах)
Уч: Ребята, давайте решим несколько уравнений из таблицы.
1) 6x-8=x+6 2)-z=0 3)0x=0 4)0x=7
5x=14 z=0 x – любое нет корней
X=14/5=2. 4/5 число
(каждое уравнение решает 1 ученик у доски)
Уч: Данные уравнения имеют: 1 корень не равный нулю, 1 корень равный нулю, множество корней, не имеет корней.
От чего зависит, какие корни будут получаться в линейном уравнении?
Д: Это зависит от значений а и b.
4
Уч: Итак, решаем линейные уравнения. Какие ситуации у нас возникли.
ax=b
a≠0, b≠0 a≠0, b=0 a=0, b=0 a=0, b≠0
Уч: Запишите, какие уравнения получаются в каждом случае, и найдите его решение для каждого случая.
(Дети работают. Для проверки появляется слайд. Дети проверяют свою таблицу.)
aх=b
а≠0, b =0 a=0, b=0 a=0, b≠0 a≠0, b≠0
ax=0 0x=0 0x=b ax=b
x=0/a x – любое число не имеет корней x=b/a
x=0 бесконечное множество корней 1 корень не равный
1 корень равный нулю нулю
5
Итак, посмотрим, какие корни имеют уравнения из № 126, 127.
(фронтальная работа с классом)
Уч: А теперь мы уже готовы решать уравнения более сложные, которые в результате преобразований сводятся к решению линейного уравнения
1)2(3х-1)=4(х+3) 2)2(3х-1)=4(х+3)-14+2х
Ответ:7 Ответ: х – любое число
3)2(3х-1)=4(х+3)+2х
Ответ: нет корней
(решают в форме эстафет, т. е. каждый ребенок у доски по 1 строчке из уравнения)
6
А теперь небольшая самостоятельная работа.
1) -10х=9 1) -0,9
2) 5(х-3)+27=5х+12 2) бесконечное множество корней
3) 2(х+9)=13-х 3) -5/3=-1,2/3
4) –х+4=47-х 4) нет корней
5) х=-х 5) 0
(Слайд с ответами. Самопроверка)
5 + — 5
4 + — 4
3 + — 3
Меньше трех плюсов – Будем работать дальше.
7
Вернемся к плану урока. Давайте посмотрим все ли пункты плана мы выполнили.
(обсуждают, подводят итог)
8
Д/з П. 7
№ 129 (а, д, и)
131 (а, б)
135 (а, б)
134 (а)
Уч: По желанию можно побыть в роли учителя и приготовить карточку по данной теме, которую вы могли бы предложить своему товарищу из класса.
Уч: Итак, урок закончен. А на следующем уроке мы будем решать задачу Метродора, который был известен тем, что писал задачи в стихах.

Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х —  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены: 
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7.  Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — . 

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейное уравнение с одной переменной. Урок алгебры с применением ИКТ. 7 класс

1. МБОУ ЕФРЕМОВСКАЯ СОШ

3. Цель урока:   закрепить  и обобщить знания учащихся о линейном уравнении с одной переменной. Задачи урока: * формировать умения

7.    4. КАКОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЮТ КОРНЕМ УРАВНЕНИЯ?

24. КАК РАСКРЫТЬ СКОБКИ, * ЕСЛИ ПЕРЕД НИМИ СТОИТ знак +? Раскрыть скобки не меняя знаки слагаемых, стоящих в скобках * ЕСЛИ ПЕРЕД

Теория линейных уравнений и задачи

Значение неизвестной величиной, для которой из данного уравнения мы получим истинное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Два уравнения называются эквивалентными, если множества их корней совпадают, корни первого уравнения являются также корнями второго и наоборот. Действуют следующие правила:
1. Если в данном уравнении значение заменяется другим, но идентичным, мы получаем уравнение, эквивалентное данному.
2. Если в данном уравнении некоторое значение переносится из одной стороны на другую с противоположным знаком, мы получаем уравнение, эквивалентное (равное) заданному.
3. Если мы умножаем или делим обе стороны уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получаем уравнение, эквивалентное заданному.
Уравнение вида $ax + b = 0$, где $a, b$ — заданные числа, называется простым уравнением по отношению к неизвестной величине $х$.

Задача 1 Решите уравнение:
A) $16x + 10 – 32 = 35 – 10x — 5$
B) $y + \frac{3}{2}y + 25 = \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}y – \frac{5}{2}y + y + 37$
C) $7u – 9 – 3u + 5 = 11u – 6 – 4u$

Решение:

A)После проведения некоторых действий, получаем
$16х – 22 = 30 – 10x$
После использования правила 2 мы находим, что $16x + 10x = 30 + 22$
После сложения получаем $26x = 52$
Мы находим неизвестную величину, разделив произведение на другой множитель. 2 + 6x + 6 \Leftrightarrow$
$2 = 6x + 6 \Leftrightarrow 6x = -4 \Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}$

Задача 3 Решите уравнение:
A) $\frac{5x-4}{2} = \frac{0,5x+1}{3}$
B) $1 –\left[\frac{x-3}{5}\right] = \frac{-3x+3}{3}$
C) $\frac{x+1}{3} – \frac{2x+5}{2} = -3$
D) $\frac{3(x-1)}{2} + \frac{2(x+2)}{4} = \frac{3x+4,5}{5}$

Решение:

A) $\frac{5x-4}{2} – \frac{0,5x+1}{3} \Leftrightarrow$
$3(5x — 4) = 2(0,5x + 1) \Leftrightarrow$
$15x — 12 = x + 2 \Leftrightarrow$
$15x – x = 12 + 2\Leftrightarrow$
$14x = 14 \Leftrightarrow x = 1$

B) $1 – \left[\frac{x-3}{5}\right] = \frac{3(1-x)}{3}\Leftrightarrow$
$1 –\left[\frac{x-3}{5}\right] = 1 – x \Leftrightarrow$
$-x + 3 = — 5x \Leftrightarrow$
$5x – x = — 3 \Leftrightarrow$
$x = -\frac{3}{4}$

C) $\frac{2(x+1)-3(2x+5)}{6} = — 3 \Leftrightarrow$
$\frac{2x+2-6x-15}{6} = — 3 \Leftrightarrow$
$-4x — 13 = -18 \Leftrightarrow$
$-4x = -18 + 13 \Leftrightarrow$
$-4x = -5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}$

D) После нахождения и сокращения общего знаменателя, который для 2, 4 и 5 есть 20
$\frac{3(x-1)}{2} + \frac{2(x+2)}{4} = \frac{3x+4,5}{5} \Leftrightarrow$
$30(x — 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4,5) \Leftrightarrow$
$30x — 30 + 10x + 20 = 12x + 18 \Leftrightarrow$
$40x — 12x = 18 + 10 \Leftrightarrow$
$28x = 28 \Leftrightarrow x = 1$

Задача 4 Докажите, что любое значение неизвестной величины является корнем уравнения:
A) $7x — 13 = — 13 + 7x$
B) $\left(\frac{1}{2} – x\right)^2 – \left(\frac{1}{2} + x\right)^2 = -2x$
C) $3x — 3x = 26 — 2(7 + 6)$
D) $\frac{-3x+4x^2}{5} = (0,8x — 0,6)x$

Решение: Для простого уравнения с неизвестной величиной $x$ любое x является решением, если уравнение сокращается к следующему эквивалентному уравнению 0. 2 — 12x — 8 \Leftrightarrow$
$0 = 9 \Rightarrow$ нет решения

Задача 7 Решите уравнение:
A) $\frac{6x-1}{5} — \frac{1-2x}{2} = \frac{12x+49}{10}$
B) $\frac{x-3}{2} + \frac{2x-2}{4} = \frac{7x-6}{3}$

Решение:

A)После нахождения и сокращения общего знаменателя, мы получаем:
$12x — 2 — 5 +10x = 12x + 49 \Leftrightarrow$
$22x — 12x = 49 + 7 \Leftrightarrow$
$10x = 56 \Leftrightarrow x = 5,6$

B) $\frac{x-3}{2} + \frac{2x-2}{4} = \frac{7x-6}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{x-3+x-1}{2} = \frac{7x-6}{3} \Leftrightarrow$
$3(2x — 4) = 2(7x — 6) \Leftrightarrow$
$6x -12 = 14x — 12 \Leftrightarrow$
$8x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Задача 8 Дана функция $f(x) = x + 4$. Решите уравнение:
$\frac{3f(x-2)}{f(0)} + 4 = f(2x + 1)$

Решение:

Мы вычисляем $f(0), f(x -2), f(2x +1)$. То есть, $f(0) = 0 + 4 = 4$;
$f(x — 2) = x — 2 + 4 = x + 2$;
$f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5$. 2 + 9 = x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow$
$9 = x + 2x \Leftrightarrow$
$9 = 3x \Leftrightarrow x = 3$

Задача 13 Докажите, что уравнения эквивалентны:
A) $\frac{x-5}{2} + \frac{x-1}{8} = \frac{1,5x-10}{4}$ и $\frac{x+6}{2} – \frac{5,5-0,5x}{3} = 1,5$
B) $x – \frac{8x+7}{6} + \frac{x}{3} = -1.\left(\frac{1}{6}\right)$ и $2x – \frac{6-x}{3} — 2\left(\frac{1}{3}\right)x = -2$

Решение:

A) Для первого уравнения получаем:
$4(x — 5) + x — 1 = 2(1,5x — 10) \Leftrightarrow$
$4x — 20 + x — 1 = 3x — 20 \Leftrightarrow$
$5x – 3x = — 20 + 21 \Leftrightarrow$
$2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$,
для второго уравнения получаем
$3(x + 6) — 2(5,5 — 0,5y) = 6 \cdot 1,5 \Leftrightarrow$
$3x + 18 — 11 + x = 9 \Leftrightarrow$
$4y = 9 — 7 \Leftrightarrow$
$x = \frac{2}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ Поэтому, уравнения являются эквивалентными (равными).

B) Aналогично A), попробуйте решить это самостоятельно

Задача 14 Решите уравнение:
A) $(2x + 1)^2 – x(1 — 2x)(1 + 2x) = (2x — 1)^2 + 4x^3 — 3$
B) $(2x — 1)^2 + (x — 2)^3 = x^2(x — 2) + 8x — 7$
C) $(x + 2)(x^2 — 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x — 4$
D) $\frac{8x+5}{4} – \frac{1}{2}\left[2 – \frac{3-x}{3}\right] = 2x + \frac{5}{6}$
E) $\frac{x}{3} — \frac{x + 3}{4} = x-\frac{1}{3}\left[1 — \frac{3 — 24x}{8}\right]$
F) $\frac{x}{5}- \left[\frac{(2x — 3)^2}{3}\right] = \frac{1}{5}\left[ 5 — \frac{(20x — 43x)}{3}\right]$

Решение:

A) $4x^2 + 4x + 1 – x(1 — 4x^2) = 4x^2 — 4x + 1 + 4x^3 — 3 \Leftrightarrow$
$4x – x + 4x^3 = -4x + 4x^3 -3 \Leftrightarrow$
$3x + 4x = -3 \Leftrightarrow$
$7x = — 3 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{7}$

B) $4x^2 — 4x + 1 + x^3 — 3x^2\cdot2 + 3x\cdot2^2 — 8 = x^3 -2x^2 + 8x — 7 \Leftrightarrow$
$4x^2 — 6x^2 — 4x + 1 + 12x — 8 = — 2x^2 + 8x -7 \Leftrightarrow$
$-2x^2 + 8x — 7 = — 2x^2 + 8x — 7 \Leftrightarrow$
$0 = 0 \Rightarrow$ любое x есть решением;

C) $x^3 + 2x^2 — 2x^2 — 4x + 4x + 8 + x(1 – x^2) = x — 4 \Leftrightarrow$
$x^3 + 8 + x – x^3 = x — 4 \Leftrightarrow$
$8 = -4$, что невозможно. 2 + 43x \Leftrightarrow$
$63x — 43x = 15 + 45 \Leftrightarrow$
$20x = 60 \Leftrightarrow x = 3$

ученикам помогут вспомнить школьную программу / Новости города / Сайт Москвы

Городской методический центр приглашает юных москвичей освежить свои знания по школьным предметам накануне начала учебного года, восполнить пробелы и узнать что-то новое. Для ребят подготовили мастер-классы по математике, биологии, английскому языку, обществознанию, информатике, химии и географии.

Школьники смогут изучить творчество Рэя Брэдбери, познакомиться со свойствами антисептиков, узнать, как разместить карту города на листе бумаги, и многое другое. Все занятия пройдут в режиме онлайн.

18 августа в 11:00 начнется мастер-класс по математике «Бесподобное подобие». Школьникам расскажут о том, как греческий математик Фалес определил высоту египетской пирамиды, что предпринимали в подобных случаях герои известных литературных произведений и в какой момент поднимающийся объект перестает отбрасывать тень на поверхность Земли.

В этот же день в 13:00 стартует мастер-класс «Кодирование графической и звуковой информации». Юные программисты рассмотрят основные принципы кодирования и декодирования графической и звуковой информации.

О том, как не забыть иностранный язык за время каникул, расскажут 19 августа в 11:00 на вебинаре «Английский язык вокруг нас». Школьники узнают о том, как практиковаться в иностранном языке, если нет возможности побывать за границей.

В этот же день в 13:00 начнется онлайн-занятие по математике «Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач». Ученикам напомнят об основных способах решения систем линейных уравнений, а также объяснят, как можно использовать эти системы на практике.

На мастер-классе «Учим английский с научной фантастикой» школьники узнают, как чтение художественной литературы помогает расширить словарный запас, и поймут, как работает грамматика языка, а также познакомятся с творчеством Рэя Брэдбери. Кстати, в этом году исполняется 100 лет со дня рождения американского писателя. Начало занятия — 20 августа в 11:00.

А в 13:00 стартует вебинар по биологии «Каково быть человеком?», на котором учащиеся изучат основные направления и факторы эволюции, а также обсудят родословное древо наших предков и наиболее важные культурные достижения человечества.

21 августа в 11:00 пройдет мастер-класс «Как можно измерить информацию». На нем обсудят, какие подходы к измерению информации существуют и как посчитать, какое количество информации содержит полученное сообщение. Во время занятия ребята вспомнят единицы измерения, повторят формулы и рассмотрят задачи, связанные с объемом информации различных сообщений.

В этот же день в 13:00 начнется онлайн-лекция по обществознанию «Когнитивные искажения и их роль в процессе познания». Школьникам объяснят, в чем заключается феномен когнитивных искажений и почему человек, находящийся в таком состоянии, не способен адекватно и объективно воспринимать окружающий мир и самого себя.

22 августа в 11:00 стартует онлайн-встреча по географии «Как изобразить школу на листе бумаги?». На ней расскажут, как изображаются неровности земной поверхности и зачем нужно уметь строить план местности.

В этот же день в 13:00 на мастер-классе «Как мыслит компьютер» ребята рассмотрят основные системы счисления в информатике, а также принципы машинных вычислений.

24 августа в 10:00 пройдет вебинар по химии «Рекомендованные ВОЗ рецептуры антисептиков для рук». На нем расскажут, в чем заключается эффективность антисептиков и какие компоненты могут нанести вред кожному покрову.

Линейные и нелинейные уравнения

Объяснение:

Данное уравнение имеет вид y = 2x + 3. Поскольку в уравнении две переменные x и y, возьмем две случайные значения x и вычислить соответствующие значения y, подставив x в уравнение.

Возьмем x = 1 и x = –1.

x              y

+1       2(+1) + 3 = 5
–1      2(–1) + 3 = 1

Теперь нанесем две точки (1,5) и (–1,1) на график, как показано на рисунке ниже.

Теперь вы можете просто соединить эти две точки прямой линией, и это даст вам искомый график заданного уравнения.

Вы также можете проверить, что полученный график представляет собой прямую линию, взяв более двух точек. и объединение их в виде уравнения представляет собой линейное уравнение первой степени.Полный сюжет график с использованием 5 точек (1,5) , (0,3) , (–1,1) , (–2, –1) , (–3, –3) показан ниже, который представляет собой прямую линию, как и ожидалось.

Линейное дифференциальное уравнение — обзор

Закон охлаждения Ньютона

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка могут использоваться для решения множества задач, связанных с температурой.Например, судмедэксперт может установить время смерти в деле об убийстве, химик может определить время, необходимое для охлаждения пластиковой смеси до температуры затвердевания, а инженер может спроектировать систему охлаждения и обогрева производственного предприятия. Хотя каждая из этих задач различна, каждая из них зависит от основного принципа, Закона охлаждения Ньютона , который используется для построения дифференциального уравнения, связанного с каждой задачей.

Закон охлаждения Ньютона Скорость, с которой температура T(t) изменяется в охлаждающемся теле в момент времени t, пропорциональна разности между температурой тела T(t) и температура Ц окружающей среды.

Эта ситуация представлена ​​в виде начальной задачи первого порядка

dTdt=k(T−Ts),T(0)=T0,

где Ts=Ts(t) – температура окружающей среды, T0 — начальная температура тела, k — константа пропорциональности. Уравнение dT/dt=k(T−Ts) разделимо, и разделение переменных дает нам

1T−TsdT=kdt,

с последующим интегрированием дает ln⁡|T−Ts|=kt+C. Используя свойства натуральных логарифмов и упрощая, получаем T=C1ekt+Ts, где C1=eC.Применение начального условия подразумевает, что T0=C1+Ts, поэтому C1=T0-Ts. Следовательно, решение IVP равно

(3.9)T=(T0−Ts)ekt+Ts.

Если k<0, limt→∞⁡ekt=0. Следовательно, в этом случае limt→∞⁡T(t)=Ts, поэтому температура тела приближается к температуре окружающей среды.

Вместо того, чтобы решать ОДУ как разделимое уравнение, мы могли бы решить это уравнение, рассматривая его как линейное уравнение первого порядка, записав уравнение в стандартной форме как T′−kT=−kTs.

Некоторые предпочитают использовать для решения этого уравнения метод неопределенных коэффициентов.Для этого сначала вспомним, что решение y′+ky=0, где k — константа, есть y=Ce−kt. Чтобы воспользоваться этим замечанием, перепишем dT/dt=k(T−Ts), T(0)=T0 в виде dT/dt−kT=−kTs, T(0)=T0. Соответствующее однородное уравнение dT/dt−kT=0 имеет решение Th=Cekt. Частное решение неоднородного уравнения dT/dt−kT=−kTs примет вид Tp=A, где A — константа, подлежащая определению. При Tp=A дифференцирование дает нам Tp′=0, потому что производная константы равна 0. С этой заменой в уравнении Ньютона для его закона охлаждения мы имеем

Закон охлаждения Ньютона назван в честь английского ученого и математика сэра Исаака Ньютона (1643–1727). «Истина всегда находится в простоте, а не в множественности и смешении вещей». Ньютон, вероятно, открыл закон охлаждения, проводя эксперименты с термометрами, которые он изобрел в конце 1690-х годов. Впервые он сообщил о своем открытии в мае 1701 года.

Tp′−kTp=−kTs0−k⋅A=−kTsA=Ts.

В (3.11) k считается положительным. Объясните, почему коэффициент пропорциональности отрицателен?

Это означает, что частным решением закона охлаждения Ньютона является Tp=Ts. Таким образом, общее решение закона охлаждения Ньютона имеет вид T=Th+Tp=Cekt+Ts. Решение этого уравнения для T(0)=T0 дает нам

(3.10)T=(T0−Ts)ekt+Ts,

, что неудивительно, то же самое, что мы получили в (3.9). В (3.11) k отрицательно.Таким образом, мы обычно записываем решение закона охлаждения Ньютона как

(3. 11)T=(T0−Ts)e−kt+Ts,

, где k — положительная константа.

Чтобы лучше понять модель, предположим, что k<0. Если T>Ts, то dT/dt<0, поэтому T(t) — убывающая функция. Точно так же, если T0, поэтому T(t) является возрастающей функцией. Следовательно, объект охлаждается, если температура окружающей среды ниже температуры объекта, и нагревается, если температура окружающей среды ниже температуры объекта.

Пример 3.6

Пирог достают из печи при температуре 350°F и помещают для охлаждения в комнату с температурой 75°F. Через 15 минут пирог имеет температуру 150∘F. Определите время, необходимое для охлаждения пирога до температуры 80∘F.

Решение: В этом примере T0=350 и Ts=75. Подставив эти значения в T=(T0−Ts)ekt+Ts, получим T(t)=(350−75)ekt+75=275ekt+75. Для решения задачи нужно найти ek (или k ). Мы знаем, что T(15)=150, поэтому T(15)=275e15k+75=150.Решение этого уравнения относительно ek дает нам

275e15k=75e15k=3/11или(ek)15=3/11soek=(3/11)1/15.

Таким образом, T(t)=275(эк)t+75=275(3/11)t/15+75. Чтобы найти значение t , для которого T(t)=80, решаем уравнение 275(3/11)t/15+75=80 для t :

275(3/11)t/15 =5(3/11)t/15=1/55ln⁡(3/11)t/15=ln⁡1/55=−ln⁡55t15ln⁡(3/11)=−ln⁡55t=−15⋅ln ⁡55ln⁡(3/11)≈46,264.

Таким образом, пирог достигнет температуры 80∘F примерно через 46 минут.

Интересная проблема, связанная с этим примером, состоит в том, чтобы определить, достигает ли пирог комнатной температуры.Из формулы T(t)=275(3/11)t/15+75 заметим, что 275(3/11)t/15>0, поэтому T(t)=275(3/11)t/15 +75>75. Следовательно, в соответствии с нашей моделью пирог никогда не достигает комнатной температуры. Однако мы видим, что его температура приближается к 75°F, когда t увеличивается, потому что

limt→∞⁡(275(3/11)t/15+75)=75. □

При расследовании убийства может иметь значение время смерти. В некоторых ситуациях пользуются тем, что нормальная температура тела большинства здоровых людей составляет 98. 6∘F вместе с законом охлаждения Ньютона можно использовать для приблизительного определения времени смерти.

Пример 3.7

Предположим, что когда мисс Скарлетт обнаружила тело мистера Бодди в оранжерее в полдень, его температура была 82∘F. Через два часа температура трупа достигла 72∘F. Если температура в оранжерее была 65 градусов по Фаренгейту, каково приблизительное время смерти мистера Бодди?

Решение: Эта задача решается так же, как и в предыдущем примере. Пусть T(t) обозначает температуру тела в момент времени t , где T(0) представляет температуру тела на момент его обнаружения, а T(2) представляет температуру тела через два часа после его обнаружения.В этом случае мы имеем T(0)=82 и Ts=65, и подставляя эти значения в T(t)=(T0−Ts)ekt+Ts, получаем T(t)=(82−65)ekt+65= 17экт+65. Используя T(2)=72, мы решаем уравнение T(2)=17e2k+65=72 для ek, чтобы найти ek=(7/17)1/2. Таким образом, T(t)=17(ek)t+65=17(7/17)t/2+65. Чтобы найти значение t , для которого T(t)=98,6, мы решаем уравнение 17(7/17)t/2+65=98,6 для t и получаем

t=2ln⁡(1,97647)ln ⁡7−ln⁡17=−1,53569.

Этот результат означает, что время смерти наступило приблизительно 1.53 часа до того, как тело было обнаружено, как мы видим на рис. 3.4. Таким образом, время смерти было примерно 10:30 утра, потому что тело было обнаружено в полдень. □

Рисунок 3.4. График T ( t )=17(7/17) ^{t /2} +65,

В каждом из предыдущих случаев температура окружающей среды считалась постоянной. Однако это не обязательно так. Например, определение температуры внутри здания в течение 24 часов более сложно, поскольку температура снаружи меняется.Если предположить, что в здании нет системы отопления или кондиционирования воздуха, дифференциальное уравнение, которое необходимо решить, чтобы найти температуру u(t) в момент времени t внутри здания, будет равно

dudt=k(C(t)− u(t))

где C(t) — функция, описывающая наружную температуру, а k>0 — константа, зависящая от изоляции здания. Согласно этому уравнению, если C(t)>u(t), то du/dt>0, что означает, что u увеличивается. Однако если C(t) u уменьшается.

Пример 3.8

Предположим, что в течение апреля в Атланте, штат Джорджия, температура наружного воздуха в F∘ определяется выражением C(t)=70−10cos⁡(πt/12), 0⩽t⩽24. (Это означает, что среднее значение C(t) равно 70°F.) Определите температуру в здании, начальная температура которого равна 60°F, если k=1/4.

Решение: Задача с начальными значениями, которую мы должны решить, это

dudt=14(70−10cos⁡(π12t)−u),u(0)=60.

Дифференциальное уравнение можно решить, если записать его в виде dudt+14u=14(70−10cos⁡(π12t)) и использовать интегрирующий коэффициент.Это дает нам

u(t)=109+π2(63+7π2−9cos⁡(π12t)−3πsin⁡(π12t))+Ce−t/4.

Затем мы применяем начальное условие u(0)=60 для определения произвольной константы C и получаем решение

u(t)=109+π2(63+7π2−9cos⁡(π12t)−3πsin⁡( π12t))−10π29+π2e−t/4,

, что изображено на рис. 3.5. Из графика видно, что температура достигает своего максимума (примерно 72∘F) около t=15,5 ч, что соответствует 15:30. □

Рисунок 3.5. Моделирование температуры в здании в течение суток.

В какое время суток температура в здании повышается (понижается) с наибольшей скоростью?

Во многих случаях для контроля температуры в здании устанавливается система отопления или охлаждения. Еще одним фактором в определении температуры, который мы проигнорировали в предыдущих расчетах, является выделение тепла обитателями здания, в том числе людьми и машинами. Мы исследуем включение этих факторов в упражнения в конце этого раздела.

17.1: Линейные уравнения второго порядка — Mathematics LibreTexts

При работе с дифференциальными уравнениями обычно цель состоит в том, чтобы найти решение. Другими словами, мы хотим найти функцию (или функции), удовлетворяющую дифференциальному уравнению. Техника, которую мы используем для нахождения этих решений, различается в зависимости от формы дифференциального уравнения, с которым мы работаем. Дифференциальные уравнения второго порядка имеют несколько важных характеристик, которые могут помочь нам определить, какой метод решения использовать. 3y=0.\номер\]

Обратите внимание, что \(y\) и его производные появляются в относительно простой форме. Они умножаются на функции \(х\), но сами не возводятся ни в какие степени и не перемножаются вместе. Как обсуждалось ранее, уравнения первого порядка с подобными характеристиками называются линейными. То же самое относится и к уравнениям второго порядка. Также обратите внимание, что все члены этого дифференциального уравнения включают либо \(y\), либо одну из его производных. Нет терминов, включающих только функции \(x\).2\) слагаемое в правой части знака равенства не содержит \(y\) или каких-либо его производных. Следовательно, это дифференциальное уравнение является неоднородным .

Определение: однородные и неоднородные линейные уравнения

Дифференциальное уравнение второго порядка является линейным, если его можно записать в виде

\[a_{2}(x)y»+a){1}(x)y’+a_{0}(x)y=r(x), \label{17.1}\]

, где \(a_{2}(x), a_{1}(x), a_{0}(x),\) и \(r(x)\) — вещественнозначные функции, а \(a_{2 }(x)\) не тождественно равен нулю. {y’}\), также запрещены в линейных дифференциальных уравнениях.

Обратите внимание, что уравнения не всегда могут быть представлены в стандартной форме (форма, показанная в определении). Может быть полезно переписать их в такой форме, чтобы решить, являются ли они линейными или линейное уравнение однородным.

Пример \(\PageIndex{1}\): классификация уравнений второго порядка

Классифицируйте каждое из следующих уравнений как линейное или нелинейное. Если уравнение линейное, определите далее, является ли оно однородным или неоднородным.2\) срок.

Это уравнение нелинейное. Обратите внимание, что в этом случае \(x\) является зависимой переменной, а \(t\) является независимой переменной. Второй член включает произведение \(x\) и \(x’\), поэтому уравнение нелинейно. 3y=0\)

Подсказка

При необходимости напишите уравнение в стандартной форме (уравнение \ref{17.1}). Проверьте степени или функции \(y\) и его производных.

Ответить на

Нелинейная Линейная

Ответ б

неоднородный

Далее в этом разделе мы рассмотрим некоторые методы решения определенных типов дифференциальных уравнений.2у»-ху’+у=0. \метка{ex2}\]

Подсказка

Вычислите производные и подставьте их в дифференциальное уравнение.

Ответить

Требуется вычислить \(y’\) и \(y»\).

\[у’ = \dfrac{dy}{dx} = 4x \нечисло\]

и

\[y» = \dfrac{dy’}{dx} = 4 \номер\]

Вставка этих производных вместе с \(y=2x^2\) в уравнение \ref{ex2}. 2 &\overset{\checkmark}{=} 0 \end{align*} \]

Да, это решение дифференциального уравнения в уравнении \ref{ex2}.

Хотя простое нахождение любого решения дифференциального уравнения важно, математики и инженеры часто хотят выйти за рамки поиска одного решения дифференциального уравнения и найти все решения дифференциального уравнения. Другими словами, мы хотим найти общее решение . Как и в случае с дифференциальными уравнениями первого порядка, общее решение (или семейство решений) дает все множество решений дифференциального уравнения.Важное различие между уравнениями первого и второго порядка заключается в том, что в случае уравнений второго порядка нам обычно нужно найти два разных решения уравнения, чтобы найти общее решение. Если мы находим два решения, то любая линейная комбинация этих решений также является решением. Сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.

Теорема: ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Если \(y_1(x)\) и \(y_2(x)\) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то функция

\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x), \метка{супер}\]

, где \(c_1\) и \(c_2\) — константы, также является решением. {-4t},\), что также является решением дифференциального уравнения. Оказывается, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, нужно найти два линейно независимых решения . Мы определяем эту терминологию здесь.

Определение: линейно зависимые функции

Набор функций \(f_1(x),\, f_2(x), \ldots ,f_n(x)\) называется линейно зависимым , если существуют константы \(c_1,\, c_2, \ldots c_n,\), не все нули, такие что

\[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+ \cdots +c_nf_n(x)=0\]

для всех \(x\) на интересующем интервале.Набор функций, который не является линейно зависимым, называется линейно независимым .

В этой главе мы обычно проверяем наборы только из двух функций на линейную независимость, что позволяет нам упростить это определение. С практической точки зрения мы видим, что две функции линейно зависимы, если одна из них тождественно равна нулю или если они постоянно кратны друг другу.

Сначала покажем, что если функции удовлетворяют приведенным ранее условиям, то они линейно зависимы.Если одна из функций тождественно равна нулю, скажем, \(f_2(x) \equiv 0\) — тогда выбирают \(c_1=0\) и \(c_2=1,\), и условие линейной зависимости выполняется. Если, с другой стороны, ни \(f_1(x)\), ни \(f_2(x)\) тождественно равны нулю, но \(f_1(x)=Cf_2(x)\) для некоторой константы \(C, \), затем выберите \(c_1=C\) и \(c_2=-1,\), и снова условие будет выполнено.

Далее мы показываем, что если две функции линейно зависимы, то либо одна из них тождественно равна нулю, либо они постоянно кратны друг другу.Предположим, что \(f_1(x)\) и \(f_2(x)\) линейно независимы. Затем существуют константы \(c_1\) и \(c_2,\), не равные нулю, такие, что

\[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)=0\]

для всех \(x\) на интересующем интервале. Тогда

\[c_1f_1(x)=-c_2f_2(x).\]

Теперь, поскольку мы заявили, что \(c_1\) и \(c_2\) не могут быть равны нулю, предположим, что \(c_2 \neq 0. \) Тогда возможны два случая: либо \(c_1=0\), либо \(c_1=0\) или \(c_1\neq 0.\) Если \(c_1=0,\), то

\[\begin{align*} 0 &=-c_2f_2(x) \\[4pt] 0 &=f_2(x), \end{align*}\]

, поэтому одна из функций тождественно равна нулю.Теперь предположим, что \(c_1 \neq 0.\) Тогда

\[f_1(x)=\left(- \dfrac{c_2}{c_1}\right)f_2(x)\]

и мы видим, что функции постоянно кратны друг другу.

Теорема: линейная зависимость двух функций

Две функции \(f_1(x)\) и \(f_2(x),\) называются линейно зависимыми, если одна из них тождественно равна нулю или если \(f_1(x)=Cf_2(x)\ ) для некоторой константы \(C\) и для всех \(x\) на интересующем интервале. Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми .{-3x}\)

1. \(f_1(x)=3x\) и \(f_2(x)=3x+1\)

Раствор