Математика для блондинок: Система уравнений приведение коэффициентов

Не знаю, рассказывали вам такое в школе или нет, но сейчас мы будем решать систему двух уравнений с двумя неизвестными методом сложения с приведением коэффициентов при неизвестных.

Идея проста, как сама математика. Основана на том, что знают все. Если уравнение умножить на любое число, равенство останется неизменным. Дальше используем принцип приведения дробей к общему знаменателю. Помните, если дроби привести к общему знаменателю, то с ними тогда можно выполнять сложение или вычитание, а в некоторых случаях можно вообще избавиться от знаменателя. Мы же будем приводить уравнения к общему коэффициенту перед неизвестным.

6х + 5у = -8
4х + 7у = 2

Если перед иксами или игреками будут стоять одинаковые коэффициенты, тогда при вычитании одного уравнения из другого одно неизвестное исчезнет. Останется решить одно уравнение с одним неизвестным.

Чтобы избавиться от иксов, перед ними должно стоять число 6*4=24. Если хорошенько подумать, то и число 12 вполне годится: 6*2=12; 4*3=12. И так, для того, чтобы избавиться от иксов, первое уравнение нужно умножить на 2, а второе — на 3. Тогда перед иксами будет одинаковый коэффициент 12.

6х + 5у = -8    *2
4х + 7у = 2     *3

(6х)*2 + (5у)*2 = (-8)*2
(4х)*3 + (7у)*3 = 2*3

12х + 10у = -16
12х + 21у = 6

Вот теперь мы можем с чистой совестью приступать к вычитанию. Можно из первого уравнения вычесть второе, можно из второго вычесть первое. В любом случае вместо икса мы получим ноль. Лично мне больше нравится второй вариант. Во-первых, у нас не будет отрицательного игрека. Во-вторых, мы по ходу избавимся от минуса перед числом 16. И так, от второго уравнения отнимаем первое:

(12х-12х) + (21у-10у) = 6-(-16)
0 + 11у = 22
11у = 22
у = 2

Всё, с одним неизвестным мы покончили, приступим ко второму. В самое первое уравнение подставляем значение у=2.

6х + 5*2 = -8
6х + 10 = -8
6х = -8 — 10
6х = -18
х = -3

Оба неизвестных найдены, система уравнений решена. Теперь можно проделать то же самое, но избавиться не от иксов, а от игреков. Общий коэффициент будет 5*7=35. Первое уравнение умножаем на 7, второе умножаем на 5:

6х + 5у = -8    *7
4х + 7у = 2     *5

(6х)*7 + (5у)*7 = (-8)*7
(4х)*5 + (7у)*5 = 2*5

42х + 35у = -56
20х + 35у = 10

В этом случае лучше из первого уравнения вычитать второе — не будет минуса перед иксом.

(42х-20х) + (35у-35у) = -56 — 10
22х = -66
х = -3

Подставляем икс в первое уравнение и получаем игрек.

6*(-3) + 5у = -8

-18 + 5у = -8
5у = -8 + 18
5у = 10
у = 2

Как видите, оба решения приводят к одинаковому результату. Это основной закон математики такой — если задача решена правильно, то любой другой ПРАВИЛЬНЫЙ способ решения даст точно такой же результат.

Решить систему уравнений методом алгебраического сложения

☰

Суть данного метода заключается в том, чтобы сложить друг с другом левые части уравнений системы, приравняв к ним сумму правых частей тех же уравнений. Сложение может быть заменено вычитанием. Основная цель подобных действий – это избавиться от одной из переменных, после чего решить полученное уравнение с одной переменной легко.

Рассмотрим пример:
| 3x – y + 2 = 0
| –x + y + 4 = 0

Сложим уравнения системы:
(3x – y + 2) + (–x + y + 4) = 0 + 0
3x – y + 2 – x + y + 4 = 0
2x + 6 = 0

В результате мы получили уравнение с одной переменной, которое просто решить:
x = –6 / 2
x = –3

Подставляя x в любое линейное уравнение системы, получаем y:
–(–3) + y + 4 = 0
y = –7

Таким образом решением предложенной системы линейных уравнений с двумя переменными является точка с координатами (–3; –7).

Рассмотрим другой пример:
| 2x + 6y = 120
| 2x – 2y = 20

Здесь уже надо не складывать левые и правые части уравнений, а вычитать:
(2x + 6y) – (2x – 2y) = 120 – 20
2x + 6y – 2x + 2y = 100

8y = 100
y = 12.5

Находим x:
2x – 2 * 12.5 = 20
2x = 20 + 25
x = 45 / 2
x = 22.5
Ответ: (22.5; 12.5)

Теперь рассмотрим более сложный третий пример, когда ни при сложении, ни при вычитании ни одна из переменных не уничтожается:
| –4.5x – 2y + 12 = 0
| 10x + 3y – 7.5 = 0

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
| 3 * (–4.5x – 2y + 12) = 0 * 2
| 2 * (10x + 3y – 5) = 0 * 2

Тогда получим такую систему линейных уравнений с двумя переменными:
| –13.5x – 6y + 36 = 0
| 20x + 6y – 10 = 0

Как видим, при сложении уравнений переменная y уничтожается и в итоге получается уравнение с одной переменной:
20x – 10 – 13.5x + 36 = 0
6.5x = –26
x = –26 / 6.5
x = –4

Находим y:
–4.5 * (–4) – 2y + 12 = 0
18 – 2y + 12 = 0
–2y = –30
y = 15

Ответ: x = –4, y = 15

Метод алгебраического сложения когда складывать, а когда вычитать?

Метод алгебраического сложения для решения систем уравнений с двумя переменными. Метод замены переменной и алгебраического сложения и вычитания: Для начала метод алгебраического сложения. Решение: В двух уравнениях присутствует одна и та же переменная: например, 3y, только с разными знаками. Следовательно, их можно алгебраически сложить и мы получим равносильную систему; Мы таким образом избавимся от переменной у и получим простое линейное уравнение одной переменной. Итак, найдем значение первой переменной: x . теперь подставляем это значение в любую из уравнений, чтобы найти значение второй переменной у Метод алгебраического вычитания почти такой же как и метод алгебраического сложения, только вместо того, чтоб складывать уравнения, мы вычитаем одно из другого. Суть методов избавиться от одной переменной. 8х+4у=12 2х+4у=6 4у с одинаковыми знаками, значит будем вычитать из первого уравнения второе, первое остается без изминения 8х+4у=12 8х-2х+4у-4у=12-6 Приведем подобные во втором уравнении получим 8х+4у=12 6х=6 Из второго уравнения х=1, подставляем в любое из уравнений и найдем у, например подставим в первое уравнение 8*1+4у=12 4у=4 у=1 Ответ Х=1,у=1 Если бы была система 8х-4у=12 2х+4у=6 4у с разными знаками, следовательно будем складывать, чтобы избавиться от переменной у, первое уравнение остается без изменений, получим 8х-4у=12 8х+2х-4у+4у=12+6 Приведем подобные во втором уравнении системы 8х-4у=12 10х=18 Находим х, подставляем в любое из уравнений и находим у Если сложение и вычитание уравнений не поможет избавиться от одной переменной, необходимо привести коэффициенты одного из уравнений, чтобы при сложении или вычитании можно было бы избавиться от одной из переменной, например 2х+3у=5 3х-10у=4 Первое уравнение умножим на 3, второе на 2 и вычтем из первого уравнения второе, первое уравнение остается без изменений 2х+3у=5 3*2х-2*3х+3*3у-2*(-10)у=3*5-2*4 Приведем подобные во втором уравнении, найдем у, подставив его в первое уравнение найдем х 2х+3у=5 29у=7 УДАЧИ!

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

 

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, как сейчас увидите.

 

Пример 4:

Решить систему линейных уравнений:

Мы взяли ту же систему, что и в первом примере.

Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной y одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная

y.

В этом и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):

.

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:

Ответ: x = -4, y = 1.

 

Пример 5:

Решить систему линейных уравнений:

В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:

Как видим, числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной x:

Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, просто перемножьте коэффициенты: 3∙4 = 12.

Далее первое уравнение умножаем на число

.

Второе уравнение умножаем на число . В результате система придет к виду:

 

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.

На всякий случай приведём еще раз действия, которые проводятся мысленно:

Следует отметить, что можно было бы сделать и наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Начисто запишем:

.

 

Теперь подставим вычисленное значение переменной (y) в одно из уравнений системы. Например, в первое:

.

Ответ: .

 

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной (y):

.

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.

Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4:

.

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:

Ответ:

 

Пример 6:

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

 

 

Равносильные уравнения. Преобразование уравнений

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

x² + 2 = 3x   и   x² — 3x + 2 = 0

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 – это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

x² + 5 = 9

можно преобразовать в такое:

5 + x² = 9

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

2x + 3x = 15

заменив его равносильным уравнением

5x = 15

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

1. Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

   Рассмотрим уравнение x — 5 = 7. Прибавив к обеим частям уравнения число 5

   x — 5 + 5 = 7 + 5

   получим уравнение x = 12. Если в уравнение x — 5 = 7 вместо x подставить число 12, то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число 5, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

   Из данного свойства можно вывести три следствия:

   • Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).

     Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим

     x = 10

   • Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

     Рассмотрим уравнение 5x — 4 = 12 + x. Прибавим к обеим частям уравнения по 4:

     5x — 4 + 4 = 12 + x + 4

     Получим:

     5x = 12 + x + 4

     то есть член 4 перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения 5x — 4 = 12 + x по x:

     5x — 4 — x = 12 + x — x

     Получим:

     5x — 4 — x = 12

     То есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.

   • Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.

     Перенесём все члены левой части уравнения 5x — 4 = 12 + x в правую, а все члены правой в левую:

     -12 — x = -5x + 4

     И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:

     -5x + 4 = -12 — x

     То есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.

     Данное преобразование можно также рассматривать как умножение обеих частей уравнения на -1.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

   Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3

   3x : 3 = 12 : 3

   получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

   Из данного свойства можно вывести два следствия:

   • Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом, упростив его.

     Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:

     2x + 1 = 5

   • Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.

     Возьмём уравнение:

     

     После приведения всех членов к общему знаменателю получим:

     

     Теперь, умножив все члены уравнения на 4, или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:

     4x + 12 — x = 2(26 — x)

Как решить уравнение способом сложения:7x+2y=9, 5x+2y=11

Эт система.. . Во втором примере меняем знаки получается -5x-2y=-11 складываем оба примера получается что y сокращаются 2x=-2 выходит что x=-1 далее подставляешь x в любое уравнение и выходит что y=8

Умножьте любое из уравнений на -1 и сложите.

Из первого вычесть второе.

А если вычесть из одного уравнения другое? Получится: 2х = -2, т. е. х = -1. Отсюда у = 8

Не уравнение, а сиситему уравнений, к левой части первого уравнения, плюсуем левую часть второго, с правыми то же, между ними знак равенства. В вашем случае лучше отнять.

Умножь второе ур-ние на — 1, 7х-5х; 2у-2у; 9-11. получаем 2х=-2, х=-1, 2у=16, у=8.

Скажу сразу: В первом случае икс и игрек = -1. 2) х= 1.5 у= 1.75

Открой учебник и прочитай тему «Решение системы уравнений методом сложения», там приводятся примеры решений и начинай делать все как там написано. Очень интересно. у тебя получится. Научишься решать раз и навсегда и спрашивать не надо. Эта тема очень важна в математике, надо научиться самой решать

Почему можно вычитать или складывать одно уравнение системы с другим?

Если совсем просто и тупо, чтоб стало понятно, можно так написать: Если имеется система: а + в = 2 u + v = 3 То очевидно следующее равенство: (а + в) + (u + v) = 2 + 3 Математически так оно и происходит при сложении уравнений. Осталось только раскрыть скобки — привести подобные. Когда ты складываешь почленно уравнения — на самом деле ты сразу приводишь подобные. Попробуй сложить два уравнения как я написал — ты увидишь, что в процессе раскрытия скобок и приведения подобных ты как раз и складываешь иксы с иксами, игреки с игреками и т. д.

Здравствуй, Андрей, обратись сюда — vk.com/reshimdzru, делают быстро и качественно!

к левой и правой части уравнения можно прибавить или отнять любое число в уравнении левая часть равна правой по определению следовательно можно складывать левые и правые части из разных уравнений

<a rel=»nofollow» href=»https://www.berdov.com/docs/sistema-uravneniy/sposob-slojeniya-sistem-uravneniy/» target=»_blank»>https://www.berdov.com/docs/sistema-uravneniy/sposob-slojeniya-sistem-uravneniy/</a>