длина сторон, сумма углов. Описанный тупоугольный треугольник

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют «простейший многоугольник» с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является тупым углом.

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180^о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90^о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения площади треугольника математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90^о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону – на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2 : 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр – это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном – за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R – это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150^о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется квадратному корню из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p – это полупериметр треугольника, c, v, b – его стороны.

fb.ru

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника
5. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Данный вывод можно сделать на основе теоремы о сумме углов треугольника, так как если в треугольнике один из углов тупой или прямой, то сумма других двух не будет превосходить 90⁰, т.е. каждый из них будет являться острым.

1. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые.

2. Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой.

3. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой. У данного треугольника сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Неравенство треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 257, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 492, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 598, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 689, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1027, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1222, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1249, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1250, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2019

Пользовательское соглашение

Copyright

budu5.com

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Теорема о сумме углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Из теоремы следует, что если в треугольнике один из углов является прямым или тупым, то сумма двух других углов данного треугольника не больше 90 градусов, а следовательно, каждый из них острый.

По величине углов выделяют следующие виды треугольников.

Определение:

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые.

Определение:

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой.

Определение:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из его углов является прямым.

Нужно знать, что стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия.

Итак, две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Если взять прямоугольный лист бумаги и разрезать его, получим:

Получим две модели прямоугольного треугольника.

Пример.

Доказать, что угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, — прямой.

Для начала соединим точку В с точкой О, которая является центром нашей окружности. Так как отрезки ОА, ОВ и ОС равны как радиусы окружности, то треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными. А значит, у них углы при основаниях равны. Обозначим градусные меры этих углов m и n. Тогда ∠АОВ=2n, так как он является внешним углом треугольника ВОС, смежным с ∠ВОС. А нам известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

А так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то:

Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что если в равнобедренном треугольнике АВС один из углов равен 60 градусов, то он равносторонний.

Если ∠А при основании равнобедренного треугольника АВС равен 60 градусов, то и второй ∠С при основании равен 60 градусам. Получаем:

Следовательно, треугольник АВС равносторонний.

Пусть ∠В при вершине равнобедренного треугольника АВС равен 60 градусам. Тогда получим:

А так как углы А и С- углы при основании равнобедренного треугольника, то они равны между собой и равны 60 градусам. А следовательно, и в этом случае треугольник АВС является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике АВС медиана, проведённая к гипотенузе АВ, равна половине гипотенузы.

Отложив ∠2=∠1, получаем:

Треугольник ADC является равнобедренным. А следовательно, отрезок DA=DC.

Так как по условию угол АВС — прямой, то:

Известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то есть:

Тогда из равенств получаем:

Из этого следует, что ВСD равнобедренный треугольник, у которого стороны DB и DC равны.

Следовательно, СD - медиана и СD равняется половине гипотенузы АВ. Что и требовалось доказать.

videouroki.net

Как выглядят прямоугольные треугольники 🚩 как выглядит правильный треугольник 🚩 Школы

Обыкновенный треугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая относится к разряду многоугольников. При этом она обладает рядом характерных особенностей, которые отличают ее от других видов многоугольников, например, параллелепипедов, пирамид и других.
Во-первых, как следует из ее названия, она имеет три угла, которые могут иметь любую величину больше 0 и меньше 180 градусов. Во-вторых, эта фигура имеет три вершины, каждая из которых одновременно является вершиной одного из указанных трех углов. В-третьих, эта фигура имеет три стороны, которые соединяют упомянутые вершины. Таким образом, вершины, стороны и углы являются ключевыми элементами каждого треугольника, которые определяют его геометрические свойства. Кроме того, поскольку эти элементы так важны для понимания его свойств, им принято придавать обозначения, позволяющие однозначно идентифицировать каждый из элементов. Так, вершины треугольника обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например, A, B и C. Аналогичные обозначения имеют углы треугольника, лежащие у этих вершин. Эти обозначения, в свою очередь, определяют обозначения других элементов: так, сторона треугольника, лежащая между двумя вершинами, обозначается сочетанием обозначений этих вершин. Например, сторона, лежащая между вершинами А и В, обозначается АВ.
Прямоугольный треугольник — это такой тип треугольника, у которого одна из вершин составляет прямой угол, то есть равна 90 градусам. Таким образом, поскольку в традиционной геометрии сумма углов треугольника составляет 180 градусов, остальные два угла такого треугольника должны быть острыми, то есть составляющими мене 90 градусов. При этом стороны прямоугольного треугольника, в отличие от других типов этой геометрической фигуры, имеют специальные обозначения. Так, самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла, носит название гипотенузы. Остальные две стороны всегда бывают короче гипотенузы и называются катетами. Соотношение этих сторон определяется известной теоремой, которая по имени ее создателя носит название теоремы Пифагора. Она устанавливает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов прямоугольного треугольника. Так, например, если мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами АВ, ВС и АС, в котором угол С является прямым, квадрат гипотенузы АВ будет равен сумме квадратов катетов ВС и ВС, между которыми расположен прямой угол.

www.kakprosto.ru