Виды функций

Постоянная функция. Эта функция задана формулой  у = b, где b – некоторое число. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. Графиком функции у = 0 является ось абсцисс.

Прямая пропорциональность. Эта функция задана формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. 

Линейная функция. Такая функция задана формулой у = kx + b, где k и b – действительные числа. Графиком линейной функции является прямая.

Графики линейных функций могут пересекаться или быть параллельными.

Так, прямые графиков линейных функций у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b₂ пересекаются, если k₁ ≠ k₂; если же k₁ = k₂, то прямые параллельны.

Обратная пропорциональность – это функция, которая задана формулой у = k/x, где k ≠ 0. K называется коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Функция у = х² представлена графиком, получившим название парабола: на промежутке [-~; 0] функция убывает, на промежутке [0; ~] функция возрастает.

Функция у = х³ возрастает на всей числовой прямой и графически представлена кубической параболой.

Степенная функция с натуральным показателем. Эта функция задана формулой у = хⁿ, где n – натуральное число. Графики степенной функции с натуральным показателем зависят от n. Например, если n = 1, то графиком будет прямая (у = х), если n = 2, то графиком будет парабола и т.д.

Степенная функция с целым отрицательным показателем представлена формулой у = х^—

n, где n – натуральное число. Данная функция определена при всех х ≠ 0. График функции также зависит от показателя степени n.

Функция у = ˅х. Такая функция имеет смысл при х  > или = 0. Функция у = ˅х отличается тем, что она не является ни четной, ни нечетной.

Степенная функция с положительным дробным показателем. Эта функция представлена формулой у = х^r, где r – положительная несократимая дробь. Данная функция также не является ни четной, ни нечетной.

Закрепим изученный материал.

Задание 1.

Построим график функции у = х².

Решение.

Для этого выберем несколько значений х и найдем соответствующие им значения у.

1.Если х = 0, то у = 0.

2. Если х = 1, то у = 1.

3. Если х = 3, то у = 9.

4. Если х = 5, то у = 25.

5. Если х = -1, то у = 1.

6. Если х = -3, то у = 9.

7. Если х = -5, то у = 25 и т.д.

Следовательно, наши «опорные» точки имеют координаты (0; 0), (1; 1), (3; 9), (5; 25), (-1; 1) и т.д.

Ответ: нашим графиком будет парабола.

Задание 2.

Построим график функции у = х³.

Решение.

Для этого выберем несколько значений х и найдем им соответствующие значения у.

1.Если х = 0, то у = 0.

2. Если х = 1, то у = 1.

3. Если х = 2, то у = 8.

4. Если х = 3, то у = 27.

5. Если х = -1, то у = -1.

6. Если х = -2, то у = -8.

7. Если х = -3, то у = -27 и т.д.

Следовательно, наши «опорные» точки имеют координаты (0; 0), (1; 1), (2; 8), (3; 27), (-1; -1) и т.д.

Ответ: нашим графиком будет кубическая парабола.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Виды функций

БГЭУ 2006	лекции по высшей математике для студентов I курса
	ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

бесконечно много корней y , то в общем случае неявная функция является

многозначной.

Разрешая уравнение x2 + y2 −1 = 0 из примера 1 относительно y получаем

две явных однозначных функции: y = 1 − x2 и y = − 1 − x2 , графики которых

представляют собой верхнюю и нижнюю полуокружности.

Уравнение Кеплера элементарными средствами не может быть разрешено относительно y . В таком случае функцию y приходится изучать, пользуясь

непосредственно уравнением (9.3), определяющим эту функцию.

Функция называется параметрически заданной, если она описывается множеством точек ( x, y ), где

x = x(t)

t [a,b] , t называется параметром. (9.4)

y = y(t)

x = cost

Пример 4. t [0,2π] –параметрическое задание окружности с центом

y = sin t

в начале координат и единичным радиусом. Действительно, возводя обе части каждого уравнения совокупности в квадрат и складывая полученные

результаты, получаем x2 + y2 =1.

Пусть f : X →Y , g :Y → Z . Композицией функций	f , g называется
функция, обозначаемая g D f : X → Z и определяемая как
def	(9.5)
(g D f )(x) = g( f (x))

Правая часть в (9.5) показывает, что значение композиции в точке x вычисляется в результате последовательного действия сначала f , а затем на

полученный результат функции g .

Пример 5. Пусть f : \ → \ и f (x) = sin x , g : \ → \ и g(x) = x2 , тогда

(g D f )(x) = (sin x)2 , а ( f D g)(x) = sin x2 .

Попутно доказано, что композиция функций не является операцией

коммутативной.			y = xα ,			y = ax (a > 0) ,
Функции:	степенная			показательная
логарифмическая		y = loga x (a > 0, a ≠1) ,			тригонометрические
y = sin x, y = cos x,	y = tgx,	y = ctgx	и	обратные	тригонометрические
y = arcsin x, y = arc cos x,		y = arctgx,	y = arcctgx , постоянные			y = c называются

основными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и

В литературе термин «композиция функций» часто встречается под названием «суперпозиция функций» или «сложная функция»

studfile.net

Определение функции

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы во множестве X, называется множеством значений функции (или областью значений).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y.

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X. Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y. На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y.

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции  f  называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x, а этому x соответствует y. Такое соответствие называют сложной функцией:  .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m) функции f, на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X, имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0:
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1)   .
При заданном значении независимой переменной x, принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)   .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)   ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n, мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция – это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-04-2018   Изменено: 08-10-2018

1cov-edu.ru

ФУНКЦИЯ — это… Что такое ФУНКЦИЯ?

ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… …   Философская энциклопедия

функция — Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… …   Справочник технического переводчика

функция — См …   Словарь синонимов

ФУНКЦИЯ — (лат. functio). В физиологии: отправление каким либо органом ему одному свойственных действий, как напр., дыхание, пищеварение. 2) в математике: величина, зависящая от другой переменной величины. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

Функция — [function] 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… …   Экономико-математический словарь

Функция — (от латинского functio исполнение, осуществление), 1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого–либо объекта в данной системе отношений (например, функция органов чувств, функция денег). 2) Функция в социологии роль,… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

ФУНКЦИЯ — (от лат. functio исполнение осуществление),..1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого либо объекта в данной системе отношений (напр., функция органов чувств, функция денег)2)] Функция в социологии роль, которую… …   Большой Энциклопедический словарь

ФУНКЦИЯ — ФУНКЦИЯ, в математике одно из основных понятий, выражение, определяющее регулярную зависимость между двумя множествами переменных величин, заключающуюся в том, что каждому элементу одного множества соответствует определенная, единственная… …   Научно-технический энциклопедический словарь

ФУНКЦИЯ — (function) Взаимосвязь между двумя и более переменными. Если у является функцией от х и записывается в виде y=f(x), то, если значение аргумента х известно, функция позволяет показывает, как найти значение у. Если у – однозначная функция от х, то… …   Экономический словарь

ФУНКЦИЯ —         (от лат. исполняю, совершаю)         центр, понятие в методологии функционального и структурно функционального анализа об в. Понятие “Ф.” стало активно использоваться в социальных науках со вт. пол. 19 в. в связи с проникновением сначала… …   Энциклопедия культурологии

dic.academic.ru

Функция. Способы задания функции. Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении графика

Если поезд движется с постоянной скоростью v км/ч, то путь s км, пройденный за время t, вычисляется по формуле s = vt. Здесь v обозначает какое – то число, а s  и t изменяются в каждый момент движения. Будем находить при данной постоянной скорости величину s в зависимости от времени движения t. Тогда t называется независимой переменной или аргументом, s  называется зависимой переменной или функцией.

Зависимость между аргументом t и функцией s записывается s(t).

Запись s(t) означает, что берутся произвольные отрезки пути и устанавливается, за какое время (при данной постоянной скорости v) может быть пройден этот путь. Например, если автомобиль движется со скоростью 50 км/ч, то на путь 100 км потребуется 100 км : 50 км/ч = 2 ч, на путь в 25 км ему потребуется 1/2  ч, на путь в 150 км/ч – 3 ч.

Если даны две переменные х и y, то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения х однозначно определить значение у.

Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.

Способы задания функции.

Функция может быть задана формулой, например:

у = 3х² – 2.

Давая произвольные значения независимой переменной х, вычисляют с помощью этой формулы соответствующие значения зависимой переменной у. Например, если х = -0,5, то с помощью формулы находим, что соответствующее значение у равно

3 · (-0,5)² – 2 = -1,25

Взяв любое значение, которое может принимать аргумент х в формуле у = 3х² – 2, можно с её помощью вычислить то единственное значение функции, которое ему соответствует.

Функция может быть задана, например, таблицей:

х	-2	-1	0	1	2	3
у	10	1	-2	1	10	25

С помощью данной таблицы можно установить, что значению аргумента – 1 соответствует значение функции 1; значению х = 2 соответствует у = 10 и т.д. При этом любому значению аргумента, включённого в таблицу, соответствует только одно значение функции.

Функция может быть задана графиком. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции.

Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

1) Область определения функции.

Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

2) Промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х₁ и х₂, причём х₁ > х₂, то у(х₁) > у(х₂).

Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х₁ и х₂, причём х₁ < х₂, то у(х₁) < у(х₂).

3) Нули функции.

Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

4) Чётность и нечётность функции.

Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = у(х).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = -у(х).

График чётной функции симметричен относительно начала координат.

Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

5) Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

у(х + Р) = у(х).

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

функция — это… Что такое функция?

ФУ́НКЦИЯ -и; ж. [от лат. functio]

1. Значение, назначение чего-л. Ф. кредита. Звательный падеж в функции именительного. Выполнять чью-л. функцию. Нести, взять на себя функцию администратора, распорядителя. // Направление деятельности в соответствии с назначением какой-л. организации, учреждения; задача, обязанность должностного лица и т.п. Ф. кооперации. Возложить на комитет функции контроля.

2. Биол. Работа, производимая органом или организмом, как проявление его жизнедеятельности. Ф. надпочечников. Восстановление нарушенных функций организма. Пищеварительная, выделительная ф. Физиологические функции. Отправлять свои функции (о действии отдельных органов).

3. Матем. Зависимость одних переменных величин от других; переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменения другой величины (аргумента). Тригонометрические функции.

4. Книжн. Явление, зависящее от другого и служащее формой его проявления, осуществления. Литература признаётся одной из функций общественного бытия.

◁ Функциона́льный (см.).

* * *

функция

I
(от лат. functio — исполнение, осуществление), 1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого-либо объекта в данной системе отношений (например, функция органов чувств, функция денег). 2) Функция в социологии — роль, которую выполняет определенный социальный институт или процесс по отношению к целому (например, функция государства, семьи и т. д. в обществе). 3) (Лингв.) назначение, роль (иногда и значение) языковой единицы или элемента языковой структуры.
II
(матем.), 1) зависимая переменная величина. 2) Соответствие у = f(х) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины х (аргумента, или независимого переменного) соответствует определённое значение другой величины y (зависимой переменной, или функции). Такое соответствие может быть задано различным образом, например формулой, графически или таблицей (типа таблицы логарифмов). С помощью функций математически выражаются многообразные количественные закономерности в природе.

Энциклопедический словарь. 2009.

dic.academic.ru

функция — это… Что такое функция?

ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… …   Философская энциклопедия

функция — Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… …   Справочник технического переводчика

функция — См …   Словарь синонимов

ФУНКЦИЯ — (лат. functio). В физиологии: отправление каким либо органом ему одному свойственных действий, как напр., дыхание, пищеварение. 2) в математике: величина, зависящая от другой переменной величины. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

Функция — [function] 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… …   Экономико-математический словарь

ФУНКЦИЯ — (от латинского functio исполнение, осуществление), 1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого либо объекта в данной системе отношений (например, функция органов чувств, функция денег). 2) Функция в социологии роль,… …   Современная энциклопедия

Функция — (от латинского functio исполнение, осуществление), 1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого–либо объекта в данной системе отношений (например, функция органов чувств, функция денег). 2) Функция в социологии роль,… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

ФУНКЦИЯ — (от лат. functio исполнение осуществление),..1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого либо объекта в данной системе отношений (напр., функция органов чувств, функция денег)2)] Функция в социологии роль, которую… …   Большой Энциклопедический словарь

ФУНКЦИЯ — ФУНКЦИЯ, в математике одно из основных понятий, выражение, определяющее регулярную зависимость между двумя множествами переменных величин, заключающуюся в том, что каждому элементу одного множества соответствует определенная, единственная… …   Научно-технический энциклопедический словарь

ФУНКЦИЯ — (function) Взаимосвязь между двумя и более переменными. Если у является функцией от х и записывается в виде y=f(x), то, если значение аргумента х известно, функция позволяет показывает, как найти значение у. Если у – однозначная функция от х, то… …   Экономический словарь

ФУНКЦИЯ —         (от лат. исполняю, совершаю)         центр, понятие в методологии функционального и структурно функционального анализа об в. Понятие “Ф.” стало активно использоваться в социальных науках со вт. пол. 19 в. в связи с проникновением сначала… …   Энциклопедия культурологии

dic.academic.ru