На данный момент практически все трейдеры используют теорию Фибоначчи при прогнозировании ценового движения. Также эту зависимость используют и при многих научных исследованиях в различных сферах. Благодаря открытию великого ученого можно создать множество полезных изобретений даже спустя много столетий.

fb.ru

Леонард Пизанский (Фибоначчи) — Интересные люди

Итальянский купец Леонардо из Пизы(1180-1240), так же известный под прозвищем Фибоначчи, был .. безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …

В век Фибоначчи возрoждение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император(с 1220 года) Священной Римской империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства.

Cтоль любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздно менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:

• Kнига абака (Liber Abaci), написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.
• Практики геометрии»( 1220г.)
• Kнига квадратов(1225г.)

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта( XVII в.).

Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был «рассудительный и эрудированный человек», а не так давно Жозеф Гиз (Joseph Gies), главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена «будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира». 

Его работы после долгих лет только сейчас переводятся с латинского языка на английский. Для тех, кто интересуется — книга, названная Ленардо Пизанский и новая математика Средних веков Жозефа и Франца Гиз (Joseph and Frances Gies) является прекрасным трактатом по веку Фибоначчи и его работам.

Хотя он и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи — это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно и две улицы, которые носят его имя, одна — в Пизе, а другая — во Флоренции. Кажется странным, что так мало посетителей к 179-ти футовой Падающей башне когда-либо слышали о Фибоначчи или видели его статую. Фибоначчи был современником Бонанна (Bonanna), архитектора Пизанской башни, строительство которой тот начал в 1174 году. Оба они сделали вклад в мировую историю, но один, чей вклад намного превосходит другого, почти неизвестен.

Последовательность Фибоначчи, числа Фибоначчи

Наибольший интерес представляет для нас сочинение «Kнига абака» («Liber Abaci»). Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

В «Liber Abaci» Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение математической задачи — нахождение формулы размножения кроликов. Числовая последовательность такова: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (далее до бесконечности).

На стр. 123- 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.»

Последовательность Фибоначчи имеет весьма любопытные особенности, не последняя из которых — почти постоянная взаимосвязь между числами.

• Сумма любых двух соседних чисел равна следующему числу в последовательности. Например: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13 и т.д.
• Отношение любого числа последовательности к следующему приближается к 0,618 (после первых четырех чисел).
  Например: 1: 1 = 1; 1: 2 = 0,5; 2: 3 = 0,67; 3: 5 = 0,6; 5: 8 = 0,625; 8: 13 = 0,615; 13: 21 = 0,619 .
  Обратите внимание, как значение соотношений колеблется вокруг величины 0,618, причем размах флуктуаций постепенно сужается; а также на величины: 1,00; 0,5; 0,67.
• Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618 (величина обратная 0,618). Например: 13: 8 = 1,625; 21: 13 = 1,615; 34: 21 = 1,619.
  .Чем выше числа, тем более они приближаются к величине 0,618 и 1,618.
• Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382, а к предшествующему через одно — 2,618. Например: 13: 34 = 0,382; 34: 13 = 2,615.

Последовательность Фибоначчи содержит и другие любопытные соотношения, или коэффициент, но те, которые мы только что привели — самые важные и известные. Как мы уже подчеркивали выше, на самом деле Фибоначчи не является первооткрывателем своей последовательности. Дело в том, что коэффициент 1,618 или 0,618 был известен еще древнегреческим и древнеегипетским математикам, которые называли его «золотым коэффициентом» или «золотым сечением». Его следы мы находим в музыке, изобразительном искусстве, архитектуре и биологии. Греки использовали принцип «золотого сечения» при строительстве Парфенона, египтяне — Великой пирамиды в Гизе. Свойства «золотого коэффициента» были хорошо известны Пифагору, Платону и Леонардо да Винчи.

Пропорции чисел Фибоначчи дают ориентиры не только возможных уровней отката, но и указывают возможную величину хода в случае продолжения тенденции. Если после хода рынок откатывается, а затем продолжает ход в том же направлении, то в типичном случае величина продолженного хода может составить 1.618.

Интересно будет увидеть, как числа Фибоначчи отражены в пропорциях человека. На рисунках мы видем, что даже наша природа пропорциональна, и соотношения эти можно выразить с помощью последовательности Фибоначчи.

Кто бы не был архитектором нашего мира, он работает идеально и гармонично. Модель нашего мира настолько сложна во всех взамосвязях и исключениях, что описываться она может только математикой.

Спасибо Wikipedia, www.koryazhma.ru и др. за информацию

www.incunabula.ru

Фибоначчи

Леонардо Пизанский.  Первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.

Официально:

Леонардо Пизанский. Около 1170 года – около 1250 года. Первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.

Неофициально:

1. Плотная пища жен Фибоначчи
Только на пользу им шла, не иначе. 
Весили жены, согласно молве, 
Каждая – как предыдущие две. 
Английский поэт, мастер словесных забав Джеймс Линдон и тут поиграл, но с числами. Как известно, в последовательности Фибоначчи каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.

2. Не отстали и наши отечественные авторы. В перестроечные времена в журнале «Пионер» были опубликованы стихи,  продолжающие историю взаимных краж Карла и Клары.  Карл и Клара помирились и начали обмениваться подарками:

Однажды Клара подарила

Ему коробку из-под мыла;

Подумав, Карл послал в ответ

Пустой кулёк из-под конфет.

Тогда смягчившаяся Клара

Послала два воздушных шара,

А Карл послал ей, подобрев,

Три новых карты масти треф.

И с благодарностью от Клары

Пришли пять варежек без пары;

Как символ дружбы, Карл в ответ

Шлёт восемь разных сандалет.

Растрогавшись, послала Клара

Тринадцать труб для самовара,

И, прослезившись, Карл послал…

Двадцать один коленный вал.

Педагоги-математики сделали из этих стихов задачку и предлагают ее на разных олимпиадах. А все опять-таки потому, что будучи выстроены в ряд, эти подарки образуют последовательность, которая носит имя Фибоначчи: один, один, два, три, пять, восемь, тринадцать, то есть каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

3. Многим известно, что эти числа Фибоначчи получил, решая задачу о размножении кроликов. Вот как он сформулировал эту задачу: сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если кролики начинают приносить потомство со второго месяца и каждая пара через месяц производит на свет еще одну пару?

4. Это, пожалуй, и все, что широкая публика знает о Фибоначчи. Не всем известно даже, что Леонардо Пизанский и Фибоначчи – это один и тот же человек, и жил он гораздо раньше, чем Леонардо да Винчи – на рубеже XII и XIII веков.

5. Сегодня Фибоначчи называют первым математиком средневековой Европы, а его сочинение «Книга абака», датированное 1202 годом, числят одной из самых выдающихся математических книг, века на три опередившей свое время. По этой книге европейцы учили математику чуть ли не до XVII века.

6. Именно в «Книге абака» Леонардо рассказал о «методе индийцев», то есть вычислении с помощью цифр. Среди других известных ему способов Леонардо Пизанский указал вычисление с помощью абака и с помощью пальцев.

7. В предисловии к «Книге абака» Леонардо Пизанский изложил краткую биографию и истоки интереса к математике: «Отец мой, родом из Пизы, служил синдиком на таможне в Бужи в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне так понравилось, что я непременно захотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления есть самая совершенная… Изучив основательно эту систему и все к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из «Начал» Евклида, я решился написать это сочинение».

8. Да, все так: Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза, предположительно в 1170-е годы. Его отец, Гильермо в 1192 году был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке. Батюшка хотел, чтобы Леонардо стал хорошим купцом и потому настоял на обучении математике в Алжире у арабских учителей.

9. «Книга абака» заинтересовала императора Фридриха II – не того, что был прозван Великим и дружил с Вольтером, а его тезку, императора Священной Римской империи. Леонардо из Пизы пригласили к его двору.

10. Именно там при дворе просвещенного императора, который грубым рыцарским турнирам предпочитал изысканные математические бои, Леонардо Пизанский написал труд «Книгу квадратов», посвященный решению неопределенных квадратных уравнений.

11. В 1240 году Фибоначчи почтили на родине: Пизанская республика назначила ему содержание в знак его заслуг перед городом и горожанами. В числе этих заслуг – консультации по вопросам бухгалтерского учета.

12. Уверяют, что Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи. Этот псевдоним расшифровывают как «Сын Боначчи». Слово Боначчи тоже пытаются переводить: у кого-то получается «благонамеренный», у кого-то «удачливый». Сам математик использовал еще имя Леонардо Биголло – слово bigollo на тосканском наречии означало «странник», а еще «бездельник».

13. До Фибоначчи ученая Европа пользовалась для счета неудобными римскими цифрами. Именно он донес до всех заинтересованных – купцов, счетоводов, менял – достижения индийских и арабских математиков.

14. У Леонардо Пизанского есть и другие математические заслуги: он ввел понятия «плюс» и «минус», правда обозначал ими ошибки в вычислениях: когда результат получился больше или меньше правильного, термин «частное» для обозначения результатов деления, описал способ приведения дробей к общему знаменателю, привел доказательства ряда теорем.

15. Если поделить два соседних числа Фибоначчи друг на друга, то получается золотая пропорция – то самое золотое сечение, что породило шедевры искусства.

16. В XIX веке в Пизе Леонардо Фибоначчи поставили памятник учёному. Ныне он высится на кладбище Кампо-Санто, что расположено на Пьяцца деи Мираколи, то есть Площади чудес, рядом с Пизанской башней.

17. В честь Леонардо Пизанского назвали астероид за номером 6765. Это число является 20-м членом ряда Фибоначчи. Могли бы назвать и астероиды под номерами 2584 и 4181 (18-й и 19-й члены ряда, соответственно), но они уже носили другие имена.

18. С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были обнаружены  явления природы, в которых эта последовательность играет важную роль. Среди них филлотаксис – правило, по которому располагаются листья на стебле и семечки в соцветии подсолнуха. Объясним понятнее на примере листьев: по мере роста стебля растения листья располагаются на нём в определённом порядке, который обусловливает оптимальный доступ к свету. Листья появляются на стебле по спирали, как по часовой стрелке, так и против неё, под определённым углом расхождения. В угле расхождения замечена точная последовательность Фибоначчи.

scientificrussia.ru

Леонардо Фибоначчи Википедия

Леона́рдо Пиза́нский (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация; в этой книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом^[1]. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения^[2].

Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее, предположительно Гийомом Либри (Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja) в 1838 году. Слово Fibonacci — сокращение от двух слов «filius Bonacci», появившихся на обложке «Книги абака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласно третьей версии, само слово Боначчи нужно тоже понимать как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда он использовал также имя Леонардо Биголло — слово bigollo на тосканском наречии значило «странник», а также «бездельник»^[3][4].

Биография

Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза, предположительно в 1170-е годы (в некоторых источниках стоит 1180 год). Его отец, Гильермо, был торговцем. В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке и часто бывал в Беджаи, Алжир. По желанию отца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он переехал в Алжир и изучал там математику (искусство вычислений) у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию^[5].

В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака»^[5]. В то время в Европе о позиционной системе счисления и арабских цифрах знали очень немногие. В своей книге Фибоначчи всячески поддерживал индийские приёмы вычисления и методы^[6]. По словам историка математики А. П. Юшкевича, «„Книга абака“ резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV веков разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения… Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения». По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления^[6].

Книга заинтересовала императора Фридриха II и его придворных, среди которых был астролог Микаель Скотус (Michael Scotus), философ Теодорус Физикус (Theodorus Physicus) и Доминикус Хиспанус (Dominicus Hispanus). Последний предложил, чтобы Леонардо пригласили ко двору в одно из посещений императором Пизы около 1225 года, где ему задавал задачи Иоган Палермский, ещё один придворный философ Фридриха II. Некоторые из этих задач появились в последующих работах Фибоначчи^[4][7]. Благодаря хорошему образованию Леонардо удалось обратить на себя внимание императора Фридриха II во время математических турниров. Впоследствии Леонардо пользовался покровительством императора^[8].

Несколько лет Фибоначчи жил при дворе императора. К этому времени относится его работа «Книга квадратов», написанная в 1225 году. Книга посвящена диофантовым уравнениям второй степени и ставит Фибоначчи в один ряд с такими учёными, развивавшими теорию чисел, как Диофант и Ферма^[7]. Единственное упоминание о Фибоначчи после 1228 года относится к 1240 году, когда ему в Пизанской республике была назначена пенсия за заслуги перед городом^[4].

Прижизненных портретов Фибоначчи не сохранилось, а существующие являются современными представлениями о нём. Леонардо Пизанский не оставил практически никаких автобиографических сведений; единственным^[9] исключением является второй абзац «Книги абака», где Фибоначчи излагает причины, побудившие его написать книгу:

Когда отцу моему была назначена должность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджайе делами стекавшихся к нему пизанских торговцев, он в отрочестве моём призвал меня к себе и предложил несколько дней учиться счётному искусству, сулившему немало удобств и выгод для моего будущего. Наученный благодаря мастерству учителей основам индийского счёта, я приобрёл большую любовь к этому искусству и заодно узнал, что кое-что об этом предмете известно среди египтян, сирийцев, греков, сицилийцев и провансальцев, развивших свои методы. Позже, во время торговых путешествий по всем этим краям, я посвятил много труда подробному изучению их методов и, кроме того, овладел искусством научного спора. Однако по сравнению с методом индийцев все построения этих людей, включая подход алгорисмиков и учение Пифагора, кажутся почти заблуждениями, а потому я решил, изучив как можно внимательнее индийский метод, изложить его в пятнадцати главах настолько понятно, насколько смогу, с добавлениями от собственного разума и с кое-какими полезными примечаниями из геометрии Евклида, вставленными по ходу сочинения. Дабы пытливый читатель мог изучить индийский счёт наиболее вдумчивым образом, я сопроводил почти каждое утверждение убедительным доказательством; рассчитываю, что латинский народ отныне не будет лишён самых точных сведений об искусстве вычислений. Если же, паче чаяния, я пропустил что-то более или менее важное, а может быть, необходимое, то молю о прощении, ибо нет среди людей никого, кто был бы безгрешен или обладал способностью всё предвидеть.

Оригинальный текст (лат.)

Cum genitor meus a patria publicus scriba in duana bugee pro pisanis mercatoribus ad eam confluentibus constitutus preesset, me in pueritia mea ad se venire faciens, inspecta utilitate et commoditate futura, ibi me studio abbaci per aliquot dies stare voluit et doceri. Vbi ex mirabili magisterio in arte per novem figuras indorum introductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit, et intellexi ad illam quod quicquid studebatur ex ea apud egyptum, syriam, greciam, siliciam, et provinciam cum suis variis modis, ad que loca negotiationis causa postea peragravi per multum studium et disputationis didici conflictum. Sed hoc totum etiam, et algorismum atque artem pictagore quasi errorem computavi respectu modi indorum. Quare, amplectens strictius ipsum modum indorum et attentius studems in eo, ex proprio sensu quedam addens et quedem etiam ex subtilitatibus euclidis geometrice artis apponens, summam huius libri, quam intelligibilius potui, in quindecim capitulis distinctam componere laboravi, fere omnia que inserui certa probatione ostendens, ut extra perfecto pre ceteris modo hanc scientiam appetentes instruantur, et gens latina de cetero, sicut hactenus, absque illa minime inveniatur. Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in omnibus undique sit circumspectus.

Однако точный смысл этого абзаца нельзя считать полностью известным, потому что его текст, как и весь латинский текст книги, дошёл до нас с ошибками, внесёнными переписчиками.^[10][11]

Научная деятельность

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года)^[2]. Эта книга состоит из 15 глав и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи. В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг^[6]. Книга посвящена Микаелю Скотусу^[4].

Другая книга Фибоначчи, «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 год), состоит из семи частей и содержит разнообразные теоремы с доказательствами, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло). Среди землемерных приёмов, которым посвящён последний раздел книги, — использование определённым образом размеченного квадрата для определения расстояний и высот. Для определения числа π{\displaystyle \pi } Фибоначчи использует периметры вписанного и описанного 96-угольника, что приводит его к значению 3,1418{\displaystyle 3,1418}^[6]. Книга была посвящена Доминикусу Хиспанусу^[4]. В 1915 году Р. С. Арчибальд занимался восстановлением утерянной работы Евклида о делении фигур, базируясь на «Практике геометрии» Фибоначчи и французском переводе арабской версии^[10].

В трактате «Цветок» (Flos, 1225 год) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение x3+2×2+10x=20{\displaystyle x^{3}+2x^{2}+10x=20}, предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II^[6]. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1;22,07,42,33,04,40^[7], не указывая, однако, способа своего решения^[4].

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225 год) содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. Фибоначчи работал над поиском чисел, которые, будучи добавленными к квадратному числу, вновь дадут квадратное число. Он отметил, что числа x2+y2{\displaystyle x^{2}+y^{2}} и x2−y2{\displaystyle x^{2}-y^{2}} не могут быть квадратными одновременно^[7], а также использовал для поиска квадратных чисел формулу x2+(2x+1)=(x+1)2{\displaystyle x^{2}+(2x+1)=(x+1)^{2}}^[4]. В одной из задач книги, также первоначально предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа^[6].

Среди не дошедших до нас произведений Фибоначчи трактат Di minor guisa по коммерческой арифметике, а также комментарии к книге X «Начал» Евклида^[4].

Задачи Фибоначчи

Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям. Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоган Палермский^[8]. Задачи Фибоначчи, как и их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768)^[2].

Задача о размножении кроликов

В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год? (Ответ: 233 пары). Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … (по ней составлена последовательность A000045 в OEIS; отличие в том, что вторая последовательность начинается с нуля и единицы, а не с единицы и двойки), в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих; ответом, в соответствии с условиями задачи, является тринадцатый член (завершение каждого месяца — это перескок к следующему члену последовательности; текущий член последовательности перед началом опыта — это первый; всего месяцев двенадцать). В честь учёного она носит название чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи нашли своё применение во многих областях математики. Одним из важных свойств последовательности является тот факт, что предел отношения an+1{\displaystyle a_{n+1}} к an{\displaystyle a_{n}} равен золотому сечению^[2]. Наглядно формирование последовательности можно показать следующим образом:

1: 1 + 1 = 2
2:     1 + 2 = 3
3:         2 + 3 = 5
4:             3 + 5 = 8
5:                 5 + 8 = 13
6:                     8 + 13 = 21
7:                         13 + 21 = 34
8:                              21 + 34 = 55
9:                                   34 + 55 = 89
...                                           и т. д.

Задачи о гирях

Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах^[12][13] впервые была сформулирована именно Фибоначчи. Леонардо Пизанский предлагает два варианта задачи:

• Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления^[2].
• Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,…). Решение строится в системе счисления по основанию три^[2] и в общем случае представляет собой последовательность A000244 в OEIS.

Задачи по теории чисел

Кроме задачи о кроликах, Фибоначчи предлагал ряд других задач по теории чисел^[10]:

• Найти число, которое делится на 7 и даёт в остатке единицу при делении на 2, 3, 4, 5 и 6; (Ответ: 301)
• Найти число, произведение которого с семёркой даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5 при делении на 2, 3, 4, 5, 6, соответственно;
• Найти квадратное число (то есть число, равное квадрату целого числа), которое при увеличении или уменьшении на 5 давало бы квадратное число.

Некоторые другие задачи

• Найти число, 19/20 которого равно квадрату самого числа. (Ответ: 19/20)^[2].
• Сплав из 30 весовых частей состоит из трёх металлов: первый металл достоинством по три монеты на одну часть, второй металл по две монеты на одну часть, а у третьего металла каждые две части стоят по одной монете; стоимость всего сплава 30 монет. Сколько частей каждого металла содержит сплав? (Ответ: 3 части первого металла, 5 частей второго металла, 22 части третьего). В таких терминах Фибоначчи переформулировал известную задачу о птицах, в которой были использованы те же самые числа (30 птиц трёх разных видов стоят 30 монет, по заданным ценам найти количество птиц каждого вида)^[6].
• «Шуточная задача о семи старухах», которые шли в Рим, и у каждой было по семь мулов, на каждом из которых по семь мешков, в каждом из которых по семь хлебов, в каждом из которых по семь ножей, каждый из которых в семи ножнах. Нужно найти общее число предметов. Эта задача обошла много стран, первое известное упоминание о ней было ещё в Древнем Египте в папирусе Ахмеса. (Ответ: 137 256)^[2][6].

Память

В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному. Ранее статуя стояла в Giardino Scotto, а после того, как в 1978 году Франк Джонсон нарисовал портрет Фибоначчи с этой статуи, она была перенесена на кладбище Кампосанто, расположенном в Пизе на Пьяцца деи Мираколи.

Именем Фибоначчи названы улицы в Пизе (Lungarno Fibonacci) и во Флоренции (Via Fibonacci). Кроме того, имя Фибоначчи носит ассоциация Fibonacci Association^[14] и издаваемый ею научный журнал Fibonacci Quarterly^[15], посвящённые числам Фибоначчи, проект Евросоюза в сфере образования^[16], а также другие программы^[10].

Работы Фибоначчи

При покровительстве императора Леонардо Пизанский написал несколько книг^[3][4][8]:

• «Книга абака» (Liber abaci), 1202 год, дополнена в 1228 году;
• «Практика геометрии» (Practica geometriae), 1220 год;
• «Цветок» (Flos) 1225 год;
• «Книга квадратов» (Liber quadratorum), 1225 год;
• Di minor guisa, утеряно;
• Комментарии к книге X «Начал» Евклида, утеряно;
• Письмо Теодорусу, 1225 год.

Примечания

1. ↑ N. Ambrosetti. L’eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell’Europa. — LED Edizioni Universitarie, 2008. — С. 220—221.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Карпушина Н. «Liber abaci» Леонардо Фибоначчи, Математика в школе, № 4, 2008.
3. ↑ ^{1 2} A brief biographical sketch of Fibonacci, his life, times and mathematical achievements.
4. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9} Leonardo Pisano Fibonacci
5. ↑ ^{1 2} R.Knott, D.A.Quinney and PASS Maths The life and numbers of Fibonacci
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени. — С. 260—267.
7. ↑ ^{1 2 3 4} Frances Carney Gies Leonardo Pisano//Энциклопедия Британника
8. ↑ ^{1 2 3} Яглом И. М. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики. // Квант, 1984. № 7. С. 15-17
9. ↑ [1] Treccani, l’Enciclopedia Italiana: Fibonacci, Leonardo (detto Leonardo Pisano)
10. ↑ ^{1 2 3 4} EIGHT HUNDRED YEARS YOUNG// A. F. HORADAM
11. ↑ RICHARD E.GRIMM//THE AUTOBIOGRAPHY OF LEONARDO PISANO
12. ↑ А. П. Стахов. Две знаменитые задачи Фибоначчи http://www.goldenmuseum.com/1001TwoProblems_rus.html Архивная копия от 16 декабря 2010 на Wayback Machine
13. ↑ Леонардо Пизано Фибоначчи http://www.xfibo.ru/fibonachi/leonardo-pisano-fibonacci.htm Архивная копия от 8 апреля 2014 на Wayback Machine
14. ↑ The Fibonacci Association Архивировано 8 июня 2007 года.
15. ↑ Fibonacci Quarterly
16. ↑ Fibonacci Project

Литература

• Щетников А. И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений в средневековой математике. Труды третьих Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005, с. 332—340.
• Glushkov S. On approximation methods of Leonardo Fibonacci. Historia Mathematica, 3, 1976, p. 291—296.
• Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci, Leonardo Pisano’s Book of Calculations» Springer. New York, 2002, ISBN 0-387-40737-5.

wikiredia.ru