Комбинаторные задачи. 6-й класс

Цели:

• Образовательная – ознакомить учащихся с методами решения комбинаторных задач; научить применять методы полного перебора всех возможных вариантов и умножения.
• Развивающая – развивать логическое мышление, интерес к изучению математики. грамотную математическую речь.
• Воспитательная – воспитывать внимание и аккуратность в оформлении заданий.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: доска, учебники, компьютер, проектор, презентация к уроку (образец в приложении)

План урока:

1. Организационный момент. Приветствие.
2. Изучение нового материала.
3. Рефлексия. Закрепление.
4. Итоги урока.

ХОД УРОКА

1. Приветствие.

2. Цели для учащихся:

• изучить понятие «комбинаторика»,
• рассмотреть методы решения комбинаторных задач,
• научиться  применять методы решения в различных ситуациях,
• развить внимание и аккуратность в оформлении заданий.

А) Введение понятия комбинаторика. (Приложение 1, слайд 2)

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Б) Что значит решить комбинаторную задачу. (Приложение 1, слайд 3)

Решить  комбинаторную  задачу – это  значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.
В  разделе представлены комбинаторные задачи на размещение, сочетание, перестановки с повторением  и без повторения элементов. Используется естественный, доступный детям всех возрастов метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций).

В)  Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов. (Приложение 1, слайд 4)

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры  1; 4; 7?

Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
11; 14; 17; (начали с 1)
41; 44; 47; (начали с 4)
71; 74; 77; (начали с 7)

Таким образом, из трёх данных цифр  можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

3. Решение задач методом полного перебора на доске и в тетрадях. (Приложение 1

, слайд 5)

1. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
2. В школе проводятся соревнования по хоккею. В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Сколько различных призов можно составить из этих предметов, если каждому победителю решено давать по 2 разных предмета?
3. В четверг  в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

4. Решение задач с помощью дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Приложение 1, слайд 6)

Существует общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян. 

5. Задача.  (Приложение 1, слайд 7)

Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1; 4; 7. Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов, которое наглядно показывает решение задачи.         

6. Решение задач с использованием дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Приложение 1, слайд 8)

1. В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.
2. Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана, 2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по  два каких-нибудь плода?
3. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
4. Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
5. Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?

7. Правило умножения в комбинаторных задачах. (Приложение 1, слайд 9)

Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче. 
Рассмотрим этот метод на примере одной задачи: 

На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

    Суп      2            Вторые блюда    3              Сок       4

Решение: 2 x 3 x 4 = 24

Ответ: Можно составить 24 варианта различных обедов.

8. Решение задач с использованием дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Приложение 1, слайд 10)

1. В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.
2. Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана,2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по  два каких-нибудь плода?
3. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
4. Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
5. Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?

9. Перестановки в комбинаторных задачах. (Приложение 1, слайд 11)

В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений  называют перестановкой.

Задача. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение: первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место  может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.

Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом

4 • 3 • 2 • 1 = 24.

Ответ: 24 способами.  

10. Решите задачу на перестановки. (Приложение 1, слайд 12)

Задача. Андрей, Борис и Василий входят в комнату по одному. Сколько у них есть способов это сделать?

Решение. Пусть первым войдёт Андрей, но тогда вторым может войти Борис или Василий, то есть имеются две возможности. Аналогично есть две возможности, если первым войдёт Борис и если первым войдёт Василий. Таким образом 6 возможностей.

Ответ: 6 способов.

11.

Итог урока

Вспомним цели нашего урока:

• изучить понятие «комбинаторика»,
• рассмотреть методы решения комбинаторных задач,
• научиться  применять методы решения в различных ситуациях,
• развить внимание и аккуратность в оформлении заданий.

– Как мы их реализовали? (Приложение 1, слайд 13)

urok.1sept.ru

Комбинаторные задачи 6 класс — ТолВИКИ

Автор урока

Астапова Александра Анатольевна

Место работы: МБУ «Школа № 32 г.о. Тольятти

сайт МБУ «Школа №32»

Название урока

Решение комбинаторных задач

Предмет, класс

математика, 6 класс

Цели урока

Ввести понятие комбинаторики; сформировать представление о комбинаторных задачах; научить строить дерево возможных вариантов; повторить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями; развитие логического мышления.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель объясняет тему урока и цель.

2. Новый материал объяснить в ходе решения трех задач.

Презентация «Комбинаторика» (Приложение 1).

Задача№1

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько существует различных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета – белого, красного и синего?

Решение:

Пусть верхняя полоса флага – белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта флага. Если верхняя полоса флага – красная, то нижняя может быть белой или синей. Получим ещё два варианта флага. Пусть, наконец, верхняя полоса – синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага. Всего получили 3 • 2 = 6 комбинаций – шесть вариантов флагов.

Задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций, получили названиекомбинаторных .

Раздел математики, в котором рассматривают такие задачи, называют комбинаторикой. Комбинаторика (от латинского combinare) означает “соединять, сочетать”.

Задача 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7? Используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение:

Чтобы ответить на этот вопрос, выпишем все такие числа. Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 3, 5, 7. Запишем, например, на втором месте цифру 3. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 5 или 7. Получим два числа 135 и 137. Если на втором месте записать цифру 5, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 3или 7. В этом случае получим числа 153 и 157. Если же, наконец, на втором месте записать цифру 7, то получим числа 173 и 175. Итак, мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1. Таких чисел шесть: 135, 137, 153, 157, 173, 175. Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 2,с цифры 5, с цифры 7.

Полученные результаты запишем в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:

135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375, 513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 731, 735, 751, 753,

Таким образом, из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.

Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на так называемом дереве возможных вариантов. Ответ на вопрос, поставленный в задаче, можно получить, не выписывая сами числа. Рассуждая так. Первую цифру можно выбрать 4 способами. Так как после выбора первой цифры останутся 3, то вторую цифру можно выбрать уже 3 способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) 2 способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4 • 3 • 2, т.е. 24. Ответ на поставленный в задаче вопрос мы нашли, используя комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов n2 способами, затем третий элемент n3 способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1 • n2 • n3 • …• nk.

Задача 3 Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение: Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеются 2 • 3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2 • 3 • 2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани. 3. Тренировочные упражнения (Задания в виде презентации «Комбинаторика» или карточек.).

Задание 1 Сколько существует флагов составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов –белого, зелёного, красного и синего? Есть ли среди них флаг Российской Федерации. (Ребята самостоятельно решают задачу. Решив задачу, проверяют ответ, вставив пропущенные числа. Ответ в задаче и в примере одинаковый.)

Решение: Таким образом, 4 • 3 • 2 = 24 флага. Ответ: 24 флага, да.

Задание 2

Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из нечётных цифр, которые являются кратными 5. Прежде чем решать эту задачу, давайте повторим, какие цифры нечётные? Какие числа являются кратными 5.

Решение: Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. В данном случае, чтобы число было кратным 5, оно должно оканчиваться на 5. Составим дерево возможных вариантов.

Таким образом, 4 • 3 • 1 = 12 чисел.

Задание 3 В школьной столовой предлагают 2 первых блюда: борщ, лапша – и 4 вторых блюда: пельмени, котлеты, гуляш, рыба. Сколько обедов из двух блюд может заказать посетитель. Перечислите их.

Решение: 1 блюдо: Б Л 2 возможности 2 блюдо: П К Г Р П К Г Р по 4 Таким образом, 2 • 4 = 8 различных обедов: Борщ, пельмени; Лапша, пельмени; Борщ, котлеты; Лапша, котлеты; Борщ, гуляш; Лапша, гуляш; Борщ, рыба; Лапша, рыба.

Задание 4 Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 11 учащихся. Решение: 11 человек по 10 фотографий. 11 • 10 = 110 (фотографий). Ответ: 110 фотографий.

Задание 5 Из села Ташла в село Пискалы ведут три дороги, а из села Пискалы в город Тольятти – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из села Тащла в город Тольятти через село Пискалы?

Решение: 3 дороги по 4 варианта, т.е. 3 • 4 = 12 (способов). Ответ: 12 способов.

Задание 6 В кафе имеются четыре первых блюда, пять вторых и два третьих. Сколькими способами посетители кафе могут выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение: 4 • 5 • 2 = 40 (способов) Ответ: 40 способов.

Итог урока

– Какие задачи называются комбинаторными?

– Что означает слово «комбинаторика»?

– Как формулируется комбинаторное правило умножения?–

Домашние задание

Придумать и решить три комбинаторных задачи

Презентация

Презентация к уроку «Решение комбинаторных задач

Фото отчет

Материалы по формирующему и итоговому оцениванию

Итоговое оценивание с помощью смайликов

Материалы по сопровождению урока

Литература:

1. Учебник «Математика 6» Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. Москва: «Мнемозина», 2006.

2. Учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович Москва: «Мнемозина», 2005

3. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие под редакцией С.А.Теляковского. Москва: «Просвещение», 2005.

wiki.tgl.net.ru

Методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме: Решение комбинаторных задач

Конспект урока по теме

 «Решение комбинаторных задач»

МБОУ СОШ № 20 п. Железнодорожный

  учитель 1 математики квалификационной

категории Суворова Л.В.

Класс: 6

Предмет: математика.

Продолжительность: 40 минут

Тип урока: объяснение нового материала

Цели:

Образовательные:

— создать представление о комбинаторике как разделе математики;

— формировать умение решать комбинаторные задачи путем перебора возможных вариантов с помощью дерева вариантов или путем перестановки закодированных элементов;

— познакомить учащихся с решением комбинаторных задач и с использованием правила умножения;

— показать применение знаний, полученных на уроках математики, на практике.

Развивающие:

— развивать логическое мышление, устную математическую речь, внимание, память и воображение через интеллектуальные задания;

— развивать умение решать комбинаторные задачи по правилу умножения;

— развивать творческий потенциал и самооценку через творческие задания.

Воспитательные:

— продолжить воспитание познавательного интереса к предмету и повышение мотивации к учению по средствам ИКТ;

— способствовать воспитанию самостоятельности и умению работать в парах.

Учебники и дидактические материалы:

— Виленкин Н.Я. и др. «Математика 6 класс» — М.: Мнемозина, 2008

— Дорофеев и др. «Математика 6 кл.» — М.: Просвещение, 1996

— Макарычев Ю.Н. и др. «Элементы статистики и теории вероятностей. Алгебра 7-9 классы» — М.: Просвещение, 2008

— Мордкович А.Г. и др. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7-9 кл.» — М.: Мнемозина, 2003

— Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность. 7-9 кл.» — М.: Просвещение, 2006

ХОД УРОКА:

Организационный момент.

СЛАЙД 1.

СЛАЙД 2.

Сегодня на уроки мы повторим понятие стохастической линии. А как она называется вы узнаете, отгадав ребус на слайде (Комбинаторика). Мы вспомним из математики 5 класса решение комбинаторных задач путем перебора вариантов и построения дерева возможных вариантов и познакомимся с новым способом – правилом умножения.

СЛАЙД 3.

Нам часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов как это действие осуществить. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач на перебор различных вариантов, удовлетворяющих каким-либо условиям. Здесь изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Латинское слово combinare означает «соединять, сочетать».

В комбинаторных задачах обычный вопрос: сколькими способами, сколько вариантов… Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля и Пьера Ферма.

Существует очень много задач, в которых рассматриваются различные ситуации выбора. Однако, несмотря на все разнообразие комбинаторных задач, можно выделить среди них группы однотипных. В этих задачах речь идет о разных предметах, приводятся разные ситуации, но ход их решения одинаков, и именно поэтому такие задачи можно объединить в отдельные группы. С такими задачами мы встречались с вами в 5 классе.

СЛАЙД 4.

Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, если цифры в записи числа не повторяются?

Составим схему рассуждений.

Первая цифра                             2                                 4

Вторая цифра                    0                       4                 0                   2

Третья цифра                   4                     0                2                             0

Решение: 204, 240, 402,420 – 4 числа.

Способы решения таких задач  перебором  возможных вариантов используются  при наличии нескольких решений. При записи возможных вариантов, их схемы изображаются, как дерево с разветвленными ветвями, которое так и называется «дерево возможных вариантов».

Решим эту задачу другим способом.

На первом месте может быть  только две цифры (2 или 4), на втором – две из оставшихся, а на третьем – одна. Таким образом, 2 ∙ 2 ∙ 1 = 4

Рассмотрим другие задачи.

СЛАЙД 5.        

Задача 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7?

Решение.

Первые цифры искомых чисел: 1, 2, 4, 5, 7, так как в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0. Так как нужно составить четные двузначные числа, то второй цифрой искомых чисел могут быть: 0, 2, 4.

Составим таблицу: 5 строк (цифры 1, 2, 4, 5, 7) и 3 столбца (цифры 0, 2, 4) соответственно.

Заполняем клетки: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра – метке столбца. По строкам и столбцам мы перечисляем все возможные варианты, значим, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 3 ∙ 5 = 15.

Ответ: из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7 можно составить 15 четных двузначных чисел.

Учитель: В этой задаче мы осуществили полный перебор всех возможных вариантов (комбинаций). Поэтому подобные задачи называются комбинаторными.

СЛАЙД 6.

Задача 2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс или сочник, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?

Решение. Собираем все варианты в таблицу.

Булочка (Б)

Ватрушка (В)

Пирожок  (П)

Сок (С)

С Б

С В

С П

Чай (Ч)

Ч Б

Ч В

Ч П

В таблице 2 строки и 3 столбца, которые образуют 6 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоит один из возможных вариантов завтрака. Значит, всего вариантов столько, сколько клеток в таблице, то есть 6. Напиток можно выбрать двумя способами (сок или чай), а еду тремя способам.

Ответ: 2 ∙ 3 = 6 столовая предлагает 6 вариантов завтрака.

СЛАЙД 7.

Задача 3. У Тани есть розовая, желтая, красная кофта  и черная, зеленая, синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них?

Решение:     Составим дерево возможных вариантов.

При этом возможные варианты, объекты в нем записываются

кодом. При записи объектов кодом используются буквы или

цифры. Сколько ветвей у дерева в схеме, столько решений  

у задачи.

РЧ, РЗ, РС; ЖЧ, ЖЗ, ЖС; КЧ, КЗ, КС.

Кофту можно выбрать тремя способами и юбку тремя способам.  

                             3 · 3 = 9 (нарядов)

Учитель: Что вы заметили при решении этих задач?

(Задачи разные, но решения совершенно одинаковые).

— Совершенно верно. А основаны они на общем правиле умножения

СЛАЙД 8.

Задача 4. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосой?

СЛАЙД 9.

Правило умножения:

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k

способами, то выбор пары (a, b) можно осуществить m · k способами.

СЛАЙД 10.

Примеры задач:

1. Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать? (12 стульев и 3 цвета, значит 12 ∙ 3 = 36)

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»?

(3 гласных и 4 согласных, значит 3 ∙ 4 = 12)

3. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй? (5 ∙ 10 = 50)

4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя – как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z любые цифры, а X – не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900 вариантов.

СЛАЙД 11.

Закрепление:  

№ 53 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 способов; 2 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 240 способов

№ 410 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 1540 номеров

№ 517 25 ∙ 24 = 600 способов

№ 915 27; 57; 87; 387; 357; 537; 837

СЛАЙД 12.

Итоги урока:

Вопросы ученикам:

Какие задачи называют комбинаторными?

Какие задачи называют задачами на перестановки?

В чем состоит правило умножения при решении комбинаторных задач?

Продолжите предложение по нашей теме

— Мы знаем … (как решать комбинаторные задачи по правилу умножения)

— Мы умеем … (проводить анализировать и делать выводы)

— Мы можем применить … (правило умножения при решении комбинаторных задач)

Рефлексия: А теперь оцените результаты своей деятельности на уроке.

Какое впечатление у вас об уроке? Что вам понравилось, а что нет?

Что было интересного и что еще нужно изменить? Что у вас получилось, и что нет?

Над чем еще вам нужно поработать и что повторить?

СЛАЙД 13.

Домашнее задание: № 24, № 262, № 355, № 462

Спасибо за урок.

з

з

с

с

с

р

ж

к

ч

ч

ч

з

nsportal.ru

Урок–презентация в 6-м классе «Решение комбинаторных задач»

Тема: «Решение комбинаторных задач».

Цели: ввести понятие комбинаторики; сформировать представление о комбинаторных задачах; научить строить дерево возможных вариантов; повторить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями; развитие логического мышления.

Оборудование: компьютер, презентация «Комбинаторика»

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Учитель объясняет тему урока и цель.

2. Новый материал объяснить в ходе решения трех задач.

Презентация «Комбинаторика» (Приложение 1).

Задача№1

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько существует различных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета – белого, красного и синего?

Решение:

Пусть верхняя полоса флага – белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта флага.
Если верхняя полоса флага – красная, то нижняя может быть белой или синей. Получим ещё два варианта флага.
Пусть, наконец, верхняя полоса – синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.
Всего получили 3 • 2 = 6 комбинаций – шесть вариантов флагов.

Задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций, получили название комбинаторных.

Раздел математики, в котором рассматривают такие задачи, называют комбинаторикой.
Комбинаторика (от латинского combinare) означает “соединять, сочетать”.

Задача 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7?
Используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение:

Чтобы ответить на этот вопрос, выпишем все такие числа.
Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 3, 5, 7. Запишем, например, на втором месте цифру 3. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 5 или 7. Получим два числа 135 и 137. Если на втором месте записать цифру 5, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 3или 7. В этом случае получим числа 153 и 157. Если же, наконец, на втором месте записать цифру 7, то получим числа 173 и 175.
Итак, мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1.
Таких чисел шесть: 135, 137, 153, 157, 173, 175.
Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 2,с цифры 5, с цифры 7.

Полученные результаты запишем в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:

135, 137, 153, 157, 173, 175,
315, 317, 351, 357, 371, 375,
513, 517, 531, 537, 571, 573,
713, 715, 731, 735, 751, 753,

Таким образом, из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.

Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на так называемом дереве возможных вариантов.

Ответ на вопрос, поставленный в задаче, можно получить, не выписывая сами числа. Рассуждая так. Первую цифру можно выбрать 4 способами. Так как после выбора первой цифры останутся 3, то вторую цифру можно выбрать уже 3 способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) 2 способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4 • 3 • 2, т.е. 24.
Ответ на поставленный в задаче вопрос мы нашли, используя комбинаторное правило умножения.
Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n₁способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов n₂способами, затем третий элемент n₃способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению

n₁ • n₂ • n₃ • …• n_k.

Задача 3

Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение:

Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеются 2 • 3 вариантов маршрута из А в С.
Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2 • 3 • 2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

3. Тренировочные упражнения (Задания в виде презентации «Комбинаторика» или карточек.).

Задание 1

Сколько существует флагов составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов –белого, зелёного, красного и синего?
Есть ли среди них флаг Российской Федерации.

(Ребята самостоятельно решают задачу. Решив задачу, проверяют ответ, вставив пропущенные числа. Ответ в задаче и в примере одинаковый.)

Решение:

Таким образом, 4 • 3 • 2 = 24 флага.

Ответ: 24 флага, да.

Задание 2

Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из нечётных цифр, которые являются кратными 5.
Прежде чем решать эту задачу, давайте повторим, какие цифры нечётные? Какие числа являются кратными 5.
Решив задачу, проверьте ответ, вставив пропущенные числа.

Решение:

Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9.
В данном случае, чтобы число было кратным 5, оно должно оканчиваться на 5.
Составим дерево возможных вариантов.

Таким образом, 4 • 3 • 1 = 12 чисел.

Задание 3

В школьной столовой предлагают 2 первых блюда: борщ, лапша – и 4 вторых блюда: пельмени, котлеты, гуляш, рыба. Сколько обедов из двух блюд может заказать посетитель.
Перечислите их.
Решив задачу, проверьте ответ, вставив пропущенные числа.

Решение:

1 блюдо: Б Л 2 возможности
2 блюдо: П К Г Р П К Г Р по 4
Таким образом, 2 • 4 = 8 различных обедов:
Борщ, пельмени; Лапша, пельмени;
Борщ, котлеты; Лапша, котлеты;
Борщ, гуляш; Лапша, гуляш;
Борщ, рыба; Лапша, рыба.

Задание 4

Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 11 учащихся.
Решив задачу, проверьте ответ, вставив пропущенные числа.

Решение:

11 человек по 10 фотографий.
11 • 10 = 110 (фотографий).

Ответ: 110 фотографий.

Задание 5

Из села Терновка в село Родничок ведут три дороги, а из села Родничок в город Балашов – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из села Терновка в город Балашов через село Родничок?
Решив задачу, проверьте ответ, вставив пропущенные числа.

Решение:

3 дороги по 4 варианта, т.е.
3 • 4 = 12 (способов).

Ответ: 12 способов.

Задание 6

В кафе имеются четыре первых блюда, пять вторых и два третьих. Сколькими способами посетители кафе могут выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?
Решив задачу проверьте ответ, вставив пропущенные числа.

Решение:

4 • 5 • 2 = 40 (способов)

Ответ: 40 способов.

4. Итог урока:

– Какие задачи называются комбинаторными?
– Что означает слово «комбинаторика»?
– Как формулируется комбинаторное правило умножения?
– Придумайте задачу на комбинаторное правило умножения. (Если останется время.)

5. Домашнее задание. (Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов и др. «Математика 6», 2006год.) Придумать задачу на комбинаторное правило умножения.

6. Литература:

1. Учебник «Математика 6» Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. Москва «Мнемозина» 2006.
2. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение» 2005.

urok.1sept.ru

Урок по теме : «Комбинаторные задачи» (6 класс)

Тема урока «Комбинаторные задачи», 6 класс

Цели урока:

— обобщить и систематизировать знания о комбинаторных задачах;

— повторить способы решения комбинаторных задач;

— совершенствовать навыки решения данных задач;

— развивать умение дискуссионной и групповой работы;

— развитие коммуникативных компетенций;

— формирование умений мыслить системно, находить творческий подход в своей работе;

Класс разбит на 5 групп.

Ход занятия

1. Организационный момент.

Учитель. Мы закончили изучать интересную тему, учились решать задачи по данной теме, выполняли творческое задание. Как эта тема называлась и чему мы научились, изучая данную тему?

2. Актуализация знаний.

Кто вспомнит, что это за раздел математики, комбинаторные задачи?

(ответы учащихся)

Сообщение ученицы. Слайд №3.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям можно составить из данных объёктов. Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходиться заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности. Например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему сельхозкультуры на нескольких полях, химику, изучающему строение молекул.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. В Китае увлекались составлением магических квадратов, в Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов стихотворных размеров. Комбинаторные задачи возникли в связи с такими играми, как шашки, шахматы, карты, кости и др.Чтобы их решить, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям.

Кто напомнит, какими способами мы научились решать комбинаторные задачи? Слайд №4.

• Перебор возможных вариантов.

• Таблицей.

• Дерево возможных вариантов.

• Правило умножения.

• Правило треугольника.

• С помощью графов.

3. Презентация способов решения задач. (Выступает с презентацией ученица, слайды с №5 по №10). Учащиеся работают в группах.

А сейчас мы вспомним отдельно каждый способ. Я вам буду предлагать задачу, вы в группах решите ёё и скажете правильный ответ. Затем проверим решение с помощью презентации.

1.Перебор возможных вариантов.

Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 5, 8 ?

Решение. 58, 50, 80, 85.

Ответ: 4 числа.

2. Таблицей.

Алла, Бэла, Валентина и Галина во время майского праздника подарили друг другу по одному цветку. Причём каждая девочка подарила каждой по одному цветку. Сколько всего цветков было подарено?

Решение.

Ответ: 12 цветков.

А

Б

В

Г

А

——

+

+

+

Б

+

___

+

+

В

+

+

—-

+

Г

+

+

+

—-

3.Дерево возможных вариантов.

Никита, Борис, Виктор, и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл по 1 партии. Сколько сыграно партий?

Решение.

Никита

Борис Виктор Григорий

Виктор Григорий Григорий

Ответ. 6 партий.

4. Правило умножения.

В меню в столовой предложены на выбор 3 первых блюда, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из 1 первого, 1 второго и 1 третьего блюда, можно составить из предложенного меню?

Решение. 3*5*4=60

Ответ: 60 блюд.

5.Правило треугольника.

Встретились 5 приятелей и обменялись рукопожатиями. Сколько всего сделано рукопожатий?

Решение.

1 2 3 4 5

1 — + + + +

2 — — + + +

3 — — — + +

4 — — — — +

5. — — — — — Ответ: 10 рукопожатий.

6.С помощью графа.

По окончанию деловой встречи 4 специалиста обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько визитных карточек было роздано?

Решение.

Ответ. 12 визиток

4.Работа в группах. Слайд №11.

Сейчас я предлагаю каждой группе решить задачу одну и ту же, но разными способами. Каждая группа оформляет своё решение на листе фломастерами.

Задача. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили друг другу на память свои фотографии. Причём каждый мальчик подарил каждому по 1 фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение задач вывешивается на доске. Выполняется анализ решения задач каждой группы.

5. Итог урока. Домашнее задание.

Слайд № 12. Знаешь ли ты?

Как прочитать и решить такой пример?

10!

6!

8!

Поищите в справочной литературе, в интернете ответ на этот вопрос.

Учитель. Рефлексия. Итак, мы закончили изучать тему из раздела Комбинаторики. Интересно ли было решать комбинаторные задачи? Понравился ли урок? (Учащиеся показывают рисунки рожицы с улыбкой или грустные).

Нам ещё предстоит познакомиться с другим разделом математики: теорией вероятности. Это тоже интересная тема. Но о ней мы поговорим позже.

infourok.ru

Презентация по математике в 6 классе «Решение комбинаторных задач»

Урок математики в 6-а классе по теме:   «Способы решения комбинаторных задач»

 

Цели урока:

Образовательные:

• учить находить возможные комбинации, составленные из чисел, слов предметов, отвечающие условию задачи;
•  выяснить практическое применение комбинаторики в повседневной жизни;

Развивающие:

• развитие математического мышления и логической речи;
• развитие познавательного интереса;
•  умения самостоятельно выбирать способ решения и обосновывать выбор;

Воспитательные:

• воспитание чувства ответственности за качество и результат выполняемой работы;
• прививать сознательное отношение к труду;
• формировать ответственность за конечный результат;
• воспитание интереса к предмету.

Оборудование: компьютер, слайдовая презентация, интерактивная доска, карточки.

 

Ход урока:

I. Организационный момент.

 

  В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора

Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации.

 

Вот и сегодня на уроке мы с вами будем решать задачи, в которых надо осуществить перебор всевозможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

 

Ну, а чтобы у нас с вами все получилось, я предлагаю вам для концентрации своего внимания устный счет, который приведет ваш ум в порядок. Ведь не зря же говорится: «Ум без догадки гроша не стоит»

II. Устный счет.

  Вывод:   Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций,
подчиненных тем или иным условиям,
можно составить из заданных объектов

 

Задачей комбинаторики – можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

 

III. Решение задач .

 Сообщается тема урока: «Способы решения комбинаторных задач»

 

Основные способы решения:

 

nСпособ организованного перебора

nТабличный способ

nДерево вариантов

nПравило умножения

 

nСпособ организованного перебора

 

 

Задача1. (Билеты в кинотеатр) – устно

 

Задача2. (Яблоки) — устно

 Методические рекомендации: Начинать решение следует с очевидного варианта – яблок одинакового цвета

 

Задача 3. (Тюльпаны)- разобрать на доске

 

Методические рекомендации: как и в предыдущей задаче, следует обратить внимание учащихся, что при выборе трех цветков не имеет значение порядок расположения в букете.

 

 

 

 

 

nТабличный способ

 

Задача 4 (Двухцветные ручки) – самостоятельно ( на листочках)

Методические рекомендации:  при решении задачи сначала необходимо разгадать правило, по которому составлена таблица,  и заполнить ее до конца. Составленную таблицу соотнести с условием задачи. Далее обвести зеленным цветом только клетки, в которых показаны ручки разных цветов.

 

nДерево вариантов

 

Задача 5. (Новые ученики – МИША, ВАСЯ, КАТЯ, ЛИЗА) – разобрать на доске.

 

Методические рекомендации: Для наглядности в  качестве корня дерева возможных вариантов мы используем картинку учителя.

 

Задача 6. (Цифры 0, 5, 7, 9) – разобрать на доске

Методические рекомендации: Числа меньшие 900!!!

 

 

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

 

 

1. Вы открыли учебник на любой странице и выбрали первое попавшееся существительное. Событие состоит в следующем:

а) в написании выбранного слова есть гласная буква; (достоверное – в записи любого существительного есть хотя бы одна гласная буква)

б) в написании выбранного слова есть буква «о»; (случайное – есть существительные, в записи которых используется буква «о», а есть существительные, в записи которых нет этой буквы)

в)  в написании выбранного слова нет гласных букв; (невозможное – нет существительных, состоящих только из согласных букв)

г) в написании выбранного слова есть мягкий знак. (случайное)

 

 

2. Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

а)  их дни рождения не совпадают; (случайное)

б) их дни рождения совпадают; (случайное)

в) Петя родился 29 февраля, а Толя — 30 февраля; (невозможное)

г) дни рождения обоих приходятся на праздники — Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня). (случайное)

 

3.  Контрольное задание

а) летних каникул не будет; (невозможное)

б) бутерброд упадет маслом вниз; (случайное – иногда бутерброд падает маслом вверх)

в) учебный год когда-нибудь закончится (достоверное)

г) сейчас прозвенит звонок (случайное)

 

 

·      Правило умножения

 

 Творческое задание:

 

 

Сейчас вам предстоит решить 4 задачи. Если вы, верно, укажете номер правильного ответа, то вам откроется часть красивой фотографии. (Самостоятельная работа)

 

 

ОТВЕТЫ:       25;   4;    6;   15

 

 

 

 

 

 

 

IV. Подведение итогов.

 

1.   «плюсы» и «минусы» различных  способов решения комбинаторных задач.

2.   Домашнее задание.

3.   Оценки за презентацию «Художник»

4.   Оценки за устные ответы.

 

 

 

 

Вывод:Я надеюсь, что умение решать комбинаторные задачи вам пригодится не только на ГИА И ЭГЭ, что безусловно, очень важно, но и в дальнейшей вашей жизни. Ведь , люди, которые умело владеют техникой решения комбинаторных задач, а следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций.

 

 

 

Комбинаторика и теория вероятностей неразрывно связаны с нашей жизнью. Этот раздел математики готовит детей:

·      К выбору наилучшего из возможных вариантов;

·      Оценке степени риска;

 

·      Шансу на успех и т.д.

infourok.ru

Решение комбинаторных задач — Математика

Комбинаторика для великих комбинаторов

Методы решения комбинаторных задач

      Тип урока: урок построения системы знаний.

Цели урока: создать организационные и содержательные условия для формирования умений решения комбинаторных задач

Задачи:

 обучающие: закреплять знания учащихся о комбинаторике; продолжить формировать умения решать комбинаторные задачи, учить находить возможные комбинации, составленные из чисел, предметов отвечающих условию задачи;

развивающие: развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, делать выводы;

воспитательные: владеть интеллектуальными умениями и мыслительными операциями; развивать внимание, аккуратность в построении чертежей, умение работать в паре, воспитывать чувство коллективизма,  уверенности в себе.

     Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: Ученик получит возможность для формирования устойчивых эстетических предпочтений, способности к эмоциональному восприятию материала, положительного отношения к учению, к предмету; получит возможность для формирования коммуникативной компетентности в общении.

Предметные: Ученик научиться: анализировать объекты, сравнивать, сопоставлять, устанавливать взаимосвязь объектов, делать выводы, составлять логическую цепочку рассуждений, создавать схемы и модели задачи.

Ученик получит возможность: научиться организовывать учебное сотрудничество со сверстниками.

Метапредметные: Ученик научиться: отбирать метод решения комбинаторной задачи по её содержанию; решать простейшие комбинаторные задачи. Ученик получит возможность: углубить и развить представления о комбинаторных задачах.

•  мультимедийный проектор, ПК, учебник, фломастеры, листы А2, карточки с незаполненными таблицами.

Ход урока

Ребята, послушайте, какая тишина!  

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря

И приступим все к работе.

 

— Девиз нашего урока:

Учитесь думать, объяснять,

Учитесь мыслить, рассуждать,

Ведь в математике, друзья,

Без логики никак нельзя!

 

— В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Ребята, с какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? (с проблемой выбора дальнейшего пути движения)

— Верно! А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

— Оказывается, существует  целый раздел математики, который  занят поисками ответов на эти вопросы.  Как он называется? (примерный ответ детей: речь идет о комбинаторике – разделе математики, в котором рассматриваются задачи – подсчета числа комбинаций (вариантов)).  Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Я назвала наш сегодняшний урок не совсем обычно «Комбинаторика для великих комбинаторов» и под названием оставила место не случайно.  Как можно по-другому сформулировать тему урока?  Один из предложенных вариантов записывается на доску, например, «Решение комбинаторных задач» или «Методы решения комбинаторных задач». Запишите число и тему урока.

— Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности.

— И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики, и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

— Придя в школу, повесив одежду, вы очень часто отправляетесь к расписанию, посмотреть порядок уроков на день. А представьте на миг, что бы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям.

 

На дом была задана задача в помощь Ирине Алексеевне. Составить расписание уроков в 6 А классе на сегодня — 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, история и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – последний урок? Какими способами вы решали? Почему математика в переборе не участвовала? (Ответы детей: 1. кодирование, 2. построение дерева возможных вариантов) Что получилось? Ответ: 24 варианта

ЛИРФ ИЛФР РЛФИ ФЛРИ

ЛРИФ ИРЛФ РИЛФ ФИЛР

ЛРФИ ИРФЛ РИФЛ ФИРЛ

ЛФИР ИФЛР РФЛИ ФИРЛ

ЛФРИ ИФРЛ РФИЛ ФРИЛ

 

Ребята, у вас  есть таблица, давайте  начнем ее заполнение.

Название метода	Достоинства метода	Недостатки метода
Метод перебора	Наглядность, возможность увидеть все варианты.	Очень длительный, можно пропустить варианты

 

Выберем оптимальный вариант на сегодня. (Повесить расписание на доску)

 

Хорошо. Заглянем на каждый из уроков: обществознание, физкультуру, русский язык и литературу. И по возможности отыщем на них математические задания.

 

Начнем с истории.

 

Задача: Руководство страны КОМБИНАТОРИКА решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном полотне в одном из углов помещается квадратик другого цвета. Цвета решено выбрать из трёх возможных: красного, белого, зеленого. Сколько вариантов такого флага существует? Построим дерево возможных вариантов.(слайд)

Итак, можно составить 24 варианта. Представьте, что именно вам поручили изобразить этот флаг. И сейчас я вам предлагаю это сделать. Работайте в парах. Решите задачу, используя цветные заготовки.

Давайте продолжим заполнять таблицу. Какой метод мы вспомнили?

Название метода	Достоинства метода	Недостатки метода
Метод перебора	Наглядность, возможность увидеть все варианты.	Очень длительный, можно пропустить варианты
«Дерево» вариантов	Наглядность, возможность увидеть все варианты	Очень громоздкий и длительный.

 

(физ.минутка)

Раз, два, три, четыре, пять –

Все умеем мы считать.

Раз! Подняться, потянуться.

Два! Согнуться, разогнуться.

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать.

Шесть — за парту мы присели.

Значит, хватит отдыхать!

 

Ребята, вы должны заметить, что при увеличении количества элементов число комбинаций резко увеличивается и уже для пяти элементов построить дерево возможных вариантов непросто, как же быть если элементов, например, 20? Значит, есть какой – то другой способ? Более рациональный, который быстрее приведет нас к ответу.

 

Попробуем решить эту же задачу другим способом. Итак, мы можем взять одно из трех полотнищ, остается два на выбор, потом один. В каком углу расположить квадрат? Четыре положения (правый верхний, нижний; левый верхний, нижний)

(3*2*1)*4=24 про этот способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

 

А сейчас физкультура.

 

Меньше года остается до чемпионата мира по футболу   все спортсмены страны КОМБИНАТОРИКА готовятся к этому знаменательному событию и принимают участие в различных турнирах.

Задача: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,0,1,8?

1 цифра – 3 (0 не может стоять на первом месте) 2 цифра: все 4 3 цифра: все 4

 

Ответ:

3*4*4=48

Задача:  Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Ответ: 6 =3*2*1

Задача: В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они использовали для трусов и футболок два разных цвета из пяти возможных: белый, красный, синий, зеленый, желтый. Выяснилось, что были использованы все возможные варианты. Сколько команд участвовало в турнире?

Решение: Для выбора цвета футболки существует пять возможностей (способов). Тогда для выбора цвета трусов остается только 4 возможности (способа), поскольку трусы и футболки должны быть разных цветов. Итак, на каждый из пяти цветов футболок приходится 4 цвета трусов. Всего 20 =(4*5) вариантов.

Ответ: 20 команд.

 

Название метода	Достоинства метода	Недостатки метода
Метод перебора	Наглядность, возможность увидеть все варианты.	Очень длительный, можно пропустить варианты
«Дерево» вариантов	Наглядность, возможность увидеть все варианты	Очень громоздкий и длительный.
Правило умножения	Компактность, быстрота решения.	«Не видно» самих вариантов, можно посчитать только их количество.

Настало время перекусить. Мы идем в школьную столовую.

1. Сколько и  какие различные завтраки, состоящие из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Ребята, каким способом, кроме метода перебора вы можете решить данную задачу? (ответы детей).

Давайте решим задачу с помощью  метода – дерево вариантов. Один ученик идет решать задачу  к доске. (6)

Начинаем русский язык.

 

Задача: Различные игры со словами – одно из самых известных и любимых развлечений многих, в том числе для жителей страны КОМБИНАТОРИКА. Для большинства из этих игр необходимы только карандаш и бумага, а нередко и того не требуется. Зато в этих задачах нужны наблюдательность, эрудиция и умение решать комбинаторные задачи.

 

В течение 1 минуты составьте как можно больше слов, состоящих из букв слова КОМБИНАТОРИКА (время).

У кого слово из 10 букв, 8 букв, и т.д.

Ком, комбинат, комбинатор, тор, рот, банк, банка, кот, ток, рота, тина, тон, нота, каток, мина, бином, мот, том, икра, мир,…

 

Как богат, не правда ли, русский язык? Но мы все больше убеждаемся, что и математика очень интересна и связана со многими науками.

 

 

Следующий урок  литература.

 

Внимание, перед вами лежат листочки с текстом отрывка из одного известного произведения. Прочитайте его.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть  …

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

………………..

«Стой, братцы, стой!» — кричит Мартышка.-

Погодите.

Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!

 

— Из какого произведения данный отрывок и кто автор? (басня Ивана Андреевича Крылова «Квартет»)

1) Кто участники этого музыкального коллектива? (Осел, козел, мартышка, мишка)

2) Что они делали? (играли на муз. инструментах)

3) Получилась у них музыка? (нет)

4) Что они для этого делали? (пересаживались)

5) Почему музыка опять не получалась? (не умели играть)

6) Сколько существует способов посадки этих животных? Используя правило умножения решите.  Ответ: 4

7) Почему басню так назвали квартет? (четыре исполнителя)

 

Даже сказочные герои задают похожие задачи.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-Царевич. Пошел он Василису Прекрасную спасать.  Дошел  до Кикиморы. От Кикикморы до Бабы Яги три дорожки ведут, а от Бабы Яги до Кощея – две. Сколько вариантов есть у Ивана- Царевича, чтобы дойти до Кощея?

Ответ 32=6

 

И последний урок  математика.

 

Задача: Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе, поезде или автобусе. Ответ: 8=2

 

Подведем итоги нашей работы. Назовем эту часть урока «Открытый микрофон»

Вам предлагаю закончить предложения:

— С чем вы познакомились сегодня на уроке? (с комбинаторными задачами)

— Каким способом вы научились решать такие задачи? («дерево возможных вариантов», метод перебора, правило умножения)

— Итак, ученику приходится встречаться с математикой, практически, постоянно. В частности, вы просчитываете  различные комбинации,

·        когда выбираете меню в столовой,

·        формулируете свой ответ на уроках,

·         составляете график дежурства по классу,

·         планируете, как провести свои выходные или каникулы и так далее.

 

— В каких областях применяется комбинаторика?

• -учебные заведения ( составление расписаний)
• -сфера общественного питания (составление меню)
• -лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
• -спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
• -агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
• -география (раскраска карт)
• -криптография (разработка методов шифрования)
• -доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
• -военное дело (расположение подразделений)

 

— Ребята, нарисуйте дерево возможных эмоций, которые можно испытывать во время урока, в виде различных смайликов. Закрасьте желтым цветом тот смайлик, который соответствовал вашему настроению на уроке.

 

Математика повсюду – Глазом только поведешь, И примеров сразу уйму Ты вокруг себя найдешь…

 

Спасибо за урок, дети!

 

 

Просмотр содержимого документа
«Решение комбинаторных задач»

Комбинаторика для великих комбинаторов

Методы решения комбинаторных задач

Тип урока: урок построения системы знаний.

Цели урока: создать организационные и содержательные условия для формирования умений решения комбинаторных задач

Задачи:

обучающие: закреплять знания учащихся о комбинаторике; продолжить формировать умения решать комбинаторные задачи, учить находить возможные комбинации, составленные из чисел, предметов отвечающих условию задачи;

развивающие: развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, делать выводы;

воспитательные: владеть интеллектуальными умениями и мыслительными операциями; развивать внимание, аккуратность в построении чертежей, умение работать в паре, воспитывать чувство коллективизма, уверенности в себе.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: Ученик получит возможность для формирования устойчивых эстетических предпочтений, способности к эмоциональному восприятию материала, положительного отношения к учению, к предмету; получит возможность для формирования коммуникативной компетентности в общении.

Предметные: Ученик научиться: анализировать объекты, сравнивать, сопоставлять, устанавливать взаимосвязь объектов, делать выводы, составлять логическую цепочку рассуждений, создавать схемы и модели задачи.

Ученик получит возможность: научиться организовывать учебное сотрудничество со сверстниками.

Метапредметные: Ученик научиться: отбирать метод решения комбинаторной задачи по её содержанию; решать простейшие комбинаторные задачи. Ученик получит возможность: углубить и развить представления о комбинаторных задачах.

Ресурсы: мультимедийный проектор, ПК, учебник, фломастеры, листы А2, карточки с незаполненными таблицами.

Ход урока

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря

И приступим все к работе.

— Девиз нашего урока:

Учитесь думать, объяснять,

Учитесь мыслить, рассуждать,

Ведь в математике, друзья,

Без логики никак нельзя!

— В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Ребята, с какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? (с проблемой выбора дальнейшего пути движения)

— Верно! А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

— Оказывается, существует целый раздел математики, который занят поисками ответов на эти вопросы. Как он называется? (примерный ответ детей: речь идет о комбинаторике – разделе математики, в котором рассматриваются задачи – подсчета числа комбинаций (вариантов)). Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Я назвала наш сегодняшний урок не совсем обычно «Комбинаторика для великих комбинаторов» и под названием оставила место не случайно. Как можно по-другому сформулировать тему урока? Один из предложенных вариантов записывается на доску, например, «Решение комбинаторных задач» или «Методы решения комбинаторных задач». Запишите число и тему урока.

— Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности.

— И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики, и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

— Придя в школу, повесив одежду, вы очень часто отправляетесь к расписанию, посмотреть порядок уроков на день. А представьте на миг, что бы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям.

На дом была задана задача в помощь Ирине Алексеевне. Составить расписание уроков в 6 А классе на сегодня — 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, история и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – последний урок? Какими способами вы решали? Почему математика в переборе не участвовала? (Ответы детей: 1. кодирование, 2. построение дерева возможных вариантов) Что получилось? Ответ: 24 варианта

ЛИРФ ИЛФР РЛФИ ФЛРИ

ЛРИФ ИРЛФ РИЛФ ФИЛР

ЛРФИ ИРФЛ РИФЛ ФИРЛ

ЛФИР ИФЛР РФЛИ ФИРЛ

ЛФРИ ИФРЛ РФИЛ ФРИЛ

Ребята, у вас есть таблица, давайте начнем ее заполнение.

Название метода	Достоинства метода	Недостатки метода
Метод перебора	Наглядность, возможность увидеть все варианты.	Очень длительный, можно пропустить варианты

Выберем оптимальный вариант на сегодня. (Повесить расписание на доску)

Хорошо. Заглянем на каждый из уроков: обществознание, физкультуру, русский язык и литературу. И по возможности отыщем на них математические задания.

Начнем с истории.

Задача: Руководство страны КОМБИНАТОРИКА решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном полотне в одном из углов помещается квадратик другого цвета. Цвета решено выбрать из трёх возможных: красного, белого, зеленого. Сколько вариантов такого флага существует? Построим дерево возможных вариантов.(слайд)

Итак, можно составить 24 варианта. Представьте, что именно вам поручили изобразить этот флаг. И сейчас я вам предлагаю это сделать. Работайте в парах. Решите задачу, используя цветные заготовки.

Давайте продолжим заполнять таблицу. Какой метод мы вспомнили?

Название метода	Достоинства метода	Недостатки метода
Метод перебора	Наглядность, возможность увидеть все варианты.	Очень длительный, можно пропустить варианты
«Дерево» вариантов	Наглядность, возможность увидеть все варианты	Очень громоздкий и длительный.

(физ.минутка)

Раз, два, три, четыре, пять –

Все умеем мы считать.

Раз! Подняться, потянуться.

Два! Согнуться, разогнуться.

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать.

Шесть — за парту мы присели.

Значит, хватит отдыхать!

Ребята, вы должны заметить, что при увеличении количества элементов число комбинаций резко увеличивается и уже для пяти элементов построить дерево возможных вариантов непросто, как же быть если элементов, например, 20? Значит, есть какой – то другой способ? Более рациональный, который быстрее приведет нас к ответу.

Попробуем решить эту же задачу другим способом. Итак, мы можем взять одно из трех полотнищ, остается два на выбор, потом один. В каком углу расположить квадрат? Четыре положения (правый верхний, нижний; левый верхний, нижний)

(3*2*1)*4=24 про этот способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

А сейчас физкультура.

Меньше года остается до чемпионата мира по футболу все спортсмены страны КОМБИНАТОРИКА готовятся к этому знаменательному событию и принимают участие в различных турнирах.

Задача: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,0,1,8?

1 цифра – 3 (0 не может стоять на первом месте) 2 цифра: все 4 3 цифра: все 4

Ответ:

3*4*4=48

Задача: Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Ответ: 6 =3*2*1

Задача: В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они использовали для трусов и футболок два разных цвета из пяти возможных: белый, красный, синий, зеленый, желтый. Выяснилось, что были использованы все возможные варианты. Сколько команд участвовало в турнире?

Решение: Для выбора цвета футболки существует пять возможностей (способов). Тогда для выбора цвета трусов остается только 4 возможности (способа), поскольку трусы и футболки должны быть разных цветов. Итак, на каждый из пяти цветов футболок приходится 4 цвета трусов. Всего 20 =(4*5) вариантов.

Ответ: 20 команд.

Название метода	Достоинства метода	Недостатки метода
Метод перебора	Наглядность, возможность увидеть все варианты.	Очень длительный, можно пропустить варианты
«Дерево» вариантов	Наглядность, возможность увидеть все варианты	Очень громоздкий и длительный.
Правило умножения	Компактность, быстрота решения.	«Не видно» самих вариантов, можно посчитать только их количество.

Настало время перекусить. Мы идем в школьную столовую.

Задача. Сколько и какие различные завтраки, состоящие из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Ребята, каким способом, кроме метода перебора вы можете решить данную задачу? (ответы детей).

Давайте решим задачу с помощью метода – дерево вариантов. Один ученик идет решать задачу к доске. (6)

Начинаем русский язык.

Задача: Различные игры со словами – одно из самых известных и любимых развлечений многих, в том числе для жителей страны КОМБИНАТОРИКА. Для большинства из этих игр необходимы только карандаш и бумага, а нередко и того не требуется. Зато в этих задачах нужны наблюдательность, эрудиция и умение решать комбинаторные задачи.

В течение 1 минуты составьте как можно больше слов, состоящих из букв слова КОМБИНАТОРИКА (время).

У кого слово из 10 букв, 8 букв, и т.д.

Ком, комбинат, комбинатор, тор, рот, банк, банка, кот, ток, рота, тина, тон, нота, каток, мина, бином, мот, том, икра, мир,…

Как богат, не правда ли, русский язык? Но мы все больше убеждаемся, что и математика очень интересна и связана со многими науками.

Следующий урок  литература.

Внимание, перед вами лежат листочки с текстом отрывка из одного известного произведения. Прочитайте его.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть …

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

………………..

«Стой, братцы, стой!» — кричит Мартышка.-

Погодите.

Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!

— Из какого произведения данный отрывок и кто автор? (басня Ивана Андреевича Крылова «Квартет»)

1) Кто участники этого музыкального коллектива? (Осел, козел, мартышка, мишка)

2) Что они делали? (играли на муз. инструментах)

3) Получилась у них музыка? (нет)

4) Что они для этого делали? (пересаживались)

5) Почему музыка опять не получалась? (не умели играть)

6) Сколько существует способов посадки этих животных? Используя правило умножения решите. Ответ: 4

7) Почему басню так назвали квартет? (четыре исполнителя)

Даже сказочные герои задают похожие задачи.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-Царевич. Пошел он Василису Прекрасную спасать. Дошел до Кикиморы. От Кикикморы до Бабы Яги три дорожки ведут, а от Бабы Яги до Кощея – две. Сколько вариантов есть у Ивана- Царевича, чтобы дойти до Кощея?

Ответ 32=6

И последний урок  математика.

Задача: Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе, поезде или автобусе. Ответ: 8=2

Подведем итоги нашей работы. Назовем эту часть урока «Открытый микрофон»

Вам предлагаю закончить предложения:

— С чем вы познакомились сегодня на уроке? (с комбинаторными задачами)

— Каким способом вы научились решать такие задачи? («дерево возможных вариантов», метод перебора, правило умножения)

— Итак, ученику приходится встречаться с математикой, практически, постоянно. В частности, вы просчитываете различные комбинации,

• когда выбираете меню в столовой,

• формулируете свой ответ на уроках,

• составляете график дежурства по классу,

• планируете, как провести свои выходные или каникулы и так далее.

— В каких областях применяется комбинаторика?

• -учебные заведения ( составление расписаний)

• -сфера общественного питания (составление меню)

• -лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

• -спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

• -агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

• -география (раскраска карт)

• -криптография (разработка методов шифрования)

• -доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

• -военное дело (расположение подразделений)

— Ребята, нарисуйте дерево возможных эмоций, которые можно испытывать во время урока, в виде различных смайликов. Закрасьте желтым цветом тот смайлик, который соответствовал вашему настроению на уроке.

Математика повсюду –
Глазом только поведешь,
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…

Спасибо за урок, дети!

multiurok.ru