Конус — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

прямой круговой конус прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: они обладают одинаковым объёмом усечённый прямой круговой конус

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»^[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся

на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

• образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.
• образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
• угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.
• прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется
  осью конуса.
• косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
• усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

V=13SH,{\displaystyle V={1 \over 3}SH,}

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

2π(1−cos⁡α2),{\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),}

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

S=πRl,{\displaystyle S=\pi Rl,}

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)

S=πR(l+R),{\displaystyle S=\pi R(l+R),}

где R — радиус основания, l=R2+h3{\displaystyle l={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}} — длина образующей.

• Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

V=13πR2H.{\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}

• Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:

V=13πH(R2+Rr+r2),{\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}

где R{\displaystyle R} и r{\displaystyle r}  — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, H{\displaystyle H} — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.

• Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

V=13(h3S2−h2S1),{\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}

где S1{\displaystyle S_{1}} и S2{\displaystyle S_{2}}  — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h2{\displaystyle H_{1}} и h3{\displaystyle H_{2}}  — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

θ=Θ.{\displaystyle \theta =\Theta .}

z=r⋅ctg⁡Θ{\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta } или r=z⋅tg⁡Θ.{\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}

z=±x2+y2⋅ctg⁡Θ.{\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .}

Это уравнение в каноническом виде записывается как

x2a2+y2a2−z2c2=0,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

где константы a, с определяются пропорцией c/a=cos⁡Θ/sin⁡Θ.{\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .} Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

x2a2+y2b2−z2c2=0,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=0,{\displaystyle f(x,y,z)=0,} где функция f(x,y,z){\displaystyle f(x,y,z)} является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(αx,αy,αz)=αnf(x,y,z){\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)} для любого действительного числа α.

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ{\displaystyle \varphi } в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Построение разверток тел вращения — это… Что такое Построение разверток тел вращения?

Построение разверток тел вращения

Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция.
Потребность в составлении сложных развёрток, как правило, возникает при моделировании, работе с бумагой и металлом, в слесарном деле. Написанная ниже статья, объясняет принципы построения развёрток тел вращения (цилиндр, конус) и их частных случаев (сечение конуса, конус с переходом с круга на квадрат).

---

Основы и инструмент

• Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.
  
• При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.
  
• Длина окружности считается по формуле:
  

или

Где:
— радиус окружности,
— диаметр окружности,
— длина окружности,
— Число Пи (Pi),
Как правило, для вычисления используется значение (Pi) до второго знака (3,14), но в некоторых случаях, этого может быть недостаточно.

• Усечённый конус с доступной вершиной: Конус, при построении которого можно определить положение вершины.
  
• Усечённый конус с недоступной вершиной: Конус, при построении которого положение вершины определить затруднительно, в виду её удалённости.
  
• Триангуляция: способ построения разверток поверхностей неразвертывающихся, конических, общего вида и с ребром возврата.
  
• Следует помнить: Независимо от того, является рассматриваемая поверхность развертываемой или неразвертываемой, графически может быть построена только приближенная развертка. Это объясняется тем, что в процессе снятия и откладывания размеров и выполнения других графических операций неизбежны погрешности, обусловливаемые конструктивными особенностями чертежных инструментов, физическими возможностями глаза и погрешностями от замены дуг хордами и углов на поверхности плоскими углами. Приближенные развертки кривых не-развертывающихся поверхностей, кроме графических погрешностей, содержат погрешности, полученные за счет несовпадения элементов таких поверхностей с плоскими аппроксимирующими элементами. Поэтому для получения поверхности из такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение и сжатие отдельных ее участков. Приближенные развертки при тщательном выполнении обладают точностью, достаточной для практических целей.
  

Представленный в статье материал, подразумевает, что вы имеете представление об основах черчения, умеете делить окружность, находить центр отрезка при помощи циркуля, снимать/переносить размеры циркулем, пользоваться лекалами, и соответствующим справочным материалом. Потому, объяснение многих моментов в статье опущено.

Построение развёртки цилиндра

Цилиндр

Цилиндр

Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны — длине окружности оснований цилиндра.

Усечённый цилиндр (рыбина)

Усечённый цилиндр

Подготовка:

• Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).
  
• Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.
  
• Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.
  

Построение:

• Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.
  
• Циркулем снимаем размер C-O₁, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B₁-C₁, и откладываем перпендикуляр из точки 1.
  
• Циркулем снимаем размер O₁-O₂, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B₂-C₂, и откладываем перпендикуляр из точки 2.
  
• Повторять, пока не будет отложена точка D.
  
• Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D — соединить лекальной кривой.
  
• Вторая половина развёртки зеркальна.
  

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.
Примечание: Почему «Рыбина» — если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки

D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

Чертёж: «Усечённый цилиндр»

Построение развёртки конуса

Конус

Конус

Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами. (См. чертёж)

1. Если известен размер стороны конуса, из точки O, циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A₁ и B₁), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.
2. Строится конус в натуральную величину, из точки O, в точку A, ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B. На дуге откладываются две точки (A₁ и B₁), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.
   

Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.

Конус со смещёной вершиной строиться так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.

Как отложить длину окружности на дуге:

1. При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.
2. При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.
3. Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на прямой поочерёдно.

Чертёж: «Конус»

Конус с прямоугольным (многогранным) основанием.

Конуса с многогранным основанием

1. В случае, если конус имеет ровное, радиальное, основание: (При построении окружности на виде с верху, путём установки циркуля в центр, и очерчивания окружности по произвольной вершине — все вершины основания укладываются на дугу окружности.) Построить конус, по аналогии с развёрткой обычного конуса (основание строить по окружности, от вида сверху). Отложить дугу из точки O. В произвольной части дуги поставить точку
   A₁, и поочерёдно отложить все грани основания на дугу. Конечная точка последней грани будет B₁.
2. Во всех иных случаях конус строится по принципу триангуляции (см. далее).
   

Усечённый конус с доступной вершиной

Усечённый конус

Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (См. чертёж).
Стороны AD и BC продожить, до появления точки пересечения O. Из точки пересечения O, провести дуги, с радиусом OB и OC.
На дуге OC, отложить длину окружности DC. На дуге OB, отложить длину окружности AB. Полученные точки соединить отрезками L₁ и L₂.
Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.

Как отложить длину окружности на дуге:

1. При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.
2. При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.

Примечание: Совсем не обязательно, что отрезки L₁ и L₂, если их продолжить, будут сходится в точке O. Если быть до конца честным, то сойтись они должны, но с учётом поправок на погрешности инструмента, материала и глазомера — точка пересечения может оказаться чуть ниже или выше вершины, что не является ошибкой.

Чертёж: «Усечённый конус»

Усечённый конус с переходом с круга на квадрат

Конус с переходом с круга на квадрат

Подготовка:
Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (см. чертёж), построить вид сверху ABB₁A₁. Окружность поделить на равные части (в приведённом примере показано деление одной четверти). Точки AA₁-AA₄ соединить отрезками с точкой A. Провести ось O, из центра которой провести перпендикуляр O-O₁, высотой равной высоте конуса.

Ниже, первичные размеры снимаются с вида сверху.
Построение:

• Снять размер AD и построить произвольную вертикаль AA₀-AA₁. Снять размер AA₀-A, и поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA₁, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O₁. Сделать отмашку циркулем из точки AA₁, до предполагаемой точки A. Соединить отрезками точки AA₀-A-AA₁.
  
• Снять размер AA₁-AA₂, из точки AA₁ поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA₂, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O₁. Сделать отмашку циркулем из точки A, до предполагаемой точки AA ₂. Провести отрезок A-AA₂. Повторить, пока не будет отложен отрезок A-AA₄.
  
• Снять размер A-AA₅, из точки A поставить «примерную точку» AA₅. Снять размер AA₄-AA₅, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O₁. Сделать отмашку циркулем из точки AA₄, до предполагаемой точки AA₅. Провести отрезок AA₄-AA₅.
  

Подобным образом построить остальные сегменты.
Примечание: Если конус имеет доступную вершину, и КВАДРАТНОЕ основание — то построение можно провести по принципу усечённого конуса с доступной вершиной, а основание — конуса с прямоугольным (многогранным) основанием. Точность будет ниже, но построение существенно проще.

Чертёж: «Конус с переходом с круга на квадрат»

Усечённый конус с непараллельными основаниями

Усечённый конус с не параллельными основаниями

Готовлю чертежи

Усечённый конус со смещёнными основаниями

Усечённый конус со смещёнными основаниями Усечённый конус со смещёнными основаниями в векторном представлении

Готовлю чертежи

Обобщения и замечания

• Используя вышеприведённую технику, можно построить развёртку практически любого объекта со сложной топографией.
  
• При этом следует иметь в виду, что при работе с металлом следует брать внутренние размеры детали, т.к. при гибке и/или закатке, внешняя поверхность металла тянется, а внутренняя остаётся неизменной. (Верно при использовании современного гибочного оборудования. На устаревшем оборудовании, следует вводить поправки на износ поверхностей, и точность работы станка.)
  
• При работе с металлом, толщиной свыше 6 мм, в зависимости от типа, марки металла и используемого гибочного оборудования — размеры следует брать не по внутренней стороне, а по «средней линии», которая проходит на половине толщины металла.
  
• При изготовлении из металла, линии разметки (прямые, а не вспомогательные диагонали) могут использоваться как линии гиба, с последующей доводкой контура молотком/киянкой на вспомогательной поверхности.

Смотри так же

1. ГОСТ 2.301-68* Форматы. (размеры форматов и их обозначение)
2. Начертательная геометрия и черчение.Книга начертательная геометрия и машиностроительное черчение. Под редакцией Чекмарева А.А.
3. Справочное руководство по черчению. Под редакцией Е.И. Годик и А.М. Хаскин. Москва «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1974г.
4. ЧЕРЧЕНИЕ. Под редакцией Боголюбова С.К. Учебник для средних специальных учебных заведений (2-е изд.)

Коническое сечение — Википедия

Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Три основных конических сечения

Кони́ческое сече́ние, или ко́ника^[1], — пересечение плоскости с поверхностью кругового конуса. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом

a2z2=x2+y2{\displaystyle a^{2}z^{2}=x^{2}+y^{2}} (в декартовой системе координат)

Здесь

a=tg⁡θ{\displaystyle a=\operatorname {tg} \theta }

θ{\displaystyle \theta } — угол между образующей конуса и его осью.

Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае,

• если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс,
• если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу,
• если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть, все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику, которая не может быть получена как сечение конуса, но она может быть получена как сечение цилиндра — вырожденного конуса, и обычно считается «вырожденным коническим сечением»).

Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции.

Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.). По-видимому он первым описал фокусы эллипса и гиперболы^[2]:41.

Папп Александрийский первым описал фокус параболы и вывел общее уравнение для конического сечения как геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно^[2]:48.

Эллипс (e=1/2), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом F и директрисой.

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку F{\displaystyle F} и прямую d{\displaystyle d} и зададим вещественное число e≥0{\displaystyle e\geq 0}. Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F{\displaystyle F} и до прямой d{\displaystyle d} отличается в e{\displaystyle e} раз, является коническим сечением. Точка F{\displaystyle F} называется фокусом конического сечения, прямая d{\displaystyle d} — директрисой, число e{\displaystyle e} — эксцентриситетом.

|FM|=e⋅|MM′|, MM′⊥d{\displaystyle |FM|=e\cdot |MM’|,\ MM’\bot d}

В зависимости от эксцентриситета, получится:

Для окружности полагают e=0{\displaystyle e=0} (хотя фактически при e=0{\displaystyle e=0} ГМТ является только точка F{\displaystyle F}).

Эксцентриситет связан с параметрами конуса и расположением секущей плоскости относительно оси конуса следующим соотношением^[3]:46,47:

e=sin⁡(90∘−ψ)sin⁡(90∘−φ)=cos⁡ψcos⁡φ,{\displaystyle e={\frac {\sin(90^{\circ }-\psi )}{\sin(90^{\circ }-\varphi )}}={\frac {\cos \psi }{\cos \varphi }},}

здесь ψ{\displaystyle \psi } — угол наклона секущей плоскости к оси конуса, φ{\displaystyle \varphi } — угол между образующей и осью конуса, равный половине угла раствора конуса. Из этой формулы видно, что, пересекая данный конус плоскостью, можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает 1cos⁡φ{\displaystyle {\frac {1}{\cos \varphi }}}. Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси.

Эллипс (синий) как коническое сечение, разделяющее шары Данделена; директрисы эллипса (Df1 и Df2), его фокусы (f1 и f2) и эксцентриситет (e)

Некоторые важные свойства конических сечений получаются при рассмотрении двух шаров, касающихся конического сечения и конуса — шаров Данделена. Например, с их помощью устанавливается геометрический смысл фокуса, директрисы и эксцентриситета конического сечения^[3]:46,47.

• Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение.

Декартовы координаты[править | править код]

В декартовых координатах, конические сечения описываются общим квадратным многочленом:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}

Иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. Знак дискриминанта

B2−4AC,{\displaystyle B^{2}-4AC,}

определяет тип конического сечения.

• Если дискриминант меньше нуля, то это эллипс, точка или пустое множество.
• Если дискриминант равен нулю, то это парабола, прямая или пара параллельных прямых.
• Если дискриминант больше нуля, то это гипербола или пара пересекающихся прямых

Полярные координаты[править | править код]

В полярных координатах (ρ,θ){\displaystyle (\rho ,\theta )}, с центром в одном из фокусов и нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением

ρ(1+ecos⁡θ)=l{\displaystyle \rho (1+e\cos \theta )=l}

где е обозначает эксцентриситет, а l фокальный параметр.

В рамках классической механики траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений закона обратных квадратов — закону всемирного тяготения, и вследствие этого является одной из конических кривых — параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — эллипсы, гиперболы^[4] или «почти параболические»^[5] (см. также Небесная механика), траектория полёта пушечного ядра без учёта влияния воздуха — дуга эллипса близкого к параболе.

• А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• И. Н. Бронштейн, Общие свойства конических сечений, Квант, № 5, 1975.
• Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, глава I.
• Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.
• А. И. Маркушевич Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04
• Шаль, Мишель. Об ангармоническом свойстве точек конического сечения и проч. // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. XV-XVI. М., 1883.

Тема 5. Поверхности второго порядка

В декартовой системе координат общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

(28)

где коэффициенты А, В, С … L  R и А, В, С, D, E, F не равны нулю одновремен-но.

Уравнение (28) называется общим уравнением поверхности второго порядка.

В некоторых случаях это уравнение определяет так называемые вырожденные поверхности (пустое множество, точку, прямую, плоскость или пару плоскостей). Уравнение невырожденной поверхности преобразованием системы координат можно привести к одному из перечисленных ниже видов, называемых каноническими.

1. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

(29)

Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если — эллипсоид называют трехосным, если две полуоси равны, эллипсоид называют эллипсои-дом вращения, так как этот эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Если a = b = c, уравнение (29) определяет сферу.

Рис. 22

2. Гиперболоиды. Каноническое уравнение гиперболоида имеет вид

.

Однополостный гиперболоид (рис.23) определяется уравнением

.

Рис. 23 Рис. 24

Двуполостный гиперболоид (рис. 24) определяется уравнением

. Поверхности, которые задаются уравнениями и

также являются однополостными гиперболоидами, только иначе расположены относительно системы координат.

3. Конус второго порядка (рис. 25). Каноническое уравнение конуса имеет вид

Поверхности, заданные уравнениями

, также определяют конические поверхности, только иначе расположены относительно системы координат.

Рис. 25

4. Параболоиды. Каноническое уравнение параболоида имеет вид

Эллиптический параболоид (рис. 26) определяется уравнением

, а гиперболический (рис. 27) – уравнением .

Рис. 26 Рис. 27

Поверхности, заданные в декартовой системе координат уравнением

или ,

также определяют эллиптический и гиперболический параболоиды, иначе расположенные относительно системы координат.

5. Цилиндры второго порядка. Уравнения эллиптического (рис. 28), гиперболического (рис. 29) и параболического (рис. 30) цилиндров имеют вид соответственно.

Рис. 28 Рис. 29 Рис. 30

Поверхности, которые задаются уравнениями или , а также , являются иначе располо-женными относительно системы координат цилиндрами.

Общие методы приведения уравнения поверхности второго порядка используют теорию квадратичных форм и здесь на рассматриваются. Рассмотрим только слу-чай, когда коэффициенты D, E и F ( при xy, yz, xz соответственно) равны нулю. В этом случае уравнения (28) с помощью параллельного переноса осей координат легко приводятся к каноническому виду.

Пример 1. Установить, какая поверхность задана уравнением

4х² + у² — z² — 24х + 4у + 2z + 35 = 0.

Решение. 4(x² — 6х)+ (у² + 4у) — (z² + 2z)= -35.

Выражения в скобках дополняем до полных квадратов

Переносим параллельно систему координат, приняв за новый центр точку

О(3,–2,–1): x = x’ + 3; y’ = y – 2; z = z’– l.

В новой системе координат данное уравнение имеет вид

Это однополостный гиперболоид.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипсоида, если оси совпадают с осями координат, который проходит через точку М(2; 0; 1) и пересекает

плоскость XOY по эллипсу .

Решение. Так как оси эллипсоида совпадают с осями координат, его уравнение будет иметь вид . Из условия пересечения эллипсоидом плоскости ХОY по эллипсу , следует система , откуда а² = 8; b² = 1. Далее следует, что , так как эллипсоид по условию проходит через точку М(2; 0; 1).

Итак, каноническое уравнение искомого эллипсоида будет иметь вид

Вызов интеллекту: Что видит твой УМ на этой картинке?

Удивительно, насколько наш ум порой бывает ленив. Ставим перед собой цели, но не находим вариантов их достижения. С глупым упорством делаем то, что не дает результатов и продолжаем не замечать новых возможностей. Сталкиваемся с трудностями и впадаем в ступор пред очередным вопросом «Что делать?». Сегодня я бросаю вызов Вашему интеллекту! В режиме мозгового штурма Вам предстоит рассмотреть, что изображено на простой картинке, причем смотреть нужно не только глазами, а прежде всего умом! Устройте небольшую встряску интеллекту, пройдите по ссылке, внимательно посмотрите и ответьте на вопрос:  Что изображено на картинке? ↓

Примечание: Чем больше правильных и неправильных вариантов Вам удастся найти, тем гибче Ваш ум. Конечно, важным фактором успешного выполнения данного упражнения является Ваша заинтересованность. В качестве главной выгодны от выполнения данного упражнения, может быть удовольствие. Ведь даже моменты небольших озарений дарят нам радость. Согласны? Если это так, то думайте и наслаждайтесь! Пора заняться делом, а значит внимание! Вопрос: Что изображено на картинке?

Напишите Ваши банальные, яркие, изящные, неприличные, гениальные и безумные варианты ответов в комментариях ниже (чем больше, тем лучше), это будет своеобразным подтверждением того, что Вы приняли мой вызов и выполнили упражнение. Включайте воображение! Поехали! Ну как? Слабо найти хотя бы 5 оригинальных ответа?

P.S. Если в первую минуту ничего не приходит в голову, продолжайте думать и идеи появятся.

P.S. Внимание! Вы можете принять участие еще в одном в мозговом штурме и выиграть призы:

100 идей! Чем заняться в Свободное Время?

(Пройдите по ссылке и узнайте подробности).

С уважением,
Дмитрий Пославский.

Понравилось? Отправьте ссылку друзьям ↓↓↓↓↓
(смело жмите на кнопку откроется новое окно)