3.2 Прямоугольные координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами

Определение 3.4 Проекцией вектора на осьназывается число, равное длине вектора(рис. 3.9), взятое со знаком «плюс», если направление векторасовпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.

Точки — это точки пересечения осис плоскостями, проходящими через точки

и, перпендикулярно оси. Обозначение.

Основные свойства проекции:

1. , где— угол между вектороми осью

   ;

2. ;

3. ;

4. .

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осяхиединичные векторы, обозначаемыесоответственно (рис. 3.10).

Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называютсяортами координатныхосей.

Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения векторасовместим его начало с началом координат (рис. 3.10). Из концавекторапроведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим

,иточки пересечения этих плоскостей с осямисоответственно. Тогда

,

,,.

а значит, существуют числа , такие что

,,и

,,.

Следовательно, вектор можно представить в виде:

. (3.5)

Формула (3.5) называется разложением вектора

по ортам координатных осей или по базису. Коэффициентылинейной комбинации (3.5) называют прямоугольными координатами вектора, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (3.5) записывают в виде

(3.6)

Имеет место аналогичное разложение вектора по базисуна плоскости (рис. 3.11).

. (3.7)

Длина вектора с координатамиопределяется по формуле

. (3.8)

Для плоского вектора

. (3.9)

Направление вектора

в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называютнаправляющими косинусамивектора. Обозначим— углы, которые составляет векторс осямисоответственно, тогда

,,. (3.10)

Справедливо равенство

. (3.11)

При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси.

Пусть даны два вектора и.

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число:

, (3.12)

.

Векторы и

равнытогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:

,,. (3.13)

Векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

. (3.14)

Радиус-вектором точки

называется вектор(рис. 3.12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой.

Координаты точки – это координаты её радиус-вектора .

Для вектора , заданного координатами точкии, его координаты определяются из векторного равенства

(3.15)

Здесь и— радиус-векторы точеки, т.е. координаты вектора равны разностям одноименных координат конечнойи начальнойточек этого вектора.

studfile.net

Векторы в прямоугольной декартовой системе координат

Различают два рода величин: скалярные и векторные. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной (например, масса, плотность, работа, температура). Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и т. д. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором (например, скорость, ускорение, сила).

Графически вектор обозначается отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора (рис 1.6). Длина, изображающего вектор отрезка, называется длиной вектора, а также его модулем или абсолютной величиной. Обозначается вектор одной буквой с черточкой или стрелкой над ней:или, а модуль этого вектора либо той же буквой, только без черточки над ней, т.е.a, либо. Также вектор можно обозначать, гдеА– начало иВ– конец вектора, а его модуль – теми же буквами, но без черточки наверху. Если модуль вектора равен нулю, то такой вектор называется нулевым и обозначается.

Пример 1.6. Даны точкиA(2, 4, 1) иB(–3, –2, 3), найдите векторы, и модули этих векторов.

Решение.Если в задаче необходимо «найти вектор», то это означает, что следует определить его координаты. Чтобы определить координаты вектора, надо из координат конца вектора вычесть координаты его начала. Произведем расчет координат вектора: –3 – 2= –5; –2 – 4 = –6; 3 – 1 = 2, то есть(–5; –6; 2). Аналогично,: 2 – (–3) = 5; 4 – (–2) = 6; 1 – 3 = –2, то есть(5; 6; –2).

Модуль вектора является длиной отрезкаAB. Т. е. модуль вектора(x,y, z) в пространстве:. Подставим координаты:=,.

Ответ: (–5; –6; 2),(5; 6; –2),.

Равными называют векторы с одинаковой длиной, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну и ту же сторону. Координаты равных векторов совпадают. Обратите внимание, что векторы и(рис.1.7) имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны. Если векторы лежат на одной или параллельных прямых и различны по направлению, такие векторы называют противоположными и обозначают. Координаты противоположных векторов отличаются знаком.

Пример 1.7. Найти вектор, соединяющий точкиA(1, 1) иB(3, 3), и его проекции на оси координат плоскости.

Решение.Проекцией векторана осьназывается длина отрезкаAВ, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось (рис.1.8). Этой длине приписывается знак плюс, если направление отрезкаAВсовпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси. Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора. Проекция векторана осьобозначается черезили, а уголмежду осью и вектором обозначается так:. Таким образом,==.

Рассмотрим на плоскости систему координат и изобразим в ней данные точки (рис.1.9). Произведем расчет координат вектора: 3 – 1= 2; 3 – 1 = 2, то есть(2; 2). Модуль его равен. Видим, что векторлежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов, следовательно, образует с каждой из осей угол в 45. Учитывая, что, вычислим проекции на оси координат:,.

Обратите внимание, что проекции вектора на оси совпадают с координатами этого вектора.

Ответ: (2, 2),,.

studfile.net

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Координаты вектора на плоскости

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы  и :

Векторы  и  ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.  

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Любой вектор  плоскости единственным образом выражается в виде:
, где  – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение  называется разложением вектора  по базису .

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть. Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости  и , то вектор  имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Пример 1

Даны две точки плоскости  и . Найти координаты вектора 

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: 

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу.

Пример 2

а) Даны точки  и . Найти векторы  и .
б) Даны точки  и . Найти векторы  и .

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю».

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле 

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты:  , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Даны точки  и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: 

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок  – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ  можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Пример 5

Даны точки  и . Найти длину вектора .

Решение: Сначала найдём вектор :

По формуле  вычислим длину вектора:

Ответ: 

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка  равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора  будет такой же. По итогу: 

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки  и . Найти длину отрезка .

Вместо применения формулы , поступаем так:
1) Находим вектор .
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка  равна длине вектора :

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Пример 6

а) Даны точки  и . Найти длину вектора .
б) Даны векторы , ,  и . Найти их длины.

infourok.ru

Координаты вектора

Вспомним, как мы находили координаты вектора на плоскости.

Пользуясь тем, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, на осях мы задавали единичные векторы. Таким образом, любой вектор можно разложить по данным единичным векторам, а координатами вектора являются коэффициенты этого разложения.

Так же вам уже известно, что любой вектор пространства можно выразить через 3 некомпланарных вектора, то есть векторы, не лежащие в одной плоскости.

Изобразим прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных осей от начала координат отложим единичные векторы.

Буквой i обозначим единичный вектор оси Оx, буквой j — единичный вектор оси Оy, буквой k — единичный вектор оси Оz.

Определение:

Векторы i, j, k будем называть координатными векторами.

Понятно, что они являются некомпланарными. И поэтому любой вектор пространства можно разложить по единичным векторам i, j, k. Причём коэффициенты разложения х, у и z определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z называют координатами вектора р в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках в последовательности х, у, z.

Задание: Пользуясь разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты.

Решение:

Задание: пользуясь координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам i, j, k.

Решение:

Задача: В прямоугольном параллелепипеде 𝑂𝐴 = 2, 𝑂𝐵 = 3, а ОО₁ = 2. Найти координаты векторов 𝑂𝐴₁, 𝑂𝐵₁, 𝑂𝑂₁, 𝑂𝐶, 𝑂𝐶₁, 𝐵𝐶₁, 𝐴𝐶₁ и 𝑂₁ 𝐶.

Решение:

После выполнения этого задания можно сделать вывод о том, что если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или параллелен ей, а также лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то его соответствующие координаты равны нулю.

Если вектор лежит в координатной плоскости Оху или параллелен ей, то его аппликата равна нулю. Если вектор принадлежит или параллелен координатной плоскости Охz, то его ордината равна нулю. Если же вектор принадлежит или параллелен координатной плоскости Оyz, то его абсцисса равна нулю.

В случае, когда вектор лежит на оси координат Оx или параллелен ей, то ордината и аппликата равны нулю. Если вектор принадлежит или параллелен оси Оy, то абсцисса и аппликата равны нулю. И если вектор принадлежит или параллелен оси Оz, то абсцисса и ордината равны нулю.

А сейчас поговорим о противоположных векторах. Из планиметрии известно, что координаты противоположных векторов противоположны. Это утверждение верно и для векторов в пространстве.

Задание: найти координаты векторов противоположных данным векторам.

Решение:

Также из курса планиметрии вам известны правила определения координат вектора суммы, вектора разности и произведения вектора на число.

Такие же правила действую и для координат векторов в пространстве.

Задание: 𝑎 ⃗{−1;0;3}, 𝑏 ⃗{5;−2;1} и 𝑐 ⃗{1;7;−2}. Определить координаты векторов:

1) 𝑎 ⃗+𝑐 ⃗;   2) 𝑏 ⃗−𝑎 ⃗;   3) 2𝑎 ⃗+𝑏 ⃗;   4) 1/2 𝑎 ⃗−2𝑏 ⃗+𝑐 ⃗.

Решение:

Так, используя правила определения координат вектора суммы, разности и произведения вектора на число, мы определили координаты данных векторов.

Итоги:

Сегодня мы ввели понятие координатных векторов i, j, k. И, пользуясь тем, что любой вектор пространства можно выразить через 3 некомпланарных вектора, записали, что коэффициенты х, у и z называют координатами вектора p в данной системе координат.

Мы отметили, что все координаты нулевого вектора равны нулю. Равные векторы имеют равные координаты, а координаты противоположных векторов противоположны.

Также мы записали правила, которые позволяют находить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов, координаты которых известны.

videouroki.net

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного

zaochnik.com

Лекция ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

ТЕМА 7.2 ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Содержание учебного материала:

Изучение декартовой системы координат в пространстве, построение по заданным координатам точек и плоскостей, нахождение координат точек и векторов:

1.Понятие прямоугольного базиса в пространстве.

2.Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

3.Координаты точки и вектора в пространстве.

Изучение свойств векторных величин, правил разложения векторов в трехмерном пространстве, правил нахождения координат вектора в пространстве, правил действий с векторами, заданными координатами.

4.Разложение вектора по трём некомпланарным направлениям:

а) разложение радиус-вектора по базису;

б) разложение произвольного вектора по базису;

5. Действия над векторами в координатной форме.

6. Изображение точки и вектора в прямоугольной системе координат.

1. Прямоугольный базис в пространстве.

Для построения прямоугольного базиса в пространстве нужно:

— провести три взаимно перпендикулярных прямые х, у, z, пересекающихся в одной точке О;

— провести через каждую пару этих прямых плоскость.

Плоскость, проходящая через прямые х и у, называют плоскостью ху, две другие плоскости соответственно хz и уz.

Прямые х, у, z называются координатными осями, х – ось абсцисс, у – ось ординат, z – ось аппликат. Точка пересечения О – начало координат, плоскости ху, хz, уz – координатные плоскости. Точка О разбивает каждую из этих осей на две полуоси, одна из которых положительная, а другая отрицательная (рис. 1).

Пусть – единичный вектор оси абсцисс,  единичный вектор оси ординат,  единичный вектор оси аппликат.

Тройка взаимно перпендикулярных, единичных векторов (i, j, k), отложенных от начала координат точки О и по направлению совпадающих с координатными осями, называют прямоугольным базисом в пространстве.

2. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

Совокупность прямоугольного базиса и начала координат называют прямоугольной системой координат в пространстве.

3. Координаты точки и вектора в пространстве.

Любая точка М(x; y; z) в пространстве имеет 3 координаты: х-абсцисса, у-ордината, z-аппликата.

Любой вектор ={х; у; z} или { х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁} в пространстве также имеет 3 координаты:

х- абсцисса, у- ордината, z- аппликата.

Радиус-вектором называют вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку пространства. Радиус-вектор имеет координаты точки, в которую он проведён.

= ={х; у; z}

Координаты вектора выражаются через координаты его начала А (х₁; у₁; z₁) и конца В(х₂; у₂; z₂):

{ х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁}.

Правило 1. Для определения координат вектора АВ нужно от координат конца вектора вычесть координаты начала.

Координаты равных векторов равны.

4.Разложение вектора по трём некомпланарным направлениям:

а) разложение радиус-вектора по базису

Пусть – единичный вектор оси абсцисс,  единичный вектор оси ординат,  единичный вектор оси аппликат. Радиус-вектор = можно разложить по единичным векторам:

= x + y + z.

Коэффициенты х, у, z называются координатами вектора ={х; у; z}: х = ОМ_х, у = ОМ_у, z = ОМ_z.

б) разложение произвольного вектора АВ по базису

( х₂ – х₁)i+( у₂ – у₁)j+( z₂ – z₁)k.

Правило 2. Для разложения вектора по базису нужно каждую координату вектора умножить на соответствующий координатный (базисный) вектор.

5. Действия с векторами в координатной форме:

Правило 3. Суммой (разностью) векторов (х₁; у₁; z₁) и (х₂; у₂; z₂) называется вектор = , координаты которого равны сумме (разности) соответствующих координат этих векторов:

(х₁ х₂; у₁ у₂; z₁ z₂).

Правило 4. Произведением вектора (х; у; z) на число k называется вектор

=k, координаты которого равны произведению числа k на координаты вектора :

=(kх; kу; kz).

Правило 5. Построение точки в пространстве

Для построения точки в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) Отложить первые две координаты на соответствующих осях и провести их проекции;

3) Выполнить параллельный перенос третьей координаты в точку пересечения проекций;

Правило 6. Построение радиус-вектора в пространстве

Для построения радиус-вектора в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) Отложить первые две координаты конца вектора на соответствующих осях и провести их проекции;

3) Выполнить параллельный перенос третьей координаты в точку пересечения проекций;

4) Соединить полученную точку с началом координат и обозначить искомый вектор.

Правило 7. Построение вектора MN в пространстве

Для построения вектора MN в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) По правилу (5) построить 2 точки — точку начала вектора M(-2;0;3) и точку конца N(2;1; -2).

3) Соединить полученные точки и обозначить искомый вектор.

infourok.ru

План-конспект урока (геометрия, 11 класс) по теме: Прямоугольная система координат. Векторы в пространстве. Координаты вектора.

Тема: Прямоугольная система координат. Векторы в пространстве. Координаты вектора.

Цели урока:

1. Обучающая  –  сформировать понятие о прямоугольной системе координат, координатах вектора.
2. Развивающая   –  развитие познавательного интереса учащихся.
3. Воспитывающая  –  воспитание к стремлению новых знаний.

Задачи урока:  Научить  находить  координаты вектора.

Ход урока

I.     Приветствие. Сообщение темы и   цели   урока.

II.    Проверка  домашенего задания.

III.   Изложение нового материала.

Прямоугольная система координат.

Векторы в пространстве.  Координаты вектора

        Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy,  xOz  и  yOz – координатными  плоскостям.  Точка O разбивает каждую координатную  ось на две  полупрямые,  которые  называются   положительной  и отрицательной полуосями.

          Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Вектора i, j, k называются координатными векторами.  Любой вектор  можно разложить по координатным векторам:              Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора  в данной системе координат.     Единичный вектор, направленный вдоль   оси x, обозначается i. Единичный вектор, направленный вдоль   оси y, обозначается j.  Единичный вектор, направленный вдоль   оси z, обозначается k.                                                                         Координаты нулевого вектора равны нулю. Координаты равных векторов соответственно равны. Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов. Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов. Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число. IV.     Закрепление.(мультимедийная презентация) Решение задач по готовому  чертежу  Задача №1 Рассмотрим точку А  и найдём   её координаты по чертежу: Ответ: А(2; -3; 5)  Задача№2    Найти координаты точек: Задача№3      Определите    координаты векторов:  ОА; ОА1; ОА2       Ответ:      A (4; -2,5; 7)               S (5; 4; 8)                   D (5; 4;-3)                       F(-3; 3;-7)                          N(0; 0; 4)                              R(-2; -3; 4)                                  M(7; 0;-1)                                      C(7; 4;-1)                                                                                                                                                                                             Ответ:  V. Повторение: решение задач  В9, В11  тренировочной работы VI.    Итог урока.

nsportal.ru