Квадратный корень — это… Что такое Квадратный корень?

Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .^[1][2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

Рациональные числа

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от

[3]^[4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные числа

При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.^[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .^[6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,

то (см. Формула Муавра)

,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

График функции

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в начале координат.

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц^[8], функций^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть  — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

при .

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа

S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

В частности, если , а , то ^[12]

Итерационный аналитический алгоритм

Основная статья: Итерационная формула Герона

тогда

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число (в примере — 69696) на листке.
2. Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
3. Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

См. также

Примечания

1. ↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
2. ↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ()… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
3. ↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
4. ↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
5. ↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
6. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
7. ↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
8. ↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В.,
   Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
9. ↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
10. ↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
11. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
12. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

Ссылки

dik.academic.ru

КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ — это… Что такое КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ?



КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ

КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ, число, обозначаемое как х, которое при умножении на само себя дает число х. Квадратный КОРЕНЬ из 4 равен 2, следовательно Ц4 = 2; Ц2 = 1,4142 (с точностью до четырех разрядов десятичной дроби). Отрицательные числа имеют комплексные квадратные корни. см. также КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ.

Научно-технический энциклопедический словарь.

• КОРЕНЬ ЗАРОДЫШЕВЫЙ
• КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ

Смотреть что такое «КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ» в других словарях:

• Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Корень квадратный — Жарг. шк. Шутл. Учитель математики. (Запись 2004 г.) …   Большой словарь русских поговорок

• корень квадратный из суммы квадратов — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN square root of the sum of the squaresSRSS …   Справочник технического переводчика

• Вывести корень квадратный — Жарг. шк. Шутл. Привести в состояние сильного раздражения учителя математики. (Запись 2004 г.) …   Большой словарь русских поговорок

• КОРЕНЬ — Аверьянов корень. Перм., Прикам. Растение валериана. МФС, 49; СГПО, 248. Адамов корень. Прикам. Корень, отваром которого девушки привораживают парней. БалСок, 21. В корень. Разг. 1. Основательно, глубоко (знать что л.). 2. Совсем, окончательно… …   Большой словарь русских поговорок

• корень — ко/рня, (о, на, в) ко/рне мн. ко/рни, е/й, я/м, (о) я/х, м. 1) Подземная часть растения, удерживающая его в почве и служащая для всасывания влаги и питательных веществ. У саженца повреждены корни. Уничтожать сорняки с корнем. Целебный корень.… …   Популярный словарь русского языка

• Квадратный корень из 2 — равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из числа 2  положительное …   Википедия

• КВАДРАТНЫЙ — (от лат. quadratum). Имеющий четыре равные угла и четыре равных стороны. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНЫЙ имеющий форму квадрата. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка …   Словарь иностранных слов русского языка

• КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ — (от лат. quadratum). См. КВАДРАТ. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ от лат. quadratum, квадрат. См. КВАДРАТ. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русск …   Словарь иностранных слов русского языка

• КОРЕНЬ — муж. корешек, шечек, коренек ·умалит. корнишка презрительное, корнища увеличительное, подземная часть всякого растения. У деревьев различают становой и боковые корни, а при них корешки и мелкие мочки. вбирающие влагу. Корень бывает: луковичный,… …   Толковый словарь Даля

dic.academic.ru

Определение квадратный корень общее значение и понятие. Что это такое квадратный корень

Прежде чем полностью перейти к анализу смысла, мы должны установить, что этимологическое происхождение математического термина «квадратный корень» встречается на латыни, а точнее в объединении двух слов: основание и квадрат, которое можно перевести как «из четыре. «

В области математики корнем называется определенное значение, которое необходимо умножить на себя (либо на одну, либо на несколько возможностей), чтобы получить определенное число. Когда делается ссылка на квадратный корень из числа, идентифицируется число, которое при умножении на один раз приводит к получению первого числа .

Чтобы привести конкретный случай в качестве примера: квадратный корень из 16 равен 4, так как 4 на 4 равняется 16 . Другими словами, мы можем сказать, что, если мы умножим 4 на себя (4 × 4), мы получим число 16, что равносильно тому, чтобы сказать, что 4 в квадрате приводит к 16.

Квадратный корень из 9, с другой стороны, равен 3 . Объяснение операции идентично предыдущему примеру: 3 × 3 = 9, то есть 3 в квадрате или 3, умноженные на себя, позволяют нам получить число 9. Вопрос «какое число умножено на себя, приводит к 9 ? » ( « Какое число для возведения во вторую степень приводит к 9? » Или « Что такое квадратный корень из 9? » ) Дает нам ответ № 3.

Среди наиболее значимых свойств, которые определяют квадратный корень, мы должны заявить, что мы находим тот факт, что он превращает рациональные числа в алгебраические.

Также нельзя не учитывать тот факт, что квадратный корень может быть выполнен по-другому, исходя из «объектов», которые он использует для разработки. Таким образом, например, это может быть сделано с комплексными числами, с кватернионными числами (расширение действительных чисел) или даже с матрицами.

Вопрос о так называемых квадратных корнях был проанализирован во время пифагорейской фазы, после обнаружения, что квадратный корень из двух не был рациональным (потому что не было никакого коэффициента, чтобы выразить это). Расширив определение квадратного корня, математики начали предлагать существование мнимых чисел и комплексных чисел .

Однако, есть гораздо более старые документы, которые показывают нам, как наши предки также использовали вышеупомянутые математические операции, которые теперь занимают нас. В этом смысле необходимо подчеркнуть, что египтяне прибегали к тем же самым, и, таким образом, это можно проверить в известном папирусе Ахмеса, датированном 1650 годом до нашей эры, который был реализован во времена правления Апофиса I.

Копией документа девятнадцатого века до нашей эры является этот цитируемый папирус, также известный как Papiro Rhind, который состоит из ряда задач математического типа, где в дополнение к вышеупомянутым корням есть вычисления площадей, дробей, тригонометрии, правил трех, уравнения линейного типа, прогрессии и четные распределения пропорционального класса.

Символ, который используется для обозначения корня, был создан Кристофом Рудольфом в 1525 году из буквы r, хотя с расширением его удара, чтобы стилизовать его. Сегодня этот символ позволяет обозначать латинское слово radix, откуда происходит корень термина.

ru.tax-definition.org