Коши буняковского теорема: 6.3. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. – 2 Неравенство Коши-Буняковского — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 11.04.202030.01.2020 by alexxlab

Содержание

6.3. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, по которому любым двум векторамставится в соответствие действительное число, обозначаемое (), и эта операция подчиняется следующим аксиомам:

1) ()=(),

2) ,

4) еслии, если.

Длиной вектора называется число ||=(модуль вектора). ||>0, если

и |

|=0, если

.Углом  между векторами

называется число

. Если один из векторов нулевой, то угол не определен.Расстоянием между векторами

евклидова пространства называется неотрицательное число

Теорема 1:Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:.

Доказательство:Рассмотрим вектор. Из 4) следует(действительное число).=. Это неравенство второй степени относительносправедливо для любыхи.



. (Так как квадратный трехчлен относительнопринимает неотрицательные значения при любомтогда и только тогда, когда

Следствие:.

Два вектора и

евклидова пространства называютсяортогональными, если

. Обозначение. Нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства.Система векторовназываетсяортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Базис евклидова пространства называетсяортонормированным, если

и.

Любой вектор в евклидовом пространстве, заданный в ортонормированном базисе, может быть представлен единственным образом

. Длина вектора

Вектор евклидова пространства называетсянормированным, если его длина равна 1, обозначается

его координаты равны

Пусть даны два вектора ив евклидовом ортонормированном пространстве. Тогда:

1) ,

– условие коллинеарности векторов,

3) условие ортогональности векторов,

Пример 1: Система координатXOYповернута относительно начала координат на угол. Обозначим новую систему черезX₁OY₁и выразим координаты векторав новой системе через его координатыв старой системе. Проекция векторана ось ОXравнаcos, на ось ОY–sin.

Пример: 1)

2 Неравенство Коши-Буняковского

Теорема:скалярное произведение в Евклидовом или унитарном пространстве удовлетворяет следующему неравенству:

|<x,y>|<=||x||y||

модуль скалярного произведения не превосходит произведения нормы каждого сомножителя.

(|<x,y>|²<=<x,x><y,y>)

Доказательство:

а) Евклидово пространство

0<=<x+ty,x+ty>=<x,x+ty>+t<y,x+ty>=<x,x>+t<x,y>+t<x,y>+t²<y,y>=<x,x>+2t<x,y>+t²<y,y>

квадратный трехчлен от t>=0, когда его D<0

D/4 = (<x,y>)²— <x,y><y,y> <=0, получаем:

(<x,y>)²

<= <x,x><y,y> , мы получили вторую формулировку

возможно тогда и только тогда, когда:

<x+ty,x+ty>=0  когдаx+ty,x+ty — ^B

x+ty = 0 x = -ty — колинеарны.

б) Унитарное пространство:

0<=<x+ty,x+ty> = <x,x>+t<x,y>+t<y,x>+t²<y,y> = <x,x>+t(<x,y>+<y,x>)+t²<y,y> = <x,x>+2tRe<x,y>+t²<y,y>

D/4 = (Re<x,y>)²-<x,x><y,y> <= 0

Рассмотрим скалярное произведение <x,y>=eⁱ^|<x,y>| | eⁱ^|

Рассмотрим вектор x₁= e^-i^x, тогда

< x₁,y>=< e^-i^x,y>= eⁱ^<x,y>= e^-i^eⁱ^|<x,y>|=|<x,y>|

(*) неравенство верно для любыхx

(Re<x,y>)²<=<x₁,x₁><y,y>

<x₁,y>=|<x,y>| то следовательно

Re<x,y>=|<x,y>|

<x₁,x₁>=< eⁱ^x ,eⁱ^x>= eⁱ^ e^-i^<x,x>=<x,x>

сопряжением

eⁱ^ — выносим

<x,y>=<>===

полулинейность по второму аргументу

|<x,y>|²<=<x,x><y,y>

для унитарного.

3 Матрица Грама и ее изменение при смене базиса.

(E,U ) e₁,e₂…e_n – базис, выберем в нем базис со скалярным произведением, это означает, что:

₁

x=₁e₁+…+_ne_n= (e₁…e_n)( . ) = (e)X_e

_n

пусть естьy=(e)Y_e тогда их скалярное произведение

<x,y>=<_ie_i , _je_j> = (будем считать что пространствоE) =

_i<e_i, _je_j> = _i,j_i_j<e_i,e_j>

Если просранство U, тосопряженное.

Пусть:

G_e= (g_ij) g_ij=<e_i
,e_j>

Такая матрица называется матрицей Грама

<x,y>= ^tX_eG_eY_e в унитарном пр-веY сопряженное.

Если задана матрица Грама, то скалярное произведение вычислятся с помощью этих двух формул, при смене базиса, меняется матрица Грама.

Изменение матрицы грама при смене базиса линейного пространства.

f_n, b_n b_n – матрица перехода.

X_e=C_e^fX_f Y_e= C_e^fY_f

E: <x,y> = ^tX_f^tC_e^fG_eC_e^f Yf

U: — || — || — ||- || — C_e^fY_f – сопряженные.

где ^tC_e^fG_eC_e^f – новая матрица Грама. (в унитарном, C_e^f сопряженное)

4 Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы.

Опр: базис в Е или U пространстве называется ортонормированым, если выполнены соотношения:

<e_i , e_j> = _ij = {1,еслиi=j and 0, еслиi<>j}

Декартов базис например.

Пусть есть два ортонормированных базиса вЕ:

e₁…e_n

f₁…f_n

C_e^f – матрица перехода.

G_e = E_n 1…0

01..0

00..1

G_f= E_n

G_f = E_n = ^tC_e^fG_eC_e^f = ^tC_e^fC_e^f

Матрицы вида C_e^f и ^tC_e^fназываются ортогональными. (в унитарном она сопряженная)

Матрица C_e^f невырожденна.

1) E | C_e^f | = ? |E| = 1 = | ^tC_e^f | | C_e^f | = | C_e^f |²

| C_e^f | = (+/-)1

|E|=1=| ^tC_e^f| |C_e^f| = | ^tC_e^f| |^tC_e^f| = ||C_e^f||²

|C_e^f|=1

Задача: Доказать, что матрица обратная ортогональной – ортогональна, а обратная унитарной – унитарна.

Ортогональное дополнение линейного подпространсва.

Определение:пустьL пространство со скалярным произведением, есть подпространствоMLортогональное дополнение подпространстваM (М^t) – это множество всех векторов из пространстваL которые ортогональны каждому вектору из М.

M^t = {yL| <y,x>=0 xM}

Пример:

L=R³ и рассмотрим плоскостьxОy, М – плоскостьxОy. Тогда ортогональное дополнение к М – это прямые параллельные OZ.

M^t = {} (к — вектор)

2. [] Z{1, cosx, sinx, … ,cosmx, sinmx} dimZ 2m+1

M=Z{1} <b,g>=

M^t = Z{cosx, sinx, … ,cosmx, sinmx}

Свойства ортогональных дополнений:

Ортогональное дополнение подпространства – это подпространство. М^t –подпр.
Пространство L – это прямая сумма любого своего подпространства и его ортогонального дополнения.

L=MM^t

Каждый вектор представлен в виде суммы из M иM^t.
Их пересечение состоит из {0}
Пусть x ^

e₁, e₂, … ,e_k – базис в пространствеM, тогдаx=₁e₁+₂e₂+…+_ke_k

x – перпендикулярен каждому вектору из М.

x перендикуляренyМx перендикуляренe₁, e₂, … ,e_k

<x,e_i>=0 i

<x,x> = <₁e₁+₂e₂+…+_ke_k, x> = ₁<e₁,x>+…+_k<e_k, x> = 0.

тоесть ^ = 0;

xL пустьe₁,…,e_n – ортонормированый базис пространства М. Построим вектор x₁ = <x,e₁>e₁+…+<x,e_k>e_k M

x = x₁+(x-x₁) = x₂надо показать чтоx-x₁M^t т.е. х₂ортогонален нашему базисному пространству М.

<e_i, x₂> = <e_i , x-x₁> = <e_i , x> — <e_i , x₁> — <e_i , x> — <e_i ,<x₁_, e₁>e₁ +…+<x₁ , e_k>e_k> = <e_i , x> — <e_i , <x , e_i>e_i> = <e_i , x> — <e_i , x><e_i , e_i> = 0 отлично от 0 только произведение. е_i на<x , e_i>e_i

видно, что х₂ортогонален каждому е_i т.е.x₂M^t. Т.е. х представим в виде суммы один из М, другой изM^t.

Если M^t – это подщпространство, то мы можем у него рассмотреть ортогональное дополнение, надо доказать (M^t)^t = M, еслиLM L – конечномерное пространствоdimL < oo

Связь с ситемами Линейных Уравнений.

Пространство столбцов:

( 1 ) ( 1 )

( 0 ) ( . )

R^m e=( . ) e_i=( 1 )

( 0 ) ( 0 )

(a_k1)

M=Z{a₁, … ,a₂} a_k= (a_k2)

( . )

(a_km)

рассмотрим:

(a₁₁a₁₂… a_1m)

(a₂₁… a_2m)

А= ( … )

(a_k1… a_km)

тогда СЛУ AX=0 такая системазадает ортоганальное дополнение пространства М.

Алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта.

По данному:

a₁ … a_k – линейно независим.

Построить новый

b₁ … b₁ 1) все новые вектора попарно ортогональны<b_i, b_j>=0 [ i<>j ]

2) Z{a₁, … , a_s} = Z{b₁, … ,b_s}

52(2 Листа). Понятие евклидова пространства.Аксиомы. Неравенство Коши-Буняковского

Если каждой паре векторов из линейного пространстваE поставлено в соответствие действительное число , так, что для любыхизE и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

при ,,— нулевой вектор,

то говорят, что в линейном пространстве определено скалярное произведение .

Определение. Линейное пространство E называется евклидовым,если в нем определено скалярное произведение.

16.3. Неравенство Коши — Буняковского.

Теорема. Для любых векторов исправедливо неравенство

Доказательство. Так как скалярное произведение является положительно определенной формой, то

При фиксированных векторах имы имеем квадратный трехчлен от, дискриминант которого отрицательный или равен нулю:

Отсюда или. Теорема доказана.

Следствие (неравенство треугольника). Для любых векторов исправедливо неравенство

Доказательство.

следовательно, .

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть— норма, порождённая скалярным произведением, то есть. Тогда для любыхимеем:

Евклидово пространство(в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомамиевклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. называетсяn-мepноевекторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точкаМимеет координаты (х₁, х₂,…, x_n), а точкаМ*— координаты (x₁*, x₂*,…,x_n*), то расстояние между этими точками

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
Все прямые углы равны между собой.
Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

53. Евклидово пространства: Примеры, неравенство треугольника\

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

размерности 1 (вещественная прямая)
размерности 2 (евклидова плоскость)
размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)
Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Можно привести и несколько более абстрактные примеры:

пространство вещественных многочленовстепени, не превосходящейn, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией)
вообще пространство всех линейных комбинаций конечного набора вещественных функций
пространство состояний конечномерной квантовой системы (или конечномерное подпространство полного пространства состояний) в вещественном представлении.
Следствие (неравенство треугольника). Для любых векторов исправедливо неравенство
.
Доказательство.
следовательно, .

54. Ортогональность векторов. Процесс ортогонализации Шмидта. Существование ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве

Определение. Векторы иназываются ортогональными, если угол между ними равен, т.е..

Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Заметим, что из ортогональности векторов иследует теорема Пифагора:

Эту теорему можно обобщить на любое число попарно ортогональных векторов:

Процесс:

Процесс Грама (англ.) ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором полинейно независимойсистеместроитсяортогональная систематакая, что каждый векторb_i линейно выражается через , то естьматрица переходаот{a_i} к {b_i} ― верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система{b_i} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система {b_i} и матрица перехода определяются однозначно.

16.6. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. Пусть — произвольный базис евклидова пространства. Мы будем строить новый – ортонормированный – базис пространства.

В качестве первого вектора нового базиса возьмем вектор . Таким образом, длина вектораравна 1. Прежде, чем построить второй вектор нового базиса, построим вектор:

Вектор не может быть нулевым, поскольку векторыилинейно независимы. Заметим, что векторыиортогональны. В качестве второго базисного вектора возьмем вектор. Теперь будем строить третий базисный вектор. Сначала возьмем вектор

Этот вектор – ненулевой, так как векторы линейно независимы,- ортогонален векторами. Остается только нормировать его:. Алгоритм ясен: имеявектор нового базиса, мы построим сначала вектор

Этот вектор ненулевой и ортогональный векторам . Нормировав его, получаем-й вектор нового базиса.

Теорема. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

55. Ортонормированные базисы и их свойства

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Теорема. В любом конечномерном пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство теоремы немедленно следует из того, что существует базис , в котором квадратичная форма, соответствующая скалярному произведению, имеет канонический вид

(). В этом базисе скалярное произведение векторовизадается формулой. Но это и означает, что базисортонормированный.

Свойства:

в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса.

56.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лангаржа.

57. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестраопределяет, является лисимметричнаяквадратнаяматрицаположительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная формаимеет в каком-тобазисематрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) минорыΔ_iположительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ_iчередуются, причём Δ₁< 0. Здесьглавнымиминорами матрицыAназываются определители вида

Для неотрицательно определённыхматриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v) = − 2 дляv= (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые минорыеё матрицы строго положительны.

58.Кривые второго порядка: Канонические уравнения и форма:

Эллипс

Эллипс, его фокусы и главные оси

Гипербола

Асимптотыгиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы,C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисыгиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначеныD₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ±a.

Парабола

59. Поверхности второго порядка

Эллиптический цилиндр:

Параболический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

Эллипсоид: Однополостной

гиперболоид:

Двуполостной гиперболоид: Эллиптическийпараболоид:

60. Комплексные числа: Сложение, вычитание, умножение и деление в алгебраической форме

1. Понятие комплексного числа. Из школьного курса математики известно, что действительных чисел недостаточно для решения квадратных уравнений. Простейшее из квадратных уравнений не имеет корней среди действительных чисел. Попробуем расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, чтобы это уравнение имело решение.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат с осью абсцисс и осью ординат. Будем обозначатьточку с абсциссойи ординатой. Определим на множестве точек плоскости (другими словами, на упорядоченных парах действительных чисел) операции сложения и умножения следующим образом:

Заметим, что

Поэтому точки, лежащие на оси можно считать точками действительной оси, и мы не будем различать точкуи действительное число.

Кроме того,

Традиционно эту точку обозначают буквой .

Учитывая, что для R иполучаем:

В этой записи операции сложения и умножения выглядят так:

т.е. эти операции выполняются как с обычными двучленами с учетом равенства

Пусть дано число . Назовем числосопряженным числу. Заметим, что

Определив операции сложения и умножения, естественно ввести обратные операции вычитания и деления:

Последняя формула довольно громоздка, и запоминать ее не стоит. Следует только знать, что для вычисления дроби нужно числитель и знаменатель умножить на сопряженное знаменателю число.

Итак, построенная система чисел с алгебраическими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла— расширение множествавещественных чисел. обычно обозначается. Каждое комплексное числоzпредставляет собой суммуx+iy, гдеxиyвещественные, аiэто так называемая мнимая единица, являющейся корнем уравненияi²= − 1

Множество комплексных чисел обозначается в литературе как (ажурное), а иногда какC(простое),(полужирное).

Неравенство Коши-Буняковского — это… Что такое Неравенство Коши-Буняковского?

Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (нем.) на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского^[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением $\langle x, y \rangle$ . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых $x,y\in L$ имеем

$x,y\in L$ ,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

Примеры

$\left$ ,

где $\bar{y}_k$ обозначает комплексное сопряжение y_k.

$\left$ .

$\mathrm{cov}^2(X,Y) \le \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y]$ ,

где cov обозначает ковариацию, а D дисперсию.

Доказательство

$0\le\langle\lambda x+y,\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,x\rangle+2\lambda\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle \Rightarrow$

Значит дискриминант многочлена $\lambda^2\langle x,x\rangle+2\lambda\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle$ неположительный, то есть

$D=(2\langle x,y\rangle)^2-4\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle\le 0\Rightarrow$

Литература

↑ Bounjakowsky W., «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.

Wikimedia Foundation. 2010.

Неравенство Джексона-Стечкина
Неравенство Крамера-Рао

Смотреть что такое «Неравенство Коши-Буняковского» в других словарях:

Неравенство Коши — Буняковского — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши … … Википедия
Неравенство Коши—Буняковского — связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского иногда, особенно в иностранной… … Википедия
Неравенство Коши — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Неравенство Коши Буняковского иногда, особенно в иностранной… … Википедия
Буняковского неравенство — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского… … Википедия
Неравенство Буняковского — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского… … Википедия
Неравенство Шварца — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского… … Википедия
Неравенство Гёльдера — в функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств . Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия
Неравенство Гельдера — Неравенство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств Lp. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи 2.1 Неравен … Википедия
Коши, Огюстен Луи — Огюстен Луи Коши Augustin Louis Cauchy … Википедия
Коши, Огюстен — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация

Доказательство. Если

то

и неравенство превращается в равенство.

Если

то, используя очевидное неравенство

получаем

что эквивалентно доказываемому неравенству.

Применяя неравенство КБШ к случайным величинам

получаем

Величина

называется ковариация случайных величин

и, как мы увидим в дальнейшем, является естественной мерой связи этих случайных величин между собой.

Величина

называется коэффициент корреляции случайных величин

Из неравенства КБШ следует, что

и если

то между этими случайными величинами существует (почти наверное) линейная зависимость

с положительным коэффициентом a. В этом случае говорят, что случайные величины положительно коррелированы. Если

то коэффициент a отрицателен и случайные величины отрицательно коррелированы. Коэффициент корреляции используют как меру зависимости случайных величин.

Неравенство Йенсена.Выпуклые функции

Функция f(x) называется выпуклой (как ), если

Например, функции , exp(x) выпуклы.

Для выпуклых функций справедливо неравенство Йенсена

Доказательство следует из определения выпуклой функции, если в нем положить

и воспользоваться свойствами 1) 2) 3) математического ожидания.

Моменты

Величина

называется к-тый момент (к-тый начальный момент) случайной величины.

Величина

называется к-тый абсолютный момент случайной величины.

Величина

называется к-тый центральный момент случайной величины.

Ясно, что математическое ожидание это первый момент, а дисперсия второй центральный момент. Моменты часто используются в качестве дополнительных характеристик случайных величин.

Вычисление математического ожидания.

Если случайная величина простая, то ее математическое ожидание вычисляется непосредственно по определению. Например, если все значения

случайной величины

равновероятны, то ее математическое ожидание равно среднему арифметическому этих значений

Заметим , что у простой случайной величины математическое ожидание всегда конечно.

Для дискретной случайной величины, принимающей счетное число различных значений, имеем (приближая ее снизу последовательностью простых случайных величин)

Этот ряд не всегда сходится, и поэтому существуют дискретные случайные величины, не имеющие конечного математического ожидания. Простым достаточным условием конечности математического ожидания является ограниченность модуля случайной величины сверху (константой или другой случайной величиной, имеющей конечное математическое ожидание).

Заметим, что для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины нам достаточно знать только ее распределение. Этот факт справедлив и в общем случае, что показывает следующая теорема.

Теорема Лебега о замене переменных

Пусть

случайная величина и g(x) – борелевская функция

Тогда

если хотя бы один из этих интегралов существует.

Вычисление интеграла Лебега на прямой.

Так как на распределение на прямой однозначно определяется функцией распределения

то интеграл Лебега часто обозначают так

и называют интегралом Лебега-Стильтьеса от функции g по функции F.

Если функция распределения имеет плотность

то предыдущий интеграл интеграл превращается в интеграл

где

мера Лебега на прямой.

Можно показать, что

если функция g (x) интегрируема по Риману, то

где последний интеграл понимается в смысле Римана.

Таким образом, в практически важных случаях вычисление интеграла Лебега сводится к вычислению конечной суммы, ряда или интеграла Римана (или их комбинаций). В дальнейшем для интегралов по мере Лебега будем опускать символ и использовать такое же обозначение как и для интегралов Римана.

Неравенство Шварца-Буняковского — Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:20, 5 декабря 2016.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского^[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.