Тема: «Какую функцию называют квадратичной».

Фотография урока по алгебре

9 класс

Дата проведения 23.10.13

Учитель: Попова Анастасия Сергеевна.

Тема: «Какую функцию называют квадратичной».

Вид урока: урок-изучение новой темы.

Здравствуйте, ребята!

Проверьте наличие на партах дневников, учебников, тетрадей, ручек, карандашей. Всё должно лежать на краю парты.

Садитесь, пожалуйста.

Как обстоят дела с домашним заданием? Все справились?

Открываем тетради, я просмотрю, как вы выполнили домашнюю работу

Пока я просматриваю ваши тетради, вы записываете сегодняшнее число, классная работа.

Ребята, на прошлом уроке вы завершили изучение раздела «Неравенства», написав контрольную работу. Сегодня мы переходим к изучению нового, достаточно интересного раздела.

Приветствуют учителя

Проверяют всё ли готово к уроку.

Отвечают

Открывают тетради

Записывают число и классная работа

23.10.13

Классная работа

Прежде чем перейти к новой теме, ответьте мне на следующие вопросы:

1. Как называется выражение вида: ах²+bх+с?

Совершенно верно.

2. Если данный трёхчлен приравнять к нулю, что получится?

Верно, молодцы.

3. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

4. Какие из следующих уравнений являются
   — полными квадратными;
   — приведёнными к квадратным;
   — неполными квадратными?

Укажите коэффициенты.

a) 3х²-8х+11=0;
б) х²+2х-1=0;
в) х-2=5х;
г) х²-16=0;
д)  х³+3х+6=0;
е ) 1-3х-х²=0;
ж) 5х²=4х+6;
з)  х³-243=0;
и) х²+6х+9=0;
к) х²-5х=0;

л) х²-9=0;
м) х-х²=0?

Квадратный трехчлен

Квадратное уравнение

Полные, неполные и приведенные к квадратным

По очереди отвечают

а) полное квадратное: 3, -8

б) приведенное квадратное: 1, 2

в) линейное: 1,5

г) неполное квадратное: 1

д) кубическое:1, 3

е) полное квадратное: -3, -1

ж) полное квадратное: 5, 4

з) кубическое: 1

и) приведенное квадратное: 1,6

к) неполное квадратное: 1, -5

л) неполное квадратное: 1

м) неполное квадратное: 1,-1

ах²+bх+с

ах²+bх+с=0

a) 3х²-8х+11=0;
б) х²+2х-1=0;
в) х-2=5х;
г) х²-16=0;
д)  х³+3х+6=0;
е ) 1-3х-х²=0;
ж) 5х²=4х+6;
з)  х³-243=0;
и) х²+6х+9=0;
к) х²-5х=0;

л) х²-9=0;
м) х-х²=0?

Ребят, а что если квадратный трёхчлен приравнять к y? На что это похоже?

Совершенно верно.

А кто-нибудь может сказать, как она называется?

Эта функция имеет особое название – квадратичная.

И цель нашего урока: познакомиться с определением квадратичной функции, её графиком и свойствами.

Значит тема нашего урока?

Совершенно верно.

Тема нашего урока: Квадратичная функция

Записываем тему в тетрадях.

Это функция

Предлагают свои варианты.

Квадратичная функция

Записывают тему урока

ах ²+ bх + с = y

Тема урока: Квадратичная функция.

Как мы уже выяснили квадратичная функция имеет вид: y = ах²+bх+с,

Запишем определение.

Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у=ах²+bх+c, где а, b и с – некоторые числа, причем а≠0.

Правая часть формулы – это как мы уже сказали, квадратный трёхчлен. Он, как и в уравнениях, не обязательно должен состоять из трех слагаемых. Главное, чтобы присутствовало слагаемое, содержащее квадрат независимой переменной.

Графиком любой квадратичной функции является парабола.

Вы уже встречались с параболой, когда рассматривали график простейшей функции y=x²

Откройте учебники на стр. 69. На рисунке 2.2 приведены примеры парабол квадратичных функций.

Какую особенность можно выделить рассматривая данный рисунок?

Как вы думаете, от чего это зависит?

Изобразите в одной системе координат параболу y=x² и y= -x².

Что вы заметили?

Совершенно верно.

Направление ветвей зависит от знака коэффициента а.

Если а > 0, то ветви направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Запишите это в тетрадях.

Также каждая парабола имеет ось симметрии и вершину.

Что такое ось симметрии?

Совершенно верно. Ось симметрии это прямая, параллельная оси y (или сама ось y), которая делит параболу пополам.

На рисунке 2.2 назовите мне оси симметрии к каждой параболе.

Что называют вершиной параболы?

Верно.Это точка, в которой ось симметрии пересекает параболу. Вершина является самой верхней или самой нижней точкой параболы (в зависимости от того, куда направлены ветви).

На рисунке 2.2 назовите мне координаты вершины каждой параболы.

Молодцы. Спасибо.

Еще квадратичная функция имеет нули.

Что такое нули функции?

Совершенно верно, т.е. это точки пересечения параболы с осью х.

Как находятся нули функции?

Верно.

На рисунке 2.2 назовите нули каждой функции.

Построим график функции y=x²-2x-3

Сразу ответьте на вопрос, куда будут направлены ветви параболы?

Прежде чем строить, вычислим координаты нескольких точек этого графика

-3

-2

-1

0

у

12

5

0

-3

2

3

4

5

-4

-3

0

5

12

Отметим в координатной плоскости точки.

Соединим эти точки и получим параболу.

Какая прямая служит осью симметрии?

Верно. Назовите координаты вершины параболы.

Молодцы.

Точка (1;-4) является самой верхней или нижней точкой параболы?

Т. е другими словами можно сказать что при х=1 функция принимает наименьшее значение равное (-4):

у_min= -4

Назовите, мне, пожалуйста, нули данной функции.

Т.е парабола пересекает ось х в точках (-1;0) и (3;0).

Прямую у=5 в каких точках?

Прямую у=12?

А как узнать в каких точках парабола пересекает, например, прямую у=1596?

Совершенно верно.

Ребята, назовите мне, пожалуйста, область определения данной функции? Что вообще такое область определения функции?

Областью определения любой квадратичной функции является множество всех действительных точек.

А какова область значений данной функции?

Верно. Т.е это все значения, которые принимает функция.

Делают записи в тетрадях

Открывают учебники, рассматривают рисунок.

Эти параболы по-разному расположены на координатной плоскости. У одних ветви направлены вверх, у других – вниз.

Предлагают свои варианты

Изображают. Один ученик у доски, остальные в тетрадях.

В первом случае ветви направлены вверх, а во втором, когда перед х² стоит знак «-» — вниз.

Записывают в тетрадях

Это прямая, которая делит параболу на две равные части.

По очереди называют

1. х = -4

2. х = 0

3. х = -6

4. х = 2

Это точка, в которой ось симметрии делит параболу пополам.

По очереди отвечают

1. (-4;0)

2. (0;3)

3. (-6;-3)

4. (2;2)

Значения х, при которых у=0

Через дискриминант.

1. х = -4

2. нет нулей

3. нет нулей

4. х = 1 и х = 3

Вверх

Строят график вместе с учителем

х=1

(1;-4)

Самой нижней точкой.

Делают записи в тетрадях

х = -1 и х = 3

в точках (-2;5) и (4;5)

в точках (-3;12) и (5;12)

Просто приравнять данную функцию к 1596 и найти корни полученного уравнения.

Это те значения х при которых функция существует.

В нашем случае областью определения является любе число.

[-4; +∞)

y = ах²+bх+с

y=x²

y = ах²+bх+с

а > 0 ветви вверх.

a < 0 ветви вниз.

у_min= -4

Выполним №195 (устно)

Какие из следующих функций являются квадратичными?

у = 2х²-5х+1

у = 1-2х+х²

у = х³+3х²+х

у = (х-4)²

у = х²/10

у = √х²

у = -2х+3

у = 10/х²

у = -0,5х²

№198

На рисунке 2.6 изображена часть параболы (графика некоторой квадратичной функции) и ее ось симметрии. Перенесите рисунок в тетрадь и достройте параболу. Ответьте на вопросы:

а) Каковы координаты вершины параболы?

б) Чему равно значение у при х, равном -4; 1; 3

в) при каких значениях х значение у равно 0; 3; -3.

По очереди отвечают

у = 2х²-5х+1

у = 1-2х+х²

у = (х-4)²

у = х²/10

у = -0,5х²

Один ученик у доски, остальные в тетрадях

Ученик строит параболу.

И отвечает на вопросы.

а) вершина имеет координаты (-2;8)

б) х = -4, у = 6

х = 1, у = 4

х = 3, у = -4

в) у = 0, х = -6 и х = 2

у = 3, х ≈1,2 и х ≈-5,2

у= -3, х ≈2,7 и х ≈-6,7

№195

№198

Записываем домашнее задание

№199 (а), № 200

№199

Заполните таблицу значений функции и постройте её график

а) у = х²-6х+5

В каждом случае ответьте на вопросы:

1. Имеет ли функция наибольшее или наименьшее значение и чему оно равно? При каком х функция принимает это значение?

2. Пересекает ли график функции прямую у = 10;

у = -10

№200

Составьте таблицу значений функции и постройте график (проследите за тем, чтобы на графике была вершина и было ясно направление ветвей):

а) у = х²-5х+4

б) у = — 1/2х²+2х

имеет ли функция наиб. или наим. Значение и чему оно равно? При каком х функция принимает это значение?

При построении графика обратите внимание на коэффициент а.

Записывают

№199 (а), № 200

Ребята, подведем итоги нашего урока.

Какие цели в начале урока мы поставили?

Нам удалось достичь этой цели?

Какая функция называется квадратичной?

Что является графиком квадратичной функции?

Какие задания сегодня выполнялись на уроке?

Какое задание было самым трудным?

(Выставляю оценки за урок)

Наш урок подходит к концу, всем спасибо за работу, все свободны.

Познакомиться с определением квадратичной функции, её графиком и свойствами.

Отвечают

Функция вида

y = ах²+bх+с, где а отлично от 0.

Парабола.

Квадратичная функция — Quadratic function

В алгебре , А квадратичная функция , А квадратичный полином , А многочлен степени 2 , или просто квадратичной , является полиномиальной функцией с одним или несколькими переменными , в котором этот термин высшей степени является второй степенью. Например, квадратичная функция от трех переменных х , у, и г содержит исключительно термины х ² , Y ² , Z ² , х , хг , уг , х , Y , Z , и константу:

е(Икс,Y,Z)знак равноaИкс2+бY2+сZ2+dИксY+еИксZ+еYZ+гИкс+часY+яZ+J,{\ Displaystyle Р (х, у, г) = ах ^ {2} + с ^ {2} + CZ ^ {2} + DXY + EXZ + Fyz + Gx + Hy + Iz + J,}

по меньшей мере , один из коэффициентов а, б, в, г, е, или ф условий второй степени , являющихся ненулевой.

Квадратичный полином с двумя реальными корнями (пересечения х осей) и , следовательно , без каких — либо сложных корней. Некоторые другие квадратичные полиномы имеют свой минимум выше х осей, в этом случае нет никаких действительных корней и два комплексных корня.

Одномерный (одной переменной) квадратичная функция имеет вид

е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+с,a≠0{\ Displaystyle F (X) = Ax ^ {2} + BX + C, \ четырехъядерных а \ NEQ 0}

в одной переменной х . График из однофакторного квадратичной функции является парабола , ось симметрии параллельна у оси х, как показано справа.

Если квадратичная функция устанавливается равным нулю, то результатом является квадратным уравнением . Решения одномерных уравнений называются корнями из однофакторной функции.

Двумерный случай в терминах переменных х и у имеет вид

е(Икс,Y)знак равноaИкс2+бY2+сИксY+dИкс+еY+е{\ Displaystyle Р (х, у) = ах ^ {2} + с ^ {2} + Cxy + дх + еу + F \, \!}

по меньшей мере , один из а, b, c не равен нулем, и установив эту функцию , равную нулю уравнение приводит к коническому сечению (а окружность или другой эллипс , А парабола или гипербола ).

В общем случае может быть сколь угодно большим числом переменных, причем в этом случае полученная поверхность называется квадрика , но самый высокий термин степени должны иметь степень 2, такие как х ² , ху , уг и т.д.

Этимология

Прилагательное квадратичного происходит от латинского слова Quadratum ( « квадрат »). Термин , как х ² называется квадрат в алгебре , так как это площадь квадрата со стороной х .

терминология

коэффициенты

В коэффициенты полинома часто берутся быть реальными или комплексными числами , но на самом деле, полином может быть определен над любым кольцом .

степень

При использовании термина «квадратичный полином», авторы иногда означают « имеющая степень точности 2», а иногда « имеющая степень не более 2». Если степень меньше 2, это можно назвать « вырожденным случаем ». Обычно контекст установить , какой из этих двух имеется в виду.

Иногда слово «порядок» используется в значении «степени», например, полином второго порядка.

переменные

Квадратичный полином может включать одиночный переменный х (одномерный случай), или несколько переменных , такие как х , у , и г (многомерный случай).

Одной переменный случай

Любой одной переменной квадратичный полином может быть записан в виде

aИкс2+бИкс+с,{\ Displaystyle ах ^ {2} + Ьх + с, \, \!}

где х является переменной, а , б и deg ; С представляют собой коэффициенты . В элементарной алгебре , такие полиномы часто возникают в виде квадратного уравнения . Решения этого уравнения называются корни квадратичного полинома, и могут быть найдены с помощью разложения , завершая квадрат , график , метод Ньютона , или через использование квадратичной формулы . Каждый квадратичный полином имеет ассоциированный квадратичную функцию, чей график представляет собой параболу . aИкс2+бИкс+сзнак равно0{\ Displaystyle ах ^ {2} + Ьх + с = 0}

Двумерный случай

Любой квадратичный полином с двумя переменными может быть записан в виде

е(Икс,Y)знак равноaИкс2+бY2+сИксY+dИкс+еY+е,{\ Displaystyle Р (х, у) = ах ^ {2} + с ^ {2} + Cxy + дх + Ey + F, \, \!}

где х и у являются переменными и , Ь , с , d , е и е коэффициенты. Такие полиномы имеют основополагающее значение для изучения конических сечений , которые характеризуются Приравнивая выражение для ф ( х , у ) к нулю. Точно так же, квадратичные полиномы с тремя или более переменных соответствуют квадратичным поверхностям и гиперповерхностям . В линейной алгебре , квадратичные полиномы могут быть обобщены понятием квадратичной формы на векторном пространстве .

Формы однофакторной квадратичной функции

Одномерная квадратичная функция может быть выражена в трех форматах:

• е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle е (х) = ах ^ {2} + Ьх + с \, \!} называется стандартной формы ,
• е(Икс)знак равноa(Икс-р1)(Икс-р2){\ Displaystyle Р (х) = а (х-R_ {1}) (х-R_ {2}) \, \!}называется преобразованная форма , где R ₁ и R ₂ являются корни квадратичной функции и решения соответствующего квадратного уравнения.
• е(Икс)знак равноa(Икс-час)2+К{\ Displaystyle е (х) = а (хк) ^ {2} + к \, \!}называется формой вершины , где ч и к являются х и у координаты вершины, соответственно.

Коэффициент имеет то же значение во всех трех формах. Чтобы преобразовать стандартную форму в факторизованную форму , нужно только квадратичную формула , чтобы определить , два корня г ₁ и г ₂ . Чтобы преобразовать стандартную форму в виде вершины , нужен процесс , называемый завершая квадрат . Чтобы преобразовать преобразованную форму (или форму) вершин в стандартную форму, нужно умножить, расширить и / или распространять факторы.

График однофакторном функции

е(Икс)знак равноaИкс2|aзнак равно{0,1,0,3,1,3}{\ Displaystyle е (х) = ах ^ {2} |! _ {А = \ {0.1,0.3,1,3 \}} \} е(Икс)знак равноИкс2+бИкс|бзнак равно{1,2,3,4}{\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} + Ьх |! _ {Ь = \ {1,2,3,4 \}} \} е(Икс)знак равноИкс2+бИкс|бзнак равно{-1,-2,-3,-4}{\ Displaystyle Р (х) = х ^ {2} + BX |! _ {Ь = \ {- 1, -2, -3, -4 \}} \}

Независимо от формата, график одномерной квадратичной функции является параболой (как показано на рисунке справа). Эквивалентно, это график двухмерного квадратного уравнения . е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle Р (х) = ах ^ {2} + BX + C}Yзнак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle у = ах ^ {2} + BX + C}

• Если в > 0 , то парабола открывается вверх.
• Если в <0 , то парабола открывается вниз.

Коэффициент контролирует степень кривизны графа; большая величина дает граф более закрытым (резко изогнутую) внешний вид.

Коэффициенты Ь и вместе контролируют расположение оси симметрии параболы (также х координата вершины) , которая находится на

Иксзнак равно-б2a,{\ Displaystyle х = — {\ гидроразрыва {B} {2a}}.}

Коэффициент с контролирует высоту параболы; более конкретно, высота параболы , где она перехватывает у Оу.

темя

Вершина параболы является местом , где получается; следовательно, это также называется поворотным моментом . Если квадратичная функция находится в форме вершины, то вершина ( ч , к ) . С помощью метода полного квадрата, можно превратить стандартную форму

е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle е (х) = ах ^ {2} + Ьх + с \, \!}

в

е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+сзнак равноa(Икс-час)2+Кзнак равноa(Икс—б2a)2+(с-б24a),{\ Displaystyle {\ {начинаются выровнены} Р (х) & = ах ^ {2} + BX + с \\ & = а (XH) ^ {2} + к \\ & = а \ слева (х — {\ гидроразрыва {-b} {2a}} \ справа) ^ {2} + \ влево (с — {\ гидроразрыва {Ь ^ {2}} {4a}} \ справа), \\\ {конец выровнен}}}

поэтому вершина, ( ч , к ) , параболы в стандартной форме

(-б2a,с-б24a),{\ Displaystyle \ левый (- {\ гидроразрыва {B} {2a}}, с — {\ гидроразрыва {Ь ^ {2}} {4a}} \ справа).}

Если квадратичная функция в разложенном виде

е(Икс)знак равноa(Икс-р1)(Икс-р2){\ Displaystyle Р (х) = а (х-R_ {1}) (х-R_ {2}) \, \!}

среднее из двух корней, т.е.

р1+р22{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {r_ {1} + r_ {2}} {2}} \, \!}

это й координата вершины, и , следовательно , вершина ( ч , к ) является

(р1+р22,е(р1+р22)),{\ Displaystyle \ слева ({\ гидроразрыва {R_ {1} + R_ {2}} {2}}, F \ влево ({\ гидроразрыва {R_ {1} + R_ {2}} {2}} \ справа) \право).\!}

Вершина также является точкой максимума , если в <0 , или точка минимума , если в > 0 .

Вертикальная линия

Иксзнак равночасзнак равно-б2a{\ Displaystyle х = А = — {\ гидроразрыва {B} {2a}}}

который проходит через вершину также ось симметрии параболы.

Максимальные и минимальные точки

Используя исчисление , точка вершины, будучи максимум или минимум функции, могут быть получены путем нахождения корней производной :

е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+с⇒е'(Икс)знак равно2aИкс+б,{\ Displaystyle Р (х) = ах ^ {2} + BX + с \ четырехъядерных \ Rightarrow \ Quad F ‘(х) = 2 + Ь \, \} !.

х является корнем F «( х ) , если Р » ( х ) = 0 в результате

Иксзнак равно-б2a{\ Displaystyle х = — {\ гидроразрыва {B} {2a}}}

с соответствующим значением функции

е(Икс)знак равноa(-б2a)2+б(-б2a)+сзнак равнос-б24a,{\ Displaystyle Р (х) = а \ влево (- {\ гидроразрыва {B} {2a}} \ справа) ^ {2} + Ь \ левая (- {\ гидроразрыва {B} {2a}} \ справа) + C = C — {\ гидроразрыва {Ь ^ {2}} {4a}} \, \ !,}

так снова координаты точки вершины, ( ч , к ) , могут быть выражены как

(-б2a,с-б24a),{\ Displaystyle \ левый (- {\ гидроразрыва {B} {2a}}, с — {\ гидроразрыва {Ь ^ {2}} {4a}} \ справа).}

Корни одномерных функций

График у = ах ² + BX + C , где и дискриминант б ² — 4 переменного тока являются положительными, с

• Корни и у -intercept в красном
• Вершины и ось симметрии синего
• Фокус и директриса в розовом

Визуализация комплексных корней у = ах ² + BX + C : парабола поворачивается на 180 ° вокруг своей вершины ( оранжевый ). Ее х -intercepts повернуты на 90 ° вокруг своей средней точки, а декартову плоскость интерпретируются как комплексная плоскость ( зеленый ).

Точные корни

Эти корни (или нулей ), г ₁ и г ₂ , из одномерной квадратичной функции

е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+сзнак равноa(Икс-р1)(Икс-р2),{\ Displaystyle {\ {начинаются выровнены} Р (х) & = ах ^ {2} + BX + с \\ & = а (х-R_ {1}) (х-R_ {2}), \\\ конец {выровнен}}}

являются значения х , для которых F ( х ) = 0 .

Когда коэффициенты , б , и гр , являются реальными или сложными , корни

р1знак равно-б-б2-4aс2a,{\ Displaystyle R_ {1} = {\ гидроразрыва {-b — {\ SQRT {Ь ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

р2знак равно-б+б2-4aс2a,{\ Displaystyle R_ {2} = {\ гидроразрыва {-b + {\ SQRT {Ь ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Верхняя граница величины корней

Модуль из корней квадратного не может быть больше , чем , где это золотое сечениеaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle ах ^ {2} + Ьх + с \}Максимум(|a|,|б|,|с|)|a|×φ,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ тах (| а |, | B |, | C |)} {а |}} \ раз \ Phi, \,}φ{\ Displaystyle \ Phi} 1+52,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1 + {\ SQRT {5}}} {2}}.}

Квадратный корень из однофакторной квадратичной функции

Квадратный корень из однофакторной квадратичной функции приводит к одному из четырех конических сечений, почти всегда либо к эллипсу или к гиперболе .

Если то уравнение описывает гиперболу, как можно видеть путем возведения в квадрат обеих сторон. Направления осей гипербол определяются ординатами в минимальной точке соответствующей параболы . Если по оси ординат отрицательный, то главная ось гиперболы (через его вершины) находится в горизонтальном положении , в то время как , если по оси ординат является положительным , то большая ось гиперболы является вертикальной. a>0{\ Displaystyle а> 0 \, \!}Yзнак равно±aИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle у = \ ч {\ SQRT {аи ^ {2} + Ьх + с}}}Yпзнак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle y_ {р} = ах ^ {2} + Ьх + с \, \!}

Если , то уравнение описывает либо круг или другой эллипс или вообще ничего. Если ордината максимальной точки соответствующей параболы положительна, то его квадратный корень описывает эллипс, но если ордината отрицательна , то оно описывает пустое геометрическое место точек. a<0{\ Displaystyle а <0 \, \!}Yзнак равно±aИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle у = \ ч {\ SQRT {аи ^ {2} + Ьх + с}}}Yпзнак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle y_ {р} = ах ^ {2} + Ьх + с \, \!}

итерация

Для итерации функции , один применяет функцию повторно, с использованием выходного сигнала от одной итерации в качестве входа к следующему. е(Икс)знак равноaИкс2+бИкс+с{\ Displaystyle Р (х) = ах ^ {2} + BX + C}

Не всегда можно вывести аналитическую форму , что означает , что п — ^й итерации . (Верхний индекс может быть продлен до отрицательных чисел, ссылаясь на итерации обратной , если обратное не существует.) Но есть некоторые аналитически податливые случаи. е(N)(Икс){\ Displaystyle е ^ {(п)} (х)}е(Икс){\ Displaystyle F (X)}е(Икс){\ Displaystyle F (X)}

Например, для итерационного уравнения

е(Икс)знак равноa(Икс-с)2+с{\ Displaystyle Р (х) = а (хс) ^ {2} + с}

надо

е(Икс)знак равноa(Икс-с)2+сзнак равночас(-1)(г(час(Икс))),{\ Displaystyle Р (х) = а (хс) ^ {2} + с = ч ^ {(- 1)!} (Г ((х))), \, \}

где

г(Икс)знак равноaИкс2{\ Displaystyle г (х) = ах ^ {2} \, \!} а также час(Икс)знак равноИкс-с,{\ Displaystyle (х) = хс. \, \!}

Так по индукции,

е(N)(Икс)знак равночас(-1)(г(N)(час(Икс))){\ Displaystyle е ^ {(п)} (х) = Н ^ {(- 1)!} (Г ^ {(п)} ((х))) \, \}

может быть получено, где может быть легко вычислен как г(N)(Икс){\ Displaystyle г ^ {(п)} (х)}

г(N)(Икс)знак равноa2N-1Икс2N,{\ Displaystyle г ^ {(п)} (х) = а ^ {2 ^ {п} -1} {х ^ 2 ^ {п}}. \, \!}

Наконец, мы имеем

е(N)(Икс)знак равноa2N-1(Икс-с)2N+с{\ Displaystyle е ^ {(п)} (х) = а ^ {2 ^ {N} -1} (XC) ^ {2 ^ {п}} + с \, \!}

в качестве решения.

См топологической сопряженности более подробно об отношениях между F и г . И увидеть комплекс квадратичного полинома для хаотического поведения в общей итерации.

Логистическое отображение

ИксN+1знак равнорИксN(1-ИксN),0≤Икс0<1{\ Displaystyle X_ {п + 1} = {rx_ п} (1-X_ {п}), \ четырехъядерных 0 \ Leq X_ {0} <1}

с параметром 2 < г <4 может быть решена в некоторых случаях, один из которых является хаотичным , и одна из которых не является. В случае хаотического г = 4 решение

ИксNзнак равногрех2⁡(2Nθπ){\ Displaystyle X_ {N} = \ грех ^ {2} (2 ^ {п} \ тета \ р)}

где начальное условие параметр задается . Для рационального , после конечного числа итераций отображения в периодическую последовательность. Но почти все иррациональны, а, иррациональным , никогда не повторяется — это непериодическое и имеет чувствительную зависимость от начальных условий , поэтому она называется хаотической. θ{\ Displaystyle \ Theta}θзнак равно1πгрех-1⁡(Икс01/2){\ Displaystyle \ Theta = {\ tfrac {1} {\ пи}} \ грех ^ {- 1} (x_ {0} ^ {1/2})}θ{\ Displaystyle \ Theta}ИксN{\ Displaystyle X_ {п}}θ{\ Displaystyle \ Theta}θ{\ Displaystyle \ Theta}ИксN{\ Displaystyle X_ {п}}

Решение логистического отображения , когда г = 2

ИксNзнак равно12-12(1-2Икс0)2N{\ Displaystyle X_ {N} = {\ гидроразрыва {1} {2}} — {\ гидроразрыва {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {п}}}

для . Так как при любом значении кроме неустойчивой неподвижной точки 0, термин переходит к 0 при п стремится к бесконечности, поэтому идет к устойчивой неподвижной точкеИкс0∈[0,1){\ Displaystyle X_ {0} \ в [0,1)}(1-2Икс0)∈(-1,1){\ Displaystyle (1-2x_ {0}) \ в (-1,1)}Икс0{\ Displaystyle X_ {0}}(1-2Икс0)2N{\ Displaystyle (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {п}}}ИксN{\ Displaystyle X_ {п}}12,{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}}.}

Двумерный (две переменные) квадратичная функция

Двумерный квадратичная функция является второй степенью многочленом вида

е(Икс,Y)знак равноAИкс2+ВY2+СИкс+DY+ЕИксY+F{\ Displaystyle е (х, у) = Ax ^ {2} + К ^ {2} + Cx + Dy + Exy + F \, \!}

где А, В, С, D и Е являются фиксированными коэффициентами и Р является постоянным членом. Такая функция описывает квадратичную поверхность . Установка равно нулю описывает пересечение поверхности с плоскостью , которая является геометрическим местом точек эквивалентны коническим сечения . е(Икс,Y){\ Displaystyle е (х, у) \, \!}Zзнак равно0{\ Displaystyle г = 0 \, \!}

Минимальное / максимальное

Если функция не имеет максимума или минимума; ее график образует гиперболический параболоид . 4AВ-Е2<0{\ Displaystyle 4AB-E ^ {2} <0 \}

Если функция имеет минимум , если A > 0, а максимум , если <0; ее график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимальная или максимальная происходит , когда: 4AВ-Е2>0{\ Displaystyle 4AB-E ^ {2}> 0 \}(Иксм,Yм){\ Displaystyle (X_ {т}, у- {т}) \,}

Иксмзнак равно-2ВС-DЕ4AВ-Е2,{\ Displaystyle X_ {т} = — {\ гидроразрыва {2BC-ДЕ} {4AB-Е ^ {2}}}}

Yмзнак равно-2AD-СЕ4AВ-Е2,{\ Displaystyle у- {т} = -. {\ Гидроразрыва {2AD-CE} {4AB-Е ^ {2}}}}

Если и эта функция не имеет максимума или минимума; ее график образует параболический цилиндр . 4AВ-Е2знак равно0{\ Displaystyle 4AB-Е ^ {2} = 0 \,}DЕ-2СВзнак равно2AD-СЕ≠0{\ Displaystyle ДЕ-2CB = 2AD-CE \ NEQ 0 \,}

Если и функция достигает максимум / минимум на линию-минимуме , если > 0 и максимум , если <0; ее график образует параболический цилиндр. 4AВ-Е2знак равно0{\ Displaystyle 4AB-Е ^ {2} = 0 \,}DЕ-2СВзнак равно2AD-СЕзнак равно0{\ Displaystyle ДЕ-2CB = 2AD-CE = 0 \,}

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Применение линейной и квадратичной функций в жизни человека.

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Применение линейной и квадратичной функций в жизни человека.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Тема: Применение линейной и квадратичной функций в жизни человека. Авторы проекта: учащиеся 8 «Г» класса – Зиновьева Дарья, Полянских Ирина, Вещикова Наталья. Руководитель: Приймак Э.И.

2 слайд Описание слайда:

Цель исследования: Поиск задач на применение линейной и квадратичной функций в жизни человека. Задачи исследования: 1) Изучение научной литературы по данной теме. 2) Решение задач по теме, оценка полученных результатов. 3) Воспитать навыки командной работы по решению проблем и интерес к предмету.

3 слайд Описание слайда:

Функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека.

4 слайд Описание слайда:

Изучение линейной функции является актуальной всегда, т.к. с помощью неё описываются реальные процессы происходящие в природе на языке математики. С помощью линейной функции можно описать процессы движения, изменения присущие природе.

5 слайд Описание слайда:

Параболу мы можем наблюдать в реальной жизни, как траекторию движения какого-либо тела. Баскетболист бросает мяч летит в корзину почти по параболе. Струя фонтана «рисует» линию, которая близка к параболе. Парабола обладает важным оптическим свойствам.

6 слайд Описание слайда:

Графики зависимости физических величин, Звёздный график, Отображение звуковых волн с помощью периодической функции. С помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона слышимости звука пролетающего самолета

7 слайд Описание слайда:

y=kx+b, графиком является прямая. Физика. Зависимость силы тока График равномерного прямолинейного движения.

8 слайд Описание слайда:

График равноускоренного прямолинейного движения ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

9 слайд Описание слайда:

Линза; Увеличительное стекло; Отражательный телескоп; Прожектор или фара автомобиля Звук, колебания за просторами Земли

10 слайд Описание слайда:

«Пересев хуже недосева» «КАШУ МАСЛОМ НЕ ИСПОРТИШЬ»

11 слайд Описание слайда:

ВЗЛЕТ РАКЕТЫ ДВЕРНОЙ ЗАМОК

12 слайд Описание слайда: 13 слайд Описание слайда:

Функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: ДБ-522613

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Урок «Квадратичная функция «

Цели урока:

• Образовательные :обобщение и закрепление знаний ,умений и навыков обучающихся; отработка навыков по решению тестов.

• Развивающие: развитие навыков самоконтроля, развитие речи, формирование самостоятельности в мышлении, развитие внимания, умения анализировать, сравнивать и обобщать;

• Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебе, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Задачи:

1)Повторение пройденной темы «Квадратичная функция и ее свойства».

2)Закрепление полученных знаний с помощью решения задач.

Тип урока:

Обобщение и систематизация знаний.

Оборудование урока:

1. Индивидуальный раздаточный материал для учащихся.

2. Компьютер.

3. Мультимедиа установка.

4. Экран.

5. Презентация «Кваадратичная функция и ее свойства»

Ход урока.

I Организационный момент

Сообщение темы урока, постановка целей и задач урока, мотивация .

Цели этапа: включение учащихся в учебную деятельность, определение содержательных рамок урока.

II Актуализация знаний

Цели этапа: актуализировать знания по теме «Квадратичная функция и ее свойства.

1)Повторение теоретического материала (фронтальная работа с классом).

1. Какая функция называется квадратичной? Слайд

2. Из приведенных примеров укажите те функции, которые являются квадратичными.

Примеры:

1. у=5х+1;

2. у=3х²-1;

3. у=-2х²+х+3;

4. у=x³+7x-1;

5. у=4х^2;

6. у=-3х²+2х. Слайд

7. 3. Что является графиком квадратичной функции? Слайд

8. 4. От чего зависит направление ветвей параболы? Определите знак коэффициента a у парабол, изображенных на рисунке («Рисунок 1»). Слайд

5. Как найти координаты вершины параболы?

III Закрепление пройденного материала

1.Фронтальная работа с классом.

Цели :

Воспроизведение раннее полученных знаний и способов деятельности/

Задание 1. Слайд

1.Найти координаты вершины параболы:

1. у = х² -4х-5;

2. у=-5х²+3.

Какой вид имеет уравнение оси симметрии параболы?

Задание 2. Слайд

Запишите уравнение оси симметрии для парабол из задания1.

Как найти координаты точек пересечения параболы с осями координат?

Задание 3.

Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат:

1. у=х²-х;

2. у=х²+3;

3. у=5х²-3х-2.

Все вопросы и задания высвечиваются на слайдах. Настроенная анимация по щелчку мыши высвечивает правильные ответы.Слайд

2.Самостоятельная работа.

Цель : оперирование знаниями и овладение способами деятельности обучающихся в новых (измененных условиях).

Учащимся предлагается выполнить тест.Слайд

Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+».

После того, как учащиеся закончили решение теста, выполняем самопроверку: учащиеся по очереди комментируют свои ответы, на экране с помощью анимации появляются правильные ответы. После проверки учащиеся оценивают свою работу по следующему критерию:

4. .Фронтальная работа с классом.

Цель: воспроизведение раннее полученных знаний и способов деятельности

Построить график функции у= -х²-6х-8 и по графику выяснить ее свойства.

(Учащиеся выполняют задания в тетрадях; один человек работает у доски. Свойства функции с помощью анимации высвечиваются на экране

5. .Самостоятельная работа .

Цель : оперирование знаниями и овладение способами деятельности обучающихся в новых (измененных условиях).

Учащимся предлагается выполнить тест .Слайд

Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+».

После того, как учащиеся закончили решение теста, выполняем самопроверку: учащиеся по очереди комментируют свои ответы, на экране с помощью анимации появляются правильные ответы. После проверки учащиеся оценивают свою работу по следующему критерию:

IV Рефлексия деятельности

. Цели : зафиксировать, где были допущены ошибки; алгоритмы, правила, понятия и т.д., в которых были ошибки, способ исправления допущенных ошибок (на основе метода рефлексии.

Какие типы задач мы рассмотрели?

Какие знания использовали для решения задач?

Какие способы мыслительной деятельности при решении задачи использовали?(анализ, синтез, обобщение)

V Домашнее задание: №630(2,3),635(2)

Литература: Учебник Алгебра -9 Г.В Дорофеев , С.Б Суворова ,Е .А .Бунимович и др. –М.: Просвещение , 2009

Урок по теме «Квадратичная функция и ее свойства»

Этапы урока

Время

Ход урока

1.Организационный момент

Сообщение темы урока,постановка целей и задач урока, мотивация.

Цели этапа: включение учащихся в учебную деятельность, определение содержательных рамок урока.

2.Актуализация знаний

Цели этапа: актуализировать знания по теме «Квадратичная функция и ее свойства»

3. Обобщение и систематизация изученного.

Цели этапа: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся; ликвидация возможных пробелов в знаниях учащихся.

1. Фронтальная работа с классом.

2. Самостоятельная работа( работа с тестами). Самопроверка с комментированием ответов.

3. Фронтальная работа с классом. .

4. Самостоятельная работа( работа с тестами). Самопроверка с комментированием ответов.

4. Рефлексия деятельности.

Цели этапа: зафиксировать, где были допущены ошибки; алгоритмы, правила, понятия и т.д., в которых были ошибки, способ исправления допущенных ошибок (на основе метода рефлексии.

Какие типы задач мы рассмотрели?

Какие знания использовали для решения задач?

Какие способы мыслительной деятельности при решении задачи использовали?

(анализ, синтез, обобщение, освоение техники перевода проблемы в задачу, моделирование объекта задачи, выстраивание шагов решения, конструирование способов решения) .

5.Оценка итогов деятельности обучающихся.

6.Домашнее задание.

2-3мин

5мин.

13мин.

7 мин.

5мин.

7мин.

3 мин.

1 мин.

1 мин.

МКОУ «Соловецкая СОШ»

Урок математики

Тема «Квадратичная функция и ее свойства»

Выполнила : Кадышева Л.А.

2011

Методическая записка

Форма организации занятия урок –презентация .

Структурные элементы урока:

сообщение темы, целей и задач урока, актуализация знаний, обобщение и систематизация изученного материала, подведение итогов ( рефлексия ) и задание на дом.

Цели , поставленные к уроку , были дифференцированы и конкретны, что позволило реализовать их в полном объеме . Фронтальная работа учащихся сочеталась с самостоятельной работой (выполнение тестов) с последующей самопроверкой и комментированием ответов. На всех этапах урока использовалась мультимедийная презентация, что позволило создать оптимальные условия для обобщения и систематизации знаний у обучающихся по данной теме. Благодаря доступной подаче информации, отбору заданий от простого к сложному, целенаправленному воздействию на зрительный , слуховой , тактильный анализаторы посредством сочетания наглядных , словесных и практических методов обучения обучающиеся справились с поставленными задачами.

В результате четко продуманной и целенаправленной организации учебно-воспитательного процесса цели урока были достигнуты.