docplayer.ru

Решение задач с помощью кругов Эйлера

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б,В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800

Задача №2

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множестваПироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б,В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множествоПироженое.

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №4

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.  

Задача №6

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Задача №7

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

oge-gia.blogspot.com

Решить задачу помогут круги Эйлера.

Задача 1.

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. 

Сколько шестиклассников:

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают.

При решении данной задачи мы использовали способ ее графического представления при помощи так называемых кругов Эйлера. Этот способ был предложен Леонардом Эйлером и широко используется при решении логических задач.

Леона́рд Э́йлер (4(15) апреля 1707, Базель, Швейцария – 7(18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) – швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2.

Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?

Решение.

Здесь нет принципиального отличия от решения предыдущей. На готовом рисунке заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.

Ответ: обе газеты выписывают 60% жителей.

Чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после составления рисунка их решение становится достаточно очевидным.
  
Задача 3.

В  трёх  седьмых  классах 70 ребят. Из  них  27  занимаются  в  драмкружке,  32  поют  в хоре,  22  увлекаются  спортом.  В  драмкружке  10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8  спортсменов;  3  спортсмена  посещают  и  драмкружок  и  хор. Сколько  ребят  не  поют  в  хоре,  не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение.

Пусть
Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.

Тогда
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.

Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5  спортсменов, не поющих в хоре и  6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом; 

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задача 4.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение.

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Проблемно-реферативная работа «Круги Эйлера в решении задач»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

Краснопресненская средняя общеобразовательная школа
им. В.П.Дмитриева

проблемно-реферативная работа

Тема: Круги Эйлера в решении задач

Выполнила:
учащаяся 6 класса
Гунбетова Карина

Руководитель: Глазунова В.Г., учитель математики высшей квалификационной категории

2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Глава 1. Круги Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1. Леонард Эйлер. Биография. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4

1.2. Круги Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3. Глава 2. Круги Эйлера в задачах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ВВЕДЕНИЕ

«…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера…».

Леонард Эйлер жил в 18 веке, но его метод решения целого ряда задач актуален и сегодня, в 21-ом веке.

Один из величайших математиков, петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера». Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна».

Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах. Задачи таким способом решаются значительно быстрее, решение понятно.

Цель: научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера и научить других.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал: биографию Леонарда Эйлера, «круги Эйлера».

2. Научиться применять круги в решении задач.

3. Создать задачник для учащихся «Круги Эйлера в задачах».

4. Подвести итоги.

ГЛАВА 1. КРУГИ ЭЙЛЕРА

1. 1. Леонард Эйлер. Биография

Леонард Эйлер ¹ родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившей в

швейцарском городке Базеле. Рано обнаружил математические способности. Отец Леонарда пастор Пауль Эйлер был хорошо образован и увлекался математикой. Именно под руководством отца Эйлер получил начальное обучение. Отец хотел дать Леонарду духовное образование и занимался с ним математикой только для развлечения и для развития логического мышления. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета, где преподавались и математика и астрономия. Занятия по этим предметам вел прославленный математик Иоганн Бернулли. Проявив интерес к математике, Эйлер привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельными занятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остроты ума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.

Не забывал Эйлер и другие университетские курсы, поэтому и был широко образован. 8 июня 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра. В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Одна из них, «Диссертация по физике о звуке», получившая благоприятный отзыв, была представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском университете должности профессора физики (1725). Но, несмотря на положительный отзыв, 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов на профессорскую кафедру. Число научных вакансий в Швейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли, сыновья Иоганна Бернулли, уехали в далёкую Россию, где как раз шла организация Академии наук. Своих ученых в России тогда не было совсем. Пришлось привлекать иностранных. В числе первых были приглашены братья Бернулли. По их рекомендации через три года после открытия Петербургской академии наук получил приглашение и двадцатилетний Эйлер на должность адъюнкта по физиологии. 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул родную Швейцарию. Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров. Позднее при Академии были созданы университет и гимназия. В силу острой

нехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам с

просьбой составить такие руководства. Эйлер, хотя и числился физиологом, составил на немецком языке очень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Перевод первой части выполнил первый русский,

ученик Эйлера Василий Адодуров. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. К всеобщему удивлению, Эйлер уже в следующем по приезде году стал бегло говорить по-русски. Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. За первый период пребывания в России (14лет), он написал более 90 крупных научных работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии и механике. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств. Петербургская академия по достоинству оценила молодого ученого, в двадцать три года он уже профессор физики, а еще через три года Леонард Эйлер получает кафедру высшей математики. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое (по другим данным, картографическое) вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня — и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой», — философски заметил он. В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. Начиная с этого момента, теоретическая механика становится прикладной частью математики. Осенью 1740 внутренняя обстановка в России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашение прусского короля, и летом 1741 он переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический класс в Берлинской Академии наук и словесности. Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его научной деятельности. Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с Петербургской Академией наук. Он по-прежнему регулярно посылал в Россию свои сочинения, участвовал в экспертизах различного рода, обучал посланных к нему из России учеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии и выполнял много других поручений. В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая хорошо понимая значение науки, как для прогресса государства, так и для собственного престижа, провела ряд важных, благоприятных для науки, преобразований в системе народного просвещения и культуры. Императрица предложила Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание конференц-секретаря Академии.

После двадцати пяти лет проживания в Берлине, 60-летний Эйлер снова возвращается в Россию, в Петербург. Эйлер полон энергии и душевных сил, желания работать на благо России. К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза — он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику — портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг. В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в

Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. В последующие десять лет — до самой своей смерти — Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников. Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость.

7 сентября после обеда, Эйлер почувствовал себя плохо, успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

Великий ученый Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий.

1. 2. Круги Эйлера

Круги Эйлера² — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые Эйлер их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

При решении задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Строгого определения понятия множества не существует.

Множество — совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством, т. е. как единое целое (множество натуральных чисел, множество треугольников на плоскости).

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными, а остальные множества – бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечное множество может быть задано перечислением его элементов (множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале).

Понятие подмножества в определении кругов Эйлера – это, например, во

множестве учеников класса можно выделить множество ударников, которые входят во множество всех учеников (ударники – подмножество).

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих

кругов: N — множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.

Метод Эйлера является незаменимым при решении целого ряда задач, а также упрощает рассуждения.

ГЛАВА 2. КРУГИ ЭЙЛЕРА В ЗАДАЧАХ³

Алгоритм решения задач

1. Внимательно изучи условия задач.

2. Построй пересечения множеств.

3. Расставь исходные данные.

4. Найдите недостающие данные.

5. Проверь решение.

1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

Решение:

Так как 26 половина детей любит пирожные, а 20 — и пирожные, и  мороженое, то исключительно пирожное любят ровно 6 человек. Всего ребят 52, из них 6 —  любители только пирожных, значит,  52 – 6 = 46  человек, которые любят мороженое.

2. Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение: Составим схему –

В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой

«Р» — по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

3. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

4. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и

холодильник и микроволновку, 19 — и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение:

Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4.

Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0.

Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6.

Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58.

65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.

5. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал толькоРон. А всего Рон прочитал 12 книг.
Ответ: 12 книг прочитал Рон.

6. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу – 8 человек, спортивную школу – 12 человек, музыкальную и художественную школу– 3, художественную и спортивную школу– 2, музыкальную и спортивную школу– 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ: 13 учеников посещают только одну школу, 3 учащихся себя не развивают.

7. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение: 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3

8. Из 100 отдыхающих на турбазе «Графское»,

30 детей — отличники учебы,

28 — участники олимпиад,

42 — спортсмены.

8 учащихся одновременно участники олимпиад и спортсмены,

10 – участники олимпиад и отличники,

5 – спортсмены и отличники учебы,

3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены.

Сколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп?

Решение:

20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)

Ответ: 20 детей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На уроках математики учитель знакомит нас, учеников, с историей развития математических понятий, символов, идей, методов. Но из-за нехватки учебного времени ему не всегда удается рассказать о жизни великих творцов математики – интенсивной, целенаправленной, поучительной, хотя подчас и драматичной; раскрыть все стороны древнейшей и, в то же время, современной науки.

Одно из первых мест в истории мировой науки занимает Леонард Эйлер.

Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ.

Леонард Эйлер жил в 18 веке, но его метод решения целого ряда задач актуален и сегодня, в 21-ом веке. Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах. Задачи таким способом решаются значительно быстрее, решение понятно.

Поэтому была поставлены задачи: изучить биографию Леонарда Эйлера и научиться решать задачи, применяя правила и круги Эйлера.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи, используя круги Эйлера и составлен задачник для учащихся «Круги Эйлера в задачах».
Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Цель работы считаю достигнутой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Академия математики «Леонард Эйлер» научно-практический журнал Математика для школьников №3 2007г., с.41-48

2. Интернет ресурсы http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html – Учимся решать логические задачи

3. Интернет – ресурсы http://olymp.ifmo.ru/archive/problems/inf/ – архив  задач по информатике.

4. Босова Л.Л. Информатика: Учебник для 6 класса / Л. Л. Босова. –5-е изд–М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 208 с.: ил.

5. Босова Л.Л. Информатика: Рабочая тетрадь для 6 класса /Л. Л. Босова,  – 2-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 117 с.: ил.

6. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 10 класс. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 371 с.: ил.

7. Глейзер Г. И. История математики. М., Наука, 1982 г.

1 Биографический очерк Е.Ф. Литвиновой в сокращенном варианте опубликован в научно-практическом журнале «Математика для школьников»№3 2007

infourok.ru

Урок на тему; «Круги Эйлера»

Класс: 10 

Предмет: информатика и математика

Учитель: Сусанина Ирина Викторовна, Боталова Ольга Викторовна
Тема урока: Решение задач по теме: «Круги Эйлера»

Тип урока: интегрированный урок информатики и математики, урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Вид урока: урок теоретических и практических работ, анализ ситуации.

Методы обучения: диалогический, наглядный, объяснительно – иллюстративный.

Формы обучения: коллективная и индивидуальная.

Оборудование: интерактивная доска, ПК, проектор, презентация «Круги Эйлера»

Цели урока:

• обобщить знания и умения обучающихся по применению кругов Эйлера;

• познакомить и сформировать у обучающихся принцип реализации диаграмм Вена-Эйлера для решения логических задач;

• развить коммуникативно — технические умения, умения оценивать результаты выполненных действий;

• развить аналитическо-логическое мышление;

• воспитать самостоятельность, инициативность, толерантность, ответственное отношение к информации, информационную культуру.

Задачи урока:

• повторить изученный материал по теме «Логика»;

• научить обучающихся использовать круги Эйлера при решении логических задач;

• продемонстрировать решение типовых задач из ЕГЭ;

• закрепить изученный материал решением подобных задач.

Ход урока

1.Организационный момент. Приветствие обучающихся.

2. Этап мотивации обучающихся. Ставится цель и задачи занятия перед учащимися, говоря о том, что данные задания используются в ЕГЭ по информатике и математике.

3.Прорверка домашнего задания. Выборочная проверка Д/З. Правильные ответы на ИД. (Слайд 2-3)

4.Повторение изученного материала. Вспомнить основные логические операции, повторить правила работы со множествами, то есть логические операции с кругами Эйлера. (Слайд 4-5)

5. Объяснение нового материала. Круги Эйлера.

Учитель информатики (Слайд 6)

— Леонард Эйлер (1707 — 1783). Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые. В Базеле жила семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев. (Д/з: подготовить сообщение о Якобе и Иоганне Бернулли).

Учитель математики

— Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. 
Его называли идеальным математиком 18 века. Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Учитель математики

— А теперь давайте разберем несколько примеров заданий на определение объема найденной информации и на отработку навыков решения задач с логическими высказываниями с математической точки зрения.

(Слайд 7) Отношения между множествами чисел наглядно демонстрирует геометрическая иллюстрация – круги Эйлера Леонард Эйлер (Россия, середина XYΙΙΙ века).

5.1.Решение задач на математическую логику. Объяснить принцип решения задач такого типа и дать рекомендации по решению (работать цветными ручками, чтобы представить принцип и суть задачи, а также для того чтобы структурировать информацию и обозначать каждую часть круга латинскими буквами для большего освоения материала).

Задача 1. (Слайд 8-9) В автобусе «Кропоткин-Кавказская» едет 30 пассажиров. Все они являются жителями Кавказского района. Из них 20 человек являются жителями только города Кропоткин, 15 – живут только в станице Кавказской. Сколько человек не являются жителями нашего города?

Решение: Пусть круг Г изображает жителей только города Кропоткин, круг С — только жителей станицы Кавказской. Тогда ГС — изображение жителей и города, и станицы одновременно. Из рисунка следует, что число, не являющихся жителями Кропоткина, равно:

(не Г) = С — ГС. Всего 30 человек, Г = 20 человек, С = 15 человек. Тогда значение ГС может быть найдено так (см. рисунок): ГС = (Г + С) — 30 = (20 + 15) — 30 = 5, т.е. 5 человек живут и в городе и в станице одновременно.

Тогда (не Г) = = С — ГС= 15 — 5= 10.

Ответ: 10 пассажиров не являются жителями города Кропоткин.

Задача 2. (Задание В6. ЕГЭ). (Слайд 10)

Три друга – Петр, Роман и Сергей – учатся на математическом (М), физическом (Ф) и химическом (Х) факультетах.

Если Петр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Петр – математик. Если Сергей не математик, то Роман – химик.

Определите специальность каждого. Ответ запишите в виде строки из трех символов, соответствующих первым буквам названия специальностей Петра, Романа и Сергея (в указанном порядке). Так, например, строка МФК соответствует тому, что Петр – математик, Роман – физик, Сергей – химик.

Решение: A Петр – математик; B Сергей-не физик; C Роман физик; D Сергей математик D=¬B; E Роман химик E= ¬C

(A  ¬B) • ( ¬C  A) • ( ¬D  E)=

= (¬ A+¬B) • ( C +A) • ( D + E)=

= (¬ A+¬B) • ( C +A) • ( ¬B +¬C)=

= ¬ B+(¬ A • ¬C) • ( A + C )= ¬ B=1 ,

Значит B=0, D=1 Сергей математик,

Следовательно, A=0 ¬C  A=1 C+A=1

C=1 Роман физик, а Петр химик

 Ответ: ХФМ

5.2.Этап решения заданий у доски учениками.

Задача. (Слайд 11) Один из учеников решает около доски. Весь класс решает вместе с учеником.

Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква согласная →Последняя буква гласная)  Вторая буква согласная?

1) ИРИНА 2) СТЕПАН 3) МАРИНА 4) ИВАН

Для какого имени истинно высказывание: (Первая буква согласная → Вторая буква согласная)  Последняя буква гласная?

1) КСЕНИЯ 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН

Самостоятельная работа. Те ученики, которые хорошо усвоили материал и идут вперед, работают по карточкам. (Приложение 1)

5.3… Это интересно.

Учитель информатики

— В наше время Круги Эйлера приобретают все большую популярность.

Вам никогда не приходило в голову, как это классно, вставать каждое утро и сгорать от нетерпения поскорее взяться за любимые дела? Вставать, и чётко знать, что делать и как это делать? Знать, что получится в итоге, быть уверенным, что вы это сделаете лучше всех и горячо верить, что именно в этом и состоит смысл вашей жизни?

А вечерами с огромной неохотой и досадой ложиться спать с  одной лишь мыслью, что завтра встанете пораньше и сразу же возьметесь за любимое дело!

Как вам это? Скажете, такого не бывает?

Жители северной части острова Окинава (Япония) с вами не согласятся. Не согласятся, поскольку они проживают так каждый свой день. Они знают один важный секрет, имя которому икигай. Жители северной части острова Окинава (Япония) с вами не согласятся. Не согласятся, поскольку они проживают так каждый свой день. Они знают один важный секрет, имя которому икигай.

Икигай (яп. 生き甲斐, «смысл жизни») (Слайд 12)

(Д/з: подготовить свою схему Икигая при помощи кругов Эйлера)

6. Подведение итогов урока.

7. Домашнее задание по информатике: (Слайд 13-14) Сообщение о Якобе и Иоганне Бернулли; схема Икигая.

Информационные ресурсы

• «Информатика. Задачник- практикум в 2 т.», Под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012

• «Информатика: готовимся к ЕГЭ», Зеленко Л.С., Сопченко Е.В., Самара, 2012

• «ЕГЭ 2014. Информатика.», Ярцева, Цикина, 2014

• Готовимся к ЕГЭ по математике — Самылкина Н.Н.2014

• ЕГЭ Информатика : Раздаточный материал тренировочных тестов, Гусева И.Ю.

• ЕГЭ 2014 Информатика, ЕГЭ 2014 по математике от ФИПИ

• http://kpolyakov.narod.ru

• http://www.ctege.org — Подготовка к ЕГЭ

• http://www.websib.ru/noos — Предметный сайт для учителей.

• http://pedsovet.su — » Сообщество взаимопомощи учителей»

Приложение 1

Уровень 1. У учеников 9А класса есть братья и сестры. У шестерых есть братья, а у пятерых — сестры. И только у двоих есть и те и другие. Угадайте, сколько таких ребят учатся в классе?

Уровень 2. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский (А), немецкий (Н), французский (Ф). 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

_______________________________________________________________________

Уровень 1. У учеников 9А класса есть братья и сестры. У шестерых есть братья, а у пятерых — сестры. И только у двоих есть и те и другие. Угадайте, сколько таких ребят учатся в классе?

Решение: Изобразим два круга. В одном обозначим ребят, у которых есть братья, в другом — сестры. Поскольку у некоторых учеников есть и те, и другие, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как братья и сестры есть у двоих. В оставшейся части «братского» круга ставим цифру 4 (6 — 2 = 4). В свободной части «сестринского» круга ставим цифру 3 (5 — 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего 4 + 2 + 3 = 9 человек.

Ответ. 9 учеников.

Уровень 2. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский (А), немецкий (Н), французский (Ф). 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?
Решение. При решении данной задачи недостаточно метода «Круги Эйлера-Венна». Удобно применить составление уравнения по условию задачи, а круги Эйлера-Венна в данной задаче наглядно показывают решение А + Н = 34 
Ф + Н = 25 
Н = 6 По условию: А + Н = на 3 чел >, чем Ф + Н = х изучают одновременно 2 языка.

34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 – х – 3 = 40
– 2х = 40 – 34 + 3 – 25 
– 2х = –10;  х = 5
Ф + Н = 5 чел; А + Н = 8 чел; А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 чел.
Н = 6 чел.; Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 чел. 
Ответ: всего 40 человек.

infourok.ru