Полный квадрат — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Полный квадрат, или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.
Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.
Последовательность квадратов начинается так:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
_0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0_ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
1_ | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
2_ | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
3_ | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
4_ | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
5_ | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
6_ | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
7_ | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
8_ | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
9_ | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Квадрат натурального числа n{\displaystyle n} можно представить в виде суммы первых n{\displaystyle n} нечётных чисел:
- 1: 1=1{\displaystyle 1=1}
- 2: 4=1+3{\displaystyle 4=1+3}
- …
- 7: 49=1+3+5+7+9+11+13{\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}
- …
Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n2=1+1+2+2+…+(n−1)+(n−1)+n{\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+…+(n-1)+(n-1)+n}
Пример:
- 1: 1=1{\displaystyle 1=1}
- 2: 4=1+1+2{\displaystyle 4=1+1+2}
- …
- 4: 16=1+1+2+2+3+3+4{\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}
- …
Сумма квадратов первых n{\displaystyle n} натуральных чисел вычисляется по формуле[1]:
- ∑k=1nk2=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
Вывод
Способ 1, метод приведения:
- Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n+1{\displaystyle n+1}:
- ∑k=1nk3+(n+1)3=∑k=0n(k+1)3=∑k=0n(k3+3k2+3k+1)=∑k=0nk3+∑k=0n3k2+∑k=0n3k+∑k=0n1=∑k=0nk3+3∑k=0nk2+3∑k=0nk+∑k=0n1{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}
- Получим:
- (n+1)3=3∑k=0nk2+3∑k=0nk+∑k=0n1=3∑k=0nk2+3(n+1)n2+(n+1){\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}
- Умножим на 2 и перегруппируем:
- 6∑k=0nk2=2(n+1)3−3(n+1)n−2(n+1)=(n+1)(2(n+1)2−3n−2)=(n+1)(2n2+n)=n(n+1)(2n+1){\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}
- ∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} (В рассуждениях использована формула: ∑k=0nk=(n+1)n2{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}, вывод которой аналогичен приведенному)
Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:
- Заметим, что сумма функций степени N{\displaystyle N} может быть выражена как функция N+1{\displaystyle N+1} степени. Исходя из этого факта предположим:
- ∑k=0nk2=f(n)=An3+Bn2+Cn+D{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}
- f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14{\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}
- Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
- {0A+0B+0C+D=0A+B+C+D=18A+4B+2C+D=527A+9B+3C+D=14{\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}
- Решив её, получим A=13,B=12,C=16,D=0{\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}
- Таким образом:
- ∑k=0nk2=f(n)=13n3+12n2+16n+0=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
Ряд обратных квадратов сходится[2]:
- ∑n=1∞1n2=112+122+⋯+1n2+⋯=π26{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.[3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:
- Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
- Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей.
- Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
- Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифрапредпоследняя
цифра0 0 5 2 1, 4, 9 чётная 6 нечётная
1 | |
---|---|
- Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
ru.wikipedia.org
Толщина, мм | 61 см |
Уровень шума, дб | 32 |
Напряжение питания, В | 220 |
Класс защиты | 56 |
Максимальная рабочая температура | +80 С |
Обратный клапан | Да |
Влагозащищенный корпус | Да |
Таймер | Нет |
Установочный диаметр | 100 мм |
Воздухообмен, м3/час | 169 |
Мощность, Вт | 18 Вт |
Производитель | Mmotors |
Тип | накладной |
Рабочий механизм | осевой |
Страна прозводитель | Болгария |
mmotors-shop.ru
Площадь квадрата равна 169 дм2. Найдите длину вписанной окружности. .
Не знаю, почему, но все ломятся решать такие задания как у Вас на студенческом сайте: reshebnik.biz Попробуйте и Вы — может там быстрее Вам ответ пришлют?
S=a^2, a — сторона квадрата 169=a^2, a=sqrt(169) a=13 R=13/2, R — радиус окружности l=2*pi*R, l — длина окружности l = 2*pi*13/2 l=13piСторона квадрата = sqrt(169)=13 Радиус окружности = половина стороны квадрата = 13/2=6.5 Длина окружности = 2*Pi*r Число Пи (Pi) = 3,14 Длина окружности = 2*3.14*6.5=40.82 дм
Площадь квадрата равна 100 дм2. Найдите длину вписанной окружности. подскажита пожалуйста
touch.otvet.mail.ru
Сумма цифр | 16 |
Произведение цифр | 54 |
Произведение цифр (без учета ноля) | 54 |
Все делители числа | 1, 13, 169 |
Наибольший делитель из ряда степеней двойки | 1 |
Количество делителей | 3 |
Сумма делителей | 183 |
Простое число? | Нет |
Полупростое число? | Да |
Обратное число | 0.005917159763313609 |
Римская запись | CLXIX |
Индо-арабское написание | ١٦٩ |
Азбука морзе | .—- -…. —-. |
Факторизация | 13 * 13 |
Двоичный вид | 10101001 |
Троичный вид | 20021 |
Восьмеричный вид | 251 |
Шестнадцатеричный вид (HEX) | A9 |
Перевод из байтов | 169 байтов |
Цвет | RGB(0, 0, 169) или #0000A9 |
Наибольшая цифра в числе (возможное основание) | 9 (10, десятичный вид) |
Число Фибоначчи? | Нет |
Нумерологическое значение | 7 нематериальное, духовность, загадочное, познание, учеба, расставание, грусть, одиночество, тишина, спокойствие |
Синус числа | -0.6019998676776046 |
Косинус числа | 0.7984961861625556 |
Тангенс числа | -0.7539170231616501 |
Натуральный логарифм | 5.1298987149230735 |
Десятичный логарифм | 2.2278867046136734 |
Квадратный корень | 13 |
Кубический корень | 5.528774813678871 |
Квадрат числа | 28561 |
Перевод из секунд | 2 минуты 49 секунд |
Дата по UNIX-времени | Thu, 01 Jan 1970 00:02:49 GMT |
MD5 | 3636638817772e42b59d74cff571fbb3 |
SHA1 | |
Base64 | MTY5 |
QR-код числа 169 |
aboutnumber.ru