Квадрат 169 – Таблицы квадратов. Натуральных чисел от 1 до 30 и от 1 до 100. Удобная расчетная таблица 1,00 — 9,99.

Полный квадрат — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Полный квадрат, или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
Таблица квадратов
_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9
0_
0
1 4 9 16 25 36 49 64 81
1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Квадрат натурального числа n{\displaystyle n} можно представить в виде суммы первых n{\displaystyle n} нечётных чисел:

1: 1=1{\displaystyle 1=1}
2: 4=1+3{\displaystyle 4=1+3}
...
7: 49=1+3+5+7+9+11+13{\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}
...

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n2=1+1+2+2+...+(n−1)+(n−1)+n{\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n}
Пример:

1: 1=1{\displaystyle 1=1}
2: 4=1+1+2{\displaystyle 4=1+1+2}
...
4: 16=1+1+2+2+3+3+4{\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}
...

Сумма квадратов первых n{\displaystyle n} натуральных чисел вычисляется по формуле[1]:

∑k=1nk2=12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Вывод

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n+1{\displaystyle n+1}:
∑k=1nk3+(n+1)3=∑k=0n(k+1)3=∑k=0n(k3+3k2+3k+1)=∑k=0nk3+∑k=0n3k2+∑k=0n3k+∑k=0n1=∑k=0nk3+3∑k=0nk2+3∑k=0nk+∑k=0n1{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}
Получим:
(n+1)3=3∑k=0nk2+3∑k=0nk+∑k=0n1=3∑k=0nk2+3(n+1)n2+(n+1){\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}
Умножим на 2 и перегруппируем:
6∑k=0nk2=2(n+1)3−3(n+1)n−2(n+1)=(n+1)(2(n+1)2−3n−2)=(n+1)(2n2+n)=n(n+1)(2n+1){\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}
∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}       (В рассуждениях использована формула: ∑k=0nk=(n+1)n2{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}, вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени N{\displaystyle N} может быть выражена как функция N+1{\displaystyle N+1} степени. Исходя из этого факта предположим:
∑k=0nk2=f(n)=An3+Bn2+Cn+D{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}
f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14{\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}
Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
{0A+0B+0C+D=0A+B+C+D=18A+4B+2C+D=527A+9B+3C+D=14{\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}
Решив её, получим A=13,B=12,C=16,D=0{\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}
Таким образом:
∑k=0nk2=f(n)=13n3+12n2+16n+0=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Ряд обратных квадратов сходится[2]:

∑n=1∞1n2=112+122+⋯+1n2+⋯=π26{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.[3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

  • Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
  • Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей.
  • Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
  • Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2
1, 4, 9 чётная
6 нечётная
1
* x
  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

ru.wikipedia.org

ММ 100/169 квадрат сверхмощный

Толщина, мм 61 см
Уровень шума, дб 32
Напряжение питания, В 220
Класс защиты 56
Максимальная рабочая температура +80 С
Обратный клапан Да
Влагозащищенный корпус Да
Таймер Нет
Установочный диаметр 100 мм
Воздухообмен, м3/час 169
Мощность, Вт 18 Вт
Производитель Mmotors
Тип накладной
Рабочий механизм осевой
Страна прозводитель Болгария

mmotors-shop.ru

Площадь квадрата равна 169 дм2. Найдите длину вписанной окружности. .

<a rel="nofollow" href="http://v.ht/Le4Y?0=42091" target="_blank">Татьяна посмотри здесь, страница 324</a>

Не знаю, почему, но все ломятся решать такие задания как у Вас на студенческом сайте: reshebnik.biz Попробуйте и Вы - может там быстрее Вам ответ пришлют?

S=a^2, a - сторона квадрата 169=a^2, a=sqrt(169) a=13 R=13/2, R - радиус окружности l=2*pi*R, l - длина окружности l = 2*pi*13/2 l=13pi

Сторона квадрата = sqrt(169)=13 Радиус окружности = половина стороны квадрата = 13/2=6.5 Длина окружности = 2*Pi*r Число Пи (Pi) = 3,14 Длина окружности = 2*3.14*6.5=40.82 дм

Площадь квадрата равна 100 дм2. Найдите длину вписанной окружности. подскажита пожалуйста

touch.otvet.mail.ru

Число 169

Сумма цифр 16
Произведение цифр 54
Произведение цифр (без учета ноля) 54
Все делители числа 1, 13, 169
Наибольший делитель из ряда степеней двойки 1
Количество делителей 3
Сумма делителей 183
Простое число? Нет
Полупростое число? Да
Обратное число 0.005917159763313609
Римская запись CLXIX
Индо-арабское написание ١٦٩
Азбука морзе .---- -.... ----.
Факторизация 13 * 13
Двоичный вид 10101001
Троичный вид 20021
Восьмеричный вид 251
Шестнадцатеричный вид (HEX) A9
Перевод из байтов 169 байтов
Цвет RGB(0, 0, 169) или #0000A9
Наибольшая цифра в числе
(возможное основание)
9 (10, десятичный вид)
Число Фибоначчи? Нет
Нумерологическое значение 7
нематериальное, духовность, загадочное, познание, учеба, расставание, грусть, одиночество, тишина, спокойствие
Синус числа -0.6019998676776046
Косинус числа 0.7984961861625556
Тангенс числа -0.7539170231616501
Натуральный логарифм 5.1298987149230735
Десятичный логарифм 2.2278867046136734
Квадратный корень 13
Кубический корень 5.528774813678871
Квадрат числа 28561
Перевод из секунд 2 минуты 49 секунд
Дата по UNIX-времени Thu, 01 Jan 1970 00:02:49 GMT
MD5 3636638817772e42b59d74cff571fbb3
SHA1 2659fc519890c924f82b4475ddd71b058178d02b
Base64 MTY5
QR-код числа 169

aboutnumber.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *