Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен – это многочлен вида \(ax^2+bx+c\) (\(a≠0\)).
Пример:
\(x^2-2x+1\)
\(3x^2-5x+6\)
Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
\(x^3-3x^2-5x+6\) — кубический четырёхчлен
\(2x+1\) — линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.
Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Готово. Корень равен \(1\).
Разложение квадратного трёхчлена на множители:
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1 )(x-x_2)\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) — корни того же уравнения).
Например, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac{2}{3}\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac{2}{3})\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.
Например, рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.
Например, у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac{11-5}{4}=1,5;\) \(x_2=\frac{11+5}{4}=4.\)
Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).
Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac{-33-17}{10}=-5\)
\(x_2=\frac{-33+17}{10}=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)
Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)
Скачать статью
cos-cos.ru
Выделение полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Разложение многочлена на множители
Выделение полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена
Пусть дан квадратный трехчлен
ах² + bх + с
и нужно преобразовать его к виду
a(x+m)² + n .
Для этого поступаем следующим образом:
Приведем примеры на выделение полного квадрата.
= (х-2)² — 3.
Ответ: x² — 4х + 1 = (х-2)² — 3.
Пример 2.
Ответ:
Разложение многочлена на множители
Разложением многочлена на множители называется преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов, среди которых могут быть и одночлены. Существует четыре основных способа разложения многочлена на множители.
Пример 1.
Второй способ. Способ группировки, который заключается в том, что объединяются в группы те члены, которые имеют общие множители, и выносится за скобки общий множитель каждой из групп. Если после такого преобразования окажется общий множитель у всех получившихся групп, то его выносят за скобки.
Пример 2.
(x-3y) — общий множитель.
Третий способ. Применение формул сокращенного умножения.
Пример 3.
Четвертый способ. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители, если известны его корни. Забегая вперед, заметим, что если квадратный трехчлен ах² + bх + с имеет действительные корни x1 и х2,то он может быть разложен на линейные множители следующим образом: ах² + bх + с = a(x-x1)(x — х2).
Пример 4.
х² — Зх — 4 = (х + 1)(х — 4), так как х² — Зх — 4 = 0 x1 = -1. x2 = 4 .
math-helper.ru
Разложение многочлена на множители. Теория и примеры.
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Для чего нужно раскладывать многочлен на множители?
Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты сделаешь это, выражение станет намного проще и ты сможешь с ним «разобраться»! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.
Прочитай эту статью и у тебя не останется вопросов по этой теме. Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова, потом объясним все пять ВОЛШЕБНЫХ способов разложения многочлена на множители. И затем разберем на примерах как это делать.
Let’s dive right in… (Поехали!)
– это могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)
Все это — одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов…
— это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:
Так, ну давай по порядку. Как не трудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».
Возьмем, например, число , разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. Так мы можем получить, умножив на , а , в свою очередь, можно представить как произведение и .
Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:
На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя, т.е. их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).
Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, , а ? Вот и я говорю, что элементарно!
Иными словами, . Тут , еще раз и – это и есть множители, на которые мы раскладываем.
Это самый главный вопрос. Я уже говорил — чтобы облегчить тебе жизнь. Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.
А теперь «официальное» определение.
Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.
Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.
Давай посмотрим на каждый из них…
Применяется если преобразование не очевидно.
Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:
Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения
Теорема. Если квадратное уравнение имеет корни , то его можно записать в виде:
.
1. Вынесение общего множителя за скобки
Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).
Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, .
Так же можно проделать и обратную операцию, , вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.
Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как и , например, так и с числами: .
Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа , ведь все знают, что числа , и делятся на , а как быть, если вам досталось выражение посложнее:
?
Как узнать на что, например, делится число , неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.
Признаки делимости
Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:
| Делится на | Признак делимости числа на данный делитель |
| 2 | Оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8 |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 |
| 5 | Последняя цифра 5 или 0 |
| 7 | Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 |
| 10 | Последняя цифра – ноль |
| 11 | Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 |
Примечание: В таблице не хватает признака делимости на 4. Если две последние цифры делятся на 4, то и всё число делится на 4.
Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!
Что ж, вернемся к выражению , может вынести за скобку да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!
И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на разделить не удастся,
Можно воспользоваться признаком делимости на , сумма цифр , и , из которых состоит число , равна , а делится на , значит и делится на .
Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления на получаем (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:
.
Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!
Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, , видишь общий множитель?
У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на – снова выносим, смотрим что получилось: .
2. Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».
Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.
Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:
А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:
А вот что должно было получиться:
Как ты успел заметить, эти формулы – весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!
3. Группировка или метод группировки
А вот тебе еще примерчик:
ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на что-то делится и на , а что-то на и на
Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?
Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!
Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.
Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.
Не очень понятно все это? Объясню на примере:
В многочлене ставим член – после члена – получаем
группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:
А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.
Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.
Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки , а из второй , получаем:
Но это же не разложение!
После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части…
НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это
за скобку и получаем финальное произведение
Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.
Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения , которые опять же мы и вынесли за скобку.
И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.
Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: .
Согласись, уже не такой громоздкий, как был?
4. Выделение полного квадрата.
Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.
В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:
Многочлен в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.
Для полной формулы квадрата разности здесь нужно вместо . Представим третий член как разность , получим: К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!), имеем: , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!), представив , как , получим: .
Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.
Примеры:
Ответы:
1.
2.
3.
4.
5.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители
О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.
Примеры 5 методов разложения многочлена на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры.
Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:
Пример:
Разложить многочлен на множители .
Решение:
.
Еще пример:
Разложи на множители .
Решение:
.
Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!
.
2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.
Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!
Пример:
Разложите на множители выражение .
Решение:
В этом выражении несложно узнать разность кубов:
Пример:
Разложите на множители многочлен .
Решение:
3. Метод группировки. Примеры
Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.
Пример:
Разложите на множители многочлен .
Решение:
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.
В первой группе вынесем за скобку общий множитель , а во второй − :
.
Теперь общий множитель также можно вынести за скобки:
.
4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.
Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).
Пример:
Разложите на множители многочлен .
Решение: Пример:
\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left( x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left( x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left( x+3+4 \right)\left( x+3-4 \right)=\left( x+7 \right)\left( x-1 \right) \\
\end{array}
Разложите на множители многочлен .
Решение:
\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}
5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.
Квадратный трехчлен – многочлен вида , где – неизвестное, , , – некоторые числа, причем .
Значения переменной , которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения .
Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».
Теорема.
| Если квадратное уравнение имеет корни , то его можно записать в виде: . |
Пример:
Разложим на множители квадратный трехчлен: .
Сначала решим квадратное уравнение:Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:
.
Теперь твое мнение…
Мы расписали подробно как и для чего раскладывать многочлен на множители.
Мы привели массу примеров как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения…
А что скажешь ты?
Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?
Пиши в комментриях и… готовься к экзамену!
Пока что он самый важный в твоей жизни.
Удачи.
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
youclever.org