Определение квадратного уравнения: классификация и примеры
Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не равно 0.
Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом. В некоторой литературе встречаются и другие названия. Число а называется первым коэффициентом, а число b – вторым коэффициентом.
Классификация квадратных уравнений
Квадратные уравнения имеют свою классификацию.
По наличию коэффициентов:
1. Полные
2. Неполные
По значению коффициента старшей степени неизвестного (значинию старшего коэффициента):
1. Приведенные
2. Неприведенные
Квадратное уравнение называется полным если в нем присутствуют все три коэффициента и они отличны от нуля. Общий вид полного квадратного уравнения: a*x^2 +b*x+c=0;
Квадратное уравнение называется неполным если в уравнении a*x^2 +b*x+c=0 один из коэффициентов b или c равен нулю (b=0 или с=0), впрочем неполным квадратным уравнением будет являться и уравнение у которого и коэффициент b и коэффициент с одновременно равны нулю (и b=0, и c=0).
Стоит обратить внимание, что о старшем коэффициенте тут ничего не говориться, так как он по определению квадратного уравнения должен быть отличен от нуля.
Квадратное уравнение называется приведенным если его старший коэффициент равен единице (a=1). Общий вид приведенного квадратного уравнения: x^2 +d*x+e=0.
Квадратное уравнение называется неприведенным, если старший коэффициент в уравнении отличен от нуля. Общий вид неприведенного квадратного уравнения: a*x^2 +b*x+c=0.
Следует заметить, что любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведенному. Для этого необходимо разделить коэффициенты квадратного уравнения на старший коэффициент.
Примеры квадратного уравнения
Рассмотрим пример: имеем уравнение 2*x^2 – 6*x+7 =0;
Преобразуем его в приведенное уравнение. Старший коэффициент равен 2. Поделим на него коэффициенты нашего уравнения и запишем ответ.
x^2 – 3*x+3,5 =0;
Как вы заметили, в правой части квадратного уравнения стоит многочлен второй степени a*x^2 +b*x+c. Его еще называют квадратным трехчленом.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Преобразование выражений с квадратными корнями: свойства и примеры
Следующая тема:   Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
Все неприличные комментарии будут удаляться.
Приведенное квадратное уравнение
Цели:
- Ввести понятие приведенного квадратного уравнения;
- “открыть” зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;
- развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.
1. Проверка домашнего задания
№ 309(г) [1] х1=7, х2=
№ 311(г) [1] х1=2, х2=-1
№ 312 (г) [1] корней нет
2. Повторение изученного материала
У каждого на столе находится таблица. Найдите соответствие между левым и правым столбиками таблицы.
| Словесная формулировка | Буквенное выражение |
| 1. Квадратный трехчлен | А. ах2=0 |
| 2. Дискриминант | Б. ах2+с=0, с< 0 |
| 3. Неполное квадратное уравнение, имеющее один корень равный 0. | В. Д > 0 |
| 4. Неполное квадратное уравнение , один корень которого 0, а другой не равен 0. | Г. Д < 0 |
| 5. Не полное квадратное уравнение, корни которого равны по модулю, но противоположны по знаку. | Д. ах2+вх+с=0 |
| 6. Не полное квадратное уравнение, не имеющее действительных корней. | Е. Д=в2+4ас |
| 7. Общий вид квадратного уравнения. | Ж. х2+рх+q=0 |
| 8. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два корня | З. ах2+вх+с |
| 9. Условие, при котором квадратное уравнение не имеет корней | И. ах2+с=0, с > 0 |
| 10. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два равных корня | К. ах2+вх=0 |
| 11. Приведенное квадратное уравнение. | Л. Д = 0 |
Правильные ответы занесите в таблицу.
1-З; 2-Е; 3-А; 4-К; 5-Б; 6-И; 7-Д; 8-В; 9-Г; 10-Л; 11-Ж.
3. Закрепление изученного материала
Решите уравнения:
а) -5х2 + 8х -3=0;
Решение:
Д=64 – 4(-5)(-3) = 4,
х1 = х2= = а + в + с =-5+8-3=0
б) 2 х2 +6х – 8 = 0;
Решение:
Д=36 – 4•2•(-8)= 100,
х1 = = х2= а + в + с = 2+6-8=0
в) 2009 х2 +х – 2010 =0
Решение:
а + в + с = 2009+1 + (-2010) =0 , то х1 =1 х2 =
4. Расширение школьного курса
ах2+вх+с=0, если а+в+с=0, то х1=1 х2 =
Рассмотрим решение уравнений
а) 2х2 + 5х +3 = 0
Решение:
Д= 25 -24 =1 х1= х2 = а – в + с = 2-5+3=0
б) -4х2 -5х -1 =0
Решение:
Д =25 – 16 = 9 х1= – 1 х2= а –в + с = -4-(-5) – 1=0
в) 1150х2 +1135х -15 = 0
Решение:
а – в+с = 1150-1135 +(-15) = 0 х1 = – 1 х2 =
ах2+вх+с=0, если а-в+с=0, то х1= – 1 х2 =
5. Новая тема
Проверим выполнение вами первого задания. С какими новыми понятиями вывстретились. 11 – ж, т. е.
Приведенное квадратное уравнение – х2+рх+q=0.
Тема нашего урока.
Заполним следующую таблицу.
Левый столбик сами в тетрадях и один ученик у
доски.
Решение уравнения ах2+вх+с=0
Правый столбик, более подготовленный ученик у
доски
Решение уравнения х2+ рх + q = 0, при а = 1, в =
р, с = q
Учитель (при необходимости) помогает, остальные в тетрадях.
6. Практическая часть
№ 321
Х2 – 6х + 8 = 0,
Д = 9 – 8 = 1,
х1 = 3 – 1 = 2
х2 = 3 + 1 = 4
Х2 + 6х + 8 = 0,
Д = 9 – 8 = 0,
х1 = -3 – 1 = -4
х2 = -3 + 1 = -2
Х2 + 20х + 51 = 0,
Д = 100 – 51 = 49 х1 = 10 – 7 = 3
х2 = 10 + 7 = 17
Х2 – 20х – 69 = 0,
Д = 100 – 69 = 31
х1 = 10 –
х2 = 10 +
По результатам наших вычислений заполним таблицу.
№ уравнения р х1+ х2 q х1 х2 1 2
3
4
-6 6
20
– 20
6 – 6
– 20
20
8 8
51
– 69
8 8
51
– 69
Сравним полученные результаты с
коэффициентами квадратных уравнений .
Какой вывод можно сделать?
7. Историческая справка
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540–1603).
Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду он добился в ней больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенное обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений. Что дало возможность записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения.
Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам.
Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимостью, которая называется “теоремой Виета”.
Эту теорему мы будем рассматривать на следующем уроке.
8. Обобщение знаний
Вопросы:
- Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
- По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения ?
- От чего зависит число корней приведенного квадратного уравнения?
- Что называют дискриминантом приведенного квадратного уравнения?
- Как связаны корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты?
- Кто установил эту связь?
9. Домашняя работа
п. 4.5, №321(б,е) №322(а,г,ж,з)
Заполните таблицу.
Уравнение Корни Сумма корней Произведение корней Х2 – 8х + 7 = 0 1 и 7 8 7
Литература
С.М. Никольский и др., “Алгебра 8” учебник серии “МГУ-школе” – М.: Просвещение, 2007.
Внеклассный урок — Квадратное уравнение
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Пример квадратного уравнения:
3x2 + 2x – 5 = 0.
Здесь а = 3, b = 2, c = –5.
Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения.
Число a называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение.
Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
Примеры приведенного квадратного уравнения:
x2 + 10x – 11 = 0
x2 – x – 12 = 0
x2 – 6х + 5 = 0
здесь коэффициент при x2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).
Неполное квадратное уравнение.
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Примеры неполного квадратного уравнения:
-2x2 + 18 = 0
здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.
x2 – 5x = 0
здесь а = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).
Как решать квадратные уравнения.
Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:
1) Найти дискриминант D по формуле:
D = b2 – 4ac.
Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то
2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:
–b ± √D
х1,2 = —————.
2а
Пример: Решить квадратное уравнение 3х2 – 5х – 2 = 0.
Решение:
Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:
а = 3, b = –5, c = –2.
Вычисляем дискриминант:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.
D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.
Находим корни квадратного уравнения:
–b + √D 5 + 7 12
х1 = ————— = ———— = —— = 2
2а 6 6
–b – √D 5 – 7 2 1
х2 = ————— = ———— = – —— = – ——.
2а 6 6 3
1
Ответ: х1 = 2, х2 = – ——.
3
МАТВОКС ⋆ Решение неприведенных квадратных уравнений выделением полного квадрата. Пример 2 ⋆ Энциклопедия математики
Решение. Способ 1
Решим квадратное уравнение при помощи решения квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.
Шаг 1
Так как коэффициент a=-5, то квадратное уравнение является неприведенным.
Разделим на -5 все члены уравнения, чтобы привести его к приведенному виду:
Получим:
Теперь можем приступать к выделению полного квадрата.
Так как коэффициент при x – отрицательный, то собирать будем формулу квадрата разности.
Чтобы выделить полный квадрат, нужно собрать формулу:
В рассматриваемом уравнении есть x2.
Не хватает удвоенного произведения первого слагаемого на второе.
Так как коэффициент b – четное число, то можем левую часть уравнения представить в следующем виде:
Таким образом, удвоенное произведение есть.