Квадратные уравнения с дробями: Решение квадратных уравнений с цепными дробями — Solving quadratic equations with continued fractions

Posted on by alexxlab

Содержание

Неполные квадратные уравнения с дробями. Как решать неполное квадратное уравнение пример

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов :

1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.

  • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня

x = ±√(–c/a) .

Если же ‒c/a

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1 . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.

Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

Пример 2 . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.

Ответ: уравнение решений не имеет.

  • Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3 . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.

х(3х ‒ 12) = 0

х= 0 или 3х – 12 = 0

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.

  • Уравнения третьего вида ах 2 = 0 решаются очень просто.

Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х 2 = 0.

Ответ: х 1, 2 = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.

Приведем подобные

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, мы вместе решим возникшие проблемы.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

Решить квадратные уравнения:

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a)

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0.

Решение неполных квадратных уравнений.

Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Смотрите также:

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

  • ax 2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
  • ax 2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
  • ax 2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax 2 = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x 2 , а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0.

Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Например:

–3x 2 = 0
x 2 = 0/–3
x 2 = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax 2 + c = 0 преобразуются к виду ax 2 = –c и решаются аналогично предыдущему. Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax 2 + c = 0
ax 2 = –c
x 2 = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x 2 – 16 = 0
4x 2 = 16
x 2 = 16 / 4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax 2 + bx = 0 имеют два корня: x 1 = 0, x 2 = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x 2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x 1 = 0; x 2 = 10/3 = 3,(33)

Нахождение корней квадратного уравнения 8 класс

Формула
Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно найти по
формуле: , где — дискриминант

квадратного уравнения.

Возможны три правила:

Правило 1
1. D > 0.

8.2.1. Решение неполных квадратных уравнений

Тогда уравнение имеет 2 различных корня:

Пример
2x 2 + 7x — 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7 2 — 4 2 (- 4) = 81 > 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

Правило 2
2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень.

Пример
x 2 — 4x + 4 = 0.

D = (-4) 2 — 4 1 4 = 0, x = — -4 2 1 = 2.

Заметим, что x 2 — 4x + 4 = 0 x = 2.

Правило 3
3. D

Пример
3x 2 — x + 7 = 0.

D = (-1) 2 — 4 3 7 = -83

С четным вторым коэффициентом

Правило, формулы
Если b = 2k, то корни уравнения ax + 2kx + c = 0 находятся по формуле:

Пример 1
1. x + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b 2 = 9; c = 32.

D 1 = D 4 = (18 2 ) 2 — 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:

x 1 = -9 -? 49 1 = -16, x 2 = -9 + 7 = -2.

Пример 2
2. 3x 2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b 2 = 1; c = 1.

D 1 = D 4 = 1 2 — 1 3 = -2

Пример 3
3. 196x 2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b 2 = -14; c = 1.

D 1 = D 4 = (- 14) 2 — 196 = 0, значит уравнение имеет один корень.

x = 14 196 = 1 14 .

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Решение квадратных уравнений

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

1. Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.
2.Примеры решения квадратных уравнений.
3.Решение неполных квадратных уравнений.
4.Разложение квадратного трехчлена на сомножители.

Квадратные уравнения. Общая информация.

В квадратном уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате (поэтому оно и называется

«квадратным»). Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и

просто число (свободный член ). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Алгебраическое уравнение общего вида.

где x — свободная переменная, a , b , c — коэффициенты, причём a ≠0 .

Например :

Выражение называют квадратным трёхчленом .

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

· называют первым или старшим коэффициентом,

· называют вторым или коэффициентом при ,

· называют свободным членом.

Полное квадратное уравнение.

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с

коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с. В се коэффициенты

должны быть отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Предположим, что b = 0, — пропадёт икс в первой степени. Получается, например:

2х 2 -6х=0,

И т.п. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то всё ещё проще, например:

2х 2 =0,

Обратите внимание, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Почему а не может быть равно нулю? Тогда исчезнет икс в квадрате и уравнение станет линейным .

И решается уже совсем иначе…

Известно, что оно является частным вариантом равенства ах 2 +вх+с = о, где а, в и с — вещественные коэффициенты при неизвестном х, и где а ≠ о, а в и с будут нулями — одновременно или порознь. Например, с = о, в ≠ о или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.

Трехчлен второй степени равен нулю. Первый его коэффициент а ≠ о, в и с могут принимать любые значения. Значение переменной х тогда будет когда при подстановке обратит его в верное числовое равенство. Остановимся на вещественных корнях, хотя решениями уравнения могут быть и Полным принято называть уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен о, а ≠ о, в ≠ о, с ≠ о.
Решим пример. 2х 2 -9х-5 = о, находим
D = 81+40 = 121,
D положительный, значит корни имеются, х 1 = (9+√121):4 = 5, а второй х 2 = (9-√121):4 = -о,5. Проверка поможет убедиться, что они верные.

Вот поэтапное решение квадратного уравнения

Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого известный квадратный трехчлен при а ≠ о. В нашем примере. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 +вх+с = о)

Рассмотрим, какие бывают неполные уравнения второй степени

  1. ах 2 +вх = o. Свободный член, коэффициент с при х 0 , здесь равен нулю, в ≠ o.
    Как решать неполное квадратное уравнение такого вида? Выносим х за скобки. Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно нулю.
    x(ax+b) = o, это может быть, когда х = о или когда ax+b = o.
    Решив 2-е имеем x = -в/а.
    В результате имеем корни х 1 = 0, по вычислениям x 2 = -b/a .
  2. Теперь коэффициент при х равен о, а с не равен (≠) о.
    x 2 +с = о. Перенесем с в правую часть равенства, получим x 2 = -с. Это уравнение только тогда имеет вещественные корни, когда -с положительное число (с ‹ о),
    х 1 тогда равен √(-с), соответственно х 2 ― -√(-с). В противном случае уравнение совсем не имеет корней.
  3. Последний вариант: b = c= o, то есть ах 2 = о. Естественно, такое простенькое уравнение имеет один корень, x = о.

Частные случаи

Как решать неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возмем любые виды.

  • В полном квадратном уравнении второй коэффициент при х ― четное число.
    Пусть k = o,5b. Имеем формулы для вычисления дискриминанта и корней.
    D/4 = k 2 — ас, корни вычисляются так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
    x = -k/a при D = o.
    Нет корней при D ‹ o.
  • Бывают приведенные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать x 2 +рх+ q = o. На них распространяются все вышеприведенные формулы, вычисления же несколько проще.
    Пример, х 2 -4х-9 = 0. Вычисляем D: 2 2 +9, D = 13.
    х 1 = 2+√13, х 2 = 2-√13.
  • Кроме того, к приведенным легко применяется В ней говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второму коэффициенту с минусом (имеется ввиду противоположный знак), а произведение этих же корней будет равно q, свободному члену. Проверьте, как легко можно было бы устно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (при всех коэффициентах, не равных нулю) эта теорема применима так: сумма x 1 +x 2 равна -в/а, произведение х 1 ·х 2 равно с/a.

Сумма свободного члена с и первого коэффициента а равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет не менее чем один корень (легко доказывается), первый обязательно равен -1, а второй -с/а, если он существует. Как решать неполное квадратное уравнение, можно проверить самостоятельно. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых соотношениях между собой

  • x 2 +x = o, 7х 2 -7 = o.
  • Сумма всех коэффициентов равна о.
    Корни у такого уравнения — 1 и с/а. Пример, 2х 2 -15х+13 = o.
    x 1 = 1, х 2 = 13/2.

Существует ряд других способов решения разных уравнениий второй степени. Вот, например, метод выделения из данного полинома полного квадрата. Графических способов несколько. Когда часто имеешь дело с такими примерами, научишься «щелкать» их, как семечки, ведь все способы приходят на ум автоматически.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:


Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:


1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Давайте рассмотрим уравнение:


По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:


Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:


Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:


У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Методы решения уравнений, содержащих дроби

В этой статье я расскажу методики решения рациональных уравнений, содержащих дроби.

Что такое рациональное уравнение? Это уравнение, которое содержит в себе такие действия как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем. Извлечение корня — это недопустимое действие для рационального уравнения. Корень делает уравнение иррациональным, как, собственно, и дробный показатель степени.

В свою очередь рациональные уравнения делятся на два вида: целые рациональные и дробные рациональные.

К целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения. Рассмотрим пример:

Это уравнение является…попробуешь угадать?…линейным. Его можно запросто увидеть, если деление на 2 и на 6 заменить умножением на 1/2 и 1/6 соответственно. Но оно все-таки содержит в себе знаменатель, поэтому мы его и рассматриваем в данной статье.

К дробным рациональным уравнениям относятся уравнения, которые содержат икс в знаменателе. Например, это уравнение дробное рациональное:

Методика решения приведенных примеров, в принципе, одинакова. Разница состоит в том, что в дробных рациональных уравнениях знаменатель не должен равняться нулю, поэтому при их решении оговаривают ограничения для икса. По-научному говорят, что находят область допустимых значений (ОДЗ).

Но давайте начнем с простого.

Целое рациональное уравнение.

Сначала решим целое рациональное уравнение.

Если ты в уравнении видишь дроби, то надо от них избавится, ведь уравнение без дробей решается намного приятнее)

В этом уравнении находим общий знаменатель. Он равен 6. Это значит, что обе части уравнения надо умножить на 6 (одинокий икс тоже).

Обычно этот шаг пропускают и переходят к следующему, но я его все равно распишу:

Числители и знаменатели сокращаются и получается элементарное уравнение:

Приводим подобные слагаемые:

Чтобы найди икс надо -10 разделить на 10 (произведение делим на известный множитель). Получаем ответ:

Готово!

Дробное рациональное уравнение.

Теперь решим дробное рациональное уравнение.

Я уже писала о том, что в дробных рациональных уравнениях знаменатели не должны равняться нулю. Знаменатель второй дроби нас устраивает, ведь 3 не равно 0) А вот знаменатель первой дроби требует от нас, чтобы мы нашли ОДЗ.

А дальше по накатанной: надо обе части уравнения умножить на общий знаменатель. Общим знаменателем будет выражение 3(х + 9).

Снова распишу подробно, но если ты шаришь, то следующую запись можешь не писать.

В первой дроби сокращаем (х + 9), а во второй — тройки. Получаем такое уравнение:

Здесь можно раскрыть скобки, потом перенести известные в одну сторону, а неизвестные — в другую… Но делать я этого не стану, а просто обе части уравнения разделю на -2. А еще поменяю местами левую и правую части уравнения, чтобы привести его к привычному виду.

Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое, т.е. из -9 вычесть 9.

Ответ таков:

Сравниваем с ОДЗ… Всё отлично. Корень уравнения подходит.

Альтернативный метод решения уравнения с дробями.

Но нельзя пройти мимо другого метода решения данного уравнения: с помощью пропорции. Помнишь, как она раскрывается? Правильно, крест-накрест. И не надо искать общий знаменатель)

Перемножаем….и о чудо! Получаем уравнение, которое мы уже решали!

Дальнейшее решение расписывать не буду, оно есть выше.

Такой способ решения уравнений хорош, когда в уравнении имеются две дроби.

 

В завершении решу еще одно уравнение предложенными выше способами.

 

Только ты решаешь какой способ выбрать.

Твой персональный препод Васильева Анна)

8 класс

Иррациональные уравнения

07:26

03:41

08:16

Решить дробное уравнение онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. 2\]

Определим корни:

\[x = \frac{1 \pm 15}{2} \to x_1 = 8; x_2 = -7\]

Получим 3 нуля числителя:

\[x = 8; x = -7; x = 3.\]

Так же читайте нашу статью «Решить систему уравнений 9 класса онлайн решателем»

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого применим теорему Виета:

\[\begin{Bmatrix} x_1 + x_2 & = & -5 \\ x_1 \cdot x_2 & = & 6 \end{Bmatrix}\]

\[\begin{Bmatrix} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & -3 \end{Bmatrix}\]

Из полученного выше результата делаем вывод, что числитель и знаменатель не имеют общих корней. Следовательно, все найденные нами значения \[x = 8, x = -7, x = 3\] и будут решением данного несложного уравнения.

Где можно решить дробные рациональные уравнения онлайн?

Решить уравнение онлайн вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

  Поиск Поиск
  • Школьный помощник
    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык

«»

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы
    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Русский язык 7 класс
    • Русский язык 6 класс
    • Русский язык 5 класс
    • Алгебра 7 класс
    • Математика 6 класс
    • Математика 5 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Алгебра 8 класс
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Деление и дроби
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Окружность и круг
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

ГДЗ и Решебник по алгебре для 8 класса автор Голобородько

Авторы: Голобородько
Класс: 8
Предмет: Алгебра

АЛГЕБРА

Рациональные дроби
С-1. Рациональные выражения. Сокращение дробей1 2 3 4
С-2. Сложение и вычитание дробей1 2 3 4 5
К-1. Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей1 2 3 4 5 6 7 8
С-3. Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень1 2 3 4 5
С-4. Преобразование рациональных выражений1 2 3 4 5 6
С-5*. Все действия с рациональными выражениями (домашняя самостоятельная работа)
С-6. Обратная пропорциональность и ее график1 2 3 4 5 6
К-2. Рациональные дроби1 2 3 4 5 6 7 8
Квадратные корни
С-7. Арифметический квадратный корень1 2 3 4 5 6
С-8. Уравнение х2 = а. Функция у = у[х1 2 3 4 5 6
С-9. Квадратный корень из произведения, дроби, степени1 2 3 4
К-3. Арифметический квадратный корень и его свойства1 2 3 4 5
С-10. Внесение и вынесение множителя в квадратных корнях1 2 3 4
С-11. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни1 2 3
С-12*. Действия с квадратными корнями (домашняя самостоятельная работа)
К-4. Применение свойств арифметического квадратного корня1 2 3 4 5 6 7 8
Квадратные уравнения
С-13. Неполные квадратные уравнения1 2 3
С-14. Формула корней квадратного уравнения1 2 3 4
С-15. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета1 2 3 4
С-16*. Применение свойств квадратных уравнений (домашняя самостоятельная работа)
К-5. Квадратные уравнения1 2 3 4 5 6 7
С-17. Дробные рациональные уравнения1 2 3 4 5
С-18. Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач1 2 3 4 5 6
К-6. Дробные рациональные уравнения1 2 3 4 5 6 7 8 9
Неравенства
С-19. Свойства числовых неравенств К-7. Числовые неравенства и их свойства1 2 3
K-7.1 2 3 4 5 6
С-20. Линейные неравенства с одной переменной1 2 3 4 5
С-21. Системы линейных неравенств1 2
С-22*. Неравенства (домашняя самостоятельная работа)
К-8. Линейные неравенства и системы неравенств с одной переменной1 2 3 4 5
С-23. Степень с отрицательным показателем1 2
К-9. Степень с целым показателем1 2 3
К-10. Годовая контрольная работа1 2 3 4 5

ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)

Четырехугольники
СП-1. Свойства и признаки параллелограмма1 2 3 4
СП-2. Прямоугольник. Ромб. Квадрат1 2 3 4
КП-1. Параллелограмм1 2 3 4
СП-3. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника1 2 3
СП-4. Трапеция. Средняя линия трапеции1 2 3 4
СП-5*. Четырехугольники (домашняя самостоятельная работа)
КП-2. Трапеция. Средние линии треугольника и трапеции1 2 3 4 5
Теорема Пифагора
СП-6. Теорема Пифагора1 2 3 4 5
СП-7. Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная1 2 3 4
СП-8. Неравенство треугольника1 2
СП-9*. Теорема Пифагора (домашняя самостоятельная работа)
КП-3. Теорема Пифагора1 2 3 4 5 6
СП-10. Решение прямоугольных треугольников1 2 3 4
СП-11. Свойства тригонометрических функций1 2 3
КП-4. Прямоугольный треугольник (итоговая контрольная работа)1 2
Декартовы координаты на плоскости
СП-12. Координаты середины отрезка. 1 2 3 4
Расстояние между точками. Уравнение окружности
СП-13. Уравнение прямой1 2 3 4 5 6 7
СП-14*. Декартовы координаты (домашняя самостоятельная работа)
КП-5. Декартовы координаты1 2 3 4 5 6
Движение
СП-15. Движение и его свойства. Центральная и осевая симметрии. Поворот1 2 3
СП-16. Параллельный перенос1 2 3
Векторы
СП-17. Понятие вектора. Равенство векторов1 2
СП-18. Действия с векторами в координатной форме. Коллинеарные векторы1 2
СП-19. Действия с векторами в геометрической форме1 2 3
СП-20. Скалярное произведение1 2 3
СП-21*. Применение параллельного переноса и векторов к решению задач (домашняя самостоятельная работа)
КП-6. Векторы1 2 3 4
КП-7. Годовая контрольная работа1 2 3 4 5 6 7

ГЕОМЕТРИЯ (по учебнику Атанасяна)

Четырехугольники
СА-1.Свойства и признаки параллелограмма1 2 3
СА-2.Прямоугольник. Ромб. Квадрат1 2 3
СА-3*. Четырехугольники (домашняя самостоятельная работа)
КА-1. Четырехугольники1 2 3
Площадь
СА-4.Площадь прямоугольника, квадрата9 10
СА-5.Площадь параллелограмма, ромба, треугольника11 12
СА-6.Площадь трапеции13 14
СА-7.Теорема Пифагора14 15
СА-8*. Площади. Теорема Пифагора (домашняя самостоятельная работа)
КА-2. Площади. Теорема Пифагора16 17 18
Подобные треугольники
СА-9. Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла треугольника1 2 3 4 5 6
СА-10. Признаки подобия треугольников1 2 3 4 5
КА-3. Подобие треугольников1 2 3 4 5
СА-11. Применение подобия к решению задач1 2 3
СА-12. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника1 2 3 4
СА-13*. Подобие и его применение (домашняя самостоятельная работа)
КА-4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника1 2 3 4
Окружность
СА-14. Касательная к окружности1 2 3 4
СА-15. Центральные и вписанные углы1 2 3 4 5
СА-16. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Замечательные точки треугольника1 2 3 4
СА-17. Вписанная и описанная окружности1 2 3 4 5
СА-18*. Задачи, связанные с окружностью (домашняя самостоятельная работа)
КА-5. Окружность1 2 3 4 5
Векторы
СА-19. Сложение и вычитание векторов1 2 3
СА-20. Умножение вектора на число1 2 3
СА-21. Средняя линия трапеции1 2 3 4
СА-22*. Векторы и их применение (домашняя самостоятельная работа)
КА-6. Векторы. Применение векторов к решению задач1 2 3
КА-7. Годовая контрольная работа1 2 3 4 5

В курсе школы 8 класса, да и всех остальных классов, большому количеству учеников с особым трудом даётся изучение алгебры. Каждый год ребята должны изучить и запомнить большое количество формул, научиться решать разнообразные уравнения и трудные задачи. А если учесть ещё и то, что данный предмет является не единственным в школьной программе, учить приходится и немало других дисциплин, то без предоставления помощи школьникам справиться с такими трудностями бывает очень сложно. Именно для этого предназначен решебник по алгебре для 8 класса Голобородько.

Часто родители останавливают свой выбор на посещении личного репетитора. Но такое решение доступно далеко не для каждой семьи. К тому же в будущем этот предмет не всегда бывает профильным, поэтому оплачивать индивидуальное обучение данной дисциплины не рационально. Но и спокойно следить за снижением успеваемости своего сына или дочери родители не будут.

В такой ситуации отличным решением будет использовать решебник по алгебре для 8 класса В.В. Голобородько. В таком пособии можно найти как готовые и всегда правильные ответы на задания учебника, так и подробный ход их решения. Таким образом, этот сборник поможет учащимся вникнуть в основные тонкости решения сложных домашних работ, предоставит возможность углубить свои знания и умения с такой точной науки.

Правильное решение всех домашних заданий придаст ученику уверенности в успешной сдаче ЕГЭ, которые наступят через год. Воспользовавшись таким решебником и научившись правильно выполнять любые задания, ученик сможет качественно подготовиться к сдаче будущих экзаменов, избавив своих родителей от лишних затрат – в будущем не нужно будет оплачивать репетитора для подготовки к экзаменам.

Оценка решебника:

ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев: Миндюк, учебник, решебник

Особенности изучения алгебры

ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев: Алгебра – это точная наука, она не терпит любых отклонений или недомолвок. Изучая этот предмет не нужно отвлекаться на какие-то мысли, развлечения и прочее. Необходимо постараться окунутся в предоставленный материал с головой чтобы после получив знания самостоятельно решать задачи поставленные учителем.

Многие ученые восхищались этим предметом, поскольку есть строгость вычислений. Множество лет назад были сделаны открытия, созданы различные формулы, но сама структура этого предмета осталась прежней. Довольно-таки давно было замечено, что не каждый ученик имеет столько терпения и сил ради того чтобы самостоятельно понять предмет.

В наши дни школьники делятся на два типа. Одни стараются всё понять и легко ориентируются в решении задач, а вторые осваивают предмет в школе. В восьмом классе ученикам предстоит узнать а также изучить намного больше тем чем год назад. Среди тем есть:

  • рациональные дроби;
  • квадратные корни и уравнения разного типа;
  • неравенства и элементы статистики;
  • степени с целыми показателями.

Каждый из существующих разделов включает в себя огромное количество новых и сложных параграфов. Они помогают более детально изучить предмет и открыть для себя новые знания. Любое отвлечение или же пропуск занятий влечет за собой серьезные последствия.

Если нет сильных математических способностей, то на помощь придут репетиторы или решебники. Таким образом, можно отлично поддерживать успеваемость на довольно-таки высоком уровне. Помимо того подросток захочет самостоятельно решать поставленные задачи поняв предмет хотя бы немного.

В наши дни можно воспользоваться ГДЗ к пособию «Алгебра 8 класс Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение». Онлайн решебник поможет ученику получить ответы на желаемые вопросы и решить задачи в кратчайшие сроки, разобравшись со всеми моментами.

Составляющее решебника

В сборнике есть более 150 тысяч упражнений. Они рассчитаны на тренировку навыков у учеников. Обширные и точные ответы помогу вникнуть в сам принцип выполнения задач, а главное понять, как применяются полученные знания соответственно на сложной практике. На сайте ученики могут ознакомиться более детально с ГДЗ «Алгебра 8 класс Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение».

На что рассчитан решебник?

В случае, когда тема осталась недопонятой или стало просто невозможно самостоятельно решить поставленную задачу, то можно воспользоваться онлайн решебником абсолютно бесплатно. Перечитывая самостоятельно теорию, далеко не все восьмиклассники могут понять, на что рассчитаны формулы и различные уравнения.

Именно поэтому многие пользуются моментом и начинают списывать готовые задания. Решебником не стоит пользоваться постоянно, а только по мере необходимости. Он в первую очередь является средством самоконтроля помогая определить уровень знаний, а также возможность вносить корректировки. В качестве шпаргалки он не принесет достойных результатов.

Для чего нужен решебник?

Решебник к пособию «Алгебра 8 класс Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение» поможет в следующих случаях:

  • проверить правильность выполнения домашнего задания;
  • легко найти ошибки и исправить их;
  • потренироваться в решении аналогичных примеров, чтобы закрепить результат полученный ранее.

С помощью такого помощника можно быстро и без проблем повторить нужные темы перед контрольной или иной работой. 2=a \)​
14. Нахождение приближенных значений квадратного корня
15. Функция\( y=\sqrt x \)и ее график

§ 6. Свойства арифметического квадратного корня

16. Квадратный корень из произведения и дроби
17. Квадратный корень из степени

§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня
19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
20. Преобразование двойных радикалов
Дополнительные упражнения к главе II

Глава III. Квадратные уравнения

§ 8. Квадратное уравнение и его корни

21. Неполные квадратные уравнения
22. Формула корней квадратного уравнения
23. Решение задач с помощью квадратных уравнений
24. Теорема Виета

§ 9. Дробные рациональные уравнения

25. Решение дробных рациональных уравнений
26. Решение задач с помощью рациональных уравнений
27. Уравнения с параметром
Дополнительные упражнения к главе III

Глава IV. ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев — Неравенства

§ 10. Числовые неравенства и их свойства

28. Числовые неравенства
29. Свойства числовых неравенств
30. Сложение и умножение числовых неравенств
31. Погрешность и неточность приближения

§ 11. Неравенства с одной переменной и их системы

32. Пересечение и объединение множеств
33. Числовые промежутки
34. Решение неравенств с одной переменной
35. Решение систем неравенств с одной переменной
36. Доказательство неравенств
Дополнительные упражнения к главе IV

Глава V. Степень с целым показателем

§ 12. Степень с целым показателем и ее свойства

37. Определение степени с целым отрицательным показателем
38. Свойства степени с целым показателем
39. Стандартный вид числа

§ 13. ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев — Элементы статистики

40. {-2} \)​ и их свойства
43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение
Дополнительные упражнения к главе V

Задачи повышенной трудности

РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


Примечание:

  • Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение степени 2.
  • П-образный график квадратичной называется параболой.
  • Квадратное уравнение имеет два решения. Либо два разных реальных решения, одно двойное действительное решение или два мнимых решения.
  • Есть несколько методов, которые вы можете использовать для решения квадратного уравнения:
    1. Факторинг
    2. Завершение площади
    3. Квадратичная формула
    4. Графики
  • Все методы начинаются с установки уравнения, равного нулю.


Решите относительно x в следующем уравнении.

Пример 1:

Уравнение уже обнулено.

Если вы забыли, как манипулировать дробями, нажмите «Дроби» для просмотра.

Удалите все дроби, записав уравнение в эквивалентной форме без дробных коэффициентов. В этой задаче это можно сделать с помощью умножение обеих частей уравнения на 2.


Метод 1: Факторинг

Уравнение нелегко разложить на множители.Следовательно, мы не будем использовать этот метод.


Метод 2: Завершение квадрата

Добавьте 10 к обеим частям уравнения


Добавьте к обеим сторонам уравнения:


Разложите левую сторону на множители и упростите правую сторону:


Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:


Добавьте 16 к обеим частям уравнения:


Метод 3: квадратная формула

Квадратичная формула:

В уравнении a — это коэффициент члена, b — коэффициент члена x , и c — постоянная.Замените 1 на a , -32 на b и -10 на c в квадратная формула и упростить.


Метод 4: построение графиков

Изобразите левую часть уравнения, и изобразите правую часть уравнения. График представляет собой не что иное, как ось абсцисс. Итак, что вы будете искать где график пересекает ось абсцисс. Другими словами, точки пересечения по оси x — это решения этого уравнения.

На графике видно, что есть два пересечения по оси x, одно на 32.309506 и один -0.309506.

Ответы: 32.309506, и эти ответы могут или могут не быть решениями исходных уравнений. Вы должны убедиться, что эти ответы — это решения.


Отметьте эти ответы в исходном уравнении.


Проверьте решение x = 32,309506, заменив 32,309506 в исходном уравнение для x. Если левая часть уравнения

равна правой сторону уравнения после подстановки, вы нашли правильный отвечать.

Поскольку левая часть исходного уравнения равна правой части исходное уравнение после того, как мы подставим значение 32.309506 вместо x, тогда x = 32,309506 — это решение.

Проверьте решение x = -0,309506, заменив -0,309506 в исходном уравнение для x. Если левая часть уравнения равна правой сторону уравнения после подстановки, вы нашли правильный отвечать.

Поскольку левая часть исходного уравнения равна правой части исходное уравнение после того, как мы подставим значение -0.309506 для x, тогда x = — 0,309506 — это решение.


Решения уравнения равны 32,309506 и — 0,309506.


Комментарий: вы можете использовать точные решения, чтобы разложить исходное уравнение на множители.


С


С


Продукт


С


тогда мы могли бы сказать



Однако произведение первых членов множителей не равно


Умножение


Давайте проверим,




коэффициенты а, и

Если вы хотите проработать другой пример, нажмите «Пример».


Если вы хотите проверить себя, решив некоторые задачи, подобные этой Например, нажмите «Проблема»


Если вы хотите вернуться к оглавлению уравнения, щелкните СОДЕРЖАНИЕ

[Алгебра] [Тригонометрия] [Геометрия] [Дифференциальные уравнения] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра]

С.Домашняя страница O.S MATHematics


Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

10.3 Решение квадратных уравнений с использованием квадратной формулы — элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решать квадратные уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения
  • Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество решений квадратного уравнения
  • Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения

Будьте готовы 10.7

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Упростить: −20−510−20−510.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.74.

Будьте готовы 10,8

Упростить: 4 + 1214 + 121.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 9.29.

Будьте готовы 10.9

Упростить: 128128.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 9.12.

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги.К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой, чтобы найти решение проблемы. квадратное уровненеие.

Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы проделали алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x .Возможно, будет полезно взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, так что вы см. их как с числами, так и «в целом».

Начнем со стандартной формы квадратного уравнения
и решим его для x , заполнив квадрат.
ax2 + bx + c = 0a ≠ 0ax2 + bx + c = 0a ≠ 0
Изолируйте переменные члены с одной стороны. ax2 + bx = −cax2 + bx = −c
Сделайте старший коэффициент равным 1, разделив на a. ax2a + bax = −caax2a + bax = −ca
Упростить. x2 + bax = −cax2 + bax = −ca
Чтобы завершить квадрат, найдите (12 · ba) 2 (12 · ba) 2 и добавьте его к обеим
сторонам уравнения. (12ba) 2 = b24a2 (12ba) 2 = b24a2		 x2 + bax + b24a2 = −ca + b24a2x2 + bax + b24a2 = −ca + b24a2
Левая часть представляет собой полный квадрат, разложите его на множители. (х + b2a) 2 = −ca + b24a2 (x + b2a) 2 = −ca + b24a2
Найдите общий знаменатель правой части и запишите
эквивалентных дробей с общим знаменателем.		 (x + b2a) 2 = b24a2 − c · 4aa · 4a (x + b2a) 2 = b24a2 − c · 4aa · 4a
Упростить. (x + b2a) 2 = b24a2−4ac4a2 (x + b2a) 2 = b24a2−4ac4a2
Объедините в одну фракцию. (х + b2a) 2 = b2−4ac4a2 (x + b2a) 2 = b2−4ac4a2
Используйте свойство квадратного корня. х + b2a = ± b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac4a2
Упростить. х + b2a = ± b2−4ac2ax + b2a = ± b2−4ac2a
Добавьте −b2a − b2a к обеим частям уравнения. х = −b2a ± b2−4ac2ax = −b2a ± b2−4ac2a
Объедините термины с правой стороны. х = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

Последнее уравнение — квадратичная формула.

Квадратичная формула

Решения квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0a ≠ 0 даются формулой:

x = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения a, b, иca, b иc в выражение в правой части формулы.Затем мы делаем все математические вычисления, чтобы упростить выражение. Результат дает решение (я) квадратного уравнения.

Пример 10.28

Как решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы

Решите 2×2 + 9x − 5 = 02×2 + 9x − 5 = 0, используя дискриминант.

Попробовать 10,55

Решите 3y2−5y + 2 = 03y2−5y + 2 = 0, используя дискриминант.

Попробуйте 10,56

Решите 4z2 + 2z − 6 = 04z2 + 2z − 6 = 0, используя дискриминант.

How To

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу.
  1. Шаг 1. Запишите квадратную формулу в стандартной форме. Определите значения aa, bb и cc.
  2. Шаг 2. Напишите квадратичную формулу. Затем подставьте значения aa, bb и c.c.
  3. Шаг 3. Упростите.
  4. Шаг 4. Проверьте решения.

Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы быстро запомните ее. И помните, квадратная формула — это уравнение.Убедитесь, что вы начали с «x = x =».

Пример 10.29

Решите x2−6x + 5 = 0x2−6x + 5 = 0, используя дискриминант.

Попробовать 10,57

Решите a2−2a − 15 = 0a2−2a − 15 = 0, используя дискриминант.

Попробуйте 10,58

Решите b2 + 10b + 24 = 0b2 + 10b + 24 = 0, используя дискриминант.

Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы.Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

Пример 10.30

Решите 4y2−5y − 3 = 04y2−5y − 3 = 0, используя дискриминант.

Решение

Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти переменную в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли оно « x ».

Попробуйте 10,59

Решите 2p2 + 8p + 5 = 02p2 + 8p + 5 = 0, используя квадратичную формулу.

Попробуй 10.60

Решите 5q2−11q + 3 = 05q2−11q + 3 = 0, используя дискриминант.

Пример 10.31

Решите 2×2 + 10x + 11 = 02×2 + 10x + 11 = 0, используя квадратичную формулу.

Попробуйте 10.61

Решите 3m2 + 12m + 7 = 03m2 + 12m + 7 = 0, используя квадратичную формулу.

Попробуйте 10.62

Решите 5n2 + 4n − 4 = 05n2 + 4n − 4 = 0, используя дискриминант.

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем aa, bb и cc в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения.Мы увидим это в следующем примере.

Пример 10.32

Решите 3p2 + 2p + 9 = 03p2 + 2p + 9 = 0, используя квадратичную формулу.

Попробуйте 10.63

Решите 4a2−3a + 8 = 04a2−3a + 8 = 0, используя дискриминант.

Попробуйте 10.64

Решите 5b2 + 2b + 4 = 05b2 + 2b + 4 = 0, используя дискриминант.

Квадратные уравнения, которые мы решили до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме: ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.

Пример 10.33

Решите x (x + 6) + 4 = 0x (x + 6) + 4 = 0, используя дискриминант.

Попробуйте 10.65

Решите x (x + 2) −5 = 0x (x + 2) −5 = 0, используя дискриминант.

Попробуйте 10.66

Решите y (3y − 1) −2 = 0y (3y − 1) −2 = 0, используя дискриминант.

Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей. Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей.Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

Пример 10.34

Решите 12u2 + 23u = 1312u2 + 23u = 13, используя дискриминант.

Попробуйте 10.67

Решите 14c2−13c = 11214c2−13c = 112, используя дискриминант.

Попробуйте 10.68

Решите 19d2−12d = −1219d2−12d = −12, используя дискриминант.

Подумайте об уравнении (x − 3) 2 = 0 (x − 3) 2 = 0. Мы знаем из принципа нулевого произведения, что это уравнение имеет только одно решение: x = 3x = 3.

В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.

Пример 10.35

Решите 4×2−20x = −254×2−20x = −25, используя дискриминант.

Решение

Вы узнали, что 4×2−20x + 254×2−20x + 25 — это полный квадрат?

Попробуйте 10.69

Решите r2 + 10r + 25 = 0r2 + 10r + 25 = 0, используя квадратичную формулу.

Попробуй 10.70

Решите 25t2−40t = −1625t2−40t = −16, используя дискриминант.

Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда нет реальных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?

Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений.Эта величина называется дискриминантом.

Дискриминант

В квадратной формуле x = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a величина b2−4acb2−4ac называется дискриминантом.

Давайте посмотрим на дискриминант уравнений в Примере 10.28, Примере 10.32 и Примере 10.35, а также на количество решений этих квадратных уравнений.

Квадратное уравнение (в стандартной форме) Дискриминант b2−4acb2−4ac Признак Дискриминанта Количество реальных решений
Пример 10.28 2×2 + 9x − 5 = 02×2 + 9x − 5 = 0 92−4 · 2 (−5) = 12192−4 · 2 (−5) = 121 + 2
Пример 10.35 4×2−20x + 25 = 04×2−20x + 25 = 0 (−20) 2−4 · 4 · 25 = 0 (−20) 2−4 · 4 · 25 = 0 0 1
Пример 10.32 3p2 + 2p + 9 = 03p2 + 2p + 9 = 0 22−4 · 3 · 9 = −10422−4 · 3 · 9 = −104– 0

Когда дискриминант положительный (x = −b ± + 2a) (x = −b ± + 2a) квадратное уравнение имеет двух решений .

Когда дискриминант равен нулю (x = −b ± 02a) (x = −b ± 02a) квадратное уравнение имеет одно решение .

Когда дискриминант отрицательный (x = −b ± −2a) (x = −b ± −2a) квадратное уравнение не имеет реальных решений .

How To

Используйте дискриминант b2-4acb2-4ac, чтобы определить количество решений квадратного уравнения.

Для квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0a ≠ 0,

  • , если b2−4ac> 0b2−4ac> 0, уравнение имеет два решения.
  • , если b2−4ac = 0b2−4ac = 0, уравнение имеет одно решение.
  • , если b2−4ac <0b2−4ac <0, уравнение не имеет реальных решений.

Пример 10.36

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐ 2v2−3v + 6 = 02v2−3v + 6 = 0 ⓑ 3×2 + 7x − 9 = 03×2 + 7x − 9 = 0 ⓒ 5n2 + n + 4 = 05n2 + n + 4 = 0 ⓓ 9y2−6y + 1 = 09y2−6y + 1 = 0

Решение

Чтобы определить количество решений каждого квадратного уравнения, мы посмотрим на его дискриминант.

ⓐ

2v2−3v + 6 = 02v2−3v + 6 = 0
Уравнение в стандартной форме, укажите a , b , c . a = 2, b = −3, c = 6a = 2, b = −3, c = 6
Запишите дискриминант. b2−4acb2−4ac
Подставить значения a , b , c . (3) 2−4 · 2 · 6 (3) 2−4 · 2 · 6
Упростить. 9−48−399−48−39
Поскольку дискриминант отрицательный,
реальных решений этого уравнения не существует.

Ⓑ

3×2 + 7x − 9 = 03×2 + 7x − 9 = 0
Уравнение в стандартной форме, укажите a , b , c . a = 3, b = 7, c = −9a = 3, b = 7, c = −9
Запишите дискриминант. b2−4acb2−4ac
Подставить значения a , b , c . (7) 2−4 · 3 · (−9) (7) 2−4 · 3 · (−9)
Упростить. 49 + 10815749 + 108157
Поскольку дискриминант положительный, существует два
решения уравнения.

Ⓒ

5n2 + n + 4 = 05n2 + n + 4 = 0

Уравнение в стандартной форме, укажите a , b , c .		 a = 5, b = 1, c = 4a = 5, b = 1, c = 4
Запишите дискриминант. b2−4acb2−4ac
Подставить значения a , b , c . (1) 2−4 · 5 · 4 (1) 2−4 · 5 · 4
Упростить. 1-80-791-80-79
Поскольку дискриминант отрицательный,
реальных решений этого уравнения не существует.

Ⓓ

9y2−6y + 1 = 09y2−6y + 1 = 0

Уравнение в стандартной форме, укажите a , b , c .		 a = 9, b = −6, c = 1a = 9, b = −6, c = 1
Запишите дискриминант. b2−4acb2−4ac
Подставить значения a , b , c . (−6) 2−4 · 9 · 1 (−6) 2−4 · 9 · 1
Упростить. 36−36036−360
Поскольку дискриминант равен 0, существует одно решение уравнения.

Попробуйте 10.71

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐ 8m2−3m + 6 = 08m2−3m + 6 = 0 ⓑ 5z2 + 6z − 2 = 05z2 + 6z − 2 = 0 ⓒ 9w2 + 24w + 16 = 09w2 + 24w + 16 = 0 ⓓ 9u2−2u + 4 = 09u2−2u + 4 = 0

Попробуй 10.72

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐ b2 + 7b − 13 = 0b2 + 7b − 13 = 0 ⓑ 5a2−6a + 10 = 05a2−6a + 10 = 0 ⓒ 4r2−20r + 25 = 04r2−20r + 25 = 0 ⓓ 7t2−11t + 3 = 07t2−11t + 3 = 0

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

Мы использовали четыре метода для решения квадратных уравнений:

  • Факторинг
  • Свойство с квадратным корнем
  • Завершение площади
  • Квадратичная формула

Вы можете решить любое квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы, но это не всегда самый простой метод.

How To

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения.
  1. Шаг 1. Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
  2. Шаг 2. Далее попробуйте свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме ax2 = kax2 = k или a (x − h) 2 = ka (x − h) 2 = k, его можно легко решить, используя свойство квадратного корня.
  3. Шаг 3. Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.

А как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его. Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.

Пример 10.37

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐ 5z2 = 175z2 = 17 ⓑ 4×2−12x + 9 = 04×2−12x + 9 = 0 ⓒ 8u2 + 6u = 118u2 + 6u = 11

Решение

ⓐ 5z2 = 175z2 = 17

Поскольку уравнение находится в виде ax2 = kax2 = k, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.

ⓑ 4×2−12x + 9 = 04×2−12x + 9 = 0

Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.

ⓒ 8u2 + 6u = 118u2 + 6u = 11

Приведите уравнение в стандартную форму. 8u2 + 6u − 11 = 08u2 + 6u − 11 = 0

В то время как наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода

Попробуй 10.73

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐ x2 + 6x + 8 = 0x2 + 6x + 8 = 0 ⓑ (n − 3) 2 = 16 (n − 3) 2 = 16 ⓒ 5p2−6p = 95p2−6p = 9

Попробовать 10,74

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐ 8a2 + 3a − 9 = 08a2 + 3a − 9 = 0 ⓑ 4b2 + 4b + 1 = 04b2 + 4b + 1 = 0 ⓒ 5c2 = 1255c2 = 125

Раздел 10.3. Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

105.

r2−8r − 33 = 0r2−8r − 33 = 0

113.

v (v + 5) −10 = 0 v (v + 5) −10 = 0

114.

3w (w − 2) −8 = 03w (w − 2) −8 = 0

118.

25d2−60d + 36 = 025d2−60d + 36 = 0

121.

p2−6p − 27 = 0p2−6p − 27 = 0

129.

2×2 + 12x − 3 = 02×2 + 12x − 3 = 0

Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.

131.
  1. ⓐ 4×2−5x + 16 = 04×2−5x + 16 = 0
  2. ⓑ 36y2 + 36y + 9 = 036y2 + 36y + 9 = 0
  3. ⓒ 6м2 + 3м − 5 = 06м2 + 3м − 5 = 0
  4. ⓓ 18n2−7n + 3 = 018n2−7n + 3 = 0
132.
  1. ⓐ 9v2−15v + 25 = 09v2−15v + 25 = 0
  2. ⓑ 100w2 + 60w + 9 = 0100w2 + 60w + 9 = 0
  3. ⓒ 5c2 + 7c − 10 = 05c2 + 7c − 10 = 0
  4. ⓓ 15d2−4d + 8 = 015d2−4d + 8 = 0
133.
  1. ⓐ r2 + 12r + 36 = 0r2 + 12r + 36 = 0
  2. ⓑ 8t2−11t + 5 = 08t2−11t + 5 = 0
  3. ⓒ 4u2−12u + 9 = 04u2−12u + 9 = 0
  4. ⓓ 3v2−5v − 1 = 03v2−5v − 1 = 0
134.
  1. ⓐ 25p2 + 10p + 1 = 025p2 + 10p + 1 = 0
  2. ⓑ 7q2−3q − 6 = 07q2−3q − 6 = 0
  3. ⓒ 7y2 + 2y + 8 = 07y2 + 2y + 8 = 0
  4. ⓓ 25z2−60z + 36 = 025z2−60z + 36 = 0

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения. Не решай.

135.

ⓐ x2−5x − 24 = 0x2−5x − 24 = 0 ⓑ (y + 5) 2 = 12 (y + 5) 2 = 12 ⓒ 14m2 + 3m = 1114m2 + 3m = 11

136.

ⓐ (8v + 3) 2 = 81 (8v + 3) 2 = 81 ⓑ w2−9w − 22 = 0w2−9w − 22 = 0 ⓒ 4n2−10 = 64n2−10 = 6

137.

ⓐ 6a2 + 14 = 206a2 + 14 = 20 ⓑ (x − 14) 2 = 516 (x − 14) 2 = 516 ⓒ y2−2y = 8y2−2y = 8

138.

ⓐ 8b2 + 15b = 48b2 + 15b = 4 ⓑ 59v2−23v = 159v2−23v = 1 ⓒ (w + 43) 2 = 29 (w + 43) 2 = 29

Повседневная математика
139.

Ракета запускается прямо с корабля в море. Решите уравнение 16 (t2−13t + 40) = 016 (t2−13t + 40) = 0 для tt, количества секунд, которое потребуется, чтобы ракета достигла высоты 640 футов.

140.

Архитектор проектирует холл гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше высоты. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение 12h3 + 3h = 14012h3 + 3h = 140 для hh, высоты окна.

Письменные упражнения
141.

Решите уравнение x2 + 10x = 200×2 + 10x = 200
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

142.

Решите уравнение 12y2 + 23y = 2412y2 + 23y = 24
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры.Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите квадратное уравнение.
  2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
  3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Эта теорема доказана в большинстве учебных пособий по алгебре.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что два решения равны.

Квадратное уравнение будет иметь два решения, поскольку оно имеет степень два.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — разложение на множители. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух множителей равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Полностью разложить на множители.

Вспомните, как разложить на множители трехчлены.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Здесь применяется приведенная выше теорема, согласно которой хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении.Если x = 6, то x 2 — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x 2 — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть указаны либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием обозначения набора и записи {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

В этом примере 6 и -1 называются элементами набора.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения.
также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Помните, что каждый член уравнения нужно умножить на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите неполное квадратное уравнение.
  2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если уравнение представлено в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение представляет собой неполное квадратичное .

Пример 1

5x 2 — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы сталкиваетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

x — общий множитель. Произведение двух факторов равно нулю. Поэтому мы используем теорему из предыдущего раздела.
Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная система с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, поскольку факторизация возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решить относительно x, если x 2 — 12 = 0.

Решение Поскольку x 2 — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Обратите внимание, что есть два значения, которые в квадрате будут равны A.

Используя эту теорему, мы имеем


Проверьте эти решения.

Добавьте 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите трехчлен полного квадрата.
  2. Завершите третий член, чтобы получился полный квадрат трехчлена.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Помните, возведение бинома в квадрат означает его умножение на себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

  1. Два из трех членов являются точными квадратами. 4x 2 и 9 в первом примере, 25x 2 и 16 во втором примере, а также 2 и b 2 в общем виде.
    Другими словами, первое и третье члены являются точными квадратами.
  2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x 2 + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x 2 и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x 2 , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x 2 + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x 2 + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Напомним, что вместо -7, +9 сделает выражение идеальным квадратом.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пустое место для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить никаких правил алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-либо к одной стороне, не добавляя то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 2 = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Помните, что если 9 добавляется в левую часть уравнения, это также должно быть добавлено в правую часть.

Теперь разложите на множители трехчлена полного квадрата, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x 2 + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x 2 , не является полным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2, и получим

Другими словами, получите коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь прибавим 2 к обеим сторонам, получив


Опять же, это более лаконично.

Пример 7 Решите 3x 2 + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все термины на 3.

Опять же, получим коэффициент 1 для x 2 , разделив на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо трудности, вам следует еще раз повторить арифметику, связанную с сложением чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

не может быть упрощено. Мы могли бы также записать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число мы можем возвести в квадрат и получить -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при члене x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

Эти шаги помогут решить уравнения в следующем упражнении.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
  2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В каком-то смысле ax 2 + bx + c = 0 представляет все квадратики. Если вы сможете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1.
Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Надо прибавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Осторожно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Опять же, это уравнение в стандартной форме.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите проблемы со словами, для решения которых требуется квадратное уравнение.
  2. Решайте текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы словесных задач могут быть решены с помощью квадратных уравнений. Процесс обрисовки и постановки проблемы такой же, как описано в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше ширины более чем в два раза, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет единицу более чем удвоенную ширину.

Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
Эта квадратичная величина может быть решена путем факторизации.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным.

Величина, обратная x.
Помните, что ЖК-дисплей означает наименьший общий знаменатель.
Каждый член нужно умножить в 10 раз.
Опять же, эту квадратичную величину можно разложить на множители.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Есть два решения этой проблемы.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн указать эти значения в качестве решения, если вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что проблема запрашивала целое число.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и желает огородить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров.Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Мы могли бы точно так же решить для l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
  • Стандартная форма квадратного уравнения : ax 2 + bx + c = 0, когда a 0.
  • Неполное квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
  • Квадратичная формула — это

Процедуры

  • Самым прямым и, как правило, самым простым методом поиска решений квадратного уравнения является факторинг. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
  • Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
    Шаг 1 Если коэффициент при x 2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
    Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x 2 + bx + _____ = c + _____
    Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте эту величину к обеим сторонам. уравнения.
    Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
    Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
    Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
  • Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
  • Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Решение рациональных уравнений

Решение рациональных уравнений

Рациональное уравнение Уравнение, содержащее хотя бы одно рациональное выражение. — уравнение, содержащее хотя бы одно рациональное выражение. Рациональные выражения обычно содержат переменную в знаменателе.По этой причине мы позаботимся о том, чтобы знаменатель не был равен нулю, отметив ограничения и проверив наши решения.

Решите рациональные уравнения, удаляя дроби, умножая обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

Пример 1: Решить: 5x − 13 = 1x.

Решение: Сначала отметим, что x ≠ 0, а затем умножим обе стороны на ЖК-дисплей, 3 x :

Проверьте свой ответ, заменив 12 на x , чтобы убедиться, что вы получили истинное утверждение.

Ответ: Решение — 12.

После умножения обеих частей предыдущего примера на ЖК-дисплей, нам осталось решить линейное уравнение. Это не всегда так; иногда нам остается квадратное уравнение.

Пример 2: Решить: 2−1x (x + 1) = 3x + 1.

Решение: В этом примере есть два ограничения: x ≠ 0 и x ≠ −1.Начните с умножения обеих сторон на ЖК-дисплей, x (x + 1).

После распределения и деления общих множителей остается квадратное уравнение. Чтобы решить эту проблему, перепишите его в стандартной форме с коэффициентом, а затем установите каждый коэффициент равным 0.

Проверьте, решают ли эти значения исходное уравнение.

Ответ: Решения -1/2 и 1.

До этого момента все возможные решения решали исходное уравнение.Однако так бывает не всегда. Умножение обеих частей уравнения на переменные множители может привести к посторонним решениям. Решение, которое не решает исходное уравнение, то есть решения, которые не решают исходное уравнение. Полный список шагов для решения рационального уравнения представлен в следующем примере.

Пример 3: Решить: xx + 2 + 2×2 + 5x + 6 = 5x + 3.

Решение:

Шаг 1: Разложите все знаменатели на множители и определите ЖК-дисплей.

ЖК-дисплей равен (x + 2) (x + 3).

Шаг 2: Определите ограничения. В данном случае это x ≠ −2 и x ≠ −3.

Шаг 3: Умножьте обе части уравнения на ЖК-дисплей. Распространяйте осторожно, а затем упрощайте.

Шаг 4: Решите полученное уравнение. Здесь результатом является квадратное уравнение. Перепишите его в стандартной форме, коэффициент, а затем установите каждый коэффициент равным 0.

Шаг 5: Проверьте наличие посторонних решений. Всегда подставляйте в исходное уравнение или его факторизованный эквивалент. В этом случае выберите факторизованный эквивалент для проверки:

Здесь −2 — постороннее решение, не входящее в набор решений. Важно отметить, что −2 — это ограничение.

Ответ: Решение — 4.

Если этот процесс приводит к решению, которое является ограничением, не считайте его посторонним решением.

Попробуй! Решите: xx − 5 + 3x + 2 = 7xx2−3x − 10.

Ответ: −3

Иногда все возможные решения являются посторонними, и в этом случае мы говорим, что не существует решения исходного уравнения. В следующих двух примерах мы продемонстрируем два способа, по которым рациональное уравнение может не иметь решений.

Пример 4: Решить: 3xx2−4−2x + 2 = 1x + 2.

Решение: Чтобы идентифицировать ЖК-дисплей, сначала разложите знаменатели на множители.

Умножьте обе стороны на наименьший общий знаменатель (LCD), (x + 2) (x − 2), аккуратно распределив.

Уравнение противоречит и поэтому не имеет решения.

Ответ: Нет решения, ∅

Пример 5: Решите: xx − 4−4x + 5 = 36×2 + x − 20.

Решение: Сначала разложите знаменатели на множители.

Обратите внимание, что ограничения x ≠ 4 и x ≠ −5.Чтобы очистить дроби, умножьте на ЖК-дисплей (x − 4) (x + 5).

Оба эти значения являются ограничениями исходного уравнения; следовательно, оба посторонние.

Ответ: Нет решения, ∅

Попробуй! Решите: 1x + 1 + xx − 3 = 4xx2−2x − 3.

Ответ: ∅

Важно отметить, что этот метод очистки алгебраических дробей работает только для уравнений. Не пытайтесь очищать алгебраические дроби при упрощении выражений. Напоминаем, что у нас

Необходимо упростить выражения и решить уравнения. Если мы умножим выражение на ЖК-дисплей, x (2x + 1), мы получим другое выражение, которое не эквивалентно.

Буквенные уравнения

Буквальные уравнения или формулы часто являются рациональными уравнениями. Следовательно, методы, описанные в этом разделе, могут использоваться для решения конкретных переменных.Предположим, что все выражения переменных в знаменателе отличны от нуля.

Пример 6: Решите относительно x : z = x − 5y.

Решение: Цель — выделить x . Предполагая, что y не равно нулю, умножьте обе стороны на y , а затем прибавьте 5 к обеим сторонам.

Ответ: x = yz + 5

Пример 7: Решите относительно c : 1c = 1a + 1b.

Решение: В этом примере цель состоит в том, чтобы изолировать c . Мы начинаем с умножения обеих сторон на ЖК-дисплей, a⋅b⋅c, осторожно распределяя.

В правой части уравнения вычтем c .

Затем разделите обе части уравнения на величину (b + a).

Ответ: c = abb + a

Попробуй! Решите относительно y : x = y + 1y − 1.

Ответ: y = x + 1x − 1

Основные выводы

  • Начните решать рациональные уравнения с умножения обеих частей на ЖК-дисплей. Полученное эквивалентное уравнение можно решить, используя методы, изученные до этого момента.
  • Умножение обеих частей рационального уравнения на выражение переменной вводит возможность посторонних решений. Следовательно, мы должны проверять решения на соответствие множеству ограничений.Если решение является ограничением, то оно не является частью домена и является посторонним.
  • При умножении обеих частей уравнения на выражение, аккуратно распределите и умножьте каждый член на это выражение.
  • Если все полученные решения являются посторонними, то исходное уравнение не имеет решений.

Тематические упражнения

Часть A: Рациональные уравнения

Решить.

1. 12 + 1x = 18

2. 13−1x = 29

3. 13x − 23 = 1x

4. 25x − 1x = 310

5. 12x + 1 = 5

6. 33x − 1 + 4 = 5

7. 2x − 3x + 5 = 2x + 5

8. 5x2x − 1 = x − 12x − 1

9. 5x − 7 = 6x − 9

10. 5x + 5 = 3x + 1

11. x6−6x = 0

12. 5x + x5 = −2

13.хх + 12 = 2х

14. 2xx + 5 = 16 − x

15. 1x + x2x + 1 = 0

16. 9x3x − 1−4x = 0

17. 1−2x = 48×2

18. 2−9x = 5×2

19. 1 + 12x = 12x − 2

20. 1−3x − 5x (3x − 4) = — 1x

21. x2 = 14x + 3

22. 3×2 = х + 13 − х

23. 6 = −3x + 3x − 1

24. 12x − 2 = 2 + 6 (4 − x) x − 2

25.2 + 2xx − 3 = 3 (x − 1) x − 3

26. xx − 1 + 16x − 1 = x (x − 1) (6x − 1)

27. 12×2−81 = 1x + 9−2x − 9

28. 14×2−49 = 2x − 7−3x + 7

29. 6xx + 3 + 4x − 3 = 3xx2−9

30. 3xx + 2−17x − 2 = −48×2−4

31. х − 1 + 3 = 0

32. 4 − y − 1 = 0

33. y − 2−4 = 0

34. 9x − 2−1 = 0

35,3 (x − 1) −1 + 5 = 0

36,5−2 (3x + 1) −1 = 0

37.3 + 2x − 3 = 2x − 3

38. 1x = 1x + 1

39. хх + 1 = х + 1x

40. 3x − 13x = xx + 3

41. 4x − 7x − 5 = 3x − 2x − 5

42. xx2−9 = 1x − 3

43. 3x + 4x − 8−28 − x = 1

44. 1x = 6x (x + 3)

45. 3x = 1x + 1 + 13x (x + 1)

46. xx − 1−34x − 1 = 9x (4x − 1) (x − 1)

47. 1x − 4 + xx − 2 = 2×2−6x + 8

48. xx − 5 + x − 1×2−11x + 30 = 5x − 6

49.xx + 1−65×2 + 4x − 1 = −55x − 1

50. −8×2−4x − 12 + 2 (x + 2) x2 + 4x − 60 = 1x + 2

51. xx + 2−20×2 − x − 6 = −4x − 3

52. х + 7x − 1 + x − 1x + 1 = 4×2−1

53. х − 1x − 3 + x − 3x − 1 = −x + 5x − 3

54. x − 2x − 5 − x − 5x − 2 = 8 − xx − 5

55. х + 7x − 2−81×2 + 5x − 14 = 9x + 7

56. хх − 6 + 1 = 5х + 3036 − х2

57. 2xx + 1−44x − 3 = −74×2 + x − 3

58. x − 5x − 10 + 5x − 5 = −5xx2−15x + 50

59.5×2 + 5x + 4 + x + 1×2 + 3x − 4 = 5×2−1

60. 1×2−2x − 63 + x − 9×2 + 10x + 21 = 1×2−6x − 27

61. 4×2−4 + 2 (x − 2) x2−4x − 12 = x + 2×2−8x + 12

62. x + 2×2−5x + 4 + x + 2×2 + x − 2 = x − 1×2−2x − 8

63. 6xx − 1−11x + 12×2 − x − 1 = 6x2x + 1

64. 8x2x − 3 + 4x2x2−7x + 6 = 1x − 2

Часть B: Буквальные уравнения

Найдите указанную переменную.

65. Решите относительно r : t = Dr.

66. Решить относительно b : h = 2Ab.

67. Решите относительно P : t = IPr.

68. Решить относительно π: r = C2π.

69. Решите относительно c : 1a = 1b + 1c.

70. Решим относительно y : m = y − y1x − x1.

71. Решите относительно w : P = 2 (l + w).

72. Решите относительно t : A = P (1 + rt).

73. Решить относительно м : s = 1n + m.

74. Решить относительно S : h = S2πr − r.

75. Решите относительно x : y = xx + 2.

76. Решите относительно x : y = 2x + 15x.

77. Решите относительно R : 1R = 1R1 + 1R2.

78. Решите относительно S1: 1f = 1S1 + 1S2.

Часть C: Обсуждение

79. Объясните, почему умножение обеих частей уравнения на ЖК-дисплей иногда дает посторонние решения.

80. Объясните связь между методом перекрестного умножения и умножением обеих частей рационального уравнения на ЖКД.

81. Объясните, как мы можем отличить рациональное выражение от рационального уравнения. Как мы относимся к ним по-другому?

ответов

1: −8/3

3: -1

5: −2/5

7: 5/2

9: −3

11: −6, 6

13: −4, 6

15: -1

17: −6, 8

19: −4, 6

21: −7, 4

23: ∅

25:

27: −39

29: 4/3, 3/2

31: -1/3

33: -1/2, 1/2

35: 2/5

37:

39: -1/2

41:

43: −7

45: 5

47: -1

49:

51: −4

53: 5/3

55:

57: 1/2

59: −6, 4

61: 10

63: 1/3

65: r = Dt

67: P = Itr

69: c = abb − a

71: w = P − 2l2

73: m = 1 − sns

75: х = 2y1 − y

77: R = R1R2R1 + R2


College Algebra
Урок 17: квадратные уравнения
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра колледжа

Цели обучения

По завершении этого руководства вы сможете:
  1. Решите квадратные уравнения факторизацией.
  2. Решите квадратные уравнения методом квадратного корня.
  3. Решите квадратные уравнения, заполнив квадрат.
  4. Решите квадратные уравнения, используя квадратичные уравнения. формула.
  5. Найдите дискриминант квадратного уравнения и используйте это сказать как много и какой тип решения имеет уравнение.

Введение

В этом уроке мы рассмотрим решение конкретный тип уравнение называется квадратным уравнением.Методы решения эти типы уравнений, которые мы рассмотрим, решаются с помощью факторинг, используя метод квадратного корня, завершая квадрат и используя квадратное уравнение. Иногда один метод не работает или Другой просто быстрее, в зависимости от данного квадратного уравнения. Так что полезно знать разные способы решения квадратных уравнений, чтобы вы будьте готовы к любой ситуации.После завершения это учебник, вы будете мастером решения квадратных уравнений. Решение уравнения в целом — очень важная часть алгебры. Так что я угадать нам лучше добраться до этого.

Учебник

Квадратное уравнение
Стандартная форма:

,
Где не равно 0.


Обратите внимание, что разница — это самый высокий показатель степени переменная на квадратное уравнение — 2.

Мы собираемся поговорить о четырех способах решения квадратов.



Решение квадратных уравнений по факторингу

Вы можете решить квадратное уравнение путем факторизации, если после записи в стандартной форме квадратичный выражение факторы.

Шаг 1. Упростите каждый сторона при необходимости.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление (), удаление дробей, добавление как термины и т. д.

Чтобы удалить (): Просто используйте распределительное свойство.

Для удаления дробей: Так как дроби другой способ написать деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете фракции умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей.

Шаг 2 : Запись стандартная форма, , если нужно.

Если он не в стандартной форме, переместите любой термин (термины) к соответствующему сторону, используя свойство равенства сложения / вычитания.

Также убедитесь, что член в квадрате написан сначала слева направо, член x — второй, а константа — в третьих и устанавливается равным 0.

Шаг 3 : Коэффициент .

Шаг 4: Использовать Принцип нулевого продукта.

Если ab = 0, то a = 0 или b = 0 .

0 — это наше магическое число, потому что единственный способ продукт может стать 0 есть, если хотя бы один из его факторов равен 0.

Вы не можете гарантировать, какие факторы будут иметь быть, если продукт был установлен равным любому другому числу. Например, если ab = 1, то a = 5 и b = 1/5 или a = 3 и b = 1/3 и т. Д.Но с продуктом, установленным равным 0, мы можем гарантировать найти решение, установив каждый коэффициент равным 0. То есть Зачем Важно для начала получить его в стандартной форме.

Шаг 5: Решите для линейное уравнение (а), созданное на шаге 4.

Если квадратное уравнение множится, оно будет множителем в одну линейную фактор в квадрате или два различных линейных фактора.Итак, уравнения найденные на шаге 4 будут линейными уравнениями. Если вам нужен обзор решение линейных уравнений смело переходите к Tutorial 14: Линейные уравнения с одной переменной.


Пример 1 : Решите с помощью факторинга.

Просмотрите видео этого примера



Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.

Это квадратное уравнение уже имеет стандартную форму.





* Использовать принцип нулевого произведения
* Решить первое линейное уравнение




* Решите вторую линейную уравнение


Есть два решения этого квадратного уравнения: x = -5 и x = 2.






* Мног. с обеих сторон ЖК-дисплеем из 6 очистить фракции


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.

* Инверсия доп. 16 является суб. 16
* Кв. экв. по стандартной форме





* Использовать принцип нулевого произведения
* Решить первое линейное уравнение










* Решите вторую линейную уравнение






Есть два решения этого квадратного уравнения: x = -4/5 и x = 4/5.






* Использовать Расст. Опора, чтобы очистить ()


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.


* Инверсия доп.2 является суб. 2
* Кв. экв. по стандартной форме





* Использовать принцип нулевого произведения
* Решить первое линейное уравнение










* Решите вторую линейную уравнение






Есть два решения этого квадратного уравнения: x = -2/3 и x = 1/2.




Решение квадратных уравнений методом квадратного корня

Вы можете решить квадратное уравнение методом квадратного корня, если это можно записать в форме.

Шаг 1 : Запишите квадратное уравнение в виде, если нужный.

A и B представляют алгебраические выражения. Когда у вас есть квадратное уравнение написано в этой форме он позволяет использовать метод квадратного корня, описанный в шаг 2.

Если его нет в этой форме,, переместите любой термин (термины) в соответствующую сторону, используя сложение / вычитание или свойство равенства умножения / деления.

Шаг 2 : Примените метод квадратного корня.

Если A и B — алгебраические выражения, такие что, тогда ,

тоже написано.

Другими словами, если у вас есть выражение в квадрате установить равным другому выражение, обратная операция для его решения — взять квадрат корень с обеих сторон.Поскольку как положительный, так и его противоположный квадрат результат в том же ответе у вас будет два ответа плюс или минус квадратный корень B .

Шаг 3: Решите для линейное уравнение (а), созданное на шаге 2.

После применения метода квадратного корня к квадратное уравнение вы будете в конечном итоге нужно решить одно или два линейных уравнения.Большинство раз у вас будет два линейных уравнения, но если B равно 0, то у вас будет только один, поскольку плюс или минус 0 — это только одно число. Если вам нужен обзор решения линейных уравнений, не стесняйтесь перейти к Tutorial 14: Линейные уравнения с одной переменной.


Пример 4 : Решите, используя метод квадратного корня.

Просмотрите видео этого примера




* Записывается в форме
* Применяется метод квадратного корня
* Есть 2 решения

Шаг 3. Решите для линейное уравнение (а), созданное на шаге 2.



* кв. корень из 16 = 4





* Отр. квадратный корень из 16 = — 4


Есть два решения этого квадратного уравнения: x = 4 и x = -4.






Обратите внимание, что это квадратное уравнение не входит в форма для начала. 5 НЕ является частью выражения, возводимого в квадрат. в левой части уравнения. Мы легко можем записать это в сформируйте, разделив обе стороны на 5.

* Не в форме
* Инв.из мульт. на 5 дел. по 5

* Записывается по форме

* Применить метод квадратного корня
* Есть 2 решения


Шаг 3. Решите для линейное уравнение (а), созданное на шаге 2.


* кв.корень из 4 = 2




* Отр. квадратный корень из 4 = -2


Есть два решения этого квадратного уравнения: x = 2 и x = -2.






* Записывается по форме

* Применить кв.корневой метод
* Есть 2 решения


Шаг 3. Решите для линейное уравнение (а), созданное на шаге 2.



* кв. корень 20 = 2 кв. корень из 5
* Решить относительно x












* Отр.кв. корень 20 = -2 кв. корень 5
* Решить относительно x





У этого квадратного уравнения есть два решения: x = и x =.



Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Вы можете решить ЛЮБОЙ квадратичный уравнение, заполнив квадрат.Это пригодится, когда квадратичный уравнение не учитывается или его трудно разложить на множители.


Шаг 1 : Марка уверен, что коэффициент по члену равен 1.
Если коэффициент члена уже равен 1, переходите к шагу 2.

Если коэффициент при члене не равен 1, разделите обе части на этот коэффициент.


Шаг 2 : Изолировать условия и x .
Другими словами, перепишите его так, чтобы члены и x находились с одной стороны, а константа — с другой.


Шаг 3 : Завершено квадрат.

На этом этапе мы создадим идеальный квадрат трехчлен (PST). Напомним, что PST — это трехчлен вида и это факторы в форме. Когда он будет в такой форме, это позволит нам перейти к следующему шагу. и извлеките квадратный корень из обеих частей и найдите решение.

Нам нужно найти число, которое мы можем добавить к термины и x , так что у нас есть PST.

Мы можем получить это магическое число, сделать следующее:

Если у нас есть

мы можем завершить это квадрат путем добавления константы

Другими словами, мы завершаем квадрат, взяв ½ от b (коэффициент при члене x ), а затем возведение в квадрат Это.Убедитесь, что вы не забыли добавить его с ОБЕИХ сторон, чтобы сохранить уравнение сбалансированный.


Шаг 4 : Коэффициент идеальный квадрат трехчлена (созданный на шаге 3) в виде квадрата бинома.








Коэффициент при члене уже равен 1.


Термины и x уже изолированы.


* b — коэффициент при члене x

* Завершите квадрат, взяв 1/2 b и квадрат


* Добавить указанную выше константу в ОБЕИХ сторон экв.

* Это создает файл PST слева сторона экв.




* Фактор PST



* Записывается по форме
* Применить кв.корневой метод
* Есть 2 решения











Есть два решения этого квадратного уравнения: x = 9 и x = 1.





Обратите внимание на то, что коэффициент в члене изначально не равен 1. Это легко исправить, разделив оба сторон на этот коэффициент, который в данном случае равен 3.


* Разделите обе стороны на 3

* Коэффициент срока теперь 1



Обратите внимание, что термины и x не изолированы для начала с. Мы можем легко исправить это, переместив константу на другую сторону уравнение.

* Инверсия доп. 3 является суб. 3

* и x термины теперь изолированы



* b — коэффициент при члене x

* Завершите квадрат, взяв 1/2 b и квадрат




* Добавить указанную выше константу в ОБЕИХ сторон экв.

* Это создает файл PST слева сторона экв.




* Фактор PST




У этого квадратного уравнения есть два решения: x = и x =.


Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле

Когда, то


Вы можете решить ЛЮБОЙ квадратичный уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Это пригодится, когда квадратное уравнение не учитывается или его трудно разложить на множители.


Шаг 1. Упростите каждый сторона при необходимости.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление (), удаление дробей, добавление как термины и т. д.

Чтобы удалить (): Просто используйте распределительное свойство.

Для удаления дробей: Так как дроби другой способ написать деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете фракции умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей.

Шаг 2 : Запись стандартная форма, , если нужно.

Если он не в стандартной форме, переместите любой термин (термины) к соответствующему сторону, используя свойство равенства сложения / вычитания.

Также убедитесь, что член в квадрате написан сначала слева направо, член x — второй, а константа — в третьих и устанавливается равным 0.

Шаг 3 : Идентифицировать a , b , и c .

Когда квадратное уравнение является стандартным форма, , тогда a — коэффициент перед член, b — коэффициент перед членом x , и c — постоянный член.

Step 4 : Подключите значения, найденные на шаге 3, в формулу корней квадратного уравнения.

Когда, то

Шаг 5. По возможности упростите.






Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.

Это квадратное уравнение уже имеет стандартную форму.



a, номер в передняя сторона x в квадрате, составляет 2.

б , номер впереди размером x , составляет -5.

c , константа, равна 1.

Убедитесь, что вы держите знак перед каждое из этих чисел.

Далее мы подключим его к квадратичной формула. Обратите внимание, что мы только подставляем числа, мы также не подставляем переменную.


И

Шаг 5. По возможности упростите.


* Квадратичная формула

* Значения вилки указаны выше для a , b , и c

* Упростить







Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.

Это квадратное уравнение уже имеет стандартную форму.



a, номер в передняя сторона x в квадрате, равна 1.

б , номер впереди размером x , равно 0.
Обратите внимание, что b равно 0, потому что термин x отсутствует.

c , постоянная 9.

Убедитесь, что вы держите знак перед каждое из этих чисел.

Далее мы подключим его к квадратичной формула. Обратите внимание, что мы только подставляем числа, мы также не подставляем переменную.


И

Шаг 5. По возможности упростите.







Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.


* Инверсия доп. 6 x — это под. 6 х

* Квад. экв. по стандартной форме



a, номер в передняя сторона x в квадрате, равна 1.

б , номер впереди размером x , составляет -6.

c , постоянная 9.

Убедитесь, что вы держите знак перед каждое из этих чисел.

Далее мы подключим его к квадратичной формула. Обратите внимание, что мы только подставляем числа, мы также не подставляем переменную.


И

Шаг 5. По возможности упростите.


* Квадратичная формула


* Значения вилки указаны выше для a , b , и c

* Упростить










Когда квадратное уравнение имеет стандартную форму,, выражение, , который находится под квадратным корнем квадратной формулы: называется дискриминант.

Дискриминант может сказать вам, сколько там решений собираются быть и если решения являются действительными числами или комплексными мнимыми числами.





Шаг 1. Упростите каждый сторона при необходимости.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление (), удаление дробей, добавление как термины и т. д.

Чтобы удалить (): Просто используйте распределительное свойство.

Для удаления дробей: Так как дроби другой способ написать деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете фракции умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей.

Шаг 2 : Запись стандартная форма, , если нужно.

Если он не в стандартной форме, переместите любой термин (термины) к соответствующему сторону, используя свойство равенства сложения / вычитания.

Также убедитесь, что написан квадратный член сначала слева направо, член x — второй, а константа — в третьих и устанавливается равным 0.

Шаг 3 : Идентифицировать a , b , и c .

Когда квадратное уравнение является стандартным форма, , тогда a — коэффициент перед член, b — коэффициент перед членом x , и c — постоянный член.

Step 4 : Подключите значения, найденные на шаге 3, в дискриминант,.

Шаг 5. По возможности упростите.




Пример 12 : Найдите дискриминант. На основании дискриминанта укажите, сколько и какого типа будет решение.

Просмотрите видео этого примера



Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.

Это квадратное уравнение уже имеет стандартную форму.



a, номер в передняя сторона x в квадрате, составляет 3.

б , номер впереди размером x , равно 1.

c , константа, равна 10.

Убедитесь, что вы держите знак перед каждое из этих чисел.


Шаг 4 : Подключите значения, найденные на шаге 3, в дискриминант,.

И

Шаг 5. По возможности упростите.


* Дискриминантная формула

* Значения вилки указаны выше для a , b , и c

* Дискриминант


Поскольку дискриминант является отрицательным числом, то означает, что есть два различных комплексных воображаемых решения.




Пример 13 : Найдите дискриминант. На основании дискриминанта укажите, сколько и какого типа будет решение. .

Просмотрите видео этого примера



Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.


* Обратное от sub. 16 доп. 16

* Квад. экв. по стандартной форме



a, номер в передняя сторона x в квадрате, равна 1.

б , номер впереди размером x , составляет -8.

c , постоянная, равна 16.

Убедитесь, что вы держите знак перед каждое из этих чисел.


Шаг 4 : Подключите значения, найденные на шаге 3, в дискриминант,.

И

Шаг 5. По возможности упростите.


* Дискриминантная формула

* Значения вилки указаны выше для a , b , и c

* Дискриминант


Поскольку дискриминант равен нулю, это означает, что только один настоящий числовое решение.




Пример 14 : Найдите дискриминант. На основании дискриминанта укажите, сколько и какого типа будет решение. .

Просмотрите видео этого примера



Это квадратное уравнение уже упрощено.


Шаг 2 : Запись в стандартной форме« если нужно.


* Обратное от sub. 7 x — доп. 7 х

* Квад. экв. по стандартной форме



a, номер в перед x в квадрате, составляет -5.

б , номер впереди размером x , это 7.

c , константа, равна 0.
Обратите внимание, что поскольку константа отсутствует, она понимается быть 0.

Убедитесь, что вы держите знак перед каждое из этих чисел.


Шаг 4 : Подключите значения, найденные на шаге 3, в дискриминант,.

И

Шаг 5. По возможности упростите.


* Дискриминантная формула

* Значения вилки указаны выше для a , b , и c

* Дискриминант


Поскольку дискриминант является положительным числом, то означает, что есть два различных решения для действительных чисел.

Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задачи 1a — 1b: Решите факторингом.


Практика Задачи 2a — 2b: Решите, используя метод квадратного корня.

Практика Задачи 3a — 3b: Решите, завершив квадрат.

Практика Задачи 4a — 4c: Решите, используя квадратное уравнение.


Практика Задачи 5a — 5c: Найдите дискриминант. На основе дискриминации укажите, как много и что типа решения там не было бы.


Нужна дополнительная помощь по этим темам?



WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра колледжа


Видео на этом сайте были созданы и продюсированы Ким Сьюард и Вирджиния Уильямс Трайс.
Последний раз редактировал Ким Сьюард 17 декабря 2009 г.
Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Решение рациональных уравнений — ChiliMath

Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название дроби . Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя).Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с разным уровнем сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!

Примеры решения рациональных уравнений

Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага.Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.

  • ЖК-дисплей 6x. Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
  • У вас должно получиться примерно такое после раздачи жк.
  • Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
  • Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
  • Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.

Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.

Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

Ну вот.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальную степень простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • ЖК-дисплей 9x. Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
  • Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
  • Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
  • Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас, что оно работает.

Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей.Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).

  • ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
  • Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.

Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).

  • Объедините константы в левой части уравнения.
  • Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.
  • Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

Он должен работать, так что да, окончательный ответ — x = 2.

Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и в дальнейшем это будет иметь больше смысла.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальную степень простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • ЖК-дисплей расположен на 4 \ влево ({x + 2} \ вправо). Умножьте на него каждую часть уравнения.
  • После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.

Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

  • Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.
  • На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
  • Удерживая x слева, мы вычитаем обе части на 4.
  • Вот и все.Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.

  • ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
  • Так должно выглядеть после осторожной отмены подобных условий.

Укажите константу в круглых скобках.

  • Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
  • Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
  • Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.
  • Разделите обе стороны на -2, чтобы выделить x.
  • Ага! Мы получили окончательный ответ.

Пример 6: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?

Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальную степень простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • Прежде чем я распределю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.

Это помогает в отмене общих условий позже.

  • Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
  • Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
  • Избавьтесь от скобок перед распределительным свойством.

У вас должно получиться очень простое уравнение.

Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.

  • ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
  • В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.

Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?

  • Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.
  • Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
  • Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
  • Переместите все константы вправо.
  • Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений

Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей

  • Выносим за скобки знаменатели.
  • Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.

Будьте осторожны со своими отменами.

  • У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
  • На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.

С каждым шагом это становится все проще!

Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.

  • Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
  • Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
  • Переместите все чистые числа вправо.
  • Вычтем обе стороны на 15.
  • Простое одношаговое уравнение.
  • Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте вернуть значение в исходное уравнение для проверки.

Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.

Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.

Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖКД.

  • Полностью вынести за скобки знаменатели
  • Распределите найденный выше ЖК-дисплей по данному рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.
  • Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.

Умножьте константы в скобки.

  • Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
  • Держите константы справа.
  • Складываем обе части на 8, чтобы найти x. Сделанный!

Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Начнем с определения ЖК-дисплея.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *