Квадратный корень
Предварительные навыкиОсновные сведения
Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.
Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см
S = 32 = 9 см2
Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.
Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.
Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.
Введём для работы с корнями новые обозначения.
Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал
Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)
Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)
Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.
Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:
Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.
Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3.
Получается, что выражение имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.
Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.
Например, извлечём квадратный корень из числа 4
Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4
Поэтому ответ к выражению вида записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.
Запишем ответ к выражению с плюсом и минусом:
Определения
Дадим определение квадратному корню.
Квадратным корнем
То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b2 = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение
Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16
42 = 16
Корень 4 можно обозначить через радикал так, что .
Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16
(−4)2 = 16
Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.
Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a.
В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.
В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».
Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.
Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.
Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.
Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:
Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:
12 = 1
и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:
Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 02 = 0.
Выражение вида смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.
Если выражение вида возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a
Например, выражение равно 4
Это потому что выражение равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.
Еще примеры:
Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:
Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5
Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным.
Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5
Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5
Не следует путать правило с правилом . Правило верно при любом a, тогда как правило верно в том случае, если выражение имеет смысл.
В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:
Примеры: √4, √9, √16.
Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.
Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.
49 < 64
Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,
√49 < √64
Отсюда:
7 < 8
Примеры извлечения квадратных корней
Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.
Пример 1. Извлечь квадратный корень √36
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 62 = 36
√36 = 6
Пример 2. Извлечь квадратный корень √49
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7 2 = 49
√49 = 7
В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:
7 × 7 = 49
Но 7 × 7 это 72
72 = 49
Отсюда, √49 = 7.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √100
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100
√100 = 10
Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения.
Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √256
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.
Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.
Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.
Пример 4. Найти значение выражения 2√16
В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2
Пример 7. Решить уравнение
В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.
Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.
Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .
Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.
Из определения мы знаем, что квадратный корень равен числу b, при котором выполняется равенство b2 = a.
Применим равенство b2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x
В выражении 42 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.
Пример 8. Решить уравнение
Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:
Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной
Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения равен 64
Пример 9. Решить уравнение
Воспользуемся определением квадратного корня:
Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x
В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:
Корень уравнения равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:
Пример 10. Найти значение выражения
В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.
Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2
Приближённое значение квадратного корня
Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.
Например, извлечь квадратный корень можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 82 = 64. То есть
А извлечь квадратный корень нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.
Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.
Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.
Найдём значение корня приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.
Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:
√1 = 1
Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2
√4 = 2
√1 меньше, чем √4
√1 < √4
А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:
√1 < √3 < √4
Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2
1 < √3 < 2
Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.
Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1
1,12 = 1,21
Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.
Проверим тогда дробь 1,8
1,82 = 3,24
Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.
Проверим тогда дробь 1,7
1,72 = 2,89
Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3.
Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈
√3 ≈ 1,7
Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.
В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.
Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8
1,7 < √3 < 1,8
Проверим дробь 1,74
1,742 = 3,0276
Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.
Проверим тогда дробь 1,73
1,732 = 2,9929
Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.
Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:
√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)
√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)
√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).
Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:
√3 ≈ 1
Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.
В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком.
Поговорим об этом подробнее.
Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком
Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.
В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.
С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:
√3 ≈ 1
Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2
√3 ≈ 2
Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:
√3 ≈ 2 (с избытком)
Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.
Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.
Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:
√5 ≈ 2,23
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1
√51 ≈ 7
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1
√51 ≈ 7,1
Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01
√51 ≈ 7,14
Границы, в пределах которых располагаются корни
Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].
Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 82 = 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49
Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 72 = 49
√49 = 7
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1
Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 12 = 1
√1 = 1
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100
Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 102 = 100
√100 = 10
Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются.
Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].
Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:
√37 ≈ 6,08
Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.
Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:
Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.
Например, 62 = 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600
602 = 3600
А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:
6002 = 360000
Тогда можно сделать следующий вывод:
Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.
Например, извлечём квадратный корень из числа 900.
Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3
Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3
Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000
Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:
Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000
Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:
Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500
Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:
Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) на 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.
Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:
И наоборот, если в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:
Пример 2. Увеличим в равенстве подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз
Пример 3. Уменьшим в равенстве подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз
Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат.
В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.
Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.
Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:
Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.
В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.
Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .
Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.
Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.
Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз
Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25.
Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.
Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225
Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз
Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].
В этом случае применяется таблица квадратов:
Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576
Видим, что это число 24. Значит .
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.
Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.
Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.
В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.
Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:
20,82 = 432,64
Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7
20,72 = 428,49
Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему.
Значит √432 ≈ 20,7.
Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.
Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900
3600 < 4225 < 4900
Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:
Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)
Корень 64 не годится. Проверим корень 65
Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225
Тождественные преобразования с квадратными корнями
Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.
Квадратный корень из произведения
Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.
Например, выражение является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.
Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6
Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36
Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.
Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12
Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось.
В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.
Итак, разлóжим число 144 на простые множители:
Получили следующее разложение:
В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.
Тогда четыре двойки можно заменить на запись 22 × 22, а две тройки заменить на 32
В результате будем иметь следующее разложение:
Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144
Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:
Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.
Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12
Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.
Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:
затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:
Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:
С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.
Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.
Итак, разложим число 13456 на простые множители:
В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456
Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456
Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.
Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b2 = a.
В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.
Итак, выпишем правую часть равенства и возведём ее во вторую степень:
Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:
Ранее было сказано, что если выражение вида возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня
Значит равенство справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.
Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:
, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.
Пример 1. Найти значение квадратного корня
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 2.
Найти значение квадратного корня
Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:
Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100
Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:
Пример 3. Найти значение квадратного корня
Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:
Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:
Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 112 × 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:
Пример 4. Найти значение квадратного корня
Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:
Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 6.
Найти значение квадратного корня
Пример 7. Найти значение квадратного корня
Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.
Например, произведение 8 × 4 равно 32
8 × 4 = 32
Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.
(8 × 2) × (4 : 2) = 32
Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.
Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.
Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.
Запишем полное решение данного примера:
Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:
Пример 9. Найти значение квадратного корня
Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:
Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.
Например, узнáем чему равно значение выражения .
Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40
Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:
А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20
Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.
Например, найдём значение выражения .
Воспользуемся правилом
Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24
Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2
Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Пример 12. Найти значение выражения
Воспользуемся правилом
Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7
Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 22 × 22, а две семёрки как 72
Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Квадратный корень из дроби
Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b
Например, квадратный корень из дроби равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9
Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:
Значит, квадратный корень из дроби равен .
Докáжем, что равенство является верным.
Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:
Пример 1.
Извлечь квадратный корень
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 2. Извлечь квадратный корень
Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 3. Извлечь квадратный корень
Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.
Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:
Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 4. Найти значение выражения
Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:
Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.
Пример 5. Найти значение выражения
Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4
Пример 6. Найти значение выражения
Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,62 = 0,36
Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:
Вынесение множителя из-под знака корня
В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.
Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:
В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение оставим без изменений:
Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.
На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:
Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:
Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:
Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:
Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:
Пример 6. Упростить выражение
Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде
Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:
Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:
Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вычислим содержимое скобок, полýчим −1
Если множителем является −1, то записывают только минус.
Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3
Внесение множителя под знак корня
Рассмотрим следующее выражение:
В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.
Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.
Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15
Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.
Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:
Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:
Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении
Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:
Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении
Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:
Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении
Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида не имеет смысла.
Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.
Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении
В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:
Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2.
Тогда полýчим:
Теперь необходимо упростить получившееся выражение.
Для выражений и применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.
А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:
Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 2. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 3. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 6. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 7. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 8. Найдите значения следующих выражений:
Решение:
Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624
Решение:
Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025
Решение:
Задание 11. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 12. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 13. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 14. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 15. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 16. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 17. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 18. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 19. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 20.
Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 21. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 22. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 23. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 24. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 25. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 26. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 27. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 28. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 29. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 30. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 31. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 32. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 33. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 45. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 46. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 47.
Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 48. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 49. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 51. Упростить выражение:
Решение:
Задание 52. Упростить выражение:
Решение:
Задание 53. Упростить выражение:
Решение:
Задание 54. Упростить выражение:
Решение:
Задание 55. Упростить выражение:
Решение:
Задание 56. Упростить выражение:
Решение:
Задание 57. Упростить выражение:
Решение:
Задание 58. Упростить выражение:
Решение:
Задание 59. Упростить выражение:
Решение:
Задание 60. Упростить выражение:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры
Что такое квадратный корень
Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. |
Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0
Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.
Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.
Попробуем найти корень из √-16
Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.
Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).
Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.
Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.
Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.
Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4.
Чтобы вопросы отпали, и все встало на свои места, нужно разобраться, в чем разница между квадратным уравнением и арифметическим квадратным корнем. В детской школе Skysmart ученики вникают в тонкости математической вселенной вместе с красочными героями комиксов и в интерактивном формате.
Приходите вместе с ребенком на бесплатный вводный урок: познакомимся и покажем, как решать задачки весело и эффективно.
Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением
Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:
- x2 = 16 не равно x = √16.
Это два нетождественных друг другу выражения.
- x2 = 16 — это квадратное уравнение.
- x = √ 16 — арифметический квадратный корень.
Из выражения x2 = 16 следует, что:
- |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.
Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.
В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.
Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:
- Пример решен неверно
- Это квадратное уравнение.
Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.
Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.
Даны два выражения:
- x2 = 36
- x = √36
Первое выражение — квадратное уравнение.
|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.
Второе выражение — арифметический квадратный корень.
√36 = 6
x = 6.
Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.
Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня
Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
Примеры иррациональных чисел:
√2 = 1,414213…;
π = 3,141592…;
e = 2,718281…. .
Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.
Дано уравнение: x2 = 2.
Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.
Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:
1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.
Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.
Решение следующее:
Строим график функции y = x2.
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.
Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .
В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x2 = 2.
x = √2
x = -√2.
Извлечение корней
Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел.
Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.
Таблица квадратов
Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:
- 1. Извлеките квадратный корень: √289
Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.
Влево — 1, вверх — 7.
Ответ: √289 = 17.
- 2. Извлеките квадратный корень: √3025
Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.
Ответ: √3025 = 55.
- 3. Извлеките квадратный корень: √7396
Ищем в таблице число 7396.
Влево — 8, вверх — 6.
Ответ: √7396 = 86.
- 4. Извлеките корень: √9025
Ищем в таблице число 9025.
Влево — 9, вверх — 5.
Ответ: √9025 = 95.
- 5. Извлеките корень √1600
Ищем в таблице число 1600.
Влево — 4, вверх — 0.
Ответ: √1600 = 40.
Извлечением корня называется нахождение его значение.
Свойства арифметического квадратного корня
У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.
- Корень произведения равен произведению корней
- Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
- Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем
Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три свойства. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.
Умножение арифметических корней
Для умножения арифметических корней используйте формулу:
Примеры:
Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.
Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:
- Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
Добрая напоминалочка
Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.
Деление арифметических корней
Для деления арифметических корней используйте формулу:
Примеры:
Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49
Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.
Возведение арифметических корней в степень
Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:
Примеры:
Эти две формулы нужно запомнить:
Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.
Внесение множителя под знак корня
Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.
А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.
Дано выражение: 7√9
Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.
Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.
√9= 3.
7√9 = 7*3 = 21
В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.
Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным.
Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.
Вы помните, что (√a)2 = a
Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.
7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.
Формула внесения множителя под знак корня:
Запоминаем:
Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.
Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.
Вынесение множителя из-под знака корня
С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.
Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.
Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.
Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.
В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:
Таким образом множитель выносится из-под знака корня.
Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.
- √28
Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.
Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.
Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,
Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.- Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24
Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.
- Упростите выражение:
Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.
Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.
Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
Выносим общий множитель за скобки:
Далее вычисляем все, что в скобках:
Давайте тренироваться вместе: в современном формате и под присмотром внимательных учителей. Учиться в удовольствие — это реально.
Запишите ребенка на бесплатный урок математики в Skysmart: покажем, как все устроено на платформе и поможем ребенку поверить в себя.
Сравнение квадратных корней
Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.
Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.
Если:
- √a < √b, то a < b
- √a = √b, то a = b
Давайте разберем на примере.
Сравните два выражения: √70 и 8√2
Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.
70 < 128.
Это значит, что √70 < 8√2.
Запоминаем
Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.
- Сравните два выражения: √50 и 9√5
Ответ: преобразовываем выражение 9√5.
9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
50 < 405
Это значит, что √50 < 9√5.
- Сравните два выражения: 6√5 и √18
Ответ: преобразовываем выражение 6√5.
6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180
180 > 18
Это значит, что 6√5 > √18.
- Сравните два выражения: 7√12 и √20
Ответ: преобразовываем выражение 7√12.
7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
588 >20
Это значит, что 7√12 > √20.
Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.
Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.
Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.
Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.
Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.
Извлечение квадратного корня из большого числа
Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.
Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.
Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:
- Определить «сотни», между которыми оно стоит.
- Определить «десятки», между которыми оно стоит.
- Определить последнюю цифру в этом числе.
Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.
Извлечем корень из √2116.
Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.
102 = 100
202 = 400
302 = 900
402 = 1600
502 = 2500
Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.
Это значит, что число 2116 находится между 402и 502.
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.
Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.
Как пользоваться таблицей
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16 ⇒ 6
52 = 25 ⇒ 5
62 = 36 ⇒ 6
72 = 49 ⇒ 9
82 = 64 ⇒ 4
92 = 81 ⇒ 1
Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.
Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.
Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.
Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.
Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462.
Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.
46 * 46 = 2116.
Ответ: √2116 = 46
Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.
Еще пример. Извлечем корень из числа √11664
Разложим число 11664 на множители:
11666 : 4 = 2916
2916 : 4 = 729
729 : 3 = 243
243 : 3 = 81
11664 | 4 |
2916 | 4 |
729 | 3 |
243 | 3 |
81 | 81 |
Запишем выражение в следующем виде:
Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.
Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
В 8 классе примеров с корнями очень много. Это значит, что ничего не остается, как выучить все формулы и натренироваться так, чтобы самый оголтелый квадратный корень выпустил белый флаг и запросил пощады.
На уроках математики в онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится извлекать самые неподатливые и громоздкие корни. Записывайтесь на бесплатный вводный урок и учите алгебру с удовольствием.
подкоренное число и показатель корня
Корень n-ой степени из числа a — это число, n-ая степень которого равна a. Например, корнем второй степени из 36 будет число 6, так как:
62 = 36.
Для записи корня используется знак √
(знак корня или радикал). Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня:
2√36.
Подкоренное число — это степень, показатель корня — это показатель степени, корень — основание степени. Если
,
то
.
Эта запись читается так: корень n-ой степени из числа a равен x
.
Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.
Примеры:
3√125 = 5, так как 53 = 125;
2√81 = 9, так как 92 = 81;
5√32 = 2, так как 25 = 32.
Квадратный корень
Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a.
Например, квадратными корнями из числа 16 являются числа 4 и -4:
2√16 = 4 или 2√16 = -4.
Рассмотрим уравнение
x2 = a
при различных значениях a:
- a < 0:
В данном случае уравнение не будет иметь решений, так как квадрат любого числа всегда является положительным числом или нулём. Следовательно, x2 не может быть равен отрицательному числу.
- a = 0:
В этом случае уравнение имеет единственное решение:
x = 0.
- a > 0:
В этом случае уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, модули которых равны. Так как вторая степень отрицательного числа является числом положительным:
x = ±√a .
Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было числом положительным или нулём.
Арифметический квадратный корень
Арифметический квадратный корень из положительного числа a — это положительное число x, квадрат которого равен a:
2√a = x, следовательно x2 = a.
При обозначении квадратного корня показатель корня опускается, то есть квадратный корень обозначается знаком корня без показателя. Например:
√a — квадратный корень из a.
Обратите внимание, что при чтении выражения слово арифметический
опускается.
Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.
Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.
Поэтому для проверки полученного результата можно найденный корень возвести во вторую степень, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.
Рассмотрим извлечение арифметического квадратного корня и его проверку на примере. Найдём √36, для этого надо найти число, при возведении которого во вторую степень получится 36. Таким числом является 6, так как
62 = 36.
Значит, √36 = 6.
2+10\sqrt{3}\cdot x+74)} = \frac{1}{x+5\sqrt{3}}$
Ответ: $\frac{1}{x+5\sqrt{3}}$
Свойства числа 1296 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Математические настройки для вашего сайта | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Выберите язык: Deutsch English Español Français Italiano Nederlands Polski Português Русский 中文 日本語 한국어 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Империя чисел — мощные математические инструменты для каждого | Связь с веб-мастером | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Используя этот сайт, вы подтверждаете свое согласие с Условиями и соглашениями и Политикой приватности. © 2021 numberempire.com Все права защищены | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
718147094077ЕГЭ по математике — без ошибок и без калькулятора
Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.
По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой — удаление с экзамена.
На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.
. Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.
Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:
Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на . Получится
Какой способ проще? 🙂
. Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры».
Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.
Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.
. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить на . Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь:
Другой пример.
. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:
Иногда удобно использовать и другую формулу:
. Числа, оканчивающиеся на , в квадрат возводятся моментально.
Допустим, надо найти квадрат числа ( — не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем на и к результату приписываем . Всё!
Например: ( и приписали ).
( и приписали ).
( и приписали ).
Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на .
. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.
Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.
Например, найдем
Число делится на (так как сумма его цифр делится на ). Разложим на множители:
Найдем . Это число делится на . На оно тоже делится. Раскладываем на множители.
Еще пример.
Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.
Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на , не делится на , не делится на … Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.
Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами и , поскольку , , а число находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это .
Последняя цифра в числе равна . Поскольку , , последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим:
. Получилось!
Найдем .
, . Значит, первая цифра в ответе – пятерка.
В числе последняя цифра – девятка. , . Значит, последняя цифра в ответе – либо , либо .
Проверим:
Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на или – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на или . Помните, что в задачах части 1 вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.
. Квадратные уравнения встречаются нам в самых разнообразных задачах ЕГЭ. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.
Например, в уравнении
. Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: . Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении текстовой задачи:
. Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи по планиметрии.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна , один из катетов равен , найти второй катет.
По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.
А теперь расскажем самое интересное — из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.
1. Верный путь к потере баллов — неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? 🙂
Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу.
» – значение числовое значение. Число функция вычисляет квадратный функции для извлечения Но данная степеньТакже функцию можно вызватьКроме того, можно применить рассмотрим различные варианты корень квадратный в необходимо в графе так и ссылка корнем второй степени. широкий набор математическихEg
Функция корня
Если число отрицательно, можно также задать пишется в скобках. степени. – показатель степени, корень. Если аргумент кубического корня, данное и является корнем через вкладку данную формулу через осуществления подобных расчетов Excel, стоит рассмотреть «Степень» указать число на ячейку, аПри решении задачи, связанной функций, позволяющих решать: меню — вставка то функция КОРЕНЬ через панель инструментов
Выполнили ту же задачу,Вместо любого значения данной в которую нужно имеет отрицательное значение, вычисление можно провести, кубическим, поэтому именно«Формулы» мастер функций. в этой программе. пару примеров для 1/2 или 0,5. также некоторое математическое с нахождением квадратного непростые задачи. Ряд — функции - возвращает значение ошибки («Главная» – «Число»). но с использованием математической формулы можно возвести заданное значение.
Использование математических свойств
Excel вернет ошибку используя возведение в такое действие в.Кликаем по ячейке наСкачать последнюю версию двух описанных выше Возвести любое число выражение, результатом которого корня в «Экселе», простейших действий - категория: математические - #ЧИСЛО!. После установки текстового функции СТЕПЕНЬ. использовать ссылки наРассмотрим примеры. #ЧИСЛО!. дробную степень, а Эксель используется дляВыделяем ячейку для отображения
листе, куда будет Excel способов. в определённую степень является число. получить желаемый результат сложение, умножение и КОРЕНЬПример формата цифра вИзвлекли корень девятой степени ячейки с цифрами.В ячейке C2 –В качестве аргумента можно именно — 1/3.
его получения. В результата расчета. Переходим выводиться результат вычислений.Существуют два основных способаВ первом случае воспользуемся можно и безКорень квадратный в Excel можно несколькими способами. другие — выполнитьAlex gordonЧтобы этот пример ячейке становится слева. из значения ячейкиЭто удобно, если нужно результат возведения числа указывать конкретное значение
Для извлечения квадратного эту формулу вместо во вкладку «Формулы». Переходим по кнопке расчета данного показателя. функцией «КОРЕНЬ», вызвав использования каких-либо функций можно вычислить и Функционал программы позволяет очень легко, воспользовавшись: В видео все
Примеры
проще было понять,Рядом с цифрой вводим h2. возвести множество значений. 10 в квадрат. либо ссылку на корня можно воспользоваться
конкретного числа такжеВ блоке инструментов «Библиотека«Вставить функцию» Один из них её с помощью — в «Экселе» рядом других методов, как воспользоваться встроенными специальными символами. Однако подробно описано
скопируйте его на в ячейку значениеИзвлекли корень пятой степениСкопировав формулу на весьВ качестве основания указана ячейку с числовым специальной функцией, но можно вписать координаты
функций» на ленте, размещенную около строки
подходит исключительно для
fb.ru>
Извлечение корня в программе Microsoft Excel
кнопки «Вставить функцию». предусмотрен специальный символ, которые не требуют алгоритмами решений, так есть и те,https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y пустой лист. со знаком «минус». из суммы числа столбец, быстро получили ссылка на ячейку значением.
существует также возможность ячейки с числовымиСпособы извлечения
кликаем по кнопке функций. вычисления квадратного корня, В открывшемся окне отвечающий за эту глубоких познаний в и написать его которые требуют особого
Способ 1: применение функции
а2+b2+c2 и все этоАлексейВыделяем только значение степени 9 и значения результаты возведения чисел с положительным значением
Рассмотрим примеры.
". В математических науках. Для самостоятельно, пользуясь специальными описания - так,
под квадратным корнем?: Например корень из («-3»). Вызываем меню ячейки h2. в столбце A
10.Функция вернула квадратный корень возведения числа в
- в любой области. В появившемся списке пункт использовать для расчета для вычисления, например этом случае, чтобы этого достаточно знать,
- теоремами и свойствами далеко не всеКак это записать 9 будет =КОРЕНЬ «Формат ячеек». УстанавливаемТе же математические операции
- в третью степень.Аргументы функции – ссылки числа 36. Аргумент степень. На этот листа или в выбираем значение«КОРЕНЬ» величины любой степени. разность значений двух получить корень квадратный, что такое корень, корня. Самым простым знают, как вычислить подскажите пожалуйста (9) видоизменение «Надстрочный». И
можно выполнить сКОРЕНЬ – это функция на ячейки с
– определенное значение. раз нужно будет строке формул.«КОРЕНЬ»
- . Кликаем по кнопкуДля того, чтобы извлечь ячеек, и нажать
- достаточно заключить выражение - эта тема способом нахождения ответа корень квадратный вСали-малиAlex gordon нажимаем ОК. помощью функции СТЕПЕНЬ:
- квадратного корня в дробными значениями. РезультатАргумент функции – ссылка возвести в степеньНе стоит думать, что.«OK»
Способ 2: возведение в степень
квадратный корень используется "Ок". в скобки, после была затронута в является функция квадратного Excel.: Вставка функций ->: Посмотри, должно помочь
Получили корректное отображение числа
Таким образом, возвести в Excel. А как – число 86,5, на ячейку с 1/2.
1/n этом случае величину ячейке, чтобы её выражение, заменив слово
Автор: Алексей Рулев является более удобным.
в степень. слово "КОРЕНЬ", обозначающее число, квадрат которого
просто числа...Андрей ащеулов степени
Щелкаем по ячейке с в степень 1/3. (с английской раскладкой из отрицательного числа.
Встроенная функция КОРЕНЬ возвращаетn – это степень нужно возвести в
адрес был внесен «число» на конкретнуюИзвлечение корня из числа Причиной тому являетсяСделать это можно также вызов соответствующей команды.
Как написать число в степени
равен числу а.для суммы квадратов: моно такХ-то из чего числом правой кнопкой
- Воспользуемся формулой для извлечения клавиатуры).Функция извлекла квадратный корень положительное значение квадратного возведения.
- дробную степень. Общий в поле. После цифру или на является довольно распространенным тот факт, что двумя способами. Первый Далее в скобках В математических науках такsqrt извлекаем корень
- мыши. Выбираем «Формат корней разных степенейЧтобы Excel воспринимал вводимую
- от суммы 13 корня. В менюТаким образом, этот вариант вид формулы для ввода данных жмем
адрес ячейки, где математическим действием. Оно с помощью этих
exceltable.com>
Как вычислить квадратный корень в Excel ?
заключается в использовании останется записать переменную,
можно встретить не
=SQRT(A2*A2+B2*B2+C2*C2)
All1Tes oren ячеек» (или нажмите в Excel. информацию как формулу,
и значения ячейки «Функции» она находится
является намного универсальнее, расчета таков:
на кнопку
она расположена. применяется и для операций можно получить
другой функции -
из которой требуется только квадратные корни.Мимо крокодил: Привет! Значит ВСТАВКА
: Синтаксис
CTRL+1).
2 строчку где написанно
для которого вычисляется Задаем «Текстовый» формат. в дробную степень возвести в степень. Оба аргумента обязательные. представляет собой положительное
то, что в а возведение величины
ячейке будет отображаться
ENTER способов посчитать данноеЧтобы окончательно разобраться с в выбранную степень.
может использоваться как
квадратный корень из 36 - Как найти квадратный корень из 36?
Как бы вы нашли длину стороны квадрата, если указана площадь в квадратных дюймах. Ответ заключается в нахождении квадратного корня из заданной площади. Предположим, что площадь квадрата составляет 36 квадратных дюймов. Какой может быть длина его стороны?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте узнаем, как найти квадратный корень из 36.
- Квадратный корень из 36 : √36 = 6
- Квадрат 36: 36 2 = 1296
Что такое квадратный корень из 36?
Квадратный корень числа - это число, квадрат которого дает исходное число.Например, чтобы найти квадратный корень из 36 (который обозначается √36), мы должны представить число, квадрат которого равен 36
.
Вы можете запомнить это так: когда квадрат перемещается из одной стороны уравнения в другую, он становится квадратным корнем.
Таким образом, квадратный корень из 36 равен 6.
Является ли квадратный корень из 36 рациональным или иррациональным?
Рациональное число можно выразить дробью целых чисел. Мы уже обнаружили, что
Итак, мы можем выразить √36 как дробь целых чисел и, следовательно, это рациональное число.
- √36 - рациональное число.
Как найти квадратный корень из 36?
Мы можем найти квадратный корень из 36, используя различные методы.
- Повторное вычитание
- Основная факторизация
- Оценка и приближение
- Длинный дивизион
Если вы хотите узнать больше о каждом из этих методов, щелкните здесь.
Мы знаем, что 36 - это полный квадрат, поэтому мы можем легко найти его квадратный корень, используя метод разложения на простые множители.
Квадратный корень из 36 с использованием простого факторизации
Разложение 36 на простые множители выглядит следующим образом:
- 36 это: 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Чтобы найти квадратный корень из 36, мы берем по одному числу из каждой пары одинаковых чисел и умножаем их.
Квадратный корень из 36 по длинному делению
Квадратный корень из 36 можно найти следующим образом.
Подумайте о числе, которое при умножении само на себя дает
- число, которое меньше или равно 36
- число, очень близкое к 36
Поскольку остаток равен 0, нам не нужно продолжать дальнейшее деление в столбик, и мы рассматриваем частное (равное 6) как результат.
Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров.
- Может ли значение √36 равняться -6?
Подсказка: подумайте, что такое (-6) 2 - Является ли √-36 действительным числом?
Подсказка: подумайте, существует ли какое-нибудь действительное число с отрицательным квадратом.
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 36
Что такое квадратный корень из 36?
Как мы узнали на этой странице, квадратный корень из 36 может быть либо 6, либо -6.
Что такое квадрат 36?
Квадрат 36 равен 1296.
36 2 = 1296
Как вычислить квадратный корень из 36?
Мы можем найти квадратный корень из 36, используя различные методы.
- Повторное вычитание
- Основная факторизация
- Оценка и приближение
- Длинный дивизион
Если вы хотите узнать больше о каждом из этих методов, щелкните здесь.
Как найти квадратный корень?
Мы можем найти квадратный корень разными способами.
- Повторное вычитание
- Основная факторизация
- Оценка и приближение
- Длинный дивизион
Если вы хотите узнать больше о каждом из этих методов, щелкните здесь.
Что такое квадратный корень из 36 в простейшей радикальной форме?
√36 - простейшая радикальная форма.
Является ли квадратный корень из 36 рациональным числом?
√36 = 6 = 6/1.
√36 - рациональное число.
Квадратный корень из 36 (√36)
Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 36. Начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы о квадратном корне из 36. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 36 с учетом и без компьютер или калькулятор. У нас есть чем поделиться, так что приступим!
Корень квадратный из 36 определения
Квадратный корень из 36 в математической форме записывается со знаком корня, как это √36.Мы называем это квадратным корнем из 36 в радикальной форме. Квадратный корень из 36 - это величина (q), которая при умножении сама на себя равна 36.
√36 = q × q = q 2
Является ли 36 идеальным квадратом?
36 - это полный квадрат, если квадратный корень из 36 равен целому числу. Как мы подсчитали дальше На этой странице квадратный корень 36 - это целое число.
36 - правильный квадрат.
Квадратный корень из 36 является рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 36 - рациональное число, если 36 - полный квадрат.Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом. Поскольку 36 - это полный квадрат, это рациональное число. Это означает, что ответ на «квадратный корень из 36?» не будет десятичных знаков.
√36 - рациональное число
Можно ли упростить квадратный корень из 36?
Квадратный корень из полного квадрата можно упростить, потому что квадратный корень из полного квадрата будет равен целому числу:
√36 = 6
Как вычислить квадратный корень из 36 с помощью калькулятора
Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 36 - использовать калькулятор! Просто введите 36, а затем √x, чтобы получить ответ.
Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ:√36 = 6
Как вычислить квадратный корень из 36 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT (36) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 36. Ниже приведен результат, который мы получили:
КОРЕНЬ (36) = 6
Что такое квадратный корень из 36, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробной степенью.Квадратный корень из 36 - не исключение. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 36, преобразованный в основание с показателем степени?»:
√b = b ½
√36 = 36 ½
Как найти квадратный корень из 36 методом деления в длину
Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 36 с помощью метода деления в длину. Это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 36 вручную до того, как были изобретены современные технологии.
Шаг 1)
Установите 36 пар из двух цифр справа налево:
Шаг 2)
Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 36, равен 36, а квадратный корень из 36 равен 6. Таким образом, поместите 6 вверху и 36 внизу следующим образом:
Разница между двумя нижними числами равна нулю, поэтому готово! Ответ - зеленая цифра сверху. И снова квадратный корень из 36 равно 6.
Квадратный корень числа
Введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 36 на этой странице.
Банкноты
Помните, что отрицательное умножение на отрицательное равняется положительному. Таким образом, квадратный корень из 36 не дает только положительного ответа. что мы объяснили выше, но также и отрицательный аналог.
На этой странице мы часто упоминаем точные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки.
Квадратный корень из 37
Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть столь же подробная информация о квадратном корне.
Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт
Факторы квадратного корня из 36 (Факторы √36)
Здесь мы покажем вам, как получить множители квадратного корня из 36 (множители √36).Мы определяем множители квадратного корня из 36 как любые целое число (целое число) или квадратный корень, который можно равномерно разделить на квадратный корень из 36. Кроме того, если вы разделите √36 на коэффициент √36, получится приводят к другому коэффициенту √36.
Сначала мы найдем все квадратные корни, которые можно без остатка разделить на квадратный корень из 36. Мы делаем это, находя все делим 36 и добавляем к ним радикал (√) следующим образом:
√1, √2, √3, √4, √6, √9, √12, √18 и √36
Далее, мы найдем все целые числа, которые можно без остатка разделить на квадратный корень из 36.Мы делаем это, сначала определяя полные квадратные корни из списка выше:
√1, √4, √9, √36
Затем мы извлекаем квадратный корень из совершенных квадратных корней, чтобы получить целые числа, которые мы можем равномерно разделить на квадратный корень из 36.
1, 2, 3, 6
Множители квадратного корня из 36 - это два приведенных выше списка вместе. Таким образом, множители квадратного корня из 36 (квадратные корни и целые числа) следующие:
1, 2, 3, 6, √1, √2, √3, √4, √6, √9, √12, √18 и √36
Как мы уже говорили выше, квадратный корень из 36, деленный на любой из его факторов, приведет к другому его множителю.Следовательно, если разделить √36 на любой из
факторов, указанных выше, вы увидите, что это приводит к одному из других факторов.
Что вы можете сделать с этой информацией? Во-первых, вы можете получить квадратный корень из 36 в простейшей форме. Квадратный корень из 36 упрощенное - это наибольший целочисленный множитель, умноженный на квадратный корень из 36, деленный на наибольший полный квадратный корень. Таким образом, вот математика для получения квадратного корня из 36 в его простейшей радикальной форме:
√36
= 6 × (√36 ÷ √36)
= 6
Калькулятор коэффициента квадратного корня
Нужны ли вам множители из другого квадратного корня? Хорошо, введите квадратный корень в поле ниже.
Коэффициенты квадратного корня 37
Надеемся, эта информация была полезной. Хотите узнать больше? Если это так, перейдите сюда, чтобы получить множители следующего квадратного корня в нашем списке.
Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт Калькулятор квадратного корня
Использование калькулятора
Используйте этот калькулятор, чтобы найти главный квадратный корень и корни действительных чисел. Входные данные для подкоренного выражения x могут быть положительными или отрицательными действительными числами.Ответ также скажет вам, вошли ли вы в идеальный квадрат.
Ответ покажет вам комплексные или мнимые решения для квадратных корней из отрицательных действительных чисел. Также Упростите калькулятор радикальных выражений, чтобы упростить радикалы вместо поиска дробных (десятичных) ответов.
Квадратные корни, четные и нечетные:
Для любого положительного действительного числа существует 2 возможных корня.Положительный корень и отрицательный корень. Учитывая число x , квадратный корень из x представляет собой число a , такое что a 2 = x .
Квадратные корни - это особая форма нашего общего
калькулятор корней.
"Обратите внимание, что любое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, квадратные корни из 9 равны -3 и +3, поскольку (-3) 2 = (+3) 2 = 9.Любое неотрицательное действительное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень r; это называется главным квадратным корнем .......... Например, главный квадратный корень из 9 равен sqrt (9) = +3, а другой квадратный корень из 9 равен -sqrt (9) = - 3. В обычном использовании, если не указано иное, «квадратный корень обычно означает главный квадратный корень» [1].
Калькулятор идеального квадрата
Этот калькулятор также подскажет, является ли введенное вами число идеальным квадратом или нет.Идеальный квадрат - это число x , где квадратный корень из x - это число a такое, что a 2 = x , а a - целое число. Например, 4, 9 и 16 являются полными квадратами, поскольку их квадратные корни 2, 3 и 4, соответственно, являются целыми числами.
Пример квадратного корня:
- Второй корень из 81, или 81, корень 2, или квадратный корень из 81 записывается как \ (\ sqrt [2] {81} = \ sqrt [] {81} = \ pm 9 \).
- Корень 2-й степени из 25, или 25 корень 2, или квадратный корень из 25 записывается как \ (\ sqrt [2] {25} = \ sqrt [] {25} = \ pm 5 \).
- Второй корень из 100, или 100, радикал 2, или квадратный корень из 100 записывается как \ (\ sqrt [2] {100} = \ sqrt [] {100} = \ pm 10 \).
- Второй корень из 10, или 10, радикал 2, или квадратный корень из 10 записывается как \ (\ sqrt [2] {10} = \ sqrt [] {10} = \ pm 3. 162278 \).
162278 \).Для вычисления дробных показателей используйте наш калькулятор для Дробные экспоненты.
Ссылки
[1] Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный корень». Из MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Квадратный корень
Дополнительное чтение квадратного корня:
Математический форум 0 - это идеальный квадрат?
В математике - это весело: корень квадратный
Калькулятор квадратного корня.Найдите квадратный корень за один простой шаг.
Наш калькулятор квадратного корня вычисляет квадратный корень любого положительного числа, которое вы хотите. Просто введите выбранный номер и ознакомьтесь с результатами. Все рассчитывается быстро и автоматически ! С помощью этого инструмента вы также можете оценить квадрат желаемого числа (просто введите значение во второе поле), что может оказаться большим подспорьем в поиске точных квадратов из формулы квадратного корня. Вы боретесь с основными арифметическими операциями: сложение квадратных корней, вычитание квадратных корней, умножение квадратных корней или деление квадратных корней? Уже нет! В следующем тексте вы найдете подробное объяснение о различных свойствах квадратного корня, например.g., как упростить квадратные корни, с множеством различных примеров . Из этой статьи вы раз и навсегда узнаете, как находить квадратные корни!
Вы когда-нибудь задумывались, каково происхождение символа квадратного корня √? Уверяем вас, что эта история не так проста, как вы могли подумать сначала. Происхождение символа корня восходит к древним временам, как происхождение знака процента.
Если вам нужен график квадратного корня или свойства функции квадратного корня, перейдите непосредственно в соответствующий раздел (просто нажмите на ссылки выше!).
Здесь мы объясняем, что такое производная квадратного корня, используя определение фундаментального квадратного корня; мы также подробно рассмотрим, как вычислять квадратные корни из экспонент или квадратные корни из дробей. Наконец, если вы будете достаточно настойчивы, вы обнаружите, что квадратный корень из отрицательного числа на самом деле возможен. Таким образом, мы вводим комплексных чисел , которые находят широкое применение в физике и математике.
Символ квадратного корня √
Операция извлечения квадратного корня из числа была известна еще в древности.Самая ранняя глиняная табличка с правильным значением √2 = 1,41421 до 5 знаков после запятой происходит из Вавилонии (1800 г. до н.э. - 1600 г. до н.э.) . Многие другие документы показывают, что квадратные корни также использовали древние египтяне, индийцы, греки и китайцы. Однако происхождение корневого символа √ все еще остается в значительной степени спекулятивным.
- Многие ученые считают, что квадратные корни происходят от буквы «r» - первой буквы латинского слова radix, означающего корень,
- другая теория утверждает, что символ квадратного корня был взят из арабской буквы ج , которая была помещена в исходной форме ﺟ в слове جذر - корень (арабский язык пишется справа налево).
Первое использование символа квадратного корня √ не включало горизонтальную «черту» над числами внутри символа квадратного корня (или радикала) √‾. «Бар» на латыни известен как vinculum, что означает облигация . Хотя радикальный символ с винкулумом сейчас используется в повседневной жизни, мы обычно опускаем эту черту во многих текстах, например, в статьях в Интернете. Обозначение высших степеней корня было предложено Альбертом Жираром, который поместил указатель степени в начало знака корня, т.е.г., ³√ или ⁴√.
Последний вопрос: почему операция извлечения квадратного корня называется корнем независимо от ее истинного происхождения? Объяснение станет более очевидным, если мы запишем уравнение x = ⁿ√a в другой форме: xⁿ = a.
(0.5)
В геометрической интерпретации квадратный корень из данной площади квадрата дает длину его стороны. Вот почему в названии √ есть слово , квадрат . Аналогичная ситуация и с кубическим корнем ∛ . Если вы берете кубический корень из объема куба, вы получаете длину его ребер. В то время как квадратные корни используются при рассмотрении площади поверхности, кубические корни полезны для определения величин, относящихся к объему, например плотности.
Как найти квадратный корень?
Может быть, мы не очень скромны, но мы думаем, что лучший ответ на вопрос, как найти квадратный корень, прост: используйте калькулятор квадратного корня! Вы можете использовать его как на компьютере, так и на смартфоне, чтобы быстро вычислить квадратный корень из заданного числа.К сожалению, бывают ситуации, когда можно рассчитывать только на себя, что тогда? Чтобы подготовиться к этому, вы должны запомнить несколько основных идеальных квадратных корней:
- квадратный корень из 1:
√1 = 1, так как1 * 1 = 1; - квадратный корень из 4:
√4 = 2, так как2 * 2 = 4; - квадратный корень из 9:
√9 = 3, так как3 * 3 = 9; - квадратный корень из 16:
√16 = 4, так как4 * 4 = 16; - квадратный корень из 25:
√25 = 5, так как5 * 5 = 25; - квадратный корень из 36:
√36 = 6, так как6 * 6 = 36; - квадратный корень из 49:
√49 = 7, так как7 * 7 = 49; - квадратный корень из 64:
√64 = 8, так как8 * 8 = 64; - квадратный корень из 81:
√81 = 9, так как9 * 9 = 81; - квадратный корень из 100:
√100 = 10, так как10 * 10 = 100; - квадратный корень из 121:
√121 = 11, так как11 * 11 = 121; - квадратный корень из 144:
√144 = 12, так как12 * 12 = 144;
Приведенные выше числа являются простейшими квадратными корнями, потому что каждый раз вы получаете целое число.
Попробуй их запомнить! Но что делать, если есть число, у которого нет такого красивого квадратного корня? Есть несколько решений. Прежде всего, можно попробовать предсказать результат методом проб и ошибок . Допустим, вы хотите вычислить квадратный корень из 52 :
- Вы знаете, что
√49 = 7и√64 = 8, поэтому значение√52должно быть между7и8. - Число
52ближе к49(фактически ближе к7), поэтому вы можете попытаться угадать, что√52— это7.3. - Затем возводите в квадрат
7,3, получая7,3² = 53,29(как говорит формула квадратного корня), что больше, чем52. Вы должны попробовать с меньшим числом, скажем,7.2. - Квадрат
7.2равен51,84. Теперь у вас меньшее число, но оно намного ближе к52. Если такая точность вас устраивает, можете закончить оценку здесь. В противном случае вы можете повторить процедуру с выбранным числом от7.2и7,3, например,7,22и так далее и так далее.
Другой подход состоит в том, чтобы сначала упростить квадратный корень, а затем использовать приближения квадратных корней простых чисел (обычно с округлением до двух десятичных знаков):
- квадратный корень из 2:
√2 ≈ 1,41, - квадратный корень из 3:
√3 ≈ 1,73, - квадратный корень из 5:
√5 ≈ 2,24, - квадратный корень из 7:
√7 ≈ 2.65, - квадратный корень из 11:
√11 ≈ 3,32, - квадратный корень из 13:
√13 ≈ 3,61, - квадратный корень из 17:
√17 ≈ 4,12, - квадратный корень из 19:
√19 ≈ 4,34и т. Д.
Давайте попробуем снова найти квадратный корень из 52 . Вы можете упростить его до √52 = 2√13 (вы узнаете, как упростить квадратный корень в следующем разделе), а затем замените √13 ≈ 3,61 . Наконец, произведем умножение √52 ≈ 2 * 3.61 = 7,22 . Результат такой же, как и раньше!
Вы можете проверить, является ли число простым или нет, с помощью нашего калькулятора простых чисел. Простое число — это натуральное число (больше единицы), которое не может быть получено как произведение двух меньших натуральных чисел. Например, 7 — простое число, потому что вы можете получить его, только умножив 1 * 7 или 7 * 1 . С другой стороны, число 8 не является простым, потому что вы можете сформировать его, умножив 2 * 4 или 4 * 2 (помимо произведения 1 и 8).
Калькулятор квадратного корня
В некоторых ситуациях вам не нужно знать точный результат вычисления квадратного корня. В этом случае наш калькулятор квадратного корня — лучший вариант для оценки значения каждого квадратного корня, который вы хотите . Например, предположим, вы хотите узнать, больше ли 4√5 , чем 9 . Из калькулятора вы знаете, что √5 ≈ 2,23607 , поэтому 4√5 ≈ 4 * 2,23607 = 8,94428 . Он очень близок к 9 , но не больше его! Калькулятор квадратного корня дает окончательное значение с относительно высокой точностью (до пяти цифр в приведенном выше примере).С помощью калькулятора значащих цифр вы можете вычислить этот результат до любого количества значащих цифр.
Помните, что наш калькулятор автоматически пересчитывает числа, введенные в любое из полей. Вы можете найти квадратный корень из определенного числа, заполнив первое окно, или получить квадрат числа, введенного вами во втором окне. Второй вариант удобен в для нахождения идеальных квадратов , которые необходимы во многих аспектах математики и естественных наук.
Например, если вы введете 17 во второе поле, вы обнаружите, что 289 — это полный квадрат.
В некоторых приложениях квадратного корня, особенно относящихся к таким наукам, как химия и физика, предпочтение отдается результатам в научной нотации. Короче говоря, ответ в научном представлении должен иметь десятичную точку между первыми двумя ненулевыми числами и будет представлен как десятичная дробь, умноженная на 10, возведенная в степень. Например, число 0.00345 записывается как 3,45 * 10⁻³ в экспоненциальном представлении, тогда как 145,67 записывается как 1,4567 * 10² в экспоненциальном представлении. Результаты, полученные с помощью калькулятора квадратного корня, можно преобразовать в экспоненциальную нотацию с помощью калькулятора.
Как упростить извлечение квадратного корня?
Во-первых, давайте спросим себя, какие квадратные корни можно упростить. Чтобы ответить на него, вам нужно взять число, стоящее после символа квадратного корня, и найти его множители.Если какой-либо из его множителей является квадратным числом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.), То вы можете упростить квадратный корень. Почему эти числа квадратные? Они могут быть соответственно выражены как 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее. Согласно определению квадратного корня, вы можете назвать их полных квадратов . У нас есть специальный инструмент, называемый калькулятором коэффициентов, который может быть здесь очень кстати. Давайте посмотрим на несколько примеров:
- Можете ли вы упростить √27? С помощью упомянутого выше калькулятора вы получаете множители 27: 1, 3, 9, 27.(1/2) ⟺ √ (x * y) = √x * √y ,
Как вы можете использовать эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является точным квадратом, который можно легко вычислить, но он может содержать идеальный квадрат среди своих факторов. Другими словами, вы можете записать это как умножение двух чисел, где одно из чисел представляет собой полный квадрат, например,
45 = 9 * 5(9 — это полный квадрат). Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 .Вы успешно упростили свой первый квадратный корень! Конечно, вам не нужно записывать все эти расчеты. Если вы помните, что квадратный корень эквивалентен степени половины , вы можете сократить их. Попрактикуемся в упрощении квадратных корней на некоторых других примерах:
- Как упростить квадратный корень из 27?
√27 = √ (9 * 3) = √9 * √3 = 3√3; - Как упростить квадратный корень из 8?
√8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2; - Как упростить квадратный корень из 144?
√144 = √ (4 * 36) = √4 * √36 = 2 * 6 = 12.
В последнем примере вам вообще не нужно было упрощать квадратный корень, потому что 144 — это полный квадрат. Вы можете просто вспомнить, что 12 * 12 = 144. Однако мы хотели показать вам, что с помощью процесса упрощения вы также можете легко вычислить квадратные корни из полных квадратов. Это полезно, когда имеет дело с большими числами .
Наконец, вы можете спросить, как упростить корни более высокого порядка, например, кубические корни. Фактически, этот процесс очень похож на квадратные корни, но в случае кубических корней вы должны найти хотя бы один множитель, который представляет собой идеальный куб , а не идеальный квадрат, т.е.е., 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ и так далее. Затем вы делите свое число на две части и кладете под кубический корень. Возьмем следующий пример упрощения ³√192:
∛192 = ∛ (64 * 3) = ∛64 * ∛3 = 4∛3На первый взгляд это может показаться немного сложным, но после некоторой практики вы сможете упростить корни в своей голове . Доверься нам!
Сложение, вычитание, умножение и деление квадратных корней
Сложение квадратных корней и вычитание квадратных корней
К сожалению, сложение или вычитание квадратных корней не так просто, как сложение / вычитание обычных чисел.
Например, если 2 + 3 = 5, это не означает, что √2 + √3 равно √5. Это неправильно! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть два разных типа фигур: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего такого! У вас остались один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. С другой стороны, что произойдет, если вы попытаетесь добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3 🔺 + 5 🔺? У нас получится восемь треугольников 8 🔺.Сложение квадратного корня очень похоже на это.Результат сложения √2 + √3 по-прежнему равен √2 + √3. Вы не можете упростить это дальше. Однако это другая ситуация, когда оба квадратных корня имеют одинаковое число под символом корня . Затем мы можем складывать их как обычные числа (или треугольники). Например, 3√2 + 5√2 равно 8√2. То же самое и с вычитанием квадратных корней. Давайте посмотрим на другие примеры, иллюстрирующие это свойство квадратного корня:
- Что такое
6√17 + 5√17? Ответ:6√17 + 5√17 = 11√17; - Что такое
4√7 - 7√7? Ответ:4√7 - 7√7 = -3√7; - Что такое
2√2 + 3√8? Ответ:2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2, потому что мы упростили √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2; - Что такое
√45 - √20? Ответ:√45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5, потому что мы упростили √45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5 и √20 = √ (4 * 5) = √4 * √5 = 2√5; - Что такое
7√13 + 2√22? Ответ:7√13 + 2√22, мы не можем упростить это дальше; - Что такое
√3 - √18? Ответ:√3 - √18 = √3 - 3√2, мы не можем упростить это дальше, чем это, но мы, по крайней мере, упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x * √y = √ (x * y) .В отличие от сложения, вы можете умножить на каждые двух квадратных корней.
(1/2) .(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) ,, где
x / y— дробная часть. Ниже вы можете найти несколько примеров квадратных корней из дроби:- квадратный корень из 4/9:
√ (4/9) = √4 / √9 = 2/3, - квадратный корень из 1/100:
√ (1/100) = √1 / √100 = 1/10, - квадратный корень из 1/5:
√ (1/5) = √1 / √5 = 1 / √5 = √5 / 5.
Оставлять корни в знаменателе — не очень хорошая привычка. Вот почему мы избавились от него в последнем примере.Мы просто умножили числитель и знаменатель на одно и то же число (мы всегда можем это сделать, так как число, которое мы умножаем на 1), в данном случае на
√5.Функция квадратного корня и график
Функции играют жизненно важную роль не только в математике, но и во многих других областях, таких как физика, статистика или финансы. Функция
f (x)— это не что иное, как формула, которая говорит, как значениеf (x)изменяется с аргументомx. Чтобы увидеть некоторые примеры, ознакомьтесь с нашими финансовыми инструментами, созданными финансовыми специалистами, например, калькулятор сложных процентов или калькулятор будущей стоимости.Там вы найдете несколько функций, которые можно применить в реальной жизни. Они очень полезны, если вы хотите знать, как рассчитать сложные проценты или оценить будущую стоимость аннуитета.Ниже вы можете найти график квадратного корня, состоящий из половин параболы . Проверьте это и попробуйте проверить, например, является ли функция квадратного корня
x = 93иx = 16равна4(как и должно быть).Давайте вернемся к функции квадратного корня
f (x) = √xи исследуем, каковы ее основные свойства .Мы рассматриваем только положительную частьf (x)(как вы можете видеть на графике квадратного корня выше). Итак, функция квадратного корня:- — непрерывно и возрастает для всех неотрицательных
x, - — это , дифференцируемое для всех положительных
x(дополнительные сведения см. В разделе о производной квадратного корня), - приближается к пределу бесконечности , когда
xприближается к бесконечности (lim √x → ∞, когдаx → ∞), - — это действительное число для всех неотрицательных
xи комплексное число для всех отрицательныхx(подробнее об этом мы пишем в разделе квадратного корня из отрицательного числа).
Вы, наверное, уже заметили, что квадратный корень из площади квадрата дает длину его стороны. Эта функция используется в одном из наших строительных калькуляторов — калькуляторе квадратных метров. Если вы планируете что-либо отремонтировать в будущем, эти инструменты могут вам очень помочь. Не забывайте их использовать!
Производная квадратного корня
Производная функции сообщает нам, насколько быстро эта функция изменяется вместе со своим аргументом. Один из простейших примеров в физике — это положение объекта и его скорость (скорость изменения положения).Допустим, функция
x (t)описывает, как расстояние движущегося автомобиля от определенной точки изменяется со временемt. Вы знаете, что определяет, насколько быстро меняется пройденное вами расстояние? Ответ — скорость машины! Таким образом, производная положенияx (t)— это скоростьv (t)(скорость также может зависеть от времени). Для обозначения производной мы обычно используем апострофv (t) = x '(t)или символ производнойv (t) = dx (t) / dt.(-1/2) = 1 / (2√x) .Так как число в отрицательной степени на единицу больше этого числа, оценка вывода будет включать дроби.
У нас есть инструмент, который может оказаться незаменимым при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Он называется калькулятором НОК и объясняет, как найти наименьшее общее кратное.Производная квадратного корня необходима для получения коэффициентов в так называемом разложении Тейлора . Мы не хотим вдаваться в подробности слишком глубоко, поэтому, вкратце, серия Тейлора позволяет аппроксимировать различные функции с помощью многочленов, которые намного проще вычислить.Например, разложение Тейлора
√ (1 + x)вокруг точкиx = 0дается следующим образом:√ (1 + x) = 1 + 1/2 * x - 1/8 * x² + 1/16 * x³ - 5/128 * x⁴ + ...,, что действительно для
-1 ≤ x ≤ 1. Хотя в приведенном выше выражении содержится бесконечное количество членов, чтобы получить приблизительное значение, вы можете использовать всего несколько первых членов. Давай попробуем! Приx = 0,5и первых пяти членах вы получаете:√ (1,5) = 1 + 1/2 * 0.5 - 1/8 * 0,25 + 1/16 * 0,125 - 5/128 * 0,0625,√ (1,5) ≈ 1,2241,, а действительное значение, предоставленное нашим калькулятором, составляет
√ (1,5) ≈ 1,2247. Достаточно близко!Пока что это было много математики и уравнений. Для тех из вас, кто достаточно настойчив, мы подготовили следующий раздел, в котором объясняется, как вычислить квадратный корень из отрицательного числа.
Корень квадратный из отрицательного числа
В школе вас, вероятно, учили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.Это верно, если рассматривать только действительные числа. Давным-давно для выполнения сложных вычислений математикам приходилось вводить более общий набор чисел — комплексные числа . Их можно выразить в следующей форме:
х = а + Ь * я,, где
x— комплексное число с действительной частьюaи мнимой частьюb. Что отличает комплексное число от действительного, так это мнимое число i.Вот несколько примеров комплексных чисел:2 + 3i,5i,1,5 + 4i,2. Вы можете быть удивлены, увидев там2, что является реальным числом. Да, но это также комплексное число сb = 0. Комплексные числа являются обобщением действительных чисел.Пока что воображаемое число
i, наверное, до сих пор для вас загадка. Что это вообще такое? Что ж, хотя это может показаться странным, это определяется следующим уравнением:я = √ (-1),, и это все, что вам нужно для вычисления квадратного корня из каждого числа, независимо от того, положительное оно или нет.Давайте посмотрим на несколько примеров:
- квадратный корень из -9:
√ (-9) = √ (-1 * 9) = √ (-1) √9 = 3i, - квадратный корень из -13:
√ (-13) = √ (-1 * 13) = √ (-1) √13 = i√13, - квадратный корень из -49:
√ (-49) = √ (-1 * 49) = √ (-1) √49 = 7i.
Разве это не просто? Эта проблема не возникает с кубическим корнем, поскольку отрицательное число можно получить, умножив три одинаковых отрицательных числа (чего нельзя сделать с двумя отрицательными числами).Например:
³√ (-64) = ³√ [(- 4) * (- 4) * (- 4)] = -4.Это, вероятно, все, что вам следует знать о квадратных корнях. Мы ценим, что вы остались с нами до этого момента! В качестве награды испеките себе что-нибудь сладкое 🙂 Воспользуйтесь нашим калькулятором идеальных блинов, чтобы узнать, как приготовить идеальный блин, каким бы он вам ни нравился. Вам может понадобиться наш калькулятор граммов в чашки, чтобы помочь вам в этом. Он работает в обоих направлениях, то есть для преобразования граммов в чашки и преобразования чашек в граммы.А если вы спросите себя: «Сколько калорий мне нужно съедать в день?», Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором калорий!
FAQ
Может ли число иметь более одного квадратного корня?
Да, на самом деле все положительные числа имеют 2 квадратных корня , один положительный, а другой равный первому, но отрицательный.
Это потому, что если вы умножите два негатива вместе, негативы аннулируются и результат будет положительным.Как найти квадратный корень без калькулятора?
- Вычислите квадратного корня.Ближайшее квадратное число приемлемо, если вы в затруднении.
- Разделите число, из которого вы хотите найти квадратный корень, на оценку.
- Добавьте оценку к результату шага 2.
- Разделите результат шага 3 на 2. Это ваша новая оценка .
- Повторите шаги 2–4 с новой оценкой. Чем больше раз это повторяется, тем точнее будет результат.
Как вычислить квадратные корни?
- Найдите , ближайшее квадратное число выше и ниже числа, о котором вы думаете.
- Квадратный корень будет между квадратными корнями этих чисел.
- Близость числа к квадратному корню указывает, насколько близок корень. Например, 26 очень близко к 25, поэтому корень будет очень близок к 5.
- Попробуйте несколько раз разобраться в этом .
Является ли квадратный корень из 2 рациональным числом?
Нет, квадратный корень из 2 не является рациональным . Это связано с тем, что, когда 2 записывается как дробь, 2 / 1 , она никогда не может иметь только четные показатели, и поэтому рациональное число не может быть возведено в квадрат для его создания.
Как избавиться от квадратного корня?
В алгебре возведение в квадрат обеих частей уравнения избавит от любых квадратных корней . Результатом этой операции является то, что квадратные корни будут заменены любым числом, из которого они находили квадратный корень.
Являются ли квадратные корни рациональными?
Некоторые квадратные корни являются рациональными , а другие — нет. Вы можете определить, является ли квадратный корень рациональным или нет, выяснив, может ли число, которое вы извлекаете квадратным корнем, быть выражено только в терминах четных показателей (например,грамм.
4 = 2 2 /1 2 ). Если может, то его корень рациональный .Является ли квадратный корень из 5 рациональным числом?
Квадратный корень из 5 — это , а не рациональное число . Это связано с тем, что 5 не может быть выражено дробью, если числитель и знаменатель имеют четные показатели. Это означает, что рациональное число нельзя возвести в квадрат, чтобы получить 5.
Является ли квадратный корень из 7 рациональным числом?
Результатом квадратного корня 7 является иррациональное число .7 не может быть записано как дробь только с четными показателями, а это означает, что число, возведенное в квадрат для достижения 7, не может быть выражено как дробь целых чисел, и поэтому не является рациональным.
Какая производная квадратного корня из x?
Производная квадратного корня x равна x — 1 / 2 / 2 или 1 / 2SQRT (x) . Это связано с тем, что квадратный корень из x может быть выражен как x 1 / 2 , от которого обычно происходит дифференцирование.
Как найти квадратный корень из десятичной дроби?
- Преобразует десятичную дробь в дробь .
- Найдите любых квадратных корней из дроби или оцените их. Сделайте дробью, равной квадратному корню, который вы нашли в квадрате.
- Отмените квадратный корень и квадрат, оставив дробь.
- Запишите дробь как десятичную в качестве окончательного ответа.
Квадратные корни (ключевой этап 2)
Урок
Квадратный корень из числа, умноженный на само себя, дает это число.
Квадратный корень обозначается записью символа √ (радикала) перед числом.
Словарь Мерриама-Вебстера определяет квадратный корень как «множитель числа, возведение которого в квадрат дает число».
Реальный пример квадратного корня
Квадратный корень из 36 записывается как √36.
Квадратный корень из 36 (√36) при умножении на себя дает 36:
Квадратный корень из √36 равен 6.Квадратный корень из 36 (6) при умножении на себя дает 36:
.Квадратный корень противоположен возведению числа в квадрат
Нахождение квадратного корня — это обратное (противоположное) возведение числа в квадрат. ( Не забывайте: Возведение числа в квадрат означает умножение числа на само себя).
Извлечение квадратного корня из 36 дает √36. Возведение в квадрат √36 дает 36.
Помните, что √36 равно 6:
.Как найти квадратный корень числа
Иногда бывает трудно найти квадратный корень из числа вручную.(На калькуляторе это просто. Просто нажмите кнопку √!)
Предлагается другой подход в зависимости от того, находите ли вы квадратный корень из квадратного числа или нет.
Квадратные корни квадратного числа
Квадратное число — целое число (целое число), полученное в результате умножения меньшего целого числа на само себя:
1 — квадратное число. Это 1 × 1, или 1 2 («1 квадрат»).
4 — квадратное число.Это 2 × 2, или 2 2 («2 в квадрате»).
9 — квадратное число. Это 3 × 3, или 3 2 («3 в квадрате»).
Это означает, что если извлечь квадратный корень из квадратного числа, мы получим целое число:
1 = 1 2 ∴ √1 = 1.
4 = 2 2 ∴ √4 = 2.
9 = 3 2 ∴ √9 = 3.
Квадратные корни из первых 10 квадратных чисел показаны ниже:
Квадратный корень, если это не квадратное число
Если число не является квадратным числом, его квадратный корень не будет целым числом.
Например, √2 = 1,414213562 …
Поскольку √2 не может быть упрощено до целого числа (или даже до дроби), оно называется сурдом.
Было бы проще и точнее просто оставить серды такими, какие они есть: просто напишите √2 как √2, а не 1.414213562 …
Сурд — это иррациональное число (не может быть выражено дробью). Как десятичная дробь, она продолжается вечно.
Surds имеют свои правила, например:
√2 × √2 = 2
√2 × √3 = √ (2 × 3) = √6
Квадратные корни в алгебре
В алгебре вместо цифр используются буквы.
Так же, как мы можем найти квадратный корень из числа, например √2 …
…мы можем найти квадратный корень из буквы, например √x.
Мы бы назвали √x квадратным корнем из x.
Квадратные корни букв имеют свои правила, например:
√x × √x = x
√x 2 = x
√x × √y = √ (ху)
Помогите нам улучшить математику Monster- Вы не согласны с чем-то на этой странице?
- Вы заметили опечатку?
См. Также
Что такое квадратное число? Что такое целое число? Что такое дробь? Что такое алгебра?квадратов и квадратных корней в алгебре
Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни.
Квадраты
Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …
Пример: Что такое 3 в квадрате?
3 Квадрат = = 3 × 3 = 9 «В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:
Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16)Квадратный корень
квадратный корень идет в другом направлении:
3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3
Это как спросить:
Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?
Определение
Вот определение:
Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:
r 2 = x
r квадратный корень из xСимвол квадратного корня
Это специальный символ, обозначающий «квадратный корень», это как галочка,
и фактически началось сотни лет назад в виде точки с движением вверх.Он называется радикалом и всегда делает математику важной!
Мы можем использовать это так:
мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»Пример: Что такое √36?
Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6
Отрицательные числа
Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.
Пример: Что такое
минус 5 в квадрате ?Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»?
- квадрат 5, тогда минус?
- или квадрат (−5)?
Непонятно! И получаем разные ответы:
- возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25
- квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25
Итак, давайте проясним это с помощью «()».
Это было интересно!
Если возвести в квадрат отрицательное число , мы получим положительный результат .
Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:
Теперь помните наше определение квадратного корня?
Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:
r 2 = x
r квадратный корень из xИ мы только что обнаружили, что:
(+5) 2 = 25
(−5) 2 = 25Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25
.Два квадратных корня
Может быть положительных и отрицательных квадратный корень!
Это важно помнить.
Пример: Решите w
2 = aОтвет:
w = √a и w = −√a
Главный квадратный корень
Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5?
Потому что √ означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!
— это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .
Пример:
Квадратные корни из 36 равны 6 и −6
.Но √36 = 6 (не −6)
Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым).
Знак плюс-минус
± — специальный символ, означающий «плюс или минус», поэтому вместо записи: w = √a и w = −√a можно написать: w = ± √a В двух словах
Когда имеем: r 2 = x
, тогда: r = ± √x
Почему это важно?
Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение!
Пример: Решить x
2 — 9 = 0Начать с: x 2 — 9 = 0
Переместите 9 вправо: x 2 = 9
Квадратный корень: x = ± √9
Ответ: x = ± 3
Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3».
Пример: найти x в (x — 3)
2 = 16Начать с: (x — 3) 2 = 16
Квадратный корень: x — 3 = ± √16
Вычислить √16: x — 3 = ± 4
Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4
Ответ: x = 7 или −1
Чек: (7−3) 2 = 4 2 = 16
Чек: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16Квадратный корень xy
Когда два числа умножаются на на квадратного корня, мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом:
√xy = √x√y
, но только если x и y оба больше или равны 0
Пример: Что такое
√ (100 × 4) ?√ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)
= 10 × 2
= 20
и √x√y = √xy :
Пример: Что такое
√8√2 ?√8√2 = √ (8 × 2)
= √16
= 4
Пример: Что такое
√ (−8 × −2) ?√ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2)
= ???
Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку!
Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4
Да, верно.
- квадратный корень из 4/9:
- Как упростить квадратный корень из 27?
Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 .
Например, если 2 + 3 = 5, это не означает, что √2 + √3 равно √5. Это неправильно! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть два разных типа фигур: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего такого! У вас остались один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. С другой стороны, что произойдет, если вы попытаетесь добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3 🔺 + 5 🔺? У нас получится восемь треугольников 8 🔺.
(1/2) .(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) ,
Итак, функция квадратного корня:
У нас есть инструмент, который может оказаться незаменимым при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Он называется калькулятором НОК и объясняет, как найти наименьшее общее кратное.
Что отличает комплексное число от действительного, так это мнимое число 
Это потому, что если вы умножите два негатива вместе, негативы аннулируются и результат будет положительным.
4 = 2 2 /1 2 ). Если может, то его корень рациональный .
