ЗАДАЧА 1. Вычислить √91728.

РЕШЕНИЕ. Под знаком радикала стоит пятизначное число, которого нет в четырёхзначных таблицах квадратов, и нельзя использовать калькулятор. В этом случае нам поможет разложение этого числа на простые множители. Получим:

Поскольку квадратный корень произведения равен произведению квадратных корней сомножителей, то

Если под знаком корня стоит десятичная дробь, то её следует представить в виде произведения целого числа, убрав запятую, и десятичной дроби с числителем, равным единице, и числом знаков после запятой, равным числу знаков после запятой в заданной дроби, при этом число этих знаков должно быть чётным, например:

√917,28=√(91728×0,01)=√91728 × √0,01=84√13 × 0,1=8,4√13.

Прежде чем перейти к следующему способу непосредственного вычисления квадратного корня необходимо рассмотреть следующую лемму:

ЛЕММА (об опорных квадратах).

Пусть нам известен квадрат одного из двух последовательных натуральных чисел m и n , таких, что n = m +1 или, что то же, m = n – 1 .

В этом случае становятся верными два тождества:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Отдельный интерес представляет случай использования этих тождеств, когда n и т дроби, отличающиеся друг от друга на единицу самого младшего разряда, например:

Следующий способ, опирающийся на метод подбора каждой цифры результата путём последовательных приближений с использованием средних арифметических значений, позволяет извлекать квадратный корень с наперёд заданной точностью.

При решении предыдущей задачи осталась одна неясность: чему же равен √13 ? Попытаемся ответить на этот вопрос. Восьмиклассники уже знают, что значения квадратных корней из чисел, не являющихся точными квадратами, относятся к так называемым иррациональным числам , которые могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей . Поэтому в различного рода расчётах их представляют округлёнными до конкретного разряда числами.

ЗАДАЧА 2. Найти значение √13 с точностью до сотых.

РЕШЕНИЕ. Рассмотренная в начале статьи теорема позволяет опереться на следующее неравенство:

Среднее арифметическое чисел 0 и 1, между которыми может находится значение цифры, стоящей в разряде десятых искомого значения корня квадратного, равно числу 5 , и это число является первым кандидатом на то, чтобы соответствующая ему цифра была проверена соответствующей подстановкой. Однако можно заметить, что число 13 находится дальше от числа 9 нежели от числа 16 . Поэтому проверку можно начать с цифры 6, и заодно покажем интересный способ вычисления квадратов таких чисел с помощью так называемых опорных квадратов.

Подбор цифры в разряд сотых начнём с квадрата числа 3,61:

С целью получения наименьшей погрешности необходимо найти цифру для разряда тысячных для последующего округления…

Выберем цифру 5 из середины интервала (0, 9) :

Для разряда тысячных необходимо ещё проверить цифру 6 :

Этот способ, значительно облегчающий подбор цифр-кандидатов, является удачной формализацией второго способа.

ЗАДАЧА III. Найти значение √13 с точностью до сотых.

РЕШЕНИЕ. Поскольку квадрат однозначного числа равен однозначному или двузначному числу, то натуральное число надо разбить на грани по две цифры в каждой, начиная с разряда единиц а десятичную дробь — от запятой, причём последнюю грань при необходимости следует дополнить цифрой 0 .

Предварительный результат будет содержать три цифры после запятой — значит, десятичная часть числа, из которого будем извлекать квадратный корень будет содержать три грани:

13,00 | 00 | 00.

Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 13, стоящего в первой грани. Этим числом будет 3. Записываем его в ответ — это будет первая цифра результата. Поскольку следующая грань находится после запятой, то ставим запятую в ответ.

Возводим число 3 в квадрат и результат вычитаем из первой грани.

К найденной разности приписываем справа вторую грань и получаем число 400 . Слева от этого числа ставим вертикальную чёрточку на две строчки и слева от неё записываем удвоенную цифру полученного результата (цифру 6 ), оставляя между этой цифрой и вертикальной чертой место для ещё одной цифры, обозначенной литерой а .

Эту цифру подбираем таким образом, чтобы произведение двузначного числа 6а на это число 6а× a было наибольшим, но не больше числа 400 справа от вертикальной черты. Таким числом будет число 6 .

Вычтем (столбиком) произведение 66×6=396 из числа 400 и запишем разность под горизонтальной чертой, проставив слева от неё вертикальную черту на две строчки. Слева от этой черты запишем сумму 66+6=72, оставив место для ещё одной цифры между полученной суммой и вертикальной чертой.

Повторяем действия описанные в предыдущих двух абзацах пока не получим цифры в разряде тысячных результата. В итоге мы получим следующую запись:

Вычисление √13.

Осталось провести округление: √13 = 3,603…≈3,61.

Попробуйте самостоятельно найти √2374,6129 и сверить свои действия с приведённым образцом.

Вычисление √2374,6129

Помните, что дорогу осилит идущий! Желаю успехов и не только в учёбе!

Продолжение следует…

Не забудьте подписаться на канал Хакнем Школа и хэштег #хакнем_математика

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Читайте наш канал в телеграм — по этой ссылке

Квадратный корень в Python 3 — Извлечение кубических и n-ой степени

Под извлечением корня из какого-либо числа чаще всего подразумевают нахождение решение уравнения x в степени n = value, соответственно для квадратного корня, число n — это два, для кубического — 3. Чаще всего под результатом и числом подразумеваются вещественные числа.

В программировании нахождение корней используется очень часто. Разберемся, как и какими методами можно эффективно извлекать корни из числа. Вначале рассмотрим, какие способы есть в Python, и определим самый эффективный. Потом более подробно разберём, как можно найти не только квадратный корень из числа, но и кубический, и потом корень n степени.

Способы извлечения корня

В языке программирования Python 3 существует три способа извлечения корней:

• Использование функции sqrt из стандартной математической библиотеки math.
• Операция возведения в степень **
• Применение функции pow(x, n)

Чтобы воспользоваться первым способом, необходимо вначале импортировать sqrt из модуля math. Это делается с помощью ключевого слова import: from math import sqrt. При помощи этой функции можно извлекать только квадратный корень из числа. Приведем пример:

from math import sqrt
x = sqrt(4)
print(x)

2.0

Если же нам нужно вычислить в Python корень квадратный из суммы квадратов, то можно воспользоваться функцией hypot из модуля math. Берется сумма квадратов аргументов функции, из нее получается корень. Аргументов у функции два.

from math import hypot
x = hypot(4,3)
print(x)

5.0

Еще одним, чуть более универсальным методом, будет использование возведения в степень. Известно, что для того, чтобы взять корень n из числа, необходимо возвести его в степень 1/n. Соответственно, извлечение квадратного корня из числа 4 будет выглядеть так:

n = 2
x = 4**(1./n)
print(x)

2.0

Обратите внимание, что в Python 2 необходимо ставить точку после единицы, иначе произойдет целочисленное деление, и 1/n == 0, а не нужной нам дроби. В Python 3 можно не ставить точку.

Последний метод использует функцию pow(value, n). Эта функция в качестве аргумента value возьмет число, которое необходимо возвести в степень, а второй аргумент будет отвечать за степень числа. Как и в предыдущем методе, необходимо использовать дробь, для того, чтобы получить корень числа.

x = pow(4, 0.5)
print(x)

2.0

Какой метод быстрее?

Для того, чтобы определить какой же метод предпочтительнее использовать, напишем программу. Замерять время выполнения будем с помощью метода monotonic библиотеки time.

from time import monotonic
from math import sqrt
iterations = 1000000
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = sqrt(4)
print("sqrt time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = 4 ** 0.5
print("** time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = pow(4, 0.5)
print("pow time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")

sqrt time: 0.266 seconds
** time: 0.109 seconds
pow time: 0.453 seconds

Как видно, самое быстрое решение — использовать **. На втором месте метод sqrt, а pow — самый медленный. Правда, метод sqrt наиболее нагляден при вычислении в Python квадратных корней.

Таким образом, если критична скорость, то используем **. Если скорость не критична, а важна читаемость кода, то следует использовать sqrt.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня самым наглядным способом, правда не самым быстрым, будет использование sqrt из модуля math.

from math import sqrt
x = sqrt (value)

Но можно использовать и трюки с возведением в степень 1/2, что тоже будет приводить к нужному результату.

x = value ** (0.5) или x = pow(value, 0.5).

Кубический корень

Для извлечения кубического корня в Python 3 метод sqrt не подойдет, поэтому воспользуйтесь возведением в степень 1/3:

x = value ** (1./3) или x=pow(value, 1/3).

Корень n-степени

Корень n-степени из числа в Python извлекается можно получить двумя способами с помощью возведения в степень 1.0/n:

• С помощью оператора **.
• Используя функцию pow.

Как было проверено выше, оператор ** быстрее. Поэтому его использовать более целесообразно. Приведем пример вычисления кубических корней в Python 3 с помощью этих двух методов:

n = 4.
x = 16.0 ** (1./n)
print(x)
x = pow(16.0, 1./n)
print(x)

2.0
2.0

Корень отрицательного числа

Рассмотрим, как поведут себя функции, если будем брать корень из отрицательного числа.

from math import sqrt
x = sqrt(-4)

File "main.py", line 2, in 
    x = sqrt(-4)
ValueError: math domain error

Как видим, функция sqrt выдаёт исключение.

Теперь посмотрим, что будет при использовании других методов.

x = -4 ** 0.5
print(x)
x = pow(-4, 0.5)
print(x)

-2.0
(1.2246467991473532e-16+2j)

Как видно из результата, оператор ** не выдает исключения и возвращает некорректный результат. Функция pow работает корректно. В результате получаем комплексное число 2j, что является верным.

Вывод

В Python существуют два универсальных способа для извлечения корня из числа. Это возведение в необходимую степень 1/n. Кроме того, можно воспользоваться функцией из математического модуля языка, если необходимо извлечь квадратный корень числа.

Все эти методы имеют свои преимущества и недостатки. Самый наглядный это sqrt, но подходит только для квадратный корней из числа. Остальные методы не такие элегантные, но легко могут извлечь корень нужной степени из числа. Кроме того оператор ** оказался наиболее быстрым при тестировании.

Необходимо также помнить про целочисленное деление, неправильное использование которого может приводить к ошибке в вычислении.

Как извлекать квадратный корень. Как найти квадратный корень? Свойства, примеры извлечения корня

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа – 1 способ

• Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
• Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.

• Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
• Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
• В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
• Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
  √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа – 2 способ

• Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
• В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
• Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
• При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень . Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней .

Итак, алгоритм:

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
…
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

[Подпись к рисунку]

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа .

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный:)

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

[Подпись к рисунку]

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 20 2

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

900 30 2

Смотрим на последнюю цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Возводим в квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Вот и ответ: 37.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

2500 50 2

Смотрим на последнюю цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Возводим в квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

3600 60 2

Смотрим на последнюю цифру:

4225 → 5;
65.

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

• На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
• Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона . Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода :

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
6. Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

1. Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10²
2. Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20
3. Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27
4. Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Корнем n -ой степени натурального числа a называется такое число, n -ая степень которого равна a . Корень обозначается так: . Символ √ называется знаком корня или знаком радикала , число a — подкоренное число , n — показатель корня .

Действие, посредством которого находится корень данной степени, называется извлечением корня .

Так как, согласно определению понятия о корне n -ой степени

то извлечение корня — действие, обратное возведению в степень , при помощи которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a .

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки правильности проведённого действия, можно найденный корень возвести во вторую степень и, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение квадратного корня и его проверку на примере. Вычислим или (показатель корня со значением 2 обычно не пишут, так как 2 — это самый маленький показатель и следует помнить, что если над знаком корня нет показателя, то подразумевается показатель 2), для этого нам нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получится 49. Очевидно, что таким числом является 7, так как

7 · 7 = 7 2 = 49.

Вычисление квадратного корня

Если данное число равно 100 или меньше, то квадратный корень из него можно вычислить с помощью таблицы умножения . Например квадратный корень из 25 — это 5, потому что 5 · 5 = 25.

Теперь рассмотрим способ нахождения квадратного корня из любого числа без использования калькулятора. Для примера возьмём число 4489 и начнём поэтапно вычислять.

1. Определим, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 10 2 = 10 · 10 = 100, а 100 2 = 100 · 100 = 10000, то становится ясно, что искомый корень должен быть больше 10 и меньше 100, т.е. состоять из десятков и единиц.
2. Находим число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни, в нашем числе их 44, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно в корне должно быть 6 десятков, потому что 60 2 = 3600, а 70 2 = 4900 (это слишком много). Таким образом мы выяснили, что наш корень содержит 6 десятков и несколько единиц, так как он находится в в диапазоне от 60 до 70.
3. Определить число единиц в корне поможет таблица умножения. Посмотрев на число 4489, мы видим, что последняя цифра в нём 9. Теперь смотрим в таблицу умножения и видим что 9 единиц может получится только при возведении в квадрат чисел 3 и 7. Значит корень числа будет равен 63 или 67.
4. Проверяем полученные нами числа 63 и 67 возводя их в квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня.(1/5)

Квадратный корень в Excel – Извлечь корень n-ой степени

Чтобы выполнить несколько вычислений с помощью одной формулы, как в приведенном выше примере, используйте знак доллара ($). Для получения дополнительной информации см. статью Абсолютные и относительные ссылки в Excel.

Вот такими способами вы можете извлечь квадратный корень в Excel.

Квадратный корень — Формула, примеры

Квадратный корень из числа — это операция, обратная возведению числа в квадрат. Квадрат числа — это значение степени 2 числа, а квадратный корень числа — это число, которое нам нужно умножить само на себя, чтобы получить исходное число. Если «a» является квадратным корнем из «b», это означает, что a × a = b. Квадрат любого числа всегда является положительным числом, поэтому каждое число имеет два квадратных корня, одно положительное значение и одно отрицательное значение. Например, 2 и -2 являются квадратными корнями из 4.Но в большинстве случаев вы обнаружите, что только положительное значение записывается как квадратный корень.

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа — это число, которое умножается на само себя, чтобы получить произведение. Мы узнали об экспонентах. Квадраты и квадратные корни являются специальными показателями. Рассмотрим число 9. Когда 3 умножается на само себя, получается 9 как произведение. Когда показатель степени равен 2, он называется квадратом. Когда показатель степени равен 1/2, он называется квадратным корнем.Например, √ (n × n) = √n ² = n, где n — положительное целое число.

Определение квадратного корня

Квадратный корень числа — это значение степени 1/2 этого числа. Другими словами, это число, которое мы умножаем само на себя, чтобы получить исходное число. Он обозначен символом «√».

Методы поиска квадратного корня из чисел

Очень легко найти квадратный корень из числа, которое является полным квадратом.Полные квадраты — это те положительные числа, которые можно записать как произведение числа на само себя. другими словами, полные квадраты — это числа, представляющие собой значение степени 2 любого целого числа. Мы можем использовать четыре метода, чтобы найти квадратный корень из чисел , и эти методы следующие:

• Метод повторного вычитания квадратного корня
• Квадратный корень методом простой факторизации
• Квадратный корень методом оценки
• Квадратный корень методом длинного деления

Обратите внимание, что первые три метода удобно использовать для полных квадратов, а четвертый метод, т.е.Метод деления в столбик можно использовать для любого числа, независимо от того, является оно квадратом или нет.

Метод повторного вычитания квадратного корня

Это очень простой метод. Мы вычтем последовательные нечетные числа из числа, для которого мы находим квадратный корень, до тех пор, пока не достигнем 0. Количество раз, которое мы вычитаем, является квадратным корнем из данного числа. Этот метод работает только для полных квадратных чисел. Давайте найдем квадратный корень из 16, используя этот метод.

• 16 — 1 = 15
• 15–3 = 12
• 12-5 = 7
• 7-7 = 0

Вы можете заметить, что мы вычитали 4 раза.Таким образом, √16 = 4

Квадратный корень методом простого факторизации

Разложение любого числа на простые множители означает представление этого числа как произведения простых чисел. Чтобы найти квадратный корень из заданного числа с помощью метода разложения на простые множители, мы следуем шагам, приведенным ниже:

• Шаг 1: Разделите данное число на его простые множители.
• Шаг 2: Сформируйте пары одинаковых множителей так, чтобы оба множителя в каждой паре были равны.
• Шаг 3: Возьмите один множитель из пары.
• Шаг 4: Найдите произведение множителей, полученных путем взятия одного множителя из каждой пары.
• Шаг 5: Этот продукт является квадратным корнем из заданного числа.

Найдем этим методом квадратный корень из 144.

Этот метод работает, когда заданное число является точным квадратным числом.

Квадратный корень методом оценки

Оценка и приближение относятся к разумному предположению о фактическом значении, чтобы сделать вычисления более простыми и реалистичными.Этот метод помогает в оценке и приближении квадратного корня из заданного числа. Воспользуемся этим методом, чтобы найти √15. Найдите числа, ближайшие к точному квадрату к 15. 9 и 16 — числа полного квадрата, ближайшие к 15. Мы знаем, что √16 = 4 и √9 = 3. Это означает, что √15 находится между 3 и 4. Теперь нам нужно посмотрим, ближе ли √15 к 3 или 4. Рассмотрим 3,5 и 4. 3,5 ² = 12,25 и 4 ² = 16. Таким образом, √15 находится между 3,5 и 4 и ближе к 4.

Найдем квадраты 3.8 и 3.9. 3,8 ² = 14,44 и 3,9 ² = 15,21. Это означает, что √15 находится между 3,8 и 3,9. Мы можем повторить процесс и проверить между 3,85 и 3,9. Мы можем заметить, что √15 = 3,872.

Это очень долгий и трудоемкий процесс.

Квадратный корень методом длинного деления

Длинное деление — это метод деления больших чисел на шаги или части, разбивающий задачу деления на последовательность более простых шагов. Используя этот метод, мы можем найти точный квадратный корень из любого заданного числа.Давайте разберемся с процессом нахождения квадратного корня методом деления в длину на примере. Найдем квадратный корень из 180.

• Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр числа, начиная с места единицы (крайняя правая сторона). У нас будет две пары, т.е. 1 и 80
• Шаг 2: Мы делим крайнее левое число на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу в крайней левой паре.

Шаг 3: Введите число под следующей полосой справа от остатка.Добавьте последнюю цифру частного к делителю. Справа от полученной суммы найдите подходящее число, которое вместе с результатом суммы образует новый делитель для нового дивиденда, который переносится вниз.

Шаг 4: Новое число в частном будет иметь такое же число, как выбрано в делителе. Условие то же — меньше или равно дивиденду.

Шаг 5: Теперь продолжим этот процесс, используя десятичную точку и попарно добавляя нули к остатку.

Шаг 6: Полученное таким образом частное будет квадратным корнем из числа.

Таблица квадратного корня

Таблица квадратного корня содержит числа и их квадратные корни. Также полезно находить квадраты чисел. Вот список квадратных корней из полных квадратных чисел и некоторых неполных квадратных чисел от 1 до 10.

Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, являются частью иррациональных чисел.

Формула квадратного корня

Квадратный корень — это не что иное, как показатель степени 1/2. Формула квадратного корня используется для нахождения квадратного корня числа. Мы знаем формулу экспоненты: \ (\ sqrt [\ text {n}] {x} \) = x ^{1 / n} . Когда n = 2, мы называем это квадратным корнем. Мы можем использовать любой из вышеперечисленных методов для нахождения квадратного корня, например, разложение на простые множители, деление в столбик и так далее.9 ^1/2 = √9 = √ (3 × 3) = 3. Итак, формула для записи квадратного корня из числа: √x = x ^1/2 .

Как упростить квадратный корень?

Чтобы упростить извлечение квадратного корня, нам нужно найти факторизацию данного числа на простые множители. Если фактор не может быть сгруппирован, оставьте их под символом квадратного корня. Правило упрощения квадратного корня: √xy = √ (x × y), где x и y — положительные целые числа. Например: √12 = \ (\ sqrt {2 \ times 2 \ times3} \) = 2√3

Для дробей действует аналогичное правило: √x / √y = √ (x / y).Например: √50 / √10 = √ (50/10) = √5

Квадратный корень отрицательного числа

Квадратный корень отрицательного числа не может быть действительным числом, поскольку квадрат — это либо положительное число, либо ноль. Но у комплексных чисел есть решения для извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Главный квадратный корень из -x: √ (-x) = i√x. Здесь i — квадратный корень из -1.

Например: возьмите точное квадратное число, такое как 16. Теперь давайте посмотрим на квадратный корень из -16.Настоящего квадратного корня из -16 не существует. √ (-16) = √16 × √ (-1) = 4i (as, √ (-1) = i), где i представлено как квадратный корень из -1. Итак, 4i — это квадратный корень из -16.

Квадрат числа

Любое число, возведенное в степень два (y ² ), называется квадратом основания. Итак, 5 ² упоминается как квадрат 5, а 8 ² упоминается как квадрат 8. Мы можем легко найти квадрат числа, умножив основание на два раза.Например, 5 в квадрате — это 5 × 5 = 25, а 8 в квадрате — это 8 × 8 = 64. Когда мы находим квадрат целого числа, полученное число является одним из полных квадратов. Вот некоторые из идеальных квадратов, которые у нас есть: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и так далее. Квадрат числа, независимо от того, является ли оно положительным или отрицательным, всегда является положительным числом.

Как найти квадрат числа?

Квадрат числа можно найти, умножив число на само себя. Для однозначных чисел мы можем использовать таблицы умножения, чтобы найти квадрат, в то время как в случае двух или более двухзначных чисел мы выполняем умножение числа на само число, чтобы получить ответ.Например, 9 × 9 = 81, где 81 — это квадрат 9. Точно так же 3 × 3 = 9, где 9 — это квадрат 3.

Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с квадратными корнями.

Квадратный корень чисел

Часто задаваемые вопросы о Square Root

Что такое квадратный корень в математике?

Квадратный корень — это число, которое нам нужно умножить само на себя, чтобы получить исходное число.Например, 2 — это квадратный корень из 4, так как 2 × 2 = 4.

☛ Чек:

Как найти квадратный корень числа?

Квадратный корень из числа можно найти с помощью любого из четырех методов, приведенных ниже:

• Метод повторного вычитания
• Метод простой факторизации
• Метод оценки и приближения
• Метод длинного деления.

Как найти квадратный корень десятичного числа?

Квадратный корень десятичного числа можно найти с помощью метода оценки или метода деления в столбик.В случае десятичных чисел мы составляем пары частей целого числа и дробных частей отдельно. Затем мы выполняем процесс деления в столбик так же, как и любое другое целое число.

Может ли квадратный корень быть отрицательным?

Квадратный корень числа может быть отрицательным. Фактически, все идеальные квадраты, такие как 4, 9, 25, 36 и т. Д., Имеют два квадратных корня, одно положительное значение и одно отрицательное значение. Квадратные корни из 4 равны -2 и 2. Точно так же квадратные корни из 9 равны 3 и -3.

Как вы называете символ квадратного корня?

Символ, используемый для обозначения квадратного корня, называется радикальным знаком «√».Термин, записанный внутри радикального знака, называется подкоренным выражением.

Какова формула вычисления квадратного корня числа?

Квадратный корень любого числа можно выразить с помощью формулы: √y = y ^½ .

Что такое квадрат и корень числа?

Квадрат и квадратный корень из числа являются обратной операцией друг друга. Если возвести в квадрат число z как (z × z) z ² , то получится квадратный корень из z ² i.е., √z равно числу z.

Какой метод используется для нахождения квадратного корня неидеальных квадратных чисел?

В математике несовершенное или несовершенное квадратное число считается числом в десятичной форме. Квадратный корень из неполного квадратного числа можно вычислить с помощью метода деления в длину.

Как упростить извлечение квадратного корня на калькуляторе?

Чтобы найти значение квадратного корня любого числа, нам просто нужно сначала вставить символ квадратного корня √x в калькулятор и ввести число x.

☛ Чек:

Как умножить два значения квадратного корня вместе?

Допустим, у нас есть два числа a и b. Сначала мы найдем квадратный корень из чисел a и b. Затем, найдя квадратный корень, мы умножим значение квадратного корня вместе. Давайте разберемся с этим на практической иллюстрации.
Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 16 равен 4. Теперь мы умножим значение квадратного корня из 4 и 16, т.е. 2 × 4 = 8.

Каковы применения формулы квадратного корня?

Существуют различные применения формулы квадратного корня

• Формула квадратного корня в основном используется в алгебре и геометрии.Это помогает найти корни квадратного уравнения.
• Мы можем легко вычислить площадь, объем и другие размеры, используя формулу квадратного корня.
• Широко используется инженерами.

Как вычислить квадратный корень вручную (с иллюстрациями)

Чтобы вычислить квадратный корень вручную, сначала оцените ответ, найдя 2 полных квадратных корня, между которыми находится это число. Идеальный квадратный корень — это любой квадратный корень из целого числа.Например, если вы пытаетесь найти квадратный корень из 7, сначала вам нужно найти первый правильный квадрат ниже 7, который равен 4, и первый правильный квадрат выше 7, который равен 9. Затем найдите квадратный корень из каждого полного квадрата. Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, вы знаете, что квадратный корень из 7 находится где-то между 2 и 3. Теперь разделите полученное число на один из найденных полных квадратных корней. Например, вы бы разделили 7 на 2 или 3. Если бы вы выбрали 3, ваш ответ был бы 2.33. Затем найдите среднее значение этого числа и точный квадратный корень. Чтобы найти среднее значение в этом примере, сложите 2,33 и 2, затем разделите на 2 и получите 2,16. Повторите процесс, используя полученное среднее значение. Сначала разделите число, из которого вы пытаетесь найти квадратный корень, на среднее значение. Затем найдите среднее значение этого числа и исходного среднего, сложив их и разделив на 2. Например, сначала вы разделите 7, число, с которого вы начали, на 2,16, среднее, которое вы рассчитали, и получите 3.24. Затем вы должны добавить 3,24 к 2,16, старому среднему, и разделить на 2, чтобы найти новое среднее значение, равное 2,7. Теперь умножьте свой ответ на себя, чтобы увидеть, насколько он близок к квадратному корню из числа, с которого вы начали. В этом примере 2,7, умноженное на само себя, равно 7,29, что на 0,29 отличается от 7. Чтобы приблизиться к 7, вы должны просто повторить процесс. Продолжайте делить число, с которого вы начали, на среднее значение этого числа и идеального квадрата, используя это число и старое среднее значение, чтобы найти новое среднее значение, и умножайте новое среднее значение само на себя, пока оно не сравняется с вашим начальным числом.Если вы хотите узнать, как использовать алгоритм длинного деления для нахождения квадратного корня, продолжайте читать статью!

квадратов и квадратных корней

Сначала узнайте о квадратах, затем квадратные корни — это просто.

Как возвести в квадрат число

Чтобы возвести число в квадрат: умножьте его на само себя .

Пример: Что такое 3 в квадрате?

«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 говорит число появляется дважды при умножении)

квадратов от 0

Отрицательные числа

Мы также можем возвести в квадрат отрицательных чисел .

Это было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

То же, что и возведение положительного числа в квадрат:

(Подробнее см. Квадраты и квадратные корни в алгебре)

Квадратные корни

Квадратный корень идет в обратном направлении:

3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3

Квадратный корень числа равен…

… значение, которое можно умножить на само на себя , чтобы получить исходное число.

Квадратный корень из 9 равен …

… 3 , потому что , когда 3 умножается на само , мы получаем 9 .

Это как спросить:

Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

Вот еще несколько квадратов и квадратных корней:

Десятичные числа

Также работает с десятичными числами.

Попробуйте использовать ползунки ниже (примечание: «…» означает, что десятичные дроби остаются неизменными):

Использование ползунков:

• Что такое квадратный корень из 8 ?
• Что такое квадратный корень из 9 ?
• Что такое квадратный корень из 10 ?
• Что такое 1 в квадрате?
• Что такое 1,1 в квадрате?
• Что такое 2,6 в квадрате?

Отрицательные

Ранее мы обнаружили, что можем возводить в квадрат отрицательные числа:

Пример: (−3) в квадрате

(−3) × (−3) = 9

И, конечно же, 3 × 3 = 9 тоже.

Таким образом, квадратный корень из 9 может быть −3 или +3

Пример. Каковы квадратные корни из 25?

(−5) × (−5) = 25

5 × 5 = 25

Таким образом, квадратные корни из 25 равны −5 и +5

Символ квадратного корня

Мы используем это так:

, и мы говорим, что «квадратный корень из 9 равен 3»

Пример: Что такое √25?

25 = 5 × 5, другими словами, когда мы умножаем 5 сам по себе (5 × 5) получаем 25

Итак, ответ:

√25 = 5

Но подождите минутку! Разве квадратный корень не может быть −5 ? Потому что (−5) × (−5) = 25 тоже.

• Итак, квадратный корень из 25 может быть −5 или +5.
• Но когда мы используем радикальный символ √ , мы даем только положительный (или нулевой) результат .

Пример: Что такое √36?

Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

Идеальные квадраты

Совершенные квадраты (также называемые «квадратными числами») — это квадраты целых чисел:

Попытайтесь запомнить их до 12.

Вычисление квадратного корня

Легко вычислить квадратный корень из полного квадрата, но он действительно сложно вычислить другие квадратные корни.

Пример: что такое √10?

Итак, 3 × 3 = 9 и 4 × 4 = 16, поэтому мы можем угадать ответ от 3 до 4.

• Попробуем 3,5: 3,5 × 3,5 = 12,25
• Попробуем 3.2: 3,2 × 3,2 = 10,24
• Попробуем 3,1: 3,1 × 3,1 = 9,61
• …

Приближаюсь к 10, но на получение хорошего ответа уйдет много времени!

Примечание: подобные числа называются иррациональными числами, если вы хотите узнать больше.

Самый простой способ вычислить квадратный корень

А также руководствуйтесь здравым смыслом, чтобы убедиться, что у вас есть правильный ответ.

Интересный способ вычисления квадратного корня

Есть забавный метод вычисления квадратного корня, который с каждым разом становится все точнее:

• Наша первая попытка позволила нам подняться с 4 до 3,25
• Возвращаясь снова ( b к e ), мы получаем: 3,163
• Возвращаясь снова ( b к e ), мы получаем: 3,1623

Итак, через 3 раза ответ будет 3.1623, что неплохо, потому что:

3,1623 x 3,1623 = 10,00014

Теперь … почему бы вам, , не попытаться вычислить квадратный корень из 2 таким способом?

Как угадать

Что, если нам нужно угадать квадратный корень для такого сложного числа, как «82 163» …?

В этом случае мы могли бы подумать, что «82 163» состоит из 5 цифр, поэтому квадратный корень может состоять из 3 цифр (100 x 100 = 10 000), а квадратный корень из 8 (первая цифра) примерно равен 3 (3×3 = 9), поэтому 300 хорошее начало.

День квадратного корня

4 апреля 2016 г. — День квадратного корня, потому что дата выглядит как 4/4/16

Следующее за этим 5 мая 2025 г. (05.05.25)

309 310 315, 1082, 1083, 2040, 3156, 2041, 2042, 3154

| Math Goodies

Работа с квадратными корнями — увлекательная тема для студентов-математиков, но она может быть сложной. Начинающие математики часто полагаются на предположения, например, ошибочно принимают квадрат 3 за 6 только потому, что 6 ощущается как тройка, посчитанная дважды.Но возведение в квадрат предполагает умножение, а не сложение. Когда мы возводим 3 в квадрат (или умножаем 3 на себя), мы получаем 9 — квадратный корень из 9 равен 3.

Квадратные корни не должны быть сложной задачей. На самом деле, легко запомнить таблицу идеальных квадратов и произвести впечатление на учителя. Но работа с несовершенными квадратами — или с числами, квадратные корни которых содержат дроби или десятичные дроби — не всегда бывает так просто. Здесь на помощь приходит наш бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня.

Как использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня

Как и некоторые другие наши калькуляторы, этот бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня чрезвычайно прост в использовании.В калькуляторе всего четыре части:

• Числовое поле
• Кнопка расчета
• Кнопка очистки
• Поле квадратного корня

Чтобы найти квадратный корень с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора квадратного корня:

1. Щелкните ОЧИСТИТЬ, чтобы обновить калькулятор.
2. Введите значение, квадратный корень которого вы хотите найти, в числовое поле.
3. Щелкните ВЫЧИСЛИТЬ.
4. Ваш ответ появится в поле квадратного корня.
5. Щелкните ОЧИСТИТЬ, чтобы начать заново и найти другое значение.

Другие калькуляторы

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень относится к любому числу, которое дает вам исходное число как произведение при умножении на само себя. Квадратные корни, обозначенные символом «√», принадлежат семейству показателей. Квадраты и корни — особые показатели. Любой квадрат x просто возводится в степень ½ или x1 / 2.

Пример

Например, когда вас спрашивают о квадратном корне из 16, вы ищете число, которое даст вам произведение 16 при умножении на само себя.Это число равно 4, потому что 4, умноженное на 4 — или возведенное в степень 2 (математически выражается как 42) — равно 16. 161/2 равно 4.

Работа с идеальными квадратами

Полные квадраты — это положительные числа, квадратные корни которых представляют собой целые числа. Ниже приведены наиболее распространенные способы найти квадратный корень из этих идеальных квадратов.

Повторное вычитание

Вычтите последовательные нечетные числа (1, 3, 5, 7 и т. Д.), Начиная с 1, из числа, квадратный корень которого вы пытаетесь найти, пока не дойдете до 0.

Например:

1. 9 — 1 = 8
2. 8–3 = 5
3. 5–5 = 0

Вы выполнили 3 вычитания до 0. Корень квадратный из 9 равен 3.

Основная факторизация

Этот метод состоит из четырех этапов. Давайте пройдемся по каждому из них, чтобы найти квадратный корень из 144.

1. Разбейте 144 на основные множители.
2. Объедините похожие факторы.
   • (2×2) x (2×2) x (3×3)
3. Умножьте на один множитель из каждой пары.
4. Квадратный корень 144 равно 12.

Несовершенные квадраты: оценка и длинное деление

Повторное вычитание и разложение на простые множители действительно хорошо работают для полных квадратов, а иногда и для несовершенных квадратов. Для несовершенных квадратов вы также можете использовать оценку и деление в столбик.

Оценка — долгий процесс. Чтобы получить квадратный корень с помощью оценки, вам необходимо подкрепить его фактическими расчетами. В длинном делении вы делите большие числа на более мелкие шаги, чтобы упростить процесс.

Но если вы застряли, у вас всегда есть наш бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня, который поможет вам!

Как вычислить квадратный корень вручную

В старые времена, до того, как калькуляторы были разрешены на уроках математики и естествознания, ученикам приходилось выполнять вычисления вручную, с помощью правил скольжения или диаграмм. Сегодня дети все еще учатся складывать, вычитать, умножать и делить вручную, но 40 лет назад детям также приходилось учиться вычислять квадратные корни вручную!

Если вы хотите возродить старый навык или просто любопытны математически, вот шаги для вычисления квадратного корня вручную.

Во-первых, разберитесь, что такое квадратный корень. В то время как квадрат 19 равен 19×19 = 361, квадратный корень 361 равен 19. Извлечение квадратного корня из числа является обратной операцией возведения числа в квадрат.

Возьмите число, из которого вы хотите найти квадратный корень, и сгруппируйте цифры в пары, начиная с правого конца. Например, если вы хотите вычислить квадратный корень из 8254129, запишите его как 8 25 41 29. Затем поместите черту над ним, как при делении в столбик.

Затем, начиная с самой левой группы цифр (в этом примере 8), найдите ближайший полный квадрат без перехода и запишите его квадратный корень над первой группой цифр.

Например, ближайший идеальный квадрат к 8 без перехода равен 4, а квадрат 4 равен 2.

Затем возведите это первое число в квадрат и запишите его под первой группой цифр. Итак, в этом примере мы напишем 4 под 8. Вычтем и уменьшим следующую группу цифр. Пока что это похоже на долгое деление.

А теперь самое сложное. Назовите число над полосой P и нижнее число C. Чтобы найти следующее число над полосой, нам нужно немного угадать и проверить.

Сначала вычислите C / (20P), округлите до ближайшей цифры и назовите это число N. Затем проверьте, меньше ли (20P + N) (N) C. Если нет, уменьшите N, пока не найдете первое значение N такое, что (20P + N) (N) меньше C.

Если при первой проверке вы обнаружите, что (20P + N) (N) меньше C, увеличьте N, чтобы убедиться, что не существует большего значения, чтобы (20P + N) (N) было меньше C.

Как только вы найдете правильное значение N, напишите над строкой над второй парой цифр в исходном номере, запишите значение из (20P + N) (N) под C, вычтите и опустите следующую пару цифр.

Повторяйте шаг 5, пока в исходном номере не закончатся цифры. (Если вы хотите вычислить квадратный корень с точностью до определенного числа десятичных знаков, добавьте пары нулей после исходного числа.)

В этом примере мы вручную находим, что квадратный корень из 8254129 равен 2873.

Другие калькуляторы

Калькулятор увеличения или уменьшения процентов поможет найти ответы на ваши вопросы по вычислению процентов.Чтобы вычислить процент от числа, используйте наш калькулятор процента от числа. Например, найдите 5% процентов от 70. Калькулятор процентов даст вам ответ, это 3,5.

процентов увеличение между двумя числами? Проблема решена с помощью функции «Рассчитать процент увеличения». Найдите процентное увеличение% от 2 до 10. Ответ — 400%.

Найдите процентов второго числа ? Пример: узнать, какой процент равен 7 из 300. Калькулятор «Рассчитать процент от двух чисел», ответ — 2.33%.

Новинка: рассчитайте увеличение или уменьшение заработной платы с помощью нашего калькулятора дохода Калькулятор процента увеличения заработной платы.

процентов от общего числа . Например, всего = 1100, и вам нужно найти процент, равный 100. Используя наш калькулятор процента от общего количества, ответ составляет 9,09%.

GFC и LCM — математический коэффициент и множитель . Калькулятор наибольшего общего множителя GCF может использоваться для вычисления GFC, а калькулятор наименьшего общего множителя — LCM.

Калькулятор квадратного корня . Вместо того, чтобы запоминать квадратные корни, используйте калькулятор квадратного корня из числа и делайте это на лету. Например, каков квадратный корень из 9? Все мы знаем, что это 3. А как насчет квадратного корня из 500? Узнай себя.

Калькулятор процентов ошибок . Быстро рассчитайте процентную ошибку с помощью калькулятора процентов ошибок.

Калькулятор часов и минут . Найдите минуты или часы с помощью наших калькуляторов.First Calculate Hours in Minutes, очень полезно, чтобы узнать, сколько часов в 300 минутах. Калькулятор «Расчет минут в часах» полезен, чтобы узнать, сколько минут в 5 часах? Ответ: 300 из первой математической задачи.

простая математика Математический калькулятор сложения, математический калькулятор вычитания, математический калькулятор умножения и математический калькулятор деления.

исчисление — Как вычислить квадратный корень числа?

Самый простой способ эффективно найти $ \ sqrt [n] {a} $ для целых $ n $ и $ a> 0 $ — это использовать приближение Ньютона-Рафсона для обращения функции $ f: x \ mapsto x ^ n — $.