Линейная функция — Википедия с видео // WIKI 2

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b = 0 {\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0}  — неоднородных линейных функций.

Энциклопедичный YouTube

• 1/5

  Просмотров:

  13 865

  266 227

  21 036

  4 020

  4 890

• ✪ Линейная функция и ее график y=kx ➽ 7 класс

• ✪ ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ? КАК СТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ. ЕГЭ с Артуром Шарифовым

• ✪ Линейные функции. Часть 1

• ✪ Алгебра 7 Линейная функция y=kx

• ✪ Прямая пропорциональность. Линейная функция

Содержание

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y = k 1 x + b 1 , {\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y = k 2 x + b 2 , {\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: t g α = | k 1 − k 2 1 + k 1 k 2 | , {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k 1 k 2 ≠ − 1 , {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k 1 = k 2 ,   α = 0 {\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b {\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0 {\displaystyle b=0} , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n {\displaystyle n} переменных x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  — функция вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n {\displaystyle n} -мерное пространство переменных x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется

однородной, или линейной формой.

Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — вещественные числа, то графиком линейной функции в ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n = 1 {\displaystyle n=1}  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f : X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , где a i ∈ { 0 , 1 } , ∀ i = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}} , что для любых x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = a 0 ⊕ a 1 ⋅ x 1 ⊕ a 2 ⋅ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n ⋅ x n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}} .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = k x + b {\displaystyle f=kx+b} , где b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f ( x 1 + x 2 ) ≠ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f ( c x ) ≠ c f ( x ) {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)} . Например, нелинейной зависимостью считают σ ( τ ) {\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Эта страница в последний раз была отредактирована 16 декабря 2019 в 14:29.

Линейная функция — Википедия

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b = 0 {\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0}  — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y = k 1 x + b 1 , {\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y = k 2 x + b 2 , {\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: t g α = | k 1 − k 2 1 + k 1 k 2 | , {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k 1 k 2 ≠ − 1 , {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k 1 = k 2 ,   α = 0 {\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b {\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0 {\displaystyle b=0} , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n {\displaystyle n} переменных x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  — функция вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n {\displaystyle n} -мерное пространство переменных x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется

однородной, или линейной формой.

Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — вещественные числа, то графиком линейной функции в ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n = 1 {\displaystyle n=1}  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f : X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную

однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , где a i ∈ { 0 , 1 } , ∀ i = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}} , что для любых x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = a 0 ⊕ a 1 ⋅ x 1 ⊕ a 2 ⋅ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n ⋅ x n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}} .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = k x + b {\displaystyle f=kx+b} , где b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f ( x 1 + x 2 ) ≠ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f ( c x ) ≠ c f ( x ) {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)} . Например, нелинейной зависимостью считают σ ( τ ) {\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Линейная функция — Википедия. Что такое Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b = 0 {\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0}  — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y = k 1 x + b 1 , {\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y = k 2 x + b 2 , {\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: t g α = | k 1 − k 2 1 + k 1 k 2 | , {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k 1 k 2 ≠ − 1 , {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k 1 = k 2 ,   α = 0 {\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b {\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0 {\displaystyle b=0} , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n {\displaystyle n} переменных x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  — функция вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n {\displaystyle n} -мерное пространство переменных x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — вещественные числа, то графиком линейной функции в ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n = 1 {\displaystyle n=1}  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f : X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , где a i ∈ { 0 , 1 } , ∀ i = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}} , что для любых x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = a 0 ⊕ a 1 ⋅ x 1 ⊕ a 2 ⋅ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n ⋅ x n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}} .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = k x + b {\displaystyle f=kx+b} , где b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f ( x 1 + x 2 ) ≠ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f ( c x ) ≠ c f ( x ) {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)} . Например, нелинейной зависимостью считают σ ( τ ) {\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Линейная функция — это… Что такое Линейная функция?



Линейная функция

Линейная функция [linear function] — функция вида ax + b = y. Основное ее свойство: приращение функции пропорционально приращению ар­гумента. Л.ф. изображается на графике прямой линией  Коэффициент а. характеризует ее наклон. Если b = 0, функция называется однородной, причем однородная Л.ф. многих переменных описывается линейной формой.

Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

• Линейная форма
• Линейное ограничение

Смотреть что такое «Линейная функция» в других словарях:

• линейная функция — Математическое соотношение, содержащее сумму переменных в степени не выше первой. Линейная функция имеет следующий вид: alX1 + a2X2 + … + anXn = b, где Xi переменные, аi и b константы. Графиком линейной функции является прямая линия. (Словарь… …   Справочник технического переводчика

• Линейная функция —         функция вида у = kx + b. Основное свойство Л. ф.: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Графически Л. ф. изображается прямой линией. При равных масштабах на осях коэффициент k; (угловой коэффициент) равен тангенсу угла …   Большая советская энциклопедия

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — (linear function) Функция вида у = а+b, где а и b являются константами. Линейная функция называется так потому, что ее график всегда является прямой линией. Уравнение y=0 всегда может быть решено линейной функцией при b≠0 с использованием формулы …   Экономический словарь

• Линейная функция — Линейная функция. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = kx+b. График линейной функции прямая, наклоненная к оси абсцисс (x) под углом a, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат (y) отрезок b, а на оси абсцисс отрезок b/k.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая функция МНОГОЧЛЕНА, не включающая в себя производных переменных выше, чем единица. Например, f(x)=7x+3. Графически линейная функция в двухмерной системе представляется прямой линией …   Научно-технический энциклопедический словарь

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — ЛИНЕЙНАЯ функция, функция вида y = kx+b. График линейной функции прямая, наклоненная к оси абсцисс (x) под углом a, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат (y) отрезок b, а на оси абсцисс отрезок b/k …   Современная энциклопедия

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — простейшая функция, изображаемая на графике прямой линией (рисунок). Выражается формулой y?kx+b, где k тангенс угла ?, под которым прямая пересекает ось абсцисс …   Большой Энциклопедический словарь

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — числовая функция 1 й степени относительно всех её переменных (аргументов), изображаемая на графике прямой линией; выражается формулой у = kx + b, где число k называется угловым коэффициентом (k равен тангенсу угла наклона, tga = k), b есть… …   Большая политехническая энциклопедия

• Линейная функция — Примеры линейных функций. Линейная функция  функция вида (для функций одной переменной). Основное свойство линейных функций: приращение функции п …   Википедия

• линейная функция — простейшая функция, изображаемая на графике прямой линией . Выражается формулой y = kx + b, где k  тангенс угла φ, под которым прямая пересекает ось абсцисс. * * * ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, простейшая функция, изображаемая на графике… …   Энциклопедический словарь

Линейная функция — Википедия. Что такое Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b = 0 {\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0}  — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y = k 1 x + b 1 , {\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y = k 2 x + b 2 , {\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: t g α = | k 1 − k 2 1 + k 1 k 2 | , {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k 1 k 2 ≠ − 1 , {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k 1 = k 2 ,   α = 0 {\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b {\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0 {\displaystyle b=0} , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n {\displaystyle n} переменных x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  — функция вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n {\displaystyle n} -мерное пространство переменных x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — вещественные числа, то графиком линейной функции в ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n = 1 {\displaystyle n=1}  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f : X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , где a i ∈ { 0 , 1 } , ∀ i = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}} , что для любых x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = a 0 ⊕ a 1 ⋅ x 1 ⊕ a 2 ⋅ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n ⋅ x n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}} .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = k x + b {\displaystyle f=kx+b} , где b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f ( x 1 + x 2 ) ≠ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f ( c x ) ≠ c f ( x ) {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)} . Например, нелинейной зависимостью считают σ ( τ ) {\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Нелинейные функции — это… Что такое Нелинейные функции?

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

f(x) = kx + b.

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от  — неоднородных линейных функций.

Свойства

• k является тангенсом угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс.
• При k > 0, прямая образует острый угол с осью абсцисс.
• При k < 0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
• При k = 0, прямая параллельна оси абсцисс
• b является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n переменных  — функция вида

где  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n-мерное пространство переменных вещественных или комплексных. При a₀ = 0 линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные и коэффициенты  — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n + 1)-мерном пространстве переменных является n-мерная гиперплоскость

в частности при n = 1 — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X над некоторым полем k в это поле, то есть для такого отображения , что для любых элементов и любых справедливо равенство

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = kx + b, где , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае и . Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ) для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

• Логарифмический рост

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

линейных функций

линейных функций

---

Линейная функция популярна в экономике. Это привлекательно, потому что это просто и легко обрабатывать математически. У него много важных приложений.

Линейные функции — это функции, график которых представляет собой прямую линию.

Линейная функция имеет следующий вид

y = f (x) = a + bx

Линейная функция имеет одну независимую переменную и одну зависимую переменную. Независимая переменная — это x, а зависимая переменная — это y.

a — постоянный член или точка пересечения по оси y. Это ценность зависимого переменная при x = 0.

b — коэффициент независимой переменной. Он также известен как наклон и дает скорость изменения зависимой переменной.

Построение линейной функции

Чтобы построить график линейной функции:

1. Найдите 2 точки, удовлетворяющие уравнению

2. Участок

3. Соедините точки прямой линией

Пример:

y = 25 + 5x

пусть x = 1
, тогда
y = 25 + 5 (1) = 30

пусть x = 3
, тогда
y = 25 + 5 (3) = 40

Простой пример линейного уравнения

Компания имеет постоянные затраты на установку и оборудование в размере 7000 долларов США и переменные стоимость 600 долларов за каждую единицу продукции.
Какова общая стоимость при различных уровнях выпуска?

пусть x = единицы продукции
пусть C = общая стоимость

C = постоянные затраты плюс переменные затраты = 7000 + 600 x

выход	Итого
15 шт.	C = 7000 + 15 (600) = 16000
30 шт.	C = 7000 + 30 (600) = 25000

Комбинации линейных уравнений

Линейные уравнения можно складывать, умножать или делить.

Простой пример сложения линейных уравнений

C (x) — функция стоимости

C (x) = фиксированные затраты + переменные затраты

R (x) — функция дохода

R (x) = продажная цена (количество проданных единиц)

прибыль равна выручке за вычетом затрат

P (x) — функция прибыли

P (x) = R (x) — C (x)

x = количество произведенных и проданных единиц

Данные:

Компания получает 45 долларов за каждую проданную единицу продукции.Имеет переменную стоимость 25 долларов США за единицу и фиксированная стоимость 1600 долларов США.
Какова его прибыль, если он продаст (а) 75 предметов, (б) 150 предметов и (в) 200 предметов?

R (х) = 45x	C (x) = 1600 + 25x
P (x) = 45x — (1600 + 25x)
= 20x — 1600

пусть x = 75	П (75) = 20 (75) — 1600 = -100 А потеря
пусть x = 150	П (150) = 20 (150) — 1600 = 1400
пусть x = 200	П (200) = 20 (200) — 1600 = 2400

[индекс]

---

,

python — каково определение класса nn.Linear в pytorch

Переполнение стека

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
5. реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
6. О компании

,

Сравнение функций активации для глубоких нейронных сетей | by Ayyüce Kızrak

Сигмоидальная функция

Представьте себе, что большинство проблем в природе нелинейны, а комбинации сигмовидной функции не являются линейными. Бинго!

Сигмовидная функция и производная

Затем мы можем отсортировать слои 😃 Итак, давайте подумаем о недвоичных функциях. Он также является производным, поскольку отличается от ступенчатой ​​функции. Это означает, что обучение возможно. Если мы исследуем график, x находится между -2 и +2, значения y быстро изменятся.Небольшие изменения x будут большими для y. Это означает, что его можно использовать как хороший классификатор. Еще одно преимущество этой функции состоит в том, что она выдает значение в диапазоне (0,1), когда встречается с (- infinite, + infinite), как в линейной функции. Таким образом, значение активации не исчезает, это хорошие новости! 🎈

Сигмоидальная функция является наиболее часто используемой функцией активации, но есть много других и более эффективных альтернатив.

Итак, в чем проблема сигмовидной функции ?

Если мы внимательно посмотрим на график ближе к концам функции, значения y очень мало реагируют на изменения x.Давайте подумаем, что это за проблема! 🤔 Производные значения в этих областях очень малы и сходятся к 0. Это называется исчезающим градиентом , и обучение минимально. если 0, никакого обучения! Когда происходит медленное обучение, алгоритм оптимизации, который минимизирует ошибку, может быть привязан к локальным минимальным значениям и не может получить максимальную производительность от модели искусственной нейронной сети. Итак, давайте продолжим поиск альтернативной функции активации! 🔎

Функция гиперболического тангенса

Гиперболический тангенс и производная

Она имеет структуру, очень похожую на сигмовидную функцию.Однако на этот раз функция определена как (-1, + 1). Преимущество перед сигмовидной функцией состоит в том, что ее производная более крутая, что означает, что она может получить большую ценность. Это означает, что он будет более эффективным, поскольку у него более широкий диапазон для более быстрого обучения и выставления оценок. Но опять же, проблема градиентов на концах функции продолжается. Хотя у нас есть очень распространенная функция активации, мы продолжим поиски, чтобы найти лучшую!

ReLU (выпрямленная линейная единица), функция

ReLU, функция и производная

На первый взгляд может показаться, что она имеет те же характеристики, что и линейная функция на положительной оси.Но, прежде всего, ReLU не является линейным по своей природе. На самом деле хороший оценщик. Также возможно сойтись с любой другой функцией с помощью комбинаций ReLU. Большой! Это означает, что мы все еще можем сортировать слои в нашей искусственной нейронной сети (опять же) 😄

ReLU оценивается в [0, + gö], но каковы отдача и их преимущества? Представим себе большую нейронную сеть со слишком большим количеством нейронов. Сигмовидный и гиперболический тангенс вызывали одинаковую активацию почти всех нейронов. Это означает, что активация очень интенсивная.Некоторые нейроны в сети активны, и активация происходит нечасто, поэтому нам нужна эффективная вычислительная нагрузка. Получаем с ReLU. Значение 0 на отрицательной оси означает, что сеть будет работать быстрее. T Тот факт, что вычислительная нагрузка меньше, чем у функций сигмоида и гиперболического тангенса, привел к большему предпочтению многослойных сетей. Супер! 😎 Но даже ReLU не совсем хорош, почему? Из-за этой области нулевых значений, которая дает нам скорость процесса! Так что обучения в этой области не происходит.😕 Тогда вам нужно найти новую функцию активации с хитростью.

Функция Leaky-ReLU

💧Можете ли вы увидеть утечку на отрицательной плоскости? 😲

Функция Leaky ReLU и производная

Это значение утечки дается как значение 0,01, если задано другое значение, близкое к нулю, имя функции изменяется случайным образом как Leaky ReLU. (Нет, новых функций нет?! 😱) Диапазон определения дырявого ReLU по-прежнему составляет минус бесконечность. Это близко к 0, но 0 со значением неживых градиентов в RELU жил в отрицательной области обучения для предоставления значений.Насколько это умно? 🤓

Функция Softmax

Она имеет структуру, очень похожую на сигмовидную функцию. Как и тот же сигмоид, он довольно хорошо работает при использовании в качестве классификатора. Наиболее важным отличием является то, что он предпочтительнее на уровне вывода моделей глубокого обучения, особенно когда необходимо классифицировать более двух. Он позволяет определить вероятность того, что входные данные принадлежат определенному классу, производя значения в диапазоне 0-1. Таким образом, он выполняет вероятностную интерпретацию.

Функция Swish (самозатрачиваемая)

Функция Swish и производная

Самое важное отличие от ReLU — отрицательная область. Leaky имел такое же значение в ReLU, в чем разница? Все остальные функции активации однообразны. Обратите внимание, что выходной сигнал функции Swish может упасть, даже если входной сигнал увеличивается. Это интересная особенность Swish.

f (x) = 2x * sigmoid (beta * x)

Если мы думаем, что beta = 0 — это простая версия Swish, которая является параметром, который можно изучить, тогда сигмовидная часть всегда равна 1/2 и f (x) линейна.С другой стороны, если бета очень большое значение, сигмоид становится почти двузначной функцией (0 для x <0,1 для x> 0). Таким образом, f (x) сходится к функции ReLU. Следовательно, стандартная функция Swish выбрана как beta = 1. Таким образом, обеспечивается мягкая интерполяция (связывание наборов значений переменных с функцией в данном диапазоне и желаемой точностью). Превосходно! Найдено решение проблемы обращения в нуль градиентов.

Математические выражения функций активации.