План-конспект урока по алгебре (7, 8 класс) на тему: Урок по теме Линейное уравнение с параметром.

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учеников
Организационный этап	Приветствие учеников	Приветствие учителя
Актуализация знаний	а)Сформулируйте определение линейного уравнения с одним неизвестным; б )сколько корней может иметь линейное уравнение с одним неизвестным; в ) приведите пример линейного уравнения, которое имеет :а ) один корень, б ) не имеет корней, в ) имеет бесконечное множество корней. 2. решить уравнения:  , , .	Учащиеся отвечают на вопросы учителя Устно решают уравнения
Мотивация. постановка целей и задач.	Рассмотрим два уравнения:   и  . В чем сходство этих уравнений? ( оба линейные, одинаковые свободные члены) В чем отличие? (коэффициентом перед х) Коэффициент во втором уравнении задан неявно и называется он параметр. Попытайтесь сформулировать тему урока, цели , задачи.	Учащиеся пытаются ответить на вопросы учителя Учащиеся формулируют тему, цели и задачи урока
Первичное усвоение новых знаний	Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др.   Вернемся к уравнению  . Найдите корень данного уравнения. Можно ли считать число  корнем данного уравнения? При каком условии это число будет корнем уравнения ? При каком нет? Если а=0 , то уравнение не имеет корней; Если а ≠0, . Ответ .при а=0 , то уравнение не имеет корней; При а ≠0, .	Отвечают на поставленный вопрос Учащиеся записывают алгоритм решения уравнения.
Первичная проверка понимания	1.Решить уравнения: ,   2. Решим уравнение .Какие преобразования необходимы в данном уравнении ( переносим слагаемые из одной части в другую, общий множитель выносим за скобку). Получаем уравнение  . Если а=5, то уравнение примет вид 0х= -1 . Корней нет Если а≠5, . Ответ. При  а=5 корней нет,  при а≠5, .	Решают на местах по алгоритму с последующей проверкой . Обсуждают решение уравнение вместе с учителем, записывают в тетради.
Первичное закрепление	Решить уравнение . Для того, чтобы выразить х нужно будет поделить  на (а-7)(а-3). Но выполнение этой операции возможно не всегда (делить на нуль нельзя). Все выше сказанное определяет дальнейший ход рассуждений: исследовать случаи, когда коэффициент при х равен нулю и когда – отличен от нуля. Если а = 7, то уравнение примет вид 0х=0. Решением полученного уравнения является любое действительное число. Если а = 3, то уравнение примет вид 0х = -16. Решений нет. Если a ≠ 7 и a ≠ 3, то . Ответ : при а = 7 x ∈ R ; при а = 3 решений нет; при a ≠ 7 и a ≠ 3	Один учащийся у доски , остальные на местах решают уравнение.
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению	Решить уравнения  6х-ах = 11, . Задание повышенной сложности : (для более подготовленных учащихся).	Учащиеся сами выбирают уровень сложности.
Рефлексия	Подводит итог урока , выставление оценок, рефлексия

Методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме: Методическая разработка: Системы линейных уравнений с параметрами в курсе Алгебры 7-го класса

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами.

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами….

Уравнения с параметрами в курсе алгебры седьмого класса

В данном учебном пособии представлена подборка заданий для отработки и проверки знаний по теме «Уравнения с параметрами в курсе алгебры седьмого класса»…

Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами

Методическая разработка на тему: «Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами»…

Линейные уравнения, неравенства и системы линейных уравнений с параметром.

Тестовые задания….

Конспект учебного занятия по теме: «Система линейных уравнений с параметром»

дана система заданий на отработку правила Крамера; рассматривается решение систем линейных уравнений с параметром с помощью правила Крамера…

Разработка урока «Линейное уравнение с двумя переменными и его график», 7 класс

Учебный материал для проведения урока алгебры в 7 классе  «Линейное уравнение с двумя переменными и его график». Данный урок является первым уроком в теме. В своей работе я преследовала след…

Презентация «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Графический способ решения.» 7 класс

Презентация для проведения урока по алгебре в 7 классах, урок первый по теме «Системы линейного уравнения с двумя переменными. Графический способ решения»….

Методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме: Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами

Методические разработки на тему:

«Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами»

учитель МОУ «Гимназия №1» города Печора Республики Коми

Рогова Э.Н.

Практика выпускных экзаменов в 9-ых и 11-ых классах по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для учеников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане.

Желательно начать решать задачи с параметрами, начиная с линейных уравнений в 7 классе.

Все задачи можно разбить на три типа.

I тип уравнений

Решить уравнения:

а) 2х = 6    б) Зх = -18    в) -5х = 0    г) 7/8х = С    д) 0,4х = С-3

е) (к2 + 1)х = С               ж) (2k2 + 3)х = 2С +1

Что является общим для этих уравнений? Какой вывод можно сделать о решении таких уравнений?

Ответ: Кроме того, что уравнение имеет вид: ах = b, общим является то, что для каждого из них коэффициент а ≠ 0. Вывод: если для уравнения вида ах = b коэффициент а ≠ 0, то это уравнение имеет, и при том только одно, решение: х = b/а

II тип уравнений

а) 0х = -3    б) 0х = с2 + 1    в) mх = 1/4    г) (2k + 1)х = Зm2 + 4.

Что является общим для данных уравнений и для пар уравнений      а) — б), в) — г)? Какой вывод можно сделать о решении таких уравнений?

Ответ: Все уравнения имеют вид: ах = b. Для пары уравнений а) — б) общим является то, что одновременно коэффициенты а = 0, b ≠ 0. Вывод: если для уравнения вида ах = b одновременно коэффициенты а = 0 и b ≠ 0, то уравнение не имеет решений. Для пары уравнений в) — г) коэффициент b отличен от нуля. Коэффициент а обозначен буквой или этот коэффициент является выражением, в котором участвует число обозначенное буквой, поэтому надо рассматривать два случая. Например, для в) эти случаи следующие:

при m = 0 получим уравнение вида 0х =1/4, которое не имеет решения;

при m ≠ 0, уравнение mх = 1/4 имеет единственное решение х =

III тип уравнений

а) 0x = 0    б) mx = 0    в) (k+1)х = 0    г) mx = m    д) 0х = k   е) 0х = 7-k

Что является общим для всех данных уравнений, для уравнений вида в) — г) и для уравнений д) — е)? Какой вывод можно сделать в связи с решением таких уравнения а)?

Ответ: Для уравнения а) коэффициенты а и b одновременно равны нулю, следовательно это уравнение имеет бесконечно много решений и его решением является каждое действительное число. Для уравнений б) и г) надо рассмотреть два случая. Например, для б) эти случаи m ≠ 0 и

m = 0.

г) Если m ≠ 0, то х = 1 (одно решение). Если m = 0, то уравнение 0х = 0 имеет решением каждое действительное число.

в) (k + 1)х = 0        Если k = -1, то 0х = 0, х Є R

           Если k ≠ -1, то х = 0 одно решение.

г) mx = m                Если m = 0, то 0x = 0, х Є R

Если m ≠ 0, то mx = m, х = 1.

Для уравнений д) — е) тоже надо рассмотреть два случая.

д) 0х = k                Если k = 0, то 0х = 0, х Є R

Если k 0, то 0х = k, нет решений.

е)        0х = 7- k                Если k = 7, то 0х = 0, х Є R

Если k ≠ 7, то 0х = 7- k, нет решений.

__________________________________

Для закрепления линейных уравнений с параметрами можно рассмотреть следующие задания:

№1. Для каких значений параметра k имеет одно и только одно решение каждое из уравнений:

Примеры	Ответы
а)        kх = 4 б)        (2к +5)х = k в) (4 — 2k)х = 2m г) (0,2 +  k)х = m + Зp	а) k ≠ 0,          x = б) k ≠ -2.5,     x = в) k ≠ 13/6,    x =2m/(4 ) г) k ≠ -3/35,   x = (m + 3p)/(0.2 + )

Решение этих уравнений сводится к решению уравнений I типа

№2. Для каких значений параметров k и m не имеет решений каждое из уравнений:

Примеры	Ответы
а)        (k + 3)y = m б)        (2k — 7)y = 1 – 3m в) (k — 1)y = 4.5 + m г) (k/4 + 0.1)y = 2m — 3	а) k = -3,     m ≠ 0 б) k = 3.5,   m ≠ 1/3 в) k = 1,      m ≠ -4.5 г) k = -0.4,  m  ≠  3/2

Решения данных уравнений сводится к решению уравнений II типа.

Для отработки III типа уравнений рассмотреть следующее задание.

№3. Для каких значений параметров m и p каждое уравнение имеет решением любое действительное число:

Примеры	Ответы
а)        mz = 2 — 5p б)        (2 — 0.3m)z = 1 + 2p в) (-6 — )z = 7 + 5p г) (-0.1 —  k)х = 6 – 0.7p	а) m = 0,          p = 2/5 б) m =20/3,      p = -0.5 в) m = -27,       p = -7/5 г) m = ,  p =

        И уже обобщая решения данных уравнений можно рассмотреть следующие задания.

№4 Решить каждое из уравнений:

Примеры

Ответы

а)        ax = b б)        (k + 1)x = m в) px = 7q — 2 г) (2m — 3)x = 1 — 10p

а) 1) Если a≠0, b≠0, единственное решение     2) Если a=0, b≠0, то 0x=b, нет решений     3) Если a≠0, b=0, то ax=0, единственное решение x=0     4) Если a=0, b=0, то 0x=0, множество решений б) 1) Если k≠-1, m – любое число, единственное решение     2) Если k=-1, m≠0, то 0x=m, нет решений     3) Если k=-1, m=0, то 0x=0, множество решений в) Рассмотреть также все случаи г) Рассмотреть также все случаи

№5. Для каких значений параметров k и m   имеет по крайней мере одно решение каждое из уравнений:

Примеры	Ответы
а)        (k — 1)x = m2 б)        (2k + 11)y = 4 – m/3	а) k ≠ 1 или k = 1, m = 0 б) k ≠ -5.5 или k = -5.5, m = 12

По данным мною образцам можно составить и другие уравнения.

Последующее знакомство с уравнениями, содержащими параметр, происходит при изучении темы «Квадратные уравнения». Хорошо усвоив, что такое полные и неполные квадратные уравнения, можно рассмотреть уравнения с параметром. Главное — постепенно усложнять задания, чтобы ребята поняли суть, не пренебрегать вроде бы простыми упражнениями.

№ 5.9. Напишите общий вид квадратного уравнения в котором:

Примеры	Ответы
а) один из корней равен нулю; б) оба корня равны нулю; в) корни равны по модулю, но противоположны по знаку	а) ах2 + bх =0,  х( ах + b ) = 0, х1 = 0 или х2 =-b/a б) ах2 = 0; x1 = x2  = 0 в) ах2 + с =0;  а, с — разные по знаку х = ±

Это очень важное упражнение, так как остальные задачи опираются на него.

№ 5.10 При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен нулю?

Примеры

Ответы

а) Зх2+ х + 2m — 3 = 0 б) х2 — 2х + m2 -1 = 0 в)        2х2 – mх + 2m2  — Зm = 0 г) х2 + (m + 3)х + |m| — 3 = 0

а) Оставим Зх2 +х = 0, значит 2m – 3 = 0, m = 3/2 б) х2 — 2х = 0; значит m2 – 1 = 0, m = ±1 в) 2х2 — mx = 0      и         2m2 — Зm = 0      х(2х — m) = 0               m(2m — 3) = 0      х = 0 или 2х — m = 0   m= 0 m = 1,5 х=m/2, m≠0. Значит, учитывая оба условия, m=1,5 x2 + (m + 3)x = 0    и          |m| — 3 = 0 х(х + ( m + 3)) = 0                 |m| = 3 х = 0     х + (m + 3) = 0      m = 3   и   m = -3      х = — (m + 3)                   не удовлетворяет m ≠ -3 3начит при m = 3

№5.11  При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку?

Примеры

Ответы

а) х2 + (Зm — 5)х — 2 = 0 б) 2х2 — (5m — 3)х + 1 = 0 в)         Зх2 + (m2- 4m)х + m — 1 = 0 г) 4х2 + (5|m| — 1)х + 3m2 +m = 0

х2 — 2 =0     и     Зm — 5 = 0, m = 5/3 2х2 +1 = 0       5m – 3 = 0 2х2 = — 1 корней нет, значит и нет таких m. Зх2 + (m -1) = 0   и   m2 – 4m = 0 Если m = 4, то          m(m — 4) = 0 3х2 + 3= 0,                 m = 0, m = 4 нет решений; Если m = 0, то 3х2 — 1 = 0, х = ± Значит, m = 0                                               Ответ: m =0 г) 4х2 + (3m2 + m ) = 0   и     5|m| — 1 = 0 Если m = 1/5, то             5|m| = 1 4х2 + (3/25 + 1/5) = 0             |m| = 1/5 4х2 + 8/25 = 0             m = ±1/5 корней нет Если m = -1/5, то 4х2 + (3/25 -1/5) = 0     4х2 — 2/25 = 0 x2 = 2/100     x = ±Значит, m = — 0,2                        x = ± /10      Ответ: m = — 0,2

№5.12 При каких значениях m оба корня уравнения равны по нулю?

           ах2 = 0        х1 = х2 = 0

а) Зх2+ (m — 1)х + 1 — m2 = 0       3х2 =0  и   

Значит, m=1

Ответ: m=1

б) x2 – (3m2 + 4m)x + 9m2 — 16 = 0     х2 =0  и     3m + 4 =0,  m = — 4/3

  Ответ: m = -4/3

в) 2×2 + (3m2 — |m|)x – m3 – 3m = 0             2х2 =0   и  

    2×2 + (3m2 — |m|)x – (m3 + 3m) = 0

                                Рассмотрим следующие две системы:

           

Решение m = 0

           

     Нет решения

Ответ: m = 0

г) x2 + (16-x + m3 +8 = 0             х2 =0   и  

 

Значит m = — 2

Ответ: m = -2                                        

Чтобы решить следующие уравнения, ребята хорошо должны усвоить, как зависит количество корней от дискриминанта и формулу корней.

I. Рассмотрим параметр в приведённом квадратном уравнении.

№5.32

а) х2+ 5ах + 4а2 = 0        D = 25а2 — 16а2 = 9а2     D ≥ 0

        x = ,      x1 = — a

                                         x2 = — 4a        

Ответ: х1 = -а, х2 = -4а

Аналогично решаются уравнения б) — г).

№5.33

б) х2 — (2а — 4)х- 8а = 0        k = — (a — 2)    

    х2 — 2 (а — 2)х — 8а = 0        D/4 = (a  — 2)2 — l(-8a) = a2 — 4a + 4 + 8a =

               = а2 + 4а + 4 = (а + 2)2

             x = , x1  = 2a, x2 = — 4

Ответ: х1 = 2а, х2 = — 4

г) х2 – 4bx + 3b2 – 4b — 4 = 0        k = -2b, c = 3b2 — 4b — 4    D/4 = (-2)2 — (3b2 — 4b — 4) =

  = (b + 2)2,   D≥0

, x1 = 3b + 2, x2 = b — 2

Ответ: х1 = 3b + 2, x2 = b — 2

II. Полное квадратное уравнение с параметром, когда старший коэффициент отличен от единицы. Это более сложные уравнения, так как надо рассматривать два случая: а = 0 и а ≠ 0

№5.34

б) (а + 1)х2 — 2х + 1- а = 0        Решение:

1) Пусть а + 1 = 0, т.е. а = -1, тогда уравнение примет вид:  -2х + 1 — (-1) = 0         -2х = -2              х = 1

Получаем один корень х = 1.

2. Пусть а ≠ -1, тогда будет уравнение вида:

(а + 1)х2 — 2х + 1 — а = 0

Замечаем, что сумма коэффициентов равна 0:

a + 1 – 2 + 1 – a = 0.  Значит, x = 1, x =

Ответ: 1) Если а = -1, то х = 1.

2) Если а ≠ 0, то х=1, х =

№ 5.36 

Дано соотношение:

б) а2 + 2b2 — 3аb -7а + 10b +12 = 0

Выразите b через а.

Решение

В этом задании b — переменная, а — число. Получаем уравнение, сводящееся к квадратному: 2b2 + b(10 — 3а) + (а2 — 7а + 12 ) = 0

Найдём дискриминант:

D = (10 — 3а)2 — 4-2(а2 — 7а +12) = 100 — 60а + 9а2 — 8а2 + 56а- 96 = а2 — 4а + 4= (а-2)2

1. D = 0 при а = 2, 2b2 + 4b + 2 = 2(b2 + 2b + 1) = 2(b + 1)2 = 0, b = -1
2. D > 0, тогда b =

Рассмотрим I случай

b = ;                a > 2, b =  = a – 3

                                a  =- 2

Аналогично рассматриваем II случай, когда

b =;         Получаем те же корни b =2а — 3, b = а/2 — 2

        Ответ: 1) Если а = 2, то b = -1

                                      2) Если а ≠ 2, то b1 =2а — 3, b2 = а/2 — 2

Использованная литература:

1. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики – М.: Просвещение,1994. – 271 с.
2. Петров К. Сборник задач по алгебре. Кн. для учителя. Пер. С болг. – М.: Просвещение, 1984.-208 с.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами

Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами

Автор: Борисенко Мария Владимировна,

преподаватель математики ФГКОУ «Кызылское президентское кадетское училище»

Задачи с параметрами традиционно являются одними из самых сложных для решения как в логическом, так и в техническом плане, требуют повышенной математической грамотности. Умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу итоговых экзаменов по математике. Поэтому на наш взгляд целесообразно систематическое изучение задач с параметрами и построение алгоритмов их решения, начиная с 7 класса с момента выделения алгебры в отдельный предмет. В нашей работе мы рассмотрим аналитический метод решения линейных уравнений с параметрами.

Для решения были выбраны примеры из учебников по алгебре для 7 класса профильного уровня авторов Макарычев Ю.Н. и др., Мерзляк А.Г. и др.

Что же такое параметр?

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Уравнение с параметром – это семейство (множество) уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение с параметром – значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

К основным способам решения уравнений с параметрами относят аналитический и графический метод.

В нашей работе мы рассмотрим только аналитический метод решения

Для начала дадим определение линейного уравнения.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной

В зависимости от значений коэффициентов а и b линейное уравнение может иметь различное количество корней.

Алгоритм решения линейного уравнения можно представить в следующем виде

Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами

1. Привести уравнение к виду

, р – параметр.

2. Полученное уравнение решить, как линейное, по приведенному алгоритму

Данный алгоритм удобно свести к таблице

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

Для записи ответа необходимо объединить ответы, полученные в каждом столбце таблицы.

Рассмотрим действие данного алгоритма на конкретных примерах.

Примеры решения уравнений с параметрами.

Решить уравнение с параметром.

1)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

В = 6 ≠ 0

Ответ: при а ≠ 0, х = ; при а = 0, корней нет

2) (3 — а)х = 4 →

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

3 — а ≠ 0

а ≠ 3

х =

В = 4 ≠ 0

3 — а = 0

а = 3

Ответ: при а ≠ 3, х = ; при а = 3, корней нет

3) (а — 2)х = а + 2 →

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

а — 2 ≠ 0

а ≠ 2

х =

Ответ: при а ≠ 2, х = ; при а = 2, корней нет.

4)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при а ≠ 0, х = 1; при а = 0, x – любое число.

5)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при а ≠2, х = — 1; при а = 2, x – любое число.

6)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при х – любое число; при корней нет.

7) (а – 5)х = 6 → А = а — 5, В = 6

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

а — 5 ≠ 0

а ≠ 5

х =

Ответ: при а ≠ 5, х = ; при а =5, корней нет

8)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при а ≠ 7, х = 1; при а = -7, х – любое число.

9) (b +1)х = 9 → А = b +1, В = 9

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при корней нет.

10 →

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

b – любое число

Ответ: при любом b,

11) Найдите натуральные значения а, при которых корень уравнения является натуральным числом

а(3х – 2) + 2(3 + а) = 18

3ах – 2а + 6 + 2а = 18

3ах = 12

ах = 4 → А = а, В = 4

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

а ≠ 0

При а ≠ 0 , таким образом, а должно быть натуральным делителем числа 4, т.е. .

12) кх = к² – 4к → А = к, В = к² – 4к

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , x – любое число.

13

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при m; при , корней нет.

14)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , корней нет.

15)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , корней нет.

16) (а +2)х = 6a+12 →

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , x – любое число.

17) →

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , корней нет.

18)

→

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , х – любое число.

19)

→

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , х – любое число.

20)

Единственный корень

Бесконечное множество корней

Корней нет

А ≠ 0

А = 0, В = 0

А = 0, В ≠ 0

Ответ: при ; при , x – любое число.

В данной работе сформулирован алгоритм решения линейных уравнений с параметрами, достоинствами которого являются универсальность применения и единообразие решения без сложных догадок и долгих размышлений. Решение линейных уравнений с параметрами по приведённому алгоритму возможно для освоения учащимися даже со средней степенью подготовки. А также, подобная формулировка решения подготавливает почву для распространения данного алгоритма на другие виды уравнений.

Кызыл — 2019