Линейные графики функций – Линейная функция и ее график

Линейная функция и ее график (В.А.Тарасов). Видеоурок. Алгебра 7 Класс

В предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида , . Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Рассмотрим пример:

Пример 1:

 (1)

Перепишем его таким образом, чтобы у был в одной части, а все остальное в другой:

Сократим на 2:

Перенесем у в левую часть, а все остальное в правую:

 (2)

Мы получили частный случай уравнения 1, в котором  стоит обособленно в левой части, графиком обоих выражений будет одна и та же прямая, но запись 2 мы будем называть линейной функцией у от х.

Построим график данной функции, для этого составим таблицу:

Рис. 1. График функции y=2x-3

Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:

Поскольку  можем обе части поделить на b:

Введем более удобные обозначения:

,

Получаем выражение:

 (3)

Для примера №1 ,

Таким образом, пара чисел k и m задают конкретну

interneturok.ru

§ 8. Линейные и квадратичные функции

Заметим, что, так как график функции y = f (x) симметричен относительно оси OY, то есть функция f (x) является четной, то отражение относительно OY не меняет вид графи-

ка.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 9. Постройте график функции y = 2

 

.

 

4 − x

 

Решение.

Запи-

шем

функцию

в виде

y = 2

 

 

.

Следо-

 

− (x − 4)

вательно,

построение

графика

производится

последовательным выполнением преобразований известного графика функции y = x (рис. 9): симметричное отражение

относительно оси OY, параллельный перенос на четыре единицы вправо и растяжение графика от оси OХ в два раза (рис. 30).

Линейная функция y = kx + b . Функция определена на всей числовой прямой, D( f ) = Ў . Множество ее изменения – также множество всех действительных чисел, E( f ) = Ў . Функция не ограничена. Она не имеет точек экстремума. При k > 0 функция является возрастающей, при

k < 0

убывающей.

При

k = 0

функция яв-

ляется постоянной. Графиком линейной функции является прямая.

Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла между

прямой

и положительным направлением оси абсцисс,

k = tgα

(рис. 31). Из аксиом геометрии известно, что если

две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. Поэтому для построения графика линейной функции достаточно задать две точки.

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0 ).

Функция определена на всей числовой прямой. Графиком квадратичной функции является парабола.

Для построения графика квадратичной функции целесообразно преобразовать формулу, выделив полный квадрат:

 

2

 

 

 

 

ж

 

b ц2

4ac − b2

 

 

2

 

y = ax

 

+

bx +

c

=

a з x +

 

 

ч +

4a

= a(x −

x0 )

 

+ y0 , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

2a ш

 

 

 

 

x0 = −

 

b

, y0 =

4ac − b2

. Таким образом, получаем, что вер-

2a

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шина

 

параболы

находится

в точке с

координатами

x0 = −

 

b

, y0

=

4ac − b2

. График квадратичной функции сим-

2a

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

метричен относительно прямой x = x0 .

 

 

 

 

При a >

0 ветви параболы направлены вверх. В точке

x0 функция имеет минимум и принимает в этой точке наименьшее значение. При x > x0 функция возрастает, при x < x0 функция убывает. В этом случае квадратичная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

При a < 0 ветви параболы направлены вниз. В точке x0 функция имеет максимум и принимает в этой точке наибольшее значение. При x > x0 функция убывает, при x < x0 функция возрастает. В этом случае квадратичная функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Если дискриминант соответствующего квадратного уравнения положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс. Если дискриминант отрицателен, то парабола расположена выше оси абсцисс, если a > 0 , и ниже оси абсцисс, если a < 0 .

Пример 10. Постройте графики функций y = x2 − 2x − 3

и y = 2x − x2 − 2 .

 

 

 

Решение.

Вершина

параболы y = x2 − 2x − 3 имеет

координаты

x0

= 1

и

y0 = − 4 . Так как

старший

коэффициент a = 1 положи-

телен, то ветви

параболы

направлены вверх. Также,

решив

уравнение

x2 − 2x − 3 = 0 , можно найти точки пересечения с осью абсцисс:

x1 = − 1 и x2

= 3 (рис. 32).

Для

параболы

y = 2x − x2 − 2 аналогично полу-

чаем, что x0

= 1 и y0 = − 1 , и ветви ее направлены вниз. Дан-

ная парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен (рис. 33).

§ 9. Построение графиков дробно-линейных функций

Функция вида y = ax + b , где c ¹ 0 и ad ¹ bc , назы- cx + d

вается дробно-линейной. Графиком этой функции является гипербола.

Частным случаем дробно-линейной функции является функция обратной пропорциональности y = kx . График этой

функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. При k > 0 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, при k < 0 – во второй и четвертой четвертях.

 

Пример 11. Постройте график функции

y =

3x + 10 .

 

 

 

 

 

 

2x + 4

 

Решение.

Выделим

целую

часть

дроби

y =

3x + 10 = 3x + 6 + 4 =

1,5(2x + 4) + 4 = 1,5 +

2

.

 

x + 2

 

 

2x + 4

2x + 4

2x + 4

 

 

Таким образом, уравнение, которым задается график функ-

ции, примет вид y = 1,5 +

2

 

. График заданной функции по-

x +

2

 

 

лучается из графика функции y = 1x сдвигом на 2 единицы по

оси OX влево, растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом на 1,5 единицы по оси OY вверх.

Заметим, что график функции не пересекает прямые x = − 2 и y = 1,5 , хотя и приближается к ним достаточно близко. Такие прямые называются асимптотами графика функции. График дробно-линейной функции имеет две асимптоты

– вертикальную x = − 2 и горизонтальную y = 1,5 . Построение графика удобно начинать именно с нахождения асимптот: для нахождения вертикальной асимптоты приравниваем знаменатель дроби нулю, а для нахождения горизонтальной асимптоты выделяем целую часть дроби (рис. 34).

Построение графика произвольной дробно-линейной

функции y = ax + b выполняется по алгоритмам, разобран- cx + d

ным в примере 11.

Упражнения

8.Постройте графики функций:

а)

y =

2

3x - 1

;

 

 

б) y =

4x + 10

- 3;

в)

y =

2 +

 

 

;

г) y = 2

 

 

- 3 ;

 

3- x

x + 5

д) y =

2 -

 

 

;

е) y = 3-

 

 

 

.

 

x + 4

 

2x + 9

9.Постройте графики функций:

а)

y =

3× 2x - 1;

б)

y =

0,52x+ 3 - 6 ;

в)

y =

20,5x - 4 ;

г)

y =

log2 (x + 3) - 1;

studfile.net

Линейная функция y = kx + m и её график. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Аргумент линейной функции

Сложность: лёгкое

1,5
2. Таблица значений линейной функции

Сложность: лёгкое

2
3. Точка пересечения графика линейной функции с осью Оy

Сложность: лёгкое

1
4. Точка пересечения графика линейной функции с осью Ох или с осью Оy

Сложность: лёгкое

2
5. График линейной функции

Сложность: среднее

2,8
6. Вопросы по графику линейной функции

Сложность: среднее

4
7. Нахождение по графику формулы линейной функции

Сложность: среднее

1
8. Задача на составление выражения

Сложность: среднее

3
9. Координаты точки пересечения графиков

Сложность: сложное

3
10. Наибольшее или наименьшее значение линейной функции

Сложность: сложное

3
11. Составь уравнение прямой

Сложность: сложное

5

www.yaklass.ru

Алгоритм построения графика линейной функции

Линейная функция и ее график

1) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

2) Графиком линейной функции является прямая.

3) Алгоритм построения графика линейной функции:

1) Найти координаты двух точек графика

2)Отметить полученные точки на координатной плоскости

3)Провести через полученные точки прямую

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, 0 и 1), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Линейная функция и ее график

1) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

2) Графиком линейной функции является прямая.

3) Алгоритм построения графика линейной функции:

1) Найти координаты двух точек графика

2)Отметить полученные точки на координатной плоскости

3)Провести через полученные точки прямую

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, 0 и 1), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Линейная функция и ее график

1) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

2) Графиком линейной функции является прямая.

3) Алгоритм построения графика линейной функции:

1) Найти координаты двух точек графика

2)Отметить полученные точки на координатной плоскости

3)Провести через полученные точки прямую

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, 0 и 1), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Линейная функция и ее график

1) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

2) Графиком линейной функции является прямая.

3) Алгоритм построения графика линейной функции:

1) Найти координаты двух точек графика

2)Отметить полученные точки на координатной плоскости

3)Провести через полученные точки прямую

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, 0 и 1), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Линейная функция и ее график

1) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

2) Графиком линейной функции является прямая.

3) Алгоритм построения графика линейной функции:

1) Найти координаты двух точек графика

2)Отметить полученные точки на координатной плоскости

3)Провести через полученные точки прямую

Линейная функция и ее график

1) Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

2) Графиком линейной функции является прямая.

3) Алгоритм построения графика линейной функции:

1) Найти координаты двух точек графика

2)Отметить полученные точки на координатной плоскости

3)Провести через полученные точки прямую

infourok.ru

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции,  и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции y=1/x, то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой x=0 (ось ОY) - это вертикальная асимптота, и к прямой y=0 (ось ОХ) - это горизонтальная асимптота:

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

В общем случае горизонтальная асимптота  - это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b, где b - число, к которому стремятся значения функции y=f(x), когда x стремится к infty.

То есть b=lim{x{right}{infty}}{f(x)}.

Вертикальная асимптота - это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a. Здесь a - значение переменной x,  при котором функция y=f(x) не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение x стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: y={ax+b}/{cx+d}.

График дробно-линейной функции - это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при x=-d/c знаменатель равен нулю, в этой точке функция  y={ax+b}/{cx+d} не определена. Поэтому прямая x=-d/c  - вертикальная асимптота.

Степень x в числителе дроби  {ax+b}/{cx+d}  равна степени x в знаменателе. Поэтому при x{right}{infty} числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

lim{x{right}{infty}}{{ax+b}/{cx+d}}=a/c и  уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=a/c.

График дробно-линейной функции y={ax+b}/{cx+d}  - это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): x=-b/a.

Точка пересечения с осью OY (x=0): y=b/d.

Построим график функции y={x+1}/{3x+2}. Это дробно-линейная функция и ее график  - гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: y=1/3;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя): x=-2/3

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: x+1=0; x=-1

с осью OY(x=0): y=1/2.

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

То есть график функции y={x+1}/{3x+2} выглядит как-то так:

y={x+1}/{3x+2}

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота - это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b.

Коэффициенты k и b вычисляются следующим образом:

k=lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}

b=lim{x{right}{infty}}{({f(x)}-kx)}

Найдем асимптоты графика функции y={3-x^2}/{x+2}

1. Начнем с области определения функции. Функция y={3-x^2}/{x+2} не определена в точке x=-2, следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби {3-x^2}/{x+2} на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при x{right}{infty} отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции y={3-x^2}/{x+2} не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях x в числителе и знаменателе дроби).

b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}= lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}= lim{x{right}{infty}}{{3+2x}/{x+2}}=2

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

График функции y={3-x^2}/{x+2}, построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему: Презентация «Линейная функция, её график, свойства».

Слайд 1

Линейная функция, её график, свойства. Кирьянова Марина Владимировна, учитель математики МОУ СОШ №3 с. Кочубеевское Ставропольского края

Слайд 2

Укажите линейные уравнения : 1) 5y = x 2) 3y = 0 3) y 2 + 16x 2 = 0 4) + y = 4 5) x + y =4 6) y = -x + 11 7) + 0.5x – 2 = 0 8) 25d – 2m + 1 = 0 9) y = 3 – 2x 5

Слайд 3

Функция вида у = kx + b называется линейной . Графиком функции вида у = kx +b является прямая . Для построения прямой необходимы только две точки , так как через две точки проходит единственная прямая.

Слайд 4

Найти уравнения линейных функций y =-x+0,2; y= 1 2 , 4x-5,7 ; y =- 9 x- 1 8; y= 5 ,04x; y =- 5 ,04x; y=1 26 ,35+ 8 ,75x; y=x -0, 2; y=x :8; y=0, 00 5x; y=13 3 ,13 3 13 3 x; y= 3 - 1 0 , 01x ; y=2 : x ; y =-0, 004 9; y= х:6 2 .

Слайд 5

y = kx + b – линейная функция х – аргумент (независимая переменная) у – функция (зависимая переменная) k , b – числа (коэффициенты) к ≠ 0

Слайд 6

х Х 1 Х 2 Х 3 у У 1 У 2 У 3

Слайд 7

у = - 2х + 3 – линейная функция. Графиком линейной функции является прямая, для построения прямой нужно иметь две точки х – независимая переменная, поэтому её значения выберем сами ; У – зависимая переменная, её значение получится в результате подстановки выбранного значения х в функцию. Результаты запишем в таблицу: х у 0 2 Если х = 0, то у = - 2 · 0 + 3 = 3 . 3 Если х=2, то у = -2 · 2+3 = - 4+3= -1 . - 1 Точки (0;3) и (2; -1) отметим на координатной плоскости и проведем через них прямую. х у 0 1 1 У= - 2х+3 3 2 - 1 выбираем сами

Слайд 8

Построить график линейной функции у = - 2 х +3 Составим таблицу: х у 03 1 1 Построим на координатной плоскости точки ( 0 ; 3 ) и ( 1 ; 5 ) и проведем через них прямую х 1 0 1 3 у

Слайд 9

I вариант II вариант y=x-4 y =- x+4 Определить взаимосвязь коэффициентов k и b и расположения прямых Построить график линейной функции

Слайд 10

y=x-4 y=-x+4 I вариант II вариант x y 1 2 0 -4 x 1 2 0 4 y

Слайд 11

х 0 у y = kx + m (k > 0) х 0 у y = kx + m (k 0, то линейная функция у = kx + b возрастает если k

Слайд 12

С помощью графика линейной функции у = 2х - 6 ответить на вопросы: а) при каком значении х будет у = 0 ? б) при каких значениях х будет у  0 ? в) при каких значениях х будет у  0 ? 1 0 3 у 1 х -6 а) у = 0 при х = 3 б) у  0 при х  3 Если х  3 , то прямая расположена выше оси х , значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны в) у  0 при х  3 Если х  3 , то прямая расположена ниже оси х , значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны

Слайд 13

Задания для самостоятельного решения: построить графики функций (выполнять в тетради) 1. у = 2х – 2 2. у = х + 2 3. у = 4 – х 4 . у = 1 – 3х О братите внимание: точки, выбранные вами для построения прямой, могут быть другими, но расположение графиков обязательно должно совпадать

Слайд 14

Ответ к заданию 1

Слайд 15

Ответ к заданию 2

Слайд 16

Ответ к заданию 3

Слайд 17

Ответ к заданию 4

Слайд 19

На каком рисунке изображён график линейной функции y = kx ? Ответ объяснить . 1 2 3 4 5 x y x y x y x y x y

Слайд 20

Ученик допустил ошибку при построении графика функции. На каком рисунке? 1. y =х+2 2. y =1,5х 3. y =-х-1 x y 2 1 x y 3 1 x y 3 3

Слайд 21

1 2 3 4 5 x y x y y x y x y На каком рисунке коэффициент k отрицателен? x

Слайд 22

Назовите знак коэффициента k для каждой из линейных функций:

Слайд 23

На каком рисунке свободный член b в уравнении линейной функции отрицателен? 1 2 3 4 5 х y x y x y x y x y

Слайд 24

Выберите линейную функцию, график которой изображен на рисунке у = х - 2 у = х + 2 у = 2 – х у = х – 1 у = - х + 1 у = - х - 1 у = 0,5х у = х +2 у = 2х Молодец! Подумай!

Слайд 25

x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 y=2x y=2x+ 1 y=2x- 1 y=-2x+ 1 y = -2x- 1 y =-2x

Слайд 26

y=-0,5x+ 2 , y=-0,5x , y=-0,5x- 2 x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 x y 1 2 0 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 1 y=0,5x+ 2 y=0,5x- 2 y=0,5x y=-0,5x+ 2 y=-0,5x y =-0,5x- 2

Слайд 27

y=x+ 1 y=x- 1 , y=x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 x y=-x y=-x+ 3 y =-x- 3 y=x+ 1 y=x- 1 y=x

Слайд 28

Составить уравнение линейной функции по следующим условиям:

Слайд 29

подведем итог

Слайд 30

Выводы записать в тетрадь Мы узнали: *Функция вида у = kx + b называется линейной. * Графиком функции вида у = kx + b является прямая . *Для построения прямой необходимы только две точки , так как через две точки проходит единственная прямая. *Коэффициент k показывает возрастает или убывает прямая. *Коэффициент b показывает, в какой точке прямая пересекает ось OY . *Условие параллельности двух прямых.

Слайд 32

Желаю успехов!

Слайд 33

Алгебра – это слово произошло от названия сочинения Мухаммеда Аль-Хорезми «Аль- джебр и Аль- мукабала », в котором алгебра излагалась как самостоятельный предмет

Слайд 34

Роберт Рекорд – это английский математик, который в 1556г. ввёл знак равенства и объяснил свой выбор тем, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Слайд 35

Готфрид Лейбниц – немецкий математик (1646 – 1716г.г.), который первым ввёл термин «абсцисса» - в 1695г., «ордината» - в 1684г., «координаты» - в 1692г.

Слайд 36

Рене Декарт – французский философ и математик (1596 – 1650г.г.), который первым ввёл понятие «функция»

Слайд 37

Использованная литература 1.МордковичА.Г. и др. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение,2010. 2.Звавич Л.И. и др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса - М.: Просвещение,2010. 3.Алгебра 7 класс, под редакцией Макарычев Ю.Н. и др., Просвещение, 2010 г. 4.Интернетресурсы: www.symbolsbook.ru/Article.aspx %...id%3D222

nsportal.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *