Логарифм по основанию 3 числа 9: С такое логарифм? Как найти логарифм 9 по основанию 3?

Posted on by alexxlab

Содержание

Функция LOG — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает логарифм числа по заданному основанию.

Синтаксис

LOG(число;[основание])

Аргументы функции LOG описаны ниже.

  • Число    Обязательный. Положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.

  • Основание    Необязательный. Основание логарифма. Если аргумент «основание» опущен, предполагается, что он равен 10.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула

Описание

Результат

=LOG(10)

Логарифм числа 10. Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10.

1

=LOG(8; 2)

Логарифм числа 8 по основанию 2. Результат (3) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 8.

3

=LOG(86; 2,7182818)

Логарифм числа 86 по основанию e (приблизительно 2,718). Результат (4,454) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 86.

4,4543473

Понятие логарифма и его свойства — Мегаобучалка

Логарифмом числа b (b>0) по основанию а(а>0 а¹1)называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b:

(1)

Формулу (1) называют основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается .

Логарифм по основанию e (e = 2,71828…) называется натуральным логарифмом и обозначается .

Свойства логарифмов:

Пусть . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , ;

7) , ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) тогда и только тогда, когда ;

12) , тогда и только тогда, когда ;

13) , тогда и только тогда, когда .

 

Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и выражения с переменной. Тогда:

3*) , где ;

4*) , где ;

5*) , где ;

6*) , где

Замечание 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм , .

Замечание 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или .

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т.е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение: .

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|используем свойство 9| |по свойству 5|= = |по основному логарифмическому тождеству| = .

|по свойству 10| ,

тогда .

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| = .

|по свойству 8| = .

Таким образом:

.

Замечание 1. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Ответ: 5.

Пример 2. Вычислить: .

Решение.Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2|=

=

.

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3 – 5:

Тогда получаем

.

Ответ: 30,5.

Замечание 2. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно сделано из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.



Пример 3.Прологарифмировать по основанию 10 выражение

.

Решение.Замечаем, что сделать это можно, если . Тогда

 

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

.

Решение. Используем свойства логарифмов 3 – 5 («справа-налево»)

Получаем ответ: .

Пример 5. Выразить через и .

Решение.

Ответ: .

 

 

Задания

 

I уровень

1.1. Найдите число, логарифм которого при основании 2 равен:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 8) ; 9) 1; 10) 2.

1.2. Найдите логарифм числа 729 при основании

1) 9; 2) 3; 3) ; 4) .

1.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

1.4. Найдите число , если:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1.5. Найдите число , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) .

1.6. Вычислите значение логарифма:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.7. Упростите выражение:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1.8. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a:

1) , если ;

2) , если ;

3) , если a = 10;

4) , если a = 10;

5) , если ;

6) , если ;

7) , если .

1.10. Выполните потенцирование:

1) ;

2) ;

3) ;

 

II уровень

2.1. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16). .

2.2. Докажите неравенство:

1). ; 2). .

2.3. Известно, что . Выразите заданный логарифм через a и b:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

III уровень

3.1.Вычислите:

1). ;

2). ;

3). ;

4). .

3.2. Упростите до числа:

.

3.3. Докажите, что

.

 

 

Решите неравенство log(9*x)*27

Дано неравенство:
$$27 \log{\left (9 x \right )} \leq \frac{1}{\log{\left (3 x \right )}}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$27 \log{\left (9 x \right )} = \frac{1}{\log{\left (3 x \right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$27 \log{\left (9 x \right )} = \frac{1}{\log{\left (3 x \right )}}$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} + \log{\left (3 \right )}} \left(27 \left(\log{\left (x \right )} + \log{\left (3 \right )}\right) \left(\log{\left (x \right )} + \log{\left (9 \right )}\right) — 1\right) = 0$$
$$27 \log{\left (x \right )} + 27 \log{\left (9 \right )} — \frac{1}{\log{\left (x \right )} + \log{\left (3 \right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Дано уравнение:
$$27 w + 27 \log{\left (9 \right )} — \frac{1}{w + \log{\left (3 \right )}} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
w + log(3)
получим:
$$\left(w + \log{\left (3 \right )}\right) \left(27 w + 27 \log{\left (9 \right )} — \frac{1}{w + \log{\left (3 \right )}}\right) = 0$$
$$27 \left(w + \log{\left (3 \right )}\right) \left(w + \log{\left (9 \right )}\right) — 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.{2}{\left (3 \right )}}}}$$
подставляем в выражение
$$27 \log{\left (9 x \right )} \leq \frac{1}{\log{\left (3 x \right )}}$$
   /  /                 ________________      \\                                                       
   |  |          ___   /           2          ||                                                       
   |  |       -\/ 3 *\/  4 + 27*log (3)       ||                                                       
   |  |       ---------------------------     ||                                                       
   |  |  ___               18                 ||                                                       
   |  |\/ 3 *e                              1 ||                              1                        
log|9*|---------------------------------- - --||*27 
                                                                           1                       
                                                     ----------------------------------------------
      /                        ________________ \       /                        ________________ \
      |                 ___   /           2     |       |                 ___   /           2     |
      |              -\/ 3 *\/  4 + 27*log (3)  |       |              -\/ 3 *\/  4 + 27*log (3)  |
      |              ---------------------------| 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\sqrt{3}}{9 e^{\frac{\sqrt{3}}{18} \sqrt{4 + 27 \log^{2}{\left (3 \right )}}}}$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.2 + 4×1×24= 4 + 96= 100
корень из Д= 10
х1= (-2+10)/2= 4
х2= (-2-10)/2= -6
                ОДЗ
(х-6)(х+6) не равно 0
при х= 4, (4-6)(4+6) не равно 0
при х= -6, (-6-6)(-6+6)= 0
Ответ: х= 4.
 Так как х стоит первой цифрой трёхзначного числа ⇒ xyz-xzy=yz-zy.
 y должно быть больше 7, то есть 8 или 9.2
y(2)=-4
y(3)=-9  минимум
y(0)=0 максимум вершина параболы
на конуах отрезка или в вершине параболы экстремумы
A2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=14⇒a1+3d=7⇒a1=7-3d
a3*a8=(a1+2d)(a1+7d)=(7-3d+2d)(7-3d+7d)=(7-d)(7+4d)=76
49+28d-7d-4d²=76
4d²-21d+27=0
D=441-432=9
d1=(21-3)/8=9/4⇒a1=7- 3*9/4=1/4- не уов усл
d2=(21+3)/8=3⇒a1=7-3*3=-2
a10=a1+9d=-2+27=25
46. Задания | Контрольные работы по математике и другим предметам!
 
I уровень
1.1. Найдите число, логарифм которого по основанию 2 равен:
1) –2; 2) –1; 3)  4)  5)  6) 0;
7)  8)  9)  10)  11) 1; 12) 2.
1.2. Найдите логарифм числа 729 по основанию:
1) 9; 2) 3; 3)  4)
1.3. Найдите логарифм числа по основанию 3:
1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;
5)  6)  7)  8)
9)  10)  11)  12)
1.4. Найдите число B, если:
1)  2)  3)
4)  5)  6)
7)  8)  9)
1.5. Найдите число А, если:
1)  2)  3)
4)  5)  6)
1.6. Вычислите значение логарифма:
1)  2)  3)
4)  5)  6)
7)  8)  9)
10)  11)  12)
1.7. Упростите выражение:
1)  2)  3)  4)
5)  6)  7)  8)
1.8. Вычислите:
1)  2)  3)
4)  5)
1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию A:
1)  если  2)  если
3)  если  4)  если
5)  если  6)  если
7)  если
1.10. Выполните потенцирование:
1)
2)
3)
II уровень
2.1. Вычислите:
1)  2)
3)  4)
5)  6)
7)  8)
9)  10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
2.2. Докажите неравенство:
1)  2)
2.3. Известно, что Выразите через A И B заданный логарифм:
1)  2)  3)  4)
III уровень
3.1. Вычислите:
1)  2)
3)  4)
3.2. Упростите выражение до числа:
3.3. Докажите, что


 < Предыдущая   Следующая >
 Вычисление логарифмов по основанию 10 в голове: рай для ботаников 
 Вычислить в уме логарифмы с основанием 10 на лету намного проще, чем вы думаете. Это просто вопрос запоминания и небольшой оценки ...
 Сначала запомните все однозначные журналы с основанием 10. Не волнуйтесь, это не так больно, как кажется. Я даже сделал для вас диаграмму: 
 Log Base 10 из ... Равно ...
 1 0
 2 0.301
 3 0,477
 4 0,602
 5 0,698
 6 0,778
 9 0,954
 10 1
 Помните это правило из средней школы? 
 log (a * b) = log a + log b
 А как насчет этого, вы его тоже помните? 
 журнал (10  n ) = n
 Хорошо.
 Пример № 1: журнал по основанию 10 для 400 
 Это то же самое, что и журнал (4 * 100), который равен log 4 + log 100. log 4, который вы знаете из таблицы выше. Логарифм 100 равен логарифму 10  2  и, следовательно, равен 2. Таким образом, логарифм 400 равен 2 + логарифм 4, что составляет 2,602. Это может показаться утомительным методом, но сначала попробуйте несколько примеров, и вы увидите, что на самом деле это довольно быстро.
 Теперь вы можете спросить, а что, если это не просто число с кучей нулей после него?
 Пример № 2: журнал 35 по основанию 10 
 Предположим, вы хотите найти логарифм 35.Это то же самое, что и журнал (3,5 * 10). Журнал 3,5 находится где-то между логарифмом 3 и 4, но несколько выше средней точки (поскольку масштаб журнала становится меньше по мере того, как вы поднимаетесь). Логарифм 3 равен 0,477, а логарифм 4 - 0,602, поэтому мы сделаем приблизительное предположение около 0,44 или 0,55 иш. Логарифм из 10, очевидно, равен 1, поэтому наша предполагаемая оценка для журнала из 35 будет 1 + 0,545.
 Наше предположение: 1.545 
 Калькулятор говорит: 1.544068 ...
 Теперь вы можете убедить всех своих друзей и учителей, что вы робот.
 Пример # 3: логарифм по основанию 10 из 2

572: Это довольно близко к логарифму (2.9 * 100000000) = log 2,9 + log 10  8 
 2,9 близко к 3. Log (3) = 0,477, поэтому мы угадаем что-то немного ниже, например, 0,45
 Наша догадка: 8 + 0,45 = 8,45 
 Расчетный ответ: 8.46305 ...
 А теперь убегайте и напугайте людей своими новыми способностями.
 Преобразователь по основанию 3 из 7 
 Используйте форму ниже, чтобы выполнить преобразование.
 Бревно
 3 10 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 знак равно
 Ответ преобразования Log  3  7 =  1.77124374916 
  Решение 
  Шаг 1 
 Журнал  3  7 = Журнал (7) ÷ Журнал (3)
 Лог (7) = 0,845098040014
 Лог (3) = 0,47712125472
 Лог  3  7 = 0,845098040014 ÷ 0,47712125472
  Ответ = 1,77124374916 
  Шаг 2 
  Логарифм можно вычислить следующим образом. 
 
  Инструкции: 
  1.  Введите число, которое вы хотите преобразовать. 
     Выберите систему оснований логарифма для преобразования числа.
  2.  Выберите систему счисления, в которую вы хотите преобразовать. 
     Нажмите «Преобразовать», чтобы создать базу данных. Преобразование
 
 Другие преобразования системы счисления для проверки
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
 Преобразование системы счисления - это числа от 1 до 32, где числа 2-9 представлены простыми цифрами, а числа 11-32 представлены буквами A-Z.
 Основания 2-9 - это 2,3,4,5,6,7,8,9.
 Основания чисел 11-32:
 Е Дж К п.п. кв. рандов юаней
 11 = A 12 = B 13 = С 14 = D 15 = 11 = F 12 = G 13 = H
 14 = I 16 = 17 = 18 = L 19 = M 20 = N 21 = О 22 =
 23 = 24 = 25 = 26 = Т 27 = U 28 = V 29 = W 30 = Х
 31 = Y 32 = Z
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
 Как избавиться от логарифмов 
 Ничто так не портит уравнение, как логарифмы.Они громоздки, ими сложно манипулировать, а для некоторых людей они немного загадочны. К счастью, есть простой способ избавить ваше уравнение от этих надоедливых математических выражений. Все, что вам нужно сделать, это помнить, что логарифм - это величина, обратная экспоненте. Хотя основание логарифма может быть любым числом, наиболее распространенными основаниями, используемыми в науке, являются 10 и е, что является иррациональным числом, известным как число Эйлера. Чтобы различать их, математики используют «log», когда основание равно 10, и «ln», когда основание равно e.
 TL; DR (слишком долго; не читал) 
 Чтобы избавить уравнение от логарифмов, возведите обе части в один и тот же показатель степени, равный основанию логарифмов. В уравнениях со смешанными членами соберите все логарифмы с одной стороны и сначала упростите.
 Что такое логарифм? 
 Понятие логарифма простое, но его немного сложно описать словами. Логарифм - это количество раз, которое вам нужно умножить на само число, чтобы получить другое число.Другими словами, логарифм - это степень, до которой необходимо возвести определенное число, называемое основанием, для получения другого числа. Степень называется аргументом логарифма.
 Например, log  8  2 = 64 просто означает, что возведение 8 в степень 2 дает 64. В уравнении log  x  = 100 основанием считается 10, и вы можете легко найти аргумент,  x , потому что он отвечает на вопрос: "10 в какой степени равно 100?" Ответ - 2.
 Логарифм - это величина, обратная экспоненте. Уравнение log  x  = 100 - это еще один способ записать 10_ ​​ x  _ = 100. Это соотношение позволяет удалить логарифмы из уравнения, возведя обе части в один и тот же показатель степени, равный основанию логарифма. 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002
 логарифмов 
 логарифмов
 Логарифм
 - показатель степени. Логарифм - это показатель степени, который указывает, в какой степени
 для получения заданного числа необходимо поднять базу.
  г
 = b  x   экспоненциальная форма
  х
 =  журнал   b  y  логарифмический
 форма
 x - логарифм y по основанию b
 log  b  y - степень, в которую мы должны возвести b, чтобы получить y
 Мы выражаем x через y
  Примеры 
   x =    журнал   b  y  
  x =  журнал  2  8 Это означает логарифм 8 по основанию 2.Это
 экспонента, до которой нужно возвести 2, чтобы получить 8. Мы знаем, что 2 (2) (2)
 = 8. Следовательно, x = 3.
 
  x =  журнал  6  36 Это означает логарифм 36 по основанию 6. Это
 показатель степени, до которого нужно возвести 6, чтобы получить 36. Мы знаем, что 6 (6)
 = 36. Следовательно, x = 2.
 
  x =  журнал  10  10,000 Это означает логарифм 10000 с основанием 10.Это
 - показатель степени, до которого нужно поднять 10, чтобы получить 10 000. Мы знаем
 что 10 (10) (10) (10) = 10,000. Следовательно, x = 4.
 
 журнал  b  b = 1 Логарифм любого числа по одному основанию равен 1.
 
 x = журнал  11  11 Это означает логарифм 11 по основанию 11. Это показатель степени.
 на которое нужно поднять 11, чтобы получить 11.Мы знаем, что 1 (1) = 11.
 Следовательно, x = 1.
 
 журнал  b  1 = 0
 Логарифм 1 всегда равен 0.
 Любое число может служить базой b.
  Общий
 (Бриггсиан) логарифмы Основание 10. 
 Логарифмы
 к базе 10 широко используются. Таким образом, обычно опускают нижний индекс.Если база не указана, подразумевается, что база равна 10.
 журнал  10   y =  журнал  y  
 
 Натуральный
 (Наперианские) логарифмы Основание - e. 
 Помнить
 e - иррациональное число, где e = 2,71828 ... Символ "ln"
 относится к натуральным логарифмам.
 журнал   e    x =  ln  x  ln x - показатель степени, до которого необходимо возвести e, чтобы получить x.
 
 Почему мы хотим использовать логарифмы? Для упрощения расчетов во многих случаях.
 
 Правила логарифмов
  Правило продукта   
 
  Правило частного   
 
  Правило силы    Это правило полезно, потому что оно позволяет нам решать уравнения
 где переменная - показатель степени.
 
 Экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными функциями
 Рассмотрим следующие таблицы и связанные с ними графики:
  x 
  f (x) = e  x  
  x 
  f (x) = ln x 
 0
 1
 1
 0
 1
 2.7
 2,7
 1
 2
 7,39
 7,39
 2
 3
 20
 20
 3
 [индекс]
 Что такое логарифм на Земле? 
 Что такое логарифм на Земле?
 Понимание математики 
 от 
 Питер Альфельд, 
 Кафедра математики, 
 Университет Юты 
 Что такое логарифм на Земле? 
 Интересно, что после того, как я 
 это руководство 
 какое-то время это оказался вопрос, который мне задали
 чаще всего, обычно в терминах, включающих такие фразы, как
 «Греческий для меня», «бьет меня» или, как указано выше,
 "что на земле"...
 Чтобы понять, что такое логарифм, вам сначала нужно
 понять, что за 
 мощность 
 является. Если вы этого не сделаете, сначала перейдите по этой ссылке!
 Хорошо, вы знаете, что такое сила. Так что это имеет смысл для вас
 написать что-то вроде
 b  x  = y. (*) 
 В предыдущем уравнении  x  должно выглядеть как
 надстрочный индекс  б .Если это не так, у вас есть
 слабый браузер.
 После этих предварительных мероприятий мы можем теперь перейти к сути
 причина. Уравнение  (*)  является ключом к
 все. Число  b  - это основание  ,
 число  x  экспонента  , а выражение
 что равно  y  - это  степень . Если мы подумаем о  x  как независимая переменная и  y  как
 зависимая переменная, то  (*)  определяет  экспоненциальная функция .
 В уравнении  (*)  мы можем теперь представить, что два из
 переменные даны, и решаем для третьего. Если
 даны основание и показатель степени, мы вычисляем  степень ,
 если даны показатель степени и степень, мы вычисляем  корень  (или  корень ), и, если мощность и
 базы даны, вычисляем логарифм . 
 Другими словами,  Логарифм числа  y  по основанию  b  - показатель степени, к которому
 мы должны поднять  b , чтобы получить  y. 
 Мы можем записать это определение как
 x = бревно  b  y b  x  = y 
 и мы говорим, что  x  - это логарифм  y  с базой  b  тогда и только тогда, когда  b  в степень  x  равно  y .
 Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.Если
 у вас проблемы с любой из этих способностей, вернитесь к моему
 страница на 
 полномочия.
  •  10  2  = 100 лог  10  100 = 2 
  •  10 -2  = 0,01 лог  10  0,01 = -2 
  •  10  0  = 1 журнал  10  1 = 0 
  •  2  3  = 8 журнал  2  8 = 3 
  •  3  2  = 9 лог  3  9 = 2 
  •  25  1/2  = 5 лог  25  5 = 1/2 
  •  8  -2/3  = 1/4 журнала  8  1/4 = -2/3 
  •  2  1/2  = 1.4142135623 ... журнал  2  1.414 .. = 1/2 
 Специальные базы 
 Логарифмы по основанию  b = 10  называются  десятичных логарифмов  и логарифмов по
 база  е = 2,71828 ...  называются  натуральными логарифмами. 
 Больше информации 
 Вы должны найти обширную информацию о логарифмах в любом
 учебник по алгебре вузов.Чтобы проверить ваше понимание
 и направьте свое дальнейшее изучение, чтобы найти ответы на
 следующие вопросы:
 Калькулятор логарифмов 
 Щелкните по этому апплету
 Однако ваш браузер не поддерживает 
 Ява. 
 Если бы это было так, вы бы не увидели это сообщение! Получите Java
 совместимый браузер, такой как 
 Netscape, 
 достаточно продвинутой версии.
 для вызова калькулятора логарифма  , который позволит вам
 выберите два из чисел в  (*)  и вычислите
 в третьих. Его довольно просто использовать, но вот 
 документация.
 Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд,
 PA1UM
 [27 июня 1997 г.]
 BioMath: логарифмические функции 
 В этом разделе мы научимся решать уравнения, содержащие экспоненту или
 логарифмическая функция.Начнем с рассмотрения двух простых уравнений:
 (1) 5  e   x    = 11,
 (2) журнал (2  x ) = 3.
 Чтобы решить (1) и (2), нам нужно найти значение (я)  x , для которого уравнения
 верное заявление. Важно понимать, что (1) и (2) НЕ верны для всех
 значения  x . Начнем с уравнения (1).
  Решение уравнения 1: 
 5  e   x    = 11
 Как и при решении любого другого уравнения, наша цель - выделить член, включающий  x . Здесь мы начнем с деления обеих частей уравнения на 5,
.
 Теперь, когда член  e   x    сам по себе находится на одной стороне, мы должны «отменить» экспоненту
 освободить  x .Поскольку наша экспонента имеет основание  e , мы берем логарифм с основанием  e  обе стороны (т.е. натуральный логарифм обеих сторон),
 Таким образом, решение уравнения (1) равно
  Решение уравнения 2: 
 журнал (2  x ) = 3
 
 В этом уравнении член, включающий  x , уже выделен в одну сторону уравнения.Поэтому мы начинаем с «отмены» логарифмической функции по основанию 10, возведя в степень оба
 сторон уравнения с основанием 10,
 10  лог (2  x )  = 2  x  = 10  3  = 1000.
 Следовательно, мы находим решение уравнения (2) равным
 Сейчас попробуем
 решение некоторых более сложных уравнений.
 Хотя эти уравнения могут показаться более сложными, наша цель остается прежней:
 решите для значений  x , которые делают утверждения истинными уравнениями.
  Решение экспоненциальных уравнений, использующих базы, которых нет в вашем калькуляторе 
  Решение уравнения 3 :
 6 · 2  9+  x   = 30
 Начнем с выделения термина, включающего  x ,
 Чтобы найти  x , мы должны отменить экспоненту. Хотя экспонента
 основание 2, мы будем использовать общий логарифм (основание 10), так как будет легче получить
 примерный ответ на нашем калькуляторе,
 Используя свойства логарифмов, мы упрощаем приведенное выше уравнение как,
 (9 +  x ) журнал (2) = журнал (5).
 Решение относительно x дает,
 
 Вы всегда можете проверить свой ответ, подставив точный ответ, который вы нашли
 обратно в исходное уравнение.
  Решение уравнения 4: 
 3 журнала  6  (4 + 3  x ) - 2 = 6
 Начнем с выделения термина, включающего  x ,
 Чтобы найти  x , нам нужно освободить  x  изнутри логарифма с основанием 6.Для этого возведем в степень обе стороны с основанием 6,
 Решая для  x  имеем,
  Решение уравнений с экспонентами с разным основанием 
  Решение уравнения 5: 
 3  7−2  x   = 4  3+  x  
 В этом уравнении экспоненты имеют разное основание.Мы возьмем
 общий (с основанием 10) логарифм обеих сторон для отмены этих экспонент, и
 использовать свойства логарифмов,
 Приведение терминов  x  к одной стороне и всех остальных терминов к другой,
 Вынос  x  урожайности,
 Теперь мы можем решить уравнение
  Решение уравнений с кратным логарифмом 
  Решение уравнения 6: 
 2 журнал  3  (2x) = журнал  3  (4) + журнал  3  (3 + 2x)
 В этом уравнении следует обратить внимание на две вещи: обе части имеют логарифмы, и
 одна сторона имеет несколько логарифмов.При работе с несколькими логарифмами на
 с одной стороны, проще всего объединить их в один логарифм, используя
 в
 свойства логарифмов. Однако при этом вам необходимо проверить свои решения.
 когда вы закончите решение проблемы, потому что объединение логарифмов может привести к посторонним решениям.
 Начнем с упрощения обеих сторон, используя свойства
 логарифмы,
 Возведение в степень обе стороны с основанием 3 дает,
 Чтобы найти  x , мы должны решить квадратное уравнение,
 4  x   2  - 8  x  - 12 = 0.
 Используя формулу корней квадратного уравнения, решения даются как,
 Таким образом, мы находим решения равными  x  = 3 и  x  = −1. Поскольку мы объединили
 логарифмы, мы должны проверить эти решения в исходном уравнении. Проверка  
 x  = 3 дает,
 2 log  3  (2 · 3) = 2 log  3  (6) ≈ 3.26,
 слева и
 лог  3  (4) + лог  3  (3 + 2 · 3) = лог  3  (4) + лог  3  (9) ≈ 3,26,
 с правой стороны. Эти решения проверяют.
 Решение  x  = −1, однако,
 не проверяет. Если мы попытаемся подставить 
  x  = −1 в исходное уравнение,
 у нас было бы,
 2 лог  3  (2 · -1),
 с левой стороны.Конечно, логарифм отрицательного числа не определен.
 на действительной прямой, и мы заключаем, что  x  = −1 является посторонним решением.
 Следовательно,
 заключаем, что решение уравнения (6) составляет  x  = 3.
 *****
  Теперь попробуйте несколько практических задач с использованием логарифмов и решения логарифмических уравнений. 
 Проблемы
 Графические логарифмические функции 
 Функция 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 б 
 Икс 
 является обратной функцией 
 экспоненциальная функция 
 y 
 знак равно 
 б 
 Икс 
 .
 Рассмотрим функцию 
 y 
 знак равно 
 3 
 Икс 
 .  Это можно изобразить как:
 График обратной функции любой функции - это отражение графика функции относительно линии 
 y 
 знак равно 
 Икс 
 .  Итак, график логарифмической функции 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 3 
 ( 
 Икс 
 ) 
 которая является обратной функцией 
 y 
 знак равно 
 3 
 Икс 
 является отражением приведенного выше графика относительно линии 
 y 
 знак равно 
 Икс 
 .
 Икс 
 1 
 9 
 1 
 3 
 1 
 3 
 9 
 27 
 81 год 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 3 
 Икс 
 - 
 2 
 - 
 1 
 0 
 1 
 2 
 3 
 4
 Область определения функции - это набор всех положительных действительных чисел.
 Если база не записана, предположим, что журнал является базовым. 
 10 
 .
 Икс 
 1 
 1000 
 1 
 100 
 1 
 10 
 1 
 10 
 100 
 1000 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 Икс 
 - 
 3 
 - 
 2 
 - 
 1 
 0 
 1 
 2 
 3
 Логарифмическая функция, 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 б 
 ( 
 Икс 
 ) 
 ,  можно сдвинуть 
 k 
 единиц по вертикали и 
 час 
 единиц по горизонтали с уравнением 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 б 
 ( 
 Икс 
 + 
 час 
 ) 
 + 
 k 
 .
  Вертикальный сдвиг 
 Если 
 k 
 > 
 0 
 , график сдвинется вверх.
 Если 
 k < 
 0 
 , график сместится вниз.
  Горизонтальный сдвиг 
 Если 
 час 
 > 
 0 
 , график сдвинется влево.
 Если 
 час < 
 0 
 , график сдвинется вправо.
 Рассмотрим логарифмическую функцию 
 y 
 знак равно 
 [ 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 + 
 1 
 ) 
 - 
 3 
 ] 
 .  Это можно получить, переведя родительский граф 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 ) 
 Пару раз.
 Рассмотрим график функции 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 ) 
 .
 С 
 час 
 знак равно 
 1 
 , 
 y 
 знак равно 
 [ 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 + 
 1 
 ) 
 ] 
 перевод 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 ) 
 на одну единицу влево.
 Сейчас, 
 k 
 знак равно 
 - 
 3 
 .График 
 y 
 знак равно 
 [ 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 + 
 1 
 ) 
 ] 
 будет перемещен 
 3 
 единицы вниз, чтобы получить 
 y 
 знак равно 
 [ 
 бревно 
 2 
 ( 
 Икс 
 + 
 1 
 ) 
 ] 
 - 
 3 
 .
 Вы можете вспомнить, что логарифмические функции определены только для положительных действительных чисел.Это связано с тем, что для отрицательных значений соответствующее экспоненциальное уравнение не имеет решения. Например, 
 3 
 Икс 
 знак равно 
 - 
 1 
 не имеет реального решения, поэтому 
 бревно 
 3 
 ( 
 - 
 1 
 ) 
 не определено.
 Итак, как насчет такой функции, как 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 4 
 ( 
 - 
 Икс 
 ) 
 ?
 Это определено только для отрицательных значений 
 Икс 
 .
 Найдите значения функции для нескольких отрицательных значений 
 Икс 
 . Для упрощения расчета вы можете использовать экспоненциальную форму уравнения, 
 4 
 y 
 знак равно 
 - 
 Икс 
 .
 Икс 
 - 
 1 
 - 
 2 
 - 
 4 
 - 
 8 
 - 
 16 
 - 
 32 
 y 
 знак равно 
 бревно 
 4 
 ( 
 - 
 Икс 
 ) 
 или же 
 4 
 y 
 знак равно 
 - 
 Икс 
 0 
 1 
 2 
 1 
 1 
 1 
 2 
 2 
 2 
 1 
 2
 Постройте точки и соедините их плавной кривой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *