Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

или число 3 (показатель степени) мы можем записать так  , таким образом 

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма — строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу — как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения.

согласно определению логарифма:

Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.

Получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 2. Найдите корень уравнения.

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

или

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Делаем проверку:

Получаем:

Ответ:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Используем следующее свойство логарифма:

Тогда получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 4. Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
4. Делаем проверку
5. Записываем ответ.

repetitor-mathematics.ru

Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a^b*a^c = a^b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log_ab=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log₂8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный логарифм lg a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

• основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
• если а > 0, то и а^b>0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10^х= 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, квадратичная степень! 10²=100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log₁₀100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a^c=b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3⁴=81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log₃81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2^-5= 1/32 запишем в виде логарифма, получим log₂ (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log₂(x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм₂x = √9)_{подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.}

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а^logaB=B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log_d(s₁*s_{2) =} log_ds₁ + log_ds_2. При этом обязательным условием является: d, s₁ и s₂ > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log_as₁ = f₁ и log_as₂ = f₂, тогда a^f1= s₁, a^f2= s_2. Получаем, что s₁*s₂ = a^f1*a^f2= a^f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log_a(s₁*s₂)= f₁+ f₂ = log_as1 + log_as_2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log_a(s_1/s₂) = log_as₁— log_as_2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log_a^q_{bⁿ = n/q logab.}

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log_ab = t, получается a^t=b. Если возвести обе части в степень m: a^tn = bⁿ;

но так как a^tn= (a^q)^nt/q = bⁿ, следовательно log_a^q_{bⁿ = (n*t)/t, тогда loga^qbⁿ = n/q logab. Теорема доказана.}

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры десятичных логарифмов: ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log₂4 + log₂128 = log₂(4*128) = log₂512. Ответ равен 9.
2. log₄8 = log_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log₂(2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log₂(2x-1) = 2², по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2⁴, следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Ниже даны несколько рекомендаций, следуя которым можно с легкостью решать все уравнения, содержащие выражения, которые стоят под знаком логарифма.

• Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
• Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

fb.ru

Логарифмы примеры решения задач, формулы и теоретический материал

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов. Список тем находится в правом меню.

Свойства логарифмов

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить , если

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ.

Больше примеров решений →

Натуральные логарифмы

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить

Решение. Преобразуем данное выражение, используя свойство суммы логарифмов и определение натурального логарифма:

Ответ.

Больше примеров решений →

Десятичные логарифмы

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить

Решение. Преобразуем данное выражение, используя свойство логарифма степени, а также тот факт, что :

www.webmath.ru

Логарифмические уравнения, примеры решений

Найдем ОДЗ:

   

   

   

   

   

   

Решение логарифмического уравнения имеет вид . Применяя это к исходному уравнению, получим

   

   

Умножим левую и правую части последнего равенства на , получим:

   

   

   

Полученное показательное уравнение решим методом замены переменной. Введем замену , тогда уравнение примет вид:

   

Полученное квадратное уравнение можно свернуть по формулам сокращенного умножения в квадрат разности:

   

Сделаем обратную замену ОДЗ.

ru.solverbook.com

Простейшие логарифмические уравнения

18 сентября 2013

Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются предварительные преобразования и отбор корней. Но если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.

Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида log_a f (x) = b, где a, b — числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) — некоторая функция.

Отличительная особенность всех логарифмических уравнений — наличие переменной x под знаком логарифма. Если изначально в задаче дано именно такое уравнение, оно называется простейшим. Любые другие логарифмические уравнения сводятся к простейшим путем специальных преобразований (см. «Основные свойства логарифмов»). Однако при этом надо учитывать многочисленные тонкости: могут возникнуть лишние корни, поэтому сложные логарифмические уравнения будут рассмотрены отдельно.

Как решать такие уравнения? Достаточно заменить число, стоящее справа от знака равенства, логарифмом по тому же основанию, что и слева. Затем можно избавиться от знака логарифма. Получим:

log_a f (x) = b ⇒ log_a f (x) = log_a a ^b ⇒ f (x) = a ^b

Получили обычное уравнение. Его корни являются корнями исходного уравнения.

Вынесение степеней

Зачастую логарифмические уравнения, которые внешне выглядят сложно и угрожающе, решаются буквально в пару строчек без привлечения сложных формул. Сегодня мы рассмотрим именно такие задачи, где все, что от вас потребуется — аккуратно свести формулу к канонической форме и не растеряться при поиске области определения логарифмов.

Сегодня, как вы уже наверняка догадались из названия, мы будем решать логарифмические уравнения по формулам перехода к канонической форме. Основной «фишкой» данного видеоурока будет работа со степенями, а точнее, вынесение степени из основания и аргумента. Давайте рассмотрим правило:

Аналогичным образом можно вынести степень и из основания:

Как видим, если при вынесении степени из аргумента логарифма у нас просто появляется дополнительный множитель спереди, то при вынесении степени из основания — не просто множитель, а перевернутый множитель. Это нужно помнить.

Наконец, самое интересное. Данные формулы можно объединить, тогда мы получим:

Разумеется, при выполнении данных переходов существуют определенные подводные камни, связанные с возможным расширением области определения или, наоборот, сужением области определения. Судите сами:

log₃x ² = 2 ∙ log₃x

Если в первом случае в качестве x могло стоять любое число, отличное от 0, т. е. требование x ≠ 0, то во втором случае нас устроят лишь x, которые не только не равны, а строго больше 0, потому что область определения логарифма состоит в том, чтобы аргумент был строго больше 0. Поэтому напомню вам замечательную формулу из курса алгебры 8—9 класса:

То есть, мы должны записать нашу формулу следующим образом:

log₃x ² = 2 ∙ log₃ |x|

Тогда никакого сужения области определения не произойдет.

Однако в сегодняшнем видеоуроке никаких квадратов не будет. Если вы посмотрите на наши задачи, то увидите только корни. Следовательно, применять данное правило мы не будем, однако его все равно необходимо держать в голове, чтобы в нужный момент, когда вы увидите квадратичную функцию в аргументе или основании логарифма, вы вспомните это правило и все преобразования выполните верно.

Итак, первое уравнение:

Для решения такой задачи предлагаю внимательно посмотреть на каждое из слагаемых, присутствующих в формуле.

Давайте перепишем первое слагаемое в виде степени с рациональным показателем:

Смотрим на второе слагаемое: log₃ (1 − x). Здесь делать ничего не нужно, здесь все уже преобразовании.

Наконец, 0, 5. Как я уже говорил в предыдущих уроках, при решении логарифмических уравнений и формул очень рекомендую переходить от десятичных дробей к обычным. Давайте так и сделаем:

0,5 = 5/10 = 1/2

Перепишем наше исходную формулу с учетом полученных слагаемых:

log₃ (1 − x) = 1

Теперь переходим к канонической форме:

log₃ (1 − x) = log₃ 3

Избавляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Все, мы решили уравнение. Однако давайте все-таки подстрахуемся и найдем область определения. Для этого вернемся к исходной формуле и посмотрим:

1 − x > 0

−x > −1

x < 1

Наш корень x = −2 удовлетворяет это требование, следовательно, x = −2 является решением исходного уравнения. Вот теперь мы получили строгое четкое обоснование. Все, задача решена.

Переходим ко второй задаче:

Давайте разбираться с каждым слагаемым отдельно.

Выписываем первое:

Первое слагаемое мы преобразовали. Работаем со вторым слагаемым:

Наконец, последнее слагаемое, которое стоит справа от знака равенства:

Подставляем полученные выражения вместо слагаемых в полученной формуле:

log₃x = 1

Переходим к канонической форме:

log₃x = log₃ 3

Избавляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы, и получаем:

x = 3

Опять же, давайте на всякий случай подстрахуемся, вернемся к исходному уравнению и посмотрим. В исходной формуле переменная x присутствует только в аргументе, следовательно,

x > 0

Во втором логарифме x стоит под корнем, но опять же в аргументе, следовательно, корень должен быть больше 0, т. е. подкоренное выражение должно быть больше 0. Смотрим на наш корень x = 3. Очевидно, что он удовлетворяет это требование. Следовательно, x = 3 является решением исходного логарифмического уравнения. Все, задача решена.

Ключевых моментов в сегодняшнем видеоуроке два:

1) не бойтесь преобразовывать логарифмы и, в частности, не бойтесь выносить степени за знак логарифма, при этом помните нашу основную формулу: при вынесении степени из аргумента она выносится просто без изменений как множитель, а при вынесении степени из основания эта степень переворачивается.

2) второй момент связан с само канонической формой. Переход к канонической форме мы выполняли в самом конце преобразования формулы логарифмического уравнения. Напомню следующую формулу:

a = log_b b ^a

Разумеется, под выражением «любое число b», я подразумеваю такие числа, которые удовлетворяют требования, накладываемые на основание логарифма, т. е.

1 ≠ b > 0

Вот при таких b, а поскольку основание у нас уже известно, то это требование будет выполняться автоматически. Но при таких b — любых, которые удовлетворяют данное требование — данный переход может быть выполнен, и у нас получится каноническая форма, в которой можно избавиться от знака логарифма.

Расширение области определения и лишние корни

В процессе преобразования логарифмических уравнений может произойти неявное расширение области определения. Зачастую ученики этого даже не замечают, что приводит к ошибкам и неправильным ответам.

Начнем с простейших конструкций. Простейшим логарифмическим уравнением называется следующее:

log_af(x) = b

Обратите внимание: x присутствует лишь в одном аргументе одного логарифма. Как мы решаем такие уравнения? Используем каноническую форму. Для этого представляем число b = log_aa^b, и наше уравнение перепишется в следующем виде:

log_af(x) = log_aa^b

Данная запись называется канонической формой. Именно к ней следует сводить любое логарифмическое уравнение, которое вы встретите не только в сегодняшнем уроке, но и в любой самостоятельной и контрольной работе.

Как прийти к канонической форме, какие приемы использовать — это уже вопрос практики. Главное понимать: как только вы получите такую запись, можно считать, что задача решена. Потому что следующим шагом будет запись:

f(x) = a^b

Другими словами, мы избавляемся от знака логарифма и просто приравниваем аргументы.

К чему весь этот разговор? Дело в том, что каноническая форма применима не только к простейшим задачам, но и к любым другим. В частности и к тем, которые мы будем решать сегодня. Давайте посмотрим.

Первая задача:

В чем проблема данного уравнения? В том, что функция стоит сразу в двух логарифмах. Задачу можно свести к простейшей, просто вычтя один логарифм из другого. Но возникают проблемы с областью определения: могут появиться лишние корни. Поэтому давайте просто перенесем один из логарифмов вправо:

Вот такая запись уже гораздо больше похожа на каноническую форму. Но есть еще один нюанс: в канонической форме аргументы должны быть одинаковы. А у нас слева стоит логарифм по основанию 3, а справа — по основанию 1/3. Знаит, нужно привести эти основания к одному и тому же числу. Например, вспомним, что такое отрицательные степени:

1/3 = 3⁻¹

А затем воспользуемся вынесем показатель «−1» за пределы log в качестве множителя:

Обратите внимание: степень, которая стояла в основании, переворачивается и превращается в дробь. Мы получили почти каноническую запись, избавившись от разных оснований, но взамен получили множитель «−1» справа. Давайте внесем этот множитель в аргумент, превратив его в степень:

Разумеется, получив каноническую форму, мы смело зачеркиваем знак логарифма и приравниваем аргументы. При этом напомню, что при возведении в степень «−1» дробь просто переворачивается — получается пропорция.

Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее крест-накрест:

(x− 4) (2x− 1) = (x− 5) (3x− 4)

2x² − x− 8x + 4 = 3x² − 4x− 15x + 20

2x² − 9x + 4 = 3x² − 19x + 20

x² − 10x + 16 = 0

Перед нами приведенное квадратное уравнение, поэтому решаем его с помощью формул Виета:

(x − 8)(x − 2) = 0

x₁ = 8; x₂ = 2

Вот и все. Думаете, уравнение решено? Нет! За такое решение мы получим 0 баллов, потому что в исходном уравнении присутствуют сразу два логарифма с переменной x. Поэтому требуется учесть область определения.

И здесь начинается самое веселое. Большинство учеников путаются: в чем состоит область определения логарифма? Разумеется, все аргументы (у нас их два) должны быть больше нуля:

(x− 4)/(3x− 4) > 0

(x− 5)/(2x− 1) > 0

Каждое из этих неравенств нужно решить, отметить на прямой, пересечь — и только потом посмотреть, какие корни лежат на пересечении.

Скажу честно: такой прием имеет право на существование, он надежный, и вы получите правильный ответ, однако в нем слишком много лишних действий. Поэтому давайте еще раз пройдемся по нашему решению и посмотрим: где именно требуется применить область определения? Другими словами, нужно четно понимать, когда именно возникают лишние корни.

1. Изначально у нас было два логарифма. Потом мы перенесли один из них вправо, но на область определения это не повлияло.
2. Затем мы выносим степень из основания, но логарифмов все равно остается два, и в каждом из них присутствует переменная x.
3. Наконец, мы зачеркиваем знаки log и получаем классическое дробно-рациональное уравнение.

Именно на последнем шаге происходит расширение области определения! Как только мы перешли к дробно-рациональному уравнению, избавившись от знаков log, требования к переменной xрезко поменялись!

Следовательно, область определения можно считать не в самом начале решения, а только на упомянутом шаге — перед непосредственным приравниваем аргументов.

Здесь-то и кроется возможность для оптимизации. С одной стороны, от нас требуется, чтобы оба аргумента были больше нуля. С другой — далее мы приравниваем эти аргументы. Следовательно, если хотя бы один и них будет положителен, то и второй тоже окажется положительным!

Вот и получается, что требовать выполнение сразу двух неравенств — это излишество. Достаточно рассмотреть лишь одну из этих дробей. Какую именно? Та, которая проще. Например, давайте разберемся с правой дробью:

(x− 5)/(2x− 1) > 0

Это типичное дробно-рациональное неравенство, решаем его методом интервалов:

Как расставить знаки? Возьмем число, заведомо большее всех наших корней. Например 1 млрд. И подставляем его дробь. Получим положительное число, т.е. справа от корня x = 5 будет стоять знак «плюс».

Затем знаки чередуются, потому что корней четной кратности нигде нет. Нас интересуют интервалы, где функция положительна. Следовательно, x∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Теперь вспоминаем про ответы: x = 8 и x = 2. Строго говоря, это еще не ответы, а лишь кандидаты на ответ. Какой из них принадлежит указанному множеству? Конечно, x = 8. А вот x = 2 нас не устраивает по области определения.

Итого ответом к первому логарифмическому уравнению будет x = 8. Вот теперь мы получили грамотное, обоснованное решение с учетом области определения.

Переходим ко второму уравнению:

log₅ (x − 9) = log_0,5 4 − log₅ (x − 5) + 3

Напоминаю, что если в уравнении присутствует десятичная дробь, то от нее следует избавиться. Другими словами, перепишем 0,5 в виде обычной дроби. Сразу замечаем, что логарифм, содержащий это основание, легко считается:

Это очень важны момент! Когда у нас и в основании, и в аргументе стоят степени, мы можем вынести показатели этих степеней по формуле:

Возвращаемся к нашему исходному логарифмическому уравнению и переписываем его:

log₅ (x− 9) = 1 − log₅ (x− 5)

Получили конструкцию, довольно близкую к канонической форме. Однако нас смущают слагаемые и знак «минус» справа от знака равенства. Давайте представим единицу как логарифм по основанию 5:

log₅ (x − 9) = log₅ 5¹ − log₅ (x − 5)

Вычтем логарифмы справа (при этом их аргументы делятся):

log₅(x − 9) = log₅ 5/(x− 5)

Прекрасно. Вот мы и получили каноническую форму! Зачеркиваем знаки logи приравниваем аргументы:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Это пропорция, которая легко решается умножением крест-накрест:

(x − 9)(x − 5) = 5¹

x² − 9x − 5x + 45 = 5

x² − 14x + 40 = 0

Очевидно, перед нами приведенное квадратное уравнение. Оно легко решается с помощью формул Виета:

(x − 10)(x − 4) = 0

x₁ = 10

x₂ = 4

Мы получили два корня. Но это не окончательные ответы, а лишь кандидаты, потому что логарифмическое уравнение требует еще и проверки области определения.

Напоминаю: не надо искать, когда каждый из аргументов будет больше нуля. Достаточно потребовать, чтобы один аргумент — либо x − 9, либо 5/(x − 5) — был больше нуля. Рассмотрим первый аргумент:

x − 9 > 0

x > 9

Очевидно, что этому требованию удовлетворяет лишь x = 10. Это и есть окончательный ответ. Все задача решена.

Еще раз ключевые мысли сегодняшнего урока:

1. Как только переменная x появляется в нескольких логарифмах, уравнение перестает быть элементарным, и для него придется считать область определения. Иначе можно запросто записать в ответ лишние корни.
2. Работу с самой областью определения можно существенно упростить, если выписывать неравенство не сразу, а ровно в тот момент, когда мы избавляемся от знаков log. Ведь когда аргументы приравниваются друг к другу, достаточно потребовать, чтобы больше нуля был лишь один из них.

Разумеется, мы сами выбираем, из какого аргумента составлять неравенство, поэтому логично выбирать самый простой. Например, во втором уравнении мы выбрали аргумент (x − 9) —линейную функцию, в противовес дробно-рациональному второму аргументу. Согласитесь, решать неравенство x − 9 > 0 значительно проще, чем 5/(x − 5) > 0. Хотя результат получается один и тот же.

Данное замечание существенно упрощает поиск ОДЗ, но будьте внимательны: использовать одно неравенство вместо двух можно только том случае, когда аргументы именно приравниваются друг к другу!

Конечно, кто-то сейчас спросит: а что, бывает по-другому? Да, бывает. Например, в самом шаге, когда мы перемножаем два аргумента, содержащие переменную, заложена опасность возникновения лишних корней.

Судите сами: сначала требуется, чтобы каждый из аргументов был больше нуля, но после перемножения достаточно, чтобы их произведение было больше нуля. В результате упускается случай, когда каждая из этих дробей отрицательна.

Поэтому если вы только начинаете разбираться со сложными логарифмическими уравнениями, ни в коем случае не перемножайте логарифмы, содержащие переменную x — уж слишком часто это приведет к возникновению лишних корней. Лучше сделайте один лишний шаг, перенесите одно слагаемое в другую сторону составьте каноническую форму.

Ну, а как поступать в том случае, если без перемножения таких логарифмов не обойтись, мы обсудим в следующем видеоуроке.:)

Еще раз о степенях в уравнении

Сегодня мы разберем довольно скользкую тему, касающуюся логарифмических уравнений, а точнее — вынесение степеней из аргументов и оснований логарифмов.

Я бы даже сказал, речь пойдет о вынесении четных степеней, потому что именно с четными степенями возникает большинство затруднений и при решении реальных логарифмических уравнений.

Начнем с канонической формы. Допустим, у нас есть уравнение вида log_af(x) = b. В этом случае мы переписываем число b по формуле b = log_aa^b. Получается следующее:

log_af(x) = log_aa^b

Затем мы приравниваем аргументы:

f(x) = a^b

Канонической формой называется предпоследняя формула. Именно к ней стараются свести любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным и страшным оно не казалось на первый взгляд.

Вот давайте и попробуем. Начнем с первой задачи:

Предварительное замечание: как я уже говорил, все десятичные дроби в логарифмическом уравнении лучше перевести ее в обычные:

0,001 = 1/1000

0,5 = 5/10 = 1/2

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Заметим, что и 1/1000, и 100 являются степенью десятки, а затем вынесем степени отовсюду, где они есть: из аргументов и даже из основания логарифмов:

И вот здесь у многих учеников возникает вопрос: «Откуда справа взялся модуль?» Действительно, почему бы не написать просто (х − 1)? Безусловно, сейчас мы напишем (х − 1), но право на такую запись нам дает учет области определения. Ведь в другом логарифме уже стоит (х − 1), и это выражение должно быть больше нуля.

Но когда мы выносим квадрат из основания логарифма, мы обязаны оставить в основании именно модуль. Поясню почему.

Дело в том, что с точки зрения математики вынесение степени равносильно извлечению корня. В частности, когда из выражения (x− 1)² выносится квадрат, мы по сути извлекаем корень второй степени. Но корень из квадрата — это не что иное как модуль. Именно модуль, потому что даже если выражение х − 1 будет отрицательным, при возведении в квадрат «минус» все равно сгорит. Дальнейшее извлечение корня даст нам положительное число — уже без всяких минусов.

В общем, чтобы не допускать обидных ошибок, запомните раз и навсегда:

Корень четной степени из любой функции, которая возведена в эту же степень, равен не самой функции, а ее модулю:

Возвращаемся к нашему логарифмическому уравнению. Говоря про модуль, я утверждал, что мы можем безболезненно снять его. Это правда. Сейчас объясню почему. Строго говоря, мы обязаны были рассмотреть два варианта:

1. x− 1 > 0 ⇒ |х − 1| = х − 1
2. x − 1 < 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Каждый из этих вариантов нужно было бы решить. Но есть одна загвоздка: в исходной формуле уже присутствует функция (х − 1) без всякого модуля. И следуя области определения логарифмов, мы вправе сразу записать, что х − 1 > 0.

Это требование должно выполняться независимо от всяких модулей и других преобразований, которые мы выполняем в процессе решения. Следовательно, второй вариант рассматривать бессмысленно — он никогда не возникнет. Даже если при решении этой ветки неравенства мы получим какие-то числа, они все равно не войдут в окончательный ответ.

В общем, можно считать, что |х − 1| = х − 1. Тогда наше уравнение перепишется в следующем виде:

Теперь мы буквально в одном шаге от канонической формы логарифмического уравнения. Давайте представим единицу в следующем виде:

1 = log_{x − 1} (x− 1)¹

Кроме того, внесем множитель −4, стоящий справа, в аргумент:

log_{x − 1} 10⁻⁴ = log_{x − 1} (x− 1)

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Избавляемся от знака логарифма:

10⁻⁴ = x− 1

Но поскольку в основании стояла функция (а не простое число), дополнительно потребуем, чтобы эта функция была больше нуля и не равна единице. Получится система:

Поскольку требование х − 1 > 0 выполняется автоматически (ведь х − 1 = 10⁻⁴), одно из неравенств можно вычеркнуть из нашей системы. Второе условие также можно вычеркнуть, потому что х − 1 = 0,0001 < 1. Итого получаем:

х = 1 + 0,0001 = 1,0001

Это единственный корень, который автоматически удовлетворяет всем требованиям области определения логарифма (впрочем, все требования были отсеяны как заведомо выполненные в условиях нашей задачи).

Итак, второе уравнение:

3 log_3xx = 2 log_9xx²

Чем это уравнение принципиально отличается от предыдущего? Уже хотя бы тем, что основания логарифмов — 3х и 9х — не являются натуральными степенями друг друга. Следовательно, переход, который мы использовали в предыдущем решении, невозможен.

Давайте хотя бы избавимся от степеней. В нашем случае единственная степень стоит во втором аргументе:

3 log_3xx = 2 ∙ 2 log_9x|x|

Впрочем, знак модуля можно убрать, ведь переменная х стоит еще и в основании, т.е. х > 0 ⇒ |х| = х. Перепишем наше логарифмическое уравнение:

3 log_3xx = 4 log_9xx

Получили логарифмы, в которых одинаковые аргументы, но разные основания. Как поступить дальше? Вариантов тут множество, но мы рассмотрим лишь два из них, которые наиболее логичны, а самое главное — это быстрые и понятные приемы для большинства учеников.

Первый вариант мы уже рассматривали: в любой непонятной ситуации переводите логарифмы с переменным основанием к какому-нибудь постоянному основанию. Например, к двойке. Формула перехода проста:

Разумеется, в роли переменной с должно выступать нормальное число: 1 ≠ c > 0. Пусть в нашем случае с = 2. Теперь перед нами обычное дробно-рациональное уравнение. Собираем все элементы слева:

Очевидно, что множитель log₂x лучше вынести, поскольку он присутствует и в первой, и во второй дроби.

Дальше все просто. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

log₂x = 0;

х = 1;

3 log₂ 9х = 4 log₂ 3x

Разбиваем каждый log на два слагаемых:

log₂ 9х = log₂ 9 + log₂x = 2 log₂ 3 + log₂ x;

log₂ 3x = log₂ 3 + log₂x

Перепишем обе части равенства с учетом этих фактов:

3 (2 log₂ 3 + log₂x) = 4 (log₂ 3 + log₂x)

6 log₂ 3 + 3 log₂x = 4 log₂ 3 + 4 log₂x

2 log₂ 3 = log₂x

Теперь осталось внести двойку под знак логарифма (она превратится в степень: 3² = 9):

log₂ 9 = log₂x

Перед нами классическая каноническая форма, избавляемся от знака логарифма и получаем:

х = 9

Как и предполагалось, этот корень оказался больше нуля. Осталось проверить область определения. Посмотрим на основания:

3х ≠ 1

9х ≠ 1

Но корень x = 9 удовлетворяет этим требованиям. Следовательно, он является окончательным решением.

Вывод из данного решения просто: не пугайтесь длинных выкладок! Просто в самом начале мы выбрали новое основание наугад — и это существенно усложнило процесс.

Но тогда возникает вопрос: какое же основание является оптимальным? Об этом я расскажу во втором способе.

Давайте вернемся к нашему исходному уравнению:

3 log_3xx = 2 log_9xx²

3 log_3xx = 2 ∙ 2 log_9x |x|

х > 0 ⇒ |х| = х

3 log_3xx = 4 log_9xx

Теперь немного подумаем: какое число или функция будет оптимальным основанием? Очевидно, что лучшим вариантом будет с = х — то, что уже стоит в аргументах. В этом случае формула log_ab = log_cb/log_ca примет вид:

Другими словами, выражение просто переворачивается. При этом аргумент и основание меняется местами.

Эта формула очень полезна и очень часто применяется при решении сложных логарифмических уравнений. Однако при использовании этой формулы возникает один очень серьезный подводный камень. Если вместо основания мы подставляем переменную х, то на нее накладываются ограничения, которых ранее не наблюдалось:

0 < х ≠ 1

Такого ограничения в исходном уравнении не было. Поэтому следует отдельно проверить случай, когда х = 1. Подставим это значение в наше уравнение:

3 log₃ 1 = 4 log₉ 1

0 = 0

Получаем верное числовое равенство. Следовательно, х = 1 является корнем. Точно такой же корень мы нашли в предыдущем методе в самом начале решения.

А вот теперь, когда мы отдельно рассмотрели этот частный случай, смело полагаем, что х ≠ 1. Тогда наше логарифмическое уравнение перепишется в следующем виде:

3 log_x 9x = 4 log_x 3x

Раскладываем оба логарифма по той же формуле, что и раньше. При этом заметим, что log_xx = 1:

3 (log_x 9 + log_xx) = 4 (log_x 3 + log_xx)

3 log_x 9 + 3 = 4 log_x 3 + 4

3 log_x 3² − 4 log_x 3 = 4 − 3

2 log_x 3 = 1

Вот мы и пришли к канонической форме:

log_x 9 = log_xx¹

x = 9

Получили второй корень. Он удовлетворяет требованию х ≠ 1. Следовательно, х = 9 наравне с х = 1 является окончательным ответом.

Как видим, объем выкладок немножко сократился. Но при решении реального логарифмического уравнения количество действий будет намного меньше еще и потому, что от вас не требуется столь подробно расписывать каждый шаг.

Ключевое правило сегодняшнего урока состоит в следующем: если в задаче присутствует четная степень, из которой извлекают корень такой же степени, то на выходе мы получи модуль. Однако этот модуль можно убрать, если обратить внимание на область определения логарифмов.

Но будьте внимательны: большинство учеников после этого урока считают, что им все понятно. Но при решении реальных задач они не могут воспроизвести всю логическую цепочку. В результате уравнение обрастает лишними корнями, а ответ получается неправильным.

Поэтому обязательно практикуйтесь: скачивайте задачи для самостоятельной работы, решайте их и сравнивайте с ответами. А у меня на сегодня все.:)

Смотрите также:

1. Логарифмические уравнения: несколько видеоуроков по теме
2. Квадратные уравнения относительно логарифма
3. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №2
5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
6. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции

www.berdov.com

Таблица логарифмов, формулы и примеры

Определения и таблица логарифмов

Иногда при расчетах необходимо знать значения логарифмов некоторых величин, но их нельзя вычислить точно. Было составлено ряд таблиц для упрощения вычислений.

Таблица натуральных логарифмов

Единицы Десятки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	–	0	0,6931	1,0986	1,3863	1,6094	1,7918	1,9459	2,0794	2,1972
1	2,3026	2,3979	2,4849	2,5649	2,6391	2,7081	2,7726	2,8332	2,8904	2,9444
2	2,9957	3,0445	3,091	3,1355	3,1781	3,2189	3,2581	3,2958	3,3322	3,3673
3	3,4012	3,434	3,4657	3,4965	3,5264	3,5553	3,5835	3,6109	3,6376	3,6636
4	3,6889	3,7136	3,7377	3,7612	3,7842	3,8067	3,8286	3,8501	3,8712	3,8918
5	3,912	3,9318	3,9512	3,9703	3,989	4,0073	4,0254	4,0431	4,0604	4,0775
6	4,0943	4,1109	4,1271	4,1431	4,1589	4,1744	4,1897	4,2047	4,2195	4,2341
7	4,2485	4,2627	4,2767	4,2905	4,3041	4,3175	4,3307	4,3438	4,3567	4,3694
8	4,382	4,3944	4,4067	4,4188	4,4308	4,4427	4,4543	4,4659	4,4773	4,4886
9	4,4998	4,5109	4,5218	4,5326	4,5433	4,5539	4,5643	4,5747	4,5850	4,5951
10	4,6052	4,6151	4,625	4,6347	4,6444	4,654	4,6634	4,6728	4,6821	4,6913

Таблица и формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным

Если известен натуральный логарифм некоторого числа , то десятичный логарифм этого числа, согласно свойствам логарифма, будет равен

   

где .

Итак, десятичный логарифм числа равен произведению натурального логарифма этого же числа и числа .

Десятки Единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,0000	4,3430	8,6859	13,0288	17,3718	21,7147	26,0577	30,4006	34,7436	39,0865
1	0,4343	4,7772	9,1202	13,4631	17,8061	22,1490	26,4920	30,8349	35,1779	39,5208
2	0,8686	5,2115	9,5545	13,8974	18,2404	22,5833	26,9263	31,2692	35,6122	39,9551
3	1,3029	5,6458	9,9888	14,3317	18,6747	23,0176	27,3606	31,7035	36,0464	40,3894
4	1,7372	6,0801	10,4231	14,7660	19,1090	23,4519	27,7948	32,1378	36,4807	40,8237
5	2,1715	6,5144	10,8574	15,2003	19,5433	23,8862	28,2291	32,5721	36,9150	41,2580
6	2,6058	6,9487	11,2917	15,6346	19,9775	24,3205	28,6634	33,0064	37,3493	41,6923
7	3,0401	7,3830	11,7260	16,0689	20,4118	24,7548	29,0977	33,4407	37,7836	42,1266
8	3,4744	7,8173	12,1602	16,5032	20,8461	25,1891	29,5320	33,8750	38,2179	42,5609
9	3,9086	8.2516	12,5945	16,9375	21,2804	25,6234	29,9663	34,3093	38,6522	42,9952

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

Пусть известно значение десятичного логарифма некоторого положительного числа , тогда натуральный логарифм этого числа можно вычислить по формуле

   

то есть натуральный логарифм числа равен произведению десятичного логарифма этого числа и числа, обратного к числу :

   

Десятки Единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,0000	23,026	46,052	69,078	92,103	115,129	138,155	161,181	184,207	207,233
1	2,3026	25,328	48,354	71,380	94,406	117,431	140,458	163,484	186,509	209,535
2	4,6052	27,631	50,657	73,683	96,709	119,734	142,760	165,786	188,812	211,838
3	6,9078	29,934	52,959	75,985	99,011	122,037	145,062	166,089	191,115	214,140
4	9,2103	32,236	55,262	78,288	101,314	124,340	147,365	170,391	193,417	216,443
5	11,513	34,539	57,565	80,590	103,616	126,642	149,668	172,694	195,720	218,746
6	13,816	36,841	59,867	82,893	105,919	128,945	151,971	174,997	198,022	221,048
7	16,118	39,144	62,170	85,196	108,221	131,247	154,273	177,299	200,325	223,351
8	18,421	41,447	64,472	87,498	110,524	133,550	156,576	179,602	202,627	225,653
9	20,723	43,749	66,775	89,801	112,827	135,853	158,878	181,904	204,930	227,956

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com