Урок 24. логарифмы. свойства логарифмов — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 24. Логарифм. Свойства логарифмов.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Определение логарифма.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Свойства логарифмов.

Глоссарий по теме

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести

чтобы получить .

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов. При

, справедливы равенства:

— логарифм произведения: ;

— логарифм частного: ;

— логарифм степени: .

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение имеет корень 5, т. к. значит , В уравнении

число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.

Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.

Дадим определение логарифма.

Логарифмом положительного числа по основанию ,

называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Т. е. логарифм числа по основанию

, есть некоторое число такое, что .

Пример 1.

, т. к. выполнены все условия определения:

1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3)

.

Пример 2.

, т. к. выполнены все условия определения:

1) ; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) .

Это действие называется логарифмированием.

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Существует краткая запись определения логарифма:

так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.

Пример 3.

(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)

Пример 4.

(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)

Решим несколько задач с использованием определения логарифма.

Задача 1. Вычислить

.

Решение. Пусть тогда по определению логарифма Приведем левую и правую части к одному основанию. 27 = 3³, 81 = 3⁴, значит . Отсюда следует, что

Задача 2. Вычислить .

Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) , 2) и основным логарифмическим тождеством: .

.

Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.

1. Логарифм произведения.

Логарифм произведения чисел по основанию равен сумме логарифма по основанию и логарифма по основанию .

Пример 5.

2. Логарифм частного.

Логарифм частного чисел по основанию равен разности логарифма по основанию и логарифма по основанию .

Пример 6.

3. Логарифм степени.

Логарифм числа по основанию равен произведению показателя и логарифма по основанию .

Пример 7.

Важно! Свойства выполняются при ,

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите: .

Решение:

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

1. 
2. ;
3. .

Представим в виде степени с рациональным показателем: . Далее воспользуемся свойством нахождения логарифма степени: . Вспоминаем таблицу квадратов: , значит , . Ответ: .

№ 2. Вычислите

1. 
2. 
3. 
4. 

Решение:

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

1. ;
2. ;
3. ;
4. 
5. .
6. 

.

1. 
2. 

Решебник Примеры для самостоятельного решения Тест Логарифмы Логарифм числа и его преобразование

Все вопросы и замечания просьба направлять по адресу [email protected]

Решебник

Примеры для самостоятельного решения

Тест

Логарифмы

Логарифм числа и его преобразование

Определение. Логарифмом числа по основанию называется показатель степени , в которую надо возвести основание a, чтобы получить данное число .

— любое действительное число,

> 0– логарифмируемое число,

— основание логарифма, > 0 ,  1

При любом > 0 ,  1 и любых > 0, > 0 верны следующие равенства:

1.

2.

3.

4. для любого kR

5. для любого

6.

7.

8. (формула перехода к новому основанию)

9. , b  1

10. , b  1.

Замечание. Отметим важную особенность формул 1, 2, 3, 4, 5. Их правые и левые части, взятые по отдельности, определены на разных множествах значений переменных и . В формуле 1 левая часть определена лишь при > 0, а правая – для всех  R. В формулах 2 и 3 левые части определены для всех пар значений и одного знака (то есть при ), а правые – лишь для > 0 и > 0. В формуле 4 при k = 2n, где nN, n  0, левая часть определена для всех  0, правая же – только для > 0. В формуле 5 при k = 2n левая часть определена для всех и , а правая для . Отличие множеств определения следует учитывать при применении этих формул для преобразования уравнений. Оно может привести как к потере решений, так и к появлению посторонних значений неизвестных. При решении примеров на это следует обращать внимание.

Решебник

Теория

Примеры для самостоятельного решения

Тест

Пример1. Вычислить: а) ; б) ; в)

Решение.

Пример 2. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Пример 3. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение.

Пример 4. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение:

Пример 5. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение.

Пример 6. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение:

Пример 7. Вычислить: а) ; б) ;

Решение:

Пример 8. Вычислить: а) ; б) .

Решение.

Пример 9. Вычислить: а) ; б) .

Решение.

Пример 10. Вычислить: .

Решение.

Пример 11. Вычислить: .

Решение:

Пример 12. Вычислить: .

Решение:

Пример 13. Вычислить: .

Решение:

Пример 14. Вычислить: .

Решение.

Пример 15. Вычислить: .

Решение:

Пример 16. Выразить через логарифмы по основанию 2: а) ; б) ; в) .

Решение.

Пример 17. Вычислить: .

Решение.

.	для любого kR (формула перехода к новому основанию)

Пример 18. Вычислить: а) ; б) .

Решение:

Пример 19. Вычислить: .

Решение:

Пример 20. Вычислить: .

Решение.

.	, b  1 для любого kR

Пример 21. Вычислить: .

Решение.

Пример 22. Вычислить: .

Решение.

.

, b  1

Пример 23.Вычислить выражение при условии .

Решение.

Для закрепления пройденного материала рекомендуем пройти следующий тест.

Примеры для самостоятельного решения

Теория

Решебник

Тест
Вычислить:
1. а) ,

б) ,

в) .

Решение.

Ответ.

2. а) ,

б) ,

в) .

Решение.

Ответ.

3. а) ,

б) ,

в) .

Решение.

Ответ.

4. а) ,

б) ,

в) .

Решение.

Ответ.

5. а) ,

б) ,

в) .

Решение.

Ответ.

6. а) ,

б) ,

в) .

Решение.

Ответ.

7. а) ,

б) .

Решение.

Ответ.

8. а) ,

б) .

Решение.

Ответ.

9. а) ,

б) .

Решение.

Ответ.

10. .

Решение.

Ответ.

11. Выразить через логарифмы по основанию 3:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Решение.

Ответ.

Вычислить:
12. а) ,

б) .

Решение.

Ответ.

13. .

Решение.

Ответ.

14. .

Решение.

Ответ.

15. .

Решение.

Ответ.

16. .

Решение.

Ответ.

17. .

Решение.

Ответ.

18. .

Решение.

Ответ.

19. .

Решение.

Ответ.

20. .

Решение.

Ответ.

21. .

Решение.

Ответ.
Теория

Решебник

Примеры для самостоятельного решения

Тест

Решение

Теория

Решебник

Примеры для самостоятельного решения

Тест
1. а) .

б) .

в) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

2. а) .

б) .

в) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

3. а) .

б) .

в) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

4. а) .

б) .

в) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

5. а) .

б) .

в) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

6. а) .

б) .

в) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

7. а).

б) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения
8. а).

б) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения
9.а) .

б) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения
10. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

11.а) .

б) .

в) .

г) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения
12. а) .

б) .

назад к условию задачи для самостоятельного решения
13.

.

назад к условию задачи для самостоятельного решения

14. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

15. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

16. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

17. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

18. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

19. .

.

назад к условию задачи для самостоятельного решения

20. .

.

назад к условию задачи для самостоятельного решения

21. .

назад к условию задачи для самостоятельного решения

Теория

Решебник

Примеры для самостоятельного решения

Тест

Ответы

1. а) 6, б) 4, в) –2. назад 2. а) –1, б) –9, в) -4. назад 3. а) 2, б) , в) 1,5. назад 4. а) 9, б)25, в) 9. назад 5. а) 9, б) 49, в) . назад 6. а) , б) 3,5, в). назад 7. а) 1, б) 0. назад 8. а) 1, б) 2. назад 9. а) 2, б) 2. назад 10. 1. назад

11. а) , б) , в) , г) . назад 12. а) 5, б)2. назад 13. 890. назад 14. 24, назад 15. . назад 16. 2. назад 17. 5. назад 18. . назад 19. 4,5 назад 20. . назад 21. 0. назад

Теория

Решебник

Примеры для самостоятельного решения

Тест

Решение логарифмических уравнений. 10-й класс

Класс: 10.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Цели:

• обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме. Создать условия контроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;
• способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора;
• содействовать воспитанию интереса, математической активности, умению общаться, общей культуры.

Тип занятия: систематизация и обобщение знаний.

Оборудование: учебники, медиапроектор, пособия по математике, листы учета знаний.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа. Учебник под редакцией А.Б. Жижченко 10 класс
2. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа, 10-11. — М., 2005.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. — М., 1982.
4. Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10-11 классов. — М., 1998.
5. Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ-2009. Легион, 2009.
6. Клово А.Г. Математика ЕГЭ-2010 М., 2010.

Ход урока

Потому-то, словно пена
Опадают наши рифмы
И величие степенно
Отступает в логарифмы
Борис Слуцкий

I. Подготовка учащихся к работе. (Ознакомление с темой урока) 

Вступительное слово учителя. Поистине безграничны приложения логарифмов и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям». Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…» И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях -взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем, каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

II. Математический диктант по основным понятиям необходимым для решения уравнений.

(Проверка на слайде) 

1. Равенство двух алгебраических выражений называется (уравнением)
2. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство называется (корнем уравнения)
3. Показатель степени, в которую надо возвести положительное и отличное от единицы число а, чтобы получить число в называется (логарифмом)
4. Десятичным логарифмом называют логарифм с основанием равным (10)
5. Натуральный логарифм, это логарифм с основанием (е)
6. Логарифм единицы по основанию а равен (0)
7. Логарифм а по основанию а равен (1)

III. Систематизация теоретического материала.

1) На доске записаны уравнения, решите их и сопоставьте им правильный ответ.

2) Данные уравнения расположить согласно способам и приемам решения.

Решение по определению	Применение свойств логарифмов	Переход к одному основанию	Логарифмирование обеих частей	Графическое решение уравнения
№	№	№	№	№

3) Найти ошибку в записи и прокомментировать ее (устные комментарии)

-2х=26
Х=-13

Ответ: -13.

4) Тестовое задание на нахождение идеи решения уравнения. Необходимо сопоставить уравнение, прием и формулу необходимую для решения уравнения.

Ответ:

1	в	*
2	г	•
3	а	**
4	б	Δ

IV. Практическая работа.

1) Работа по вариантам, с программированными заданиями. Необходимо решить уравнение и выбрать правильный ответ. У доски работаю четверо учащихся, в итоге появляется определенный набор цифр.

Ответ: 09. 05. 1945 года.

2) Решить систему уравнений у доски с комментариями.

 

V. Самостоятельная работа по уровням.

Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий. 

1 уровень (1б)	2 уровень (2б)	3 уровень (3б)

VI. Подведение итогов урока.

• подсчет баллов набранных за урок (работа с листами учета знаний)
• определение результативности работы учащихся
• выставление оценок.

VII. Домашнее задание:

Подготовится к контрольной работе.

Приложение.

Урок 24. логарифмы. свойства логарифмов — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

ВАЖНО!

Логарифмы. Свойства логарифмов

При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение $2^{x}$ = 32 имеет корень 5, т. к. 32 = $2^{5}$, значит $2^{x} = 2^{5}$.

В уравнении $2^{x}$^{= 5 число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень, это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.}

Дадим определение логарифма.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, $a \gt 0, a\neq1$ называется показатель степени, в которую надо возвести a чтобы получить b.

$log_a b=c \Leftrightarrow $

$b \gt 0, a \gt 0,a\neq1, a^{c} = b$

Т. е. логарифм числа b по основанию a, $b \gt 0, a \gt 0,a\neq1$ есть некоторое число c такое, что $a^{c} = b$

Пример 1.

$\log_{g}{216}=3,$ т. к. выполнены все условия определения:

1) 216 $\gt$ 0; 2) 6 $\gt$ 0, 6 $\neq$ 1; 3) $6^{3}$ = 216

Пример 2.

$\log_{2}{\frac{1}{8}}=-3,$ , т. к. выполнены все условия определения:

$1) \frac{1}{8} \gt 0; 2) 2 \gt 0, $2 $\neq$ 1$; 3) 2^{-3} = \frac{1}{8} .$

Это действие называется логарифмированием.

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Существует краткая запись определения логарифма:

$a^{\log_{a}{b}} = b$, где b $\gt$ 0,a $\gt$ 0, a $\neq$ 1

так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.

Пример 3.

$4^{\log_{4}{5}}=5$

(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)

Пример 4.

$\ (\frac{1}{3}) ^{\log_{\frac{1}{3}}{6}}=6$

(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6) Для более сложных вычислений нам понадобятся свойства логарифмов.

1. Логарифм произведения.

$\log_{a}{bc}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}$

Логарифм произведения чисел b и c по основанию a равен сумме логарифма b по основанию a и логарифма c по основанию a.

Пример 5.

$\log_{8}{2}+\log_{8}{32}=\log_{8}{(2\cdot32)}=\log_{8}{64}=2$

2. Логарифм частного.

$\log_{a}{(\frac{b}{c})}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c}$

Логарифм частного чисел b и c по основанию a равен разности логарифма b по основанию a и логарифма c по основанию a.

Пример 6.

$\log_{13}{26}-\log_{13}{2}=\log_{13}{(\frac{26}{2})}=\log_{13}{13}=1$

3. Логарифм степени.

$\log_{a}{b^{r}}=r\cdot \log_{a}{b}$

Логарифм числа b в степени r по основанию a равен произведению показателя r и логарифма b по основанию a.

Пример 7.

$\log_{a}{5^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{3}\log_{5}{5}=\frac{1}{3}$

Важно! Свойства выполняются при $b \gt 0, c \gt 0, a \gt 0, a\neq1.$