Логарифмы с дробями: Действия с логарифмами. Набиваем руку!

Содержание

Действия с логарифмами. Набиваем руку!

        В данном уроке мы будем учиться работать с логарифмом на уже весьма и весьма приличном уровне. Поэтому для успешного решения примеров этого урока рекомендую погулять по ссылкам:

        Что такое логарифм?

        Действия с логарифмами. Постигаем азы!

        Почитайте, пока не поздно.) Почитали? Всё понятно! Отлично! Тогда движемся дальше.)

        Теперь настал черёд завязывания более крепкой дружбы с логарифмами и, соответственно, решения серьёзных (в том числе сложных и нестандартных) примеров.

        Чтобы не скакать из темы в тему, прежде всего я ещё разочек выпишу все основные свойства и формулы логарифмов. Вот они:

       

       Это основной набор формул, необходимых для успешной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности. Иногда в школе (и в некоторых продвинутых учебниках) дают больше формул, но в целом приведённого перечня для решения большей части примеров оказывается вполне достаточно. Эти формулы надо помнить! Но, ещё раз повторяю, не просто помнить, а уметь применять! Причём в обоих направлениях — как слева направо, так и справа налево. Вроде бы это всё и так понятно и очевидно, но… дальше всё поймёте.) Как надо помнить формулы, я вам вряд ли смогу подсказать, а вот как уметь применять — подробно расскажу и покажу в этом уроке.

        Итак, продолжаем наши игры!

 

Все формулы. Все степени. Много дробей! Двоюродные и троюродные братья.

        Ну что ж, теперь приступаем к работе со всеми формулами (кроме последней формулы перехода к новому основанию). Используем все свойства степеней и активно включаем в работу степени с отрицательными и дробными показателями. Поди сообрази, что, например,

        0,04 = 5-2.

        Или

        

        Это уже не родные, а двоюродные и троюродные братья по степени получаются…)

        Посему, если есть пробелы в степенях, то для начала милости прошу сюда:

        Что такое степень. Свойства степеней.

        Ну, а для тех, кто со степенями давно на "ты" - продолжаем.)

        Пример 1

        

        За что зацепиться? Хорошо, если сразу догадались, а если нет? Если нет, значит, перечитываем первый практический совет прошлого урока —

переходим к обыкновенным дробям!

        У нас в одну кучу намешаны десятичная дробь и смешанное число. Вот и перейдём к единообразию — к обычным дробям. А там, глядишь, и забрезжит свет в конце тоннеля…

        Пишем:

        

        

        

        Так, уже кое-чего проясняется: 49 с семёркой родня, а 100 — с десяткой:

        49 = 72

        100 = 102

        Стало быть, по свойствам степеней можно записать:

        

        Ну, вот и спасительный лучик света! Выносим двойку за логарифм и получаем:

        

        Уже всё стало выглядеть гораздо симпатичнее. Всё бы ничего, только основание 7/10 и аргумент 10/7 у нас записаны кверху ногами. Что делать? Да свойства степеней вспомнить! На этот раз — с отрицательным показателем:

        

        И снова выносим показатель степени (минус единицу) за знак логарифма, переворачиваем аргумент и получаем:

        

        Ответ: -2

        Готово дело.) Теперь пробуем самостоятельно:

        

        Ответ: -1

 

        А теперь вовлекаем в наш увлекательный процесс корни. То есть, не что иное, как… степени с дробными показателями. Да-да!

        Пример 2

        

        Надеюсь, вы не забыли, что lg — это просто логарифм по основанию 10? Или десятичный логарифм? Пример достаточно простой, без заморочек. Надо всего лишь вспомнить, что корень кубический из 7000 — это 70001/3. С семёркой — аналогично. А дальше по формуле разности логарифмов да по формуле деления степеней. Получим:

        

        Ответ: 1

 

        Вот так вот. Здесь мы снова перешли к обычным дробям. Но не от десятичных дробей или смешанных чисел, а от корней. В этом безобидном примере вполне можно было бы и без дробей обойтись, работать напрямую с корнями, но в более сложных примерах корни могут вконец запутать. Как, например, вот в таком примерчике:

 

        Пример 3

        

        С чего начать? И тройка есть, и девятка. Правда, три в квадрате — это и будет девятка… Но в примере ещё и корни разных степеней смешались в кучу — квадратный и кубический! Ужас… Но паниковать и сдаваться рано. Перейдём-ка от корней к степеням с дробными показателями! Распишем девятку как 3

2. А там, того гляди, всё и наладится.)

        Верные мысли! Итак, по свойствам степеней для основания и для аргумента мы можем записать:

        

        

        Вот всё и прояснилось.) Оба числа — и основание, и аргумент — оказались… родственниками! По тройке.) Только совсем уж дальними. Даже не троюродными, а десятиюродными братьями: основание — это три в степени 3/2, а аргумент — та же тройка, но в степени 7/3… Тем не менее факт остаётся фактом — родство по степени (хоть и очень дальнее) установлено. Вот и все формулы и свойства заработали! Выносим наши дробные показатели из за знак логарифма и аккуратно считаем:

        

        Вот так. Здесь уже, конечно, немножко повозиться со степенями пришлось. А что делать… Так что не стесняемся переходить от корней к дробям! И всё получится. Обязательно.)

        Вот вам и очередные практические советы:

        При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

         При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

       

        Что ж, пришла пора разгрызть и какой-нибудь особо крепкий орешек. Как, например, вот такой примерчик:

        Пример 4

        Вычислить:

        Опять же, с чего начинать? Если имеете хоть малейшее представление — флаг вам в руки. Вперёд и с песнями, как говорится.) Если понятия не имеете — подключаем зелёные практические советы и размышляем синим цветом. Примерно так:

        "Ух, наворотили… Кошмар! Напролом явно не решается, надо сначала как-то преобразовывать пример. Но — как? Будем вспоминать практические советы.

        1. Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

        Где здесь дроби? Дробей не видно. Ладно, этот пункт пока пропустим. Что там у нас ещё есть? Вот это:

        2. Степени популярных чисел надо знать. В лицо! При наличии в примере разных чисел пытаемся найти «братьев по степени».

        Так, кое-какая зацепочка уже появилась… 121 — это 11 в квадрате. Ещё можно расписать 125 как 5 в кубе и 9 как 3 в квадрате, но 5 и 3 — никакие не братья и не сёстры по степени. Пригодится или нет — пока непонятно, но к сведению примем. Поехали дальше.)

        3. Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот — любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

        Коэффициентов в нашем примере нет, логарифмы и так чистые. Отметаем этот совет. Что у нас там ещё припасено?

        4. Всегда прикидываем, нельзя исходное выражение преобразовать под какую-нибудь готовую формулу?

        Вот и прикидываем: на что похож внешний вид нашего примера? Ну же? Ну, конечно! На самую первую формулу — основное логарифмическое тождество! Единственная формула, где логарифм тусуется в показателе степени.

        

        С ним мы пока что ни разу не работали. Что ж, поработаем! Попробуем преобразовать наш пример под эту формулу: других вариантов как-то выкрутиться у нас просто нет!

        Но в формуле в показателе стоит один логарифм! А у нас — сумма. Что нам мешает сложить логарифмы по соответствующей формуле суммы? Основания мешают! Они… они — разные! Ну-ка, может, ещё не все практические советы у нас использованы? Вспоминаем:

        5. При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями. При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

        Так, ну дробей в нашем примере нету, это видно. А вот корень в основании — преобразуем. Вот так:

        А во втором логарифме в основании тоже стоит 11, только в квадрате… Уже кое-какие проблески! Выпишу-ка я показатель отдельно, дабы не запутаться… С учётом наших размышлений.)

        

        Уже лучше. Теперь выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами (не забыть бы перевернуть…):

        

        Великолепно! Основания логарифмов выровнялись! Только вот новая беда… Коэффициенты появились… Хотелось бы сложить логарифмы, ан нет, не канает… Так стоп! Чего же я туплю-то! Можно же их по другой формуле спрятать вовнутрь!

        

        Ну вот. Уже идеально для формулы сложения! Только внутри логарифмов что-то несусветное стало твориться. Не беда, перейдём к маленьким числам: зря, что ли, мы 125 и 9 в виде степеней пятёрки и тройки расписывали?

        

        Пока всё чин-чинарём. Теперь, по правилам действий со степенями, можно записать:

        

        Вот, практически, и всё. Досчитываем наш показатель по формуле сложения логарифмов:

        

        Пример становится всё лучше и лучше! Возвращаемся к нашему исходному примеру, вставляем в него наш преобразованный показатель и получаем ответ!

        

        Йес!!! Ничего себе, примерчик, однако ж…"

        Ответ: 75

 

        Вот такой пример. Запутанный, да, я не спорю. И зачем я так детально его разобрал? С практическими советами, мыслями… Мог бы и в пару строк уложиться… Дело в том, что разбор одного конкретного примера — занятие бесполезное. Не попадётся он. А вот разъяснить на конкретном примере, как именно надо выкручиваться в любом (да-да, любом!) задании — совсем другое дело!

        Главное в этом разборе — подход. Мы применяем весь наш арсенал инструментов к конкретному примеру. Пробуем поочерёдно все инструменты, как ключики к замку. Что-то срабатывает, а что-то нет. Это не страшно и не смертельно. Не подошло — пробуем что-то другое! Что-то обязательно подойдёт! Сложные и запутанные задания именно так и решаются. И никак иначе.)

        Конечно, с опытом всё будет делаться гораздо короче и какие-то шаги будут в уме делаться и вообще пропускаться. За ненадобностью. Тут практика рулит. Тренироваться и решать надо. Используя изложенный здесь подход. И тогда всё получится. Обязательно!

 

Формула перехода к новому основанию. Немного приколов… И немного формул сокращённого умножения.

        Поднимаемся ещё на ступень повыше. Запускаем теперь в дело самую последнюю формулу из нашего списка — это формула перехода к новому основанию. Вот она:

        

        В чём суть этой формулы, когда она применяется и как именно она работает? Объясняю по пунктам.

        Формула эта применяется, когда основания логарифмов — разные. Но не просто разные, а ещё и не родственные по степени! Которые друг в друга через простую степень не превращаются. Скажем, 2 и 3. Или 5 и 7. Заметьте, что нам уже встречались разные основания у логарифмов в одном и том же примере, но там или всё и так славненько срасталось, или переход был через степени. Например, если основания логарифмов 1/125 и 25, то можно догадаться, что это родня! По пятёрке. Ибо 1/125 = 5

-3, а 25 = 52. Не так очевидно, конечно, но и мы уже всё-таки на серьёзном уровне с вами. А дальше дело техники: выносим показатели за логарифмы и — вперёд.

        Но если основания не родственные, а без выравнивания оснований в примере никак, то выход только один — работать по этой формуле.

        Запомнить её очень легко. По шагам:

        1) Слева пишем логарифм, основание которого нам не нравится. Справа рисуем черту дроби.

        2) В числитель пишем логарифм числа b, но уже по новому основанию k. Какому именно основанию? А какому угодно! В том-то весь и фокус! Естественно, тому, которое нам удобнее. Кроме единицы, разумеется.)

        3) В знаменатель пишем логарифм старого основания a по тому же новому основанию k.

        Обратите внимание на саму структуру формулы: слева в основании буквы k вообще нет! В этом-то и вся фишка! Это означает, что новому логарифму мы можем выбрать

какое угодно основание. Обычно выбирают то, которое нам удобно в конкретном примере. Если, скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один по основанию 7, то его и менять будем. На тройку.

        А в знаменатель пишем логарифм старого основания. Так уже математика требует. В результате логарифм со старым основанием исчезает из примера. Вот и всё. Вот и вся суть формулы перехода. Ну что, посмотрим на формулу перехода в действии?

        Пример 5

        Вычислить:

        Что тут можно увидеть? Ну, во-первых, разные основания. Причём не родственные: из четвёрки пятёрку простым возведением в степень никак не получить. Во-вторых, наблюдаем произведение логарифмов. Такой формулы в наших свойствах нету. Не путаем с логарифмом произведения! Или с суммой логарифмов… Что же делать? Первым делом перейдём к одному основанию. Что-то же делать всё равно надо! К какому основанию пойдём? Ну, ясное дело, что не к 30 или 1,234. У нас на выбор два варианта — либо к четвёрке, либо к пятёрке. В данном примере абсолютно без разницы, к чему переходить. Давайте к четвёрке пойдём: всё-таки число поменьше.) Итак, первый логарифм не трогаем (у него и так основание четыре), а вот второй логарифм превращаем по формуле перехода в дробь:

        

        Всё. Логарифм по основанию 5 из примера благополучно исчез, и в основаниях остались только четвёрки. Вставляем полученную дробь в наш пример, упрощаем и считаем:

        Ответ: 2

        Вот так. Откуда же я узнал, что надо переходить к другому основанию? Ведь я мог и что-то ещё замутить. Скажем, log516 расписать как

        log516 = log524 = 4log52

        и дальше как-то ещё выкручиваться. Да. Можно. Но с богатым опытом приходит уже так называемое математическое чутьё на формулы и преобразования.) Когда в уме наперёд уже умеешь просчитывать, к чему может привести тот или иной манёвр и не идёшь по заведомо негодному пути.

        Вот вам очередной практический совет на данную тему.

        Если перед вами сложное логарифмическое выражение, в котором основания логарифмов разные, то первым делом пробуем сделать их одинаковыми. Или через степени или по формуле перехода. Очень часто этот манёвр срабатывает проясняет дальнейшую ситуацию.

        А теперь рассмотрим один фокус на формулу перехода, который частенько любят проделывать составители примеров. По-другому эту фишку даже и не назовёшь. Настолько элементарна, а в тупик может поставить даже отличника!

        Пример 6

        Вычислить:

        

        Основания уже одинаковые, но формулы деления логарифмов не существует, да… Можно, конечно, сообразить, что 125 = 53 и старым добрым способом, но что делать, если внутри логарифмов сидит что-нибудь более навороченное? Вот и впадают в ступор…

        Здесь же достаточно всего лишь разглядеть формулу перехода к новому основанию. Вернее, не просто формулу, а её правую часть! И, если запустить эту формулу справа налево, то сразу получим:

        И все дела! Да-да! Это ответ.)

        Ответ: 3

        Частенько эту фишку применяют с какими-нибудь совершенно дикими основаниями. На испуг берут, типа.) Как, например, вот такое задание:

        Пример 7

        Вычислить:

        В основании число "пи", как тут не испугаться… Однако, если догадаться, что наша ужасная дробь — всего лишь правая часть формулы перехода к новому основанию и сработать справа налево, то получим всего-навсего:

        Вот и всё. И нету больше никакого "пи".) А уж сложить парочку логарифмов с одинаковыми основаниями — пустяшное дело. Не пример, а одно удовольствие:

        log1236 + log124 = log12144 = 2

        Ответ: 2

        Вот такой вот приёмчик. Теперь, надеюсь, не растеряетесь, в случае чего.)

        Рассмотрим ещё одну распространённую фишку с формулой перехода. Вернее, её частный случай.

        Что произойдёт, если за новое основание мы возьмём аргумент логарифма? Давайте посмотрим!

        Во как! Оказывается, если поменять местами a и b, то наш новый логарифм станет всего лишь обратным к старому! Весьма и весьма полезная формулка. Имеет смысл запомнить.) Решим примерчик и на эту тему:

        Пример 8

        Вычислить:

        Что делать будем? Скобки раскрывать? Можно, конечно, но пример явно намекает на более элегантное преобразование. Перейдём в логарифме по основанию 40 к основанию 2. Двойка чем-то привлекательнее, чем сорок, не находите?) Поскольку в аргументе логарифма стоит также двойка, то при переходе к основанию 2 достаточно просто перевернуть этот логарифм. И все дела.)

        Получим:

        И что дальше? Куда пристегнуть тройку? А дальше новый фокус! Дело всё в том, что мы не можем напрямую сложить логарифм и число. Но зато логарифмы между собой — запросто! Как выкрутимся? А сделаем-ка из тройки… логарифм! Да-да! Для этого сначала выберем ему основание. Вариантов выбора много, но я предлагаю выбрать 2. Думаю, возражений не будет?)

        А дальше пишем вот такое простое равенство:

        3 = log223

        Всё легко и просто: тройка уходит показателем в степень нашего выбранного основания. Сама цепочка превращений выглядит вот так:

        По этапам:

        1) Вместо тройки пишем степень с выбранным основанием 2 и показателем, равным этой самой тройке.

        2) Берём логарифм от этой степени по тому же самому основанию 2.

        3) Всё!

        Конечно, можно было бы и сразу тройку на логарифм заменить, благо здесь числа совсем простые, но лучше запомнить эту простую цепочку. А то придётся где-нибудь, к примеру, превращать в логарифм по основанию 11 число 1/7… А по цепочке всё совсем элементарно:

        Просекли фишку? Тогда возвращаемся к нашим баранам и дорешиваем:

        Ответ: 1

        Да… Кто бы мог подумать.)

        Конечно, в числовых выражениях этот приёмчик с превращением числа в логарифм достаточно экзотичен. Но вот в логарифмических уравнениях и неравенствах он применяется на полную катушку! Имейте его в виду.)

        Заметьте, что обычно мы стараемся поступать наоборот - упрощать всякие ужасы типа дробей, корней, синусов да логарифмов. Доводить их, по возможности, до конечного числа. А тут — наоборот, из числа делаем логарифм. Что хотим, то и творим! Так что математика — на самом деле весьма и весьма творческая наука! Во многом даже искусство.)

        Запоминаем:

        При необходимости любое число можно превратить в логарифм по любому основанию (кроме единицы, конечно).

        Осталось разобраться с совсем уж хардкорными примерами. Где и так пробуешь и сяк, но не упрощается он никак! На такие примеры есть своё особое секретное оружие.) Срабатывает безотказно. Если уметь грамотно им пользоваться, конечно. Как вам такой примерчик!

 

        Пример 9

        Вычислить:

        За что зацепиться? Все основания уже одинаковые (семёрка), но это особо не спасает. Кстати, обращаю ваше внимание на весьма и весьма частый косяк. В числителе стоят квадраты логарифмов. Именно самих логарифмов, а не их аргументов! Это означает, что вынести двойки из логарифмов наружу мы не имеем права! Не там двойки стоят… Стало быть, уже привычных нам логарифмических формул, готовых к употреблению, нету. Что же делать?

        Спокойно! Без паники! Никто и никогда не может гарантировать, что сразу влёт всё решится.) К сожалению…

        Чтобы расправиться с этим злым примером, забудем на минутку про логарифмы и плавненько переместимся в седьмой класс. Формулы сокращённого умножения не забыли, надеюсь? А теперь внимательно присматриваемся к нашему примеру. Что ещё, кроме логарифмов, в нём можно увидеть? Разность… Разность ква… Ну, конечно! Разность квадратов! Такая родная и до боли знакомая формула:

        a2b2 = (a-b)(a+b)

        Правда, в применении к логарифмам. Ну и что из этого? Ведь в формуле под буковками a и b может скрываться всё что угодно — и логарифмы, и синусы, и степени — любые выражения! Формула всё равно сработает!

        Итак, заменяем наш числитель на произведение скобок по формуле разности квадратов:

        Вот и всё встало на свои места! И все формулы заработали! Решать пример стало одно удовольствие.)

        В первых скобках (разность) получается:

Во вторых скобках (сумма) будет:

        Вставляем в пример наши промежуточные результаты, сокращаем и получаем:

Ответ: 1

        Простенько и со вкусом.{k}} b=\frac{1}{k} \cdot \log _{a} b$

8  $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$

9  $\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ - переход к новому основанию.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислить $\log _{a} \sqrt{a b}$, если $\log _{a} b=7$

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

$\log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \log _{a}(a b)=\frac{1}{2}\left(\log _{a} a+\log _{a} b\right)=\frac{1}{2}(1+7)=4$

Ответ. $\log _{a} \sqrt{a b}=4$

Больше примеров решений

Читать дальше: основное логарифмическое тождество.

Слишком сложно?

Формулы и свойства логарифмов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Десятичные логарифмы. Свойства десятичных логарифмов

Десятичный логарифм — это логарифм при основании числа 10. Например,

log10100 = 2;    log101000 = 3;    log100,01 = -2.

Десятичные логарифмы часто для краткости изображают знаком  lg  без указания основания:

log10N = lg N.

Все десятичные логарифмы обладают общими свойствами всех логарифмов, но они имеют и свои собственные свойства, не подходящие для логарифмов, не относящихся к десятичным.

Свойства десятичных логарифмов

Десятичный логарифм числа, изображённого единицей с последующими нулями, равен стольким единицам, сколько нулей в записи числа.

lg 10 = 1;   lg 100 = 2;   lg 1000 = 3; ...

lg 100 . . . 0 = n.
n нулей

Логарифм правильной десятичной дроби, изображённой единицей с предшествующими нулями, равен стольким отрицательным единицам, сколько нулей в изображении дроби (считая в том числе и  0  целых).

lg 0,1 = -1;   lg 0,01 = -2;   lg 0,001 = -3; ...

lg 0,00...01 = -n.
n нулей

Десятичный логарифм любого числа, не являющегося рациональной степенью числа  10,  представляет собой число иррациональное.

Например, числа  2,  11,  250  не являются рациональной степенью числа  10.  Поэтому логарифмами этих чисел будут иррациональные числа:

lg 2,   lg 11,   lg 250  —  иррациональные числа.

Логарифм целого числа, изображённого  n  цифрами, заключается между числами  (n - 1)  и  n.

0 &les; lg 2 < 1

2 &les; lg 234 < 3

3 &les; lg 1000 < 4

Логарифм десятичной дроби, целая часть которой содержит  n  цифр, заключается также между  (n - 1)  и  n.

0 &les; lg 2,5 < 1

Логарифм правильной десятичной дроби, содержащий до первой значащей цифры  n  нулей, считая и нуль целых, заключается между числами  -n  и  -(n - 1).

-1 &les; lg 0,1 < 0

-2 &les; lg 0,025 < -1

-3 &les; lg 0,007 < -2

Десятичный логарифм. Логарифм. Десятичный логарифм Log 1000 по основанию 10

Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Характерные признаки десятичных логарифмов.

Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Обобщенно, если

То а = 10 n , из чего получаем

lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен - п , где п - численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = - 3, lg 0,000001 =-6.

Обобщенно, если

,

То a = 10 -n и получается

lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10

lg 10

1 .

Отсюда следует,

lg 75,631 = 1 +б,

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
log 2 2 = 1 log 2 4 = 2 log 2 8 = 3 log 2 16 = 4 log 2 32 = 5 log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

[Подпись к рисунку]

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
  3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

[Подпись к рисунку]

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Этот логарифм является решением показательного уравнения . Иногда (особенно в зарубежной литературе) десятичный логарифм обозначается еще как , хотя первые два обозначения присущи и натуральному логарифму.

Первые таблицы десятичных логарифмов были опубликованы английским математиком Генри Бригсом (1561-1630) в 1617 г. (поэтому иностранные ученые часто называют десятичные логарифмы еще бригсовыми), но эти таблицы содержали ошибки. На основе таблиц (1783 г.) словенского и австрийского математики Георга Барталомея Веги (Юрий Веха или Веховец, 1754-1802) в 1857 г. немецкий астроном и геодезист Карл Бремикер (1804-1877) опубликовал первое безошибочное издание. При участии русского математика и педагога Леонтия Филипповича Магницкого (Телятин или Теляшин, 1669-1739) в 1703 г. в России были изданы первые таблицы логарифмов. Десятичные логарифмы широко применялись для вычислений.

Свойства десятичных логарифмов

Этот логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:

1. Основное логарифмическое тождество:

5. .

7. Переход к новому основанию:

Функция десятичного логарифма — это функция . График этой кривой часто называют логарифмикой .

Свойства функции y=lg x

1) Область определения: .

2) Множество значений: .2+n-72)=1/(n+9)

Десятичные логарифмы и их свойства

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории


Десятичные логарифмы и их свойства

За основание логарифмов часто принимают число 10. Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для обозначения десятичных логарифмов обычно используют знак lg, а не log; при этом число 10, указывающее основание, не пишут. Например, вместо log10105 пишут просто: lg 105; вместо log102 пишут lg 2 и т. д.

Десятичным лосарифмам присущи все те свойства, которыми обладают логарифмы при основании, большем 1. Например, десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших 1, положительны, а чисел, меньших 1, отрицательны; из двух положительных чисел большему соответствует и больший десятичный логарифм и т. д. Но, кроме того, десятичные логарифмы обладают и рядом специфических свойств, которыми и объясняется, почему в качестве основания логарифмов удобно выбирать именно число  10.

Прежде чем рассмотреть эти свойства, введем следующее определение.

Целая часть десятичного логарифма числа а называется характеристикой, а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а обозначается как [lg а], а мантисса как {lg а}.

Известно, например, что lg 2 ≈ 0,3010. Поэтому

[lg 2] = 0,                 {lg 2} ≈ 0,3010.

Известно* также, что lg 543,1 ≈  2,7349. Следовательно,

[lg 543,1] = 2,            {lg 543,1}≈ 0,7349.

* В дальнейшем мы научимся находить десятичные логарифмы положительных чисел по таблицам.

Точно так же из равенства lg 0,005 ≈  — 2,3010 заключаем, что

[lg 0,005] = — 3,                {lg 0,005} = 0,6990.

Теперь перейдем к рассмотрению свойств десятичных логарифмов.

Свойство 1. Десятичный логарифм целого положительного числа, изображенного единицей с последующими нулями, есть целое положительное число, равное количеству нулей в записи данного числа.

Например, lg 1000 = 3,

                    lg 1 000000 = 6.

Вообще,  если

то а = 10n и потому

lg a = lg 10n n lg 10 = п.

Свойство 2. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с предшествующими нулями, равен — п, где п — число нулей в записи этого числа, считая и нуль целых.

Например, lg 0,01 = — 2,

                   lg 0,00001 = — 5.

Вообще, если

,

то a = 10—n и потому

lg a = lg 10—n —n lg 10 = —п

Свойство 3. Характеристика десятичного логарифма положительного числа, большего 1, равна количеству цифр в целой части этого числа без одной.

Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 75,631 равна 1.

Действительно, 10 < 75,631 < 100. Поэтому

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

или

1 < lg 75,631 < 2.

Значит,

lg 75,631 = 1 + α,

где α — некоторая правильная  положительная дробь. Но тогда

[lg 75,631] = 1,

что и требовалось доказать.

2) Характеристика логарифма lg 5673,1 равна 3. Действительно,

1000 < 5673,1 < 10 000. Поэтому

lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,

или

3 <  lg 5673,l  < 4.

Следовательно,

[lg 5673,1] = 3.

Вообще, если целая часть положительного числа а, большего единицы, содержит пцифр, то

10n 1 < а < 10n.

Поэтому

lg 10n 1 < lg а < lg 10n.,

или

n — 1 < lg a < n.

cледовательно,

[lg a] = n — 1.

Свойство 4. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей 1, равна — п, где п — число нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и нуль целых.

Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 0,0015 равна — 3.

Действительно,

0,001 < 0,0015 < 0,01.

Поэтому

lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,

или

— 3 < lg 0,0015 < — 2.

Значит, lg 0,0015 = — 3 + α, где α — некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае

[lg 0,0015] = — 3.

2) Характеристика логарифма lg 0,6 равна — 1. Действительно.

0,1< 0,6 < 1.

Поэтому

lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,

или

— 1 < lg 0,6 < 0.

Следовательно,

lg 0,6 = —1+ α,

где α — некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае

[lg0,6] = —1.

Вообще, если первой значащей цифре правильной десятичной дроби α предшествуетп нулей (считая в том числе и нуль целых), то

или

— n < lg a < — (n —  1).

Следовательно,

[lg a ] = — n.

Свойство 5. При умножении числа на 10n десятичный логарифм его увеличивается на п.

Действительно, по теореме о логарифме произведения

lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.

Например,

lg (579,13  • 100) = lg 579,13 + 2;

lg (16 • 1000) = lg 16 + 3.

Перенос запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо равносилен умножению этой дроби на 10n. Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм увеличивается на п.

Свойство 6. При делении числа на 10n десятичный логарифм уменьшается на п.

Например,

lg 1,57/1000 = lg 1,57—3;

lg 0,63/100 = lg 0,63 — 2.

При переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм уменьшается на п.

Например, lg 0,3567 = lg 35,67 — 2;

                    lg 0,00054 = lg 0,54 — 3.

Учащимся предлагается самостоятельно доказать эти утверждения.

Все доказанные до сих пор свойства десятичных логарифмов относились к их характеристике. Теперь обратимся к мантиссе десятичных логарифмов.

Свойство 7. Мантисса десятинного логарифма положительного числа не изменяется при умножении этого числа на 10n с любым целым показателем п.

Действительно, при любом целом п (как положительном, так и отрицательном)

lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.

Но дробная часть числа не изменяется при прибавлении к нему целого числа.

Перенос запятой в десятичной дроби вправо или влево равносилен умножению этой дроби на степень числа 10 с целым показателем п (положительным или отрицательным). Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не изменяется.

Например, {lg 0,0067} = {lg 0,67} = {lg 0,0000067}.

Упражнения

1.   (У с т н о.)   Найти десятичные логарифмы чисел:

1; 10; 100; 1000; 10 000;

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001.

2.  (У с т н о.)   Найти характеристики десятичных логарифмов чисел:

2,00; 57,38; 632,70; 3402,99;

0,17; 0,99; 0,023; 0,0100; 0,0003.

3. Известно, что lg 2 ≈ 0,3010, lg 3 ≈ 0,4771.

Найдите характеристики и мантиссы следующих логарифмов:

a) lg 6;     б) lg 15;      в) lg 32;      г) lg 30;     д) 1/12.

 

1.11. Определение логарифма

10. Логарифмом числа b по основанию b называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b, обозначается и

20. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10: .

30. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию : .

1.12. Основное логарифмическое тождество:

Например,

1.13. Свойства логарифмов

  1. Сумма логарифмов есть логарифм произведения

  1. Разность логарифмов есть логарифм дроби

  1. Число, стоящее перед логарифмом ставим в показатель степени выражения, стоящего после знака логарифма

  1. Переход к новому основанию

Следствия:

  1. Любое число представимо в виде логарифма

  2. Любое число k>0 представимо в виде степени

Пример. Вычислить a) если ; б)

►а) перейдём в к основанию 2. Воспользуемся свойством 4:

.

б) заменим корни степенями и воспользуемся свойством 6:

.◄

1.14. Логарифмирование и потенцирование

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведение в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы входящих в выражение чисел. Такое преобразование называется логарифмированием. Обратная задача: нахождение выражения по его логарифму, называется потенцированием.

Пример 1. Прологарифмировать по основанию выражение .

► ◄

Пример 2. Найти , если

► ◄

1.15. Теория многочленов

Многочленом степени называется целая рациональная функция

(3)

Многочлен - степени

Многочлен - степени

Многочлен - степени

Многочлен - степени

Многочлен - степени

Например, есть многочлен - степени, 2 есть многочлен - степени.

Деление многочленов:

1.16. Выделение целой части из дроби

Дробь называется неправильной, если в числителе стоит многочлен степени не ниже степени многочлена знаменателя.

Тогда дробь можно представить в виде: , где — частное от деления на (целая часть), — полученный при этом остаток.

Пример. Выделить целую часть из дроби .

►Дробь неправильная, делим числитель на знаменатель столбиком:

Целая часть (под уголком), а остаток (в конце деления). Поэтому дробь будет иметь вид:

2. Алгебраические уравнения

Алгебра - логарифмические функции

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6-2: Логарифмические функции

В этом разделе нам нужно перейти к функциям логарифмирования. Это может быть непростая функция для построения графика сразу.Будет несколько других обозначений, к которым вы не привыкли, и некоторые свойства могут быть не такими интуитивно понятными. Однако не расстраивайтесь. Как только вы разберетесь с ними, вы обнаружите, что они на самом деле не так уж и плохи, и обычно требуется немного поработать с ними, чтобы разобраться в них.

Вот определение функции логарифма.

Если \ (b \) - любое число такое, что \ (b> 0 \) и \ (b \ ne 1 \) и \ (x> 0 \), то

\ [y = {\ log _b} x \ hspace {0.y} = x \) называется экспоненциальной формой .

Обратите внимание, что требование \ (x> 0 \) на самом деле является результатом того факта, что мы также требуем \ (b> 0 \). Если подумать, это будет иметь смысл. Мы возводим положительное число в степень, и поэтому результат не может быть чем-то другим, кроме другого положительного числа. Очень важно помнить, что мы не можем логарифмировать ноль или отрицательное число.

Теперь давайте обратимся к используемым здесь обозначениям, поскольку это обычно самое большое препятствие, которое ученики должны преодолеть, прежде чем начать понимать логарифмы.Во-первых, «журнал» функции - это просто три буквы, которые используются для обозначения того факта, что мы имеем дело с логарифмом. Они не переменные и не означают умножения. Они просто говорят нам, что мы имеем дело с логарифмом.

Далее, \ (b \), стоящий в нижнем индексе в части «журнала», указывает нам, что такое основание, поскольку это важная часть информации. Кроме того, несмотря на то, как это может выглядеть, в приведенной выше форме логарифма нет возведения в степень.x} \) в этой форме, но это не так. Похоже, что это могло быть именно так.

Важно, чтобы запись с логарифмами была прямой, в противном случае вам будет очень трудно понять их и работать с ними.

Теперь давайте кратко рассмотрим, как мы вычисляем логарифмы.

Пример 1 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
  1. \ ({\ log _4} 16 \)
  2. \ ({\ log _2} 16 \)
  3. \ ({\ log _6} 216 \)
  4. \ (\ displaystyle {\ log _5} \ frac {1} {{125}} \)
  5. \ ({\ log _ {\ frac {1} {3}}} 81 \)
  6. \ ({\ log _ {\ frac {3} {2}}} \ displaystyle \ frac {{27}} {8} \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Теперь реальность такова, что непосредственное вычисление логарифмов может быть очень сложным процессом даже для тех, кто действительно их понимает.Обычно гораздо проще сначала преобразовать форму логарифма в экспоненциальную форму. В такой форме мы обычно можем получить ответ довольно быстро.


a \ ({\ log _4} 16 \) Показать решение

Хорошо, мы действительно спрашиваем вот о чем.

\ [{\ log _4} 16 =? \]

Как было предложено выше, давайте преобразуем это в экспоненциальную форму.

\ [{\ log _4} 16 =? \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ hspace {0.4} \), и т. Д. , пока вы не получите 16. В этом случае нам нужен показатель степени 4. Следовательно, значение этого логарифма равно

\ [{\ log _2} 16 = 4 \]

Прежде чем перейти к следующей части, обратите внимание, что их основа является очень важной частью обозначений. Изменение базы изменит ответ, поэтому нам всегда нужно отслеживать базу.


c \ ({\ log _6} 216 \) Показать решение

Мы сделаем это без каких-либо реальных объяснений, чтобы увидеть, насколько хорошо вы вычислили логарифмы.3}}} = \ frac {{27}} {8} \]

Надеюсь, теперь у вас есть представление о том, как вычислять логарифмы, и вы начинаете понимать систему обозначений. Однако есть еще несколько вычислений, которые мы хотим сделать, нам нужно ввести некоторые специальные логарифмы, которые появляются на очень регулярной основе. Это десятичный логарифм и натуральный логарифм . Вот определения и обозначения, которые мы будем использовать для этих двух логарифмов.

\ [\ begin {align *} & {\ mbox {десятичный логарифм:}} \ hspace {0.25 дюймов} \ log x = {\ log _ {10}} x \\ & {\ mbox {натуральный логарифм:}} \ hspace {0,25 дюйма} \ ln x = {\ log _ {\ bf {e}}} x \ конец {выравнивание *} \]

Итак, десятичный логарифм - это просто логарифм по основанию 10, за исключением того, что мы отбрасываем часть записи с основанием 10. Точно так же натуральный логарифм - это просто логарифм \ (\ bf {e} \) с другим обозначением, и где \ (\ bf {e} \) - это то же число, которое мы видели в предыдущем разделе, и определяется как \ ({\ bf {e}} = 2,718281828 \ ldots \).

Давайте взглянем на еще пару оценок.

Пример 2 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
  1. \ (\ лог 1000 \)
  2. \ (\ log \ displaystyle \ frac {1} {{100}} \)
  3. \ (\ ln \ displaystyle \ frac {1} {{\ bf {e}}} \)
  4. \ (\ ln \ sqrt {\ bf {e}} \)
  5. \ ({\ log _ {34}} 34 \)
  6. \ ({\ log _8} 1 \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Для выполнения первых четырех оценок нам просто нужно запомнить, каковы их обозначения и какое основание подразумевается в этих обозначениях.0} = 1 \). Опять же, обратите внимание, что база, которую мы здесь используем, не изменит ответ.

Итак, при вычислении логарифмов все, что мы действительно спрашиваем, - это какой показатель степени мы положили на основание, чтобы получить число в логарифме.

Теперь, прежде чем мы перейдем к некоторым свойствам логарифмов, давайте сначала сделаем пару быстрых графиков.

Пример 3 Нарисуйте график десятичного и натурального логарифма на одной и той же системе координат.Показать решение

В этом примере есть две точки. Во-первых, он познакомит нас с графиками двух логарифмов, которые мы, скорее всего, увидим в других классах. Кроме того, это даст нам некоторую практику использования нашего калькулятора для вычисления этих логарифмов, потому что на самом деле именно так нам нужно будет проводить большую часть этих вычислений.

Вот таблица значений двух логарифмов.

\ (х \) \ (\ лог х \) \ (\ ln x \)
\ (\ frac {1} {2} \) -0.3010 -0,6931
1 0 0
2 0,3010 0,6931
3 0,4771 1.0986
4 0.r}} \ right) = r {\ log _b} x \)
  • Если \ ({\ log _b} x = {\ log _b} y \), то \ (x = y \).
  • Мы не будем ничего делать с последним свойством в этом разделе; это здесь только для полноты картины. Мы подробно рассмотрим это свойство в нескольких разделах.

    Первые два свойства, перечисленные здесь, могут поначалу немного сбивать с толку, поскольку с одной стороны у нас есть произведение или частное внутри логарифма, а с другой стороны - сумма или разность двух логарифмов.Нам просто нужно быть осторожными с этими свойствами и обязательно использовать их правильно.

    Также обратите внимание, что нет никаких правил, как разбить логарифм суммы или разности двух членов. Чтобы прояснить это, отметим следующее:

    \ [\ begin {align *} {\ log _b} \ left ({x + y} \ right) & \ ne {\ log _b} x + {\ log _b} y \\ {\ log _b} \ left ( {x - y} \ right) & \ ne {\ log _b} x - {\ log _b} y \ end {align *} \]

    Будьте осторожны с ними и не пытайтесь использовать их, поскольку они просто не соответствуют действительности.5}} \ right) \) Показать решение

    Обратите внимание, что на данном этапе мы не можем использовать свойство 7 для приведения 3 и 5 вниз перед логарифмом. Чтобы использовать свойство 7, весь член логарифма должен быть возведен в степень. В этом случае два показателя степени относятся только к отдельным членам логарифма, поэтому свойство 7 здесь использовать нельзя.

    Однако у нас есть произведение внутри логарифма, поэтому мы можем использовать свойство 5 для этого логарифма. 5}} \ right) \]

    Теперь, когда мы это сделали, мы можем использовать свойство 7 для каждого из этих отдельных логарифмов, чтобы получить окончательный упрощенный ответ.{\ frac {1} {2}}} \]

    В этой форме мы видим, что у всего члена есть один показатель степени, поэтому мы позаботимся об этом в первую очередь.

    \ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ ln \ left ({xy} \ right) \]

    Теперь займемся продуктом.

    \ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln x + \ ln y} \ right) \]

    Обратите внимание на круглые скобки в этом ответе. \ (\ Frac {1} {2} \) умножает исходный логарифм, поэтому ему также потребуется умножить весь «упрощенный» логарифм.2}} \ справа) \]

    Теперь мы подошли к сути этой проблемы. Второй логарифм настолько упрощен, насколько это возможно. Помните, что мы не можем разбить журнал суммы или разницы, и поэтому он не может быть разбит дальше. Кроме того, мы можем иметь дело с показателями, только если весь член возведен в степень. Тот факт, что обе части этого члена возведены в квадрат, не имеет значения. Это должен быть квадрат целого члена, как в первом логарифме.

    Итак, мы можем еще больше упростить первый логарифм, но второй логарифм упростить уже нельзя.2}} \ справа) \]

    Теперь нам нужно проработать несколько других примеров. Следующий набор примеров, вероятно, более важен, чем предыдущий. Мы будем выполнять такую ​​логарифмическую работу в нескольких разделах.

    Пример 5 Запишите каждое из следующих значений в виде одного логарифма с коэффициентом 1.
    1. \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \)
    2. \ (3 \ лог х - 6 \ лог у \)
    3. \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) - 2 \ ln y - 8 \ ln x \)
    Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

    Инструкция, требующая коэффициента 1, означает, что когда мы переходим к окончательному логарифму, перед логарифмом не должно быть числа. 8}} \ right) \]

    Теперь у нас осталось два логарифма, и они представляют собой разность логарифмов, и поэтому мы можем записать это как единственный логарифм с частным.8}}}} \ справа) \]

    Последняя тема, которую нам нужно обсудить в этом разделе, - это изменение формулы базы .

    Большинство современных калькуляторов могут вычислять десятичные и натуральные логарифмы. Однако это все, так что же нам делать, если нам нужно вычислить еще один логарифм, что не может быть сделано легко, как мы это сделали в первом наборе примеров, которые мы рассмотрели?

    Для этого у нас есть изменение базовой формулы.Вот изменение базовой формулы.

    \ [{\ log _a} x = \ frac {{{{\ log} _b} x}} {{{{\ log} _b} a}} \]

    , где мы можем выбрать \ (b \) как угодно. Чтобы использовать это, чтобы помочь нам вычислить логарифмы, это обычно обычный или натуральный логарифм. Вот изменение базовой формулы с использованием как десятичного, так и натурального логарифма.

    \ [{\ log _a} x = \ frac {{\ log x}} {{\ log a}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ log _a} x = \ frac {{\ ln x}} {{\ ln a}} \]

    Давайте посмотрим, как это работает, на примере.?} = 7 \]

    , и это не то, на что кто-то может ответить сразу. Если бы 7 было 5, или 25, или 125, и т. Д. . мы могли бы это сделать, но это не так. Следовательно, мы должны использовать замену базовой формулы.

    Теперь мы можем использовать любой из них, и мы получим тот же ответ. Итак, давайте воспользуемся обоими и проверим это. Начнем с десятичного логарифма изменения основания.

    \ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ log 7}} {{\ log 5}} = \ frac {{0.845098040014}} {{0.698970004336}} = 1.20

    5512 \]

    Теперь давайте попробуем натуральный логарифм изменения основной формулы.

    \ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ ln 7}} {{\ ln 5}} = \ frac {{1.945906}} {{1.609437}} = 1.20

    5512 \]

    Итак, мы получили один и тот же ответ, несмотря на то, что дроби содержали разные ответы.

    Упрощение логарифмов - математика для старших классов

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как как ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Решение логарифмических уравнений - ChiliMath

    Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к рассмотрению приведенных ниже примеров.

    Типы логарифмических уравнений

    • Первый тип выглядит так.

    Если у вас есть один логарифм на каждой стороне уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы, равные друг другу, и решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \ color {blue} M и \ color {red} N.

    • Второй тип выглядит так.

    Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его в виде экспоненциального уравнения и решить.

    Давайте научимся решать логарифмические уравнения на нескольких примерах.


    Примеры решения логарифмических уравнений

    Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

    Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило на всякий случай, если вы забыли.

    • Распределить: \ left ({x + 2} \ right) \ left (3 \ right) = 3x + 6
    • Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу.
    • Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что у тебя есть эта часть!

    Просто большое предостережение. ВСЕГДА проверяйте решенные значения с помощью исходного логарифмического уравнения.

    Помните :

    • Хорошо, иметь значения x, такие как положительные, 0 и отрицательные числа.
    • Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при замене или вычислении в исходное уравнение логарифма.

    ⚠︎ ВНИМАНИЕ! Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не определены.

    {\ log _b} \ left ({{\ rm {negative \, \, number}}} \ right) = {\ rm {undefined}}

    {\ log _b} \ left (0 \ right) = {\ rm {undefined}}

    Теперь давайте проверим наш ответ, является ли x = 7 допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

    Да! Поскольку x = 7 проверяет, у нас есть решение в \ color {blue} x = 7.2} - 2x

    • Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу
    • Решите квадратное уравнение, используя метод разложения. Но вам нужно сдвинуть все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.
    • Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

    x - 5 = 0 означает, что x = 5

    x + 2 = 0 означает, что x = - 2

    Итак, возможные решения: x = 5 и x = - 2.Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно в исходное логарифмическое уравнение.

    Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = - 2, если они будут действительными решениями. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

    После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x = -2 генерирует некоторые отрицательные числа внутри скобок (логарифм нуля и отрицательные числа не определены), что заставляет нас исключить x = -2 как часть нашего решения.

    Следовательно, окончательное решение будет просто \ color {blue} x = 5. Мы не принимаем во внимание x = -2, потому что это постороннее решение.


    Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

    Это интересная проблема. Здесь мы имеем различие логарифмических выражений по обе стороны уравнения. Упростите или уплотните журналы с обеих сторон, используя правило Quotient Rule, которое выглядит следующим образом.

    • Разница в журналах говорит нам использовать правило частного.Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри скобок. Сделайте это с обеими сторонами уравнений.
    • Я думаю, мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему до одного логарифмического выражения для каждой стороны уравнения.
    • Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему - получить Cross Product .
    • Это выглядит так после получения перекрестного продукта.
    • Упростите обе стороны с помощью свойства распределения. На этом этапе мы понимаем, что это всего лишь квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Сдвиньте все в одну сторону, и это заставит одну сторону уравнения равняться нулю.
    • Это легко факторизуемо. Теперь установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.
    • Итак, это наши возможные ответы.

    Я предоставлю вам проверить наши возможные ответы обратно в исходное логарифмическое уравнение.Вы должны убедиться, что \ color {blue} x = 8 - единственное решение, а x = -3 - нет, поскольку он генерирует сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Нехорошо!


    Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

    Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что он имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

    Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение.С левой стороны мы видим различие журналов, что означает, что мы применяем правило Quotient Rule, в то время как с правой стороны требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

    Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание на левую сторону. Вы видите этот коэффициент \ Large {1 \ over 2} \ ,?

    Что ж, мы должны представить это как экспоненту, используя правило мощности в обратном порядке.

    • Выведите этот коэффициент \ large {1 \ over 2} как показатель степени (см. Крайний левый член)
    • Упростите показатель степени (все еще относится к крайнему левому члену)
    • Затем сократите бревна с обеих сторон уравнения.Используйте правило частного слева и правило продукта справа.
    • Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если явно не показано, предполагается, что это база 10), можно установить их равными друг другу.
    • Отбрасываем журналы и просто приравниваем аргументы внутри скобок.
    • На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну сторону уравнения, затем вычтите их.
    • Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

    Пора проверить свои потенциальные ответы. Когда вы проверите x = 0 обратно в исходное логарифмическое уравнение, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, что означает - нехорошо! Итак, мы должны игнорировать или отбросить \ color {red} x = 0 как решение.

    Проверка \ Large {x = {3 \ over 4}} подтверждает, что действительно \ Large {\ color {blue} {x = {3 \ over 4}}} является единственным решением.


    Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

    Эта проблема связана с использованием символа \ ln вместо \ log для обозначения логарифма.

    Думайте о \ ln как о особом логарифме с основанием e, где e \ приблизительно 2,71828.

    • Используйте Правило продукта с правой стороны
    • Сначала запишите переменную, затем константу, чтобы быть готовым к использованию метода FOIL.
    • Упростите два бинома, умножив их вместе.
    • На этом этапе я просто закодировал выражение в круглых скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.
    • Ага! Здесь мы говорим, что содержимое в левой скобке равно содержимому в правой скобке.

    Не забудьте символ \ pm.

    • Далее, упрощая, мы должны получить следующие возможные ответы.

    Проверьте, являются ли найденные выше потенциальные ответы возможными, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

    Вы должны убедиться, что ЕДИНСТВЕННЫМ допустимым решением является \ large {\ color {blue} x = {1 \ over 2}}, что делает \ large {\ color {red} x = - {1 \ over 2}} лишним. отвечать.


    Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

    В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас

    Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

    • Я закодировал части логарифмического уравнения цветом, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.4} = 81.

    Вы должны убедиться, что значение \ color {blue} x = 12 действительно является решением логарифмического уравнения.


    Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

    Соберите все логарифмические выражения на одной стороне уравнения (оставьте его слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило частного, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в скобках логарифма.

    • Переместите все логарифмические выражения в левую часть уравнения, а константу - вправо.{\ color {красный} 1} = 5.
    • Это рациональное уравнение из-за наличия переменных в числителе и знаменателе.

    Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но сначала я должен выразить правую часть уравнения с явным знаменателем, равным 1. То есть 5 = ​​{\ large {{5 \ over 1}}}

    • Выполните перекрестное умножение, а затем решите полученное линейное уравнение.

    Когда вы проверяете x = 1 обратно в исходное уравнение, вы должны согласиться с тем, что \ large {\ color {blue} x = 1} является решением логарифмического уравнения.


    Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

    Эта проблема очень похожа на №7. Давайте соберем все логарифмические выражения слева, оставив константу справа. Поскольку у нас есть разница журналов, мы будем использовать правило Quotient Rule.

    • Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.
    • Примените правило частного, поскольку они представляют собой разность журналов.
    • Я использовал здесь разные цвета, чтобы показать, куда они уходят после перезаписи в экспоненциальной форме.
    • Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем месте, а \ color {red} 5 становится показателем основания.
    • Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.
    • Упростите правую часть с помощью свойства распределения. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.
    • Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону равной нулю.

    Выносим трехчлен за скобки.Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

    • Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как потенциальные решения.

    Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

    Согласитесь, что \ color {blue} x = -32 - единственное решение. Это делает \ color {red} x = 4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.


    Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

    Я надеюсь, что теперь вы получили основное представление о том, как подходить к этому типу проблемы.Здесь мы видим три логических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

    • Давайте оставим логарифмические выражения слева, а константу - справа.
    • Начните с сжатия выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.
    • Затем дополнительно уплотните выражения журнала, используя правило Quotient Rule, чтобы учесть разницу в журналах.
    • На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.
    • Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \ color {red} 1 с правой стороны как показатель степени основания 7.
    • Решите это рациональное уравнение, используя перекрестное произведение. Выразите 7 как \ large {7 \ over 1}.
    • Переместите все члены в левую часть уравнения. Выносим за скобки трехчлен. Затем установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.
    • Это ваши потенциальные ответы.Всегда проверяйте свои ценности.

    Очевидно, что когда мы подставляем x = -8 обратно в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Следовательно, вы исключаете \ color {red} x = -8 как часть вашего решения.

    Таким образом, единственное решение - \ color {blue} x = 11.


    Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

    • Сохраните логарифмическое выражение слева и переместите все константы в правую сторону.
    • Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение.3} = 27. Перед нами простое радикальное уравнение.

    Отметьте этот отдельный урок, если вам нужно напомнить, как решать различные типы радикальных уравнений.

    • Чтобы избавиться от радикального символа в левой части, возведите обе части уравнения в квадрат.
    • После возведения в квадрат обеих сторон, похоже, у нас есть линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

    Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

    После этого вы должны убедиться, что действительно \ color {blue} x = -104 - верное решение.


    Практика с рабочими листами

    Возможно, вас заинтересует:

    Уплотняющие логарифмы

    Расширяющиеся логарифмы

    Объяснение логарифма

    Правила логарифмирования

    Чтение: развернуть и сжать логарифмы

    Цели обучения

    • Объедините правила произведения, степени и частного для упрощения логарифмических выражений
    • Раскрытие логарифмических выражений с отрицательными или дробными показателями
    • Сжатые логарифмические выражения

    Взятые вместе, правило произведения, правило частного и правило мощности часто называют «законами журналов».«Иногда мы применяем более одного правила, чтобы упростить выражение. Например:

    [латекс] \ begin {array} {c} {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {6x} {y} \ right) \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ { b} \ left (6x \ right) - {\ mathrm {log}} _ {b} y \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} 6 + {\ mathrm {log}} _ {b} x - {\ mathrm {log}} _ {b} y \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Мы также можем использовать правило мощности для расширения логарифмических выражений, включающих отрицательные и дробные показатели. {- 1} \ right) \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} A + \ left (-1 \ right) {\ mathrm {log}} _ {b} C \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} A - {\ mathrm {log}} _ {b} C \ hfill \ end {array} [ / латекс]

    Мы также можем применить правило произведения, чтобы выразить сумму или разность логарифмов как логарифм произведения.

    Помните, что мы можем делать это только с произведениями, частными, степенями и корнями - никогда с добавлением или вычитанием внутри аргумента логарифма. Рассмотрим следующий пример:

    [латекс] \ begin {array} {c} \ mathrm {log} \ left (10 + 100 \ right) \ overset {?} {=} \ End {array} \ mathrm {log} \ left (10 \ right ) + \ mathrm {log} \ left (100 \ right) \\\ mathrm {log} \ left (110 \ right) \ overset {?} {=} 1 + 2 \\ 2.04 \ ne3 [/ latex]

    Будьте осторожны, применяйте правило произведения только тогда, когда логарифм имеет аргумент, являющийся произведением, или когда у вас есть сумма логарифмов.{6}. \ Hfill \\ \ hfill & = 6 {\ mathrm {log}} _ {6} 2 + 3 {\ mathrm {log}} _ {6} x + {\ mathrm {log}} _ {6} \ left (4x + 1 \ right) - {\ mathrm {log}} _ {6} \ left (2x - 1 \ right) \ hfill & \ text {Применить правило мощности}. \ hfill \ end {array} [ / латекс]

    Краткие логарифмы

    Мы можем использовать только что изученные правила логарифмов, чтобы сжимать суммы, разности и произведения с одинаковым основанием в виде единственного логарифма. Важно помнить, что логарифмы должны иметь одинаковое основание для объединения. Позже мы узнаем, как изменить основание любого логарифма перед сжатием.

    Пример

    Запись [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (5 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (8 \ right) - {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2 \ right) [/ latex] как единственный логарифм.

    Покажи ответ

    Использование правил произведения и частного

    [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (5 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (8 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (5 \ cdot 8 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (40 \ right) [/ latex]

    Это сокращает наше исходное выражение до

    [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (40 \ right) - {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2 \ right) [/ latex]

    Затем, используя правило частного

    [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (40 \ right) - {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (\ frac {40} {2} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (20 \ right) [/ latex]

    В нашем следующем примере мы покажем, как упростить более сложный логарифм путем его сжатия.{6}} [/ латекс]

    Резюме

    Для суммы, разности или произведения логарифмов с одинаковым основанием запишите эквивалентное выражение в виде одного логарифма.

    1. Сначала примените свойство power. Определите термины, которые являются произведениями множителей и логарифма, и перепишите каждое как логарифм степени.
    2. Затем примените свойство продукта. Перепишите суммы логарифмов как логарифм произведения.
    3. Примените свойство частного в последнюю очередь. Перепишем разности логарифмов как логарифм частного.

    Это закон, тоже законы логарифмов

    Его закон, так и законы логарифмов

    Авторские права 20022020 Стэн Браун

    Резюме: У вас проблемы с запоминанием законов логарифмов? Делать вы знаете, почему вы можете изменить log (x) + log (y) на другую форму, но не журнал (x + y)? Эта страница поможет вам разобраться в законах логарифмы.

    См. Также: Все законы логарифмов текут прямо из законов экспонентов .Если ты чувствуешь себя немного неустойчивый с законами экспонент, просмотрите их перед тем, как продолжить.


    Логарифм? Что такое логарифм?

    Логарифм - это просто показатель степени.

    Чтобы быть конкретным, логарифм числа x по основанию b это просто показатель степени, который вы положили на b , чтобы получить результат равно x . Например, поскольку 5 = 25, мы знаем, что 2 ( степень) - это логарифм 25 с основанием 5. Символически, журнал 5 (25) = 2.

    В более общем смысле, если x = b y , то мы скажем, что y - это логарифм x с основанием b или основание - b логарифм x . В символах y = log b ( x ), часто пишется без скобок, y = бревно b x . Каждое экспоненциальное уравнение можно переписать в виде логарифмического уравнения: и наоборот, просто поменяв местами x и y в этом случае.

    Вы нечасто видите это слово, но можете также говорят, что x - это антилогарифм от y до база б . Логарифм - это показатель степени, а антилогарифм - результат возведения основания в этот показатель.

    Еще один способ взглянуть на это: журнал b x функция определяется как обратная b x функция. Эти два утверждения выражают это обратное соотношение, показывающее, как экспоненциальное уравнение эквивалентно логарифмическому уравнению:

    x = b y такой же как y = бревно b x

    В любом уравнении x - антилогарифм и y - логарифм с основанием b .

    Пример 1: 1000 = 10 3 совпадает с 3 = журнал 10 1000. Логарифм равен 3, а антилогарифм равен 1000.

    Пример 2: журнал 3 81 =? то же самое как 3 ? = 81. Неизвестный ? - логарифм, а 81 - антилогарифм.

    Нельзя сказать слишком часто: логарифм - это не что иное, как показатель степени. Вы можете написать приведенное выше определение компактно, и показать журнал как экспоненту, подставив второе уравнение в первое, чтобы исключить y :

    Считайте, что как логарифм x по основанию b - это экспонента, которую вы положили на b , чтобы получить в результате x .

    Откуда взялись журналы?

    Раньше карманные калькуляторы несколько десятилетий назад, но в Студенческие годы вот и возраст динозавровответ было просто. Вам нужны журналы для вычисления большинства мощностей и корней с честным точность; даже умножение и деление большинства чисел было проще с журналами. В каждой приличной книге по алгебре были страницы и страницы журнальных таблиц на спина.

    Изобретение бревен в начале 1600-х годов послужило толчком для научных исследований. революция. Тогда ученые, особенно астрономы, тратили огромные суммы чисел на бумаге.Сокращая время, которое они тратили на арифметические, логарифмы эффективно давали им более продуктивную жизнь. Логарифмическая линейка, когда-то почти мультяшный товарный знак ученого, был не чем иным, как устройством, созданным для выполнения различных вычислений быстро, используя логарифмы. См. Eli Maors e: The Story of a Number для получения дополнительной информации. это.

    Сегодня журналы больше не используются в рутинной обработке чисел. Но все же есть веские причины для их изучения.

    Почему мы заботимся?

    Почему мы вообще используем логарифмы? Я мог бы написать целую статью о них может быть когда-нибудь.Но сейчас. ...

    • Чтобы узнать количество платежей на заем или время, чтобы получить инвестиционная цель.
    • Для моделирования многих природных процессов, особенно в живых системах. Мы воспринимаем громкость звука как логарифм реального звука. интенсивность, а дБ (децибелы) - логарифмическая шкала. Мы также воспринимаем яркость света как логарифм действительной световой энергии, и звездные величины измеряются в логарифмической шкале.
    • Для измерения pH или кислотности химического раствора.PH - это отрицательный логарифм концентрации свободных ионы водорода.
    • Для измерения силы землетрясений по шкале Рихтера.
    • Для анализа экспоненциальных процессов. Поскольку функция журнала является обратной экспоненциальной функции, мы часто анализируем экспоненциальную кривую с помощью логарифмы. Нанесение набора измеренных точек на бревенчатый или полубортовый лист может легко выявить такие отношения. Применения включают охлаждение мертвого тела, рост бактерий, и распад радиоактивных изотопов.Распространение эпидемии среди населения часто следует за измененным логарифмическая кривая называется логистической.
    • Для решения некоторых форм задач с площадью в исчислении. (Площадь под кривой 1/ x , между x = 1 и x = A , равна ln A .)
    • Также в расчетах дифференциация сложного продукта становится намного проще, если вы сначала возьмете логарифм.

    (Исторически основная причина преподавания журналы в начальной школе было для упрощения вычислений, потому что журнал умножения понижает его до прибавления, а журнал мощности выражение понижает его до умножения.Конечно, с повсеместной доступностью персональных вычислительных устройств, сложность вычислений больше не вызывает беспокойства, но в журналах все еще есть многие приложения сами по себе.)


    Основные факты

    Из определения бревна как инверсии экспоненциально, можно сразу получить некоторые основные факты. Например, если вы построите график y = 10 x (или экспоненту с любым другим положительным основанием), вы увидеть, что его диапазон положительный реал; поэтому область y = log x (по любому основанию) - положительные числа.В другом слова, вы не можете взять журнал 0 или журнал отрицательного числа.

    (На самом деле, если вы хотите выйти за рамки реалов, вы можете взять журнал отрицательного числа. Этой технике обучают на многих курсах тригонометрии.)

    Журнал 1, лог равен 1

    Вы знаете, что в нулевой степени все равно 1: b 0 = 1. Измените это на логарифмическую форму с определением журналов, и вы получите
    log b 1 = 0 для любого основания b
    Точно так же вы знаете, что первая степень любого числа - это именно это число: b 1 = b .Опять же, переведите это в логарифмическую форму, и вы получите
    log b b = 1 для любого основания b

    Пример 3: ln 1 = 0

    Пример 4: журнал 5 5 = 1

    Записать как обратное

    Журнал - это показатель степени, потому что функция журнала - это обратная экспоненциальной функции. Обратная функция отменяет действие исходной функции.(Я не большой поклонник большинства применений термина "отмена" в математике, но он вписываются в эту ситуацию.)

    Это означает, что если вы возьмете логарифм экспоненты (конечно, с тем же основанием), вы вернетесь туда, откуда начали:
    log b b x = x для любой базы b
    Этот факт позволяет вам вычислять многие логарифмы без калькулятора.

    Пример 5: журнал 5 125 = журнал 5 (5) = 3

    Пример 6: журнал 10 10 3,16 = 3,16

    Пример 7: ln e - k t /2 = - k t /2

    Whats ln?

    В качестве основания логарифмов подходит любое положительное число, но две базы используются больше, чем любые другие:

    основание из
    логарифмов
    символ имя
    10 журнал
    (если основание не показано)
    десятичный логарифм
    e пер. натуральный логарифм,
    произносится как ell-enn или lahn
    Натуральные бревна - это бревна, которые подчиняются тем же правилам, что и любой другой логарифм.Просто помните:
    ln x означает журнал e x

    Почему base e? Что такого особенного в е? Большинство объяснений требует некоторого исчисления, например, что e x - единственная функция, которая является самостоятельным целым и его собственная производная, или что е имеет это красивое определение в условия факториалов:

    е = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

    В числовом выражении e около 2.7182818284. Его иррациональное (десятичное расширение никогда не заканчивается и никогда не повторяется), и на самом деле, как и π, его трансцендентный (ни одно полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами не имеет π или e как корень.)

    e (например, π) встречается во всевозможных маловероятные места, такие как вычисления сложных процентов. Для объяснения потребовалась бы книга, и к счастью, - это книга, Эли Маорс e: История одного Номер . Он также занимается историей логарифмов, и книга стоит взять из вашей библиотеки.


    Объединение бревен с одинаковым основанием

    Через минуту посмотрите на различные комбинации. Но сначала ты Возможно, вам захочется узнать общий принцип: журналов сокращают количество операций на один уровень. Бревна превращают умножение в сложение, деление на вычитание, показатель степени на умножение и радикальное разделение. Теперь давайте разберемся, почему, и рассмотрим несколько примеров.

    Умножение чисел, складывание их логарифмов

    Умножение двух выражений соответствует сложению их логарифмов.Можем ли мы понять это?

    и , следовательно, и заменены и y , Но когда вы умножаете 9139 , вы добавляете их показатели.Таким образом, правая часть становится
    По компактному определению
    x = b log b x и y = b log b y
    x y = b log b x b log b y сложение двух оснований
    x y = b log b x + log b y
    Теперь примените определение compact146 9014 к левой стороне = 9
    b log b ( x y ) = x y
    Объедините это с предыдущим уравнением, чтобы получить
    b журнал b ( x y ) = b журнал b x + журнал b 8 Теперь у нас есть две степени одной и той же базы.Если степени равны, то и показатели степени также должны быть равны. Следовательно,
    журнал b ( x y ) = журнал b x + журнал b y

    Итак, что в нижней строке? Умножая два числа и беря log - это то же самое, что брать их логи и добавлять.

    Пример 8: log 8 ( x ) + log 8 ( x ) совпадает с журнал 8 ( x x ) или просто журнал 8 ( x ).(Как вы увидите в следующем разделе, это может быть далее упрощено до 3log 8 x .)

    Пример 9: журнал 10 (20) + журнал 10 (50) = журнал 10 (2050) = журнал 10 (1000) = 3.

    Показатель степени, умножить на логарифм

    Продолжая нашу тему логарифмов, снижая уровень операций, если у вас есть y -я степень числа и взять log, результат будет в y раз больше log числа.Вот почему, начиная с x y :

    Начнем с компактного определения логарифма:
    x = b журнал b x
    и поднимите обе стороны до y мощности:
    x y = ( b log b x ) y
    Степень степени эквивалентна просто умножению.Упростим правую часть:
    x y = b ( y log b x )
    Перепишите левую часть, используя компактное определение 149 9014 log6: 90 b log b ( x y ) = x y
    (Шрифт может быть трудночитаемым: то есть x на степень y слева и справа.) и объедините последние два уравнения:
    b log b ( x y ) = b ( y log b x 8 Если мощности 9469 равны и основания равны, экспоненты должны быть равны:
    журнал b ( x y ) = y журнал b x

    Пример 10: ln (2 6 ) = 6 ln 2 (где ln означает log e , естественное логарифм).

    Пример 11: log 5 (5 x ) равно , а не равно 2 журнала 5 (5 x ). Будьте внимательны с порядком действий! 5 x равно 5 ( x ), а не (5 x ). log 5 (5 x ) необходимо сначала разложить как журнал товара: журнал 5 5 + журнал 5 ( x ). Тогда второй член может использовать правило мощности, журнал 5 ( x ) = 2 журнала 5 x .Первый член всего 1. Подводя итоги, журнал 5 (5 x ) = 1 + 2 журнала 5 x .

    Возведение чисел в любую степень

    Уловка для вычисления таких выражений, как 6,7 4,4 , заключается в использовать правило экспоненты и определение логарифма как обратного:

    х = 6,7 4,4

    журнал x = 4,4 (журнал 6,7) = около 3,634729132

    x = 10 3,63472 ... = около 4312,5

    Здесь нет ничего особенного в журналах base-10.В расчет с таким же успехом может быть

    х = 6,7 4,4

    ln x = 4,4 (ln 6,7) = примерно 8,369 273116

    x = e 8,36927 ... = около 4312,5

    Это будет работать для любого положительного основания и любого реального показателя степени, поэтому например

    х = π π

    журнал x = π (журнал π) = около 1,561842388

    x = 10 1,5618 ... = около 36,46215961

    Вы можете комбинировать это с умножение чисел = добавление правила логарифма к оцените возможности, которые слишком велики для вашего калькулятора.Например, что такое 671 217 ?

    х = 671 217

    журнал x = 217 (журнал 671) = около 613,3987869

    Теперь разделите целую и дробную части логарифм.

    журнал x = около 0,3987869 + 613

    х = 10 0,3987869 + 613

    х = 10 0,3987869 10 613

    x = около 2,505 10 613

    Для таких примеров вам действительно нужно использовать base-10 журналы.

    Если основание отрицательное или показатель сложный, см. Силы и корни комплексного числа.

    Разделить числа, вычесть их логарифмы

    Поскольку деление противоположно умножению, а вычитание противоположность сложения, неудивительно, что деление двух выражения соответствует вычитанию их журналов. Пока мы могли пойти вернемся к компактному определению, его вероятно, проще использовать два предыдущих свойства.

    9116 и второй член логарифм степени, которая становится (-1) умноженной на логарифм, или просто минус логарифм:
    Начнем с того, что 1/ y = y −1 (см. Определение отрицательных показателей):
    x / y = x (1/ y ) = x y −1
    и возьмите бревно с обеих сторон:
    журнал b ( x / y ) = журнал b ( x y −1 )
    Правая часть - это журнал продукта , которая становится суммой журналов:
    log b ( x / y ) = log b x + log b ( y −1 )
    журнал b ( x / y ) = журнал b x - журнал b y

    Проще говоря, если вы разделите и возьмите журнал , это то же самое, что и вычитая отдельные журналы.

    Пример 12: 67515 = 45, поэтому журнал 10 675 - журнал 10 15 = log 10 45. (Попробуйте на своем калькуляторе!)

    Пример 13: журнал ( x y ) - журнал ( x y ) = журнал ( x y / x y ) = журнал ( x / y ) = журнал ( x ) - журнал ( y ).


    Замена основания

    Теперь у вас есть все необходимое для изменения логарифмов с единицы база к другому.Посмотрите еще раз на компакт уравнение, определяющее журнал в базе b :

    Чтобы изменить журнал с базы b на другую базу (назовите ее a ), вы хотите найти журнал a ( x ). Поскольку у вас уже есть x на одной стороне приведенного выше уравнения, кажется, что хорошее начало - взять основание - , логарифм с обеих сторон:
    log a ( b log b x ) = log a x
    Но левая часть этого уравнения - это только логарифм. власти.Вы помните, что журнал ( x y ) - это просто log ( x ), умноженный на y . Таким образом, уравнение упрощается до
    (журнал a b ) (журнал b x ) = журнал a x

    Обратите внимание, что журнал a 909 постоянный. Этот означает, что журналы всех чисел в данной базе a являются пропорционально логам тех же чисел в другой базе b , а константа пропорциональности log a b равна журнал одной базы в другой базе.Если вы похожи на меня, у вас могут быть проблемы с запоминанием умножать или делить. Если да, просто выведите уравнение, как видите, занимает всего два шага.

    В некоторых учебниках формула замены базы представлена ​​в виде дроби. Чтобы получить дробь из приведенного выше уравнения, просто разделите на коэффициент пропорциональности log a b :
    журнал b x = (журнал a x ) / (журнал a b )

    Пример 14: журнал 4 16 = (журнал 16) / (журнал 4).(Вы можете проверить это на своем калькуляторе, так как вы знать журнал 4 16 должно быть равно 2.)

    Пример 15: Большинство калькуляторов не могут строить графики y = журнал 3 x напрямую. Но вы можете изменить базу на e и легко построить график y = (ln x ) (ln 3). (Вы могли одинаково хорошо используйте базу 10.)

    Из приведенной выше формулы ведет интересный переулок. Замените везде x на на , это допустимо, поскольку формула верна для всех положительных значений a , b и x .Получаете
    log b a = (log a a ) / (log a b )
    Но log a (см. журнал 1 выше), поэтому формула принимает вид
    log b a = 1 / (log a b )

    Пример 16: журнал 10 e = 1 / (ln 10).(Вы можете проверить это на своем калькуляторе.)

    Пример 17: журнал 125 5 = 1 / (журнал 5 125). В этом легко убедиться: 5 3 = 125, а 5 - кубический корень из 125. Следовательно, log 125 5 = 1/3 и log 5 125 = 3, и 1/3 действительно равно 1/3.


    Резюме

    Законы логарифмов были разбросаны по этому длинному страницу, поэтому было бы полезно собрать их в одном месте. Сделать этот еще более полезный, , связанный здесь также показаны законы экспонент.

    Ради бога, не пытайтесь запомнить эту таблицу! Просто используйте это, чтобы при необходимости подберите себе память. Еще лучше, поскольку журнал является экспонентой, используйте законы экспонентов, чтобы повторно получить любую собственность логарифмов, которые вы могли забыть. Таким образом, вы действительно получите владение этим материалом, и вы будете чувствовать себя уверенно операции.

    показателей логарифмов
    (Все законы применяются для любых положительных значений a , b , x и y .)
    x = b y такой же как y = бревно b x
    b 0 = 1 журнал b 1 = 0
    b 1 = b журнал b b = 1
    b (лог b x ) = x журнал b b x = x
    b x b y 909 909 909 909 909 909 журнал b ( x y ) = журнал b x + журнал b y
    b y = b x - y журнал b ( x / y ) = журнал b x - лог b y
    ( 909) 909 909 y = b x y журнал b ( x y ) = y журнал b x
    (лог a b ) (лог b x ) = лог a x
    журнал b

    журнал b 9095 a x ) / (log a b )

    log b a = 1 / (log a

    48

    8 909) 91

    Не проявляйте творчества! Большинство вариантов вышеизложенного недействительны.

    Пример 18: журнал (5+ x ) не то же самое, что журнал 5 + журнал x . Как вы знаете, журнал 5 + журнал x = журнал (5 x ), а не журнал (5+ x ). Посмотрите внимательно на приведенную выше таблицу, и вы увидите что вы ничего не можете сделать, чтобы разделить журнал ( x + y ) или журнал ( x - y ).

    Пример 19: (журнал x ) / (log y ) не то же самое, что log ( x / y ).В Фактически, когда вы делите два журнала на одну базу, вы обратная работа по формуле смены базы. Хотя это не часто полезно, (журнал x ) / (журнал y ) = журнал y x . Только не пишите журнал ( x / y )!

    Пример 20: (журнал 5) (журнал x ) не является то же, что и журнал (5 x ). Вы знаете, что журнал (5 x ) журнал 5 + журнал x . Ты действительно мало что можешь делать с произведением двух бревен, когда они имеют одинаковую основу.(Вы можете переписать продукт как журнал ( x журнал 5 ), но это вряд ли попроще.)

    См. Также: Объединение операций (распределительные законы)


    Заключение

    Ну вот и все: законы логарифмов демистифицировано! Общее правило состоит в том, что журналы просто отбрасывают операцию. на один уровень вниз: показатели становятся множителями, деления становятся вычитания и так далее. Если вы когда-нибудь не уверены в операции, например как сменить базу, работа это с помощью определения журнала и применяя законы экспонент, и вы не ошибетесь.

    Что нового

    • 7 декабря 2020 г. :
    • 20/23 октября 2020 г. : страница преобразована из HTM 4.01 в HTML 5 и заменил устаревшие теги на CSS. К этому примеру добавлено небольшое предзнаменование.
    • 17 августа 2015 г. : перемещено с OakRoadSystems.com на BrownMath.com.
    • (промежуточные изменения подавлены)
    • 11 января 1998 г .: адаптировать эту статью для Интернета
    • 22 декабря 1997 г .: Опубликовать в alt.algebra.help.
    Логарифмы

    могут иметь десятичные дроби

    В разделе «Введение в логарифмы» мы увидели, что логарифм отвечает на такие вопросы:

    Сколько двойки мы умножаем, чтобы получить 8?

    Ответ: 2 × 2 × 2 = 8 , поэтому нам нужно было умножить 3 из 2 с, чтобы получить 8

    Таким образом, логарифм равен 3

    И мы пишем «количество двоек, которые мы умножаем, чтобы получить 8, составляет 3 » как

    журнал 2 (8) = 3

    Итак, эти две вещи одинаковы:

    Пример: что такое журнал

    10 (100)...?

    10 × 10 = 100

    Умножение 2 10 вместе дает 100, поэтому:

    журнал 10 (100) = 2

    Примечание: с использованием экспонент: 10 2 = 100

    Но теперь зададим новый вопрос:

    Пример: Что такое журнал

    10 (300) ...?

    10 × 10 = 100

    10 × 10 × 10 = 1000

    О нет! Мы либо слишком низки, либо слишком высоки.

    Итак, умножения на две 10 недостаточно, но умножение на три 10 - это слишком много...

    ... а как насчет два с половиной ...?

    Половина умножения ...

    Как можно умножить на половину ?

    Ну, половинное умножение - это то, что нам нужно сделать дважды , чтобы получить целое умножение .

    И это квадратный корень!

    √10 × √10 = 10

    Умножение на квадратный корень похоже на умножение половины.

    Итак, давайте попробуем это:

    Пример: журнал

    10 (300) (продолжение)

    Попробуйте умножить 10 на два с половиной :

    10 × 10 × √10
    = 10 × 10 × 3,16 ...
    = 316 ....

    Мы приближаемся к 300, поэтому можно сказать:

    лог 10 (300) ≈ 2,5 (приблизительно)

    Другими словами, умножая 10 на два с половиной раза, получаем примерно 300.

    (Примечание: используя экспоненты, можно сказать, что 300 ≈ 10 2.5 )

    А вот как это выглядит на графике:

    2: 10 × 10 = 100
    2,5: 10 × 10 × √10 = 316 ....
    3: 10 × 10 × 10 = 1000

    Таким образом, логарифмы - это не просто целые числа, такие как 2 или 3: мы нашли значение 2,5 ,

    Мы можем найти больше значений (используя кубический корень, корень четвертой степени и т. Д.), Например, 2,75 или 1,9055 и так далее.

    Но нам не нужно использовать квадратные корни и т. Д. Для нахождения логарифмов, потому что...

    ... на практике проще калькулятором!

    Просто используйте калькулятор

    Например, кнопка «журнал» отобразит логарифм по основанию 10.

    Пример: что такое журнал

    10 (300) с помощью калькулятора?

    Возьмите калькулятор, введите 300 , затем нажмите log

    Ответ: 2,477...

    Это означает, что нам нужно использовать 10 в умножении 2,477 ... раз, чтобы получить 300:

    .

    журнал 10 (300) = 2,477 ...

    Наша ранняя оценка 2,5 была не так уж и плоха, не так ли?

    Примечание: с использованием экспонент: 10 2,477 ... = 300

    Пример: что такое журнал

    10 (640)?

    Возьмите калькулятор, введите 640 и нажмите log

    .

    Ответ: 2.806 ...

    Это означает, что нам нужно использовать 10 в умножении 2,806 ... раз, чтобы получить 640:

    журнал 10 (640) = 2,806 ...

    Посмотрите на график выше и посмотрите, какое значение вы получите при x = 640

    Примечание: с использованием показателей степени это: 10 2,806 ... = 640

    Итак, у вас есть ... логарифмы (которые говорят нам, сколько раз использовать число при умножении) могут иметь десятичные значения.

    Вычисление логарифмов с целыми дробями

    Вычисление логарифмов с целыми дробями

    Стефан Холлос & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

    размещено: понедельник, 16 февраля 2015 г., 11:36

    Это примечание о том, как вычислять логарифмы в виде непрерывных дробей.{n_1 + 1 / x_2} \) для еще не определенного числа \ (1 / x_2 <1 \). Итак, у нас есть \ (x_1 = n_1 + 1 / x_2 \), и та же процедура повторяется, чтобы найти \ (x_2 \), \ (x_3 \) и так далее. Эти термины связаны следующим образом

    \ [x = n_0 + 1 / x_1 \] \ [x_1 = n_1 + 1 / x_2 \] \ [x_2 = n_2 + 1 / x_3 \] \ [\ cdots \]

    В форме непрерывной дроби \ (x \) тогда

    \ [x = n_0 + \ cfrac {1} {n_1 + \ cfrac {1} {n_2 + \ cfrac {1} {n_3 + \ cdots}}} \]

    То, что мы описали до сих пор, в основном является алгоритмом Шанкса для вычисления логарифмов.Для получения дополнительной информации об этом алгоритме см. Следующие ссылки.

    «Алгоритм логарифмирования», Дэниел Шэнкс, Математические таблицы и другие средства для вычислений, Vol. 8, No. 46 (апрель 1954 г.), стр. 60-64

    «Алгоритм Шанкса для вычисления непрерывной дроби logb.», Теренс Джексон и Кейт Мэтьюз, Журнал целочисленных последовательностей, 5.2 (2002): 3.

    Один из способов улучшить алгоритм - использовать следующее приближение для \ (x_i \)

    \ [x_i = \ frac {b_i + 1} {b_i-1} \ frac {b_ {i-1} -1} {b_ {i-1} +1} \]

    Это отличное приближение для \ (x_i = \ log_ {b_i} {b_ {i-1}} \) в диапазоне \ (1 \ le b_ {i-1} \ le b_i \).В конечных точках диапазона приближение дает правильные ответы \ (x_i = 0 \) и \ (x_i = 1 \). На рисунке ниже показаны \ (x = \ log_2 {b} \) и приближение \ (x = 3 \ frac {b-1} {b + 1} \) для \ (1 \ le b \ le 2 \). Приближение отличное около конечных точек диапазона и хуже около центра.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск