5512 \]

Итак, мы получили один и тот же ответ, несмотря на то, что дроби содержали разные ответы.

Упрощение логарифмов — математика для старших классов

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решение логарифмических уравнений — ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к рассмотрению приведенных ниже примеров.

Типы логарифмических уравнений

• Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на каждой стороне уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы, равные друг другу, и решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \ color {blue} M и \ color {red} N.

• Второй тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его в виде экспоненциального уравнения и решить.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения на нескольких примерах.

Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило на всякий случай, если вы забыли.

• Распределить: \ left ({x + 2} \ right) \ left (3 \ right) = 3x + 6

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу.

• Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что у тебя есть эта часть!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА проверяйте решенные значения с помощью исходного логарифмического уравнения.

Помните :

• Хорошо, иметь значения x, такие как положительные, 0 и отрицательные числа.
• Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при замене или вычислении в исходное уравнение логарифма.

⚠︎ ВНИМАНИЕ! Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не определены.

{\ log _b} \ left ({{\ rm {negative \, \, number}}} \ right) = {\ rm {undefined}}

{\ log _b} \ left (0 \ right) = {\ rm {undefined}}

Теперь давайте проверим наш ответ, является ли x = 7 допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

Да! Поскольку x = 7 проверяет, у нас есть решение в \ color {blue} x = 7.2} — 2x

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу

• Решите квадратное уравнение, используя метод разложения. Но вам нужно сдвинуть все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.

• Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Итак, возможные решения: x = 5 и x = — 2.Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно в исходное логарифмическое уравнение.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут действительными решениями. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x = -2 генерирует некоторые отрицательные числа внутри скобок (логарифм нуля и отрицательные числа не определены), что заставляет нас исключить x = -2 как часть нашего решения.

Следовательно, окончательное решение будет просто \ color {blue} x = 5. Мы не принимаем во внимание x = -2, потому что это постороннее решение.

Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем различие логарифмических выражений по обе стороны уравнения. Упростите или уплотните журналы с обеих сторон, используя правило Quotient Rule, которое выглядит следующим образом.

• Разница в журналах говорит нам использовать правило частного.Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри скобок. Сделайте это с обеими сторонами уравнений.

• Я думаю, мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему до одного логарифмического выражения для каждой стороны уравнения.

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить Cross Product .

• Это выглядит так после получения перекрестного продукта.

• Упростите обе стороны с помощью свойства распределения. На этом этапе мы понимаем, что это всего лишь квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Сдвиньте все в одну сторону, и это заставит одну сторону уравнения равняться нулю.

• Это легко факторизуемо. Теперь установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

• Итак, это наши возможные ответы.

Я предоставлю вам проверить наши возможные ответы обратно в исходное логарифмическое уравнение.Вы должны убедиться, что \ color {blue} x = 8 — единственное решение, а x = -3 — нет, поскольку он генерирует сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Нехорошо!

Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что он имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение.С левой стороны мы видим различие журналов, что означает, что мы применяем правило Quotient Rule, в то время как с правой стороны требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание на левую сторону. Вы видите этот коэффициент \ Large {1 \ over 2} \ ,?

Что ж, мы должны представить это как экспоненту, используя правило мощности в обратном порядке.

• Выведите этот коэффициент \ large {1 \ over 2} как показатель степени (см. Крайний левый член)

• Упростите показатель степени (все еще относится к крайнему левому члену)

• Затем сократите бревна с обеих сторон уравнения.Используйте правило частного слева и правило продукта справа.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если явно не показано, предполагается, что это база 10), можно установить их равными друг другу.

• Отбрасываем журналы и просто приравниваем аргументы внутри скобок.

• На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну сторону уравнения, затем вычтите их.

• Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

Пора проверить свои потенциальные ответы. Когда вы проверите x = 0 обратно в исходное логарифмическое уравнение, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, что означает — нехорошо! Итак, мы должны игнорировать или отбросить \ color {red} x = 0 как решение.

Проверка \ Large {x = {3 \ over 4}} подтверждает, что действительно \ Large {\ color {blue} {x = {3 \ over 4}}} является единственным решением.

Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема связана с использованием символа \ ln вместо \ log для обозначения логарифма.

Думайте о \ ln как о особом логарифме с основанием e, где e \ приблизительно 2,71828.

• Используйте Правило продукта с правой стороны

• Сначала запишите переменную, затем константу, чтобы быть готовым к использованию метода FOIL.

• Упростите два бинома, умножив их вместе.

• На этом этапе я просто закодировал выражение в круглых скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.

• Ага! Здесь мы говорим, что содержимое в левой скобке равно содержимому в правой скобке.

Не забудьте символ \ pm.

• Далее, упрощая, мы должны получить следующие возможные ответы.

Проверьте, являются ли найденные выше потенциальные ответы возможными, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

Вы должны убедиться, что ЕДИНСТВЕННЫМ допустимым решением является \ large {\ color {blue} x = {1 \ over 2}}, что делает \ large {\ color {red} x = — {1 \ over 2}} лишним. отвечать.

Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас

Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

• Я закодировал части логарифмического уравнения цветом, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.4} = 81.

Вы должны убедиться, что значение \ color {blue} x = 12 действительно является решением логарифмического уравнения.

Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

Соберите все логарифмические выражения на одной стороне уравнения (оставьте его слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило частного, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в скобках логарифма.

• Переместите все логарифмические выражения в левую часть уравнения, а константу — вправо.{\ color {красный} 1} = 5.

• Это рациональное уравнение из-за наличия переменных в числителе и знаменателе.

Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но сначала я должен выразить правую часть уравнения с явным знаменателем, равным 1. То есть 5 = ​​{\ large {{5 \ over 1}}}

• Выполните перекрестное умножение, а затем решите полученное линейное уравнение.

Когда вы проверяете x = 1 обратно в исходное уравнение, вы должны согласиться с тем, что \ large {\ color {blue} x = 1} является решением логарифмического уравнения.

Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема очень похожа на №7. Давайте соберем все логарифмические выражения слева, оставив константу справа. Поскольку у нас есть разница журналов, мы будем использовать правило Quotient Rule.

• Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.

• Примените правило частного, поскольку они представляют собой разность журналов.

• Я использовал здесь разные цвета, чтобы показать, куда они уходят после перезаписи в экспоненциальной форме.

• Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем месте, а \ color {red} 5 становится показателем основания.

• Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.

• Упростите правую часть с помощью свойства распределения. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.

• Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону равной нулю.

Выносим трехчлен за скобки.Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

• Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как потенциальные решения.

Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

Согласитесь, что \ color {blue} x = -32 — единственное решение. Это делает \ color {red} x = 4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.

Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

Я надеюсь, что теперь вы получили основное представление о том, как подходить к этому типу проблемы.Здесь мы видим три логических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

• Давайте оставим логарифмические выражения слева, а константу — справа.

• Начните с сжатия выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.

• Затем дополнительно уплотните выражения журнала, используя правило Quotient Rule, чтобы учесть разницу в журналах.

• На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.

• Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \ color {red} 1 с правой стороны как показатель степени основания 7.

• Решите это рациональное уравнение, используя перекрестное произведение. Выразите 7 как \ large {7 \ over 1}.

• Переместите все члены в левую часть уравнения. Выносим за скобки трехчлен. Затем установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

• Это ваши потенциальные ответы.Всегда проверяйте свои ценности.

Очевидно, что когда мы подставляем x = -8 обратно в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Следовательно, вы исключаете \ color {red} x = -8 как часть вашего решения.

Таким образом, единственное решение — \ color {blue} x = 11.

Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

• Сохраните логарифмическое выражение слева и переместите все константы в правую сторону.

• Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение.3} = 27. Перед нами простое радикальное уравнение.

Отметьте этот отдельный урок, если вам нужно напомнить, как решать различные типы радикальных уравнений.

• Чтобы избавиться от радикального символа в левой части, возведите обе части уравнения в квадрат.

• После возведения в квадрат обеих сторон, похоже, у нас есть линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

После этого вы должны убедиться, что действительно \ color {blue} x = -104 — верное решение.

Возможно, вас заинтересует:

Уплотняющие логарифмы

Расширяющиеся логарифмы

Объяснение логарифма

Правила логарифмирования

Чтение: развернуть и сжать логарифмы

Цели обучения

• Объедините правила произведения, степени и частного для упрощения логарифмических выражений
• Раскрытие логарифмических выражений с отрицательными или дробными показателями
• Сжатые логарифмические выражения

Взятые вместе, правило произведения, правило частного и правило мощности часто называют «законами журналов».«Иногда мы применяем более одного правила, чтобы упростить выражение. Например:

[латекс] \ begin {array} {c} {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {6x} {y} \ right) \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ { b} \ left (6x \ right) — {\ mathrm {log}} _ {b} y \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} 6 + {\ mathrm {log}} _ {b} x — {\ mathrm {log}} _ {b} y \ hfill \ end {array} [/ latex]

Мы также можем использовать правило мощности для расширения логарифмических выражений, включающих отрицательные и дробные показатели. {- 1} \ right) \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} A + \ left (-1 \ right) {\ mathrm {log}} _ {b} C \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} A — {\ mathrm {log}} _ {b} C \ hfill \ end {array} [ / латекс]

Мы также можем применить правило произведения, чтобы выразить сумму или разность логарифмов как логарифм произведения.

Помните, что мы можем делать это только с произведениями, частными, степенями и корнями — никогда с добавлением или вычитанием внутри аргумента логарифма. Рассмотрим следующий пример:

[латекс] \ begin {array} {c} \ mathrm {log} \ left (10 + 100 \ right) \ overset {?} {=} \ End {array} \ mathrm {log} \ left (10 \ right ) + \ mathrm {log} \ left (100 \ right) \\\ mathrm {log} \ left (110 \ right) \ overset {?} {=} 1 + 2 \\ 2.04 \ ne3 [/ latex]

Будьте осторожны, применяйте правило произведения только тогда, когда логарифм имеет аргумент, являющийся произведением, или когда у вас есть сумма логарифмов.{6}. \ Hfill \\ \ hfill & = 6 {\ mathrm {log}} _ {6} 2 + 3 {\ mathrm {log}} _ {6} x + {\ mathrm {log}} _ {6} \ left (4x + 1 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {6} \ left (2x — 1 \ right) \ hfill & \ text {Применить правило мощности}. \ hfill \ end {array} [ / латекс]

Краткие логарифмы

Мы можем использовать только что изученные правила логарифмов, чтобы сжимать суммы, разности и произведения с одинаковым основанием в виде единственного логарифма. Важно помнить, что логарифмы должны иметь одинаковое основание для объединения. Позже мы узнаем, как изменить основание любого логарифма перед сжатием.

Пример

Запись [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (5 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (8 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2 \ right) [/ latex] как единственный логарифм.

Использование правил произведения и частного

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (5 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (8 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (5 \ cdot 8 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (40 \ right) [/ latex]

Это сокращает наше исходное выражение до

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (40 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2 \ right) [/ latex]

Затем, используя правило частного

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (40 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (\ frac {40} {2} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (20 \ right) [/ latex]

В нашем следующем примере мы покажем, как упростить более сложный логарифм путем его сжатия.{6}} [/ латекс]

Резюме

Для суммы, разности или произведения логарифмов с одинаковым основанием запишите эквивалентное выражение в виде одного логарифма.

1. Сначала примените свойство power. Определите термины, которые являются произведениями множителей и логарифма, и перепишите каждое как логарифм степени.
2. Затем примените свойство продукта. Перепишите суммы логарифмов как логарифм произведения.
3. Примените свойство частного в последнюю очередь. Перепишем разности логарифмов как логарифм частного.

Это закон, тоже законы логарифмов

Авторские права 20022020 Стэн Браун

Резюме: У вас проблемы с запоминанием законов логарифмов? Делать вы знаете, почему вы можете изменить log (x) + log (y) на другую форму, но не журнал (x + y)? Эта страница поможет вам разобраться в законах логарифмы.

См. Также: Все законы логарифмов текут прямо из законов экспонентов .Если ты чувствуешь себя немного неустойчивый с законами экспонент, просмотрите их перед тем, как продолжить.

Логарифм? Что такое логарифм?

Логарифм — это просто показатель степени.

Чтобы быть конкретным, логарифм числа x по основанию b это просто показатель степени, который вы положили на b , чтобы получить результат равно x . Например, поскольку 5 = 25, мы знаем, что 2 ( степень) — это логарифм 25 с основанием 5. Символически, журнал ₅ (25) = 2.

В более общем смысле, если x = b ^y , то мы скажем, что y — это логарифм x с основанием b или основание — b логарифм x . В символах y = log _b ( x ), часто пишется без скобок, y = бревно _b x . Каждое экспоненциальное уравнение можно переписать в виде логарифмического уравнения: и наоборот, просто поменяв местами x и y в этом случае.

Вы нечасто видите это слово, но можете также говорят, что x — это антилогарифм от y до база б . Логарифм — это показатель степени, а антилогарифм — результат возведения основания в этот показатель.

Еще один способ взглянуть на это: журнал _b x функция определяется как обратная b ^x функция. Эти два утверждения выражают это обратное соотношение, показывающее, как экспоненциальное уравнение эквивалентно логарифмическому уравнению:

x = b ^y такой же как y = бревно _b x

В любом уравнении x — антилогарифм и y — логарифм с основанием b .

Пример 1: 1000 = 10 ³ совпадает с 3 = журнал ₁₀ 1000. Логарифм равен 3, а антилогарифм равен 1000.

Пример 2: журнал ₃ 81 =? то же самое как 3 ^? = 81. Неизвестный ? — логарифм, а 81 — антилогарифм.

Нельзя сказать слишком часто: логарифм — это не что иное, как показатель степени. Вы можете написать приведенное выше определение компактно, и показать журнал как экспоненту, подставив второе уравнение в первое, чтобы исключить y :

Считайте, что как логарифм x по основанию b — это экспонента, которую вы положили на b , чтобы получить в результате x .

Откуда взялись журналы?

Раньше карманные калькуляторы несколько десятилетий назад, но в Студенческие годы вот и возраст динозавровответ было просто. Вам нужны журналы для вычисления большинства мощностей и корней с честным точность; даже умножение и деление большинства чисел было проще с журналами. В каждой приличной книге по алгебре были страницы и страницы журнальных таблиц на спина.

Изобретение бревен в начале 1600-х годов послужило толчком для научных исследований. революция. Тогда ученые, особенно астрономы, тратили огромные суммы чисел на бумаге.Сокращая время, которое они тратили на арифметические, логарифмы эффективно давали им более продуктивную жизнь. Логарифмическая линейка, когда-то почти мультяшный товарный знак ученого, был не чем иным, как устройством, созданным для выполнения различных вычислений быстро, используя логарифмы. См. Eli Maors e: The Story of a Number для получения дополнительной информации. это.

Сегодня журналы больше не используются в рутинной обработке чисел. Но все же есть веские причины для их изучения.

Почему мы заботимся?

Почему мы вообще используем логарифмы? Я мог бы написать целую статью о них может быть когда-нибудь.Но сейчас. …

• Чтобы узнать количество платежей на заем или время, чтобы получить инвестиционная цель.
• Для моделирования многих природных процессов, особенно в живых системах. Мы воспринимаем громкость звука как логарифм реального звука. интенсивность, а дБ (децибелы) — логарифмическая шкала. Мы также воспринимаем яркость света как логарифм действительной световой энергии, и звездные величины измеряются в логарифмической шкале.
• Для измерения pH или кислотности химического раствора.PH — это отрицательный логарифм концентрации свободных ионы водорода.
• Для измерения силы землетрясений по шкале Рихтера.
• Для анализа экспоненциальных процессов. Поскольку функция журнала является обратной экспоненциальной функции, мы часто анализируем экспоненциальную кривую с помощью логарифмы. Нанесение набора измеренных точек на бревенчатый или полубортовый лист может легко выявить такие отношения. Применения включают охлаждение мертвого тела, рост бактерий, и распад радиоактивных изотопов.Распространение эпидемии среди населения часто следует за измененным логарифмическая кривая называется логистической.
• Для решения некоторых форм задач с площадью в исчислении. (Площадь под кривой 1/ x , между x = 1 и x = A , равна ln A .)
• Также в расчетах дифференциация сложного продукта становится намного проще, если вы сначала возьмете логарифм.

(Исторически основная причина преподавания журналы в начальной школе было для упрощения вычислений, потому что журнал умножения понижает его до прибавления, а журнал мощности выражение понижает его до умножения.Конечно, с повсеместной доступностью персональных вычислительных устройств, сложность вычислений больше не вызывает беспокойства, но в журналах все еще есть многие приложения сами по себе.)

Основные факты

Из определения бревна как инверсии экспоненциально, можно сразу получить некоторые основные факты. Например, если вы построите график y = 10 ^x (или экспоненту с любым другим положительным основанием), вы увидеть, что его диапазон положительный реал; поэтому область y = log x (по любому основанию) — положительные числа.В другом слова, вы не можете взять журнал 0 или журнал отрицательного числа.

(На самом деле, если вы хотите выйти за рамки реалов, вы можете взять журнал отрицательного числа. Этой технике обучают на многих курсах тригонометрии.)

Журнал 1, лог равен 1

Пример 3: ln 1 = 0

Пример 4: журнал ₅ 5 = 1

Записать как обратное

Журнал — это показатель степени, потому что функция журнала — это обратная экспоненциальной функции. Обратная функция отменяет действие исходной функции.(Я не большой поклонник большинства применений термина «отмена» в математике, но он вписываются в эту ситуацию.)

Пример 5: журнал ₅ 125 = журнал ₅ (5) = 3

Пример 6: журнал ₁₀ 10 ^3,16 = 3,16

Пример 7: ln e ^{— k t /2} = — k t /2

Whats ln?

В качестве основания логарифмов подходит любое положительное число, но две базы используются больше, чем любые другие:

Почему base e? Что такого особенного в е? Большинство объяснений требует некоторого исчисления, например, что e ^x — единственная функция, которая является самостоятельным целым и его собственная производная, или что е имеет это красивое определение в условия факториалов:

е = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

В числовом выражении e около 2.7182818284. Его иррациональное (десятичное расширение никогда не заканчивается и никогда не повторяется), и на самом деле, как и π, его трансцендентный (ни одно полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами не имеет π или e как корень.)

e (например, π) встречается во всевозможных маловероятные места, такие как вычисления сложных процентов. Для объяснения потребовалась бы книга, и к счастью, — это книга, Эли Маорс e: История одного Номер . Он также занимается историей логарифмов, и книга стоит взять из вашей библиотеки.

Объединение бревен с одинаковым основанием

Через минуту посмотрите на различные комбинации. Но сначала ты Возможно, вам захочется узнать общий принцип: журналов сокращают количество операций на один уровень. Бревна превращают умножение в сложение, деление на вычитание, показатель степени на умножение и радикальное разделение. Теперь давайте разберемся, почему, и рассмотрим несколько примеров.

Умножение чисел, складывание их логарифмов

Умножение двух выражений соответствует сложению их логарифмов.Можем ли мы понять это?

Итак, что в нижней строке? Умножая два числа и беря log — это то же самое, что брать их логи и добавлять.

Пример 8: log ₈ ( x ) + log ₈ ( x ) совпадает с журнал ₈ ( x x ) или просто журнал ₈ ( x ).(Как вы увидите в следующем разделе, это может быть далее упрощено до 3log ₈ x .)

Пример 9: журнал ₁₀ (20) + журнал ₁₀ (50) = журнал ₁₀ (2050) = журнал ₁₀ (1000) = 3.

Показатель степени, умножить на логарифм

Продолжая нашу тему логарифмов, снижая уровень операций, если у вас есть y -я степень числа и взять log, результат будет в y раз больше log числа.Вот почему, начиная с x ^y :

Пример 10: ln (2 ⁶ ) = 6 ln 2 (где ln означает log _e , естественное логарифм).

Пример 11: log ₅ (5 x ) равно , а не равно 2 журнала ₅ (5 x ). Будьте внимательны с порядком действий! 5 x равно 5 ( x ), а не (5 x ). log ₅ (5 x ) необходимо сначала разложить как журнал товара: журнал ₅ 5 + журнал ₅ ( x ). Тогда второй член может использовать правило мощности, журнал ₅ ( x ) = 2 журнала ₅ x .Первый член всего 1. Подводя итоги, журнал ₅ (5 x ) = 1 + 2 журнала ₅ x .

Возведение чисел в любую степень

Уловка для вычисления таких выражений, как 6,7 ^4,4 , заключается в использовать правило экспоненты и определение логарифма как обратного:

х = 6,7 ^4,4

журнал x = 4,4 (журнал 6,7) = около 3,634729132

x = 10 ^{3,63472 …} = около 4312,5

Здесь нет ничего особенного в журналах base-10.В расчет с таким же успехом может быть

х = 6,7 ^4,4

ln x = 4,4 (ln 6,7) = примерно 8,369 273116

x = e ^{8,36927 …} = около 4312,5

Это будет работать для любого положительного основания и любого реального показателя степени, поэтому например

х = π ^π

журнал x = π (журнал π) = около 1,561842388

x = 10 ^{1,5618 …} = около 36,46215961

Вы можете комбинировать это с умножение чисел = добавление правила логарифма к оцените возможности, которые слишком велики для вашего калькулятора.Например, что такое 671 ²¹⁷ ?

х = 671 ²¹⁷

журнал x = 217 (журнал 671) = около 613,3987869

Теперь разделите целую и дробную части логарифм.

журнал x = около 0,3987869 + 613

х = 10 ^{0,3987869 + 613}

х = 10 ^0,3987869 10 ⁶¹³

x = около 2,505 10 ⁶¹³

Для таких примеров вам действительно нужно использовать base-10 журналы.

Если основание отрицательное или показатель сложный, см. Силы и корни комплексного числа.

Разделить числа, вычесть их логарифмы

Поскольку деление противоположно умножению, а вычитание противоположность сложения, неудивительно, что деление двух выражения соответствует вычитанию их журналов. Пока мы могли пойти вернемся к компактному определению, его вероятно, проще использовать два предыдущих свойства.

Проще говоря, если вы разделите и возьмите журнал , это то же самое, что и вычитая отдельные журналы.

Пример 12: 67515 = 45, поэтому журнал ₁₀ 675 — журнал ₁₀ 15 = log ₁₀ 45. (Попробуйте на своем калькуляторе!)

Пример 13: журнал ( x y ) — журнал ( x y ) = журнал ( x y / x y ) = журнал ( x / y ) = журнал ( x ) — журнал ( y ).

Замена основания

Теперь у вас есть все необходимое для изменения логарифмов с единицы база к другому.Посмотрите еще раз на компакт уравнение, определяющее журнал в базе b :

Обратите внимание, что журнал _{a 909 постоянный. Этот означает, что журналы всех чисел в данной базе a являются пропорционально логам тех же чисел в другой базе b , а константа пропорциональности log a b равна журнал одной базы в другой базе.Если вы похожи на меня, у вас могут быть проблемы с запоминанием умножать или делить. Если да, просто выведите уравнение, как видите, занимает всего два шага.}

Пример 14: журнал ₄ 16 = (журнал 16) / (журнал 4).(Вы можете проверить это на своем калькуляторе, так как вы знать журнал ₄ 16 должно быть равно 2.)

Пример 15: Большинство калькуляторов не могут строить графики y = журнал ₃ x напрямую. Но вы можете изменить базу на e и легко построить график y = (ln x ) (ln 3). (Вы могли одинаково хорошо используйте базу 10.)

Пример 16: журнал ₁₀ e = 1 / (ln 10).(Вы можете проверить это на своем калькуляторе.)

Пример 17: журнал ₁₂₅ 5 = 1 / (журнал ₅ 125). В этом легко убедиться: 5 ³ = 125, а 5 — кубический корень из 125. Следовательно, log ₁₂₅ 5 = 1/3 и log ₅ 125 = 3, и 1/3 действительно равно 1/3.

Резюме

Законы логарифмов были разбросаны по этому длинному страницу, поэтому было бы полезно собрать их в одном месте. Сделать этот еще более полезный, , связанный здесь также показаны законы экспонент.

Ради бога, не пытайтесь запомнить эту таблицу! Просто используйте это, чтобы при необходимости подберите себе память. Еще лучше, поскольку журнал является экспонентой, используйте законы экспонентов, чтобы повторно получить любую собственность логарифмов, которые вы могли забыть. Таким образом, вы действительно получите владение этим материалом, и вы будете чувствовать себя уверенно операции.

Не проявляйте творчества! Большинство вариантов вышеизложенного недействительны.

Пример 18: журнал (5+ x ) не то же самое, что журнал 5 + журнал x . Как вы знаете, журнал 5 + журнал x = журнал (5 x ), а не журнал (5+ x ). Посмотрите внимательно на приведенную выше таблицу, и вы увидите что вы ничего не можете сделать, чтобы разделить журнал ( x + y ) или журнал ( x — y ).

Пример 19: (журнал x ) / (log y ) не то же самое, что log ( x / y ).В Фактически, когда вы делите два журнала на одну базу, вы обратная работа по формуле смены базы. Хотя это не часто полезно, (журнал x ) / (журнал y ) = журнал _y x . Только не пишите журнал ( x / y )!

Пример 20: (журнал 5) (журнал x ) не является то же, что и журнал (5 x ). Вы знаете, что журнал (5 x ) журнал 5 + журнал x . Ты действительно мало что можешь делать с произведением двух бревен, когда они имеют одинаковую основу.(Вы можете переписать продукт как журнал ( x ^{журнал 5} ), но это вряд ли попроще.)

См. Также: Объединение операций (распределительные законы)

Заключение

Ну вот и все: законы логарифмов демистифицировано! Общее правило состоит в том, что журналы просто отбрасывают операцию. на один уровень вниз: показатели становятся множителями, деления становятся вычитания и так далее. Если вы когда-нибудь не уверены в операции, например как сменить базу, работа это с помощью определения журнала и применяя законы экспонент, и вы не ошибетесь.

Что нового

• 7 декабря 2020 г. :
• 20/23 октября 2020 г. : страница преобразована из HTM 4.01 в HTML 5 и заменил устаревшие теги на CSS. К этому примеру добавлено небольшое предзнаменование.
• 17 августа 2015 г. : перемещено с OakRoadSystems.com на BrownMath.com.
• (промежуточные изменения подавлены)
• 11 января 1998 г .: адаптировать эту статью для Интернета
• 22 декабря 1997 г .: Опубликовать в alt.algebra.help.