Как решать логарифмы с одинаковыми основаниями примеры. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)
(от греческого λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.
Например:
log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .
Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если
Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование — это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Потенцирование — это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй — отрицательное число в основании, а в третьей — и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Условия определения логарифма.
Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .
Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Особенности логарифмов.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.
Логарифмом числа N по основаниюа называется показатель степених , в которую нужно возвестиа , чтобы получить числоN
При условии, что 
,
,
Умножение логарифмов, формула и примеры
Определение и формулы для умножения логарифмов
1 случай. .
Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь:
Что и требовалось доказать.
Например. .
2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также можно в некоторых случаях упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода
Примеры решения задач
3 случай. Произведение логарифмов с одинаковыми основаниями также можно иногда преобразовать, основываясь на свойствах логарифма.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Как сравнивать логарифмы с разным основанием
Как сравнивать логарифмы с разным основанием.
При решении показательных и логарифмических неравенств нередко возникает необходимость сравнить логарифмы с разным основанием.
Рассмотрим, как это сделать.
Пример 1. Сравнить 
и 
.
Чтобы сравнить эти логарифмы, нужно найти число, которое стоит на числовой прямой между
.Нетрудно увидеть, что 
,
То есть 
, следовательно, 
Чаще ситуация выглядит сложнее.
Пример 2. Сравнить 
и 
.
Так как 
, следовательно, 
. Аналогично, 
.То есть значение обоих логарифмов — дробное число, лежащее в пределах от 1 до 2. Подобрать промежуточное число, которое стоит на числовой прямой между и уже сложнее.
Поступим так. Предположим, в знаменателе промежуточного числа стоит 2. Умножим оба логарифма на 2, то есть сравним числа
и 
Перенесем 2 в показатель степени:
и 
Теперь нетрудно увидеть, что 
, следовательно, 
.
Если умножение на 2 не приводит к желаемому результату, нужно попытаться умножить на 3, потом на 4 и т.д.
Пример 3. В некоторых случаях прежде чем сравнивать логарифмы, нужно выполнить определенные преобразования.
Сравнить 
и 
Так как 
, мы можем преобразовать логарифм с основанием 2:
Итак, мы сравниваем числа и 
.
Прибавим к обоим числам 2:
и 
Преобразуем: 
Теперь нам нужно сравнить числа
и
Значение обоих логарифмов — дробное число, принадлежащее промежутку 
.
Предположим, в знаменателе промежуточного числа стоит 2. Умножим оба логарифма на 2, то есть сравним числа
и 
Перенесем 2 в показатель степени:
и 
и 
, следовательно, 
.
, следовательно, 
.
Получили, что 
, следовательно, 
.
Репетитор по математике Инна Владимировна Фельдман.
ege-ok.ru
Сумма логарифмов | Логарифмы
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:
(x>0, y>0).
С помощью этого свойства в некоторых случаях можно найти, чему равна сумма логарифмов, даже если логарифм каждого слагаемого не является рациональным числом.
Например,
Это свойство верно, в частности, и для десятичных и натуральных логарифмов.
Сумма десятичных логарифмов равна десятичному логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:
Например,
Сумма натуральных логарифмов равна натуральному логарифму произведения выражений, которые стоят под знаками логарифмов в слагаемых:
Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения верен и в случае когда количество слагаемых больше двух:
Например,
Это свойство логарифмов широко используется при упрощении выражений, в ходе решения логарифмических уравнений и неравенств.
www.logarifmy.ru
Логарифм равен логарифму | Логарифмы
Уравнения, в которых один логарифм равен другому логарифму, можно считать простейшими в случае, когда основания этих логарифмов равны:
При решении любого логарифмического уравнения следует определить его ОДЗ либо выполнить проверку найденных корней. В уравнениях вида «логарифм равен логарифму» нахождение ОДЗ может быть упрощено.
Под знаком логарифма должно стоять положительное число, следовательно,
ОДЗ:
По свойству логарифмической функции, из того что равны логарифмы по одному основанию
следует, что выражения, стоящие под знаками логарифмов, также равны:
А раз они равны между собой, если одно из выражений положительно, то другое — также положительно. Следовательно, для нахождения области допустимых значений уравнения достаточно выбрать только одно из двух условий (разумеется, выбирают то неравенство, которое проще решить).
Примеры.
ОДЗ:
Так как логарифмы по одинаковому основанию равны, приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов:
Первый корень не входит в ОДЗ.
Ответ:2.
Если разность логарифмов равна нулю, уравнение может быть представлено в виде «логарифм равен логарифму»:
Поэтому в ОДЗ достаточно записать лишь одно условие:
Поскольку равны логарифмы с одинаковыми основаниями, выражения, стоящие под знаками логарифмов, тоже равны:
Второй корень не входит в ОДЗ.
Ответ: 1,5.
www.logarifmy.ru