Математическая прогрессия это – Арифметическая прогрессия | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить

Арифметическая прогрессия - это... Что такое Арифметическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — ее разность.

Доказательство

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .

База индукции  :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :

Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что .

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .

Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.
, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Доказательство

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

.

См. также

Ссылки

Прогрессии

Прогрессии – это определенные последовательности числе, которые получаются по определенному правилу. Сам термин «прогрессия» на сегодняшний день несколько устарел, поэтому встречается, в основном, в словосочетании «геометрическая прогрессия» и «арифметическая прогрессия». Рассмотрим подробнее каждую из них.

Арифметическая прогрессия является последовательностью чисел, где каждый следующий член образовывается в результате прибавления к нему одного и того же числа. Это числа называется равностью арифметической прогрессии. Равность арифметической прогрессии может быть, как положительной, так и отрицательной.

Геометрическая прогрессия является последовательностью чисел, где каждый следующий член умножается на определенное постоянное число. это число называется знаменателем данной прогрессии.

Однако, помимо арифметической и геометрической, существуют еще и другие виды прогрессий. Если величины, обратные числам прогрессии, образовывают арифметическую прогрессию, то она называется гармонической прогрессией.

Как правило, в арифметической прогрессии разности между членами постоянны. Если же данные разности не постоянны, а постоянство наблюдается у разности разностей, то такую прогрессию называют арифметической прогрессией второго порядка.

Прогрессии

Арифметическая прогрессия
Формула n-го члена
Сумма n первых членов
 
S
 
 
n
 
=
a 
1
+ a 
n
 
n =
2a 
1
+ d(n - 1) 
n
22
Свойства
a 
1
+ a 
n
= a 
2
+ a 
n - 1
= ... = a 
k + 1
+ a 
n - k
 
a
 
 
n
 
=
a 
n - 1
+ a 
n + 1
2
Если d > 0, то прогрессия возрастающая
Если d

Геометрическая прогрессия
Формула n-го члена
Сумма n первых членов
 
S
 
 
n
 
=
b 
n
q - b 
1
 
= b
 
 
1
1 - qn
 
q - 11 - q
Свойства
b 
1
* b 
n
= b 
2
* b 
n - 1
= ... = b 
k + 1
* b 
n - k
 
|b 
n
| =b 
n - 1
b 
n + 1
Если q > 1, то прогрессия возрастающая
Если 0
Если q

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (0

ПРОГРЕССИЯ - это... Что такое ПРОГРЕССИЯ?


Например, если бы за первый день месяца вам заплатили 1 цент, а за каждый последующий день вы получали бы вдвое больше, чем за предыдущий, то за первые 10 дней вы заработали бы всего 10,23 долл., а за первые 30 дней уже 10737418,23 долл. Эти выкладки показывают, что при r >1 члены геометрической прогрессии в конце концов возрастают очень быстро. Такие геометрические прогрессии называются возрастающими. Они используются, например, при вычислении сложных процентов. Если 0 0, b > 0) - тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Средние члены (a + b)/2 и называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим чисел a и b. (Арифметическое среднее совпадает с обычным средним.)
Другие прогрессии. Множество чисел иногда называется гармонической прогрессией, если величины, обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, ј образуют гармоническую прогрессию. Числа a, 2ab/(a + b) и b являются тремя последовательными членами гармонической прогрессии, а средний член называется гармоническим средним чисел a и b. Для суммы первых n членов гармонической прогрессии простой формулы не существует, но разность между суммой первых n членов и натуральным логарифмом числа n

при n, стремящемся к бесконечности, стремится к некоторому пределу; этот предел называется постоянной Эйлера; ее приближенное значение равно 0,5772. В арифметической прогрессии разности между последовательными членами постоянны. Если разности не постоянны, а постоянны разности разностей, то прогрессия называется арифметической прогрессией второго порядка. Аналогичным образом определяются арифметические прогрессии более высоких порядков. Например, 2, 6, 12, 20, 30, ј - арифметическая прогрессия второго порядка, так как разности 4, 6, 8, 10, ј образуют арифметическую прогрессию с d = 2.

Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.

Синонимы:
  • ЧИСЛО ПИ
  • МНОГОГРАННИК

Смотреть что такое "ПРОГРЕССИЯ" в других словарях:

  • ПРОГРЕССИЯ — (лат. приращение; этим. см. прогрессивный. 1) ряд чисел или величин, увеличивающихся по известному закону. 2) в муз.: постепенное повторение мотива в 1 или 2 такта в восходящ. или нисходящем порядке. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Прогрессия — Прогрессия  последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Арифметическая прогрессия  прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему,… …   Википедия

  • прогрессия — и, ж. prgression f. <, лат. progressio движение вперед, рост. 1. В математике ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в котором разность или отношение между соседними величинами сохраняет постоянную величину. Арифметическая,… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • ПРОГРЕССИЯ — см. Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия …   Большой Энциклопедический словарь

  • ПРОГРЕССИЯ — ПРОГРЕССИЯ, см. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ; ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ПРОГРЕССИЯ — ПРОГРЕССИЯ, прогрессии, жен. (лат. progressio восхождение, приращение). 1. Ряд чисел, увеличивающихся или уменьшающихся так, что разность или отношение между каждыми двумя соседними числами сохраняет постоянную величину (мат.). Арифметическая,… …   Толковый словарь Ушакова

  • ПРОГРЕССИЯ — жен., лат., мат. лествица; ряд чисел, из которых каждое на столько же или во столько же раз более или менее предыдущего; первая прогрессия арифметическая, вторая геометрическая. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 …   Толковый словарь Даля

  • прогрессия — последовательность; ряд Словарь русских синонимов. прогрессия сущ., кол во синонимов: 2 • ряд (49) • секвенция …   Словарь синонимов

  • прогрессия — прогрессия. Произносится [прогрэссия] и [прогрессия] …   Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

  • ПРОГРЕССИЯ — ПРОГРЕССИЯ, и, жен. В математике: ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в к ром разность или отношение между соседними числами сохраняет постоянную величину. Арифметическая п. Геометрическая п. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю.… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПРОГРЕССИЯ

    — англ. progression; нем. Progression. В математике ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в к ром разность или отношение между соседними числами сохраняет постоянную величину. Различают П. арифметическую и П. геометрическую. Antinazi.… …   Энциклопедия социологии


ПРОГРЕССИЯ - это... Что такое ПРОГРЕССИЯ?

  • ПРОГРЕССИЯ — (лат. приращение; этим. см. прогрессивный. 1) ряд чисел или величин, увеличивающихся по известному закону. 2) в муз.: постепенное повторение мотива в 1 или 2 такта в восходящ. или нисходящем порядке. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Прогрессия — Прогрессия  последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Арифметическая прогрессия  прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему,… …   Википедия

  • прогрессия — и, ж. prgression f. <, лат. progressio движение вперед, рост. 1. В математике ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в котором разность или отношение между соседними величинами сохраняет постоянную величину. Арифметическая,… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • ПРОГРЕССИЯ — см. Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия …   Большой Энциклопедический словарь

  • ПРОГРЕССИЯ — ПРОГРЕССИЯ, см. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ; ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ПРОГРЕССИЯ — жен., лат., мат. лествица; ряд чисел, из которых каждое на столько же или во столько же раз более или менее предыдущего; первая прогрессия арифметическая, вторая геометрическая. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 …   Толковый словарь Даля

  • прогрессия — последовательность; ряд Словарь русских синонимов. прогрессия сущ., кол во синонимов: 2 • ряд (49) • секвенция …   Словарь синонимов

  • прогрессия — прогрессия. Произносится [прогрэссия] и [прогрессия] …   Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

  • ПРОГРЕССИЯ — ПРОГРЕССИЯ, и, жен. В математике: ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в к ром разность или отношение между соседними числами сохраняет постоянную величину. Арифметическая п. Геометрическая п. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю.… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПРОГРЕССИЯ — англ. progression; нем. Progression. В математике ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в к ром разность или отношение между соседними числами сохраняет постоянную величину. Различают П. арифметическую и П. геометрическую. Antinazi.… …   Энциклопедия социологии

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *