Математическая предметная классификация — Википедия

Математическая предметная классификация (МПК, англ. Mathematics Subject Classification, MSC) — буквенно-цифровая классификационная система разделов математики и направлений математических исследований, разработанная и используемая двумя основными обзорными математическими базами данных — Mathematical Reviews и Zentralblatt MATH, ведомыми, соответственно, Американским математическим обществом и Европейским математическим обществом. Классификатор содержит более 5 тыс. сгруппированных в трёхуровневую иерархию элементов, каждый из которых отражает какую-либо специфическую тематику математических исследований.

Существует с 1940 года, приблизительно раз в десятилетие выходят корректировки. Используется многими математическими журналами, которые требуют от авторов указывать коды МПК в статьях в соответствии с тематикой.

Имеет трёхуровневую иерархическую структуру. Классификатор первого уровня — это две десятичные цифры, второго уровня — заглавная латинская буква, третьего уровня — две десятичные цифры. Например:

Классификатор должен содержать не менее двух цифр, например, 05 — комбинаторика.

Первый уровень[править | править код]

На первом уровне занумерованы свыше 40 основных разделов математики^[⇨]. Нумерация не сплошная, некоторые номера зарезервированы на будущее. Первые номера у разделов «Общее», «История и биографии», «Математическая логика и основания математики», «Комбинаторика», далее идёт серия алгебраических разделов, потом — различные разделы анализа, далее — разделы геометрии и топологии, чисто математическая часть верхнего уровня классификатора заканчивается следующими разделами: «Глобальный анализ, анализ на многообразиях» (связующим между топологией и анализом), «Теория вероятностей и случайные процессы», «Вычислительная математика». Начиная с кода 68 занумерованы прикладные категории — «Информатика», несколько разделов механики, физики, выделены разделы под астрономию, биологию, теорию систем и теорию управления. Последний код верхнего уровня классификации —

97, присвоен разделу «Математическое образование».

Второй уровень[править | править код]

На втором уровне латинскими буквами обозначены подразделы математических дисциплин занумерованных на первом уровне. Например, для дифференциальной геометрии (первый код 53) значения кодов второго уровня таковы:

• A — классическая дифференциальная геометрия,
• B — локальная дифференциальная геометрия,
• C — глобальная дифференциальная геометрия.

Помимо букв существует специальный код «-», который используется для специфических категорий:

• 53-00 — справочная информация (справочники, словари, библиографии)
• 53-01 — инструкции (учебники, руководства)
• 53-02 — обзорные материалы (монографии, обзоры)
• 53-03 — исторические материалы
• 53-04  — конкретные вычислительные процедуры и компьютерные программы
• 53-06 — труды, конференции и тому подобное.

Такие категории должны быть пятизначными.

Третий уровень[править | править код]

Код третьего уровня обозначает конкретную математическую проблему или объект. Например, 11P05 — проблема Варинга и её модификации.

Код третьего уровня 99 используется для обозначения всех проблем и объектов, которые не обозначены другими кодами.

Первая версия классификатора опубликована в 1940 году. В дальнейшем содержание классификатора уточнялось и выпускались новые версии, редакции вышли соответственно в 1959, 1973, 1980, 1985, 1991, 2000 и 2010 годах. Каждая редакция обозначается годом её принятия (например, MSC-2010 или МПК-2010), публикуются таблицы перехода с предыдущей версии классификатора на новую. Изменения проектируются таким образом, чтобы не возникало неоднозначностей, то есть, коды, занимаемые упраздняемыми элементами классификации, не используются новыми элементами, таким образом, возможен поиск по базам данных по устаревшим кодам классификаций. При крупных модификациях внутри раздела верхнего уровня он целиком переносился на новый код верхнего уровня, так, раздел «Логика и основания математики» при пересмотре в 1980 году перенесён с кода

02 в код 03, а «Теория чисел» в редакции 1985 года перенесена с кода 10 в код 11. Отдельные разделы верхнего уровня упразднялись и переназначались на второй уровень классификации в другую дисциплину, так, «Теория множеств» до 2000 года входила в классификацию на верхнем уровне с кодом 04, а начиная с МПК-2000 отнесена на второй уровень раздела «Математическая логика и основания математики» с кодом 03E. Для новых крупных направлений математических исследований при очередных пересмотрах назначались верхние уровни классификации, в частности, коды верхнего уровня получили «Многообразия и клеточные комплексы» (1959, код 57), «Глобальный анализ и анализ на многообразиях» (1973, код 58), «K-теория» (1985, код 19).

Текст классификатора редакции 2010 года распространяется под свободной лицензией (Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike).

• 00. Общее (англ. general)
• 01. История, биографии
• 03. Математическая логика и основания математики
• 05. Комбинаторика
• 06. Порядки, решётки, упорядоченные алгебраические структуры
• 08. Универсальная алгебра
• 11. Теория чисел
• 12. Теория полей, многочлены
• 13. Коммутативная алгебра
• 14. Алгебраическая геометрия
• 15. Линейная и полилинейная алгебра; теория матриц
• 16. Ассоциативные кольца и алгебры
• 17. Неассоциативные кольца и алгебры
• 18. Теория категорий, гомологическая алгебра
• 19. K-теория
• 20. Теория групп
• 22. Топологические группы, группы Ли
• 26. Вещественные функции
• 28. Мера и интегрирование
• 30. Функции комплексного переменного
• 31. Теория потенциала
• 32. Функции многих комплексных переменных и аналитические пространства^[en]
• 33. Специальные функции
• 34. Обыкновенные дифференциальные уравнения
• 35. Дифференциальные уравнения в частных производных
• 37. Динамические системы и эргодическая теория
• 39. Разностные и функциональные уравнения
• 40. Последовательности, ряды, суммируемость
• 41. Приближения и разложения
• 42. Гармонический анализ в евклидовых пространствах
• 43. Абстрактный гармонический анализ
• 44. Интегральные преобразования, операционное исчисление
• 45. Интегральные уравнения
• 46. Функциональный анализ
• 47. Теория операторов
• 49. Вариационное исчисление и оптимальное управление; оптимизация
• 51. Геометрия
• 52. Выпуклая и дискретная геометрия
• 53. Дифференциальная геометрия
• 54. Общая топология
• 55. Алгебраическая топология
• 57. Многообразия и клеточные комплексы
• 58. Глобальный анализ, анализ на многообразиях
• 60. Теория вероятностей и случайные процессы
• 62. Математическая статистика
• 65. Вычислительная математика (англ. numerical analysis
• 68. Информатика (англ. computer science)
• 70. Теоретическая механика (англ. mechanics of particles and systems)
• 74. Механика сплошных сред (англ. mechanics of deformable solids)
• 76. Механика жидкости (англ. fluid mechanics)
• 78. Оптика, теория электромагнетизма
• 80. Классическая термодинамика, теплопередача
• 81. Квантовая теория
• 82. Статистическая механика, строение вещества (англ. structure of matter)
• 83. Теория относительности и теория гравитации
• 85. Астрономия и астрофизика
• 86. Геофизика
• 90. Исследование операций, математическое программирование
• 91. Теория игр, экономика, общественные науки, «поведенческие науки» (англ. behavioral sciences)
• 92. Биология и другие естественные науки
• 93. Теория систем и управления
• 94. Информация и коммуникации, схемы (англ. circuits)
• 97. Математическое образование

• Mathematics Databases (by Timothy W. Cole) // Encyclopedia of Library and Information Science / M. Drake (editor). — N. Y.: Marcel Dekker, 2003. — С. 1792-1795. — ISBN 0-8247-2079-2.

Портал:Математика — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Математический портал

«Математика — царица наук» (К. Ф. Гаусс).

Введение

Ключевые статьи по разделам математики

Хотите принять участие?

Загляните на математический проект. Здесь Вы увидите список особенно нужных статей, обсуждение развития математической части Википедии и сможете поделиться своим мнением с другими интересующимися математикой участниками.

Общая алгебра — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между такими структурами.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки, с двумя бинарными операциями — кольца, почтикольца, поля, решётки. Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами, векторные пространства, алгебры над кольцами, алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы), многосортные алгебры.

Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы, подкольца, подрешётки) и факторсистемы (факторгруппы, факторкольца, факторрешётки).

Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй. Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии, логике, теории множеств.

Различные авторы включают в состав общей алгебры (высшей алгебры) следующие разделы математики:

Идеи общей алгебры используются во многих областях математики. Особенно активно используют её методы алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и алгебраическая топология.

1. ↑ Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. С.8.

• Курош А. Г. . Лекции по общей алгебре. — 2-е изд . — М.: Физматлит, 1973.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М.: Мир, 1977, 1979. — Т. 1, 2. — 688 с. + 464 с.
• Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука. — (Справочная математическая библиотека).

Анализ (раздел математики) — Википедия

Эта статья — о математическом анализе в широком понимании, как обширном направлении в математике и современном её разделе. О классическом математическом анализе и соответствующей учебной дисциплине см. Математический анализ.

Анализ как современный раздел математики — значительная часть математики, исторически выросшая из классического математического анализа^[⇨], и охватывающая, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественной^[⇨] и комплексной^[⇨] переменной, теории дифференциальных и интегральных уравнений^[⇨], вариационное исчисление^[⇨], гармонический анализ^[⇨], функциональный анализ^[⇨], теорию динамических систем и эргодическую теорию^[⇨], глобальный анализ^[⇨]. Нестандартный анализ^[⇨] — раздел на стыке математической логики и анализа, применяющий методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.

Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией. Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии.

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши, впоследствии — Риман), начали обособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа — вещественного числа, функции, предела, интеграла, прежде всего, в трудах Коши и Больцано, и приобретшие законченную форму к 1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора^[1]. В этой связи сформировались теория функций вещественной переменной и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функций комплексной переменной. Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.

В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) была создана теория меры, благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительной переменной^[⇨]. Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства и их отображения^[⇨]. Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар, обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра, Арцела). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений^[⇨], развития общей теории интегрирования (Лебег), так и формирования функционального анализа^[2]. В 1906 году в работе Гильберта очерчена спектральная теория, в том же году опубликована работа Фреше, в которой впервые в анализ введены абстрактные метрические пространства^[3]. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены общетопологические методы к анализу (Хаусдорф), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис, Банах, Хан). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств (Джон фон Нейман, Маршалл Стоун, Рис). В 1936 году Соболевым сформулировано понятие обобщённой функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл Лоран Шварц), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является δ{\displaystyle \delta }-функция Дирака). В 1930-е — 1950-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения общеалгебраических инструментов (векторные решётки, операторные алгебры, банаховы алгебры).

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — топологических групп и представлений (Вейль, Петер^[en], Понтрягин). Начиная с 1940-х — 1950-х годов методы функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование). В 1950-е годы в трудах Понтрягина и учеников в развитие методов вариационного исчисления создана теория оптимального управления.

Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальной топологии к анализу примкнуло новое направление — анализ на многообразиях, получившее название «глобальный анализ»^[⇨], фактически начавшее формироваться ранее, в 1920-е годы в рамках теории Морса как обобщение вариационного исчисления (называемое Морсом «вариационное исчисление в целом», англ. variation calculus in large). К этому направлению относят созданные в развитие теории бифуркаций динамических систем (Андронов) такие направления, как теорию особенностей (Уитни, 1955) и теорию катастроф (Том, 1959 и Мазер^[en], 1965), получившие в 1970-е годы развитие в работах Зимана и Арнольда.

В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ^[⇨] — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария теории моделей. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, бесконечно больших и бесконечно малых величин), то с разработкой в конце 1970-х годов Нельсоном (англ. Edward Nelson) теории внутренних множеств^[en] и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам^[4]. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами^[5]. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие метода форсинга (созданного Коэном для доказательства неразрешимости в ZFC континуум-гипотезы) в работах Соловея, Скотта и Вопенки (чеш. Petr Vopěnka) разработана теория булевозначных моделей^[en], на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ^[6].

Классический математический анализ — раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых», состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия — предел функции, дифференциал, производная, интеграл, главные результаты — формула Ньютона — Лейбница, связывающая определённый интеграл и первообразную и ряд Тейлора — разложение в ряд бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки.

Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus).

Теория функций вещественной переменной[править | править код]

Теория функций вещественной переменной (иногда именуется кратко — теория функций) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции^[7]: если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественной переменной^[8] — факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).

Основные направления теории функций вещественной переменной^[9]:

Теория функций комплексной переменной[править | править код]

Предмет изучения теории функций комплексной переменной — числовые функции, определённые на комплексной плоскости C1{\displaystyle \mathbb {C} ^{1}} или комплексном евклидовом пространстве Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}, при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции, играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств, тем самым многие результаты теории функций комплексной переменной нашли обобщение в функциональном анализе.

Функциональный анализ как раздел характеризуется наличием в качестве предмета изучения топологических векторных пространств и их отображений с наложенными на них различными алгебраическими и топологическими условиями^[11]. Центральную роль в функциональном анализе играют функциональные пространства, классический пример — пространства Lp{\displaystyle L^{p}} всех измеримых функций, чья p{\displaystyle p}-я степень интегрируема; при этом уже L2{\displaystyle L^{2}} — бесконечномерное пространство (гильбертово пространство), и пространства бесконечных размерностей присущи функциональному анализу настолько, что иногда весь раздел определяется как часть математики, изучающая бесконечномерные пространства и их отображения^[12]. Важнейшей формой пространств в классических разделах функционального анализа являются банаховы пространства — нормированные векторные пространства, полные по метрике, порождённой нормой: значительная доля интересных на практике пространств являются таковыми, среди них — все гильбертовы пространства, пространства Lp{\displaystyle L^{p}}, пространства Харди, пространства Соболева. Важную роль играют в функциональном анализе играют алгебраические структуры, являющиеся банаховыми пространствами — банаховы решётки и банаховы алгебры (в том числе — C∗{\displaystyle C^{*}}-алгебры^[en], алгебры фон Неймана).

Теория операторов, изучающая ограниченные линейные операторы — крупный подраздел функционального анализа, включающий спектральную теорию, теории различных классов операторов (в частности, компактные, фредгольмовы, замкнутые операторы), теории операторов на специальных нормированных пространствах (на гильбертовых пространствах — самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы, на функциональных пространствах — дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные и псевдоинтегральные операторы и другие), теорию инвариантных подпространств, теории классов операторов — операторные алгебры, операторные полугруппы и другие.

Основной объект изучения вариационного исчисления — вариации функционалов, при помощи которых решаются экстремальные задачи, зависящие от выбора одной или нескольких переменных функций. Типичная вариационная задача — отыскание функции, которая удовлетворяет условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, бесконечно малые возмущения которой не вызывают изменения функционала по меньшей мере в первом порядке малости. Классическое вариационное исчисление оказало большое инструментальное влияние на многие разделы физики (вариационные принципы механики, также нашло широкое применение в электродинамике, квантовой механике). Теория оптимального управления — применение методов вариационного исчисления для существенно более широкого класса задач: определения наилучших параметров систем, в условиях когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения.

Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории тригонометрических рядов, преобразований Фурье, почти периодических функций^[en], рядов Дирихле^[13].

В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп^[14]. Важнейший результат коммутативного гармонического анализа — теорема Понтрягина о двойственности, благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в квантовой механике.

Дифференциальные и интегральные уравнения[править | править код]

В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется два основных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебных материалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравнения математической физики», так как исследование такого класса уравнений составляет основное наполнение математической физики).

В теории интегральных уравнений, кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма, оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства.

Теория динамических систем и эргодическая теория[править | править код]

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем, изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория, нацеленная на обоснование статистической физики. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематематического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности.

Глобальный анализ — раздел анализа, изучающий функции и дифференциальные уравнения на многообразиях и векторных расслоениях^[15]; иногда это направление обозначается как «анализ на многообразиях».

Одно из первых направлений глобального анализа — теория Морса и её применение к задачам о геодезических на римановых многообразиях; направление получило название «вариационное исчисление в целом». Основные результаты — лемма Морса, описывающая поведение гладких функций на гладких многообразиях в невырожденных особых точках, и такой гомотопический инвариант, как категория Люстерника — Шнирельмана. Многие из конструкций и утверждений обобщены на случай бесконечномерных многообразий (гильбертовых многообразий^[en]*, банаховых многообразий^[en]). Результаты, полученные в рамках глобального анализа особых точек нашли широкое и для решения чисто топологических задач, такова, например, теорема периодичности Ботта^[en], во многом послужившая основанием для самостоятельного раздела математики — K{\displaystyle K}-теории, а также теорема об h{\displaystyle h}-кобордизме, следствием которой является выполнение гипотезы Пуанкаре для размерности, превосходящей 4.

Ещё один крупный блок направлений глобального анализа, получивший широкое применение в физике и экономике — теория особенностей, теория бифуркаций и теория катастроф; основное направление исследований данного блока — классификация поведений дифференциальных уравнений или функций в окрестностях критических точек и выявление характерных особенностей соответствующих классов.

Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики, основная идея — формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными: ими получены результаты, ранее не найденные классическими средствами из-за недостатка наглядности^[5].

Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое, использующее на теоретико-модельные инструменты и синтаксическое, использующие разного рода расширения стандартной теории множеств. Семантическое направление базируется на локальной теореме Мальцева, позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всю модель^[16]. Существует крупная самостоятельная ветвь семантического направления нестандартного анализа — булевозначный анализ, конструирующийся вокруг понятия булевозначной модели^[en][17]. Синтаксическое направление основывается на теории внутренних множеств^[en], ключевой идеей которого является введение понятия нестандартных элементов и предиката стандартности, и аксиоматизация присущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — альтернативная теория множеств^[en][18].

1. ↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, с. 55.
2. ↑ Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm’s discovery, p. 97.
3. ↑ Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, p. 97.
4. ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами, с. viii.
5. ↑ ^{1 2} Анализ (раздел математики) — статья из Математической энциклопедии. Драгалин А. Г. С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа
6. ↑ А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2.
7. ↑ БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного.
8. ↑ БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке).
9. ↑ Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
10. ↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), с. 56.
11. ↑ Дьёдонне, 1981, One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings u:Ω→F{\displaystyle u:\Omega \to F} from a part Ω{\displaystyle \Omega } of a topological vector space E{\displaystyle E} into a topological vector space F{\displaystyle F}, these mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions, p. 1.
12. ↑ Функциональный анализ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
13. ↑ Гармонический анализ — статья из Математической энциклопедии. Е. М. Никитин
14. ↑ Гармонический анализ абстрактный — статья из Математической энциклопедии. Е. А. Горин, А. И. Штерн
15. ↑ Smale S. What is Global Anaysis? (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1969. — Vol. 76, no. 1. — P. 4—9. — ISSN 0002-9890. — DOI:10.2307/2316777.
16. ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат «основополагающего значения для нашей теории», с. 11.
17. ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, с. xii.
18. ↑ П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.

• Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. — М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
• Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9.
• Dieudonné, J. History of Functional Analysis. — Amsterdam: North Holland, 1981. — 314 p. — (Notas de Matematica, vol. 77). — ISBN 0-444-84148-3.

Основания математики — Википедия

Основания математики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы^[1].

С античности и приблизительно до конца 17 века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н. э.). В нём геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся ещё в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания всего здания тогдашней математики, и до Нового времени последовательной критики не вызывали.^[2]

Положение стало меняться в конце 17 века с изобретением Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, логическое обоснование которых долгое время оставалось непроясненным. Оно было получено лишь в середине 19 века стараниями Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса, Бернгарда Римана и других математиков на основе предложенного Коши понятия предела, причем проведенный в связи с этим анализ выявил необходимость более детальной, чем у Евклида, систематизации элементарных свойств чисел.

Одновременно с этим появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра другой части евклидовых построений, а именно, конструкций, описывающих геометрические объекты. Открытия Николая Лобачевского и Яноша Больяи показали, что, помимо евклидовой геометрии, опирающейся на, как казалось до этого, наиболее интуитивно очевидные аксиоматические предположения, возможны альтернативные геометрии, выводимые из других аксиом, но с такой же достоверностью способные описывать явления природы.

Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти 19 века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале 20 века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра её оснований.^[2]

Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики.^[3]

Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».^[4]

Предельная идеализация объектов математики может казаться препятствием к их изучению, однако ещё в древности было замечено, что одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные^[5]. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.)^[6]. В современной математике ими являются множества.^[3]

Этот факт можно считать результатом двух важных наблюдений, сделанных на самом начальном этапе развития теории множеств:

1. Декартово произведение X×Y{\displaystyle X\times Y} двух множеств X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y} можно определить как множество упорядоченных пар (x,y){\displaystyle (x,y)}, с x∈X{\displaystyle x\in X} и y∈Y{\displaystyle y\in Y}, в котором сами упорядоченные пары (x,y){\displaystyle (x,y)} определяются как множества вида {x,{x,y}}{\displaystyle \{x,\{x,y\}\}} (состоящие из двух элементов, x{\displaystyle x} и {x,y}{\displaystyle \{x,y\}}, причем второй элемент — это множество из двух элементов, x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}).^{[7][8][9][10][11]}
2. Функцию или отображение f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} множества X{\displaystyle X} в множество Y{\displaystyle Y} можно также определить как некое множество, а именно, как подмножество в декартовом произведении f⊆X×Y{\displaystyle f\subseteq X\times Y}, удовлетворяющее следующим двум условиям:^{[12][8][13][14]}

∀x∈X ∃y∈Y:(x,y)∈f{\displaystyle \forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f}	{\displaystyle \quad }	(«для любого x∈X{\displaystyle x\in X} существует y∈Y{\displaystyle y\in Y}, такой что (x,y)∈f{\displaystyle (x,y)\in f}»),
((x,y)∈f∧(x,z)∈f)⟹y=z{\displaystyle \left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z}	{\displaystyle \quad }	(«если (x,y)∈f{\displaystyle (x,y)\in f} и (x,z)∈f{\displaystyle (x,z)\in f}, то y=z{\displaystyle y=z}»).

Первое условие здесь означает, что каждому аргументу x∈X{\displaystyle x\in X} сопоставлено некоторое значение y∈Y{\displaystyle y\in Y} функции f{\displaystyle f}, а второе — что это значение единственно.

Из этих наблюдений следует вывод, серьёзно повлиявший на отношение современников к теории множеств Кантора: все математические объекты, за исключением тех, которые используются в описании самого понятия множества, можно определить как множества с подходящими свойствами.

♦ Как иллюстрация, теория чисел может быть представлена как часть теории множеств, её дефинициальное расширение^[en], если заметить, что изучаемые ею объекты — числа — допускают описания как множества специального вида:^[15][16][17]

• Натуральные (неотрицательные целые) числа N{\displaystyle \mathbb {N} } естественно определяются как конечные ординалы (с отношением порядка и операциями сложения и умножения для ординалов)^[18][19][20].
• Целые числа Z{\displaystyle \mathbb {Z} } затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата N×N{\displaystyle {\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }} множества N{\displaystyle \mathbb {N} } натуральных чисел, по отношению эквивалентности

(n,m)∼(n′,m′) ⟺ n+m′=n′+m,{\displaystyle (n,m)\sim (n’,m’)~\iff ~n+m’=n’+m,}

с отношением порядка^[21]

[(n,m)]≤[(n′,m′)] ⟺ n+m′≤n′+m{\displaystyle [(n,m)]\leq [(n’,m’)]~\iff ~n+m’\leq n’+m}

и алгебраическими операциями

[(n,m)]+[(n′,m′)]=[(n+n′,m+m′)],{\displaystyle [(n,m)]+[(n’,m’)]=[(n+n’,m+m’)],}

[(n,m)]⋅[(n′,m′)]=[(n⋅n′+m⋅m′,n⋅m′+m⋅n′)],{\displaystyle [(n,m)]\cdot [(n’,m’)]=[(n\cdot n’+m\cdot m’,n\cdot m’+m\cdot n’)],}

и при этом вложение N{\displaystyle \mathbb {N} } в Z{\displaystyle \mathbb {Z} } описывается формулой

k∈N↦[(k,0)]∈Z{\displaystyle k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} }}.

Класс эквивалентности [(n,m)]{\displaystyle [(n,m)]} интерпретируется как целое число n−m{\displaystyle n-m} в обычной записи (с n,m∈N{\displaystyle n,m\in {\mathbb {N} }}).

(p,q)∼(p′,q′) ⟺ q′⋅p=q⋅p′,{\displaystyle (p,q)\sim (p’,q’)~\iff ~q’\cdot p=q\cdot p’,}

с отношением порядка^[23]

[(p,q)]≤[(p′,q′)] ⟺ q′⋅p≤q⋅p′{\displaystyle [(p,q)]\leq [(p’,q’)]~\iff ~q’\cdot p\leq q\cdot p’}

и алгебраическими операциями

[(p,q)]+[(p′,q′)]=[(p⋅q′+p′⋅q,q⋅q′)],{\displaystyle [(p,q)]+[(p’,q’)]=[(p\cdot q’+p’\cdot q,q\cdot q’)],}

[(p,q)]⋅[(p′,q′)]=[(p⋅p′,q⋅q′)],{\displaystyle [(p,q)]\cdot [(p’,q’)]=[(p\cdot p’,q\cdot q’)],}

и при этом вложение Z{\displaystyle \mathbb {Z} } в Q{\displaystyle \mathbb {Q} } описывается формулой

k∈Z↦[(k,1)]∈Q{\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} }}.

Класс эквивалентности [(p,q)]{\displaystyle [(p,q)]} интерпретируется как рациональное число p/q{\displaystyle p/q} в обычной записи (с p∈Z{\displaystyle p\in {\mathbb {Z} }}, q∈N∖{0}{\displaystyle q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}}).

(x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′){\displaystyle (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)},

(x,y)⋅(x′,y′)=(x⋅x′−y⋅y′,x⋅y′+y⋅x′),{\displaystyle (x,y)\cdot (x’,y’)=(x\cdot x’-y\cdot y’,x\cdot y’+y\cdot x’),}

и при этом вложение R{\displaystyle \mathbb {R} } в C{\displaystyle \mathbb {C} } описывается формулой

a∈R↦(a,0)∈C{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} }}.

Мнимая единица определяется в этой конструкции как пара i=(0,1){\displaystyle i=(0,1)}, и вместе с предыдущими обозначениями это дает тождество

(x,y)=x+iy,x,y∈R,{\displaystyle (x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },}

интерпретируемое как обычная алгебраическая запись комплексного числа.

♦ Другая иллюстрация: математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числах^[24], может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.

♦ Следующая иллюстрация: в алгебре понятие группы описывается как множество G{\displaystyle G} с заданной на нём операцией m:(x,y)↦m(x,y)=x⋅y{\displaystyle m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y}, отображающей декартов квадрат G×G{\displaystyle G\times G} в G{\displaystyle G}, и обладающей нужными свойствами (ассоциативность, существование нейтрального элемента 1 и обратного элемента x−1∈G{\displaystyle x^{-1}\in G} для каждого x∈G{\displaystyle x\in G}). Поскольку, как уже объяснялось, отображения представляют собой частный случай множеств, всю конструкцию группы можно интерпретировать как множество G{\displaystyle G} с дополнительной структурой в виде ещё одного множества m{\displaystyle m} с определёнными свойствами.

♦ Основная конструкция топологии, понятие топологического пространства определяется как произвольное множество X{\displaystyle X} с фиксированным множеством U{\displaystyle {\mathcal {U}}} подмножеств в X{\displaystyle X}, содержащим X{\displaystyle X} и ∅{\displaystyle \varnothing }, и замкнутым относительно объединений и конечных пересечений (такое множество U{\displaystyle {\mathcal {U}}} подмножеств в X{\displaystyle X} называется топологией на множестве X{\displaystyle X}, а элементы U{\displaystyle {\mathcal {U}}} — открытыми множествами в X{\displaystyle X}).

♦ Похожим образом, во всей остальной математике (исключая лишь некоторые области математической логики, служащие фундаментом для построения самой теории множеств и/или изучающие формально более общие вопросы) используемые понятия определяются как множества (возможно, некоторого специального вида) с заданными на них дополнительными структурами (которые также определяются как множества нужного вида)^[25]. Таковы, в частности,

• решетки, кольца, модули, поля, векторные пространства, более широко, все алгебраические системы в алгебре,
• многообразия со всевозможными дополнительными структурами типа метрики, связности, кривизны и т. п. в геометрии,
• меры с порождаемыми ими пространствами функций и операторов в анализе,
• вероятностные пространства и случайные величины в теории вероятности,
• объекты с морфизмами в теории категорий, и т. д.

Фактически, все математические теории описываются ныне как дефинициальные расширения какой-нибудь теории множеств из разработанного для этих целей стандартного списка^[26] (причем в подавляющем большинстве случаев подходит любая теория из этого списка), и именно по этой причине теория множеств считается в наше время языком математики.^[3]

Развитие математики показало, что понятие множества само по себе требует аккуратного определения, чтобы недосказанности в понимании его свойств не приводили к противоречиям. Для решения этой проблемы правила построения теорий, подобных тем, где должны описываться свойства множеств, были строго формализованы, и в нынешних (аксиоматических) теориях, построенных по этим новым правилам, и называемых теориями первого порядка^[27][28], элементы двусмысленности исключены, а выбираемые аксиомы проходят первичную проверку на предмет появления очевидных несуразностей.^[29]

Это позволило избавиться от всех появившихся в начале 20 века противоречий в математике (правда, без гарантий, что новые противоречия не появятся в будущем^[30]). С другой стороны, довольно быстро обнаружилось, что предпочтения в выборе аксиом у математиков неодинаковы, и это привело к появлению многочисленных неэквивалентных аксиоматических теорий множеств^[31]. Наибольшей популярностью среди них пользуются ныне

Считается, что у каждой из них есть свои достоинства и недостатки.^[36] Теория ZF исторически появилась первой, и для большинства математических задач её обычно бывает достаточно, поэтому по употребительности она сильно опережает остальные. Однако в современных абстрактных областях математики, в частности, там, где используются методы теории категорий, как, например, в алгебре или в функциональном анализе, бывает желательно рассматривать образования, более общие, чем множества, так называемые классы, которых в ZF нет, и для этих целей обычно выбираются NBG или MK.^[36] Преимуществом NBG в этом списке является её конечная аксиоматизируемость.^[37][38] Но по элегантности и спектру возможностей и ZF, и NBG уступают MK.^[36] Недостатком MK (как и NBG) тем не менее является то, что в этой теории нет возможности рассматривать образования, более широкие, чем классы, содержащие произвольные классы как элементы (что также бывает желательно в некоторых математических дисциплинах, как, например, в теории категорий).^[39] Эта проблема предела возможностей решается иногда добавлением к MK (и точно так же этот прием работает в ZF и NBG) аксиомы существования универсума Гротендика с последующим переименованием объектов.^[40]

Вместе современные аксиоматические теории множеств образуют некую систему с общими языком и методами (и различиями только в списках аксиом), целью которой является обеспечение математиков инструментами для построения всех остальных математических объектов, существующих, и тех, которые могут понадобиться в будущем, и эту систему теорий, вместе с той областью математики, внутри которой они строятся, математической логикой, принято называть основаниями математики. Как часть математической логики, сюда входят и альтернативные теории, где вместо множеств в качестве первичных понятий математики предлагаются другие формы, в частности, объекты абстрактных категорий, описываемых не по традиции (как конструкции в ZF, NBG или MK), а напрямую, как независимые теории первого порядка.^[41]

Дошедшие до наших дней труды египетских и вавилонских математиков содержат только алгоритмы вычислений, разъясняемые на практических примерах. Никаких доказательств в них нет; неясно, каким образом открывались и обосновывались результаты, и обосновывались ли вообще. В трудах математиков Древнего Китая встречаются отдельные доказательства алгебраических и геометрических утверждений, однако единой системы логически связанных знаний они не образуют^[42][43].

Античный период[править | править код]

Идейные мотивы древнегреческой математики разработала пифагорейская школа, введшая логическое доказательство как необходимый компонент математической теории и разработавшая методологию доказательства, в том числе «доказательство от противного»^[44]. Базовыми объектами пифагорейцев были натуральные числа (дроби у них считались не числами, а пропорциями). Философской основой пифагорейской математики было убеждение в том, что Вселенная была создана по математическому плану, «всё есть число», из чего следовало, что законы природы познаваемы, существует только одна математика, и она содержит систему абсолютных, вечных истин. Успехи применения математики в астрономии (особенно в предсказании затмений), в музыке, оптике и землемерии считались подтверждением этих взглядов. Платон пошёл дальше, объявив, что математические объекты реальны в неком идеальном «мире идей», тенью которого является мир, воспринимаемый нашими органами чувств^[45].

Геометрические исследования пифагорейцев, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, вызвали ещё в V веке до н. э. критику со стороны Зенона Элейского, который своими апориями поставил вопрос: как реальный путь движения может состоять из непротяжённых точек? Эта проблема (дискретность или непрерывность пространства и времени) обсуждается в философии науки до сих пор^[46][47].

В V веке до н. э. произошло событие, которое на современном языке можно оценивать как первый кризис оснований математики^[48] — пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение (2{\displaystyle {\sqrt {2}}}) нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский, введший, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым^[2].

Постулаты Евклида

Первой целостной системой оснований математики стали «Начала» Евклида (III век до н. э.), надолго ставшие образцом математической теории и фундаментом последующих достижений (о предшественниках Евклида, которые несомненно существовали, практически ничего не известно). Этот труд, следуя Евдоксу, положил в основу математики вместо арифметики геометрию. Правила логического вывода были ранее, в IV веке до н. э., подробно изложены Аристотелем. В первой книге «Начал» Евклид даёт 14 аксиом геометрии и арифметики (первые пять часто называют постулатами), затем из них логически выводятся многочисленные теоремы. Каждая теорема выводится либо из аксиом, либо из других теорем (истинность которых ранее уже была доказана), и согласно законам логики Аристотеля новая теорема также является истинной. Теория величин Евдокса (по существу, краткий вариант современной теории вещественных чисел) изложена Евклидом в пятой книге его «Начал» и использовалась в Европе до XVII века. Арифметика величин моделировалась Евклидом на основе действий с отрезками, прямоугольниками и параллелепипедами^[2][49].

Уже в античные времена были критически отмечены недостатки евклидовского труда, в частности, Архимед указывал на необходимость добавления аксиомы, называемой ныне «аксиомой Архимеда» (сформулирована она была ещё Евдоксом). Со временем число замеченных недостатков постепенно увеличивалось^[50]. Количество аксиом у Евклида оказалось недостаточным, многие его рассуждения опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения, которое неявно используется во многих местах — например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал — возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности». Аксиоматика Евклида не позволяет обосновать важные для доказательств факты — например, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника, или что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках^[51].

Впоследствии математики отказались от идеи построения арифметики на основе геометрии, заменив ее на противоположную: начиная с аналитической геометрии Декарта (XVII век) геометрические задачи решаются с помощью числовых уравнений^[49][52].

Европа в XVII—XVIII веках[править | править код]

Европейские учёные Средневековья и начала Нового времени разделяли античные идеи о том, что в основу установленных свыше законов природы были положены математические принципы. Это понималось так, что люди не создают математические теории, а открывают те, что изначально были встроены в мироздание^[53]. Рене Декарт в 1637 году писал: «Из всех, кто когда-либо занимался поиском истины в науках, только математикам удалось получить некие доказательства, то есть указать причины, очевидные и достоверные»; математику он называл «сущностью всех наук». Аналогичных взглядов придерживались Галилео Галилей, Блез Паскаль, Исаак Ньютон и другие основоположники физики. К этому моменту математика далеко переросла античную тематику — появились новые теории, новые виды чисел, другие математические объекты, обоснование которых вначале излагалось на интуитивном уровне или вовсе отсутствовало^[54].

В конце XVII века произошло важное событие: Ньютон и Лейбниц создали

Математическая модель — Википедия

Математи́ческая моде́ль — математическое представление реальности^[1], один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки эмпирических законов, гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект или процесс, построенный на этапе содержательного моделирования^[⇨]. Математическая модель позволяет предсказать поведение реального объекта.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

По Ляпунову, математическое моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель), находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определённых отношениях и дающая при её исследовании, в конечном счёте, информацию о самом моделируемом объекте^[2].

В других вариантах, математическая модель определяется как объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала^[3], как «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям»^[4], как систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого, исследование которых средствами математики должно ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира^[5], как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе^[6].

В автоматизированных системах управления математическая модель используется для определения алгоритма функционирования контроллера. Этот алгоритм определяет, как следует изменять управляющее воздействие в зависимости от изменения задающего для того, чтобы была достигнута цель управления. ^[7]

Формальная классификация моделей[править | править код]

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий^[8]:

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом — распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта[править | править код]

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика».^[12] Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Содержательные и формальные модели[править | править код]

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель^[13]. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель^[14], умозрительная модель^[15] или предмодель^[16]. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершённых формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей[править | править код]

В работе Пайерлса^[17] дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса^[18] эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.

Гипотеза[править | править код]

Модели первого типа — гипотезы («такое могло бы быть»), «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Модели-гипотезы в науке не могут быть доказаны раз и навсегда, можно лишь говорить об их опровержении или неопровержении в результате эксперимента^[19].

Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Феноменологическая модель[править | править код]

Второй тип — феноменологическая модель («ведем себя так, как если бы…»), содержит механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен, и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа, и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Приближение[править | править код]

Третий тип моделей — приближения («что-то считаем очень большим или очень малым»). Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый приём в этом случае — использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

Упрощение[править | править код]

Четвёртый тип — упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), в такой отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) — это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей (то есть не производится линеаризация нелинейных уравнений, а просто ищутся линейные уравнения, описывающие объект), то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4 (все нелинейные детали «для ясности» опускаем).

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям четвёртого типа.

Эвристическая модель[править | править код]

Пятый тип — эвристическая модель («количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела»), такая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Аналогия[править | править код]

Тип шестой — модель-аналогия («учтём только некоторые особенности»). Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье Гейзенберга о природе ядерных сил^[20].

Мысленный эксперимент[править | править код]

Седьмой тип моделей — мысленный эксперимент («главное состоит в опровержении возможности»). Такой тип моделирования часто использовался Эйнштейном, в частности, один из таких экспериментов привёл к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчёта, либо скорость света не зависит от системы отсчёта, и выбрал второй вариант.

Демонстрация возможности[править | править код]

Восьмой тип — демонстрация возможности («главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности»), такого рода модели тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципами и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского. (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией».) Другой пример — массовое производство формально—кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена был задуман как мысленный эксперимент для демонстрации противоречивости квантовой механики, но незапланированным образом со временем превратился в модель 8 типа — демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

В основе содержательной классификации — этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закреплённой с одного конца, и груза массой m{\displaystyle m}, прикреплённого к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x{\displaystyle x} от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F=−kx{\displaystyle F=-kx}), после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

mx¨=−kx{\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx},

где x¨{\displaystyle {\ddot {x}}} означает вторую производную от x{\displaystyle x} по времени: x¨=d2xdt2{\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}.

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминистская, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведёт к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Гармонический осциллятор — пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Свойства гармонического осциллятора качественно изменяются малыми возмущениями. Например, если добавить в правую часть малое слагаемое −εx˙{\displaystyle -\varepsilon {\dot {x}}} (трение) (ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} — некоторый малый параметр), то получим экспоненциально затухающие колебания, если изменить знак добавочного слагаемого (εx˙){\displaystyle (\varepsilon {\dot {x}})} то трение превратится в накачку и амплитуда колебаний будет экспоненциально возрастать.

Для решения вопроса о применимости жёсткой модели необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Нужно исследовать мягкие модели, получающиеся малым возмущением жёсткой. Для гармонического осциллятора они могут задаваться, например, следующим уравнением:

mx¨=−kx+εf(x,x˙){\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx+\varepsilon f(x,{\dot {x}})}.

Здесь f(x,x˙){\displaystyle f(x,{\dot {x}})} — некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения. Явный вид функции f{\displaystyle f} нас в данный момент не интересует.

Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведётся к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований.

Если система сохраняет своё качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы.^[21] Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U{\displaystyle U}-образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «общей теории систем».

Прямая и обратная задачи математического моделирования[править | править код]

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задаётся как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача — провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, — вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический Железнодорожный мост через Ферт-оф-Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.^[22]

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки — разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений^[23]. То есть множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др.^[24] Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Модель Мальтуса[править | править код]

Согласно модели, предложенной Мальтусом, скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции, то есть описывается дифференциальным уравнением:

x˙=αx{\displaystyle {\dot {x}}=\alpha x},

где α{\displaystyle \alpha } — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x(t)=x0eαt{\displaystyle x(t)=x_{0}e^{\alpha t}}. Если рождаемость превосходит смертность (α>0{\displaystyle \alpha >0}), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. В действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестаёт быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста:

x˙=α(1−xxs)x{\displaystyle {\dot {x}}=\alpha \left(1-{\frac {x}{x_{s}}}\right)x},

где xs{\displaystyle x_{s}} — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению xs{\displaystyle x_{s}}, причём такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва[править | править код]

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов x{\displaystyle x}, число лис y{\displaystyle y}. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки — Вольтерры:

{x˙=(α−cy)xy˙=(−β+dx)y{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=(\alpha -cy)x\\{\dot {y}}=(-\beta +dx)y\end{cases}}}

Поведение данной системы не является структурно устойчивым: малое изменение параметров модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения.

При некоторых значениях параметров эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к постепенно затухающим колебаниям численности кроликов и лис.

Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведёт к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерры — Лотки ответа не даёт: здесь требуются дополнительные исследования.

1. ↑ «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. ↑ Новик И. Б., О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. ↑ Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. ↑ Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0120-X.
5. ↑ Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. — 3-е изд., испр. — М.: КомКнига, 2007. — 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. ↑ Севостьянов, А. Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. — М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. — 344 с.
7. ↑ Ротач В.Я. Теория автоматического управления. — 1-е. — М.: ЗАО «Издательский дом МЭИ», 2008. — С. 333. — 9 с. — ISBN 978-5-383-00326-8.
8. ↑ Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena (англ.). Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Дата обращения 18 июня 2013. Архивировано 18 июня 2013 года.
9. ↑ «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой — линейный или нелинейный — математический аппарат, какие — линейные или нелинейные — математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А., Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. — M.: URSS, 2006. — 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. ↑ «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем — это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения её состояния.»
    Анищенко В. С., Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
11. ↑ ^{1 2 3} «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.»
    Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. ↑ Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует — например, как он реагирует на внешние воздействия,— то она называется функциональной или, образно, чёрным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. — 3-е изд., испр. — М.: КомКнига, 2007. — 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. ↑ «Очевидный, но важнейший начальный этап построения или выбора математической модели — это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэффективным или даже потраченным впустую из-за недостаточного внимания к этой стороне дела.» Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. — 3-е изд., испр. — М.: КомКнига, 2007. — 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
14. ↑ «Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель М в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в) принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реальных процессов при построении модели.» Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.
15. ↑ Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г., Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: УРСС, 2006. — 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.
16. ↑ «Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. … Данный этап можно назвать формулировкой предмодели.» Самарский А. А., Михайлов А. П., Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры, — М.: Физматлит, 2001, 320 c. ISBN 5-9221-0120-X. c. 25.
17. ↑ Реierls R. Model-Making in Physics. — Contemp. Phys., January/February 1980, v. 21, pp. 3-17; Перевод: Пайерлс Р., Построение физических моделей, УФН, 1983, № 6.
18. ↑ Горбань А. Н., Хлебопрос Р. Г., Демон Дарвина: Идея оптимальности и естественный отбор. — М: Наука. Гл ред. физ.-мат. лит., 1988. — 208 с. — (Проблемы науки и технического прогресса) — ISBN 5-02-013901-7 (Глава «Изготовление моделей»)
19. ↑ «У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все её следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось её опровергнуть»
    Фейнман P., Характер физических законов. Библиотечка «Квант», Выпуск 62. — М.: Наука, Изд. второе, исправленное, 1987; Лекция 7. В поисках новых законов.
20. ↑ «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен, в конечном счете, состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон — протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H−H+{\displaystyle H-H^{+}}, обусловленным переходом электрона между двумя протонами. … Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью взаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований»
21. ↑ Арнольд В. И. Жёсткие и мягкие математические модели. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-134-4.
22. ↑ Наука-строительству, Техническая энциклопедия
23. ↑ Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю. Д. Максимова. — Спб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. — ISBN 5-81940-050-X.
24. ↑ Дьяконов В. П. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основы применения. Серия: Библиотека профессионала. — М.: Солон-Пресс, 2008. — 800 с. — ISBN 978-5-91359-042-8

• Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. — ISBN 5-94409-045-6.
• Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: УРСС, 2006. — 376 с. — ISBN 5-484-00163-3
• Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004. — ISBN 5-94010-272-7.
• Краснощёков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. — издание второе, пересмотренное и дополненное. — М.: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2000. — xii + 412 с. — (Математическое моделирование; Вып.1). — ISBN 5-7036-0061-8.
• Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. — 3-е изд., испр. — М.: КомКнига, 2007. — 192 с. — ISBN 978-5-484-00953-4
• Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. — М.: Энергоатомиздат, 1996. — 544 с. — 1500 экз. — ISBN 5-7036-0061-8.
• Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0120-X.
• Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с. — ISBN 5-06-003860-2
• Бибик Ю.В., Попов С.П., Саранча Д.А. Неавтономные математические модели экологических систем. М.: ВЦ РАН, 2004. 120 с.
• Люлякин О.П., Тращеев Р.В., Саранча Д.А., Юрезанская Ю.С. Математическое моделирование экологических сообществ // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН, 2013. 66 с.
• Дьяконов В. П. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основы применения. Серия: Библиотека профессионала. — М.: Солон-Пресс, 2008. — 800 с. — ISBN 978-5-91359-042-8
• Каменев Г.К., Лысенко Н.А., Люлякин О.П., Поляновский В.О., Саранча Д.А., Юрезанская Ю.С. Использование методов математического моделирования для анализа экологических объектов. M.: ВЦ РАН, 2015. 119 с.
• Цымбал Б. П. Математическое моделирование сложных систем в металлургии. — Кемерово-Москва: «Российские университеты» Кузбассвузиздат — АСТШ, 2006. — ISBN 5-202-00925-9.
• Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. Х. Механика физических процессов. — МГУ, 1976. — 370 с. — 3330 экз.

Список математических функций — это… Что такое Список математических функций?

Эта страница — информационный список.

В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций.

Элементарные функции

Элементарные функции — функции, построенные на основе базовых арифметических действий (например: сложение, возведение в степень, логарифм).

Алгебраические функции

Алгебраические функции являются функциями, которые могут быть описаны как многочлен с целыми коэффициентами.

Трансцендентные функции

Трансцендентные функции: аналитические функции, не являющиеся алгебраическими.

Специальные функции

Базовые специальные функции

Функции теории чисел

Первообразные элементарных функций

Гамма-функции

Эллиптические функции

Функции Бесселя

Дзета-функция Римана и связанные с нею

Гипергеометрические функции

Повторяющиеся экспоненциальные функции

Другие специальные функции

Прочие функции

• Функция Аккермана: простой пример вычислимой функции в теории алгоритмов, которая не является примитивно рекурсивной.
• Дельта-функция, также известная как δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция: позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т.п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
• Функция Дирихле: применяется в теории вероятностей и математической статистике.
• Символ Кронекера, также известный как дельта Кронекера: индикатор равенства элементов.
• Функция Минковского, также известная как функция «вопросительный знак» Минковского: монотонная сингулярная функция.
• Функция Вейерштрасса: непрерывная функция, нигде не имеющая производной.