принцип, теорема и примеры решения задач

Задание. Решить СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

$$\tilde{A}=A \mid B=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right)$$

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right)$$

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right)$$

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Полученной матрице соответствует система

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+0 \cdot x_{2}+0 \cdot x_{3}=-1 \\ 0 \cdot x_{1}+x_{2}+0 \cdot x_{3}=1 \\ 0 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+x_{3}=3\end{array}\right.$    или   $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Решение уравнений методом Гаусса | matematicus.ru

С помощью метода Гаусса можно решить любую систему линейных уравнений с различным числом уравнений и неизвестных переменных. И именно этим свойством этот метод превосходит матричный метод и метод Крамера.

Суть метода состоит в приведении системы линейных уравнений к ступенчатому (треугольному) виду за счет последовательного исключения неизвестных. Затем её решения с помощью обратной подстановки.

---

Допустимые преобразования матрицы:

1. Перестановка местами двух строк или двух столбцов;
2. Умножение строки на число, которое не равно 0;
3. Прибавление одной строки к другой.
4. Исключение или добавление нулевой строки

---

Допустим, дана система линейных алгебраических уравнений с четырьмя уравнениями и четырьмя неизвестными.

Составим расширенную матрицу СЛАУ:

Затем первое уравнение СЛАУ делим на a₁₁.  При этом a₁₁≠0, если равно нуля, то переставляем две строки или два столбца местами так, чтобы избавится от нуля. После полученное уравнение умножаем на a₂₁ и вычитаем из второго уравнения, дальше, умножаем на a₃₁ и вычитаем из третьего уравнения и т.д.

Также поступаем и с оставшемся уравнениями, т.е. со вторым, третьем и четвёртым. В итоге должна получится матрица ступенчатого или треугольного вида.

Система уравнений примет вид

Такую систему элементарно решить обратным ходом, т.е. последовательным решением уравнений от нижнего к верхнему.

Рассмотрим наиболее подробно метод Гаусса при решении СЛАУ на практике.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение

Составим расширенную матрицу системы уравнений:

Первую строку разделим на a₁₁, но так как в этой строке a₁₁=0, то необходимо поменять строку у которой первый элемент не равен нулю. Выберем по модулю наибольшей элемент, это a₄₁=2 Поэтому поменяем первую и четвёртую строки местами.

Получаем:

Первую строку разделим на a₁₁=2. Получим матрицу:

Умножаем элементы первой строки на -1 и прибавляем к элементам второй строк. Получим матрицу:

Умножаем элементы первой строки на -1 и прибавляем к элементам третьей строки.

Четвёртую строку оставляем без изменений, так как её первый элемент равен нулю.

Теперь первый столбец не трогаем.

Начинаем повторять действия, которые применяли ранее.

Второе уравнение разделим на a₂₂=-1/2, тогда

Умножаем элементы второй строки на -1/2 и прибавляем к элементам третьей строки.

Умножаем элементы второй строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.

Первый и второй столбец не трогаем.

Третьей столбец разделим на 2.

Умножаем элементы третьей строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.

Получаем ступенчатую систему алгебраических уравнений:

Отсюда, решая систему снизу вверх, получаем корни системы уравнений

---

Приведём простой пример краткой записи решения СЛАУ методом Гаусса

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

Решение

Составим расширенную матрицу системы линейных уравнений .

Следовательно, искомая система может быть представлена в ступенчатом виде:

Решая последовательно уравнение, получаем:

Ответ: z = 3; y = 2; x = 1

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений  / / Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений. Поделиться:    Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. *Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга) Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наличие решений. *Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга) Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме, решение СЛАУ. Разновидности СЛАУ — совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная… Обратная матрица и ее нахождение. Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений. Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение. Характеристическое уравнение матрицы. Подпространство собственных векторов. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Обратите внимание!

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

1. Одно решение;
2. много решений;
3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

• перемена мест уравнений системы;
• почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
• сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

   

где а, в, с  – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Обратите внимание!

Если с системой уравнений:          

Произвести такие действия:

• умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
• менять местами уравнения;
• к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

Определение

Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Обратите внимание!

Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Записываем матрицу:

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

Тогда:

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

• берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
• берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло  вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же  уже исключались, тогда переходим к ,  и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , ,  – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Пример 1

Задача 

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Пример 3

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение                                                                

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть  ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что  = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Пример 4

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

 

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

Проверяем:

,

,

,

,

.

.

  Ответ

,

,

.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.

Метод Гаусса – теорема, примеры решений обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Метод Гаусса и Крамера — презентация по Алгебре

Презентация на тему: Метод Гаусса и Крамера

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

Матрицы Метод Гаусса Формулы Крамера Подготовили: Климов Дмитрий Радзевич Павел Руководитель: Петрова Л.Д. учитель математики 900igr.net

№ слайда 2 Описание слайда:

Содержание Что такое матрица? Карл Фридих Гаусс Метод Гаусса Габриэль Крамер Метод Крамера Вывод Использованные источники информации

№ слайда 3 Описание слайда:

Матрица Определение Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида: называется матрицей размера m n Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом: первый i – номер строки; второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.  Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С… Коротко можно записывать так:

№ слайда 4 Описание слайда:

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) Биография Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50х101=5050 . После 1801 года Гаусс включил в круг своих интересов естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера ,вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

№ слайда 5 Описание слайда:

Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x1 , x2, …, xn – неизвестные. ai j — коэффициенты при неизвестных. bi — свободные члены (или правые части)

№ слайда 6 Описание слайда:

Типы уравнений Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

№ слайда 7 Описание слайда:

Элементарные преобразования К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: перемена местами двух любых уравнений; умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

№ слайда 8 Описание слайда:

Общий случай Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение: Дана система: 1-ый шаг метода Гаусса На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение: где Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31). Система примет вид: Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы. (1) (2) (3)

№ слайда 9 Описание слайда:

2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение: где Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение: Предполагая, что находим (4)

№ слайда 10 Описание слайда:

В результате преобразований система приняла вид: Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1. (5)

№ слайда 11 Описание слайда:

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду. Треугольная система имеет вид: Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода Гаусса. Ступенчатая система имеет вид: Такая система имеет бесчисленное множество решений.

№ слайда 12 Описание слайда:

Рассмотрим на примере Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3 Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2) Тогда x3=-42/(-14)=3; x2=8-2×3=2 x1=8-0,5×2-2×3=1

№ слайда 13 Описание слайда:

Метод Крамера Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

№ слайда 14 Описание слайда:

Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) Биография Крамер родился в семье франкоязычного врача. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. 1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера,Галлея и де Муавра, Мопертюи и Клеро. В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. 1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

№ слайда 15 Описание слайда:

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … an1x1+an2x2+…+annxn=bn Теорема. Cистема

№ слайда 16 Описание слайда:

Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … an1 an2 … ann ≠ 0

№ слайда 17 Описание слайда:

В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

№ слайда 18 Описание слайда:

Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей Пример. Решить систему уравнений :

№ слайда 19 Описание слайда:

Решение.

№ слайда 20 Описание слайда:

Найдите оставшиеся компоненты решения. Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .

№ слайда 21 Описание слайда:

Найдите оставшиеся компоненты решения. Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:

№ слайда 22 Описание слайда:

Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде и, хотя при         каждая из них имеет бесконечный предел, их отношение стремится к пределу конечному.

№ слайда 23 Описание слайда:

Ответ. Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

№ слайда 24 Описание слайда:

Вывод Рассмотренный в данной презентации Метод Крамера позволяет решать линейные системы, но удобнее решать системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса, который находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

№ слайда 25 Описание слайда:

Использованные источники В.С. Щипачев, Высшая математика Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. http://ru.wikipedia.org Волков Е.А. Численные методы. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.

Метод Гаусса. Примеры

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений

к треугольному виду

Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.

Для этого делят первую строчку на , обозначим

.

Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:

Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .

Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .

Обозначив

,

от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;

от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:

Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:

Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:

Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее — находят и т.д. Из первого уравнения находят .

Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.

———————————————

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на

Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим

Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем

Из первого уравнения находим

Решение данной системы равен

——————————————

В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.

——————————————

Пример 2.

Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу для данной системы

Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первый и второй строки.

2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на

3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на

4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на

Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений

С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение

Найденные значения подставляем во второе уравнение

Из первого уравнения находим первую неизвестную

Система полностью решена и – ее решение.

——————————————————

Посмотреть материалы:

МЕТОД ГАУССА — Системы линейных уравнений

Ме́тод Га́усса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода – в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, – столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где   — номер строки):

где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Условие совместности

Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует арифметических операций.

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

• Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример 1

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на и 1, соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при  в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

TTU Сеть CAE

Приносим извинения за неудобства, но страница, к которой вы пытались получить доступ, находится не по этому адресу. Вы можете использовать приведенные ниже ссылки, чтобы найти то, что вы ищете.

Если вы уверены, что имеете правильный веб-адрес, но столкнулись с ошибкой, пожалуйста, связаться с Администрацией сайта.

Спасибо.

Возможно, вы искали…

Сеть TTU CAE

Доступ к файлам вне кампуса

Безопасный доступ к своим исследованиям или академическим файлам из дома или из любой точки мира.

Отправка ссылки на личный файл по электронной почте

Отправьте ссылку на файл в вашем личном веб-пространстве, чтобы избежать превышения квоты электронной почты получателей и других технических проблем.

Справка и поддержка пользователей

Файловый сервер CAE Lab

Введение и документация по файловому серверу CAE Lab.

Файловый сервер CAE Lab

В следующем наборе документов подробно описаны возможности файлового сервера CAE Lab и доступ к файлам, хранящимся в университетском городке и за его пределами.

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Windows в кампусе)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из других мест в университетском городке, если на нем установлена ​​Windows 7…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Mac OS X в кампусе)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из других мест в университетском городке, если на нем установлена ​​Mac OS X…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Windows за пределами кампуса)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из мест за пределами кампуса, если у вас установлена ​​последняя версия…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Mac OS X за пределами кампуса)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из мест за пределами кампуса, если на нем установлена ​​Mac OS X…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Unix в кампусе)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из других мест в университетском городке, при условии некоторого относительного типа…

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

• Образование
• Исследовать
• Инновации
• Прием + помощь
• Студенческая жизнь
• Новости
• Выпускников
• О Массачусетском технологическом институте
• Подробнее ↓
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О Массачусетском технологическом институте

Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

Системы линейных уравнений: исключение Гаусса

Решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса

После нескольких уроков, в которых мы неоднократно упоминали, что мы охватываем основы, необходимые для последующего изучения того, как решать системы линейных уравнений, пришло время для нашего урока сосредоточиться на полной методологии, которой нужно следовать, чтобы найти решения. для таких систем.

Что такое элиминация по Гауссу

Исключение Гаусса — это название метода, который мы используем для выполнения трех типов операций со строками матрицы над расширенной матрицей, полученной из линейной системы уравнений, чтобы найти решения для такой системы. Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.

Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который они производят.Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения. Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.

Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой.На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.

Правила исключения Гаусса такие же, как правила для трех элементарных операций со строками, другими словами, вы можете алгебраически оперировать строками матрицы следующими тремя способами (или комбинацией):

1. Перестановка двух рядов
2. Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
3. Добавление строки в другую строку

Итак, решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса оказывается структурированным, организованным и довольно эффективным методом.

Как выполнить исключение по Гауссу

На самом деле это не установленный набор шагов исключения Гаусса, которым нужно следовать, чтобы решить систему линейных уравнений, это все о матрице, которая у вас есть в ваших руках, и необходимых операциях со строками для ее упрощения. Для этого давайте поработаем над нашим первым примером исключения Гаусса, чтобы вы могли начать изучать весь процесс и интуицию, которая необходима при работе с ними:

Пример 1

Обратите внимание, что в этот момент мы можем заметить, что эта система линейных уравнений разрешима с единственным решением для каждой из ее переменных.То, что мы выполнили до сих пор, — это первый этап сокращения строк: прямое исключение. Мы можем продолжить упрощение этой матрицы еще больше (что приведет нас ко второму этапу обратной подстановки), но нам это действительно не нужно, поскольку на этом этапе система легко разрешима. Таким образом, мы смотрим на получившуюся систему, чтобы решить ее напрямую:

• Уравнение 5: Полученная линейная система уравнений для решения

Из этого набора мы можем автоматически заметить, что значение переменной z равно: z = -2.Мы используем это знание, чтобы подставить его во вторые уравнения для решения относительно y, и подставить значения y и z в первые уравнения для решения относительно x:

В последний раздел этого урока добавлено больше задач исключения Гаусса. Обязательно проработайте их, чтобы практиковаться.

Разница между устранением гаусса и устранением гаусса иордана

Разница между гауссовым исключением и гауссовым методом исключения Жордана состоит в том, что один создает матрицу в форме эшелона строк, а другой — матрицу в форме редуцированного эшелона строки.Матрица формы эшелона строк имеет верхнюю треугольную композицию, где любые нулевые строки находятся внизу, а ведущие члены находятся справа от ведущего члена из строки выше. Уменьшенная форма эшелона выходит за рамки еще большего упрощения (иногда даже достигая формы единичной матрицы).

Уравнение 8: Разница между формой эшелона и формой ряда эшелонов

История исключения Гаусса и его названия довольно интересны, вы будете удивлены, узнав, что название «Гауссовский» было присвоено этой методологии по ошибке в прошлом веке.В действительности было обнаружено, что алгоритм одновременного решения системы линейных уравнений с использованием матриц и редукции строк записан в той или иной форме в древних китайских текстах, которые датируются еще до нашей эры. Затем в конце 1600-х годов Исаак Ньютон провел по этому поводу урок, чтобы заполнить то, что он считал пробелом в книгах по алгебре. После того, как название «Гауссиан» было уже установлено в 1950-х годах, термин Гаусса-Иордана был принят, когда геодезист У. Джордан усовершенствовал технику, чтобы он мог использовать такие вычисления для обработки своих наблюдаемых данных топографической съемки.Если вы хотите продолжить чтение увлекательной истории математиков исключения Гаусса, не бойтесь щелкнуть ссылку и прочитать.

На самом деле нет никакой физической разницы между исключением Гаусса и исключением Гаусса Джордана, оба процесса следуют одному и тому же типу операций со строками и их комбинациям, их различие зависит от результатов, которые они производят. Многие математики и учителя во всем мире будут называть метод исключения Гаусса и исключения Гаусса Джордана методами создания матрицы эшелонированной формы по сравнению с методом создания матрицы сокращенной формы эшелона, но на самом деле они говорят о двух стадиях сокращения строк. мы объяснили это в самом первом разделе этого урока (прямое исключение и обратная подстановка), и поэтому вы просто применяете операции со строками, пока не упростите рассматриваемую матрицу.Если вы дойдете до формы эшелона, вы обычно можете решить с ней систему линейных уравнений (до сих пор это то, что называлось бы исключением Гаусса). Если вам нужно продолжить упрощение такой матрицы, чтобы напрямую получить общее решение для системы уравнений, над которой вы работаете, в этом случае вы просто продолжаете работать с матрицей по строкам, пока не упростите ее до сокращенной формы эшелона. (это будет то, что мы называем частью Гаусса-Жордана, и которую можно рассматривать также как поворотное исключение Гаусса).

Мы оставим подробное объяснение форм сокращения строк и эшелонирования для следующего урока, поскольку сейчас вам нужно знать, что, если у вас нет единичной матрицы в левой части расширенной матрицы, которую вы решаете (в этом случае вы не используете не нужно ничего делать для решения системы уравнений, относящейся к матрице), метод исключения Гаусса (регулярное сокращение строк) всегда будет использоваться для решения линейной системы уравнений, которая была записана в виде матрицы.

Примеры исключения Гаусса

В качестве последнего раздела давайте поработаем еще несколько упражнений по исключению Гаусса (сокращение строк), чтобы вы могли больше попрактиковаться в этой методологии.На протяжении многих будущих уроков этого курса линейной алгебры вы обнаружите, что сокращение строк является одним из самых важных инструментов при работе с матричными уравнениями. Поэтому убедитесь, что вы понимаете все этапы решения следующих проблем.

Пример 2

Пример 3

Мы знаем, что для этой системы мы получим расширенную матрицу с тремя строками (поскольку система содержит три уравнения) и тремя столбцами слева от вертикальной линии (поскольку есть три разных переменных).В этом случае мы перейдем непосредственно к сокращению строк, и поэтому первая матрица, которую вы увидите в этом процессе, — это та, которую вы получите, преобразовав систему линейных уравнений в расширенную матрицу.

• Уравнение 15: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

Обратите внимание, как мы можем сразу сказать, что переменная z равна нулю для этой системы, поскольку третья строка результирующей матрицы показывает уравнение -9z = 0 . Мы используем это знание и проверяем вторую строку матрицы, которая предоставит уравнение 2y — 6z = 0 , подставив в это уравнение значение z = 0 \, в результате получится y \, также равное нулю.Таким образом, мы наконец подставляем оба значения y и z \ в уравнение, которое получается из первой строки матрицы: x + 4y + 3z = 1 , поскольку и y , и z \ , равны нулю, то это дает нам x = 1 . Итак, окончательное решение этой системы уравнений выглядит следующим образом:

• Уравнение 16: Окончательное решение системы уравнений

Пример 4

Из чего видно, что последняя строка дает уравнение: 6z = 3 и, следовательно, z = 1/2.Мы подставляем это в уравнения, полученные из второй и первой строк (в указанном порядке), чтобы вычислить значения переменных x и y:

Пример 5

• Решите следующую линейную систему, используя метод исключения Гаусса: Уравнение 21: Система линейных уравнений с двумя переменными
• Транскрипция линейной системы в виде расширенной матрицы и редукции строк: Уравнение 22: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

• Что автоматически говорит нам y = 8 .Итак, подставляя это значение в уравнение из первой строки, получаем: 4x — 5y = 4x — 5 (8) = 4x — 40 = -6 4x = 34 \, и поэтому значение x равно: x = 172 \ frac {\ small17} {\ small2} 217 . И окончательное решение этой системы уравнений:

  Уравнение 23: Окончательное решение системы уравнений

Пример 6

Чтобы завершить наш урок на сегодня, у нас есть рекомендация по ссылке для дополнения ваших исследований: Исключение Гаусса — статья, которая содержит некоторую дополнительную информацию о сокращении строк, включая введение в тему и еще несколько примеров.Как мы упоминали ранее, будьте готовы продолжать использовать сокращение строк почти на протяжении всего курса линейной алгебры, так что до встречи на следующем уроке!

Правило Крамера — объяснение и примеры

Для решения системы уравнений мы в основном используем метод подстановки , метод исключения, метод построения графиков или . Мы также можем использовать матричную алгебру для решения системы уравнений. Такие процессы, как исключение Гаусса (также известное как исключение Гаусса-Жордана), могут помочь решить систему уравнений с $ 3 $ или более неизвестными.Мы также можем использовать правило Крамера для решения системы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.

В этом уроке мы рассмотрим, что такое правило Крамера и как решить систему уравнений. Далее следуют несколько примеров и практических задач.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.Это красоты правила Крамера. Мы можем найти значение отдельной переменной, не решая всю систему (или другие переменные).

Помните детерминанты?

Рассмотрим матрицу $ 2 \ times 2 $, показанную ниже:

$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}

$

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad — bc $

Примечание. Для обозначения определителя мы использовали нотацию $ 3 $.

Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \ times 3 $, показанную ниже:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}

$

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det (B) = | B | = \ begin {vmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} {e} & f \\ h & i \ end {vmatrix} — b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} $

Обратите внимание, что мы разбили матрицу $ 3 \ times 3 $ на более мелкие матрицы $ 2 \ times 2 $.Вертикальные черты за пределами матриц $ 2 \ times 2 $ показывают, что мы должны взять определитель. Зная определитель матриц $ 2 \ times 2 $, мы можем еще больше упростить формулу:

$ det (B) = | B | = a (ei-fh) — b (di — fg) + c (dh-eg) $

Рассмотрим систему уравнений, показанную ниже:

$ \ begin {align *} {2x} + 3y & = \, {7} \\ {- 3x} + 4y & = {15} \ end {align *}

$

Теперь мы дадим наименование некоторым матрицам, которые помогут нам использовать правило Крамера для решения этой системы позже.

• Следуя формуле детерминанта $ 2 \ times 2 $, мы можем записать матрицу детерминанта как:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix} $

Мы назвали его «D.»

• Поместив постоянные коэффициенты из системы в первый столбец (вместо $ x $ s), мы можем написать другую матрицу:

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 3 \\ {15 } & 4 \ end {vmatrix}

долл. США

Мы назвали его «$ D_ {x} $» и назвали x-матрицей .

• Точно так же, поместив константы из системы во второй столбец (вместо $ y $ s), мы можем написать другую матрицу:

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & 7 \\ { — 3} & 15 \ end {vmatrix}

долл. США

Мы назвали его «$ D_ {y} $» и назвали его y-матрицей .

Теперь формула правила Крамера для определения переменных $ x $ и $ y $ показана ниже:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 7 & 3 \\ {15} & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 3 \ \ {- 3} & 4 \ end {vmatrix}}

долл. США

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & 7 \\ {- 3} & 15 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix}}

долл. США

Следующий раздел покажет нам, как на самом деле использовать правило и решать систему! Обратите внимание, что мы, , не можем использовать правило Крамера, когда детерминант матрицы равен $ 0 $! Нулевой определитель может означать:

• Система несовместима (нет решения)
• Система зависимая (имеет бесконечное количество решений)

В этом случае мы должны полагаться на другие методы при решении системы, такие как метод замены / исключения или метод исключения Гаусса.

Как пользоваться правилом Крамера?

Давайте решим систему уравнений ($ 2 $ переменных), используя правило Крамера, чтобы увидеть концепцию live в действии!

Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

$ \ begin {align *} {2x} + y & = \, {7} \\ {3x} — 2y & = {- 7} \ end {align *}

$

Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x}) и определитель $ y — $ ($ D_ {y}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ {3} & {- 2} \ end {vmatrix}

$

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 1 \\ {- 7} & {- 2} \ end {vmatrix} $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & {7} \\ {3} & {- 7} \ end {vmatrix} $

Вспомните формулу для вычисления определителя $ 2 \ times 2 $:

Для матрицы $ 2 \ timess 2 $ —

$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}

$

Определитель рассчитывается как —

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad — bc $

Рассчитаем определители:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ {3} & {- 2} \ end {vmatrix} = (2) (- 2) — (1) (3) = — 4 — 3 = — 7 $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 1 \\ {- 7} & {- 2} \ end {vmatrix} = (7) (- 2) — (1) (- 7) = — 14 — (- 7) = — 14 + 7 = — 7 $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & {7} \\ {3} & {- 7} \ end {vmatrix} = (2) (- 7) — (7) (3) = -14 — 21 = — 35 $

Теперь мы можем использовать формулы и, таким образом, правило Крамера , чтобы найти переменные $ x $ и $ y $.Показано ниже:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {- 7} {- 7} = 1 $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {- 35} {- 7} = 5 $

Набор решений системы равен (1, 5) .

Вы можете заметить, что если бы мы хотели решить только $ 1 $ переменных, не решая всю систему, мы могли бы легко использовать формулу для одной переменной, чтобы найти ее. Правило Крамера — довольно изящный инструмент для поиска решений системы уравнений.Мы увидим несколько примеров, а также один с переменными $ 3 $.

Пример 1

Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

$ \ begin {align *} {- x} — y & = \, {5} \\ {2x} + y & = {4} \ end {align *}

$

Решение

Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x}) и определитель $ y — $ ($ D_ {y}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} — 1 & — 1 \\ {2} & {1} \ end {vmatrix}

$

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & — 1 \\ {4} & {1} \ end {vmatrix} $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} — 1 & {5} \\ {2} & {4} \ end {vmatrix} $

Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \ times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_ {x} $ и $ D_ {y} $.

$ D = \ begin {vmatrix} — 1 & — 1 \\ {2} & {1} \ end {vmatrix} = (- 1) (1) — (- 1) (2) = — 1 + 2 = 1 $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & — 1 \\ {4} & {1} \ end {vmatrix} = (5) (1) — (- 1) (4) = 5 + 4 = 9 $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} — 1 & {5} \\ {2} & {4} \ end {vmatrix} = (- 1) (4) — (5) (2) = — 4 — 10 = — 14 $

Теперь мы используем формулы, изученные в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {9} {1} = 9 $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {- 14} {1} = — 14 $

Набор решений системы стоит долларов (9, — 14) долларов.

Давайте посмотрим на пример с переменными $ 3 $.

Пример 2

Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

$ \ begin {align *} 2a + b — 2c & = \, — 1 \\ 3a — 3b — c & = 5 \\ a — 2b + 3c = 6 \ end {align *} $

Решение

Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ a — $ ($ D_ {a}), определитель $ b — $ ($ D_ {b}) и $ c — определитель $ ($ D_ {c}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {a} = \ begin {vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {b} = \ begin {vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {c} = \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end {vmatrix} $

Для матрицы вида:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}

$

Определитель рассчитывается как:

$ | B | = a (ei-fh) — b (di — fg) + c (dh-eg) $

Теперь мы используем правило Крамера и вычисляем значения переменных $ a $, $ b $ и $ c $.Шаги показаны ниже (мы не приводили подробные шаги поиска определителей матриц $ 3 \ times 3 $):

$ a = \ frac {D_ {a}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {-26} {- 26} = 1

долл. США

$ b = \ frac {D_ {b}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {26} {- 26} = -1 $

$ c = \ frac {D_ {c}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {-26} {- 26} = 1 $

Набор решений системы равен $ (1, — 1,1) $.

Практические вопросы

1. Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

   $ \ begin {align *} {5x} + 2y & = \, {10} \\ {- x} + 4y & = {20} \ end {align *}

   $

2. Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

   $ \ begin {align *} 3x — 4y + z & = \, -5 \\ x — y — z & = — 10 \\ 6x — 8y + 2z = 10 \ end {align *} $

ответы

1. Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x} $) и определитель $ y — $ ($ D_ {y} $ ).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

   $ D = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ {- 1} & {4} \ end {vmatrix}

   $

   $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \ end {vmatrix}

   $

   $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 5 & {10} \\ {- 1} & {20} \ end {vmatrix}

   $

   Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \ times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_ {x} $ и $ D_ {y} $.

   $ D = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ {- 1} & {4} \ end {vmatrix} = (5) (4) — (2) (-1) = 20 + 2 = 22 $

   $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \ end {vmatrix} = (10) (4) — (2) (20) = 40-40 = 0 $

   $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 5 & {10} \\ {- 1} & {20} \ end {vmatrix} = (5) (20) — (10) (-1) = 100 + 10 = 110 $

   Теперь мы используем формулы, изученные в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

   $ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {0} {22} = 0

   долларов США

   $ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {110} {22} = 5

   долларов США

   Набор решений системы равен $ (0, 5) $.

2. Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x}), $ y — $ определитель ($ D_ {y}) $ и детерминант $ z — $ ($ D_ {z}) $. Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

   $ D = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \ end {vmatrix} $

   $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -10 & -1 & -1 \\ 10 & -8 & 2 \ end {vmatrix} $

   $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -10 & -1 \\ 6 & 10 & 2 \ end {vmatrix} $

   $ D_ {z} = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & -1 & -10 \\ 6 & -8 & 10 \ end {vmatrix} $

   Напомним, что матрица $ 3 \ times 3 $ вида:

   $ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}

   $

   Имеет определитель, равный:

   $ | B | = a (ei-fh) — b (di — fg) + c (dh-eg) $

   Во-первых, давайте найдем значение определителя, $ D $,

   $ D = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \ end {vmatrix} = 3 (-2-8) +4 (2+ 6) +1 (-8 + 6) = 3 (-10) + 4 (8) +1 (-2) = 0 $

   Определитель этой матрицы равен 0 $; таким образом, мы не можем, , решить систему, используя правило Крамера !!

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение систем по правилу Крамера

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Оцените детерминанты 2 × 2.
• Используйте правило Крамера для решения системы уравнений с двумя переменными.
• Оцените детерминанты 3 × 3.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, используя несколько методов: подстановка, сложение, исключение Гаусса, использование обратной матрицы и построение графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях.В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений.Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы. Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы [latex] \, 2 \ text {} × \ text {} 2 \, [/ latex], учитывая

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right] [/ latex]

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений.Есть несколько способов указать определитель, включая [latex] \, \ mathrm {det} \ left (A \ right) \, [/ latex] и замену скобок в матрице прямыми линиями, [latex] \, | A |. [/ Латекс]

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {l} \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} | \ hfill \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 5 \ left (3 \ right) — \ left (-6 \ right ) \ left (2 \ right) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 27 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во введении к анализу алгоритмов Курбских Альгебриков. Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \, \, \, \, \ left (1 \ right ) \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \, \, \, \, \ left (2 \ right) \ end {array} [/ latex ]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажем, мы хотим найти [латекс] \, x. \, [/ Latex] Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный [латексу] \, y \, [/ latex] в уравнении (1 ), уравнение (1) умножается на коэффициент [латекс] \, y \, [/ latex] в уравнении (2), и мы складываем два уравнения, переменную [latex] \, y \, [/ latex ] будет исключен.

[латекс] \ begin {array} {l} \ underset {\ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} {\ begin {array} {llll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \, \, \, \, {b} _ {2} {a} _ {1} x + {b} _ {2} {b} _ {1} y = {b} _ {2} {c} _ {1} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {1} \ text {by} {b} _ {2} \ hfill \\ — {b} _ {1} {a } _ {2} x- {b} _ {1} {b} _ {2} y = — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text { Умножить} {R} _ {2} \ text {by} — {b} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \, \, \, \ begin {array} {ll} {b } _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ { 1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь решите [латекс] \, x.[/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, {b} _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \, \, \, x \ left ({b} _ {2} {a} _ {1} — {b} _ {1} {a} _ {2} \ right) = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c } _ {2} \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {{b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2}} {{ b} _ {2} {a} _ {1} — {b} _ {1} {a} _ {2}} = \ frac {\ left [\ begin {array} {cc} {c} _ {1 } & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} {\ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Аналогичным образом, чтобы решить для [latex] \, y, [/ latex], мы удалим [latex] \, x.[/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \ underset {\ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} {\ begin {array} {llll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \, \, \, \, {a} _ {2} {a} _ {1} x + {a} _ {2} {b} _ {1} y = {a} _ {2} {c} _ {1} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {1} \ text {by} {a} _ {2} \ hfill \\ — {a} _ {1} {a } _ {2} x- {a} _ {1} {b} _ {2} y = — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text { Умножить} {R} _ {2} \ text {by} — {a} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \ begin {array } {ll} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение для [latex] \, y \, [/ latex] дает

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2 } {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ y \ left ({a} _ {2} {b} _ {1} — {a} _ {1} {b} _ {2} \ right) = {a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \ text { } y = \ frac {{a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2}} {{a} _ {2} {b} _ {1 } — {a} _ {1} {b} _ {2}} = \ frac {{a} _ {1} {c} _ {2} — {a} _ {2} {c} _ {1} } {{a} _ {1} {b} _ {2} — {a} _ {2} {b} _ {1}} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ { 1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1 } & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что знаменатель для [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex] является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения для [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y, \, [/ latex], но Правило Крамера также вводит новые обозначения:

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление детерминантов. Затем мы можем выразить [латекс] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex] как частное двух определителей.

Правило Крамера для систем 2 × 2

Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ end {array} [/ latex]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ { a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, \, \, D \ ne 0; \, \, \ text {} \ text {} \, y = \ гидроразрыв {{D} _ {y}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, \, \, D \ ne 0.[/ латекс]

Если мы решаем для [latex] \, x, \, [/ latex], столбец [latex] \, x \, [/ latex] заменяется столбцом констант. Если мы решаем для [latex] \, y, \, [/ latex], столбец [latex] \, y \, [/ latex] заменяется постоянным столбцом.

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему [latex] \, 2 \ text {} × \ text {} 2 \, [/ latex], используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} 12x + 3y = 15 \\ \ text {} 2x-3y = 13 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Решить относительно [латекс] \, x.[/ латекс]

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 15 & \ hfill 3 \\ \ hfill 13 & \ hfill -3 \ end {array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {-45-39} {- 36- 6} = \ frac {-84} {- 42} = 2 [/ latex]

Решите для [latex] \, y. [/ Latex]

[латекс] y = \ frac {{D} _ {y}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 15 \\ \ hfill 2 & \ hfill 13 \ end { array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {156-30} {- 36-6} = — \ frac {126} {42} = — 3 [/ латекс]

Решение: [латекс] \, \ left (2, -3 \ right).[/ латекс]

Попробуй

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y = -11 \ hfill \\ -2x + y = -13 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (3, -7 \ вправо) [/ латекс]

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5.Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ end {array} \ right] [/ латекс]

1. Дополните [латекс] \, A \, [/ latex] первыми двумя столбцами.

   [латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \ \ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ конец {массив} \, \, \, | \, \, \, \ begin {array} {c} {a} _ {1} \\ {a} _ {2} \\ {a} _ {3} \ end {array} \, \, \, \, \ begin {array} {c} {b} _ {1} \\ {b} _ {2} \\ {b} _ {3} \ end {массив } | [/ латекс]

2. Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению входов по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. С левого нижнего угла в правый верхний: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

[латекс] | A | = {a} _ {1} {b} _ {2} {c} _ {3} + {b} _ {1} {c} _ {2} {a} _ {3 } + {c} _ {1} {a} _ {2} {b} _ {3} — {a} _ {3} {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {3} {c} _ {2} {a} _ {1} — {c} _ {3} {a} _ {2} {b} _ {1} [/ latex]

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 для данного

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} | A | = | \ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} \, \, | \ begin {array} {c} 0 \\ 3 \\ \, \, 4 \ end {array} \, \, \, \, \ begin {array} {c} 2 \\ -1 \\ 0 \ end { массив} | \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, = 0 \ left (-1 \ right) \ left (1 \ right) +2 \ left (1 \ right) \ left ( 4 \ вправо) +1 \ влево (3 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -4 \ влево (-1 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -0 \ влево (1 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -1 \ влево (3 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, = 0 + 8 + 0 + 4-0-6 \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} 1 & -3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {array} | [/ latex ]

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для [latex] \, 2 \ text {} × \ text {} 2 \, [/ latex] и [latex] \, \ text {3} \ text {} × \ text { } 3 \, [/ латексные] матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными.Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}, z = \ frac {{D} _ {z} } {D}, D \ ne 0 [/ латекс]

где

Если мы записываем определитель [latex] \, {D} _ {x}, [/ latex], мы заменяем столбец [latex] \, x \, [/ latex] на столбец констант.Если мы пишем определитель [latex] {D} _ {y}, [/ latex], мы заменяем столбец [latex] \, y \, [/ latex] на постоянный столбец. Если мы пишем определитель [latex] \, {D} _ {z}, [/ latex], мы заменяем столбец [latex] \, z \, [/ latex] постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} x + y-z = 6 \\ 3x-2y + z = -5 \\ x + 3y-2z = 14 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Используйте правило Крамера.

[латекс] D = | \ begin {array} {ccc} 1 & \, \, 1 & -1 \\ 3 & -2 & \, \, \, 1 \\ 1 & \, \, 3 & -2 \ end {array} |, {D} _ {x} = | \ begin {array} {ccc} 6 & 1 & -1 \\ -5 & -2 & \, \, \, 1 \\ 14 & \, \, 3 & -2 \ end {массив } |, {D} _ {y} = | \ begin {array} {ccc} 1 & \, 6 & -1 \\ 3 & -5 & \, \, 1 \\ 1 & 14 & -2 \ end {array} |, { D} _ {z} = | \ begin {array} {ccc} 1 & \, 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \\ 1 & \, \, 3 & 14 \ end {array} | [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {-3} {- 3} = 1 \ hfill \\ y = \ frac { {D} _ {y}} {D} = \ frac {-9} {- 3} = 3 \ hfill \\ z = \ frac {{D} _ {z}} {D} = \ frac {6} {-3} = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение [латекс] \ left (1,3, -2 \ right).[/ латекс]

Попробуй

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill x-3y + 7z = 13 \\ \ hfill x + y + z = 1 \, \, \, \\ \ hfill x-2y + 3z = 4 \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (-2, \ frac {3} {5}, \ frac {12} {5} \ right) [/ latex]

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x-2y = 4 \ text {} \ left (1 \ right) \\ 6x-4y = 0 \ text {} \ left (2 \ right) \ end {массив } [/ латекс]

Показать решение

Начнем с нахождения определителей [латекс] \, D, {D} _ {x}, \ text {и} {D} _ {y}.[/ латекс]

[латекс] D = | \ begin {array} {cc} 3 & -2 \\ 6 & -4 \ end {array} | = 3 \ left (-4 \ right) -6 \ left (-2 \ right) = 0 [/ латекс]

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение (1) на [латекс] \, — 2. [/ Латекс]
2. Добавьте результат к уравнению [латекс] \, \ left (2 \ right). [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ underset {\ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} {\ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -6x + 4y \, \, \, \, = — 8 \ hfill \ end {array} \ hfill \\ \, \, \, 6x-4y \, \, \, \, \, \, = \, \, \, \, 0 \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, = \, — 8 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Мы получаем уравнение [латекс] \, 0 = -8, \, [/ латекс], которое неверно.Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. (Рисунок).

Рисунок 1.

Используйте правило Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

[латекс] \ begin {array} {rr} \ hfill x-2y + 3z = 0 & \ hfill \ left (1 \ right) \\ \ hfill 3x + y-2z = 0 & \ hfill \ left (2 \ right) \\ \ hfill 2x-4y + 6z = 0 & \ hfill \ left (3 \ right) \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Давайте сначала найдем определитель.Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 & \ hfill 6 \ end { array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 \ end {array} | [ / латекс]

Затем,

[латекс] 1 \ влево (1 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) + \ влево (-2 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) +3 \ влево (3 \ вправо) \ влево (-4 \ вправо) -2 \ влево (1 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) — \ влево (-4 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -6 \ left (3 \ right) \ left (-2 \ right) = 0 [/ латекс]

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (1) на [latex] \, — 2 \, [/ latex] и добавьте результат к уравнению (3):

   [латекс] \ frac {\ begin {array} {r} \ hfill -2x + 4y-6x = 0 \\ \ hfill 2x-4y + 6z = 0 \ end {array}} {\, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 0 = 0} [/ латекс]

2. Получение ответа [latex] \, 0 = 0, \, [/ latex] утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.См. (Рисунок).

   Рисунок 2.

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства детерминантов

1. Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.{-1} \, [/ latex] — обратная величина определителю матрицы [latex] \, A. [/ Latex]
3. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Иллюстрируя свойства детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Показать решение

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill \, \, 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 0 & \ hfill \, \, 2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill \, \, 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Дополните [латекс] \, A \, [/ latex] первыми двумя столбцами.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \ end {array} | \, \, \, \ begin {array} {c } 1 \\ 0 \\ 0 \ end {массив} \, \, \, \, \ begin {array} {c} 2 \\ 2 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем

[латекс] \ begin {array} {l} \ mathrm {det} \ left (A \ right) = 1 \ left (2 \ right) \ left (-1 \ right) +2 \ left (1 \ right) \ влево (0 \ вправо) +3 \ влево (0 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -0 \ влево (2 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) -0 \ влево (1 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) +1 \ влево (0 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ A = \ left [\ begin {array} {cc} -1 & 5 \\ 4 & -3 \ end {array} \ right ], \, \, \ mathrm {det} \ left (A \ right) = \ left (-1 \ right) \ left (-3 \ right) — \ left (4 \ right) \ left (5 \ right) = 3-20 = -17 \ end {массив} \ hfill \\ \ hfill \\ B = \ left [\ begin {array} {cc} 4 & -3 \\ -1 & 5 \ end {array} \ right], \, \, \ mathrm {det} \ left (B \ right) = \ left (4 \ right) \ left (5 \ right) — \ left (-1 \ right) \ left (-3 \ right) = 20 -3 = 17 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, A = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ -1 \ end {array} \ begin {array } {c} 2 \\ 2 \\ 2 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ hfill \\ \ mathrm {det} \ left (A \ right) = 1 \ left (2 \ right) \ left (2 \ вправо) +2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (-1 \ вправо) +2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) +1 \ влево (2 \ вправо) \ влево ( 2 \ вправо) -2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 4-4 + 8 + 4-4-8 = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю.{-1} \ right) = — 2 \ left (- \ frac {1} {2} \ right) — \ left (\ frac {3} {2} \ right) \ left (1 \ right) = — \ гидроразрыв {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} A = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right], \ mathrm {det} \ left (A \ right) = 1 \ left (4 \ right) -2 \ left (3 \ right) = — 2 \ hfill \\ \ hfill \\ B = \ left [\ begin {array} {cc} 2 \ left (1 \ right) & 2 \ left (2 \ right) \\ 3 & 4 \ end {array} \ right], \ mathrm {det} \ left (B \ right) = 2 \ left (4 \ right) -3 \ left ( 4 \ right) = — 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

[латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 4y + 4z = 2 \ hfill & \ left (1 \ right) \ hfill \\ 3x + 7y + 7z = -5 \ hfill & \ left (2 \ right ) \ hfill \\ \ text {} x + 2y + 2z = 4 \ hfill & \ left (3 \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Используя правило Крамера, имеем

[латекс] D = | \ begin {array} {ccc} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \ end {array} | [/ latex]

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и прибавьте результат к уравнению (1).

   [латекс] \ frac {\ begin {array} {l} -2x-4y-4x = -8 \ hfill \\ \ text {} 2x + 4y + 4z = 2 \, \, \, \, \, \ hfill \ end {array}} {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 = -6} [/ латекс]

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Ключевые понятия

• Определитель для [latex] \, \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right] \, [/ latex] — [latex] \, ad-bc .\, [/ latex] См. (рисунок).
• Правило Крамера заменяет переменный столбец постоянным столбцом. Решения: [latex] \, x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}. \, [/ Latex] См. (Рисунок ).
• Чтобы найти определитель матрицы 3 × 3, дополните ее двумя первыми столбцами. Сложите три диагональных входа (верхний левый нижний правый) и вычтите три диагональных входа (нижний левый верхний правый). См. (Рисунок).
• Чтобы решить систему трех уравнений с тремя переменными с использованием правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого желаемого решения: [latex] \, x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}, z = \ frac {{D} _ {z}} {D}.\, [/ latex] См. (рисунок).
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечными решениями. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Некоторые свойства определителей полезны для решения задач. Например:
  • Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
  • Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.
  • Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.{-1} \, [/ latex] — обратная величина определителю матрицы [latex] \, A. [/ Latex]
  • Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

Показать решение

Определитель — это сумма и произведения элементов матрицы, поэтому вы всегда можете оценить этот продукт, даже если в конечном итоге он окажется равным нулю.

Исследуя правило Крамера, объясните, почему не существует единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу [latex] \, 2 \, × \, 2 \, [/ latex].

Объясните, что в терминах обратного значения для матрицы означает наличие определителя 0.

Показать решение

Обратного не существует.

Определитель [latex] \, 2 \, × \, 2 \, [/ latex] matrix [latex] \, A \, [/ latex] равен 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6 а во второй строке — 2, объясните, как найти определитель и дать ответ.

Алгебраические

Найдите определитель для следующих упражнений.

[латекс] | \ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {массив} {rr} \ hfill -1 & \ hfill 2 \\ \ hfill 3 & \ hfill -4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill 2 & \ hfill -5 \\ \ hfill -1 & \ hfill 6 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {cc} -8 & 4 \\ -1 & 5 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {массив} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 0 \\ \ hfill 3 & \ hfill -4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill 10 & \ hfill 20 \\ \ hfill 0 & \ hfill -10 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {cc} 10 & 0.2 \\ 5 & 0.1 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill 6 & \ hfill -3 \\ \ hfill 8 & \ hfill 4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill -2 & \ hfill -3 \\ \ hfill 3.1 & \ hfill 4,000 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill -1.1 & \ hfill 0.6 \\ \ hfill 7.2 & \ hfill -0.5 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill -3 \ end {массив } | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill -3 \ end {массив } | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 2 & \ hfill -3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -4 & \ hfill 1 \\ \ hfill -5 & \ hfill 6 & \ hfill 1 \ end { массив} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill 1 & \ hfill 4 \\ \ hfill -4 & \ hfill 2 & \ hfill -8 \\ \ hfill 2 & \ hfill -8 & \ hfill -3 \ конец {массив} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 6 & \ hfill -1 & \ hfill 2 \\ \ hfill -4 & \ hfill -3 & \ hfill 5 \\ \ hfill 1 & \ hfill 9 & \ hfill -1 \ end {array} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 1 & \ hfill -1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -6 & \ hfill -3 \ end { массив} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 1.1 & \ hfill 2 & \ hfill -1 \\ \ hfill -4 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 4.1 & \ hfill -0.4 & \ hfill 2.5 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 2 & \ hfill -1.6 & \ hfill 3.1 \\ \ hfill 1.1 & \ hfill 3 & \ hfill -8 \\ \ hfill -9.3 & \ hfill 0 & \ hfill 2 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} — \ frac {1} {2} & \ frac {1} {3} & \ frac {1} {4} \\ \ frac {1} {5} & — \ frac {1} {6} & \ frac {1} {7} \\ 0 & 0 & \ frac {1} {8} \ end {array} | [/ latex]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

[латекс] \ begin {array} {l} 2x-3y = -1 \\ 4x + 5y = 9 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ левый (1,1 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} 5x-4y = 2 \\ -4x + 7y = 6 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 6x-3y = 2 \, \, \, \, \, \ hfill \\ -8x + 9y = -1 \ hfill \ end {array} [ / латекс]

Показать решение

[латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {3} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 6y = 12 \\ 5x-2y = 13 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x + 3y = 23 \, \, \ hfill \\ \ text {} 2x-y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ левый (2,5 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} 10x-6y = 2 \, \, \, \, \ hfill \\ -5x + 8y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x-3y = -3 \\ 2x + 6y = -4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (-1, — \ frac {1} {3} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 4x-5y = 7 \\ -3x + 9y = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x + 10y = 180 \, \, \, \, \ hfill \\ -3x-5y = -105 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ левый (15,12 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 8x-2y = -3 \ hfill \\ -4x + 6y = 4 \, \, \, \, \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y-4z = -1 \ hfill \\ \ text {} 7x + 3y + 5z = 26 \, \, \ hfill \\ -2x- 6y + 7z = -6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ левый (1,3,2 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} -5x + 2y-4z = -47 \ hfill \\ \ text {} 4x-3y-z = -94 \ hfill \\ \ text {} 3x-3y + 2z = 94 \, \, \, \, \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 4x + 5y-z = -7 \ hfill \\ -2x-9y + 2z = 8 \, \, \, \, \ hfill \\ \ text {} 5y + 7z = 21 \, \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-1,0,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} 4x-3y + 4z = 10 \\ 5x-2z = -2 \\ 3x + 2y-5z = -9 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x-2y + 3z = 6 \, \, \, \ hfill \\ \ text {} -6x + y = -2 \ hfill \\ 2x + 7y + 8z = 24 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (\ frac {1} {2}, 1,2 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 2y-z = 1 \, \, \, \, \, \\ \ hfill -7x-8y + 3z = 1.5 \\ \ hfill 6x-12y + z = 7 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 13x-17y + 16z = 73 \, \, \, \, \ hfill \\ -11x + 15y + 17z = 61 \, \, \, \ , \ hfill \\ \ text {} 46x + 10y-30z = -18 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (2,1,4 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -4x-3y-8z = -7 \ hfill \ end {array} \ hfill \\ \ text {} 2x- 9y + 5z = 0,5 \ hfill \\ \ text {} 5x-6y-5z = -2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 4x-6y + 8z = 10 \, \, \ hfill \\ -2x + 3y-4z = -5 \ hfill \\ \ text {} x + y + z = 1 \, \, \, \, \, \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 4x-6y + 8z = 10 \, \, \, \, \, \\ \ hfill -2x + 3y-4z = -5 \, \, \, \\ \ hfill 12x + 18y-24z = -30 \ end {array} [/ latex]

Технологии

Для следующих упражнений используйте детерминантную функцию в графической утилите.

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 8 & \ hfill 9 \\ \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 1 & \ hfill 0 \\ \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 4 & \ hfill 3 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill -9 & \ hfill 1 & \ hfill 3 \\ \ hfill 3 & \ hfill 0 & \ hfill -2 & \ hfill -1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill 1 & \ hfill 7 & \ hfill 4 \\ \ hfill 0 & \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill 100 & \ hfill 5 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 2,000 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 2 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 4 & \ hfill 5 & \ hfill 6 & \ hfill 0 \\ \ hfill 7 & \ hfill 8 & \ hfill 9 & \ hfill 0 \ end {array} | [/ latex]

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения.Затем вычислите определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, найдите уникальное решение.

Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

Два числа в сумме дают 104. Если вы сложите два раза первое число плюс два раза второе число, ваша сумма составит 208

Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго. Третье число на 4 больше, чем первое.

Три числа добавляют к 216.Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше, чем первые два числа вместе взятые.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

Вы вкладываете 10 000 долларов в два счета, которые получают 8% годовых и 5% годовых. В конце года на ваших комбинированных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждую учетную запись?

Показать решение

7000 долларов на первом счете, 3000 долларов на втором счете.

Вы вкладываете 80 000 долларов в два счета, 22 000 долларов в один счет и 58 000 долларов в другой. В конце года, если исходить из простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Какие процентные ставки по вашим счетам?

Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детские билеты 5 долларов.95, билеты для взрослых стоят 11,15 долларов, а общая сумма выручки составила 12 756 долларов. Сколько билетов для детей и взрослых было продано?

Показать решение

120 детей, 1080 взрослых

Концертная площадка продает одиночные билеты по 40 долларов каждый и билеты для пар по 65 долларов. Если общий доход составил 18 090 долларов и был продан 321 билет, сколько разовых билетов и сколько билетов для пар было продано?

Вы решили покрасить свою кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски.Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета было добавлено в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

Вы продали два типа шарфов на фермерском рынке и хотите знать, какой из них пользуется большей популярностью. Всего было продано 56 шарфов, желтый платок стоил 10 долларов, а фиолетовый — 11 долларов.Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых и фиолетовых шарфов было продано?

В вашем саду выращивали два вида помидоров: зеленый и красный. Красный весит 10 унций, а зеленый — 4 унции. У вас 30 помидоров, а общий вес составляет 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

Показать решение

13 зеленых помидоров, 17 красных помидоров

На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, у которой на 5% больше продаж, чем у лука.Какую долю занимает каждый овощ на рынке?

На этом же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества проданных фруктов. Клубника продается вдвое больше, чем апельсины, а киви продаются на один процентный пункт больше, чем апельсины. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

Показать решение

Клубника 18%, апельсины 9%, киви 10%

На концертной площадке выступили три группы. Первый диапазон взимал 15 долларов за билет, второй диапазон — 45 долларов за билет, а последний диапазон — 22 доллара за билет.Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй, сколько билетов было продано каждой группе?

В кинотеатре продаются билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Всего было продано 642 билета, общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

Показать решение

100 для фильма 1, 230 для фильма 2, 312 для фильма 3

Мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет в прошлом году составляли 78% заключенных.В этом году эти же возрастные группы составили 82,08% населения. Возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась до [latex] \, \ frac {3} {4} \, [/ latex] их предыдущего населения. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 2% больше заключенных, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процентную долю заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

В женской тюрьме по дороге общее количество заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составило 5 525 человек. В этом году возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30–39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40–49 лет увеличилась вдвое.Сейчас в тюрьме 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет их было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы за прошлый год.

Показать решение

20–29: 2,100, 30–39: 2,600, 40–49: 825

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает сделать смесь из миндаля, сушеной клюквы и кешью в шоколаде. Информация о питательной ценности этих продуктов показана на (Рисунок).

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0.02	0	8
Кешью (10)	7	3,5	5,5

Для специальной смеси для трейлов с низким содержанием углеводов имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов — 425 г, а общее количество жиров — 570,2 г. Если кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Для «походной» смеси в смеси 1000 штук, содержащих 390 штук.8 г жира и 165 г белка. Если количество миндаля такое же, как и в кешью, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Показать решение

300 миндальных орехов, 400 клюквы, 300 кешью

Для смеси «усилитель энергии» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если сумма миндальных орехов и кешью эквивалентна количеству клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Упражнения на повторение

Системы линейных уравнений: две переменные

В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x-y = 4 \\ x + 4y = -3 \, \ end {array} [/ latex] and [latex] \, \ left (-1,1 \ справа) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} 6x-2y = 24 \\ -3x + 3y = 18 \, \ end {array} [/ latex] и [latex] \, \ left (9,15 \ right ) [/ латекс]

В следующих упражнениях используйте подстановку для решения системы уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 10x + 5y = -5 \ hfill \\ \, \, \, 3x-2y = -12 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-2,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {4} {7} x + \ frac {1} {5} y = \ frac {43} {70} \\ \ frac {5} {6} x — \ frac {1} {3} y = — \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 5x + 6y = 14 \\ 4x + 8y = 8 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (4, -1 \ вправо) [/ латекс]

В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 2y = -7 \\ 2x + 4y = 6 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 2 \\ 9x + 12y = 3 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 8x + 4y = 2 \\ 6x-5y = 0,7 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Завод имеет стоимость производства [латекс] \, C \ left (x \ right) = 150x + 15 \ text {,} 000 \, [/ latex] и функцию дохода [латекс] \, R \ left ( х \ вправо) = 200x.\, [/ latex] Какая точка безубыточности?

Показать решение

[латекс] \ влево (300,60,000 \ вправо) [/ латекс]

Исполнитель взимает [латекс] \, C \ left (x \ right) = 50x + 10 \ text {,} 000, \, [/ latex], где [latex] \, x \, [/ latex] — общая сумма количество посетителей на шоу. Место проведения взимает 75 долларов за билет. После того, как сколько людей купит билеты, место проведения станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

Показать решение

[латекс] \ влево (400,30,000 \ вправо) [/ латекс]

Системы линейных уравнений: три переменные

Для следующих упражнений решите систему трех уравнений, используя замену или сложение.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 0,5x-0,5y = 10 \ hfill \\ \ text {} -0,2y + 0,2x = 4 \ hfill \\ \ text {} 0,1x + 0.1z = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (10, -10,10 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y-z = 5 \, \, \, \\ \ hfill 3x-2y + 4z = 13 \\ \ hfill 4x + 3y + 5z = 22 \ конец {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 1 \\ 3x + 3y = 2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 2x-3y + z = -1 \ hfill \\ \ text {} x + y + z = -4 \ hfill \\ \ text {} 4x + 2y-3z = 33 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, 3x + 2y-z = -10 \ hfill \\ \, \, \, \, x-y + 2z = 7 \ hfill \\ -x + 3y + z = -2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-1, -2,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 3x + 4z = -11 \\ \ hfill x-2y = 5 \, \, \, \, \, \, \, \\ \ hfill 4y-z = -10 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-3y + z = 0 \\ 2x + 4y-3z = 0 \\ 6x-2y-z = 0 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (x, \ frac {8x} {5}, \ frac {14x} {5} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 6x-4y-2z = 2 \\ 3x + 2y-5z = 4 \\ 6y-7z = 5 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи.Решите систему уравнений.

Три нечетных числа в сумме дают 61. Меньшее на треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

Местный театр распродает билеты на их спектакль. Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 долларов. Билеты стоили 15 долларов для студентов, 12 долларов для детей и 18 долларов для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем детских, сколько билетов каждого типа было продано?

Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные

Для следующих упражнений решите систему нелинейных уравнений.{2}} [/ латекс]

Матрицы и матричные операции

Для следующих упражнений выполните требуемые операции с заданными матрицами.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 4 & \ hfill -2 \\ \ hfill 1 & \ hfill 3 \ end {array} \ right], B = \ left [\ begin {array } {rrr} \ hfill 6 & \ hfill 7 & \ hfill -3 \\ \ hfill 11 & \ hfill -2 & \ hfill 4 \ end {array} \ right], C = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill \ begin {array} {cc} 6 & 7 \\ 11 & -2 \ end {array} \\ \ hfill \ begin {array} {cc} 14 & 0 \ end {array} \ end {array} \ right], D = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -4 & \ hfill 9 \\ \ hfill 10 & \ hfill 5 & \ hfill -7 \\ \ hfill 2 & \ hfill 8 & \ hfill 5 \ end {array} \ right], E = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 7 & \ hfill -14 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -1 & \ hfill 3 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 9 \ конец {массив} \ right] [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {cc} -16 & 8 \\ -4 & -12 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

undefined; размеры не соответствуют

Показать решение

undefined; внутренние размеры не соответствуют

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 113 & 28 & 10 \\ 44 & 81 & -41 \\ 84 & 98 & -42 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} -127 & -74 & 176 \\ -2 & 11 & 40 \\ 28 & 77 & 38 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

undefined; внутренние размеры не соответствуют

Решение систем с исключением Гаусса

Для следующих упражнений напишите систему линейных уравнений из расширенной матрицы.Укажите, будет ли уникальное решение.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill -3 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \ end { массив} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 7 \\ \ hfill -5 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {l} x-3z = 7 \\ y + 2z = -5 \, \ end {array} [/ latex] с бесконечными решениями

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \ end { массив} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -9 \\ \ hfill 4 \\ \ hfill 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу из системы линейных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {r} \ hfill -2x + 2y + z = 7 \\ \ hfill 2x-8y + 5z = 0 \\ \ hfill 19x-10y + 22z = 3 \ end {массив} \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill 2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill -8 & \ hfill 5 \\ \ hfill 19 & \ hfill -10 & \ hfill 22 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 7 \\ \ hfill 0 \\ \ hfill 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, 4x + 2y-3z = 14 \ hfill \\ -12x + 3y + z = 100 \ hfill \\ \, \, \ , \, \, 9x-6y + 2z = 31 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill x + 3z = 12 \, \\ \ hfill -x + 4y = 0 \, \, \, \, \\ \ hfill y + 2z = -7 \ конец {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 3 \\ \ hfill -1 & \ hfill 4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 2 \ end { массив} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 12 \\ \ hfill 0 \\ \ hfill -7 \ end {array} \ right] [/ latex]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x-4y = -7 \\ -6x + 8y = 14 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 3x-4y = 1 \\ -6x + 8y = 6 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ -1.1x-2.3y = 6.2 \ end {array} \ hfill \\ -5.2x-4.1y = 4.3 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 2x + 3y + 2z = 1 \, \, \, \, \, \\ \ hfill -4x-6y-4z = -2 \\ \ hfill 10x + 15y + 10z = 0 \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x + 2y-4z = 8 \, \, \, \, \\ \ hfill 3y + 8z = -4 \\ \ hfill -7x + y + 2z = 1 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Решающие системы с инверсиями

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill -0.2 & \ hfill 1.4 \\ \ hfill 1.2 & \ hfill -0.4 \ end {array} \ right] [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ frac {1} {8} \ left [\ begin {array} {cc} 2 & 7 \\ 6 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill — \ frac {1} {2} \\ \ hfill — \ frac {1} {4} & \ hfill \ frac {3} {4} \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 12 & 9 & -6 \\ -1 & 3 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Для следующих упражнений найдите решения, вычислив обратную матрицу.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, \, 0,3x-0,1y = -10 \ hfill \\ -0,1x + 0,3y = 14 \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Показать решение

[латекс] \ влево (-20,40 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, 0,4x-0,2y = -0,6 \ hfill \\ -0,1x + 0,05y = 0,3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y-3z = -4,3 \\ 5x-4y-z = -6,1 \\ x + z = -0,7 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-1,0,2,0,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill \ begin {array} {l} \\ -2x-3y + 2z = 3 \ end {array} \\ \ hfill -x + 2y + 4z = -5 \\ \ hfill -2y + 5z = -3 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи.Решите систему уравнений.

Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты. 90% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были наполовину популярнее бананов, а яблоки были на 5% популярнее бананов, каков процент каждого отдельного фрукта?

Показать решение

17% апельсинов, 34% бананов, 39% яблок

Женское общество провело распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавало пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 2 доллара и печенье с шоколадной крошкой в ​​1 доллар.Они собрали 250 долларов и продали 175 вещей. Сколько было продано пирожных и печенья?

Решение систем с правилом Крамера

Найдите определитель для следующих упражнений.

[латекс] | \ begin {array} {cc} 100 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {cc} 0,2 & -0,6 \\ 0,7 & -1,1 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} -1 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} \ sqrt {2} & 0 & 0 \\ 0 & \ sqrt {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ sqrt {2} \ end {array} | [/ latex]

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения линейных систем уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill 4x-2y = 23 \, \, \, \, \\ \ hfill -5x-10y = -35 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (6, \ frac {1} {2} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 0,2x-0,1y = 0 \\ -0,3x + 0,3y = 2,5 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill -0,5x + 0,1y = 0,3 \, \, \, \\ \ hfill -0,25x + 0,05y = 0,15 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} x + 6y + 3z = 4 \\ 2x + y + 2z = 3 \\ 3x-2y + z = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 4x-3y + 5z = — \ frac {5} {2} \\ \ hfill 7x-9y-3z = \ frac {3} {2} \, \ , \, \, \\ \ hfill x-5y-5z = \ frac {5} {2} \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (0,0, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {3} {10} x- \ frac {1} {5} y- \ frac {3} {10} z = — \ frac {1} {50 } \\ \ frac {1} {10} x- \ frac {1} {10} y- \ frac {1} {2} z = — \ frac {9} {50} \\ \ frac {2} { 5} x- \ frac {1} {2} y- \ frac {3} {5} z = — \ frac {1} {5} \ end {array} [/ latex]

Практический тест

Является ли следующая упорядоченная пара решением системы уравнений?

[латекс] \ begin {массив} {l} \\ \ begin {array} {l} -5x-y = 12 \, \ hfill \\ x + 4y = 9 \ hfill \ end {array} \ end {массив } [/ latex] с [latex] \, \ left (-3,3 \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений решите системы линейных и нелинейных уравнений с помощью замены или исключения.Укажите, если решения не существует.

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {1} {2} x- \ frac {1} {3} y = 4 \\ \ frac {3} {2} xy = 0 \ end {массив } [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill \ begin {array} {l} \\ — \ frac {1} {2} x-4y = 4 \ end {array} \\ \ hfill 2x + 16y = 2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x-y = 1 \, \, \, \, \\ \ hfill -10x + 2y = -2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x-6y-2z = \ frac {1} {10} \ hfill \\ \, \, \, x-7y + 5z = — \ frac {1} {4 } \ hfill \\ 3x + 6y-9z = \ frac {6} {5} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ frac {1} {20} \ left (10,5,4 \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} x + z = 20 \\ x + y + z = 20 \\ x + 2y + z = 10 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 5x-4y-3z = 0 \\ 2x + y + 2z = 0 \\ x-6y-7z = 0 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (x, \ frac {16x} {5} — \ frac {13x} {5} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} y = {x} ^ {2} + 2x-3 \\ y = x-1 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} {y} ^ {2} + {x} ^ {2} = 25 \\ {y} ^ {2} -2 {x} ^ {2} = 1 \ конец {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left (-2 \ sqrt {2}, — \ sqrt {17} \ right), \ left (-2 \ sqrt {2}, \ sqrt {17} \ right), \ left (2 \ sqrt {2}, — \ sqrt {17} \ right), \ left (2 \ sqrt {2}, \ sqrt {17} \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений нанесите на график следующие неравенства. {- 1} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {cc} 12 & -20 \\ -15 & 30 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ mathrm {det} | \ begin {array} {cc} 0 & 0 \\ 400 & 4 \ text {,} 000 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] \ mathrm {det} | \ begin {array} {rrr} \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill — \ frac {1} {2} & \ hfill 0 \\ \ hfill — \ frac {1} {2} & \ hfill 0 & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill 0 & \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill 0 \ end {array} | [/ latex]

Показать решение

[латекс] — \ frac {1} {8} [/ латекс]

Если [latex] \, \ mathrm {det} \ left (A \ right) = — 6, \, [/ latex], что будет определяющим, если вы поменяете местами строки 1 и 3, умножите вторую строку на 12 и взяли обратное?

Перепишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

[латекс] \ begin {array} {l} 14x-2y + 13z = 140 \ hfill \\ -2x + 3y-6z = -1 \ hfill \\ x-5y + 12z = 11 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 14 & \ hfill -2 & \ hfill 13 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -6 \\ \ hfill 1 & \ hfill -5 & \ hfill 12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 140 \\ \ hfill -1 \\ \ hfill 11 \ end {array} \ right] [/ latex]

Перепишите расширенную матрицу как систему линейных уравнений.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 3 \\ \ hfill -2 & \ hfill 4 & \ hfill 9 \\ \ hfill -6 & \ hfill 1 & \ hfill 2 \ end {массив} | \ begin {array} {r} \ hfill 12 \\ \ hfill -5 \\ \ hfill 8 \ end {array} \ right] [/ latex]

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения систем уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} x-6y = 4 \\ 2x-12y = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 2x + y + z = -3 \\ \ hfill x-2y + 3z = 6 \, \, \, \, \\ \ hfill xyz = 6 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

В следующих упражнениях используйте обратную матрицу для решения систем уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 4x-5y = -50 \\ \ hfill -x + 2y = 80 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (100,90 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill \ frac {1} {100} x- \ frac {3} {100} y + \ frac {1} {20} z = -49 \\ \ hfill \ frac {3} {100} x- \ frac {7} {100} y- \ frac {1} {100} z = 13 \, \, \, \, \\ \ hfill \ frac {9} {100} x- \ frac {9} {100} y- \ frac {9} {100} z = 99 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения систем уравнений.{2} + 160x. \, [/ Latex] Какой ассортимент сотовых телефонов они должны производить каждый день, чтобы получать прибыль? Округлите до ближайшего числа, приносящего прибыль.

Показать решение

32 и более сотовых телефона в день

Небольшая ярмарка взимает 1,50 доллара для студентов, 1 доллар для детей и 2 доллара для взрослых. За один день пришло в три раза больше детей, чем взрослых. Было продано 800 билетов на общую выручку в 1050 долларов. Сколько билетов каждого типа было продано?

Глоссарий

Правило Крамера

Метод решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные, с использованием определителей

определитель

число, вычисленное с использованием элементов квадратной матрицы, которая определяет такую ​​информацию, как наличие решения системы уравнений

9.8: Решение систем с помощью правила Крамера

Мы узнали, как решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, и с помощью нескольких методов: подстановки, сложения, исключения Гаусса, использования обратной матрицы и построения графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин.Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы.Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2, учитывая

\ (A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \)

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая \ (\ det (A) \) и замену скобок в матрице прямыми линиями, \ (| A | \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск определителя матрицы \ (2 × 2 \)

Найдите определитель заданной матрицы.

\ (A = \ begin {bmatrix} 5 & 2 \\ — 6 & 3 \ end {bmatrix} \)

Решение

\ [\ begin {align *} \ det (A) & = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ — 6 & 3 \ end {vmatrix} \\ & = 5 (3) — (- 6) (2) \\ & = 27 \ end {align *} \]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как Правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) \ label {eq1} \\ a_2x + b_2y & = c_2 (2) \ label {eq2} \\ \ end {align} \]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим найти \ (x \). Если уравнение \ ref {eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \ (y \) в уравнении \ ref {eq1}, уравнение \ ref {eq1} умножается на коэффициент при \ (y \) в уравнении \ ref {eq2}, и мы добавляем два уравнения, переменная \ (y \) будет удалена.

\ [\ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} b_2 \\ — & \ underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ text {by} −b_1 \\ & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 \ end {align *} \]

Теперь решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x & = \ dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align *} \]

Аналогичным образом, чтобы найти \ (y \), мы исключим \ (x \).

\ [\ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} a_2 \\ — & \ underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ текст {by} −a_1 \\ & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 \ end {align *} \]

Решение относительно \ (y \) дает

\ [\ begin {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y & = \ dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = \ dfrac {a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align * } \]

Обратите внимание, что знаменатель для \ (x \) и \ (y \) является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения относительно \ (x \) и \ (y \), но правило Крамера также вводит новые обозначения:

• \ (D \): определитель матрицы коэффициентов
• \ (D_x \): определитель числителя в решении \ (x \)

  \ [x = \ dfrac {D_x} {D} \]

• \ (D_y \): определитель числителя в решении \ (y \)

  \ [y = \ dfrac {D_y} {D} \]

Ключ к правилу Крамера заключается в замене интересующего столбца переменных на столбец констант и вычислении детерминантов.Тогда мы можем выразить \ (x \) и \ (y \) как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРЕМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \ (2 × 2 \)

Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align *} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x + b_2y & = c_2 \ end {align *} \]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

\ [\ begin {align} x & = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end { bmatrix}} \; , D \ neq 0 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix }} \; , D \ neq 0 \ end {align} \]

Если мы решаем для \ (x \), столбец \ (x \) заменяется постоянным столбцом.Если мы решаем для \ (y \), столбец \ (y \) заменяется постоянным столбцом.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): использование правила Крамера для решения системы \ (2 × 2 \)

Решите следующую систему \ (2 × 2 \), используя правило Крамера.

\ [\ begin {align *} 12x + 3y & = 15 \\ 2x-3y & = 13 \ end {align *} \]

Решение

Решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 15 & 3 \\ 13 & -3 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {-45-39} {- 36-6} \\ & = \ dfrac {-84} {- 42} \\ & = 2 \ end {align *} \]

Решите относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} y & = \ dfrac {D_y} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 12 & 15 \\ 2 & 13 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {156-30} {- 36-6} \\ & = — \ dfrac {126} {42} \\ & = -3 \ end {align * } \]

Решение: \ ((2, −3) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений \ (2 × 2 \).

\ [\ begin {align *} x + 2y & = -11 \\ -2x + y & = -13 \ end {align *} \]

Ответ

\ ((3, −7) \)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее.Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5. Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

\ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {bmatrix} \)

1. Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.

   \ (\ det (A) = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \ end {array} \ right | \)

2. Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению входов по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. С левого нижнего угла в правый верхний: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали.Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\ (| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы \ (3 × 3 \) при

\ (A = \ begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & −1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

\ [\ begin {align *} | А | & = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 4 & 0 & 1 & 4 & 0 \ end {array} \ right | \\ & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) \\ & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 \\ & = 6 \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

\ (\ det (A) = \ begin {vmatrix} 1 & −3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & −2 & 3 \ end {vmatrix} \)

Ответ

\ (- 10 \)

Q&A: Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3.Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \ (3 × 3 \), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера простое и соответствует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц \ (2 × 2 \). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \ (3 × 3 \) требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений \ (3 × 3 \).

\ [\ begin {align} a_1x + b_1y + c_1z & = \ color {blue} d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = \ color {blue} d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = \ color {blue} d_3 \\ \ end {align} \]

\ (x = \ dfrac {D_x} {D} \), \ (y = \ dfrac {D_y} {D} \), \ (z = \ dfrac {D_z} {D} \), \ (D ≠ 0 \)

где

\ [D = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_x = \ begin {vmatrix} \ color {blue} d_1 & b_1 & c_1 \\ \ color {blue} d_2 & b_2 & c_2 \\ \ color {blue} d_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_y = \ begin {vmatrix} a_1 & \ color {blue} d_1 & c_1 \\ a_2 & \ color {blue} d_2 & c_2 \\ a_3 & \ color {blue} d_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_z = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & \ color {blue} d_1 \\ a_2 & b_2 & \ color {blue} d_2 \\ a_3 & b_3 & \ color {blue} d_3 \ end {vmatrix} \]

Если мы записываем определитель \ (D_x \), мы заменяем столбец \ (x \) постоянным столбцом.Если мы пишем определитель \ (D_y \), мы заменяем столбец y на столбец констант. Если мы пишем определитель \ (D_z \), мы заменяем столбец \ (z \) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение системы \ (3 × 3 \) с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \), используя правило Крамера.

\ [\ begin {align *} x + y-z & = 6 \\ 3x-2y + z & = -5 \\ x + 3y-2z & = 14 \ end {align *} \]

Решение

Используйте правило Крамера.

\ (D = \ begin {vmatrix} 1 & 1 & −1 \\ 3 & −2 & 1 \\ 1 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_x = \ begin {vmatrix} 6 & 1 & −1 \\ — 5 & −2 & 1 \ \ 14 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_y = \ begin {vmatrix} 1 & 6 & −1 \\ 3 & −5 & 1 \\ 1 & 14 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_z = \ begin {vmatrix } 1 & 1 & 6 \\ 3 & −2 & −5 \\ ​​1 & 3 & 14 \ end {vmatrix} \)

Затем,

\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} & = \ dfrac {-3} {- 3} & = 1 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} & = \ dfrac {-9} {- 3} & = 3 \\ z & = \ dfrac {D_z} {D} & = \ dfrac {6} {- 3} & = -2 \\ \ end {align *} \]

Решение: \ ((1,3, −2) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу \ (3 × 3 \).

\ [\ begin {align *} x-3y + 7z & = 13 \\ x + y + z & = 1 \\ x-2y + 3z & = 4 \ end {align *} \]

Ответ

\ (\ left (−2, \ dfrac {3} {5}, \ dfrac {12} {5} \ right) \)

Пример \ (\ PageIndex {5A} \): Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

\ [\ begin {align} 3x-2y & = 4 \ label {eq3} \\ 6x-4y & = 0 \ label {eq4} \ end {align} \]

Решение

Начнем с нахождения определителей \ (D \), \ (D_x \) и \ (D_y \).

\ (D = \ begin {vmatrix} 3 & −2 \\ 6 & −4 \ end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 \)

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq3} на \ (- 2 \).
2. Добавьте результат в уравнение \ ref {eq4}.

\ [\ begin {align *} & −6x + 4y = −8 \\ & \; \; \; \ underline {6x − 4y = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; 0 = −8 \ end {align *} \]

Получаем уравнение \ (0 = −8 \), которое неверно. Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Пример \ (\ PageIndex {5B} \): использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

\ [\ begin {align} x-2y + 3z & = 0 \ label {eq5} \\ 3x + y-2z & = 0 \ label {eq6} \\ 2x-4y + 6z & = 0 \ label {eq7} \ end {align} \]

Решение

Давайте сначала найдем определитель. Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\ (\ left | \ begin {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & −2 & 3 & 1 \\ 2 & −4 & 6 & 2 & -4 \ end {array} \ right | \)

Затем,

\ (1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) — (- 4) (- 2) (1 ) −6 (3) (- 2) = 0 \)

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq5} на \ (- 2 \) и добавьте результат к уравнению \ ref {eq7}:

\ [\ begin {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 \\ & \; \; \ underline {2x − 4y + 6z = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0 = 0 \ end {align *} \]

2. Получение ответа \ (0 = 0 \), утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.См. Рисунок \ (\ PageIndex {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ

1. Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.{−1} \) — величина, обратная определителю матрицы \ (A \).
3. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): иллюстрация свойств детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

\ (A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \ end {bmatrix} \)

Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.

\ (A = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \ end {array} \ right] \)

Затем

\ [\ begin {align *} \ det (A) & = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 (1) (1) +1 (0) (2) \\ & = -2 \ end {align *} \]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая

\ [\ begin {align *} B & = \ begin {bmatrix} 4 & -3 \\ — 1 & 5 \ end {bmatrix} \\ \ det (B) & = (4) (5) — (- 1) (- 3) \\ & = 20-3 \\ & = 17 \ end {align *} \]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

\ [\ begin {align *} A & = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ — 1 & 2 & 2 & -1 & 2 \ end {array} \ right] \\ \ det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) \ \ & = 4-4 + 8 + 4-4-8 \\ & = 0 \ end {align *} \]

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю.{-1}) & = — 2 \ left (- \ dfrac {1} {2} \ right) — \ dfrac {3} {2} (1) \\ & = — \ dfrac {1} {2} \ конец {выровнять *} \]

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

Пример \ (\ PageIndex {7} \): Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \).

Решение

Используя правило Крамера, имеем

\ (D = \ begin {bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \ end {bmatrix} \)

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны.Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq10} на \ (- 2 \) и добавьте результат в уравнение \ ref {eq8}.

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.

Исключение Гаусса — обзор

■

Исключение Гаусса и метод Гаусса-Жордана могут использоваться для решения систем сложных линейных уравнений.

■

Для комплексной матрицы ее ранг, пространство строк, обратный (если он существует) и определитель могут быть вычислены с использованием тех же методов, что и для вещественных матриц.

■

Комплексная матрица n × n W невырожденная тогда и только тогда | W | ≠ 0, если ранг ( W ) = n .

■

Если W , Z являются комплексными матрицами n × n , то | WZ | = | W || Z |, | W ^T | = | W | и | W * | = | W¯ | = | W | ¯.

■

Если A является комплексной матрицей n × n , то λ∈C является собственным значением для A тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор v∈Cn такой, что Av = λ v . Такой ненулевой комплексный вектор v является собственным вектором для A , связанного с λ .

■

Если A является комплексной матрицей n × n , собственные значения A являются комплексными корнями характеристического полинома pA (x) = xIn − A из A , который делится на комплексные числа на n линейных множителей.То есть сумма алгебраических кратностей собственных значений A равна n .

■

Комплексная матрица A является диагонализуемой тогда и только тогда, когда существует невырожденная комплексная матрица P такая, что P ⁻¹ AP = D является диагональной матрицей. Метод диагонализации применяется к комплексным матрицам.

■

Комплексная матрица n × n A не может быть диагонализована, если количество основных собственных векторов, полученных методом диагонализации для A , не равно n .

■

Пусть A будет комплексной матрицей со всеми действительными элементами. Если A имеет невещественные собственные значения, тогда A нельзя диагонализовать, если рассматривать его как действительную матрицу, но A можно диагонализовать, если рассматривать как комплексную матрицу.