Математические методы в экономике — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья или раздел описывает ситуацию применительно лишь к одному региону, возможно, нарушая при этом правило о взвешенности изложения. Вы можете помочь Википедии, добавив информацию для других стран и регионов.

Математические методы в экономике — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. Включают в себя^{[источник не указан 854 дня]}:

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира

[1].

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.
Новым направлением в современной экономической науке является реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).

Первые попытки использования математики в советских экономических исследованиях относятся еще к 20-м годам. Можно назвать известные и на Западе работы Е. Слуцкого и А. Конюса по моделям потребления, первые модели роста Г. Фельдмана, шахматный балансовый анализ экономики, выполненный в Центральном статистическом управлении, позднее математизированный и существенно теоретически развитый на материале экономики США В. Леонтьевым, попытку Л. Юшкова определить норматив эффективности капитальных вложений, получившую глубокое развитие в работах В. Новожилова. Эти работы частично перекликались с одновременно развивавшимся математическим направлением в экономике, представленным работами Р. Харрода, Е. Домара, Ф. Рамсея, А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хикса и других.

Центральный экономико-математический институт Академии наук СССР, ныне Российской Академии наук (сокращенно ЦЭМИ РАН) создан в 1963 г. по инициативе академика В. С. Немчинова на базе организованной им в 1958 г. Лаборатории экономико-математических методов. В качестве главной цели при создании института было провозглашено внедрение математических методов и ЭВМ в практику управления и планирования, создание теории оптимального управления народным хозяйством. В настоящее время цель трансформировалась в развитие фундаментальной теории и методов моделирования экономики переходного периода, разработку экономико-математического инструментария и программно-алгоритмических средств анализа экономики.

Одним из самых перспективным направлений в математических методах в экономике на данный момент является экономико-математическое моделирование с использованием комплексных переменных^[3], направление, разрабатываемое в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.

Разработка нечисловой экономики (на основе статистики объектов нечисловой природы) ведется в МГТУ им. Н. Э. Баумана совместно с ЦЭМИ РАН^[4].

• Абчук В. А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. — СПб.: Союз, 1999.
• Аллен Р. Дж. Математическая экономия. — М., 1963.
• Балдин К. В. Математические методы в экономике. Теория, примеры, варианты контрольных работ: Учеб.пособие/ К. В. Балдин, О. Ф. Быстров — М.
• Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. — М., 1965.
• Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М. ИНФРА-М. 1997.
• Белых А. А. История советских экономико-математических исследований: 1917 — нач. 60-х г. — Л.: ЛГУ, 1990.
• Ващенко Т. В. Математика финансового менеджмента. М. Прогресс. 1996.
• Введение в экономико-математические модели налогообложения: Учеб.пособие для студ. вузов, обуч.по эконом.спец. «Налоги и налогооблож.», «Математич.методы в экономике»/ Под ред. Черника Д. Г. — М.: Финансы и статистика, 2000.
• Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М. 1985.
• Геронимус Б. Л.,Царфин Л. В. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. — М.: Транспорт, 1990.
• Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 1999.
• Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997.
• Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.
• Ицкович И. А. Анализ линейных экономико-математических моделей. Новосибирск: Наука, 1976.
• Ковалев В. В. Введение в финансовой менеджмент. М: Финансы и статистика 1994.
• Количественные методы финансового анализа / Под ред. С. Дж. Брауна и М. П. Крицмена: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1996.
• Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. — СПб.: Питер, 2000.
• Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. — М.: ЮНИТИ, 1998.
• Математические методы анализа экономики. / Под. ред. А. Я. Боярского. — М.: Изд-во МГУ, 1983.
• Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М.: Мир, 1985.
• Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
• Столерю Л.^ru_en Равновесие и экономический рост: принципы макроэкономического анализа. — М., 1974.
• Тарасевич В. М. Экономико-математические методы и модели в ценообразовании: Учеб. — Л.: ЛФЭИ. Ч.1.,2 — 1991.
• Трояновский В. М. Элементы математического моделирования в макроэкономике. — М.: Издательство РДЛ, 2001.
• Федосеев В. В. Экономико-математические модели и методы в маркетинге. — М., «Фитнстатпром», 1996.
• Черемных Ю. Н. Математические модели развития народного хозяйства. — М., 1986.
• Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб. — М.: Дело, 2001.
• Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб.пособие для студ.вузов, обуч. по эконом. спец. — М.: ЮНИТИ, 2000.
• Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для студ. Вузов, обуч.по эконом.спец./ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999.
• Экономико-математические модели в управлении производством. — Новосибирск: Наука, 1983.

Математические методы в психологии — регистрация, шкалирование

Математические методы в психологии представлены в виде обработанных статистических данных, подкрепленных выводами на основе математической логики или теории вероятностей. Психологи-исследователи применяют данные методы на практике и качественно анализируют полученную информацию.

Результаты исследований могут обрабатываться с помощью одного или нескольких математических методов, что дает возможность специалисту самостоятельно установить закономерности изучаемых психических процессов и явлений. Она может осуществляться с использованием ПО или вручную. Итоги проведенной работы могут представляться в виде различных таблиц, хотя статистические методы позволяют отражать их и в виде графика.

В психологии есть направления, с достаточно высоким уровнем математизации знаний, это, прежде всего:

• математическая психология — теоретические измерения и шкалирование;
• психометрика —измерение знаний, качеств и способностей индивида,
• экспериментальная психология — проведение научно-психических исследований с помощью экспериментальных методов.

Как только психология получила статус экспериментальной дисциплины, начался процесс ее математизации.

Первыми в своих работах математические методы анализа использовали основоположник психофизиологии и психофизики Г. Т. Фехнер и немецкий психолог-экспериментатор Г. Эббингауз.

Основные математические методы в психологии

Самыми известными методами являются корреляционный и факторный анализы, регистрация и шкалирование, ранжирование, а также другие способы обработки информации.

Регистрация и шкалирование

Согласно математическому методу в психологии требуется выразить рассматриваемые психические явления в числовых показателях. Есть различные виды шкал, но для целей практической и экспериментальной психологии больше всего подходит количественная. С помощью этой шкалы можно измерить уровень или величину исследуемых свойств объектов, а также обозначить в численном выражении разницу между ними. Затем полученные данные можно ранжировать — распределить в порядке возрастания или убывания. Также эти значения иногда переводят из количественной шкалы в номинальную.

Метод факторного анализа в психологии

С помощью этого математического метода в психологии можно составить прогнозы того, как некие факторы могут влиять на рассматриваемый предмет или феномен. Факторам воздействия придается одинаковое значение, а их уровень влияния определяется математически.

Использование факторного анализа способствует выявлению общей причины произошедших изменений в феноменах и их общих взаимосвязей.

Метод корреляционного анализа

Данный метод заключается в том, чтобы установить зависимости психологических процессов и явлений. Осуществляется путем фиксации степени изменений среднего значения одного из факторов при изменении взаимосвязанных параметров.

С помощью корреляционного анализа можно установить, когда связь между явлениями положительная — так как увеличение факторного показателя влечет за собой увеличение наблюдаемых результатов, или отрицательная.

Полученный коэффициент корреляции — это статистический показатель взаимосвязи двух случайных факторов, чем его положительное значение выше, тем сильнее будет установленная связь между двумя величинами. Коэффициент называется простым, если описывает взаимосвязь двух случайных величин и сложным, если между случайной величиной и группой.

С помощью данной методики можно установить между психическими явлениями даже неочевидные, скрытые связи.

Как используются математические методы в психологии

Математические методы в экономике — это… Что такое Математические методы в экономике?

Эта статья или раздел описывает ситуацию применительно лишь к одному региону. Вы можете помочь Википедии, добавив информацию для других стран и регионов.

Математические методы в экономике  — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. Включают в себя:

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира^[1].

Одним из самых перспективным направлений в математических методах в экономике на данный момент является экономико-математическое моделирование с использованием комплексных переменных^[2], направление, разрабатываемое в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.

Разработка нечисловой экономики (на основе статистики объектов нечисловой природы) ведется в МГТУ им. Н. Э. Баумана совместно с ЦЭМИ РАН^[3].

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.
Новым направлением в современной экономической науке является реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).

Центральный экономико-математический институт Академии наук СССР, ныне Российской Академии наук (сокращенно ЦЭМИ РАН) создан в 1963 г. по инициативе академика В. С. Немчинова на базе организованной им в 1958 г. Лаборатории экономико-математических методов. В качестве главной цели при создании института было провозглашено внедрение математических методов и ЭВМ в практику управления и планирования, создание теории оптимального управления народным хозяйством. В настоящее время эта цель трансформировалась в развитие фундаментальной теории и методов моделирования экономики переходного периода, разработку экономико-математического инструментария и программно-алгоритмических средств анализа экономики.

См. также

Литература

• Абчук В. А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. — СПб.: Союз, 1999.
• Аллен Р.Дж. Математическая экономия. — М., 1963.
• Балдин К. В. Математические методы в экономике. Теория, примеры, варианты контрольных работ: Учеб.пособие/ К. В. Балдин, О. Ф. Быстров — М.
• Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. — М., 1965.
• Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М. ИНФРА-М. 1997.
• Белых А. А. История советских экономико-математических исследований: 1917 — нач. 60-х г. — Л.: ЛГУ, 1990.
• Ващенко Т. В. Математика финансового менеджмента. М. Прогресс. 1996.
• Введение в экономико-математические модели налогообложения: Учеб.пособие для студ. вузов, обуч.по эконом.спец. «Налоги и налогооблож.», «Математич.методы в экономике»/ Под ред. Черника Д. Г. — М.: Финансы и статистика, 2000.
• Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М. 1985.
• Геронимус Б. Л.,Царфин Л. В. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. — М.: Транспорт, 1990.
• Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 1999.
• Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997.
• Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.
• Ицкович И. А. Анализ линейных экономико-математических моделей. Новосибирск: Наука, 1976.
• Ковалева В. В. Введение в финансовой менеджмент. М: Финансы и статистика 1994.
• Количественные методы финансового анализа / Под ред. С. Дж. Брауна и М. П. Крицмена: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1996.
• Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. — СПб.: Питер, 2000.
• Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. — М.: ЮНИТИ, 1998.
• Математические методы анализа экономики. / Под. ред. А. Я. Боярского. — М.: Изд-во МГУ, 1983.
• Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М.: Мир, 1985.
• Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
• Столерю Л. Равновесие и экономический рост: принципы макроэкономического анализа. — М., 1974.
• Тарасевич В. М. Экономико-математические методы и модели в ценообразовании: Учеб. — Л.: ЛФЭИ. Ч.1.,2 — 1991.
• Трояновский В. М. Элементы математического моделирования в макроэкономике. — М.: Издательство РДЛ, 2001.
• Федосеев В. В. Экономико-математические модели и методы в маркетинге. — М., «Фитнстатпром», 1996.
• Черемных Ю. Н. Математические модели развития народного хозяйства. — М., 1986.
• Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб. — М.: Дело, 2001.
• Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб.пособие для студ.вузов, обуч. по эконом. спец. — М.: ЮНИТИ, 2000.
• Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для студ. Вузов, обуч.по эконом.спец./ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999.
• Экономико-математические модели в управлении производством. — Новосибирск: Наука, 1983.

Примечания

Математическая статистика — Википедия

Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, дающую возможность оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений^[1]. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.

Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда Карл Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ^[2] и многочисленные нелинейные обобщения^[3].

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

1. ↑ Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю. Д. Максимова. — Спб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. — ISBN 5-81940-050-X.
2. ↑ Харман Г., Современный факторный анализ. — М.: Статистика, 1972. — 486 с.
3. ↑ Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A. Y. (Eds.), Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction, Series: Lecture Notes in Computational Science and Engineering 58, Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 2007, XXIV, 340 p. 82 illus. ISBN 978-3-540-73749-0 (а также онлайн).

Математическая индукция — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P1,P2,…,Pn,Pn+1,…{\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1},\ldots }.

Допустим, что Установлено, что P1{\displaystyle P_{1}} верно. (Это утверждение называется базой индукции.) Для любого n доказано, что если верно Pn{\displaystyle P_{n}}, то верно Pn+1{\displaystyle P_{n+1}}. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Принцип полной математической индукции[править | править код]

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений P1{\displaystyle P_{1}}, P2{\displaystyle P_{2}}, P3{\displaystyle P_{3}}, …{\displaystyle \ldots }. Если для любого натурального n{\displaystyle n} из того, что истинны все P1{\displaystyle P_{1}}, P2{\displaystyle P_{2}}, P3{\displaystyle P_{3}}, …{\displaystyle \ldots }, Pn−1{\displaystyle P_{n-1}}, следует также истинность Pn{\displaystyle P_{n}}, то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть (∀n∈N)((∀i∈{1;…;n−1})Pi⟶Pn)⟶(∀n∈N)Pn{\displaystyle (\forall n\in {\mathbb {N} }){\Big (}(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\longrightarrow P_{n}{\Big )}\longrightarrow (\forall n\in {\mathbb {N} })P_{n}}.

В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при n=1{\displaystyle n=1} импликация (∀i∈{1;…;n−1})Pi⟶Pn{\displaystyle (\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\longrightarrow P_{n}} эквивалентна P1{\displaystyle P_{1}}. Принцип полной математической индукции является прямым применением более сильной трансфинитной индукции.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида^[1]. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Задача. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство

1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q.{\displaystyle 1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}

Доказательство. Индукция по n.

База, n = 1:

1+q=(1−q)(1+q)1−q=1−q1+11−q.{\displaystyle 1+q={\frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={\frac {1-q^{1+1}}{1-q}}.}

Переход: предположим, что

1+q+⋯+qn=1−qn+11−q,{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},}

тогда

1+q+⋯+qn+qn+1=1−qn+11−q+qn+1={\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}+q^{n+1}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+q^{n+1}=}

=1−qn+1+(1−q)qn+11−q=1−qn+1+qn+1−q(n+1)+11−q=1−q(n+1)+11−q{\displaystyle ={\frac {1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}},

что и требовалось доказать.

Комментарий: истинность утверждения Pn{\displaystyle P_{n}} в этом доказательстве — то же, что истинность равенства

1+q+⋯+qn=1−qn+11−q.{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}

1. ↑ Nachum L. Rabinovih. Раби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. — 1970. — Вып. 6. — С. 237-248.

• Видео по методу математической индукции

экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности

План

1. Характеристика основных экономико-математических методов АХД

2. Применение методов линейного программирования для решения конкретных аналитических задач.

3. Применение методов динамического программирования для решения конкретных аналитических задач.

1. Экономико-математические методы — это математические методы, применяемые для анализа экономических явлений и процессов. Использование математических методов в экономическом анализе позволяет повысить его эффективность за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.

Применение математических методов в экономическом анализе требует соблюдения ряда условий, среди которых:

• системный подход к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий;

• разработка комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;

• совершенствование системы экономической информации о работе предприятий;

• наличие технических средств (ЭВМ и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;

• организация специального коллектива аналитиков, состоящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.

Современное состояние разработки принципов и конкретных форм использования математики и других точных наук для решения экономических задач отражает примерная схема основных математических методов, применяющихся в анализе хозяйственной деятельности предприятий.

Приведенная схема еще не является классификатором экономико-математических методов, поскольку она составлена безотносительно к какому-либо классификационному признаку. Она необходима для инвентаризации и характеристики основных математических методов, используемых в анализе хозяйственной деятельности предприятий. Рассмотрим ее

Экономико-математические методы в анализе

Методы элементарной математики

Эвристические методы

Методы исследования операций

Математическая теория оптимальных процессов

Методы экономической кибернетики

Классические методы математического анализа

Методы математической статистики

Эконометрические методы

Методы математического программирования

Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности.

Методы элементарной математики используются в обычныхтрадиционных экономических расчетах при обосновании потребностейв ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов,при балансовых расчетах и т. д. Выделение методов классической высшей математики на схемеобусловлено тем, что они применяются не только в рамках другихметодов, например, методов математической статистики иматематического программирования, но и отдельно. Так, факторныйанализ изменения многих экономических показателей может бытьосуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.

Методы математической статистики широко применяются в экономическом анализе. Они используются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайным процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы — это практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа, изучаемые в курсах теории статистики.

Следующая группа экономико-математических методов — эконометрические методы. Эконометрия — научная дисциплина, изучающая количественные стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа на основе моделирования экономических процессов. Соответственно эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. Из э ко неметрических методов наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа «затраты — выпуск». За его разработку выдающийся экономист В. Леонтьев в 1973 году получил Нобелевскую премию. Метод анализа «затраты-выпуск» — это эконометрический метод анализа, заключающийся в построении матричных (балансовых) моделей, по шахматной схеме и позволяющих в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат ирезультатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации — главные преимущества использования матричных моделей. Это важно при создании систем механизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.

Методы математического программирования в экономике — это многочисленные методы решения задач оптимизации производственно-хозяйственной и прежде всего плановой деятельности хозяйствующего субъекта. По своей сути эти методы — средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа выполнения бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т. п.

Под исследованием операций понимается метод целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Целью является такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Как раздел исследования операций теория игр — это теория построения математических моделей для принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания — это теория, разрабатывающая математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания на основе теории вероятности. Так, любое из структурных подразделений промышленного предприятия можно представить как объект системы обслуживания.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Методы экономической кибернетики разрабатываются экономической кибернетикой — научной дисциплиной, анализирующей экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем, с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Из методов экономической кибернетики наибольшее распространение в экономическом анализе получили

31методы моделирования и системного анализа.

В последние годы в экономической науке усилился интерес к методам эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию. Это нашло отражение в применении эвристических методов (решений), которые представляют собой неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т. п.

Для анализа производственно-хозяйственной, коммерческой деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только разрабатываются в теории экономического анализа. В то же время в этой схеме не нашли отражения некоторые экономико-математические методы, рассматриваемые в специальной литературе по экономическому анализу: теория нечетких множеств, теория катастроф и др. В данном учебном пособии внимание сосредоточено на основных экономико-математических методах, получивших уже широкое применение в практике экономического анализа.

Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованную классификацию методов и задач анализа.

По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и неоптимизационные. Оптимизационные методы — группа экономико-математических методов анализа, позволяющих искать решение задачи по заданному критерию оптимальности. Неоптимизационные методы — группа экономико-математических методов анализа, использующихся для решения задач без критерия оптимальности.

По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. К точным методам относят группу экономико-математических методов, алгоритм которых позволяет получить только одно решение по заданному критерию оптимальности или без него. К приближенным методам относят группу экономико-математических методов, применяемых в случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, а также такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности или без него.

Таким образом, на основе использования только двух признаков классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы:

1) оптимизационные точные методы;

2} оптимизационные приближенные методы;

3) неоптимизационные точные методы;

4) неоптимизационные приближенные методы.

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся: отдельные методы математического программирования; методы исследования операций, методы экономической кибернетики; методы математической теории планирования экстремальных экспериментов; эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся: методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся: метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Из представленных нами укрупненных групп экономико-математических методов, некоторые методы из этих групп используются для решения различных задач — как оптимизационных, так и неоптимизационных; как точных, так и приближенных.

2. Методы линейного программирования. Все экономические задачи, решаемые с применением методов линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит выбрать из значительного количества всех допустимых вариантов лучший, оптимальный. В этом состоит важность и ценность использования в экономике методов линейного программирования. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.

Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны: математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимо­заменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок}. В сельском хозяйстве они используются для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этими же методами решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.

3. Методы динамического программирования. Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция и/или ограничения, характеризуются нелинейными зависимостями.

Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменны/, у которых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.

В экономике вообще и в экономике предприятия, в частности, примеров нелинейных зависимостей достаточно много. Так, экономическая эффективность производства возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает вместе с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. Нелинейной связью характеризуется изменение величины износа производственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) — от скорости движения автотранспорта и многие другие хозяйственные ситуации.

Классификация экономико-математических методов

Особенностью решения задач управления экономикой является необходимость учета при их решении множества переменных величин, характеризующих постоянно изменяющиеся производственные условия.

Так как число сочетаний этих величин в течение определенного времени могло быть достаточно большим, то возможно существование значительного числа вариантов решений. Отсюда большая размерность решаемых задач. В этих условиях простой перебор и сравнение всех возможных вариантов решения конкретной задачи нереально из-за большой трудоемкости вычислений. Поэтому требуются специальные методы, позволяющие достаточно быстро и с достаточной степенью обоснованности найти искомое решение. Эти методы получили название экономико-математических методов.

Поскольку целью изучения экономико-математических методов является раскрытие механизма их реализации, определение области наиболее эффективного использования, то в качестве классификационного признака можно принять, например, характер используемого математического аппарата. По этому признаку можно выделить методы классической и прикладной математики (рис.1).

Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей. Методы математического анализа в свою очередь могут быть классифицированы на дифференциальное и вариационное исчисления. Эти методы целесообразно использовать при расчете параметров календарно-плановых нормативов: определение размеров партии деталей, длительности производственного цикла, для оперативного регулирования производства и др.

Группа методов прикладной математики обширна по номенклатуре, неоднородна по составу элементарных расчетов, способам их реализации, применяемым приемам и т.д. По общности указанных признаков методы рассматриваемой группы можно классифицировать следующим образом: методы оптимального программирования, математической статистики, комбинаторные методы, теории расписаний, игр, массового обслуживания, управление запасами, метод экспертных оценок.

Экономико-математические методы

1. Методы классической математики

1.1.

Матема-

тический

анализ

2. Методы прикладной математики

1.2.

Теория

вероят-

ности

2.2. Матема-

тическая

статистика

2.1. Оптимальное

программи-

рование

2.1.1. Линейное

2.1.2. Вероятность

2.1.5. Выпуклое

2.2.1. Корреляцион-

ный анализ

Дифференци-

альное

исчисление

2.1.6. Квадратичное

2.2.2. Регрессионный анализ

2.6. Теория массового обслуживания

2.4. Теория игр

2.3. Комбина-

торные

методы

2.2.3. Дисперсионный анализ

2.2.4. Факторный анализ

2.7. Теория управления запасами

2.8. Метод экспертных оценок

2.5. Теория расписания

2.1.3. Целочисленное

1.1.2. Вариационное исчисление

2.1.4. Нелинейное

2.1.7. Динамическое

2.1.8. Параметрическое

2.1.9. Блочное

Рис. 1 – Классификация экономико-математических методов

Методы математической статистики используются для нахождения и раскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов. При этом изучается не каждый элемент совокупности, а определенная выборка. Полученные характеристики такой выборки могут использоваться: 1) для сравнительной оценки элементов различных совокупностей или их характеристик, 2) для установления связей между отдельными величинами, 3) для прогнозирования на этой основе развития системы в будущем. Математическая статистика включает: корреляционный, регрессионный, дисперсионный, факторный анализы и др.

Оптимальное программирование – это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определенных ограничивающих условиях. Оптимальное программирование – эффективный инструмент решения задач управления. В их числе: линейное, вероятностное, целочисленное (дискретное) программирование, нелинейное, выпуклое, квадратичное, динамическое, параметрическое, блочное и др.

В математике решаемые на оптимум задачи называются экстремальными. В них требуется отыскать максимум или минимум некоторой целевой функции.

Линейное программирование используется при решении задач в том случае, когда целевая функция и ограничения выражены линейными зависимостями. Эти методы в настоящее время являются наиболее разработанными, относительно простыми и понятными для широкого использования. Существуют эффективные алгоритмы для использования вычислительной техники при их реализации. Многие процессы допускают линейную интерпретацию, а некоторые нелинейные зависимости могут быть сведены к линейным для ограниченного числа ситуаций.

Однако в некоторых случаях применение линейных методов искажает получаемые результаты, что приводит к необходимости использования и других методов.

Если в системе равенств или неравенств содержатся случайные элементы, но зависимости между переменными линейные, то такая задача решается методами вероятностного программирования. Если при нахождении неизвестных переменных необходимо, чтобы одна из них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае при решении такой задачи необходимо использовать методы целочисленного программирования.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда целевая функция, или хотя бы одно ограничение, выражены нелинейной зависимостью. В числе методов нелинейного программирования можно выделить квадратичное и выпуклое программирование.

Выпуклое программирование представляет собой совокупность специальных методов решения нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевая функция, либо ограничительные условия.

Квадратичное программирование – это совокупность методов решения особого класса экстремальных задач, в которых ограничения линейны, а целевая функция является многочленом второй степени.

Методы динамического программирования могут применяться для решения оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс управления или производства в пространстве или во времени, т.е. в развитии. Весь процесс поиска оптимального решения представляется в виде определенной последовательности шагов, для каждого из которых находится оптимальное решение, влияющее на последующие шаги (принцип многошаговости Р.Беллмана).

В моделях реальных экономических систем коэффициенты целевой функции или ограничения могут являться не постоянными величинами, а изменяться в течение определенного периода времени под воздействием различных факторов. В этом случае эффективными будут методы параметрического программирования.

Модели, содержащие большое число показателей, очень сложны в реализации. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, их преобразуют в несколько моделей меньшей размерности. Полученные локальные задачи решаются совместно с использованием специальных методов, наиболее известным из которых является метод разложения Данцига-Вульфа. Это методы блочного программирования.

Для решения задач методами математического программирования используются комбинаторные методы, например, ветвей и границ. В случае «трудной» задачи она заменяется на набор задач, представляющих ветвь. Чем больше ветвей, тем большее значение получает целевая функция. Граница предельной ветви достигается в том случае, если значение критерия не улучшается. К этим методам близко подходят эвристические, основные на опыте, интуиции исполнителя.

Когда приходится принимать решения в условиях неопределенноcти, причем такое решение должно обеспечивать наибольший эффект или наименьшие потери, целесообразно пользоваться методами теории игр.

Предметом исследования теории массового обслуживания являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок. В экономике: заявка – спрос на продукцию определенного вида, обслуживающее устройство – предприятия.

Теория расписаний представляет собой систему методов, позволяющих упорядочить во времени использование системы машин для обработки некоторого множества изделий. При этом должны быть выполнены определенные технологические условия и обеспечено достижение оптимального значения заранее заданного критерия качества расписания.