Методы решения уравнения высших степеней – Решение уравнений высших степеней

Содержание

Методический материал для элективного курса по теме «Способы решения уравнений высших степеней» 9-10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

г. Астрахани «Средняя общеобразовательная школа № 48»

«Способы решения уравнений высших степеней»

Автор: Макеева Ю.К

учитель алгебры и геометрии

МБОУ г. Астрахани «СОШ №48»

Астрахань, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

5

6

8

9

13

19

28

32

34

3. Практическая часть

35

4. Выводы

35

5. Список используемых источников

36

6. Приложение

37

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую систематическую подготовку, а с другой — удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

При подготовке к ОГЭ 2017 года был рассмотрен вариант ОГЭ 2016 года.

Задание №21 содержало уравнение четвертой степени. Учащиеся моего класса столкнулись с проблемой при решении данного задания. Данная проблема обозначила необходимость более глубокого изучения темы «Способы решения уравнений высших степеней»

Программа курса «Решение уравнений высших степеней» позволит сделать достаточно полный обзор изученных типов уравнений и предполагает рассмотрение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики,

но необходимы при сдаче ОГЭ по математике и дальнейшем ее изучении.

Рассмотрение различных видов уравнений и способов их решения будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы
с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

Основываясь на это в ходе нашей работы, мы попробуем доказать, что изучение данной темы необходимо углубить в курсе алгебры 9-го класса.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

— свободно оперировать аппаратом алгебры при решении уравнений;

— отличать уравнения высших степеней различных типов и знать способы их решения;

— строить графики различных функций, чего будет достаточно для успешного написания второй части ОГЭ по математике.

Актуальность:

Отсутствие нужного материала в учебнике алгебры, но его необходимость при решении второй части ОГЭ по математике делает нашу тему актуальной.

Гипотеза: Решение уравнений высших степеней необходимо углубить при изучении в 9 классе.

Цели:

1. Обосновать необходимость изучения данного материала для успешного написания второй части ОГЭ по математике.

2. Выявить возможность использования школьных знаний для решения более сложных математических задач.

Задачи:

1. Проанализировать источники литературы для выявления способов решения уравнений высших степеней, показать различные способы решения данных уравнений.

2. Выделить логические приемы решения уравнений высших степеней.

3. Способствовать их осмыслению.

4. Развить образное и ассоциативное мышление у себя
и одноклассников.

Объект исследования: уравнения высшей степени

Предмет исследования: способы решения уравнений высших степеней.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.

Этапы выполнения исследовательской работы:

Включает в себя изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.

Включает в себя практическое применение способов решения уравнений высших степеней.

Включает в себя анализ результатов, формулирование выводов.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Общие методы решения уравнений всех типов (рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических):

1.Графический метод.

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:

1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2) наличие или отсутствие корней, их количество.

Пример №1: Решить уравнение: х

5 — 3 + 2х = 0

Решение №1: х5 = 3 — 2х

1) Рассмотрим две функции: у = х5 и у=3- 2х.

2) Построим график функции у = х5.

3) Построим график линейной функции у = 3 — 2х. Это прямая линия, проходящая через точки (0; 3) и (1; 1).

4) Судя по чертежу (см. приложение рис.1), построенные графики пересекаются в точке А(1;1). Проверка показывает, что на самом деле координаты точки А(1;1) удовлетворяют и уравнению у = х5, и уравнению у = 3 — 2х. Значит, уравнение имеет один корень: х = 1 — это абсцисса точки А.

Ответ: х=1.

Пример №2: Решить уравнение: х6 + х2 – 8х + 6 = 0

Решение №2: х6= -х2 + 8х – 6

1) Рассмотрим две функции: у = х6 и у = — х2 + 8х — 6.

2) Построим график функции у = х

6.

3) Построим график линейной функции у= — х2 + 8х — 6. Это парабола ветви, которой направлены вниз.

4) Судя по чертежу (см. приложение рис.2), построенные графики пересекаются в точке А(1;1). Проверка показывает, что на самом деле координаты точки А(1;1) удовлетворяют и уравнению у = х6, и уравнению у = — х2+8х-6. Значит, уравнение имеет один корень: х = 1 — это абсцисса точки А.

Ответ: х=1.

Часто ответ можно дать только в приближенном виде, поэтому необходимо всегда делать проверку корней полученных при решение этим способом.

Пример №3: (материал взят из ОГЭ 2016г.)

x4=(3x-10)2

Решение №3: x4=(3x-10)2

1) Рассмотрим две функции: у = х4 и у =(3х-10)2.

2) Построим график функции у = х4 — график парабола ветви направлены вверх.

3) Построим график линейной функции у = (3х-10)2. Это парабола ветви, которой направлены вверх.

4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).

Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.

Пример №4: Решить уравнение х7 + 3х + 2 = 0

Решение №4: х7 = -3х — 2

1) Рассмотрим две функции: у = х7 и у= -3х — 2.

2) Построим график функции у = х7.

3) Построим график линейной функции у = -3х — 2. Это прямая линия,

проходящая через точки (0; -2) и (1; -5).

4) По чертежу (см. приложение рис.4) нельзя указать точный ответ, поэтому можно сказать только о приближенном значении решения уравнения х-0,6.

Ответ: х-0,6

Вывод: Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества, при данной задаче можно использовать свойства монотонности функций:

Пусть у=f(x) и у=φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда, если у=f(x) монотонно возрастает, а у=φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного корня на этом промежутке. Однако, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным, поэтому найденные решения следует проверить.

2. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.

Этот метод основан на использовании формул: 

а2-b2=(а-b)(а+b)

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2−2ab+b2=(a−b)2

а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2)

а3-b3=(а-b)(а2+аb+b2)

(а+b)33+3а2b+3аb2+b3

(а-b)3= а3-3а2b+3аb2-b3, и метода группировки.

Выделение полного квадрата — это такое тождественное преобразование, 

при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)2

суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Пример №5: х4 – 3x2 + 4х – 3 = 0.

Решение №5: х4 – 3x2 

+ 4х – 3 = 0.

Представим — 3x2 = -2x2 – x2 и сгруппируем:

4 – 2x2) – (x2 – 4х + 3) = 0.

4 – 2x+1 – 1) – (x2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

2 – 1)2 – 1 – (x – 2)2 + 1 = 0.

2 – 1)2 – (x – 2)2 = 0.

2 – 1 – х + 2)(х2 – 1 + х — 2) = 0.

2 – х + 1)(х2 + х – 3) = 0.

х2 – х + 1 = 0 х2 + х – 3 = 0.

D = 1 – 4 = -3 D = 1+12 = 13

=> корней нет х1, 2 =

Ответ: х1, 2 =

Пример №6. (пример из ОГЭ 2016 года)

x4=(3x-10)2

Решение №6: х4=(3х-10)2

Способ 1: Используем формулу сокращенного умножения х4-(3х-10)2=0

2-3х+10)(х2+3х-10)=0

х2-3х+10=0 или х2+3х-10=0

D=9-40=-31 D=9+40=49

корней нет х1=-5, х2=2.

Ответ: х1=-2, х2=5.

Способ 2: х4-(3х-10)2=0

х4=(3х-10)2

х2=3х-10 х2=-(3х-10)

х2-3х+10=0 х2+3х-10=0

D=9-40=-31<0 D=9+40=49

=> корней нет х1=-5, х2=2.

Ответ: х1=-2, х2=5.

3. Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка.

 Способ группировки можно разбить на два этапа:

1) Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя (в одной из групп общего множителя может не быть).

2) Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.

Пример №7:8-3х76=0 

Решение №7:8-3х76=0 

х6(2х2-3х+1) =0

х6=0 2х2-3х+1=0

х1=0 D=9-8=1

х2=1; х3=0,5

Ответ: х1=0; х2=1; х3=0,5.

Пример №8: х4 – 5х2 + х3 – 5х=0

Решение №8: х4 – 5х2 + х3 – 5х =0

4 + х3) – (5х2 + 5х) =0

х3(х + 1) – 5х(х + 1) =0

(х + 1)(х3 – 5х) = 0

х(х + 1)(х2 – 5)=0

х1 = 0 х 2 = -1 х3 = ±√5

Ответ: х1 = 0; х 2 = -1; х3 = ±√5.

Пример №9:4 +3х3 + 16х +24 = 0

Решение №9: (2х4 + 16х) + (3х3+24) = 0

2x(х3 + 8) + 3(х3 + 8) = 0

3 + 8)(2x + 3) = 0

х3=-8 или 2х+3=0

х1 = -2 х 2 =

Ответ: х1 = -2; х 2 =

Вывод: Способ разложения на множители очень эффективный, но при видимой простоте группировки очень непросто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что приходится каждый раз экспериментировать.

4.  Метод понижения степени. Теорема Безу.

Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. А установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней. Одним из них является метод разложения многочлена на множители с использованием теоремы Безу.

Формулировка теоремы Безу: Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x – a) равен P(a).

Следствия из теоремы Безу

1.Число a — корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен (x – a).

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x) = 0.

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше:

если P(a) = 0, то заданный многочлен P(x) можно представить в виде:

P(x) = (x – a)Q(x)

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена Q(x), степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни заданного многочлена.

Пример №10: Решим уравнение x3 + 2x2 -1 = 0 

Решение №10: Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел:hello_html_m28593ba2.gif. Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен 

P3(x) = x3 + 2x2 -1 можно представить в виде произведения P3(x) = (x + 1)P2(x), т.е. многочлен P3(x) можно без остатка разделить на двучлен (x+1). Выполним такое деление “углом”:

x3 + 2x2 – 1 | x+1

x3 + x2 x2+x-1

3+ x2— 1

x2 + x

2 -x – 1

x – 1

0

Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители: (x+1)(x2 + x–1) = 0.

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

x + 1 = 0 x2 + x – 1 = 0

x1 = -1 D = 1 + 4 = 5

x2,3 =

Ответ: x1 = -1; x2,3 = .

Пример №11: Решим уравнение x4 + 4x3 – 18x2 – 12x + 9 = 0

Решение №11: Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: hello_html_m28593ba2.gif;hello_html_64769a8b.gif. Проверим:

x = 1; P4(1) = -16

x = -1; P4(-1) = 0 (т.е. Pn(x):(x + 1))

Значит, многочлен P4(x) = x4 + 4x3 – 18x2 – 12x + 9 можно представить в виде произведения P4(x) = (x + 1)P3(x), т.е. многочлен P4(x) можно без остатка разделить на двучлен (x + 1). Выполним такое деление “углом”:

x4 + 4x3 – 18x2 – 12x + 9  | x + 1

x4 + x3 x3 + 3x2 – 21x + 9

4+ 3x3 – 18x2

3x3 + 3x2

3 – 21x2 – 12x

– 21x2 – 12x

2+ 9x + 9 

9x + 9 

0

Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

(x + 1)(x3 + 3x2 – 21x + 9) = 0.

Аналогичным образом поступим и с многочленом P3(x) = x3 + 3x2 – 21x + 9.

Если это уравнение x3 + 3x2 – 21x + 9 = 0 имеет целый корень, то он является делителем свободного члена, т.е. равняется одному из чисел: hello_html_m28593ba2.gif;hello_html_64769a8b.gif. Проверим:

x = 1; P3(1) = -8

x = -1; P3(-1) = 32

x = 3; P3(3) = 0 (т.е. Pn(x):(x – 3 ))

Значит, многочлен P3(x) = x3 + 3x2 – 21x + 9 можно представить в виде

произведения P3(x) = (x – 3)P2(x), т.е. многочлен P3(x) можно без остатка разделить на двучлен (x – 3). Выполним такое деление “углом”:

x3 + 3x2 – 21x + 9  | x – 3

x3 — 3x2 x2 + 6x – 3

3+6x2 – 21x

6x2 – 18x

2– 3x + 9 

– 3x + 9 

0

Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители: (x + 1)(x – 3)(x2 + 6x – 3) = 0

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

x + 1 = 0 x – 3 = 0 x2 + 6x – 3 = 0

x1 = -1 x2 = 3 D = 36 + 12 = 48

x3,4 = = =

Ответ: x1 = -1; x2 = 3; x3,4 = .

Пример №12: (материал взят из ОГЭ по математике 2016 года):

Решите уравнение x4=(3x-10)2

Решение №12: x4 – 9x2 + 60x – 100 = 0 1,2,4,5,10,25,50,100

P4(1) = — 48

P4(-1) = -168

P4(2) = 0 (т.е.Pn(x) (х-2))

x4-9x2+60x-100|x-2_________

x4-2x3 x3+2x2-5x+50

4 +2x3-9x2

2x3-4x2

3 -5x2+60x

-5x2+10x

2 +50x-100

50x-100

0

Раскладываем левую часть исходного уравнения на множители:

(x-2)(x3+2x2-5x+50)=0

P4 (-2) = -40

P4(4) = 252

P4(-4) = -228

P4(5) = 600

P4(-5) = 0 (т.е. Pn(x) (x+5))

x3+2x2-5x+50|x+5_____

x3+5x2 x2-3x+10

3-3x2-5x

-3x2-15x

2+10x+50

10x+50

0

(x-2)(x+5)(x2-3x+10)=0

х=2 x=-5 нет корней

Ответ: x1=2; x2=-5.

Вывод: этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.

5. Метод понижения степени. Схема Горнера.

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена

Pn(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an−1x+an

на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a: Р(х)=

hello_html_m372e9765.png

После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать
на примерах.

Пример №13: Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.

Решение №13: Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:

hello_html_35f7914.png

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

hello_html_m6dfa72df.gif

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1·5+5=10:

hello_html_50178e0e.gif

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1·10+1=11:

hello_html_m77cb2b4d.gif

Для пятой ячейки получим: 1·11+0=11:

hello_html_7eaf482.gif

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1·11+(−11) = 0:

hello_html_me0b9e83.gif

Задача решена, осталось только записать ответ:

hello_html_65556697.gif

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x3+10x2+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена5x4+5x3+x2−11 на x−1. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11 

Пример №14: Разделить многочлен x4+3x3+4x2−5x−47 на x+3 по схеме Горнера.

Решение №14: Сразу оговорим, что выражение x+3 нужно представить в форме x−(−3). В схеме Горнера будет участвовать именно −3. Так как степень исходного многочлена x4+3x3+4x2−5x−47 равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

hello_html_m6fe533b7.png

Полученный результат означает, что x4+3x3+4x2−5x−47=(x+3)(x3+0⋅x2+4x−17)+4=(x+3)(x3+4x−17)+4

В этой ситуации остаток от деления x4+3x3+4x2−5x−47 на x+3 равен 4. Или, что-то самое, значение многочлена x4+3x3+4x2−5x−47 при x=−3 равно 4.

Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой x=−3 в заданный многочлен:

x4+3x3+4x2−5x−47=(−3)4+3⋅(−3)3−5⋅(−3)−47=4.

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни.

Пример №15: Решить уравнение x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45, используя схему Горнера.

Решение №15: Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x6) равен единице. В этом случае целочисленные корни уравнения нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа 45;15;9;5;3;1 и −45;−15;−9;−5;−3;−1. Проверим, к примеру, число 1:

Табл. №1

hello_html_m3f6ed23e.png

Как видите, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=1 равно 192 (последнее число в второй строке), а не 0, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение x=−1. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение 1, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Таблица №2

hello_html_93a5da0.gif

Итак, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=−1 равно нулю, т.е. число −1 есть корень этого многочлена. После деления многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 на бином x−(−1)=x+1 получим многочлен x5+x4−22x3+2x2+69x+45, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45) (1)

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена x5+x4−22x3+2x2+69x+45. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа 45. Попробуем ещё раз проверить число −1. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем
в нее еще одну строку:

hello_html_m5ce9433.gif

Итак, число −1 является корнем многочлена x5+x4−22x3+2x2+69x+45. Этот результат можно записать так:

x5+x4−22x3+2x2+69x+45=(x+1)(x4−22x2+24x+45) (2)

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x2+2x2+69x+45)=

=(x+1)(x+1)(x4−22x2+24x+45)=(x+1)2(x4−22x2+24x+45) (3)

Теперь уже нужно искать корни многочлена x4−22x2+24x+45, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа 45). Проверим еще раз число −1:

hello_html_506e2690.gif

Число −1 является корнем многочлена x4−22x2+24x+45. Этот результат можно записать так:

x4−22x2+24x+45=(x+1)(x3−x2−21x+45) (4)

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)= =(x+1)2(x+1)(x3−x2−21x+45)=(x+1)3(x3−x2−21x+45) (5)

Теперь ищем корни многочлена x3−x2−21x+45.Проверим еще раз число −1:

hello_html_m764a949e.gif

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число 3:

hello_html_m3d17c8e7.gif

В остаток ноль, поэтому число 3 – корень рассматриваемого многочлена. Итак, x3−x2−21x+45=(x−3)(x2+2x−15). Теперь равенство (5) можно переписать так:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45==(x+1)3(x3−x2−21x+45)=

=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15) (6)

Проверим ещё раз число 3:

hello_html_6f83370b.gif

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=

=(x+1)3(x−3)(x−3)(x+5)=(x+1)3(x−3)2(x+5) (7)

Из последней скобки видно, что число −5 также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение x=−5, но необходимости в этом нет. Итак,

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=

=(x+1)3(x−3)2(x+5)

Числа −1;3;5 – корни данного многочлена. Причем, так как скобка (x+1) в третьей степени, то −1 – корень третьего порядка; так как скобка (x−3) во второй степени, то 3 – корень второго порядка; так как скобка (x+5) в первой степени, то x=−5 – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

hello_html_m493e457d.gif

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5).

(x+1)3(x−3)2(x+5) =0

х1=-1 х2=3 х3=-5

Ответ: х1=-1; х2=3; х3=-5

Пример №16: Убедиться, что числа 2 и −5 являются корнями уравнения 3x6+9x5−28x4+6x3−30x2−30x+100=0.Разделить заданный многочлен на биномы x−2 и x+5.

Решение №16: Степень многочлена 3x6+9x5−28x4+6x3−30x2−30x+100 равна 6. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на 2, т.е. станет равна 4.

hello_html_m8b37074.gif

(х-2)(х+5)(3х4+2х2-10)=0

х-2=0 или х+5=0 или 3х4+2х2-10=0

х = 2 х = -5 х2=t, t˃0

3t2+2t-10=0

D=4+120=124

t1= –посторонний корень

t2=

х2=

х1,2=

Ответ: числа -5 и 2 являются корнями данного уравнения.

Вывод: Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох. Схема Горнера дает общий метод разложения на множители любого многочлена.

6. Метод замены переменной.

В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено
к виду ƒ(g(x)) = 0, заменой t = g(x) уравнение сводится к решению уравнения ƒ(t) = 0. Далее для каждого полученного корня tk решается уравнение g(x) = tk.

а) Простейшие случаи. Очевидная замена.

Пример №17: х6+3х3-4=0.

Решение №17: х6+3х3-4=0.

Пусть х3=t

Тогда  t2+3t — 4=0

t = 1; t = − 4

Получаем: х3=1  или  х3=-4

х = 1; х=

Ответ: -; 1.

Пример №18:2-3х)2+3(х2-3х)-28=0

Решение №18:2-3х)2+3(х2-3х)-28=0

Пусть х2-3х=t

Тогда t2+3t-28=0.  t 

infourok.ru

Уравнения высших степеней

Замечание 1

Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Наиболее известными схемами для решения являются:

  • Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
  • Метод Феррари для уравнений 4-ой степени;
  • Теорема Виета для степени больше двух;
  • Теорема Безу;
  • Схема Горнера.

Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.

Теорема Виета

Рассмотрим уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:

$\begin{cases} x_1 + x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \\ \end{cases}$

Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.

Пример 1

Решите уравнение: $x^3+x^2-4x-4=0$.

Решение:

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x_1+ x_2+x_3=-\frac{1}{1} \\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac{4}{1}=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac{4}{1}\\ \end{cases}$

Решив её, получим следующие корни:

$\begin{cases} x_1=-2 \\ x_2=2 \\ x_3=-1 \\ \end{cases}$

Теорема Безу

Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида $a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2]}+…+a_{n-1}x+a_n=0$ с ненулевым свободным членом имеет некий корень $α$, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.

Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:

  1. Найти и выписать все делители свободного члена.
  2. Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
  3. Разделить всё уравнение на $(x-α)$ и записать само уравнение как произведение $(x-α)$ и результата выполненного деления.
  4. Решить полученное после разложения уравнение.

Пример 2

Решите: $x^3+4x^2+x-6=0$

Решение:

Делители члена не при переменной: $±1;±2;±3;±6$

Подставим $1$ в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:

$1^3+4 \cdot 1^2+1-6=0$

Следовательно, $x_1=1$ — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:

Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:

$(x-1)(x^2+5x+6)=0$

Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: $x_{2,3}=-3;-2$.

Схема Горнера

Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида $a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2]}+…+a_{n-1}x+a_n=0$ через делители свободного члена.

После этого составляется специальная таблица с результатами деления на $(x-α)$, в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:

$b_0=a_0; b_1=αb_0+a_1; b_2=αb_1+a_2…b_{n-1}= αb_{n-2}+a_{n-1};b_n=αb_{n-1}+a_n$.

Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Решить: $x^3+4x^2+x-6=0$.

Решение:

Делители свободного члена — $±1;±2;±3;±6$

Запишем таблицу со коэффициентами:

Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на $(x-α)$ при $α=1$, равен $x^2+5x+6$.Получается, что исходное уравнение принимает вид:

$(x-1) \cdot ( x^2+5x+6)=0$.

Корни же второго многочлена будут $x_{2,3}=-2;-3$.

Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене

Данный метод основан на следующем условии:

Определение 1

Несократимая дробь $\frac{p}{q}$ будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.

Алгоритм этого метода:

  1. Поиск делителей свободного члена.
  2. Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
  3. Составление дробей и подбор решения.

Пример 4

Решите: $2x^4+17x^3-17x^2-8x+6=0$.

Решение:

Делители свободного члена: $±1; ±2; ±3; ±6$.

Делители коэффициента при старшем члене: $1; 2$.

Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; -\frac{3}{2}$.

Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются $x_1=1;x_2= \frac{1}{2}$.

Это значит, что многочлен можно разделить на $2(x-1)(x-\frac{1}{2})=2x^2-3x+1$. При выполнении деления получаем частное $x^2+10x+6$.

Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны $x_{3,4}=-5±\sqrt{19}$.

spravochnick.ru

Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

 Этот метод основан на  применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x — α)Q(x), где  Q(x) — многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена  Р(х) на двучлен (x — α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения  Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1),  понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn + a1xn-1+ … + ax-1x+ an = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена an, а q – делителем старшего коэффициента a0. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x — α) “углом” или по схеме Горнера.   

Схема Горнера

 

a0

a1

a2

an-1

an

α

a0

b1 = α a0 + a1

b2 = α b1 + a2

bn-1 = α bn-2 + an-1

0

 

(x — x1)(x — x2) … (a0x2 + bx + c) = 0, x1= α – корень многочлена.

Пример №1. x3 — 9x2 + 26x — 24 = 0  Решение. Выпишем делители свободного члена

p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24, R(2) = 0, x1= 2.

Понизим степень уравнения делением многочленов в столбик «углом»

x3 — 2x2

 -7x2 + 26x

-7x2 + 14x

12x — 24

12x — 24

Разложим на множители (x — 2)(x2 — 7x + 12) = 0, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4.

Ответ: {2;3;4}

Решить самостоятельно.

Пример №2: x3 + 7x2 — 56x + 48 = 0 Ответ: {1;4;-12}

Пример №3: x3 — 5x2 — 2x + 16 = 0 Ответ:

Понижение степени по схеме Горнера.

Пример №4: x4 + 3x3 — 24x2 + 17x + 3 = 0

Решение. Найдем делители свободного члена p =±1; ±3, R(1) = 0, x1= 1.

 

1

3

-24

17

3

 

1

1

4

-20

-3

0

x1= 1

3

1

7

1

0

 

x2= 3

Разложим на множители (x — 1)(x — 3)(x2 + 7x + 1) = 0 Ответ:

Пример №5: x6 —  x5 — 8x4 + 14x3 + x2 — 13x + 6 = 0

p = ±1; ±2; ±3; ±6

 

1

-1

-8

14

1

-13

6

 

1

1

0

-8

6

7

-6

0

x1= 1

-1

1

-1

-7

13

-6

0

 

x2= -1

2

1

1

-5

3

0

 

 

x2= 2

-3

1

-2

1

0

 

 

 

x2= -3

Разложим на множители (x — 1)(x + 1)(x — 2)(x + 3)(x2 — 2x + 1) = 0

(x — 1)(x + 1)(x — 2)(x + 3)(x — 1)3 = 0

Ответ: {±1; 2; -3}

Пример №6:4– 7х3 – 3х2 + 5х – 1 = 0,  p = ± 1,  

 

2

-7

-3

5

-1

 

1

2

-5

-8

-3

-4

не корень

-1

2

-9

6

-1

0

x1= -1

0,5

2

-8

2

0

 

x2= 0,5

(х + 1)(х – 0,5)(2х2 – 8х + 2) = 0

х2 – 4х + 1 = 0     D/4 = 4 – 1 = 3      x = 2 ±√3  Ответ: {1; 0,5; 2 ±√3}

Решить самостоятельно.

Пример №7: 4 + 17х3 – 17х2 — 8х + 6 = 0  Ответ: {1/2; 1; -5 ±√19}

Пример №8: х4 + 3х3 – 5х2 — 13х + 6 = 0  Ответ: {2; -3; -1 ±√2}

Замена переменной.

Пример №9:

1. Возвратные уравнения

a0xn + a1xn-1+ … + an-1x+ an = 0 – Возвратное симметричное, если a0 = an, a1 = an-1 и т.д.  

1) Для нечетных возвратных многочленов справедлива теорема: “Всякий возвратный многочлен нечетной степени имеет корнем х = -1. Затем схема Горнера.

2) Возвратное уравнение 4-й степени aх4 + bх3 + cх2 + bx + a = 0, a ≠ 0. Делим на x2

Получим замену

Пример №10:4 — 35х3 + 62х2 — 35x + 6 = 0

Делим на x2, получим  

6t2 — 35t + 50 = 0    t1= 5/2; t2=  10/3

Решить самостоятельно.

Пример №11: 4 + 3х3 — 24х2 — 3x + 2 = 0  Ответ:

Пример №12: 12х4 — 16х3 — 11х2 — 16x + 12 = 0 Ответ: {2; 0,5} 

2. Однородные уравнения.

a0xn + a1xn-1y + … + ax-1xyn-1+ anyn = 0  Делим на yn, x ≠ 0, y ≠ 0.

a0(x/y)n + a1(x/y)n-1 + … + an-1(x/y)+ an = 0, получим замену x/y = t

a0tn + a1tn-1 + … + an-1t+ an = 0

Пример №13:4 + х2(x + 2) — 3(x + 2)2 = 0  Делим на (x + 2)2, получим

Решить самостоятельно.

Пример №14: (x — 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 — 1)2   Ответ: {-2; -0,5; 0}

3. Уравнения (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, m ≠ 0.

Если выполняется одно из условий a + b = c + d, b + c = a + d, a + c = b + d, то выполняется замена переменной.

Пример №15: (x + 2)(x — 3)(x + 1)(x + 6) = -96;   2+1=-3+6

(x + 2)(x — 3)(x + 1)(x + 6) = -96, (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x — 18) = -96

x2 + 3x = t, (t + 2)(t — 18) = -96, t2 — 16t + 60 = 0, t1=10, t2=6

Решить самостоятельно.  

Пример №16: (x — 2)(x + 4)(x + 1)(x + 7) = 63

4. Уравнения приводим к замене

Решить самостоятельно.   

Пример №18:  Ответ: {0,5; 3,5}

5. Биномиальные уравнения

(x + a)n + (x + b)n = c, замена x = t — (a + b)/2, получим (t — p)n + (t + p)n = c. Применяем формулу бинома  Ньютона

Пример №19: (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82, x = t — (6+4)/2 = t-5,

(t — 1)4 + (t + 1)4 = 82, t 4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1+ t4 — 4t3 + 6t2 — 4t + 1 = 82,

x1= -3, x2= -7. Ответ: {-3; -7}

Решить самостоятельно.  

Пример №20: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16, Ответ: {3; -5}

Домашнее задание:

Пример №2: x3 + 7x2— 56x + 48 = 0 Ответ: {1; 4; -12}

Пример №3: x3 — 5x2— 2x + 16 = 0 Ответ:

Пример №7: 2x4 + 17x3 — 17x2— 8x + 6 = 0 Ответ: {1/2; 1; -5 ±√19}

Пример №8: x4 + 3x3 — 5x2— 13x + 6 = 0 Ответ: {2; -3; -1 ±√2}

Пример №11: 2x4 + 3x3 — 24x2— 38x + 2 = 0  Ответ:

Пример №12: 12x4 — 16x3 — 11x2— 16x + 12 = 0 Ответ: {2; 0,5}

Пример №14: (x — 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2— 1)2 Ответ: {-2; -0,5; 0}

Пример №16: (x — 2)(x + 4)(x + 1)(x + 7) = 63

Пример №18: 

Пример №20: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16, Ответ: {3; -5}

Историческая справка

Квадратные уравнения

1.1. Индийский ученый Брахмагупта (VIIв) – правило решений квадратных уравнений.

1.2. После трудов Нидерландского математика А.Жирара (1595-1632г.), а также Декарта и Ньютона способ решений квадратных уравнений принял современный вид.

1.3. Ф. Виетт (1591г.) – зависимость корней от коэффициента.

Кубические уравнения    х3+рх +q = 0

1.4. Сципион Даль Ферро (1465-1526г.) и его ученик Фиори.

1.5. Н. Тарталья (1499-1557г.) – не опубликовал своих трудов.

1.6. Д. Кардано (1501-1576г.), «Великое искусство, или о правилах алгебры» – узнал об открытии Тартальи.

Формула корней кубического уравнения (формула Кардано)

х3+х — 1 = 0

р=1   q= -1

Уравнения 3-й и 4-й степени

1.7. Ученик  Кардано  Л.Феррари (1522-1567г.) – метод решения уравнения 4й степени.

1.8. Р.Бомбелли (1530-1572г.) – полное исследование кубических уравнений.

1.9. Ф.Виет (1540-1603г.) – полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3й и 4й степени.

Уравнения 5-й степени

1.10. Норвежский  математик Н. Абель (1802-1829г.) – доказал, что в общем случае корни уравнений 5й степени и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.

1.11. Французский математик Э. Галуа (1811-1832г.) выделил класс  алгебраических  уравнений, которые разрешены в радикалах.

urok.1sept.ru

Тема урока: «Решение уравнений высшей степени»

Цели урока:

  • Решение уравнений высшей степени разными способами.
  • Методы решения уравнений высшей степени.
  • Решение экзаменационных заданий ЕГЭ группы C.

Девиз урока:

“Чем труднее решение, тем больше будет удовольствия тому,  кто это решение найдёт”.

Ф. Декарт.

Ход урока

I. Решение домашнего задания.

1 способ: Разложение на множители.

Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Чтобы проверить наличие целых корней этого уравнения, выпишем все делители его свободного члена: ±1; ±3; ±9.

Так как сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то у данного уравнения есть корень .

Разложим левую часть на множители:

Проверим корни , получим 0, значит, является корнем уравнения. Разложим на множители:

=0

x=3

Ответ: .

2 способ: Деление “уголком”

Так как является корнем данного уравнения, то по теореме Безу. Многочлен делится на без остатка, а на без остатка.

3 способ: По схеме Горнера:

Применим схему Горнера для решения, данного уравнения:

Выпишем коэффициенты данного уравнения:

Получим квадратное уравнение

Ответ: .

4 способ: Делением на .

Обобщённо-возвратное уравнение: коэффициенты

Так как не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на , получим:

Обозначим

Получим уравнение с новой переменной:

Имеем совокупность двух уравнений:

Ответ: .

II. Решение заданий C-3 из ЕГЭ (вариант 26):

Разделим на

Заменим

(Целых корней нет)

Ответ: 6; -2

III. Решение задания Соросовской олимпиады:

1 способ: Решим как квадратное относительно

Ответ:

2 способ: Это уравнение однородное, поэтому можно решить делением на , т.к. не является корнем данного уравнения.

Заменим , получим

нет решений

Ответ:

3 способ: Решим как квадратное относительно ,

нет решения

Ответ:

IV. Решение заданий творческого характера с “изюминкой”.

1.

1 способ :

Ответ: -1; 9;

2 способ : Заменим , тогда получим уравнение:

Решим его как квадратное относительно t:

Ответ: -1; 9;

2.

Это однородное уравнение, разделим на ()

Пусть , тогда

(нет решений)

Ответ:

V. Домашнее задание.

Решить уравнение

VI. Итог урока.

urok.1sept.ru

Исследовательская работа “Алгебраические уравнения высших степеней”

Автор: Гаврилова Диана Михайловна
Место работы/учебы (аффилиация): МБОУ Средняя общеобразовательная школа №69 с углубленным изучением отдельных предметов г. Ижевска, 9 класс
Научный руководитель: Коновалова Ольга Викторовна

Аннотация:

Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике. В этом году мне, как ученице 9 класса, предстоит написать основной государственный экзамен по математике, где во второй части встречаются уравнения высших степеней. Я думаю, что данная тема актуальна тем, что она может пригодиться как ученикам 9, так и 11 классов.

Гипотеза: не существует универсальный способ решения для всех видов уравнений высших степеней.

Цель моего исследования: подробно изучить алгебраические уравнения высших степеней и выявить наиболее интересные и практичные способы решения.

Объект моего исследования: уравнения высших степеней

Для достижения цели исследования я поставила перед собой следующие  задачи:

  1. Изучить исторические сведения об уравнениях высших степеней;
  2. Рассмотреть различные способы решения данных уравнений;
  3. Научиться решать алгебраические уравнения высших степеней;
  4. Составить алгоритмы решения данных уравнений.

Выводы:

  1. Занимаясь изучением своей темы, я узнала много интересного об алгебраических уравнениях высших степеней, изучила их историю, рассмотрела методы решения.
  2. Исследую разные методы решения уравнений, я узнала их признаки и особенности. Я выполнила поставленные мною задачи. Во-первых, я изучила исторические сведения об уравнениях высших степеней. Во-вторых, рассмотрела различные способы решения данных уравнений. В-третьих, научилась решать алгебраические уравнения высших степеней. И, в-четвертых, составила алгоритмы решения данных уравнений. Больше всего мне понравилось решать уравнения с помощью схемы Горнера.
  3. И главное, я выполнила цель работы — подробно изучила алгебраические уравнения высших степеней и выявила наиболее интересные и практичные способы решения. Я рассмотрела много способов решения уравнений высших степеней, но для себя выявила только несколько. Т.к некоторые из решений мне были не понятны. Например, решение с помощью метода Феррари я не смогла выполнить, потому что этот материал пока сложен мне для понимания.
  4. Рассмотренные мною методы имеют свои особенности и могут подойти не для всех видов уравнений высших степеней, т.е. выдвинутая гипотеза полностью доказана.
  5. Я считаю, что теорема Виета — достаточно простой способ решения, но требующий много времени и вычислений. Формула Кардано — слишком громоздкая, поэтому на практике используется редко. А теорема Безу и схема Горнера — наиболее практичные и экономичные методы решения, которые смогут помочь на ОГЭ и ЕГЭ.

Содержание работы:

Если прикрепленный файл не отображается, перегрузите, пожалуйста, страницу

eee-science.ru

Обобщающий урок — семинар по теме » Решение уравнений высших степеней в 11 классе»

Обобщающий урок – семинар по теме:

«Решение алгебраических уравнений высших степеней в 11 классе»

(подготовка к ЕГЭ)

Тема: Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной.

Цели:

  1. формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;

  2. развитие познавательных и исследовательских умений;

  3. воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах.

Оформление доски: число, тема, запись уравнений в общем виде.

Ход урока

Урок начинается с вступительного слова, в котором напоминаю задачу семинара, порядок его проведения. Напоминаю учащимся основные методы решения алгебраических уравнений (метод замены переменных, функционально-графический, метод разложения многочлена на множители). Ставлю цель реализовать метод замены переменных четырьмя способами.

I группа – раскрытие скобок парами.

II группа – раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х2 ≠ 0.

III группа – применение основного свойства дроби.

IV группа – выделение квадрата двучлена.

На доске написаны уравнения в общем виде:

  1. (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m;

  2. (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх2;

  3. hello_html_5515461.gif;

  4. hello_html_231b4b12.gif;

  5. hello_html_2e15f079.gif;

  6. hello_html_7a29ec89.gif.

У каждой группы в карточке два уравнения, одно из них с параметром.

Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение, записанное в общем виде, и раскрывает суть его решения (сначала решаются обычные уравнения).

I группа показывает решение уравнения

х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Воспользуемся симметрией левой части (0 + 3 = 3, 1 + 2 = 3). Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим: (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6? t2 = 4. Возвращаемся к «старой» переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Комментарий. Задаю вопрос: можно ли это уравнение решить другим способом?

Ответ: Можно, для этого нужно использовать симметрию относительно hello_html_m3b067eac.gif.

Идет выступление второй группы.

Ученица этой группы решает уравнение, а остальные записывают в тетради.

(х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)∙5 = -20, 10∙(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 ≠ 0. Получим: hello_html_72603d5e.gif

Вводим замену: hello_html_1f21f250.gif, тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

hello_html_m659652ac.gifhello_html_46c2e7f.gifhello_html_15c1c904.gif

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180,

hello_html_m4fcdee9a.gif

Решим второе уравнение х2 — х – 20 = 0, D =81, х3 = — 4, х4 = 5.

Ответ: hello_html_m77653cfe.gif, hello_html_m5b50a313.gif, х3 = — 4, х4 = 5.

Ученица III группы показывает решение уравнения

hello_html_m2be64830.gif, используя основное свойство дроби.

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х ≠ 0. hello_html_m46c262d3.gif, вводим замену: hello_html_710f2956.gif, тогда hello_html_m6afdd586.gif

Решим это уравнение

hello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m6afdd586.gifhello_html_446b2aa2.gifhello_html_m7f0af38c.gif

Вернемся к «старой» преременной:

hello_html_m659652ac.gifhello_html_m6f5067df.gifhello_html_4cf8dfd7.gif

Решаем первое уравнение уравнение х2 – 14х + 15 = 0

hello_html_m1f9ab55.gif; hello_html_m2a9aca4d.gif.

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: hello_html_m1f9ab55.gif;hello_html_m2a9aca4d.gif

Комментарий: Можно ли решить уравнение по другому?

Ответ: Можно, если ввести замену х2 + 15х = t.

Ученик четвертой группы для решения уравнения

hello_html_m18514307.gif

выбирает способ выделения квадрата двучлена. Приведу решение этого уравнения.

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

hello_html_3ba6b974.gif

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

hello_html_m128948b2.gif

hello_html_m70928713.gif

Вводим замену: hello_html_mbddf7dc.gift2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к «старой» переменной, получим:

hello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_1bf765ea.gifhello_html_me26fa6b.gifhello_html_57beb033.gif

Ответ: hello_html_75906b7c.gif, hello_html_m784c41cb.gif.

Задаю вопрос: А есть ли ещё способ решения этого уравнения? Ответ: Да. Уравнение легко решается переходом к системе уравнений

hello_html_305ba495.gif заменив hello_html_m7b2749fe.gif.

Вторая часть урока отводится на решение алгебраических уравнений высших степеней с параметрами. Учащиеся показывают, как эти же способы реализуются при решении уравнений с параметрами.

I группа докладывает.

«Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х(х+1)(х+а)(х+1+а) = а2 имеет четыре действительных корня.

Решение. Используя специфику решения уравнения

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m

будем иметь х(х+1+а)(х+1)(х+а) = а2, (х2+х+ах)(х2++х+ах+а) = а2

вводим замену х2+х+ах = t, тогда t(t+a) = a2; t2 +at – a2 = 0.

Решим уравнение относительно t.

D = a2 + 4a2 = 5a2; hello_html_mc726d29.gif; hello_html_m3f9ce602.gif.

Подставляя вместо t найденные значения, получим совокупность двух уравнений: hello_html_m320f4f59.gif

Рассмотрим первое уравнение:

hello_html_m22db2f4.gif;

D1 = (a+1)2 — 4hello_html_m420bd00.gif.

Рассмотрим второе уравнение:

hello_html_5893957b.gif;

D2 = (a+1)2 — 4hello_html_570380e0.gif.

Чтобы исходное уравнение имело четыре действительных корня, необходимо чтобы hello_html_866184e.gif т.е. hello_html_7fd48e14.gif

Решим первое неравенство:

hello_html_4dac213c.gif, D = 16,

hello_html_6b9830fa.gif,hello_html_m6de3d4a.gif

hello_html_30318c0d.gif

hello_html_10f664e5.gifhello_html_m7c9b5a30.gif

+ +

hello_html_57fbc5a6.gif   a

hello_html_2758eac6.gif hello_html_38f42704.gif

т.е. а >hello_html_4aede87d.gif, a <hello_html_2758eac6.gif.

Решим второе неравенство:

hello_html_m752d29de.gif, D = 16,

hello_html_m67f1a7ce.gif,hello_html_41a3f07f.gif

hello_html_10f664e5.gifhello_html_30318c0d.gifhello_html_m7c9b5a30.gif

+ +

hello_html_57fbc5a6.gif а

hello_html_m7a19321f.gifhello_html_63bd14e8.gif

т.е. а >hello_html_m6b9e3906.gif, a <hello_html_m7a19321f.gif.

В итоге получим hello_html_18fd4dc3.gif

hello_html_m7c9b5a30.gifhello_html_m303ea787.gifhello_html_m1aa4666d.gifhello_html_53827005.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_32a8a2bc.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_32a8a2bc.gifhello_html_m5968a9ae.gif

hello_html_5124d0bb.gifhello_html_m62edd91e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m557a761c.gifhello_html_be45e8f.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_m500364f7.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_be45e8f.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_4071a06b.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gif

hello_html_694f9696.gif а

hello_html_2758eac6.gif hello_html_38f42704.gif hello_html_m7a19321f.gif hello_html_63bd14e8.gif

a>hello_html_m6b9e3906.gif, hello_html_38f42704.gif<a<hello_html_m7a19321f.gif, a<hello_html_2758eac6.gif

При |a| >hello_html_63bd14e8.gif, |a| <hello_html_m6d0ea698.gifуравнение имеет 4 действительных корня, но ещё проверяется, при каком а, корни уравнения совпадают, при а = 0.

Ответ: |a| >hello_html_63bd14e8.gif, |a| <hello_html_m6d0ea698.gif

Ученица II группы комментирует: Необходимо решить уравнение

(х + 2а)(х +3а)(x + 8а)(x +12а) = 4а2х2,

где а – параметр.

Решение. Используя специфику решения уравнения, будем иметь:

2 +14ах +24а2)(x2 + 11аx +24а2) = 4а2х2,

исследуем уравнение: если а = 0, то х = 0;

если а ≠ 0, то х ≠ 0.

Разделим обе части уравнение на а2х2 ≠ 0, тогда

hello_html_m1be8699a.gif

Введем замену hello_html_406916d5.gif и получим уравнение: (t+14)(t+11)=4, решая это уравнение, получим t1 = -15, t2 = 10. Таким образом, получим два уравнения:

hello_html_aff034.gif и hello_html_m677902d8.gif.

Решим первое уравнение: х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129а2, тогда

hello_html_17cc11f0.gif.

Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а = 0, D = 4а2, тогда

hello_html_m2e5bf4ab.gif.

Ответ: если, а = 0, то х = 0;

если, а ≠ 0, то hello_html_m3027c819.gif, х3 = -6а; х4 = -4а.

Ученица третьей группы показывает решение уравнения

hello_html_m36f02a2b.gif

Решение. Уравнение – дробно – рациональное, при а = 0 уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим а ≠ 0, х ≠ 0, найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 –ах + а2, D = -3a2, значит х2 –ах + а2 > 0 при х  R.

Перейдем теперь к уравнению – следствию, получим:

х4 + ах32х2 = а2х2 – а3х + а4;

4 – а4) + (ах3 + а3х) = 0;

2 – а2)(х22) + ах(х2 + а2) = 0;

2 + а2)(х2 +ах – а2) = 0; х2 + а2 ≠ 0,

тогда х2 +ах – а2 = 0, D = 5a2, hello_html_m3acdc561.gif

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет действительных корней

если а  0, то hello_html_m34da716d.gif.

Заканчивается урок – семинар выступлением ученика 4 группы. У него задание:

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

hello_html_m47295ef6.gif.

Решение.

если а=0, то х=0;

если а=1, то х=0;

если 0<a<1, то уравнение не имеет действительных корней. Далее, используя специфику решения этого уравнения будет иметь:

hello_html_1a960a30.gif;

hello_html_m3c56cbe.gif; hello_html_m34740f95.gif.

Вводим замену, hello_html_47e4c924.gif, тогда будем иметь уравнение

t2 — t = a2 – a; t2 — t – (a2 – a) = 0; D = 1+4(a2 – a) = 4a2 – 4a + 1 = (2a – 1)2.

Находим корни: t1 = a; t2 = 1 – a.

Возвращаясь к «старой» переменной, будем иметь:

hello_html_m27d6320d.gif

Рассмотрим уравнение

hello_html_m3f876f7b.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gif hello_html_m6693442a.gifhello_html_7e7eaee3.gifhello_html_1078ad18.gif

Исследуем уравнение hello_html_26ef605c.gif

при а = 0, х = 0;

при а = 2, уравнение не имеет действительных корней;

при hello_html_52601a7d.gif, а > 2, а < 0 – уравнение имеет 2 действительных корня,

hello_html_m353663f2.gif

при 0 < a < 2 уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а hello_html_m340ac238.gif

а = а-2, 0 = -2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых hello_html_m340ac238.gif

Рассмотрим уравнение

hello_html_m659652ac.gifhello_html_m46fd3b01.gifhello_html_714c6039.gif

Исследуем уравнение hello_html_m52c03c76.gif

при а = 1 х = 0,

при а = -1 — уравнение не имеет действительных корней

при hello_html_6e605e56.gif, а > 1, a < -1 уравнение имеет два действительных корня, hello_html_5ebcf836.gif

при -1< a < 1 – нет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а hello_html_m468b21ce.gif, а-1=а+1, 0 = 2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых hello_html_m468b21ce.gif.

Проверим, сколько корней имеет уравнение hello_html_m52c03c76.gif при а = -2,

х2 = 3, два действительных корня.

Проверим, сколько корней имеет уравнение hello_html_26ef605c.gif при а = -1

х2 = 1/3 – два действительных корня, далее собираем ответ

hello_html_5ebcf836.gifhello_html_m49a1a14f.gifhello_html_25df93a7.gif hello_html_5ebcf836.gif

hello_html_5789e2f7.gifhello_html_5789e2f7.gif х=0 х=0

hello_html_m14254af1.gifhello_html_m75f7c99c.gifhello_html_m7639f2c8.gif   

-1 0 нет действительных 1 2

корней

hello_html_m353663f2.gif hello_html_m353663f2.gif

Ответ: при а < -1, a > 2 уравнение имеет 4 действительных корня

hello_html_m353663f2.gif, hello_html_5ebcf836.gif

при -1  a < 0 – два действительных корня, hello_html_m353663f2.gif

при а = 0, а = 1 – уравнение имеет корень х = 0

при 0 < a < 1 – нет действительных корней

при 1 < a  2 – уравнение имеет два действительных корня hello_html_5ebcf836.gif

Подводя итог урока, я отмечаю, что учащиеся проделали большую работу, показав 4 способа реализации метода замены переменной, увязав эти способы с уравнениями, содержащими параметр. Работа учащихся оценивается и задается домашнее задание.

infourok.ru

Решение уравнений высших степеней

Справочные сведения.

Р(х)= anхn + аn-1хn-1 + аn-2хn-2 +…+ а1х + а0 =0, где n>2, аn ≠ 0.

1. Метод понижения степени, основывается на теореме Безу и делении многочленов Р(х) на одночлен х- α, где α – корень уравнения Р(х) = 0.

Суть метода заключена в отыскании корня многочлена Р(х), х = α и последовательного его деления на двучлен х- α.

Применяется для решения симметрических уравнений третьей и пятой степени. Уравнения называют симметрическими, если они имеют вид

ах3 + bх2 + bх + a =0, a=0 (третьей степени)

ах5 + bх4 + cх3 + cх2 + bх + а = 0, а ≠ 0. (пятой степени)

х = -1 корень каждого из этих уравнений.

2. Метод разложения на множители.

Используется способ группировки, теорема Безу, схема Горнера, деление «уголком», метод неопределенных коэффициентов.

3. Метод замены переменных.

Применяется для решения:

а) симметрических уравнений четвертой степени

ах4 + bх3 + cх2 + bх + а = 0, ах4 + bх3 + cх2 — bх + а = 0, а ≠ 0 разделить обе части уравнения на х2 (х = 0 не является корнем уравнения), сгруппировать относительно коэффициентов a, b, c.

Сделать замены: y = х + 1/х, z= х – 1/х.

Решение уравнений высших степеней дидактический материал

б) уравнений вида (х – а)(х – b)(x – c)(x – d) = A, a < b< c< d, b – a = d – c, используется замена y = х − (a +b +c+d)/4.

в) уравнений вида (х – а)(х – b)(x – c)(x – d) = Aх2, ba = dc, замена y= х + ab/х.

г) уравнений вида (х – а)4 + (х – b)4 = А, замена y = х – (a +b)/2

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнения методом понижения степени.

а) х3 — 4х2 — х +6 = 0; г) 2х3 + 3х2 +3х +2 = 0;

б) 3х3 — 7х2 + 4х – 4 = 0; д) 4х5 + х4 -5х3 — 5х2 + х + 4 = 0;

в) х3 — 5х2 — 5х +1 = 0; е) х5 + 2х4 — 3х3 — 3х2 + 2х +1 = 0.

2. Решить уравнения методом разложения на множители.

а) х3 + х2 — 4х – 4 = 0; д) х3 — 3х2 — 6х + 8 = 0;

б) 2х4 +3х3 + 16х +24 = 0; е) 28х3 +3х2 + 3х +1 = 0;

в) х3 + 3х2 — 6х — 8 = 0; ж) х4 — 4х3 — 10х2 + 37х -14 = 0;

г) 8х3 — 6х2 + 3х — 1 = 0;

3. Решить методом замены переменной.

1) а) х4 — 7х3 + 14х2 — 7х +1 = 0;

б) 2х4 + х3 — 11х2 + х + 2 = 0;

в) 2х4 — 9х3 + 13х2 — 9х + 2 = 0;

г) 2х4 -5х3 + 6х2 — 5х +2 = 0;

Весь материал — в документе.

videouroki.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск