Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].

В данном уравнении [латекс] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет

[латекс] \ begin {align} P & = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \\ & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6}} \\ & = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \\ & = 12 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Определите период функции [latex] g (x) = \ cos \ left (\ frac {x} {3} \ right) [/ latex].

Определение амплитуды

Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут на расстоянии | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия — это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда [латекса] f (x) = 4 \ sin \ left (x \ right) [/ latex] в два раза больше амплитуды

[латекс] f (x) = 2 \ sin \ left (x \ right) [/ латекс]

Если [латекс] | A | <1 [/ latex], функция сжата. На рисунке 9 сравниваются несколько синусоидальных функций с разными амплитудами.

Рисунок 9

Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы

[латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) [/ latex]

Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |. Кроме того, обратите внимание, что в примере

[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | [/ latex]

Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса

Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Давайте начнем с сравнения функции с упрощенной формой [latex] y = A \ sin (Bx) [/ latex].

В данной функции A = −4, поэтому амплитуда равна | A | = | −4 | = 4.Функция растянута.

Анализ решения

Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

Попробуйте

Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = 12 \ sin (x) [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

[латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] сжатый

Анализ графиков вариаций

Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D . Напомним общий вид:

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]

или

[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C} { B})) + D [/ латекс]

Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом или горизонтальным смещением основной синусоидальной или косинусоидной функции . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f (x ) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} [/ latex].

Рисунок 11

В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции. Функция [latex] y = \ cos (x) + D [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

Рисунок 12

Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. Рисунок 13 сравнивает [латекс] f (x) = \ sin x [/ latex] с [latex] f (x) = \ sin (x) +2 [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике.

Рисунок 13

Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса

Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] — это сдвиг фазы , и D, — это сдвиг по вертикали , .

Пример 3: Определение фазового сдвига функции

Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 [/ latex].

Давайте начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex].

Обратите внимание, что в данном уравнении B = 1 и [latex] C = — \ frac {π} {6} [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

[латекс] \ begin {align} \ frac {C} {B} & = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \\ & = — \ frac {\ pi} {6} \ конец {align} [/ latex]

или [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] единиц слева.

Анализ решения

Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ frac { π} {6})) — 2 [/ латекс]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

Попробуйте

Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

[латекс] \ frac {π} {2} [/ латекс]; правый

Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 [/ latex].

Давайте начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D [/ latex]. В данном уравнении [латекс] D = -3 [/ латекс], поэтому сдвиг составляет 3 единицы вниз.

Попробуйте

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 [/ latex].

Практическое руководство. Имея синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

1. Определите амплитуду как | A |.
2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex].
3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
4. Определите среднюю линию как y = D.

Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 [/ latex].

Давайте начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

Затем B = 2, поэтому период равен [latex] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π [/ latex].

В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 [/ latex].

Наконец, D = 1, поэтому средняя линия y = 1.

Анализ решения

Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3. См. Рисунок 14.

Рисунок 14

Попробуйте

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) [ /латекс].

средняя линия: [латекс] y = 0 [/ латекс]; амплитуда: | A | = [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]; период: P = [латекс] \ frac {2π} {| B |} = 6 \ pi [/ латекс]; фазовый сдвиг: [латекс] \ frac {C} {B} = \ pi [/ latex]

Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите формулу функции косинуса на рисунке 15.

Рисунок 15

Чтобы определить уравнение, нам нужно идентифицировать каждое значение в общем виде синусоидальной функции.

[латекс] y = A \ sin \ left (Bx-C \ right) + D [/ латекс]

[латекс] y = A \ cos \ left (Bx-C \ right) + D [/ латекс]

График может представлять либо функцию синуса, либо косинуса, которая смещается и / или отражается. Когда [latex] x = 0 [/ latex], график имеет крайнюю точку, [latex] (0,0) [/ latex]. Поскольку функция косинуса имеет крайнюю точку для [latex] x = 0 [/ latex], давайте запишем наше уравнение в терминах функции косинуса.

Начнем со средней линии. Мы видим, что график поднимается и опускается на одинаковое расстояние вверху и внизу [латекс] y = 0,5 [/ латекс]. Это значение, которое является средней линией, равно D в уравнении, поэтому D = 0,5.

Наибольшее расстояние выше и ниже средней линии — это амплитуда. Максимальные значения находятся на 0,5 единицы выше средней линии, а минимальные — на 0,5 единицы ниже средней линии. Итак | А | = 0,5. Другой способ определить амплитуду — это признать, что разница между высотой локальных максимумов и минимумов равна 1, поэтому | A | = [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс].Кроме того, график отображается относительно оси x , так что A = 0,5.

График не растягивается и не сжимается по горизонтали, поэтому B = 0 и график не смещается по горизонтали, поэтому C = 0.

Собираем все вместе,

[латекс] g (x) = 0,5 \ cos \ left (x \ right) +0,5 [/ латекс]

Попробуйте

Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

Рисунок 16

[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 [/ латекс]

Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

Рисунок 17

Период графика равен 6, и его можно измерить от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [латекс] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex].Используя положительное значение для B , находим, что

[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} [/ латекс]

Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ пи} {3} х-С) -2 [/ латекс]. Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

• косинус, смещенный вправо
• отрицательный косинус, сдвинутый влево
• синус, сдвинутый влево
• отрицательный синус смещен вправо

Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения. Итак, наша функция становится

[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π } {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 [/ латекс]

Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

Попробуйте

Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.

Рисунок 18

две возможности: [латекс] y = 4 \ sin (\ frac {π} {5} x− \ frac {π} {5}) + 4 [/ latex] или [latex] y = −4sin (\ frac {π} {5} x + 4 \ frac {π} {5}) + 4 [/ латекс]

Графические вариации

В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков.Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ latex],

мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

Как сделать: для функции [latex] y = Asin (Bx) [/ latex] нарисуйте ее график.

1. Определите амплитуду, | A |.
2. Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex].
3. Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A, положительна, или уменьшается, если A, отрицательна.
4. При [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, при y = A .
5. Кривая возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {| B |} [/ latex].
6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} [/ latex] при y = — A .
7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {2 | B |} [/ latex].

Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) [/ latex].

Давайте начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].

Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

| A | = 2

Шаг 2. Уравнение показывает, что [латекс] B = \ frac {π} {2} [/ latex], поэтому период равен

[латекс] \ begin {align} P & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ & = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ & = 4 \ end {align} [/ latex]

Шаг 3. Поскольку A отрицательное значение, график спускается по мере продвижения вправо от начала координат.

Шаг 4–7. Перехваты x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода находятся на уровне x = 4.

Четверть точки включают минимум при x = 1 и максимум при x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицы. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

Рисунок 19

Попробуйте

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

средняя линия: y = 0; амплитуда: | A | = 0,8; период: P = [латекс] \ frac {2π} {| B |} = \ pi [/ latex]; фазовый сдвиг: [latex] \ frac {C} {B} = 0 [/ latex] или нет

Как сделать: для заданной синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ latex].
2. Определите амплитуду, | A |.
3. Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ latex].
4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
5. Нарисуйте график [latex] f (x) = A \ sin (Bx) [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх или вниз на Д .

Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin \ left (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4} \ right) [/ latex].

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin \ left (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4} \ right) [/латекс].Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо.

Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} [/ latex], мы определяем период следующим образом.

[латекс] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 [/ латекс]

Период 8.

Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} [/ latex], фазовый сдвиг равен

[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 [/ latex].

Фазовый сдвиг 1 ед.

Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида

Попробуйте

Нарисуйте график [латекса] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

[латекс] \ text {midline:} y = 0; \ text {ampitude:} | A | = 2; \ text {period:} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6; \ text {сдвиг фазы:} \ frac {C} {B} = — \ frac {1} {2} [/ latex]

Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

Дано [латекс] y = −2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi \ right) +3 [/ latex], определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.

Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

[латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]

Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.

Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому период равен [latex] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac { 2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 [/ latex].Период 4.

Шаг 4. [latex] C = — \ pi [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 [/ latex]. Сдвиг фазы равен -2.

Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается на 3.

Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражен относительно оси x.

На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

Рисунок 21

Использование преобразований функций синуса и косинуса

Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием либо синусоидальной, либо косинусной функции .

Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

Рисунок 22

Анализ решения

Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; когда мы путешествуем по кругу, мы возвращаемся к точке (3,0) для [latex] x = 2 \ pi, 4 \ pi, 6 \ pi, \ dots [/ latex], потому что выходы графика теперь будут колебаться между –3 и 3 амплитуда синусоидальной волны равна 3.

Попробуйте

Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

7

Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Круг с радиусом 3 фута устанавливается так, чтобы его центр находился в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23. Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении круга; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

Рисунок 23

Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

Рисунок 24

Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают одну функцию более простой в использовании, чем другую.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с наибольшего или наименьшего значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Собирая эти преобразования вместе, получаем, что

[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

Попробуйте

Груз прикрепляется к пружине, которая затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение y груза относительно доски изменяется от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение x задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y через x.

Рисунок 25

[латекс] y = 3 \ cos (x) −4 [/ латекс]

Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

Наконец, поскольку райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться по форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

• Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
• Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
• Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
• Форма: −cos ( t )

Уравнение роста всадника:

[латекс] y = -67,5 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {15} t \ right) +69,5 [/ latex]

, где t в минутах, а y в метрах.

Ключевые уравнения

• Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
• Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
• График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
• В общей формуле синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
• В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
• Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
• Значение D в общей формуле синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
• Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
• Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
• Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
• Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
• Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

Глоссарий

амплитуда

вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции

средняя линия

горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции

периодическая функция

функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для определенной константы P и любого значения x

сдвиг фазы

горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]

синусоидальная функция

любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

Программа для построения функции косинуса?

Программа для построения функции косинуса?

Косинусная функция в математике: В математике тригонометрические функции также называются круговыми функциями, угловыми функциями или гониометрическими функциями.Эти функции являются фактическими функциями, которые связывают положение прямоугольного треугольника с соотношением двух сторон.

Эти функции используются во всех науках, связанных с геометрией, таких как навигация, механика твердого тела, небесная механика, геодезия и многих других областях. Они относятся к числу очень простых периодических функций и, как таковые, также широко используются для считывания периодических явлений с помощью анализа Фурье.

Наиболее широко используемые тригонометрические функции — это синус, косинус и тангенс.

cos (): — В Python математический модуль содержит различные математические операции, которые можно выполнять с помощью этого модуля. Функция math.cos () возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента. Функция math.cos () взята из стандартной математической библиотеки языка программирования Python.

Цель этой функции — вычислить положительный или отрицательный косинус любого заданного числа.Эта функция недоступна напрямую, поэтому нам нужно импортировать математический модуль, а затем нам нужно вызвать эту функцию, используя математический статический объект.

Синтаксис: — Синтаксис функции cos () в Python:

math.cos (x)

numpy.cos () в Python

numpy.cos (x [, out]) = ufunc ‘cos’): Это математическая функция, используемая для вычисления тригонометрического косинуса для всех x (являющихся элементами массива).

Косинусные волны — это периодические волны, генерируемые колебаниями.Косинусоидальные волны аналогичны синусоидальным волнам, с другой стороны, косинусоидальные волны опережают синусоидальные волны на 90 градусов фазового угла.

Кривая косинуса не проходит через начало координат. Приливы в океане — пример косинусных волн. Кривая косинуса может быть построена с помощью функции cosine () в массиве numpy и функции plot () модуля pyplot библиотеки matplotlib.

Код Python:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
x = np.arange (0,3 * np.pi, 0,01)
a = 5
b = 4
y = np.cos (a * x + b)
plt.plot (x, y)
plt.xlabel ( ‘x values ​​’)
plt.ylabel (‘ y values ​​’)
plt.title (‘ cos function ‘)
plt.grid ( True )
plt.show ()

Выход:

Модуль 4 — Параметрические уравнения, тригонометрические и обратные тригонометрические функции

Изучение x = cos t , y = sin t

Прежде чем исследовать взаимосвязь между синусоидальной функцией и единичной окружностью, изучите параметрические уравнения, показанные ниже.

Для , спрогнозируйте форму кривой, которая создается параметрическими уравнениями

4.2.1 Убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме радиан, проверив меню РЕЖИМ. Изобразите параметрические уравнения, чтобы проверить свой прогноз. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Синусоидальная функция

Синусоидальную функцию можно определить несколькими способами. Один из способов — позволить sin t быть координатой y точки на единичной окружности, длина пересеченной дуги которой составляет t единиц, что является другим способом сказать, что соответствующий центральный угол равен t радиан.

Напомним, что синусоида имеет следующую форму:

Связь между графиком y = sin x и значениями единичного круга y можно проиллюстрировать, построив оба графика одновременно.

Последовательный и одновременный режимы построения графиков

В шестой строке меню РЕЖИМ доступны следующие варианты: Последовательный, или Одновременный, ( Simul ).(См. Экран ниже.) В последовательном режиме графики рисуются по одному в порядке, указанном в редакторе Y =. В одновременном режиме все графики в редакторе Y = рисуются одновременно, а не последовательно.

Выберите следующие настройки в меню РЕЖИМ для одновременного построения графиков параметрических уравнений.

Разворачивание синусоидальной волны

4.2.2. Опишите связь, которую вы видите между кругом и синусоидой. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Периодическая функция и ее период

Периодическая функция имеет значения y , которые повторяются через определенные интервалы значений x . Период периодической функции — это длина интервала x , в течение которого значения y составляют один полный цикл. Синусоидальная функция имеет период 2 , который представляет собой количество радианов за один полный оборот.

Преобразованная синусоида

График y = A sin [ B ( x + C )] + D является преобразованной версией графика y = sin ( x ). Эффекты каждого из значений A , B , C и D перечислены ниже. Преобразования обсуждались в Модуле 3.

A обеспечивает вертикальное растяжение или сжатие с коэффициентом A ; и отражение относительно оси x , если A отрицательное.

A также называется амплитудой синусоидальной волны , которая составляет половину расстояния между самым высоким и самым низким значениями y на графике.

B производит горизонтальное растяжение или сжатие, что изменяет период кривой.Период преобразованной синусоиды равен . Если значение B отрицательное, имеется отражение относительно оси y .

C производит сдвиг по горизонтали.

D производит вертикальный сдвиг.

График y = 5sin [ ( x — 1)] + 2 — это преобразованный график y = sin x , который имеет следующие характеристики:

Амплитуда 5 (растянута по вертикали в 5 раз)

Время (сжато по горизонтали в )

Смещен вправо по горизонтали на 1 шт.

Сдвинут по вертикали на 2 единицы

4.2.3. Опишите преобразования y = sin ( x ), которые дают график y = -3sin [2 ( x + 1)] -4, а затем изобразите уравнение на своем калькуляторе. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Разложение Маклорена cos (x)

Предыдущая: Maclaurin Expansion of sin (x)

Следующая: Список Maclaurin Expansions

Пример

Найдите разложение в ряд Маклорена для cos ( x ) при x = 0 и определите его радиус сходимости.

Комплексное решение

Шаг 1. Найдите серию Maclaurin

Шаг 2: Найдите радиус схождения

Тест соотношения дает нам:

Поскольку этот предел равен нулю для всех реальных значений x , радиус сходимости расширения — это набор всех действительных чисел.

Объяснение каждого шага

Шаг 1

Чтобы найти расширение ряда, мы могли бы использовать здесь тот же процесс, который мы использовали для sin ( x ) и e ^x .Но есть способ попроще. Мы можем дифференцировать известное нам разложение для синусоидальной функции.

Если вы, , хотели бы увидеть вывод разложения в ряд Маклорена для косинуса, следующий видеоролик предоставляет этот вывод.

Шаг 2

Этот шаг был не чем иным, как подстановкой нашей формулы в формулу для проверки соотношения.

Возможные проблемы

Когда мы можем дифференцировать серию степеней?

В рамках этого модуля мы всегда предполагаем, что можем. Однако существует теорема о дифференцировании и интегрировании степенных рядов, которую вы не должны знать, которая говорит нам, что степенной ряд можно дифференцировать только в том случае, если он имеет радиус сходимости больше нуля.

Скоро в этом модуле будет страница, посвященная этой теореме. А пока эта страница в Википедии может помочь.

Приходилось ли нам проверять конвергенцию?

Короткий ответ: нет. Упомянутая выше теорема говорит нам, что, поскольку

• мы вывели ряд для cos (x) из ряда для sin (x) посредством дифференцирования, и
• мы уже знаем радиус сходимости sin (x),

Радиус сходимости cos (x) будет таким же, как sin (x).Однако мы не вводили эту теорему в этом модуле. Вы можете спросить своего инструктора, должны ли вы знать эту теорему.

Сводка

Предыдущая: Maclaurin Expansion of sin (x)

Следующая: Список Maclaurin Expansions

— SymPy 1.8 документация

Строит трехмерный поверхностный график.

Использование

Отдельный участок

plot3d (expr, range_x, range_y, ** kwargs)

Если диапазоны не указаны, используется диапазон по умолчанию (-10, 10).

Множественный график с одинаковым диапазоном.

plot3d (expr1, expr2, range_x, range_y, ** kwargs)

Если диапазоны не указаны, используется диапазон по умолчанию (-10, 10).

Несколько участков с разными диапазонами.

plot3d ((выражение1, диапазон_x, диапазон_y), (выражение2, диапазон_x, диапазон_y), ..., ** kwargs)

Диапазоны должны быть указаны для каждого выражения.

Диапазон по умолчанию может измениться в будущем, если более расширенный диапазон по умолчанию реализован алгоритм обнаружения.

Аргументы

expr : Выражение, представляющее функцию вдоль x.

range_x : (x, 0, 5), кортеж из трех элементов, обозначающий диапазон x Переменная.

range_y : (y, 0, 5), кортеж из трех элементов, обозначающий диапазон переменной y

.

Аргументы ключевого слова

Аргументы для класса SurfaceOver2DRangeSeries :

nb_of_points_x : внутр. Диапазон x выбирается равномерно на nb_of_points_x баллов.

nb_of_points_y : внутр. Диапазон y выбирается равномерно при nb_of_points_y баллов.

Эстетика:

surface_color : Функция, возвращающая значение с плавающей запятой. Задает цвет для поверхность участка. См. sympy.plotting.Plot для более подробной информации.

Если имеется несколько графиков, то аргументы одной и той же серии применяются к все сюжеты. Если вы хотите установить эти параметры отдельно, вы можете проиндексировать вернул объект Plot и установил его.

Аргументы за Участок класс:

название : ул.Название сюжета. размер : (поплавок, поплавок), опционально Кортеж в форме (ширина, высота) в дюймах, чтобы указать размер общая цифра. По умолчанию установлено значение Нет , что означает, что размер будет быть установленным сервером по умолчанию.

Примеры

 >>> из sympy import symbols
>>> из sympy.plotting import plot3d
>>> x, y = символы ('x y')
 

Отдельный участок

 >>> plot3d (x * y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))
Объект участка, содержащий:
[0]: декартова поверхность: x * y для x больше (-5.0, 5.0) и y больше (-5.0, 5.0)
 

(png, hires.png, pdf)

Несколько участков с одинаковым диапазоном

 >>> plot3d (x * y, -x * y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))
Объект участка, содержащий:
[0]: декартова поверхность: x * y для x больше (-5,0, 5,0) и y больше (-5,0, 5,0)
[1]: декартова поверхность: -x * y для x больше (-5.0, 5.0) и y больше (-5.0, 5.0)
 

(png, hires.png, pdf)

Несколько участков с разными диапазонами.

 >>> plot3d ((x ** 2 + y ** 2, (x, -5, 5), (y, -5, 5)),
... (х * у, (х, -3, 3), (у, -3, 3)))
Объект участка, содержащий:
[0]: декартова поверхность: x ** 2 + y ** 2 для x больше (-5,0, 5,0) и y больше (-5,0, 5,0)
[1]: декартова поверхность: x * y для x больше (-3,0, 3,0) и y больше (-3,0, 3,0)
 

(png, hires.png, pdf)

6 форм линейных уравнений ключ ответа

сас.Пакет sasgui.plottools — документация SasView 4.2.0

Базы: объект

Общая структура графа таблиц графиков.

Стили печати основаны на списках цветов / символов. Пользователь может выбрать список цветов / символов / размеров на выбор, а не приложение разработчик. Программист может только добавлять / удалять строки из построить график и перейти к следующему символу / цвету.

Другой параметр — заметность, которая относится к размерам линий / кеглям.

Преобразования осей позволяют пользователю выбрать вид координат что обеспечивает ясность данных.4 Френель: y -> y * fresnel (x) координировано: x, y = f (x, y) Q: x -> 2 * pi / L (cos (x * pi / 180) — cos (y * pi / 180)) y -> 2 * pi / L (sin (x * pi / 180) + sin (y * pi / 180)) уменьшение: x, y = f (x1, x2, y1, y2) асимметрия спина: x -> x1, y -> (y1 — y2) / (y1 + y2) векторная сеть: x -> x1, y -> y1 * cos (y2 * pi / 180)

Возможны множественные преобразования, такие как асимметрия спина Q4

имеют дополнительные сложности в том, что нанесенные должны соответствовать единицам на осях.Построение нескольких типы на одном и том же графе должны обрабатываться изящно, например, путем создания отдельная вкладка для каждого доступного типа оси, разбитая на подзаголовки, отображение нескольких осей на одном графике или создание графиков-врезок. В конечном итоге решение остается за пользователем.

Свойства графика, такие как сетки / перекрестия, должны находиться под контролем пользователя, как и размеры элементов, таких как шрифты осей и т. д. Нет прямого доступ будет предоставлен приложению.

Пределы оси в основном контролируются пользователем.Если пользователь увеличил масштаб или панорамируется, то эти пределы сохраняются, даже если отображаются новые данные. Исключение составляют случаи, когда, например, сканирование набора связанных строк в котором пользователь может захотеть исправить ограничения, чтобы пользователь мог сравнить значения напрямую. Другое исключение — создание нескольких графики, разделяющие одни и те же пределы, хотя этот случай может быть важен достаточно, чтобы это обрабатывалось самим графическим виджетом. Пределы оси конечно, придется понимать эффекты трансформации осей.

Графические объекты высокого уровня могут состоять из примитивов низкого уровня. Такие операции, как легенда / скрытие / отображение, копирование / вставка и т. Д., Должны выполняться. на эти примитивы как на группу. Например, позволяя пользователю иметь рабочий холст, на котором они могут перетаскивать линии, которые они хотят сохранить и комментировать их.

Графики должны быть доступны для печати. Программа верстки для целых участков было бы здорово.

добавить (таблица , , цвет = нет, ) [источник]

Добавить новую таблицу к графику

изменено () [источник]

Определить, изменились ли какие-либо графические таблицы

удалить ( таблица ) [источник]

Удалить существующую таблицу с графика

получить ( ключ ) [источник]

Получить свойства графика

get_plottable ( имя ) [источник]

Вернуть график с заданным имя, если оно существует.В противном случае вернуть Нет

get_range () [источник]

Вернуть диапазон всех отображаемых графиков

isPlotted ( таблица ) [источник]

Return True — таблица уже есть на графике

рендер ( участок ) [источник]

Перерисовать график

заменить ( таблица ) [источник]

Заменить существующую таблицу на графике

сбросить () [источник]

Сбросить график.

reset_scale () [источник]

Сбрасывает данные преобразования масштаба в базовые данные

returnPlottable () [источник]

Этот метод возвращает словарь таблиц графиков, содержащихся в графике. Только Plotpanel взаимодействует с полным списком графиков.