На рисунке даны векторы а и б какой из векторов c равен сумме этих векторов – Attention Required! | Cloudflare

Содержание

Сумма и разность векторов

Для векторов a и b определим:

1). Сумму a+b как вектор c с координатами {ax+bx ; ay+by}.

2). Разность a –b как d вектор с координатами {ax – bx ; ay– by}.

3). Умножение вектора a на число k вектор с координатами {k · ax ; k · ay} и обозначаемый как k · a.

Сумма векторов

Сумму a+b векторов a и b можно вычислить по правилу параллелограммов.

Сперва сделаем чертеж этих векторов:

 

 

Для вычисления суммы a+b разместим начало вектора a  на начало вектора b :

 

 

Теперь дополним эту схему до параллелограмма:

 

 

Сумма a+b будет вектор начало которого совпадает с началом вектора a а конец с концом вектора b:

 

 

По последней схеме сумма 

a+b равна диагонали параллелограмма поэтому это правило называется правилом параллелограмм.

Разность векторов

Разность a –b векторов a и b вычисляется по правилу треугольника:

Для этого сначала начертим эти векторы:

 

 

Объединим концы векторов a и b:

 

 

Разность a– b будет вектор у которого конец совпадает с началом вектора a а начало с началом вектора b:

 

tendey.kz

§ 2. Операции над векторами

1. Сложение. Пусть а и b – два вектора. От произвольной точки О отложим вектор ОА = а, а от получившейся точки А – вектор АВ = b. Вектор ОВ называется суммой

a+b векторов а и b (рис.6), а операция нахождения суммы векторов – их сложением.

П

роверим, что сложение векторов определено корректно, т.е. сумма векторов не зависит от выбора точки О. Для этого возьмем любую другую точку Q и отложим векторы QC = a и CD = b. Поскольку QC = ОА = а, по признаку равенства двух векторов (1.8) получаем, что OQ = AC. Аналогично, из равенства AB = CD = b вытекает, что AC = BD. Следовательно, OQ = BD, и, вновь применяя признак (1.8), получаем OB = QD, что и требовалось доказать (рис.7).

Прямо из определения суммы двух векторов вытекает правило треугольника:

(2.1) для любых трех точек О, А и В ОА + АВ = ОВ.

Кроме того, как известно из школьного курса геометрии, для любых трех точек О, А и В длина отрезка ОВ не превосходит суммы длин отрезков ОА и АВ, причем равенство |ОВ| = |ОА| + |АВ| достигается только тогда, когда точка А лежит на отрезке [ОВ]. Это неравенство часто называют неравенством треугольника. Определение суммы векторов позволяет записать его в векторной форме:

(2.2) |а + b| |a| + |b| .

Равенство в (2.2) достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b сонаправлены, а в остальных случаях неравенство является строгим. Записывать равенство |а+b| = |a|+|b| для произвольных векторов – грубая ошибка.

2. Основные свойства сложения векторов. К ним относят:

(C1) Для любых трех векторов a, b и c (a+b)+c = a+(b+c) (ассоциативность).

(С2) Для любых двух векторов a и b a+b = b+a (коммутативность).

(С3) Для любого вектора а а+0 = а.

(С4) Для любых двух точек А и В АВ+ВА = 0.

В

виду последнего свойства векторы ВА и АВ называются противоположными. Вектор, противоположный вектору а, обозначается «–а».

Свойства (С3) и (С4) вытекают непосредственно из правила треугольника (проверьте!). Чтобы доказать (С2), от произвольной точки О отложим векторы ОА = а и ОС = b, а от точки А – вектор АВ = b (рис.8). Поскольку ОС = АВ , по признаку равенства двух направленных отрезков получаем, что ОА = СВ . Но ОА = а, поэтому и СВ
 = а. Заметим теперь, что по правилу треугольника вектор ОВ можно представить и как ОА+ОВ = а+b, и как ОС+СВ = b+a. Получается, чтоа + b = b + a = ОС, что и требовалось доказать.

Докажем свойство (С1). Для этого последовательно отложим векторы ОА = а , АВ = b и ВС = с. По определению сложения векторов (a+b)+c = ОВ+ВС, а a+(b+c) = ОА+АС. Но ОВ+ВС = ОА+АС = ОС (рис.9).

Заметим, что на рис.8 OC = AB. Поэтому справедливо

(2.3) Правило параллелограмма: Сумма неколлинеарных векторов а и b равна диагонали ОВ параллелограмма ОАВС, построенного на векторах2 ОА = а и ОС = b.

Кроме того, из проведенного выше доказательства ассоциативности получается

(2.4) Правило многоугольника. Чтобы сложить несколько векторов, взятых в определенном порядке, надо отложить их друг за другом так, чтобы конец каждого вектора служил началом следующего, а затем соединить начало первого с концом последнего.

Мы доказали это правило только для случая трех векторов, но проведенное рассуждение без труда переносится на любое число слагаемых.

П

оскольку у нулевого направленного отрезка начало совпадает с концом, из правила многоугольника вытекает полезное

(2.5) Правило замкнутой цепочки. Сумма нескольких векторов равна нулю тогда и только тогда, когда при последовательном их откладывании они образуют замкнутую цепочку, т.е. конец последнего совпадает с началом первого.

(2.6) Упражнение. Докажите правило параллелепипеда: чтобы сложить три вектора, не параллельные одной плоскости, надо отложить их из одной точки О, достроить три получившихся отрезка до параллелепипеда и провести из точки О диагональ этого параллелепипеда, которая и будет искомой суммой (рис.10).

Ассоциативность сложения векторов показывает, что сумма трех векторов, взятых в определенном порядке, не зависит от того, сложим ли мы сначала два первых вектора, а потом прибавим к ним третий, или сначала найдем сумму второго и третьего векторов, а потом прибавим ее к первому. Это означает, что мы можем записывать сумму трех векторов как а+b+с, не задумываясь, каким образом расставлять в ней скобки. В курсе алгебры будет показано, что если это свойство выполняется для трех слагаемых, то оно выполняется и для любого их числа, то есть мы можем, не заботясь о способе расстановки скобок, записывать любую векторную сумму а+b+с+…+d. А свойство коммутативности (С2) показывает, что мы можем также, не меняя этой суммы, произвольным образом переставлять в ней слагаемые. В этом и состоит смысл ассоциативности и коммутативности.

3

. Вычитание векторов. Разностью a–b векторов а и b называется такой вектор х , что x+b = a. Операция нахождения разности векторов называется их вычитанием.

Отложим от произвольной точки О векторы ОА= а и ОВ=b. Очевидно, единственным вектором, который в сумме с ОВ дает ОА, является вектор ВА. Таким образом,

(2.7) у любых двух векторов есть разность, и только одна. Чтобы построить ее, надо отложить векторы от одной точки и соединить конец второго с концом первого (рис.11).

З

аметим еще, что на рис. 11 ВА = ВО+ОА. Это значит, что

    1. a–b = a+(–b).

Иными словами, вычесть один вектор из другого – это все равно, что сложить первый вектор с вектором, противоположным второму.

Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда точки О, А и В образуют треугольник. Если достроить его до параллелограмма ОАСВ, то в нем диагональ будет изображать сумму а+b, а диагональ– разность а–b (рис.12). Это полезное дополнение к правилу параллелограмма.

Равенство (2.8) можно было доказать и чисто алгебраически. В самом деле, если x = a+(–b) , то x+b = a+(–b)+b = а+0 = a. Также алгебраически можно показать, что других значений у разности а–b нет: x+b = a (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Мы намеренно записали все эти преобразования подробно, чтобы показать, что все они опираются только на основные свойства сложения (С1)-(С4) (проверьте!). В общей теории векторных пространств, с которой вы познакомитесь в курсе алгебры, эти свойства принимаются за аксиомы сложения векторов, а все остальные свойства сложения выводятся из них.

4. Умножение вектора на число. Умножением вектора на число называется операция нахождения произведения вектора на число. Произведение ненулевого вектора а на число х – это вектор, обозначаемый «ха» и удовлетворяющий следующим двум условиям:

(П1) | ха | = |х||а| ; (П2) хаа, если х0, и хаа, если х<0.

Произведение нулевого вектора на любое число по определению считается равным 0.

Условие (П1) остается справедливым и при = 0, но условие (П2) в этом случает нарушается при х<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Заметим, что ха = 0 |ха| = 0 |х||а| = 0 |х| = 0 или |а| =

 0 х = 0 или а = 0. Значит,

(2.9) произведение вектора на число равно нулю тогда и только тогда, когда либо число, либо вектор равны нулю.

Пусть даны не равные нулю число х и вектор а. От произвольной точки О отложим вектор ОА=а и попробуем построить вектор OX = ха. Так как векторы а и ха должны быть коллинеарными, отрезок обязан лежать на прямой (ОА), а его длина по условию (П1) должна равняться |х||а|. Таких отрезков ровно два, причем один из них (назовем его) сонаправлен с, а другой (назовем его

) направлен противоположно(рис.13). Возвращаясь к условию (П2), видим, что=при x > 0, и=при х < 0.

Т

аким образом, любой вектор можно умножить на любое число, причем результат однозначно определен.

К основным свойствам умножения векторов на числа относят следующие:

(У1) Для любого вектора а 1а=а (т.е., умножение на 1 не изменяет вектора).

(У2) Для любых чисел х, у и вектора а х(уа) = (ху)а (ассоциативность).

(У3) Для любых чисел х, у и вектора а (х+у)а = ха+уа (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

(У4) Для любых числа х и векторов а и b х(a+b) = xa + xb (дистрибутивность умножения относительно сложения векторов).

Первое из этих свойств вытекает непосредственно из определения (проверьте!). Доказательства остальных можно найти на стр. 14-16 учебника Л.С. Атанасяна и В.Т. Базылева “Геометрия” (ч.1).

Отметим еще такие свойства умножения вектора на число:

(2.10) Если вектор а – ненулевой, то а/|a| – сонаправленный с вектором а единичный вектор.3

В самом деле, векторы а и а/|a| сонаправлены (ибо 1/|а| > 0) и |а/|a|| = |а|/|а| = 1.

(2.11) (–1)а = –а.

Действительно, по определению умножения вектора на число векторы (–1)а и а противоположно направлены, а их длины равны.

5. Признаки коллинеарности.

(2.12) Признак коллинеарности вектора ненулевому вектору. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда существует такое число t, что b = tа. При этом если векторы а и b сонаправлены, то t = |b| / |a|, а если они противоположно направлены, то t = – |b| / |a|.

Мы уже отмечали, что векторы а и tа всегда коллинеарны. Обратно, возьмем ненулевой вектор а и коллинеарный ему вектор b. Если они сонаправлены, положим t = |b|/|a|. Тогда |tа| = |t||а| = (|b|/|a|)|а| = |b|, и вектор tа сонаправлен с а, а, значит, и с b. Стало быть, tа = b по признаку 1.7. Если же аb, положим t = –|b|/|a|. И снова |tа| = |t||а| = (|b|/|a|)|а| = |b|, а векторы tа и b, направленные противоположно вектору а, по (Н5) сонаправлены между собой. Значит, и в этом случае tа = b.

Оговорка насчет того, что вектор а – ненулевой, иногда бывает неудобна. Тогда можно использовать такой

(2.13) Признак коллинеарности двух векторов. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой с помощью умножения на число.

Для случая, когда хотя бы один из двух данных векторов не равен нулю, это доказано выше. Если же оба вектора нулевые, то, во-первых, они коллинеарны, а, во-вторых, любой из них можно получить из другого умножением на любое число, так что и в этом случае все в порядке.

6. Сохранение параллельности при операциях над векторами.

(2.14) Лемма о параллельности. Если два вектора параллельны некоторой прямой (плоскости), то той же прямой (плоскости) параллельна и их сумма. Если вектор параллелен прямой (плоскости), то той же прямой (плоскости) параллельно и его произведение на любое число.

Пусть векторы а и b параллельны данной прямой (плоскости). Отложим от произвольной её точки О векторы ОА = а и АВ = b. Тогда точки А и В тоже будут лежать на этой прямой (плоскости). Значит, там будет лежать и отрезок ОВ, изображающий сумму а+b, что и означает ее параллельность данной прямой (плоскости).

Возьмем теперь любое число х, и отложим от той же точки О вектор ОС = ха. Если а = 0, то и ха = 0, а нулевой вектор параллелен любой прямой и плоскости. Если же нет, то отрезок ОС, изображающий вектор ха, будет целиком лежать на прямой ОА, а, значит, и на данной прямой (плоскости). Тем самым вектор ха будет параллелен этой прямой (плоскости).

studfile.net

Геометрия 9 класс вопросы к главе 9. ( ЛУЧШИЙ )

11)Сумму нескольких векторов получаем так: складываем первый и второй вектор, затем к их сумме прибавляем третий вектор и т. д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Такой приём сложения нескольких векторов называется правилом многоугольника. 12)Разностью двух векторов и называется такой третий вектор, который равен сумме векторов a и (-b). Вектор (-b) параллелен вектору b, равен ему по модулю, но противоположно направлен. 13)Это вектор, который коллинеарен данному и направлен в противоположные стороны. теорема: для любых векторов а и б справедливо равенство а-б=а+(-б) док-во по определению разности векторов (а-б) +б=а . прибавив к обеим частям этого равенство вектор (-б), получим: (а-б) +б+(-б) =а+(-б), откуда а-б=а+(-б). 14)Вектор, совпадающий по направлению с данным, и отличающийся по длине в данное число раз. Если «данное число» отрицательное, то направление вектора будет противоположным, хотя лежать он будет на той же прямой. 16)Не могут. k — это число. При умножении вектора на число может измениться или величина вектора (длина), или измениться направление на противоположное (если коэффициент при умножении меняет знак вектора). Однако, в том и другом случае, векторы лежат на параллельных прямых, то есть коллинеарны.

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:2dZwk2m»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

touch.otvet.mail.ru

Как найти векторное произведение векторов онлайн? · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Сервис на сайте Контрольная работа Ру «Векторное произведение» позволяет получить не только теоретическое определение векторного произведения векторов, но ещё и по данным вам векторам вычислить итоговый вектор векторного произведения с подробным решением.

Приведём пример, как использовать данный калькулятор онлайн.

Допустим, нам даны векторы a = (1, 2, 3) и b = (4, 5, 6) и нужно вычислить [a, b] — их векторное произведение.

Для этого используйте следующие несколько шагов:

1. Перейдите на страницу сервиса онлайн тут

2. Введите первый вектор, который входит в векторное произведение, как показано на рис:

Векторное произведение векторов онлайн

3. После того, как вы нажали кнопку «Далее», то введите второй вектор, который входит в векторное произведение, как на рис.:

Как найти векторное произведение

4. Опять нажмите кнопку «Далее» и вы получите результат:

Даны вектора a =

[1 2 3]
и b =

[4 5 6]

Найдем векторное произведение векторов [a * b]

Векторное произведение легко найти (равно такому определителю):

[a * b] =

| i  j  k |
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
,

где i, j и k — единичные векторы, направленные соотв. вдоль оси x, y, z

Находим:

[a * b] =

| i j k |
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
=

= ((2) * (6) — (3) * (5))i + ((3) * (4) — (1) * (6))j + ((1) * (5) — (2) * (4))k = -3i + 6j + -3k,

т.е. векторное произведение равно [a * b] = [-3 6 -3]

www.kontrolnaya-rabota.ru

Вопросы к главе IV

1. Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если а↑↓b, b↑↓c, то a↑↓c; е) существуют векторы а, b и с такие что а и с не коллинеарны, b и с не коллинеарны, а a и b коллинеарны?

а) Да, так как они лежат на параллельных прямых. б) Нет, они могут быть противоположно направлены. в) Да. г) Нет, например a и 2a. д) Нет, a↑↑c. е) Да, например три стороны параллелограмма.

2. Точки A и С симметричны относительно точки О и AD = BC. Симметричны ли точки В и D относительно точки О?

Да, так как ABCD — параллелограмм и BD — его диагональ, а О — центр.

3. Точки A и С симметричны относительно прямой а и AD = BC. Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а?

а) Да, (рис. 226 а), б) Да, (рис. 226 б).

4. Точки A и С, а также точки В и D симметричны относительно плоскости α. Могут ли векторы АВ и CD быть: а) равными; неравными?

а) Да; б) Да.

5. Известно, что векторы а и a+b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы а и b?

Да, так как a и a — (a + b) коллинеарны.

6. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Да, например

7. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, если все векторы сонаправлены.

8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, если эти векторы противоположно направлены.

9. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?

Да, если эти векторы сонаправлепы.

10. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?

Да, если эти векторы перпендикулярны.

11. На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

а) На 1; б) на — 3; в) на — k; г) на 0.

12. Известно, что AB = k⋅CD, причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении k прямые AC и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися?

а) Эти прямые параллельны при k = 1 б) При k ≠ 1 и k ≠ 0 эти прямые пересекаются. Прямые АС и BD не могут быть скрещивающимися, т. к. лежат в одной плоскости.

13. Компланарны ли векторы: а) а, b, 2а, 3b; б) а, b, a+b, а — b?

а, б) Да, эти векторы лежат в плоскости, проходящей через вектора a и b.

14. Известно, что векторы а, b и с компланарны. Компланарны ли векторы: а) а, 2b, 3с; б) а+b, а+2с, 2b — Зс?

Да.

15. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли векторы ОА, ОВ и ОС быть компланарными?

Нет, так как если эти вектора лежат в одной плоскости, то точка О лежит в плоскости ABC, но точка О не лежит в этой плоскости.

5terka.com

Линейные операции над векторами, формулы и примеры

Рассмотрим два ненулевых вектора и .

1. Сложение (сумма) векторов

Замечание. Если начало вектора не совпадает с концом вектора , то от конца вектора надо отложить вектор , равный вектору (рис. 2).

Правило треугольника сложения векторов. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то суммой этих векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

Правило параллелограмма сложения векторов. Если два неколлинеарных вектора и имеют общее начало (рис. 4), то суммой этих вектор есть вектор, имеющий общее начало с указанными векторами и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и .

Сложение векторов обладают переместительным и распределительным свойствами:

   

Если векторы и заданы своими координатами, например, на плоскости, , тогда суммой этих векторов есть вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

   

2. Разность векторов

Противоположным вектором к некоторому вектору называется вектор, противоположно направленный данному и имеющий такую же длину.

Замечание. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

   

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , который является противоположным вектору :

   

Чтобы построить геометрически разность векторов и , необходимо совместить начала этих векторов (то есть от одной точки отложить равные им векторы и ), тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомой разностью (рис. 5).

Если векторы и заданы своими координатами: , то их разностью есть вектор , координаты которого равны разности соответствующих координат векторов и :

   

3. Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , модуль которого , причем вектор будет сонаправлен с вектором , если , и противоположно направлен в случае, если .

Произведением вектора на число называется вектор, полученный из исходного умножением его каждой координаты на число :

   

ru.solverbook.com

Вектор, действия с векторами, сложение и вычитание

Тестирование онлайн

  • Проекция вектора

  • Сложение и вычитание векторов

Вектор

Вектор — это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало — точка. Модуль вектора (абсолютная величина) — длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c — это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение — в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: sx=x-x0, на ось ОУ: sy=y-y0.

Рассмотрим примеры

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма — сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов — это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?


Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?


fizmat.by

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о