Нахождение первообразной: Правила нахождения первообразных — Математика – Первообразная — Википедия

Первообразная. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы узнаем, что такое первообразная, а также рассмотрим таблицу первообразных.

Пример нахождения первообразной

Математические задачи, операции часто различаются как прямые и обратные. Например: сложение и вычитание, умножение и деление. Мы в последнее время занимались дифференцированием, то есть нахождением производных. На этом уроке мы займемся обратной операцией – интегрированием, или нахождением первообразных.

Прямая задача:

Дано: .

Найти:.

Пример:

Обратная задача:

Дано:

.

Найти: .

Пример:

 

 – первообразная для .

Строгое определение первообразной функции

Определение:

Функцию  называют первообразной для функции

 на заданном промежутке , если для всех  выполняется равенство:

Закрепим определение конкретными примерами.

Примеры:

 – первообразная для , так как

 – первообразная для

, так как

, то есть 

 – первообразная для , так как

 

Вспомним, что для нахождения производных существовала таблица производных. Точно так же, для нахождения первообразных, имеется таблица первообразных, часть которой представлена далее (Табл. 1):

 

Функция

Первообразная

1

0

1

2

1

3

4

5

Табл. 1. Таблица первообразных

Проверим рассмотренную часть таблицы, то есть проверим определение:

1. 

2.

3.

4.

5. 

Таким образом, эта часть таблицы проверена.

Продолжим изучение и обоснование таблицы. Следующая часть таблицы первообразных представлена ниже (Табл. 2):

 

Функция

Первообразная

6

7

8

9

10

Табл. 2. Таблица первообразных (продолжение)

Полезно проверить, обосновать и доказать данную часть таблицы.

6. 

7.

8.

9. 

10. 

Таблица обоснована.

Теперь мы имеем определение первообразной и таблицу первообразных, обоснованную этим определением. Продолжим решение задач на определение первообразной.

Докажите:

 

а)

Доказательство:

б)

Доказательство:

Рассмотрим еще одну задачу.

Докажите:

 

Доказательство:

Напоминание:

1.

2.

Рассмотрим задачу с тангенсом.

Докажите:

Доказательство:

Рассмотрим задачу с косинусом.

Докажите:

 

Доказательство:

Рассмотрим аналогичную задачу с иррациональным выражением.

Докажите:

Доказательство:

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Bymath.net (Источник).
  3. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Проверьте, что функция  является первообразной для функции  на пр

Три правила нахождения первообразных: алгоритм нахождения и примеры

 

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь: 

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 – 1/x +C.

Пример 2. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:

F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Основное свойство первообразной: теорема и наглядные примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspФормула Ньютона - Лейбница: примеры вычисления интегралов

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Задачи В9. Первообразная и интеграл

Часть 4.

В данной статье мы разбираем Задачи №7 ЕГЭ по математике, связанные с первообразной.

Здесь смотрите части 1, 2, 3.

Задача 1.

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

у

Решение: + показать

Задача 2.

На рисунке изображён график некоторой функции  y=f(x). Функция F(x)=x^3+12x^2+51x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

ed

Решение: + показать

Задача 3.

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-\frac{4}{9}x^3-\frac{34}{3}x^2-\frac{280}{3}x-\frac{18}{5} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

u

Решение: + показать

Задача 4.

На рисунке изображён график функции y=F(x) – одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0  на отрезке [-1;3].

r

Решение: + показать

коло

 

Загляните –> + показать

Препод по матану встречает своего студента через лет десять после окончания ВУЗа.
– А скажите, молодой человек, Вам когда-нибудь пригодились знания, полученные на моих лекциях?
– А Вы знаете, профессор, ведь было такое.
– Ах, как интересно! Расскажите!
– У меня один раз шляпу ветром сорвало и в лужу бросило. Так я проволочку подобрал, свернул ее интегралом и шляпу-то из лужи вытянул!

78

 

 
тест
 
 
Вы можете пройти тест «Задачи №7. Первообразная».

Тема урока "Правила вычисления первообразных. Примеры нахождения первообразных"

Тема: Правила вычисления первообразных. Примеры нахождения первообразных

Цель урока: рассмотреть правила вычисления первообразных. Усвоение пройденной темы закреплением при решении примеров

Зада урока: рассмотреть разнообразные примеры первообразных.

Ход урока:

I этап: Организационный момент. Приветствие

II этап: Записать три правила вычисления первообразных

Найти все первообразные функции f(х) :

а) f(x) =х4+ 3х2+ 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

б ) f(x) = sin(3x – 2)

Решение:

Ответ:

в) 

Решение:

Ответ:

3. Для функции f(x) = 4 –х2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение:

1) Найдем все первообразные функции f(x): 

2) Найдем число С , такое, чтобы график функции  проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:

Следовательно, .

Ответ:

III этап: решение у доски ? 1 ? 2 стр 13

IV этап: подведение итогов

V этап: домашнее задание ? 4 стр 13

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную - d/dx квадратный корень x
2 Найти производную - d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную - d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную - d/dx 1/x
7 Найти производную - d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную - d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную - d/dx sin(x)^2
11 Найти производную - d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную - d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную - d/dx x^3
23 Найти производную - d/dx sec(x)^2
24 Найти производную - d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную - d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную - d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную - d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную - d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную - d/dx cos(2x)
41 Найти производную - d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную - d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную - d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную - d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную - d/dx 2e^x
50 Найти производную - d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную - d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную - d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную - d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную - d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную - d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную - d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную - d/dx -cos(x)
67 Найти производную - d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную - d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную - d/dx x^x
76 Найти производную - d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную - d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную - d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную - d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную - d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную - d/dx y=x^2
87 Найти производную - d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную - d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную - d/dx e^2
93 Найти производную - d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную - d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *