Нахождение площадей: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса. – «Какие существуют формулы площадей?» – Яндекс.Знатоки

Содержание

Формулы геометрии. Площади фигур. - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!


Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

12,5

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

2

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

Читайте также о задачах на тему "Координаты и векторы". Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Как найти площадь треугольника - Лайфхакер

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.

Как найти площадь треугольника, зная сторону и высоту

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

Как найти площадь треугольника, зная две стороны и угол между ними

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.

Как найти площадь треугольника по формуле Герона

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Как вычислить площадь треугольника, зная три стороны и радиус описанной окружности

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

Как вычислить площадь треугольника, зная радиус вписанной окружности и полупериметр

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для площади треугольника

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

ФигураРисунокФормула площадиОбозначения
Произвольный треугольникПлощадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольникПлощадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a – сторона

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

h – высота

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольникПлощадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a и b – катеты

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник
Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник
Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник
Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник
Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник
Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формулПлощадь треугольника вывод формул

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

Площадь треугольника вывод формулПлощадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
= ha
ctg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

Площадь треугольника вывод формулПлощадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b =
2R sin B ,    
c = 
2 sin C ,

      В силу утверждения 5

Площадь треугольника вывод формулПлощадь треугольника вывод формулПлощадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

  1. Формула площади равностороннего правильного треугольника

  2. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь
  3. Формула площади равностороннего правильного треугольника

  4. Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

  5. Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 7.

  2. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 7

    В силу утверждения 2

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружностиФормула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
  3. Рассмотрим рисунок 8.

  4. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 8

    Поскольку

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

    то

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружностиФормула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
  5. Рассмотрим рисунок 9.

  6. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 9

    Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружностиФормула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
  7. Рассмотрим рисунок 10.

  8. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 10

    Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружностиСледовательно,

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружностиФормула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

          Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

  1. Формула площади прямоугольного треугольника

  2. Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Формула площади прямоугольного треугольника

  4. Формула площади прямоугольного треугольника

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.

  2. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 11

    В силу утверждения 2

    Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Рассмотрим рисунок 12.

  4. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

    Формула площади прямоугольного треугольникаФормула площади прямоугольного треугольника
  5. Рассмотрим рисунок 13.

  6. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

    Формула площади прямоугольного треугольникаФормула площади прямоугольного треугольника
  7. Рассмотрим рисунок 14.

  8. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

    Формула площади прямоугольного треугольникаФормула площади прямоугольного треугольника

          Доказательство утверждения 8 завершено.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника, формулы для вычисления площади прямоугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей прямоугольника.

Наш калькулятор поможет вам бесплатно в режиме онлайн вычислить площадь прямоугольника с помощью различных формул или проверить уже выполненные вычисления.

Таблица с формулами площади прямоугольника ((в конце страницы))


1

Площадь прямоугольника через две стороны

Площадь прямоугольника через две стороны

... подготовка ...

a - сторона

b - сторона



2

Площадь прямоугольника через периметр и одну из сторон

Площадь прямоугольника через периметр и одну из сторон

В указанной формуле, площадь периметра прямоугольника вычисляется: 

... подготовка ...

a (или b) - сторона

P - периметр



3

Площадь прямоугольника по диагонали и стороне

Площадь прямоугольника по диагонали и стороне

... подготовка ...

a (или b) - сторона

d - диагональ



4

Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними

... подготовка ...

d - диагональ

α° - угол между диагоналями



5

Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности

Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности

... подготовка ...

a (или b) - сторона

R - радиус описанной окружности



6

Площадь прямоугольника через сторону и диаметр описанной окружности

Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности

... подготовка ...

a (или b) - сторона

D - диаметр описанной окружности


Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться нашим «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°



Таблица с формулами площади прямоугольника



Определения

Прямоугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *