Формулы геометрии. Площади фигур. — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.
Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!
Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .
Ответ: .
2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .
Ответ: .
3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.
Ответ: .
Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.
Как найти площадь треугольника — Лайфхакер
Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.
Как найти площадь любого треугольника
Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.
Зная сторону и высоту
- Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.
Зная две стороны и угол между ними
- Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
- Найдите синус угла между выбранными сторонами.
- Перемножьте полученные числа.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a и b — стороны треугольника.
- α — угол между сторонами a и b.
Сейчас читают 🔥
Зная три стороны (формула Герона)
- Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
- Найдите произведение полученных чисел.
- Умножьте результат на полупериметр.
- Найдите корень из полученного числа.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b, c — стороны треугольника.
- p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).
Зная три стороны и радиус описанной окружности
- Найдите произведение всех сторон треугольника.
- Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
- S — искомая площадь треугольника.
- R — радиус описанной окружности.
- a, b, c — стороны треугольника.
Зная радиус вписанной окружности и полупериметр
Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.
- S — искомая площадь треугольника.
- r — радиус вписанной окружности.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Как найти площадь прямоугольного треугольника
- Посчитайте произведение катетов треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
- Умножьте основание на высоту треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
Как найти площадь равностороннего треугольника
- Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
- Поделите результат на четыре.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.
Читайте также 🧠👨🏻🎓✍🏻
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Формулы для площади треугольника
Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.
Фигура | Рисунок | Формула площади | Обозначения |
Произвольный треугольник | Посмотреть вывод формулы | a – любая сторона, | |
Посмотреть вывод формулы | a и b – две любые стороны, | ||
Посмотреть вывод формулы Герона | a, b, c – стороны, Формулу называют «Формула Герона» | ||
Посмотреть вывод формулы | a – любая сторона, | ||
Посмотреть вывод формулы | a, b, c – стороны, | ||
Посмотреть вывод формулы | a, b, c – стороны, | ||
S = 2R2 sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы | A, B, С – углы, | ||
Равносторонний (правильный) треугольник | Посмотреть вывод формулы | a – сторона | |
Посмотреть вывод формулы | h – высота | ||
Посмотреть вывод формулы | r – радиус вписанной окружности | ||
Посмотреть вывод формулы | R – радиус описанной окружности | ||
Прямоугольный треугольник | Посмотреть вывод формулы | a и b – катеты | |
Посмотреть вывод формулы | a – катет, | ||
Посмотреть вывод формулы | a – катет, | ||
Посмотреть вывод формулы | c – гипотенуза, |
Произвольный треугольник | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
S = 2R2 sin A sin B sin C где Посмотреть вывод формулы | |
Равносторонний (правильный) треугольник | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
Прямоугольный треугольник | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы |
Произвольный треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
где Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
S = 2R2 sin A sin B sin C где Посмотреть вывод формулы |
Равносторонний (правильный) треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
Прямоугольный треугольник |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
Вывод формул для площади произвольного треугольника
Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле
где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.
Доказательство.
Рис. 1
Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле
где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.
Доказательство.
Рис. 2
Поскольку
ha = b sin C ,
то, в силу утверждения 1, справедлива формула
что и требовалось доказать.
Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле
где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.
Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.
Доказательство.
Рис. 3
Поскольку (рис.3)
x = hactg C , y = hactg B ,
то
a = x + y =
= hactg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .
Следовательно,
Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле
где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.
Доказательство.
Рис. 4
Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле
где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.
Доказательство.
Рис. 5
В силу теоремы синусов справедливо равенство
.
Следовательно,
Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = 2R2 sin A sin B sin C ,
где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.
Доказательство.
Рис. 6
В силу теоремы синусов справедливо равенство
.
Поэтому
a = 2R sin A ,
b = 2R sin B ,
c = 2R sin C ,
В силу утверждения 5
что и требовалось доказать.
Вывод формул для площади равностороннего треугольника
Утверждение 7.
- Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 7.
Рассмотрим рисунок 8.
Рассмотрим рисунок 9.
Рассмотрим рисунок 10.
Рис. 7
В силу утверждения 2
Рис. 8
Поскольку
то
Рис. 9
Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство h = 3r. Следовательно,
Рис. 10
Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,
Доказательство утверждения 7 завершено.
Вывод формул для площади прямоугольного треугольника
Утверждение 8.
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 11.
Рассмотрим рисунок 12.
Рассмотрим рисунок 13.
Рассмотрим рисунок 14.
Рис. 11
В силу утверждения 2
Рис. 12
Поскольку
b = a tg φ ,
то
Рис. 13
Поскольку
b = a ctg φ ,
то
Рис. 14
Поскольку
a = c cos φ ,
b = c sin φ ,
то
Доказательство утверждения 8 завершено.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника, формулы для вычисления площади прямоугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей прямоугольника.
Наш калькулятор поможет вам бесплатно в режиме онлайн вычислить площадь прямоугольника с помощью различных формул или проверить уже выполненные вычисления.
Таблица с формулами площади прямоугольника ((в конце страницы))
1
Площадь прямоугольника через две стороны
… подготовка …
a — сторона
b — сторона
2
Площадь прямоугольника через периметр и одну из сторон
В указанной формуле, площадь периметра прямоугольника вычисляется:
… подготовка …
a (или b) — сторона
P — периметр
3
Площадь прямоугольника по диагонали и стороне
… подготовка …
a (или b) — сторона
d — диагональ
4
Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними
… подготовка …
d — диагональ
α° — угол между диагоналями
5
Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности
… подготовка …
a (или b) — сторона
R — радиус описанной окружности
6
Площадь прямоугольника через сторону и диаметр описанной окружности
… подготовка …
a (или b) — сторона
D — диаметр описанной окружности
Примечание:
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться нашим «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Таблица с формулами площади прямоугольника
Определения
Прямоугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.