Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab	a и b – смежные стороны
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
		S = 2R2 sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R	R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Параллелограмм		S = a ha Посмотреть вывод формулы	a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону
		S = absin φ Посмотреть вывод формулы	a и b – смежные стороны, φ – угол между ними
		Посмотреть вывод формулы	d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Квадрат		S = a2	a – сторона квадрата
		S = 4r2	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ квадрата
		S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R	R – радиус описанной окружности
Ромб		S = a ha Посмотреть вывод формулы	a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону
		S = a2 sin φ Посмотреть вывод формулы	a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба
		Посмотреть вывод формулы	d1, d2 – диагонали
		S = 2ar Посмотреть вывод формулы	a – сторона, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба
Трапеция		Посмотреть вывод формулы	a и b – основания, h – высота
		S = m h	m – средняя линия, h – высота
		Посмотреть вывод формулы	d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
		Посмотреть вывод формулы	a и b – основания, c и d  – боковые стороны
Дельтоид		S = ab sin φ	a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
			a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b.
		S = (a + b) r Посмотреть вывод формулы	a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d1, d2 – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольник		Посмотреть вывод формулы	d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник		, Посмотреть вывод формулы Брахмагупты	a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр, Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
	S = ab где a и b – смежные стороны
	где d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Посмотреть вывод формулы
	S = 2R2 sin φ где R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
	S = a ha где a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	S = absin φ где a и b – смежные стороны, φ – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	где d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
Квадрат
	S = a2 где a – сторона квадрата
	S = 4r2 где r – радиус вписанной окружности
	где d – диагональ квадрата Посмотреть вывод формулы
	S = 2R2 где R – радиус описанной окружности Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
	S = a ha где a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	S = a2 sin φ где a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы
	где d1, d2 – диагонали Посмотреть вывод формулы
	S = 2ar где a – сторона, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы
Трапеция
	где a и b – основания, h – высота Посмотреть вывод формулы
	S = m h где m – средняя линия, h – высота
	где d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
	где a и b – основания, c и d  – боковые стороны Посмотреть вывод формулы
Дельтоид
	S = ab sin φ где a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где d1, d2 – диагонали Посмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
	где d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
	, где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр Формулу называют «Формула Брахмагупты» Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S = ab где a и b – смежные стороны

где d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin φ где R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a ha где a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы

S = absin φ где a и b – смежные стороны, φ – угол между ними Посмотреть вывод формулы

где d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы

Квадрат

S = a2 где a – сторона квадрата

S = 4r2 где r – радиус вписанной окружности

где d – диагональ квадрата Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 где R – радиус описанной окружности Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a ha где a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы

S = a2 sin φ где a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы

где d1, d2 – диагонали Посмотреть вывод формулы

S = 2ar где a – сторона, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

где r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где a и b – основания, h – высота Посмотреть вывод формулы

S = m h где m – средняя линия, h – высота

где d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы

где a и b – основания, c и d  – боковые стороны, Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ где a и b – неравные стороны, φ – угол между ними

где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

где d1, d2 – диагонали Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр Формулу называют «Формула Брахмагупты» Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d₁ и d₂ – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a h_a ,

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

S_ABCD = S_AEFD = a h_a ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

h_a = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a h_a = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Формула Пика

Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на клетчатой бумаге, и невырождена -площадь ее ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно воспользоваться формулой Пика.

Если обозначить:  В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  – количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то

S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Формула Пика – определение числа узлов внутри и на границе фигуры.

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие:

В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем площади цветных треугольников:

Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”

Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.

Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.

Рассмотрим такую фигуру:

Еще один пример определения площади сложной фигуры с помощью формулы Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.

Проверим:

Отрежем лишнее

 

Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5, площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.

Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.

Третья фигура:

Еще один пример работы с формулой Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.

Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.

Расчет площади с помощью разрезания фигуры

Еще две фигуры:

Узлы решетки внутри и на границе фигуры

Площадь первой: S=10+2-1=11,

Узлы решетки внутри и на границе

 

второй – S=10+5-1=14.

Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.

easy-physic.ru

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

1. (положительность) площадь неотрицательна;
2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник		— длина стороны треугольника.
Треугольник		Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник		и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник		и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат		— длина стороны квадрата.
Прямоугольник		и — длины сторон прямоугольника.
Ромб		и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм		— длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция		и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник		— длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник		— длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник		— длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
		— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг	или	— радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга		и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс		и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра		и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра		и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса		и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса		и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы		и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида		См. статью.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

• Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:

  ,

где  — угол между диагоналями.

• Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

dic.academic.ru

Площади плоских фигур

Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

• равные фигуры имеют равные площади;
• если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей;
• площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Площадь прямоугольника можно найти следующим образом:

S = ab,

Где a и b – стороны прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого стороны равны, а, значит, площадь квадрата со стороной a равна a², то есть

S = a²,

где  а – его сторона.

Площадь квадрата можно также вычислить по формуле

S = d²/2,

где d – диагональ квадрата.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть вычисляется по формуле

S = ah,

где а – его сторона,  h – высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма можно вычислить и по формуле

S = ab sin α,

где а и b – стороны,  α – угол параллелограмма.

Ромб – «частный случай» параллелограмма, значит, его площадь можно находить так же, как и площадь параллелограмма. Кроме того, имеются и другие формулы площади ромба:

S = a² sin α,

где а – сторона ромба,  α – угол ромба;

S = 1/2  d₁ d₂,

где d₁и  d₂ – диагонали ромба.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть её можно найти по формуле

S = 1/2 ah.

Есть и другие формулы  для нахождения площади треугольника:

S = 1/2 ab sin γ,

где а и b – стороны,  γ – угол между этими сторонами.

При необходимости для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона, древнегреческого учёного, который жил в Александрии в I веке нашей эры:

,

где а, b, с – стороны треугольника,  p – его полупериметр p = (а + b + с)/2 .

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S = (а + b) / 2 · h,

где а и b – основания трапеции,  h – высота.

Также советуем вам посмотреть наш новый видеоурок по теме нахождения площади плоских фигур:

Данные формулы позволяют нам решать многие геометрические задачи, рассмотрим некоторые из них.

Задача 1.

В параллелограмме ABCD сторона AB = 12 см и диагональ AC = 16 см. Вершина D удалена от диагонали AC на 4 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Решение.

S _ABCD = 2S _ADC = AC · DM = 64 см²,

а так как S _ABCD = AB · DK,

то DK = 64/12,

то есть DK = около 5,33 см.

Ответ. ≈ 5,33 см.

Задача 2.

Через центр О квадрата ABCD со стороной а проведена прямая k, пересекающая сторону AB, но не проходящая через точки A и B. Выразить сумму расстояния от вершин B и C до прямой k через a и b, если b – длина отрезка прямой k, заключённого внутри квадрата.

Решение.

Обозначим искомую сумму через с, тогда в силу центральной симметрии фигуры с = 2 (h₁ + h₂).

S _AOB = 0,25a², S _AOB = 0,25 b (h₁ + h₂),

откуда 0,25a², S _AOB = 0,25 b (h₁ + h₂) и с = 2a²/b.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

1. (положительность) площадь неотрицательна;
2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник		— длина стороны треугольника.
Треугольник		Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник		и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник		и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат		— длина стороны квадрата.
Прямоугольник		и — длины сторон прямоугольника.
Ромб		и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм		— длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция		и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник		— длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник		— длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник		— длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
		— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг	или	— радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга		и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс		и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра		и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра		и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса		и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса		и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы		и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида		См. статью.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

• Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:

  ,

где  — угол между диагоналями.

• Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

dis.academic.ru

Площадь. Нахождение площади. 3-й класс

Тип урока: урок закрепления изученных знаний, урок знакомства с новой темой и мультимедиа-ресурсом.

Вид урока: проблемный урок с элементами исследования, с элементами игровой деятельности.

Методы обучения: проектно-исследовательский метод, методы наблюдения, конструирования, беседы, тестирования, контроля и самоконтроля. Метод стимулирования и авансирования, эмоционального воздействия, наглядности.

Материалы и оборудование: Учебник для общеобразовательных учреждений (в двух частях) под редакцией М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой «Математика», 3 класс, серия «Школа России». Издательство «Просвещение», 2010, С. 55. Рабочие тетради; детские ноутбуки; медиапроектор, компьютер, экран; тесты, карточки с формулами нахождения периметра и площади прямоугольника, индивидуальные геометрические фигуры и картинка с «Карандашом», палетки.

Продолжительность: урок 45 минут.

Авторский медиапродукт: презентация к уроку (25 минут).

Цель урока: Создание условий для становления и развития психических функций, способностей, мотивационных установок, творческого исследовательского мышления через вовлечение учащихся в активную учебно-исследовательскую деятельность на уроке математики.

Межпредметные связи: урок окружающего мира, урок русского языка и технологии.

	Слайд 1 Орг. момент Учитель читает стихи про карандаш.
	Слайды 2-6 Устный счёт «Собери букет», «Испеки пирог». (таблица умножения на 8, 9)
	Слайд 7 – Ребята, какая я невнимательная, забыла написать тему сегодняшнего урока. Как быть? Слайд 8
	– Прочитайте задание на слайде. – Открываем тетрадь. Прочитайте внимательно задания теста. – Выполните все задания теста. Время – 5минут! – Так какая тема сегодняшнего урока?
	Слайд 9 – Совершенно верно, тема сегодняшнего урока: «Площадь прямоугольника». – Перед нами стоят такие задачи: 1) Выяснить значения слова площадь; 2) Повторить способы сравнения площади фигур и познакомиться с новым способом; 3) Сформулировать правило нахождения площади прямоугольника и вывести формулу; 4) Уметь решать задачи на нахождение площади прямоугольника.
	Слайд 10 – Какие ассоциации у вас возникают при слове «площадь»? Что сразу приходит на ум? – Пожалуйста, поделитесь своими мыслями. Учитель заслушивает все варианты ответа. (площадь в центре города, строительная площадка, площадка во дворе для игр, спортивная площадка, лестничная площадка, площадь обоев, площадь стола, площадь футбольного поля, площадь поля, засеянного какими-либо культурами и др.)
	Слайд 11 – Посмотрите, что изображено на слайде? – Да, это Красная площадь – центральная площадь Москвы. Возникновение Красной площади относится к концу 15 века, когда по приказу царя Ивана III были снесены деревянные постройки вокруг Кремля, угрожавшие постоянными пожарами. На их месте была организована площадь для мелкой торговли. Первоначально она так и называлась – Торговая. Красной площадь стали называть только в 17 веке. – А это что за площадь? Это одна из центральных площадей города Санкт-Петербурга. Она называется Сенатская площадь. Сенатская площадь была названа так после размещения на ней правительственного учреждения Сената. Сенатская площадь является одной из самых старых площадей Санкт-Петербурга. – Все узнали центральную площадь нашего города. Кто знает, как она называется? Совершенно верно, это площадь Ленинского комсомола. – Почему её так назвали? В каком году была построена площадь? Какие важные здания находятся на этой площади? – Обратитесь за помощью к родителям, бабушкам и дедушкам, справочной литературе, сети Интернет, чтобы найти ответы на эти вопросы. А на ближайшем уроке окружающего мира мы вернёмся к этой теме.
	Слайд 12 – Давайте прочитаем значения слова «площадь». Два ученика по слайду зачитывают по просьбе учителя.
	Слайд 13 – Заглянем в толковый словарь русского языка В.И. Даля. – Внимательно прочитайте значение слова «площадь». Вдумайтесь в смысл!
	Слайд 14 – Какие способы измерения площади фигур вам известны? Учитель заслушивает все варианты ответа.
	Слайд 15 – Действительно, существует несколько способов: визуально, т.е. на глаз, способ наложения фигур и с использованием мерок.
	Слайд 16 – Сравните на глаз площади треугольников. Что вы можете о них сказать? – Какова площадь круга: больше или меньше?
	Слайд 17 – Что можете сказать о площади квадратов? – Почему площадь зелёного квадрата меньше? (полностью помещается в розовом квадрате) – Можно ли утверждать, что площадь треугольника больше площади самого маленького квадрата? – Почему?
	Слайд 18 – Ещё один способ: подсчёт количества мерок, уложившихся в той или иной фигуре. – Сколько мерок уложилось в жёлтом прямоугольнике? – Сколько мерок уложилось в розовом прямоугольнике? – Сколько мерок уложилось в зелёном прямоугольнике? – Площадь какого прямоугольника больше? – Почему? (уложилось большее количество мерок) – Что получится, если я буду использовать разные мерки для сравнения площадей этих прямоугольников: квадраты, круги, треугольники, овалы и т.д.?
	Слайд 19 – Прочитаем вывод хором! Учитель говорит о том, что пришло время отдохнуть, напоминает о взаимной вежливости.
	Слайд 20 Физ.минутка
	Слайд 21 Учитель зачитывает по слайду. Гиперссылка = нажать на слово «единицы». – Если данная мерка – это один квадратный сантиметр, то чему тогда равна площадь каждого прямоугольника? (ответы детей) Гиперссылка = нажать на слово «мерка».
	Слайд 22 – Есть ли такие единицы измерения площади, как квадратный дециметр, квадратный метр?Учитель заслушивает все варианты ответов. – Об этом мы узнаем на ближайших уроках математики.
	Слайд 23 лежат конверты. Откройте их, достаньте геометрические фигуры. – Прочитайте задание на слайде. – Работа в парах: нужно сравнить площади этих фигур. – Как это сделать? Время для работы – одна минута!
	– Ребята, вы молодцы! – Есть такое приспособление в математике!Слайд 24 Учитель зачитывает по слайду, раздаёт всем палетки. – Измерьте при помощи палетки площади данных фигур. – Что вы заметили?
	Слайд 25 Дети сравнивают свои ответы с данным. – Молодцы!
	Слайд 26 – Прочитайте вывод.
	Слайд 27 – Как найти площадь прямоугольника?
	Слайд 28 – Сначала нужно измерить стороны прямоугольника, т.е. узнать длину и ширину. – Потом перемножить полученные числа.
	Слайд 29 – Прочитайте «про себя» правило нахождения площади прямоугольника. – Постарайтесь запомнить его, а дома выучить наизусть.

urok.1sept.ru