Нахождения площади фигур формулы – Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь прямоугольникаS = ab

a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

ПараллелограммПлощадь параллелограмма

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь параллелограмма

S = absin φ

Посмотреть вывод формулы

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь квадратаS = a2

a – сторона квадрата

Площадь квадратаS = 4r2

r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ квадрата

Площадь квадрата

S = 2R2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

R – радиус описанной окружности

РомбПлощадь ромба

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь ромба

S = a2 sin φ

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

Площадь ромба

S = 2ar

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
h – высота

Площадь трапецииS = m h

m – средняя линия,
h – высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

ДельтоидПлощадь дельтоидаS = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь дельтоидаПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

Посмотреть вывод формулы

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты,
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь прямоугольника

S = ab

где
a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм
Площадь параллелограмма

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат
Площадь квадратаS = a2

где
a – сторона квадрата

Площадь квадратаS = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

Площадь квадрата

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб
Площадь ромба

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция
Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид
Площадь дельтоида

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь дельтоидаПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты,
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник
Площадь прямоугольника

S = ab

где
a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм
Площадь параллелограмма

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат
Площадь квадрата

S = a2

где
a – сторона квадрата

Площадь квадрата

S = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

Площадь квадрата

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб
Площадь ромба

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция
Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапецииПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны,
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид
Площадь дельтоида

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник
Площадь вписанного четырехугольника формула БрахмагуптыПлощадь вписанного четырехугольника формула БрахмагуптыПлощадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул ,Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
(рис.6).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

      Следовательно,

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Формула Пика


Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на клетчатой бумаге, и невырождена -площадь ее ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно воспользоваться формулой Пика.

Если обозначить:  В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  – количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то

S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Формула Пика

Формула Пика – определение числа узлов внутри и на границе фигуры.

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие:

В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем площади цветных треугольников:

Формула Пика

Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”

Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.

Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.

Рассмотрим такую фигуру:

Формула Пика

Еще один пример определения площади сложной фигуры с помощью формулы Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.

Проверим:

Формула Пика

Отрежем лишнее

 

Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5, площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.

Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.

Третья фигура:

Формула Пика

Еще один пример работы с формулой Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.

Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.

Формула Пика52

Расчет площади с помощью разрезания фигуры

Еще две фигуры:

Формула Пика

Узлы решетки внутри и на границе фигуры

Площадь первой: S=10+2-1=11,

Формула Пика

Узлы решетки внутри и на границе

 

второйS=10+5-1=14.

Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.

easy-physic.ru

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

  1. (положительность) площадь неотрицательна;
  2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Area.svg
Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник — длина стороны треугольника.
Треугольник Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат — длина стороны квадрата.
Прямоугольник и — длины сторон прямоугольника.
Ромб и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм — длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг или — радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида   См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    ,
где  — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

  • В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
  • Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
  • В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

dic.academic.ru

Площади плоских фигур

Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

  • равные фигуры имеют равные площади;
  • если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей;
  • площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Prostye figury 2Площадь прямоугольника можно найти следующим образом:

S = ab,

Где a и b – стороны прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого стороны равны, а, значит, площадь квадрата со стороной a равна a2, то есть

S = a2,

где  а – его сторона.

Площадь квадрата можно также вычислить по формуле

S = d2/2,

где d – диагональ квадрата.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть вычисляется по формуле

S = ah,

где а – его сторона,  h – высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма можно вычислить и по формуле

S = ab sin α,

где а и b – стороны,  α – угол параллелограмма.

Ромб – «частный случай» параллелограмма, значит, его площадь можно находить так же, как и площадь параллелограмма. Кроме того, имеются и другие формулы площади ромба:

S = a2 sin α,

где а – сторона ромба,  α – угол ромба;

S = 1/2  d1 d2,

где d1и  d2 – диагонали ромба.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть её можно найти по формуле

S = 1/2 ah.

Есть и другие формулы  для нахождения площади треугольника:

S = 1/2 ab sin γ,

где а и b – стороны,  γ – угол между этими сторонами.

При необходимости для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона, древнегреческого учёного, который жил в Александрии в I веке нашей эры:

Formula Gerona,

где а, b, с – стороны треугольника,  p – его полупериметр p = (а + b + с)/2 .

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S = (а + b) / 2 · h,

где а и b – основания трапеции,  h – высота.

Также советуем вам посмотреть наш новый видеоурок по теме нахождения площади плоских фигур:

Данные формулы позволяют нам решать многие геометрические задачи, рассмотрим некоторые из них.

Задача 1.

В параллелограмме ABCD сторона AB = 12 см и диагональ AC = 16 см. Вершина D удалена от диагонали AC на 4 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Решение.

S ABCD = 2S ADC = AC · DM = 64 см2,

а так как S ABCD = AB · DK,

то DK = 64/12,

то есть DK = около 5,33 см.

Ответ. ≈ 5,33 см.

Задача 2.

Через центр О квадрата ABCD со стороной а проведена прямая k, пересекающая сторону AB, но не проходящая через точки A и B. Выразить сумму расстояния от вершин B и C до прямой k через a и b, если b – длина отрезка прямой k, заключённого внутри квадрата.

Решение.

Обозначим искомую сумму через с, тогда в силу центральной симметрии фигуры с = 2 (h1 + h2).

S AOB = 0,25a2, S AOB = 0,25 b (h1 + h2),

откуда 0,25a2, S AOB = 0,25 b (h1 + h2) и с = 2a2/b.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

  1. (положительность) площадь неотрицательна;
  2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Area.svg
Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник — длина стороны треугольника.
Треугольник Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат — длина стороны квадрата.
Прямоугольник и — длины сторон прямоугольника.
Ромб и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм — длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг или — радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида   См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    ,
где  — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

  • В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
  • Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
  • В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

dis.academic.ru

Площадь. Нахождение площади. 3-й класс

Тип урока: урок закрепления изученных знаний, урок знакомства с новой темой и мультимедиа-ресурсом.

Вид урока: проблемный урок с элементами исследования, с элементами игровой деятельности.

Методы обучения: проектно-исследовательский метод, методы наблюдения, конструирования, беседы, тестирования, контроля и самоконтроля. Метод стимулирования и авансирования, эмоционального воздействия, наглядности.

Материалы и оборудование: Учебник для общеобразовательных учреждений (в двух частях) под редакцией М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой «Математика», 3 класс, серия «Школа России». Издательство «Просвещение», 2010, С. 55. Рабочие тетради; детские ноутбуки; медиапроектор, компьютер, экран; тесты, карточки с формулами нахождения периметра и площади прямоугольника, индивидуальные геометрические фигуры и картинка с «Карандашом», палетки.

Продолжительность: урок 45 минут.

Авторский медиапродукт: презентация к уроку (25 минут).

Цель урока: Создание условий для становления и развития психических функций, способностей, мотивационных установок, творческого исследовательского мышления через вовлечение учащихся в активную учебно-исследовательскую деятельность на уроке математики.

Межпредметные связи: урок окружающего мира, урок русского языка и технологии.

Слайд 1
Орг. момент
Учитель читает стихи про карандаш.
Слайды 2-6
Устный счёт «Собери букет», «Испеки пирог».
(таблица умножения на 8, 9)
Слайд 7
Ребята, какая я невнимательная, забыла написать тему сегодняшнего урока. Как быть?
Слайд 8
Прочитайте задание на слайде.
– Открываем тетрадь. Прочитайте внимательно задания теста.
Выполните все задания теста. Время – 5минут!
Так какая тема сегодняшнего урока?
Слайд 9
Совершенно верно, тема сегодняшнего урока: «Площадь прямоугольника».
Перед нами стоят такие задачи:
1) Выяснить значения слова площадь;
2) Повторить способы сравнения площади фигур и познакомиться с новым способом;
3) Сформулировать правило нахождения площади прямоугольника и вывести формулу;
4) Уметь решать задачи на нахождение площади прямоугольника.
Слайд 10
Какие ассоциации у вас возникают при слове «площадь»? Что сразу приходит на ум?
– Пожалуйста, поделитесь своими мыслями.
Учитель заслушивает все варианты ответа.
(площадь в центре города, строительная площадка, площадка во дворе для игр, спортивная площадка, лестничная площадка, площадь обоев, площадь стола, площадь футбольного поля, площадь поля, засеянного какими-либо культурами и др.)
Слайд 11
Посмотрите, что изображено на слайде?
– Да, это Красная площадь
– центральная площадь Москвы. Возникновение Красной площади относится к концу 15 века, когда по приказу царя Ивана III были снесены деревянные постройки вокруг Кремля, угрожавшие постоянными пожарами. На их месте была организована площадь для мелкой торговли. Первоначально она так и называлась – Торговая. Красной площадь стали называть только в 17 веке.
– А это что за площадь? Это одна из центральных площадей города Санкт-Петербурга. Она называется Сенатская площадь. Сенатская площадь была названа так после размещения на ней правительственного учреждения Сената. Сенатская площадь является одной из самых старых площадей Санкт-Петербурга.
– Все узнали центральную площадь нашего города. Кто знает, как она называется? Совершенно верно, это площадь Ленинского комсомола.
– Почему её так назвали? В каком году была построена площадь? Какие важные здания находятся на этой площади?
Обратитесь за помощью к родителям, бабушкам и дедушкам, справочной литературе, сети Интернет, чтобы найти ответы на эти вопросы. А на ближайшем уроке окружающего мира мы вернёмся к этой теме.
Слайд 12
Давайте прочитаем значения слова «площадь».
Два ученика по слайду зачитывают по просьбе учителя.
Слайд 13
Заглянем в толковый словарь русского языка В.И. Даля.
– Внимательно прочитайте значение слова «площадь». Вдумайтесь в смысл!
Слайд 14
Какие способы измерения площади фигур вам известны?
Учитель заслушивает все варианты ответа.
Слайд 15
Действительно, существует несколько способов: визуально, т.е. на глаз, способ наложения фигур и с использованием мерок.
Слайд 16
Сравните на глаз площади треугольников. Что вы можете о них сказать?
– Какова площадь круга: больше или меньше?
Слайд 17
Что можете сказать о площади квадратов?
– Почему площадь зелёного квадрата меньше?
(полностью помещается в розовом квадрате)
Можно ли утверждать, что площадь треугольника больше площади самого маленького квадрата?
– Почему?
Слайд 18
Ещё один способ: подсчёт количества мерок, уложившихся в той или иной фигуре.

– Сколько мерок уложилось в жёлтом прямоугольнике?
– Сколько мерок уложилось в розовом прямоугольнике?
– Сколько мерок уложилось в зелёном прямоугольнике?

– Площадь какого прямоугольника больше?
– Почему?

(уложилось большее количество мерок)

Что получится, если я буду использовать разные мерки для сравнения площадей этих прямоугольников: квадраты, круги, треугольники, овалы и т.д.?

Слайд 19
Прочитаем вывод хором!
Учитель говорит о том, что пришло время отдохнуть, напоминает о взаимной вежливости.
Слайд 20
Физ.минутка
Слайд 21
Учитель зачитывает по слайду.

Гиперссылка = нажать на слово «единицы».

Если данная мерка – это один квадратный сантиметр, то чему тогда равна площадь каждого прямоугольника? (ответы детей)

Гиперссылка = нажать на слово «мерка».

Слайд 22

Есть ли такие единицы измерения площади, как квадратный дециметр, квадратный метр?Учитель заслушивает все варианты ответов.

Об этом мы узнаем на ближайших уроках математики.
Слайд 23 лежат конверты. Откройте их, достаньте геометрические фигуры.
– Прочитайте задание на слайде.
Работа в парах: нужно сравнить площади этих фигур.
– Как это сделать? Время для работы – одна минута!
Ребята, вы молодцы!
– Есть такое приспособление в математике!
Слайд 24

Учитель зачитывает по слайду, раздаёт всем палетки.
Измерьте при помощи палетки площади данных фигур.
– Что вы заметили?
Слайд 25
Дети сравнивают свои ответы с данным.
Молодцы!
Слайд 26
Прочитайте вывод.
Слайд 27
Как найти площадь прямоугольника?
Слайд 28
Сначала нужно измерить стороны прямоугольника, т.е. узнать длину и ширину.
– Потом перемножить полученные числа.
Слайд 29
Прочитайте «про себя» правило нахождения площади прямоугольника.
Постарайтесь запомнить его, а дома выучить наизусть.

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *