Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

  ax² + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,	если   c = 0
ax2 + c = 0,	если   b = 0
ax2 = 0,	если   b = 0   и   c = 0

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида   ax² + bx = 0, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

x(ax + b) = 0

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или  

ax + b = 0

Чтобы   ax + b   было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение   ax² + bx = 0   имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида   ax² + bx = 0,   где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a² — 12a = 0

Решение:

a2 — 12a = 0
a(a — 12) = 0
a1 = 0	a — 12 = 0
	a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x² = x

Решение:

7x2 = x
7x2 — x = 0
x(7x — 1) = 0
x1 = 0	7x — 1 = 0
	7x = 1

Чтобы решить уравнение вида   ax² + c = 0, надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

ax2 = —c,   следовательно,   x2 = —	c
	a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид   x² — c = 0, то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x² = c

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x₁ = +√c,   x₂ = -√c

Неполное квадратное уравнение вида   ax² + c = 0,   где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y²

Решение:

24 = 2y2
24 — 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12	y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b² — 16 = 0

Решение:

b2 — 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4	b2 = -4

Уравнение вида   ax² = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из   ax² = 0   следует, что   x² = 0, значит, и   x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

naobumium.info

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

   

   

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

Ответ: 0; -18.

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

   

   

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 7; -7.

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

   

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

   

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

   

   

   

   

Примеры.

   

   

   

   

   

Ответ:±2.

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

   

Ответ:

   

   

   

   

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

   

   

   

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

   

Примеры.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

www.algebraclass.ru

Как решать неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид , где . Если или , то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.

а) случай

Неполное квадратное уравнение имеет вид , где .

Пример 1. .

В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях  положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.

Пример 2. .

Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.

Пример 3. .

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.

Пример 4. .

Типичной ошибкой является ответ . На самом деле . То есть уравнение имеет два корня. Ответ:

Пример 5. .

Перенесем число в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда . Откуда . Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: .

Пример 6. .

Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число , так как , поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что , ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Таким образом, в случае сначала упрощаем уравнение к виду , затем определяем знак числа . Если , то корней нет. Если , то . И если , то уравнение имеет два корня .

б) случай

Уравнение имеет вид , где .

Пример 7. .

Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части — произведение. Вынесем за скобки, тогда . Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому или , откуда или . То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: .

Пример 8.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Далее разложим левую часть на множители.

Получим два линейных уравнения.

или , откуда или .

Ответ:

Таким образом, в случае неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.

Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

1. 0; -3/7
2. 0; 5/4
3. -2; 2
4. -4; 4

еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)

еще статья Как решать квадратные уравнения

все статьи по школьной математике

 

www.itmathrepetitor.ru

Неполные квадратные уравнения и методы их решения с примерами — OneKu

Содержание статьи:

Неполные квадратные уравнения представляют собой частный случай равенств второго порядка. Необходимо уметь решать эти уравнения, поскольку они часто встречаются не только в математических, но и в физических задачах. Методам их решения посвящена эта статья.

Квадратные уравнения: полные и неполные

Перед тем как разбирать способы решения неполных квадратных уравнений, следует рассмотреть, что они собой представляют.

На рисунке ниже изображен общий вид равенств второго порядка, которые так называются из-за максимального значения степени переменной (она равна 2), содержащейся в них.

Вам будет интересно:Фосфин: формула, получение, физические и химические свойства

Где a, b и c — числа (коэффициенты). Неполное уравнение получается тогда, когда один из этих коэффициентов становится равным нулю (за исключением числа a, поскольку если оно занулится, то уравнение перестанет быть квадратным). Поскольку остается всего три возможные комбинации нулевых коэффициентов, то выделяют следующие типы неполных равенств второго порядка:

Только b=0. Тогда уравнение преобразуется к виду a*x2 + c = 0. Оно называется чистым или простым неполным равенством квадратного типа.

Только c=0. Тогда получаем вид: a*x2 + b*x = 0. Оно получило название смешенного неполного уравнения квадратного.

Наконец, если b=0 и c=0, то мы имеем выражение a*x2=0.

Последний вид неполного уравнения не рассматривается ни в одном математическом курсе, поскольку его решение является очевидным и единственно возможным: x=0.

Можно ли решать неполные уравнения с помощью формулы с дискриминантом?

Да, можно, поскольку этот способ является универсальным для любых выражений второго порядка. Однако неполные уравнения квадратные в 8 классе школы уже встречаются, и изучаться они начинают раньше, чем полные равенства этого типа, для которых уже приводится формула с дискриминантом. Кроме того, рассматриваемый вид равенств является достаточно простым, чтобы применять к ним универсальные формулы и производить ряд ненужных вычислений.

Рассмотрим простые и понятные способы решения неполных уравнений второго порядка.

Решение простого неполного уравнения

Схема его решения в общем случае представлена на рисунке ниже.

Объясним подробнее каждый отмеченный на ней шаг. Первым делом необходимо привести уравнение к виду, указанному в начале этой схемы. Условие задачи может быть так составлено, что исходное равенство будет содержать больше двух слагаемых. Все их необходимо упростить (умножить, сложить и вычесть) до вида чистого неполного равенства.

После этого свободный член c переносится в правую часть равенства и делится на коэффициент a. Для получения неизвестных x остается взять квадратный корень из отношения -c/a, при этом нужно не забывать и учитывать, что он может быть, как со знаком минус, так и с положительным знаком.

Что следует из представленной на рисунке формулы? Во-первых, корней чистого неполного квадратного равенства всегда 2-а, при этом по модулю они оба равны, а по знаку отличаются. Во-вторых, если числа c и a имеют один знак, то корни x будут мнимыми, если c и a разного знака, тогда получаются два действительных решения.

Решение смешанного неполного уравнения

Для решения квадратного уравнения, у которого c=0, следует проделать такой же первый шаг, как и в случае определения корней чистого неполного равенства, то есть привести его к виду с двумя слагаемыми: одно из них должно содержать x2, а другое x. Затем, следует применить метод факторизации, то есть разложить левую часть равенства на множители. В отличие от полного уравнения это сделать очень просто, поскольку один из множителей всегда будет иксом. Сказанное выше можно записать в виде формулы:

x*(a*x+b) = 0.

Это равенство имеет решение, если каждый его множитель является нулем. Результат вычисления корней представлен на рисунке ниже.

Таким образом, корни этого типа неполного уравнения всегда будут действительными числами, причем один из них равен нулю. Знак второго корня определяется отношением ненулевых коэффициентов b/a.

Примеры математических задач

Теперь приведем наглядные примеры квадратных неполных уравнений с решением.

Пример 1. Найдите корни равенства 135-(2x + 3) (2x — 3) = 0. Раскрываем скобки, получаем: 135-4*x2+9=0. Заметим, что члены, содержащие x в первой степени, сократились. Выполняя перенос свободных членов в правую часть и деление их на -4, получаем: x2 = 36. Откуда следуют два корня: 6 и -6.

Пример 2. 23*(x2-2)=34*x-46. Как и в первом случае, раскрываем скобки и переносим все слагаемые в левую часть. Имеем: 23*x2-46-34*x+46=0. Теперь сокращаем свободные члены и разлагаем сумму на множители, получаем: x*(23*x-34)=0. Откуда следует, что x=0 и x = 34/23≈1,47826.

Решение примеров показало, что алгоритм нахождения корней любого вида неполного уравнения второго порядка является достаточно простым, поэтому нет никакого смысла запоминать представленные на рисунках выше формулы.

Пример физической задачи

Многие школьники слышали от своего учителя физики о том, что Галилео Галилей в XVII веке проводил эксперименты по вычислению ускорения свободного падения, сбрасывая различные тела с башни в Пизе. Многим это покажется любопытным, но не существует ни одного исторического свидетельства, что такие эксперименты ученый действительно проводил. Однако в том же XVII веке их выполнил другой итальянец.

Джованни Риччоли — астроном и иезуит, который смог действительно вычислить ускорение падения свободного, сбрасывая глиняные шары с высоты башни Азинелли, находящейся в городе Болонье. Риччоли получил значение ускорения равное 9,6 м/с2 (современная величина равна 9,81 м/с2). Зная это число, необходимо определить, сколько времени глиняный шар падал на землю, учитывая, что высота башни равна 97,6 метра.

Для решения задачи необходимо вспомнить, что путь при равноускоренном движении выражается формулой: l=v0*t+g*t2/2. Поскольку в момент, когда Риччоли отпускал шар, скорость последнего была равна нулю, то член v0*t = 0. Тогда мы приходим к уравнению: 97,6 = 9,6*t2/2. Откуда получаем, что t = 4,51 секунды (отрицательный корень был сознательно отброшен).

Источник

1ku.ru

Решение неполных квадратных уравнений, как решать разные виды выражений

Научившись решать уравнения первой степени, хочется научиться работать с более сложными уравнениями, например, с квадратными. Многим известно, как решаются стандартные квадратные уравнения, но есть особый вид таких выражений, которые называют квадратные уравнения в краткой записи. Рассмотрим подробнее, как решать неполные квадратные уравнения.

Алгоритм нахождения решений

На сегодняшний день существует три вида таких выражений. В зависимости от этого каждое решение имеет свои особенности, от которых зависит решение конкретного примера, будь оно целым или в виде иррационального числа.

Уравнение вида ax2+bx=0 при отсутствии c

Это наиболее распространенное выражение в укороченном типе с квадратными корнями. Как решить нечто похожее в этом случае? Для этого надо разложить левую часть на множители. Алгоритм решения следующий, и обычно не меняется:

1. Раскладываем выражение как x*(ax+b), равное нулю.
2. Так как выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен ему, то запишем следующую систему уравнений в виде x и ax+b=0.
3. Первое решение так и пишется x=0. Второе равенство линейное и решается как равное -b/a.

В качестве примера приведем следующее равенство: x2+18x=0. Раскладываем его в виде x*(x+18)=0. Получаем x=0 и -18. Оба решения являются правильными и подойдут под результат. Также решаются и остальные выражения, относящиеся к неполным квадратным уравнениям такого вида.

ax2+c=0 при b равном нулю

Не такой частый, но встречающийся тип квадратного выражения. Здесь имеются два корня, отличающиеся лишь знаками, в крайнем случае корней не имеется вообще.

План действий для решения такого выражения разберем на следующем примере:

1. Имеем уравнение x2−49=0 или аналогичное ему.
2. Раскладываем его как (x-7)*(x+7)=0.
3. Получаем решение типа x=7 и -7.
4. Записываем ответ в виде двух корней.

А вот при одинаковых знаках в записи решения не будет в принципе. Например, для выражения 25×2+1=0 не имеется ответа, потому что сумма положительных чисел никогда не может равняться нулю.

В школьном курсе алгебры эти равенства стараются решить так, чтобы прийти к формату x2=d. То есть 9×2−2 равно нулю. Тогда x2=2/9, а ответом послужат два одинаковых корня с разными знаками.

Особый вид уравнения

Имеется также один особый тип укороченного выражения. Он имеет следующий вид ax2, которое равно нулю. У таких уравнений имеется решение в виде единственного корня. В учебниках есть указание, что решение состоит в виде двух корней, каждый из которых равен нулю.

Другие способы решения неполных уравнений

Любое подобное выражение в квадрате можно решить, не применяя формулу квадратных корней. К таким видам решения называют формулу сокращенного умножения и правило деления на число.

Допустим, выражение 5×2=0. В этом выражении только умножение на ноль даст результат, а значит, единственный ответ здесь x=0.

Теперь возьмем выражение вида 5×2=125. Делим обе части уравнения на 5. Получим следующий промежуточный результат: x2=25. Переносим все в левую часть и получится x2−25=0. Затем используем формулу разности квадратов в виде (x-5)*(x+5)=0. Получаем итоговый результат в виде x=5 или x=-5.

Далее разберем, как решить вышеописанными способами равенство 16*x2-x=0. Выносится общий множитель за скобки x*(16x-1)=0. Получается два варианта ответа: x=0 и 16x=1. После этого делим каждую часть на 16, в итоге получаем x=1/16. Записываем итоговый ответ в виде x1=0 и x2=1/16.

Стоит отметить, что если вы не знаете, как применить формулы сокращенного умножения или деления на число, то лучше применить способ решения такого выражения согласно стандартным правилам решения квадратного уравнения. Каким именно методом решить данные квадратные выражения, выбирает сам человек. Иногда самые очевидные способы решения не подойдут для определенного примера, может и вовсе не оказаться конкретных ответов. Также не является обязательным такой вариант, как стандартные целые числа.

Здесь могут быть и иррациональные числа, а также дробные. Все будет зависеть от конкретного выражения.

Не являющиеся полными примеры по типу квадрата, несмотря на свое название, решаются достаточно просто. Можно применить как стандартные методы нахождения ответа, например, квадратные корни, так и формулы сокращенного умножения, а также деления на число.

При этом нельзя сказать, что какой-либо из вышеописанных способов является универсальным. Под каждое конкретное уравнение подбирается свой способ нахождения ответа. Не забывайте также о том, что не все такие квадратные равенства имеют ответ, иногда у них нет корней вовсе. Это верно, если оба числа являются положительными, а их сумма не может равняться нулю.

Видео

Из видео вы узнаете способы решения неполных квадратных уравнений.

liveposts.ru

Неполные квадратные уравнения

Задача: ширина прямоугольника на 10 см меньше длины, а его площадь равна 39 см². Определить длину прямоугольника?

Составим уравнение:

Пусть 𝑥 см – длина прямоугольника. Тогда (𝑥−10) см – ширина прямоугольника. Известно, что  – площадь прямоугольника. Составим уравнение:

При решении данной задачи, мы столкнулись с вами с уравнением .

Его называют квадратным уравнением. Обратите внимание, наибольшая степень переменной х в этом уравнении – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида , где  – переменная, ,  и  – некоторые числа, причём .

Например уравнения:

Каждое из этих уравнений является квадратным, т.к. каждое из них имеет вид: .

Нужно отметить ещё, что квадратное уравнение называют и уравнением второй степени, т.к. его левая часть есть многочлен второй степени.

Если 𝒂=𝟎, то . В квадратном уравнении коэффициент .

В определении сказано, что а не равно нулю. Почему так? Если а равно нулю, то мы получим обычное линейное уравнение. Поэтому коэффициент а в квадратном уравнении должен всегда присутствовать.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при  равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

 Например: приведёнными квадратными уравнениями будут:

Если в квадратном уравнении  хотя бы один из коэффициентов  или  равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например: неполными квадратными уравнениями будут:

Вообще неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

Рассмотрим, как решают уравнения каждого вида.

Пример 1: решить уравнения.

Вывод: для решения неполного квадратного уравнения вида: , где , надо:

1. Перенести свободный член в правую часть.

2. Разделить обе части уравнения на коэффициент .

Т.к. , то и .

Если выражение , то уравнение имеет два корня:  и .

Если выражение , то уравнение не имеет корней.

Пример 2: решить уравнения.

Вывод:  для решения неполного уравнения вида: , где , надо:

1. Разложить его левую часть на множители.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

 или  

2. Решить уравнение

Следовательно, корнями уравнения , где , будут:  и .

Пример 3: решить уравнение.

Вывод: неполное уравнение вида  равносильно уравнению  и поэтому имеет единственный корень .

Итоги:

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где  – переменная, ,  и  – некоторые числа, причём .

Числа ,  и  – коэффициенты квадратного уравнения.

Число  называют первым коэффициентом, число  – вторым коэффициентом и число  – свободным членом.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при  равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Если в квадратном уравнении  хотя бы один из коэффициентов  или  равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1.                ах² + с = 0,

2.                ах² + bх = 0,

3.                ах² = 0.

Причём уравнения 1-ого вида имеют два корня, если выражение  и не имеют корней, если . Уравнения второго вида имеют корни число 0 и а. А уравнение 3-его вида имеет единственный корень число 0.

videouroki.net

Неполные квадратные уравнения. 8-й класс

Цели урока:

• Образовательные:
  • сформировать понятие о квадратном уравнении вида ax² + bx + с = 0;
  • его коэффициентах а и b и свободном члене с;
  • познакомить учащихся с приведенным квадратным уравнением;
  • изучить определение неполного квадратного уравнения;
  • вырабатывать навыки решения неполных квадратных уравнений.
• Развивающие:
  • развитие логического мышления, памяти, внимания;
  • развитие умения сравнивать, обобщать, формулировать учебно-познавательную мотивацию с помощью интересных задач.
• Воспитательные: воспитание трудолюбия, математической культуры.

Оборудование: портрет Софьи Ковалевской.

ХОД УРОКА

I.  Организационный момент

Сообщение темы и целей урока.

II. Проверка домашней работы

1. Устно:

а) Что называется уравнением?
б) Что называется корнем уравнения?
в) Что значит решить уравнение?

2. Является ли число корнем уравнения?

а) 2х² – 18 = 0;  – 3 (да)
б) 6х – 3х² = 0;  – 2 (нет)
в) х² – 6х + 8 = 0; 2 (да)

3. Доказать, что уравнение 12 + х² = 0 не имеет корней

Вопрос:  Что общего есть в этих уравнениях? (В уравнениях а, б, в, г наибольшая степень у переменной –  вторая, квадрат, отсюда и название у этих уравнений – квадратные)

III. Изучение нового материала путем самостоятельной работы с учебником по плану

1. План (к п.21)

а) Определение квадратного уравнения
б) Название чисел a, b, c
в) Приведенное квадратное уравнение
г) Определение неполного квадратного уравнения.

2. Ответы на вопросы плана (по каждому вопросу плана привлекать ранее данные уравнения в устном счете)

3. Решение  неполных квадратных уравнений в общем виде.

Вместе с учителем учащиеся записывают в тетрадях решение каждого вида:

Один корень (оба корня равны 0). Решение уравнений такого вида мы и рассматривали ранее.

Вывод:  Неполное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень, не иметь корней.

4. Назовите вид неполного квадратного уравнения, в котором:

а) один из корней равен 0

Ответ:  ax² + bx = 0

б) корни равны по модулю, но противоположны по знаку

Ответ:  ax² + c = 0

в) оба корня равны нулю

Ответ:  ax² = 0

– Тема «Квадратные уравнения» очень важная и нужная. Без неё невозможно движение дальше в математике. На уроках геометрии нам также придется очень часто обращаться к квадратным уравнениям, на уроках геометрии – квадратное уравнение не редкий гость.
Но не только мы с вами не можем дальше продвигаться в математике без квадратных уравнений. Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во  II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически. Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям, рассматривались во многих математических рукописях и трактатах.

IV. Закрепление нового материала

У доски:

№ 515 (в, г, д, е) – двумя способами
№ 517 (в, г, б)

– Ребята! Приближается юбилей первой русской женщины – математика Софьи Валерьевны Ковалевской, 160 лет со дня ее рождения. В 1850 году в России на математическом небосводе вспыхнула звезда, свет от которой чистый и сильный дошел и до нас. Через столько лет!
Мы, с вами решая квадратные уравнения, назовем число и месяц рождения  (выбрать только один корень)

V. Задание на дом: П.21, учить по тетради. № 518, № 521 (в, г), № 523 (а)

Сообщение о Софье Ковалевской – на 2 минуты

VI. Самостоятельно:

Проверка самостоятельной работы ведётся с помощью доски с отворотами, где учащиеся по желанию решают по вариантам уравнения.

VII. Итоги урока

– По какой теме работали?
– Что нового узнали?

№ 512: Какие из этих уравнений не являются квадратными?

Ответ: б), г)

№ 513: Назвать неполные квадратные уравнения

Найти корни

а) х² – 2х = 0
б) 2х² – 32 = 0
в) 1,5х² + 7,5 = 0
г) 0,03х² = 0

Выставляются оценки.

Вы все трудились, кто как мог.
Спасибо, дети за урок!

Учебник «Алгебра  8 класс для общеобразовательных учреждений» / [Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, СБ. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2009.

urok.1sept.ru