Неравенства

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

 Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

 

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax² + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Будем считать, что a>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x — x₁) (x — x₂) > 0 (< 0).

2. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
3. Определить знак a (x — x₁) (x — x₂) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Примеры:

• Решить неравенство. x² + x — 6 > 0.

Решение.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x — 2) > 0

Ответ: x  (-∞; -3)  (2; +∞).

2) (x — 6)² > 0

Решение:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6)  (6; +∞).      

3) x² + 4x + 15 < 0.

Решение:

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х — 2х² < 0.                              Ответ:
2. 3х² — 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² — 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² — 12х + 18 > 0.          Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

      x² — ax >  выполняется для любых х?               Ответ:

1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a_n (x — x₁) (x — x₂) ·…· (x — x_n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

Примеры:

1) Решить неравенство x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x < 0.

Решение:

x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x = x (x³ — 6x² + 11x -6) = x (x³ — x² — 5x² + 5x +6x — 6) =x (x — 1)( x² -5x + 6) =

x (x — 1) (x — 2) (x — 3). Итак, x (x — 1) (x — 2) (x — 3)<0

Ответ: (0; 1)  (2; 3).

2) Решить неравенство  (x -1)⁵ (x + 2) (x — ½)⁷ (2x + 1)⁴ <0.

Решение:

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х =  ½, х = — ½.

В точке х = — ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1)⁴ не меняет знак при переходе через точку х = — ½.

Ответ: (-∞; -2)  (½; 1).

3) Решить неравенство: х² (х + 2) (х — 3) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

 Решением (1) является х  (-∞; -2)  (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Ответ: х  (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Решить неравенства:

1. (5х — 1) (2 — 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
2. x³ + 5x² +3x — 9 ≤ 0. Ответ:
3. (x — 3) (x — 1)² (3x — 6 — x²) < 0. Ответ:
4. (x² -x)² + 3 (x² — x) + 2 ≥ 0. Ответ:

III. Дробно-рациональные неравенства.

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде

 > 0 (<0).

3. Найти значения х, при которых функция y=может менять свой знак. Это корни уравнений
4. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.
5. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.
6. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Примеры.

1). Решить неравенство .

Решение:  > 0, > 0,  > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки  в каждом промежутке   

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда  < 0.

               Выбираем х = 4 (3; 5).

Получаем  > 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем   < 0.

Ответ: х (1; 3)  (3; 5).

2). Найти сумму целых решений неравенства.

Решение. Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х = -1, х=8, х = 3, х= 5.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знак дроби в каждом промежутке, вычисляя значение этой дроби в произвольной точке каждого промежутка.

Решением исходного неравенства является

х [-1, 3)  (3; 5)  {8}. Найдем сумму целых решений: -1 +1+0+ 2 + 4 + 8 = =14.

Ответ: 14.

 

ya-znau.ru

Свойства числовых неравенств | Формулы с примерами

Основные свойства числовых неравенств 8, 9 класс

Свойство 1
1. Если   a > b   то   b

Если   a    то   b > a

Примеры
1)  20 > 1,5, следовательно 1,5

2)  -4 -4.

Свойство 2
2.  Если  a   и  b   то  a

Если  a > b  и  b > c  то  a > c

Свойство 3
3.  Если a и c — любое число, то a + c

Если a > b и c — любое число, то a + c > b + c

Примеры
1)  13

2) 13 — 100

3)  54 — 41,6 > -12,6 + 15 54 — 15 > -12,6 + 41,6.

Свойство 4
4.  Если  a   и  c > 0  то  ac   ac bc.

Если a   и  c   то  ac > bc  ac >  bc.

Примеры
1)  2

2)  22 122;

3)  2 • (-3) > 12 • (-3).

4)  3 13 >  15;

5)  -2 > -7, значит —

12 17.

formula-xyz.ru

Рациональные неравенства — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к решению рациональных неравенств

К оглавлению…

При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак «меньше» на знак «больше» или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.

В линейных и в любых других рациональных неравенствах ни в коем случае нельзя домножать или делить левую или правую части неравенства на выражения, содержащие переменную

(кроме случаев, когда данное выражение положительно либо отрицательно на всей числовой оси, в этом случае при делении на всегда отрицательное выражение знак неравенства нужно поменять, а при делении на всегда положительное выражение знак неравенства нужно сохранить).

Решение неравенств вида:

Проводится с помощью метода интервалов, который состоит в следующем:

1. Изображаем координатную прямую, на которую наносим все числа a_i. Эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на (n+1) промежутков знакопостоянства функции f(x).
2. Таким образом, определив знак f(x) в любой точке каждого промежутка (обычно эта точка выбирается из удобства арифметических действий), определяем знак функции на каждом промежутке. Главное при этом не подставлять в функцию сами границы промежутков.
3. Выписываем в ответ все те промежутки, знак функции на которых соответствуют основному условию неравенства.

Нужно также отметить, что не обязательно исследовать знак функции на каждом промежутке подстановкой некоторого значения из этого промежутка. Достаточно определить таким образом знак функции только на одном промежутке (обычно на крайнем правом), а затем двигаясь от этого промежутка влево вдоль числовой оси можно чередовать знаки промежутков по принципу:

• Если скобка из которой взялось число через которое мы переходим стоит в нечетной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства меняется.
• А если соответствующая скобка стоит в четной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства не меняется.

При этом нужно учитывать еще и следующие замечания:

• В строгих неравенствах (знаки «меньше» или «больше») границы промежутков никогда не входят в ответ, а на числовой оси они изображаются выколотыми точками.
• В нестрогих неравенствах (знаки «меньше либо равно» или «больше либо равно») те границы промежутков, которые взяты из числителя всегда входят в ответ и изображаются закрашенными точками (так как в этих точках функция действительно обращается в ноль, что удовлетворяет условию).
• А вот границы взятые из знаменателя в нестрогих неравенствах всегда изображаются выколотыми точками и в ответ никогда не входят (так как в этих точках в ноль обращается знаменатель, что недопустимо).
• Во всех неравенствах если одна и та же скобка есть и в числителе и в знаменателе, то сокращать на эту скобку нельзя. Нужно изобразить соответствующую ей точку выколотой на оси, и не забыть исключить из ответа. При этом при чередовании знаков промежутков, проходя через эту точку знак менять не нужно.

Итак еще раз самое важное: при записи окончательного ответа в неравенствах не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (это корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.

При решении рациональных неравенств более сложного вида чем указан выше, необходимо сначала алгебраическими преобразованиями свести их именно к такому виду, а затем применить метод интервалов с учетом всех уже описанных тонкостей. Таким образом, можно предложить следующий алгоритм для решения рациональных неравенств:

1. Все слагаемые, дроби и другие выражения необходимо перенести в левую часть неравенства.
2. При необходимости привести дроби к общему знаменателю.
3. Разложить числитель и знаменатель полученной дроби на множители.
4. Решить полученное неравенство методом интервалов.

При этом при решении рациональных неравенств не допускается:

1. Перемножать дроби «крест-накрест».
2. Как и в уравнениях, нельзя сокращать множители с переменной с обеих сторон неравенства. Если такие множители есть, то после переноса всех выражений в левую часть неравенства их нужно вынести за скобки, а затем учесть те точки которые они дадут после окончательного разложения полученного выражения на множители.
3. Отдельно рассматривать числитель и знаменатель дроби.

Как и в остальных темах по математике, при решении рациональных неравенств можно применять метод замены переменной. Главное не забывать, что после введения замены, новое выражение должно стать проще и не содержать старой переменной. Кроме того, нужно не забывать выполнять обратную замену.

При решении систем рациональных неравенств нужно по очереди решить все неравенства входящие в систему. Система требует выполнения двух и более условий, причем мы ищем те значения неизвестной величины, которые удовлетворяют сразу всем условиям. Поэтому, в ответе системы неравенств нужно указать общие части всех решений отдельных неравенств (или общие части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

При решении совокупностей рациональных неравенств также по очереди решают каждое из неравенств. Совокупность требует нахождения всех значений переменной, удовлетворяющих хотя бы одному из условий. То есть любому из условий, нескольким условиям или всем условиям вместе. В ответе совокупности неравенств указывают все части всех решений отдельных неравенств (или все части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

 

Решение некоторых типов неравенств с модулями

К оглавлению…

Неравенства с модулями можно и нужно решать последовательно раскрывая модули на промежутках их знакопостоянства. Таким образом, нужно поступать примерно также как при решении уравнений с модулями (об этом ниже). Но есть несколько относительно простых случаев в которых решение неравенства с модулем сводится к более простому алгоритму. Так например, решение неравенства вида:

Сводится к решению системы:

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной системой:

Ну а если в аналогичном неравенстве заменить знак «меньше» на «больше»:

То его решение сводится уже к решению совокупности:

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной совокупностью:

Таким образом, необходимо запомнить, что для неравенства «модуль меньше» мы получаем систему, где должны одновременно выполняться оба условия, а для неравенства «модуль больше» мы получаем совокупность, в которой должно выполняться любое из условий.

При решении рациональных неравенств с модулем вида:

Целесообразно переходить к следующему равносильному рациональному неравенству без модуля:

Такое неравенство нельзя решать извлечением корня (если по-честному извлекать корень, то снова нужно поставить модули, и Вы вернетесь к началу, если про модули забыть, это равносильно тому, чтобы в самом начале про них просто забыть, а это, конечно, ошибка). Все скобки нужно перенести налево и, ни в коем случае не раскрывая скобки, применить формулу разности квадратов.

Еще раз повторимся, что для решения всех других типов неравенств с модулями кроме указанных выше нужно раскрывать все модули входящие в неравенство на промежутках их знакопостоянства и решать полученные неравенства. Напомним подробнее общий смысл этого алгоритма:

• Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
• Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение переменной из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения переменной, которые легко подставлять.
• Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном неравенстве в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное рациональное неравенство с учетом всех правил и тонкостей решения обычных неравенств без модулей.
• Решение каждого из неравенств полученных на конкретном промежутке объединяем в систему с самим промежутком, а все такие системы объединяем в совокупность. Таким образом из решений всех неравенств выбираем только те части которые вошли в промежуток, на котором было получено данное неравенство, и записываем все эти части в итоговый ответ.

educon.by

Некоторые моменты о том, как выполняется решение неравенств :: SYL.ru

Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.

Свойства, которые потребуются для нахождения ответа

Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.

• Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
• Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
• Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
• Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.

Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.

Использование метода интервалов

Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.

1. Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
2. Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
3. Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
4. На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
5. Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
6. Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
7. Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.

Немного о двойных неравенствах

Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.

Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.

Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?

В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».

Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:

• |х| < a на -a < х < a;
• |х| > a на х < -a или х > a.

Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».

Как осуществляется решение системы неравенств?

Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.

План, по которому выполняется решение системы неравенств:

• решить каждое из них отдельно;
• изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
• записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.

Как быть с дробными неравенствами?

Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.

Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:

• Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
• Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
• Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
• Определить интервалы знакопостоянства.
• В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.

Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность

Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.

Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.

Исходное неравенство	условие	равносильная система
√ n(х) < m(х)	m(х) меньше или равно 0	решений нет
	m(х) больше 0	n(х) больше или равно 0 n(х) < (m(х))2
√ n(х) > m(х)		m(х) больше или равно 0 n(х) > (m(х))2
		или n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0
√n(х) ≤ m(х)	m(х) меньше 0	решений нет
	m(х) больше или равно 0	n(х) больше или равно 0 n(х) ≤ (m(х))2
√n(х) ≥ m(х)		m(х) больше или равно 0 n(х) ≥ (m(х))2
		или n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0
√ n(х) < √ m(х)		n(х) больше или равно 0 n(х) меньше m(х)
√n(х) * m(х) < 0		n(х) больше 0 m(х) меньше 0
√n(х) * m(х) > 0		n(х) больше 0 m(х) больше 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(х) больше 0 m(х) ≤0
		или n(х) равно 0 m(х) –любое
√n(х) * m(х) ≥ 0		n(х) больше 0 m(х) ≥0
		или n(х) равно 0 m(х) –любое

Примеры решения разных видов неравенств

Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.

Первый пример. 2х — 4 > 1 + х

Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.

Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х — 4 — (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х — 5 > 0.

Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.

Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.

На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.

Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).

Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х — 2 ≤ 4х + 2.

Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.

Дальше действовать нужно поэтапно. Сначала преобразовать первое из неравенств и приравнять его к нулю. 3х + 3 — 2х — 1 = 0. То есть х + 2 = 0. Таким образом, х равен -2.

Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х — 2 — 4х — 2 = 0. После преобразования: -х — 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.

Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.

Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».

На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.

Из трех интервалов решением неравенства является только один.

Ответ: х принадлежит [-4; -2].

Третий пример. |1 — х| > 2 |х — 1|.

Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.

На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».

Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.

Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.

С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.

На первом получается такое неравенство: 2 — х > — 2 (х — 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.

После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.

На втором: 2 — х > 2 (х — 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.

Последний дает такую запись неравенства: — (2 — х) > 2 (х — 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.

На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 — 1| > 2 |1 — 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.

Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).

www.syl.ru

ТЕОРИЯ

1. Справочный материал

2. Решение неравенств

 

Определение и основные свойства неравенств.

Определения:

Неравенствами называют выражения вида  a<b (a≤ b) ,a>b (a≥b),

где a и b могут быть числами или функциями.

 Символы <(≤), >(≥) называются знаками неравенства и читаются соответственно :

меньше(меньше или равно) ,больше(больше или равно).

Неравенства , которые записываются с помощью знаков >  и <,называются строгими,

а неравенства, в записи которых участвуют знаки ≥ и ≤,- нестрогими.

Неравенства  вида a<x<b (a≤x≤b) называются двойными неравенствами  

и читаются соответственно :x больше a,но меньше b (x больше или равно a,но меньше или равно b ).

Различают два вида неравенств: числовые (2>0,7 ;½<6) и неравенства с переменной (5x-40>0 ; x²-2x<0).

Свойства числовых неравенств :

• Если a>b , то  b<a; если a<b,  то  b>a.
• Если a<b и b<c, то a<c.
• Если a<b и c-любое число, то a +c<b+c.
• Если a<b и c>0,то ac<bc. Если a<b и c<0,то ac>bc.
• Если a<b и c<d,то a +c<b +d.
• Если a<b и c<d,где a, b, c, d-положительные числа, то ac<bd.

 Числовые промежутки

 

Вверх

 Основные определения и свойства.

 

Определения:

 Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной,

 которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1)  Если из одной части неравенства перенести в

другую слагаемое с противоположным знаком,

то получится равносильное ему неравенство.

2)  Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же положительное число,

то получится равносильное ему неравенство.

3)    Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же отрицательное число,

 изменив при этом знак неравенства на противоположный,

то получится равносильное ему неравенство.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным неравенствам.

Неравенства  вида ах>b ( ах <b ,ax≤b или ax≥b), где а и b — некоторые числа,

называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если a>0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству

  и множество решений неравенства есть промежуток

Если a<0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству

  и множество решений неравенства есть промежуток

неравенство примет вид 0∙x>b, т.е. оно не имеет решений ,если b≥0,

 и верно при любых x ,если b<0.

Аналитический способ решения неравенств с одной переменной.

Алгоритм решения неравенства с одной переменной

• Преобразовать обе части неравенства.
• Привести подобные слагаемые.
• Привести неравенства к простейшему виду, на основании свойств неравенств.
• Записать ответ.

 

Приведем примеры решения неравенств .

Пример  1. Решить неравенство 3x≤15.

Решение:

Обе части неравенства

разделим на положительное число 3 (свойство 2) : x≤5.

Множество решений неравенства представляет собой числовой промежуток  (-∞;5].

Ответ :(-∞;5]

Пример  2. Решить неравенство -10x≥34.

 Решение:

Обе части неравенстваразделим на отрицательное  число -10  ,

при этом знак неравенства изменим на противоположный (свойство 3) : x≤-3,4.

 

Множество решений неравенства представляет собой промежуток  (-∞;-3,4].

Ответ : (-∞;-3,4].

Пример  3. Решить неравенство 18+6x>0.

 Решение:

Перенесем слагаемое 18 с противоположным знаком в левую часть неравенства (свойство 1): 6x>-18.

Разделим обе части на 6  (свойство 2) :

 x>-3.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-3;+∞).

Ответ : (-3;+∞).

Пример  4.Решить неравенство 3(x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.

Решение:

 Раскроем скобки : 3x-6-4x-8<2x-6-2.

Перенесем члены ,содержащие неизвестное ,в левую часть ,

а члены не содержащие неизвестное , в правую часть (свойство 1):

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Приведем подобные члены: -3x<6.

Разделим обе части на -3 (свойство 3) :

x>-2.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-2;+∞).

Ответ : (-2;+∞).

Пример  5. Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей,

 входящих в неравенство, т. е. на 6 (свойство 2).

Получим:

,

2x-3x≤12.

Отсюда , —x≤12  ,   x≥-12.

Ответ : [-12;+∞).

Пример  6. Решить   неравенство  3(2-x)-2>5-3x.

Решение:

Упростим неравенство ,раскрыв скобки:

6-3x-2>5-3x,   4-3x>5-3x,   -3x+3x>5-4.

Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0∙x>1.

Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении x

оно обращается в числовое неравенство 0 < 1, не являющееся верным.

Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.

Ответ : решений нет. 

Пример  7.Решить   неравенство  2(x+1)+5>3-(1-2x).

Решение:

Упростим неравенство ,раскрыв скобки:

2x+2+5>3-1+2x,  2x+7>2+2x,2x-2x>2-7,   0∙x>-5.

Полученное неравенство является верным при любом значении  x,

так как левая часть при любом x равна нулю, а 0>-5.

Множеством решения неравенства является промежуток (-∞;+∞).

Ответ : (-∞;+∞).

Пример  8. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a)

b)

Решение:

а)По определению арифметического квадратного корня

 должно выполнятся следующее неравенство 5x-3≥0.

Решая, получаем  5x≥3, x≥0,6.

Итак, данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка [0,6;+∞).

Ответ : [0,6;+∞).

б)С учетом свойств арифметического квадратного корня и знаменателя дроби

должно выполнятся следующее неравенство  2-3x>0.

Отсюда ,-3x>-2 (свойство 3), x<2/3.

Данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка  (-∞;2/3).

Ответ :(-∞;2/3).

Пример  9.При каких значениях a квадратное уравнение x-8x²-4a=0 имеет два корня ?

Решение:

Квадратное уравнение будет иметь два корня ,если дискриминант D будет больше нуля.

D=(-8)²-4∙(-4a)=64+16a,

64+16a>0,

 16a>-64,

a>-4.

Таким образом , при всех значениях a из промежутка (-∞;-4)

 данное квадратное уравнение будет иметь два корня.

Ответ : при всех  a из промежутка (-∞;-4) .

Пример  10.Решите задачу:

В одном бассейне налито 100 л воды, а во втором 150 л воды.

Каждый час в первый бассейн вливается 15 л воды, а во второй — 5 л воды.

В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

Решение:

 Пусть за x ч в первый бассейн вольется 15x л воды и в нем станет 100+15x л воды.

Тогда  через x ч во втором бассейне будет 150+5x л воды.

Надо найти такие значения x , для которых выполняется неравенство

100+15x>150+5x.

Преобразовав ,получаем

15x-5x>150-100,

10x>50,

x>5.

Итак ,в первом бассейне окажется больше воды ,чем во втором, при x>5,

т.е. после 5ч с начала вливания воды.

Ответ : после 5ч с начала вливания воды.

Пример  11. При каких  значениях x значения функции Y=-1/3x+8 принадлежит промежутку  (-1,1)?

Решение: -1<-1/3x+8<1,

-9<-1/3x<7,

27>x>21,

21<x<27.

Ответ : (21;27).

Вопросы.

 

1.   Что  называется     неравенством   первой   степени   с  одним   неизвестным?

2.  Что называется решением неравенства с одним неизвестным?

3.  Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

4.  Каким способом можно решить неравенство первой степени с одним неизвестным?

 

.Графический способ решения неравенств с одной переменной.

Покажем, как можно, применяя графический метод, решить неравенства вида

kx+ b> 0                                         (1)

или

kx + b<0,                                        (2)

где k и b — заданные числа и k≠0.

В декартовой  системе координат  Оху  рассмотрим  прямую

y = kx + b.                                        (3)

На рис. 1 изображена такая прямая при k> 0, а на рис. 2 изображена такая прямая при k<0.

рис1.                                                                                                  рис.2.         

 

Решить неравенство (1) — это значит найти все решения х,

для которых прямая y = kx-b расположена выше оси х.

Здесь важную  роль  играет  точка  А  пересечения  прямой   (3)   с  осью  х.

Абсциссу точки А обозначим через x_o. Так как ее ордината равна нулю, то x_o удовлетворяет уравнению

O = kx_o + b, откуда

x_o=-b/k.

Обратимся к рис. 1, соответствующему случаю k> 0. Мы видим , что прямая y = kx+b

расположена выше оси х для всех х, находящихся правее точки x_o, т. е. для всех х из интервала (-∞, + ∞), и расположена ниже оси х для всех х, находящихся левее точки x_o, т. е. для всех х из интервала (—∞,x_o).

Итак, при k> 0 неравенство (1) выполняется на интервале (x_o, + ∞), а неравенство (2) —на интервале (—∞,x_o).

При k<0, как это видно из рис. 2, неравенство (1) выполняется на интервале (—∞,x_o),

а неравенство (2) — на интервале (x_o, + ∞).

Пример 1. Решить, применяя графический метод, неравенства

2X+1 >0,           (4)                                  

2X+1 <0.            (5)

Решение :

Начертим в декартовой системе координат Оху прямую

у = 2X+1.                                        (6)

рис3.

Для этого нужно знать две ее точки. В качестве первой точки возьмем точку пересечения прямой с осью х. Она все равно будет нужна. Полагая в формуле (6) у = 0, получим уравнение                                                                      

0 = 2х+1.

 Его решение есть абсцисса точки А пересечения прямой с осью х. Итак, А ( —1/2 ,0).

В качестве второй точки можно взять точку В пересечения прямой с осью у. Ее абсцисса X=0, а ордината

 y=2∙0+1, y=1.

Итак, В(0, 1).

Через точки А и В проводим прямую. Это и есть прямая y=2X+1 (рис. 3).

Из рис. 3 видно, что неравенство (4) выполняется на интервале ( — 1/2 , + ∞)  а (5) — на интервале (— ∞, —1/2).

Вопрос.

 

Как можно решать неравенства первой степени, применяя графический метод?

kalach-gimnazia.narod.ru

Свойства неравенств, с примерами

Неравенства отношений называют строгими, неравенства , называют нестрогими.

В неравенства могут сравниваться числа – это числовые неравенства, также неравенство может зависеть от переменной, например, сравнение функций и . Неравенства с переменной могут быть линейными, дробно-линейными, квадратными, логарифмическими, показательными, тригонометрическими и т.д.

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными неравенствами.

Пример.

Решением неравенства называется отыскание всех значений переменной, при котором данное неравенство верно.

Свойства неравенств

1. К обеим частям неравенства можно прибавить или отнять любое выражение:

      

2. Неравенства одного знака можно почленно складывать

      

3. Неравенства разных знаков можно почленно вычитать:

      

4. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и тоже положительное число:

      

5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, то при этом изменится знак неравенства на противоположный:

      

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Иррациональные неравенства и их решение

Определение и формулы иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства в основном решаются возведением обеих частей неравенства в нужную степень. При возведении в степень важно учитывать некоторые особенности. Например, возводить в четную степень можно только те неравенства, у которых обе части неотрицательные.

Виды и примеры решения иррациональных неравенств

Рассмотрим несколько видов иррациональных неравенств.

1. Неравенство . Подкоренная функция должна быть неотрицательной, а функция может быть любой, поэтому заданное неравенство равносильно совокупности неравенств

2. Неравенство . Подкоренная функция должна быть неотрицательна,левая часть неравенства также неотрицательна и меньше, чем правая, а значит . Следовательно, заданное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств

3. Неравенство . Обе подкоренные функции должны быть неотрицательны, т.е. . Возведем в квадрат обе части неравенства и получим . Таким образом, заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

или

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com