Тригонометрические неравенства и их решения

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:

   

   

   

   

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла есть ординатой точки единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Рис. 1

Примеры решения тригонометрических неравенств

Тригонометрические неравенства со сложным аргументом

Тригонометрические неравенства со сложным аргументом можно свести к простейшим тригонометрическим неравенствам с помощью замены. После его решения делается обратная замена и выражается исходная неизвестная.

Двойные тригонометрические неравенства

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Тригонометрические неравенства. Разбор и примеры решения

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹  1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
3. Отметить точки пересечения двух графиков.
4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: 

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2.  На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти.  Углы

 являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

Решаем неравенство с тангенсом – Сайт Александра Бабаева

Как с косинусом и синусом, решать неравенства с тангенсом мы будем с помощью единичной окружности.

Клише для решений неравенства с тангенсом

Алгоритм решения неравенств с тангенсом:

1. перерисовываем клише, изображённое на вышестоящем рисунке;
2. на линии тангенса отмечаем $a$ и проводим до этой точки из начала координат прямую;
3. точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет закрашенной, если неравенство нестрогое и не закрашенное, если строгое;
4. область будет находится снизу от прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и снизу прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
5. для нахождения точки пересечения, достаточно найти арктангенс $a$, т.е. $x_{1}={\rm arctg} a$;
6. в ответ выписывается полученный промежуток, добавляя к концам $+ \pi n$.

Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.

Пример 1: Решить неравенство:

${\rm tg}{x} \leq 1.$

1. Копируем клише.
2. Отметим на линии тангенса координату $1$.
3. Проводим до этой точки из начала координат прямую.
4. Отметим точку пересечения. Она будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.
5. Знак неравенства $\leq$, а, значит, закрашиваем область снизу от прямой, т.е. больший “кусок пирога”.
6. Находим точку пересечения: $x_{1}={\rm arctg}{1}=\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, решение примет вид:

$x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right], \ n \in Z.$

Важно! Точки $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ у тангенса всегда (независимо от знака неравенства) выколоты!

Пример 2: Решить неравенство:

${\rm tg}{x} > – \sqrt{3}.$

Отмечаем на линии тангенса точку $- \sqrt{3}$ и проводим прямую из начала координат до неё. Точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет не закрашенной, так как неравенство строгое. Область будет находится выше прямой и до окружности, так как знак неравенства $>$. найдём точку пересечения:

$x_{1} = {\rm arctg}{\left(-\sqrt{3}\right)} = -\frac{\pi}{3}.$

Таким образом, ответом будет:

$x \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right), \ n \in Z.$

Пример 3: Решить неравенство:

${\rm tg}{\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)} + \sqrt{3} > 0.$

Сейчас применить алгоритм нельзя. Этот пример похож на пример 3 неравенства с синусом или косинусом. И действовать нужно аналогично. Сначала перенесём всё, что не содержит тригонометрической функции в правую часть.

${\rm tg}{\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)} > – \sqrt{3}.$

Теперь же, чтобы применить алгоритм, делаем замену переменной. Всё, что стоит под тригонометрической функцией, обозначаем за новую переменную:

$t=2x-\frac{\pi}{3}$

и получаем неравенство

${\rm tg}{t} > – \sqrt{3},$

которое мы уже решили в примере 2:

$t \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$

Возвращаемся к исходной переменной:

$\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$

Последнее равносильно системе неравенств

$\left\{\begin{array}{c} 2x-\frac{\pi}{3} > -\frac{\pi}{3} + \pi n, \\ 2x-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

решив которую мы получим ответ. Действительно,

$\left\{\begin{array}{c} 2x > \pi n, \\ 2x < \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c} x > \frac{\pi n}{2}, \\ x < \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

И окончательно получаем:

$x \in \left(\frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\right), \ n \in Z.$

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

– Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,

решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.

(Решение неравенств на доске под руководством учителя).

№1. cos²2x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n< х< + p n, n Z.

№2. 6sin²x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t² – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin²x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

Ответ:

2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z.

Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:

00025165926425165824000000000012516582401

№4. coscosx – sinsinx< -.

(Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).

cos(x + ) < -, cost< -.

+ 2p n< t< + 2p n, n Z,

+ 2p n< x + < + 2p n, n Z,

+ 2p n< x< + 2p n, n Z.

Ответ:

+ 2p n < x < + 2p n, n Z.

№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение.

(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).

4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ()² + ()² = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Обратим внимание на несколько задач.

Задача 1.

Решить неравенство cos x > 1/2.

Решение.

По определению косинуса cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство cos x > 1/2, нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеют абсциссу, большую 1/2.

Абсциссу, равную 1/2, имеют две точки единичной окружности М₁ и М₂.

Точка М₁ получается поворотом точки Р (0; 1) на угол -π/3, а также на углы -π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …; точка М₂ – поворотом на угол π/3, а также на углы π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …

Абсциссу, большую 1/2, имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М₁М₂. Таким образом, решениями неравенства  cos x > 1/2 являются все числа х из промежутка -π/3 < х < π/3.

Ответ. Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < х < π/3 + 2πn, n € Z.

Задача 2.

Решить неравенство cos x ≤ 1/2.

Решение.

Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М₁ММ₂ единичной окружности. Поэтому решениями неравенства cos x ≤ 1/2 являются числа х, которые принадлежат промежутку π/3 ≤ х ≤ 5π/3.

Ответ. Все решения данного неравенства – множество отрезков π/3 + 2πn ≤ х ≤ 5π/3 + 2πn, n € Z.

Задача 3.

Решить неравенство sin x ≥ -1/2. 

Решение.

Ординату, не меньшую -1/2, имеют все точки дуги М₁ММ₂  единичной окружности. Поэтому решениями неравенства sin x ≥ -1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку -π/6 ≤ х ≤ 7π/6. Все решения данного неравенства – множество отрезков -π/6 + 2πn ≤ х ≤ 7π/6 + 2πn, n € Z.

Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой М₁М₂, имеют ординату, меньшую -1/2. Поэтому все числа х € (-5π/6; -π/6) являются решениями неравенства sin x < -1/2.

Ответ. Все решения этого неравенства – интервалы (-5π/6 + 2πn; -π/6 + 2πn), n € Z.

Задача 4.

Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ -(√2/2).

Решение.

Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ -(√2/2), находим
3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n € Z.

Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда
1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.

Ответ. 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА — УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА — АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§25. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА.

 

Неравенства, содержащие неизвестные под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическими неровностями.

Примерами тригонометрических неравенствами являются неравенства

т.д.

К простейшим будем относить неравенства вида и другие, у которых на месте знака > стоит один из знаков ≥, или ≤. Общие формулы для решения этих неравенств являются довольно громоздкими. Поэтому рассмотрим методы решения этих неровностей на примерах. Для наглядности будем использовать единичный круг, линии тангенса и котангенса.

Пример 1. Решить неравенство

Решения. sin t — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу t. Сначала обозначим на единичном круге все точки, ординаты которых больше /2; эти точки находятся выше прямой у = /2 (рис. 39). Множество всех таких точек — дуга l. Если двигаться по этой дуге против движения часовой стрелки, то начальная точка дуги l соответствует углу аrсsin /2 = π/4, а конечная — Углы, соответствующие этим точкам, входят в ответ (поскольку знак неравенства ≥), а потому на рисунке обозначены точки жирно. Таким образом, неравенство sin t ≥ /2 удовлетворяют все значения t такие, что Поскольку синус является функцией периодической с наименьшим положительным периодом 2π, то множество всех решений неравенства получим, добавив к чисел π/4 и 3π/4 числа вида 2πk, k Z. Итак, имеем:

Ответ можно подать и так:

 

 

Пример 2. Решить неравенство

Решения. Обозначим 2х = t, имеем неравенство sиn t -1/2. Обозначим на единичном круге все точки, ординаты которых меньше -1/2, это точки дуги l, которые расположенные ниже прямой у = -1/2 (рис. 40). Конце этой дуги — точки, ординаты которых равны-1/2; углы, соответствующие этим точкам, не входят в ответ, поскольку знак неравенства ““. Поэтому точки на рисунке «выколоты». Если двигаться по дуге l против часовой стрелки, то начальная

точка дуги l соответствует углу a конечная — кута

Учитывая периодичность, имеем:

Возвращаемся к переменной х:

Разделим все три части двойной неравенства на 2. Имеем:

Пример 3. Решить неравенство

Решения. cos t — это абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу t. Обозначим на единичном круге все точки, абсциссы которых меньше /2, эти точки расположены левее прямой х = /2 (рис. 41), образуют дугу l. Углы, которые соответствуют крайним точкам дуги, входящие в ответ (поскольку знак неравенства ≤), поэтому точки на рисунке обозначены жирно. При движении против часовой стрелки начальная точка дуги l соответствует углу arccos /2 = π/6, а конечная — кута

Учитывая периодичность косинуса, получим решения неравенства:

 

 

Пример 4. Решить неравенство

Решения. Обозначим х + π/3 = t, имеем cos t > 1/2. На рисунке 42 выделено соответствующую дугу l, ее конечная точка соответствует углу arccos 1/2 = π/3, a начальная — кута arccos 1/2 = = -π/3. Имеем:

Возвращаемся к переменной х:

Отнимем от трех частей двойной неравенства π/3. Имеем:

 

 

Для иллюстрации решений неровностей, в которых в левой части находится tg t, а в правой — число, ознакомимся с линией тангенсов.

Рассмотрим прямую l, которая является касательной к единичной окружности и проходит через точку (1;0) (рис. 43). Пусть при повороте на угол α начальный радиус ОР₀ переходит в радиус ОВ_α. Пусть прямая ОР_α пересекает прямую l в точке D_α. Тогда ордината точки D_α равен тангенсу α.

 

 

Пример 5. Решить неравенство tg t ≤ .

Решения. Период функции тангенс равен π,поэтому сначала найдем решения неравенства на промежутке (-π/2;π/2), а затем используем периодичность.

Проведем линию тангенсов, tg t — это ордината точки линии тангенсов, что соответствует углу t. Обозначим на линии тангенсов точку, ордината которой равен — точку А (рис. 44). Эта точка соответствует углу а точки линии тангенсов, в которых ординаты меньше , соответствуют углам от -π/2 до π/3. Заметим, что угол π/3 будет входить в ответ (поскольку знак неравенства ≤), а угол -π/2 — не будет, поскольку tg (-π/2) — не существует. Следовательно на промежутке (-π/2;π/2) неравенство tg t ≤ имеет развязки Учитывая периодичность, имеем:

 

 

Пример 6. Решить неравенство tg t ≥ .

Решения. Используя рисунок 44 и периодичность, имеем:

Прямую m, которая проходит через точку (0;1) перпендикулярно к оси ординат, называют линией котангенсів (рис. 45). Абсцисса точки С_α пересечения прямой ОР_α с линией котангенсів равна котангенсу α.

 

 

Пример 7. Решить неравенство ctg t > -1/.

Решение (рис. 46). Используя линию котангенсів, получим решение неравенства на промежутке

Дальше используем периодичность:

 

Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств

Тип урока: дифференцированный, проблемный.

Цель урока: Совершенствование навыков взаимодействия на уроке в группах, решая проблемные задачи. Развитие способности самооценки учащихся. Организация совместной учебной деятельности, дающая возможность формулировать и решать проблемные задачи.

Задачи урока:

1. Образовательная: Повторить алгоритмы решения тригонометрических неравенств; закрепить умения решения тригонометрических неравенств; познакомить учащихся с решением системы тригонометрических неравенств; разработать алгоритм решения системы тригонометрических неравенств; закрепить умение решение системы тригонометрических неравенств
2. Развивающая:
Научить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение. Уметь распознавать и решать проблемные задачи. Проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
3. Воспитательная:
Повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Этапы урока	Время	Методы и приемы
1. Организационное введение. Постановка учебной задачи.	3	Запись темы урока. Рассказ учителя
2. Повторение	16	Повторение алгоритма решения 4-х видов тригонометрических неравенств на слайдах.
3. Работа в группах	20	Самостоятельное решение в группах проблемных задач. В группе “А” одно задание проблемное. В группе “В” два задания проблемные. В группе “С” все задания проблемные.
4. Индивидуальный зачет по проблемной теме	18	Составление алгоритма и решение системы тригонометрических неравенств вида. Демонстрация на слайдах алгоритма решения.
5. Подведение итогов	4	Выделение учителем главного на уроке и определения достижения целей.
6. Матч с компьютером	7	Просматривается слайд с заготовленными системами неравенств, случайным образом выбирается система и начинается решение на скорость с компьютером.
7. Домашнее задание	2	Творческое задание: составить и решить систему неравенств.

1. Организационное введение. Постановка учебной задачи. (3 мин)

Класс делятся на три группы, которые объединяют учащихся одного уровня знаний.

I группа “А”	II группа “В”	III группа “С”
Учащиеся обучающиеся условно на “3”	Учащиеся обучающиеся условно на “4”	Учащиеся обучающиеся условно на “5”

Каждый учащийся получает лист личных достижений. Приложение 1

Учитель: Рассмотрите внимательно лист личных достижений. Впишите фамилию, имя и название группы. Тема нашего урока “Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств”. Мы с вами сегодня

-повторим алгоритмы решения тригонометрических неравенств;

— закрепим умение решения тригонометрических неравенств;

-познакомимся с решением системы тригонометрических неравенств;

-разработаем алгоритм решения системы тригонометрических неравенств;

— закрепим умение решение системы тригонометрических неравенств;

— проведем матч с компьютером.

1. Повторение (16 мин)

Повторение алгоритма решения тригонометрических неравенств проводится с помощью слайдов. Учитель перед демонстрацией каждого слайда ставит задачу: “Проговорите алгоритм решения неравенства”, при этом вызывает 4-х учащихся по одному на каждый пункт алгоритма. Каждый учащийся проговаривает содержание одного из пунктов алгоритма и только потом появляется информация на слайде. Возможно, учащийся будет делать свои комментарии, в тексте эта часть ответа выделена курсивом.

(раскрывается 2 лист слайда постепенно шаг за шагом) Приложение 2:

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства .

1. Отметить на оси абсцисс () интервал (решение неравенства ).
2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу (большая дуга).
3. Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
4. Записать общее решение неравенства ().

(раскрывается 3 лист слайда постепенно шаг за шагом):

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

1. Отметить на оси абсцисс () интервал (решение неравенства ).
2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу(меньшая дуга).
3. Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
4. Записать общее решение неравенства ().

(раскрывается 4 лист слайда постепенно шаг за шагом):

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

1. Отметить на оси ординат () интервал (решение неравенства ).
2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу(меньшая дуга).
3. Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
4. Записать общее решение неравенства ().

(раскрывается 5 лист слайда постепенно шаг за шагом):

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

1. Отметить на оси ординат () интервал (решение неравенства ).
2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу (большая дуга).
3. Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
4. Записать общее решение неравенства .

Учитель: Оцените себя в листах личных достижений соответствующим баллом.

2. Работа в группах (20 мин)

Учитель раздает каждому ученику в группе альбомные листы, на которых нарисованы 3 числовые тригонометрические окружности. (Раздаточный материал дифференцированный)

Учитель: Каждому учащемуся надо решить 3 задания. В группе “А” одно задание проблемное (последнее). В группе “В” два задания проблемные (два последних). В группе “С” все задания проблемные. В течении 5 минут учащиеся, помогают друг другу разобраться с заданиями, затем в течении 10 минут учащиеся решают задания самостоятельно и по мере решения выходят к доске и закрепляют свои листочки с решением на доске.

Учитель проверяет по мере их вывешивания. За верно решенное задание ставиться “+”, за не верно решенное задание ставиться “-”. По истечению 10 минут решение прекращается и начинается в течение 5 минут разбор решенных заданий. Разбираются только проблемные задачи, но если есть необходимость, то можно разобрать и остальные задания.

Задания для учащихся по группам

Учитель: Учащиеся соревнуются внутри группы (успевшие вывесить верные задания получают дополнительно за скорость 3 балла). А также соревнуются команды между собой (учащиеся команды получают по 3 балла дополнительно, если в этой команде было больше верно решенных заданий)

Учитель: Оцените себя в листах личных достижений соответствующим баллом.

Дополнительные баллы за скорость выставляет учитель в последнюю графу.

4. Индивидуальный зачет по проблемной теме (18 мин)

Учитель: Вспомним, как решается система неравенств вида:

Ответ:

Учитель вызывает к доске ученика из группы “С” для решения системы неравенств, учащиеся из группы “В” озвучивают решение с места.

Учитель: Перед каждой группой ставиться проблема в виде решения трех систем тригонометрических неравенств (каждая группа получает одинаковые системы, т.е. все учащиеся в равных условиях).

№1. Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.

1. Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

— Записать общее решение неравенства: .

2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

— Записать общее решение неравенства: .

3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и ; и .

— Записать общее решение системы неравенств:

.

№2 Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.

1. Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

— Записать общее решение неравенства: .

2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : меньшая дуга.

— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

— Записать общее решение неравенства: .

3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и .

— Записать общее решение системы неравенств: .

№3. Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.

1. Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

— Выделить дугу окружности, соответству