Открытые математические проблемы — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 октября 2019; проверки требуют 7 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 октября 2019; проверки требуют 7 правок.

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

• Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?^[1]
• Проблема Варинга. Функция Харди G(n){\displaystyle G(n)} — наименьшее k{\displaystyle k} такое, что уравнение x1n+x2n+⋯+xkn=N{\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=N} разрешимо при N⩾N0(n){\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}. Значения этой функции известны только для n{\displaystyle n} равных 2 и 4.
• Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов?
• Гипотеза Била. Верно ли, что если Ax+By=Cz,{\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},} где A,B,C,x,y,z{\displaystyle A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z} — натуральные и x,y,z>2{\displaystyle x,\;y,\;z>2}, то A,B,C{\displaystyle A,\;B,\;C} имеют общий простой делитель?
• Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1{\displaystyle 3n+1}).
• Гипотеза Эрдёша. Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии?
• Числа ван дер Вардена. При каком наименьшем N{\displaystyle N} при любом разбиении множества {1,2,…,N}{\displaystyle \{1,\;2,\;\ldots ,\;N\}} на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?^[2]
• Существует ли параллелепипед Эйлера (параллелепипед со всеми целочисленными рёбрами и лицевыми диагоналями), главная диагональ которого также имеет целую длину?^[3]

• В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
• На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?^[4][5]
• Существует ли такая константа A{\displaystyle A}, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь A{\displaystyle A}, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?^[6]
• Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?^[7]
• Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?^[8][9]
• Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?^[9][10]
• Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
• У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?
  [11]
• Даны положительные действительные числа S0,…,Sn{\displaystyle S_{0},\;\ldots ,\;S_{n}}. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?^{[источник не указан 706 дней]}
• Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?^[12]
• При каком минимальном V{\displaystyle V} любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма V?{\displaystyle V?}^[13]
• Чему равно хроматическое число n{\displaystyle n}-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера).
• Задача Томсона. Как разместить n{\displaystyle n} одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для n=2,3,4,6,12{\displaystyle n=2,\;3,\;4,\;6,\;12})^[14]. Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из n{\displaystyle n} точек?
• Как разместить n{\displaystyle n} точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?^[15]
• Для каждой пары натуральных чисел (n,k){\displaystyle (n,\;k)} найти такое наименьшее действительное число d(n,k){\displaystyle d(n,\;k)}, что любое множество единичного диаметра в n{\displaystyle n}-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k{\displaystyle k} подмножеств диаметром не больше d(n,k){\displaystyle d(n,\;k)}. Задача решена только в нескольких частных случаях
  [16]^[17].
• Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08^[18].
• Задача со счастливым концом. При каком минимальном m{\displaystyle m} среди любых m{\displaystyle m} точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого n{\displaystyle n}-угольника, и верно ли, что m=1+2n−2{\displaystyle m=1+2^{n-2}}? Решение известно только для n<7{\displaystyle n<7}. Результат для n=6{\displaystyle n=6} (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
• Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11^[19].
• В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?^[20]
• Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году^[21][22][23].
• Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?^{[источник не указан 706 дней]}
• Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?^[24][25][26]
• Cуществует ли для каждого многоугольника и ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем ϵ{\displaystyle \epsilon } от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?^[27]

Задачи упаковки[править | править код]

• Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса R{\displaystyle R}?^[28]
• Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?^[29]
• Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?^[29]

Многомерные пространства[править | править код]

• Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?^[7]
• Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
• Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге ^[34].

• Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы H{\displaystyle H} существует поле алгебраических чисел F{\displaystyle \mathbf {F} }, такое что F{\displaystyle \mathbf {F} } является расширением поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } и Gal(F/Q){\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} /\mathbb {Q} )} изоморфна H{\displaystyle H}.^{[источник не указан 2568 дней]}
• Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно^[35].
• Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?^[36]
• Является ли кольцо периодов полем?
• Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?^[37]
• Проблема Л. С. Понтрягина Пусть G{\displaystyle G} — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства Γ{\displaystyle \Gamma }, гомеоморфного n{\displaystyle n} — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства Γ{\displaystyle \Gamma } на единичную сферу Sn{\displaystyle S^{n}} евклидова (n+1){\displaystyle (n+1)} — мерного пространства, при котором группа G{\displaystyle G} переходит в некоторую группу движений сферы Sn{\displaystyle S^{n}}?^[38].
• Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?^[39].
• Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп^[39].
• Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?^[40]
• Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности M{\displaystyle M} иметь мощность 2M{\displaystyle {2}^{M}}?^[41]
• Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?^[42]
• Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца^[43].
• Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге^[44].
• Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество S{\displaystyle S} относительно дополнения в множестве ω{\displaystyle \omega }^[45]
• Формулировки 50{\displaystyle 50} нерешенных проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книге^[46]

Коуровская тетрадь[править | править код]

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках^[47][48][49].

Днестровская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей^[50].

Свердловская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп^[51][52].

Эрлагольская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей^[53].

• Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой Re(z)=1/2{\displaystyle \mathrm {Re} (z)=1/2}?^[54]
• Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
• До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как π{\displaystyle \pi } и e{\displaystyle e}; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π{\displaystyle \pi } бесконечное количество раз.
• Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?^[55]
• Является ли ln⁡2{\displaystyle \ln 2} нормальным числом?^[56]
• Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина, хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа π{\displaystyle \pi }, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
• Сходятся ли ряды ∑n=1∞1n3sin2⁡n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}} и ∑n=1∞1n3cos2⁡n?{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\cos ^{2}n}}?}^[57] Оба ряда имеют спорадически большие значения в числителях, но первый ряд гипотетически сходится около 30,31, а второй — около 43.

Вопросы иррациональности[править | править код]

• Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа π+e,π−e,π⋅e,πe,πe,π2,ln⁡π,ππ,eπ2,2e,ee,eee.{\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}},2^{e},e^{e},e^{e^{e}}.} Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом^{[58][59][60][61][62][63]}.
• Неизвестно, являются ли π{\displaystyle \pi } и e{\displaystyle e} алгебраически независимыми.
• Неизвестно, являются ли nπ{\displaystyle {^{n}\pi }} или ne{\displaystyle {^{n}e}} целыми числами при каком-либо положительном целом n{\displaystyle n} (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли 4π=ππππ{\displaystyle {^{4}\pi }=\pi ^{\pi ^{\pi ^{\pi }}}} целым (это число имеет свыше 10¹⁷ цифр целой части, и прямое вычисление невозможно).
• Неизвестно, может ли nq{\displaystyle {^{n}q}} быть целым, если n{\displaystyle n} — положительное целое число, а q{\displaystyle q} — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях n=1,2,3{\displaystyle n=1,\,2,\,3} ответ отрицателен)^[64].
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения 3x=2,x=1,47668433…{\displaystyle {^{3}x}=2,\,x=1{,}476\;684\;33\dots

Задачи тысячелетия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Задачи тысячелетия — семь математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2019 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена^[⇨].

Гипотеза Пуанкаре[править | править код]

Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману^[1], опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался эту премию принять, как раньше отказался от Филдсовской премии^[2].

Равенство классов P и NP[править | править код]

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

Гипотеза Ходжа[править | править код]

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

Гипотеза Римана[править | править код]

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз)^[3][4].

Теория Янга — Миллса[править | править код]

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G{\displaystyle G} квантовая теория Янга — Миллса для пространства R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую спектральную щель. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса[править | править код]

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера[править | править код]

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

• Задачи тысячелетия (англ.)
• А. М. Вершик «Что полезно математике? Размышления о премиях Clay Millenium»
• Великий вызов тысячелетия в математике (англ.)
• Devlin, Keith J. (2002), The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, ISBN 0-465-01729-0 
• Carlson, James; Jaffe, Arthur & Wiles, Andrew, eds. (2006), The Millennium Prize Problems, Providence, RI: Американское математическое общество и математический институт Клэя, ISBN 978-0-8218-3679-8 

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — Википедия

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть v→(x→,t){\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},\;t)} — трёхмерный вектор скорости жидкости, p(x→,t){\displaystyle p({\vec {x}},\;t)} — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:

∂v→∂t+(v→⋅∇)v→=−1ρ∇p+νΔv→+f→(x→,t),{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t),}

где ν>0{\displaystyle \nu >0} — это кинематическая вязкость, ρ{\displaystyle \rho } — плотность, f→(x→,t){\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},\;t)} — внешняя сила, ∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла и Δ{\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как ∇⋅∇{\displaystyle \nabla \cdot \nabla } или ∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}. Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

v→(x→,t)=(v1(x→,t),v2(x→,t),v3(x→,t)),f→(x→,t)=(f1(x→,t),f2(x→,t),f3(x→,t)),{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},\;t)=(v_{1}({\vec {x}},\;t),\;v_{2}({\vec {x}},\;t),\;v_{3}({\vec {x}},\;t)),\qquad {\vec {f}}({\vec {x}},\;t)=(f_{1}({\vec {x}},\;t),\;f_{2}({\vec {x}},\;t),\;f_{3}({\vec {x}},\;t)),}

то для каждого значения i=1,2,3{\displaystyle i=1,\;2,\;3} получается соответствующее скалярное уравнение:

∂vi∂t+∑j=13vj∂vi∂xj=−1ρ∂p∂xi+ν∑j=13∂2vi∂xj2+fi(x→,t).{\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec {x}},\;t).}

Неизвестными величинами являются скорость v→(x→,t){\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},\;t)} и давление p(x→,t){\displaystyle p({\vec {x}},\;t)}. Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

∇⋅v→=0.{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0.}

Начальные условия[править | править код]

Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде

v→(x→,0)=v0→(x→){\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},0)={\vec {v^{0}}}({\vec {x}})},

где v0→(x→){\displaystyle {\vec {v^{0}}}({\vec {x}})} — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности ∇⋅v0→=0.{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v^{0}}}=0.}

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе T3=R3/Z3{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}} с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Пусть начальная скорость v0→(x){\displaystyle {\vec {v^{0}}}(x)} — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса α{\displaystyle \alpha } и любого K>0{\displaystyle K>0}, существует постоянная Cα,K>0{\displaystyle C_{\alpha ,K}>0} (зависящая только от α{\displaystyle \alpha } и K), такая, что

|∂αv0→(x)|≤C(1+|x→|)K{\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{K}}}\qquad } для всех x∈R3.{\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}

Пусть внешняя сила f→(x→,t){\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)} — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

|∂αf→(x→)|≤C(1+|x→|+t)K{\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad } для всех (x→,t)∈R3×[0,∞).{\displaystyle \qquad ({\vec {x}},t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при |x→|→∞{\displaystyle \vert {\vec {x}}\vert \to \infty }. Требуется выполнение следующих условий:

1. v→(x→,t)∈[C∞(R3×[0,∞))]3,p(x→,t)∈C∞(R3×[0,∞)){\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x}},t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}
2. Существует постоянная E∈(0,∞){\displaystyle E\in (0,\infty )} такая, что ∫R3|v→(x→,t)|2dx<E{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}},t)\vert ^{2}dx<E} для всех t≥0.{\displaystyle t\geq 0\,.}

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Положим f→(x→,t)≡0{\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)\equiv 0}. Для любого начального условия v0→(x→){\displaystyle {\vec {v_{0}}}({\vec {x}})}, удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости v→(x→,t){\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)} и поле давления p(x→,t){\displaystyle p({\vec {x}},t)}, удовлетворяющее условиям 1 и 2.

(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Существуют начальное условие v0→(x→){\displaystyle {\vec {v_{0}}}({\vec {x}})} и внешняя сила f→(x→,t){\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}, такие, что не существует решений v→(x→,t){\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)} и p(x→,t){\displaystyle p({\vec {x}},t)} удовлетворяющих условиям 1 и 2.

На трёхмерном торе[править | править код]

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы^[1], проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке^[2][3]. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям^[4]. В 2014 году была найдена серьезная ошибка в доказательстве, которую признал автор^[5].

В апреле 2016 года математик Шокир Довлатов из Каршинского государственного университета (узб.)русск. сообщил о решении шестой проблемы тысячелетия, которое опубликовал в arXiv.org^[6][7].

Алгоритмически неразрешимая задача — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июля 2019; проверки требует 1 правка. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июля 2019; проверки требует 1 правка.

В теории вычислимости алгоритмически неразрешимой задачей называется задача, имеющая ответ да или нет для каждого объекта из некоторого множества входных данных, для которой (принципиально) не существует алгоритма, который бы, получив любой возможный в качестве входных данных объект, останавливался и давал правильный ответ после конечного числа шагов.

Проблемы, касающиеся абстрактных машин[править | править код]

• Проблема умирающей матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу. Проблема неразрешима даже для n=3 (разрешимость для n=2 является открытым вопросом^[2]).^[3]
• Проблема единичной матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее единичную матрицу. Проблема неразрешима для целочисленных матриц начиная с n=4^[4] и разрешима для n=2^[5] (разрешимость для n=3 является открытым вопросом). Проблема эквивалентна вопросу, является ли матричная полугруппа группой.
• Проблема свободности матричной полугруппы алгоритмически неразрешима для целочисленных матриц начиная с n=3 и открыта для n=2.

Проблемы, алгоритмическая неразрешимость которых не доказана[править | править код]

Для некоторых задач неизвестен алгоритм, решающий их, и по своей природе они похожи на известные алгоритмически неразрешимые задачи. Вопросы об алгоритмической разрешимости таких задач являются открытыми проблемами. Вот некоторые из таких задач:

• Аналог десятой проблемы Гильберта для уравнений степени 3
• Аналог десятой проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах^[8]
• Проблема умирающей матрицы для матриц порядка 2

1. ↑ Life Universal Computer
2. ↑ When is a pair of matrices mortal?
3. ↑ Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero & Nicolas, Francois (2014), «Tighter Undecidability Bounds for Matrix Mortality, Zero-in-the-Corner Problems, and More», arΧiv:1404.0644 [cs.DM] 
4. ↑ Paul C. Bell; Igor Potapov. On the Undecidability of the Identity Correspondence Problem and its Applications for Word and Matrix Semigroups (англ.) // International Journal of Foundations of Computer Science (англ.)русск. : journal. — World Scientific, 2010. — Vol. 21.6. — P. 963—978. — DOI:10.1142/S0129054110007660.
5. ↑ Christian Choffrut; Juhani Karhumäki. Some decision problems on integer matrices. (неопр.) // ITA. — 2005. — Т. 39(1). — С. 125—131. — DOI:10.1051/ita:2005007.
6. ↑ Наличие такого архиватора позволило бы вычислить колмогоровскую сложность произвольной строки, что является алгоритмически неразрешимой задачей.
7. ↑ В частности, он заменял бы любой не останавливающийся алгоритм на тривиальный пустой цикл, а распознавание таких алгоритмов эквивалентно проблеме останова и является алгоритмически неразрешимой задачей.
8. ↑ Успенский В. А., Семёнов А. Л. Решимые и нерешимые алгоритмические проблемы. // Квант, 1985, № 7, с. 9 — 15

Разностное уравнение — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Применяется для описания дискретных систем.

• Наиболее известный пример — это рекуррентное уравнение Гамма-функции

  Γ(z+1)=z⋅Γ(z).{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}

Следует помнить, что Гамма-функция не единственное решение этого разностного уравнения. Например, функция sin⁡(2πz)⋅Γ(z){\displaystyle \sin {(2\pi z})\cdot \Gamma (z)} также удовлетворяет этому уравнению.

• Пример линейного разностного уравнения может быть записан в форме:

s(n)=c1s(n−1)+c2s(n−2)+⋯+cds(n−d),{\displaystyle s(n)=c_{1}s(n-1)+c_{2}s(n-2)+\dots +c_{d}s(n-d),}

где d{\displaystyle d} коэффициентов c1,c2,…,cd{\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{d}} являются константами.

• Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества

  F(z+a)=exp⁡(addz)F(z)=∑n=0∞anF(n)n!=F(z)+aF′(z)+a2F″(z)2….{\displaystyle F(z+a)=\exp \left(a\,{\frac {d}{dz}}\right)F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}\,F^{(n)}}{n!}}=F(z)+a\,F'(z)+{\frac {a^{2}\,F»(z)}{2}}\dots .}