Нестандартные задачи по геометрии – ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ «СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ» — ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА — В МИРЕ ЗАДАЧ — Каталог файлов

Нестандартное решение задач. (исследовательская работа)

Слайд 1

Нестандартное решение задач Автор Козьмина Татьяна, 14 лет, ученица 8 класса, МКОУ «Тальменская СОШ №3», руководитель Перетокина Валентина Борисовна. Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Тальменская средняя общеобразовательная школа №3»

Слайд 2

Введение Решение олимпиадных задач заостряет интеллект. Для того, чтобы научиться решать задачи конкурсного типа самостоятельно, необходимо ознакомиться с некоторым минимумом решения таких задач этот минимум не должен состоять из большого числа задач.

Слайд 3

Актуальность Нестандартные задачи способствуют повышению мотивации к изучению математики; развивают мышление и творческую активность; формируют умения и навыки для решения практических задач.

Слайд 4

Цель: изучить методы решения некоторых, наиболее часто встречающихся, видов школьных математических нестандартных задач Задачи: Изучить различные методы решения нестандартных задач; п рименить рассматриваемые приемы, методы и подходы при решении конкретных задач; развивать интерес к математике.

Слайд 5

Гипотеза: Имеется ли единый подход к решению нестандартных задач или он отсутствует.

Слайд 6

Объект исследования : некоторые виды нестандартных задач по математике. Предмет исследования: решение задачи — как объект конструирования и изобретения.

Слайд 7

Виды нестандартных задач: Алгоритм Евклида; инварианты; задачи на раскраску; логические задачи; арифметические задачи; задачи на разрезание; задачи на переливания; задачи на движение; задачи на взвешивания; задачи на выигрышные ситуации; геометрические задачи.

Слайд 8

Инварианты Задача 2. В каждой клетке доски 7х7 сидит гусеница. В некоторый момент все гусеницы переползают на соседние (по стороне) клетки. Обязательно ли после этого останутся пустые клетки? Решение: Так как общее число клеток шахматной доски 7×7 клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток больше. Тогда гусениц, сидящих на белых клетках, меньше, чем черных клеток. Поэтому хотя бы одна из черных клеток останется пустой, так как на черные клетки переползают только жуки. сидящие на белых клетках.

Слайд 9

Задача на разрезание Задача 1. При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон. Решение:

Слайд 10

Задачи на переливания Задача 3. Как при помощи 5-ти литрового и 9-ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды? Решение: Заполняем водой из реки 9-ти литровое и переливаем из него воду в 5-ти литровое (в 9-ти литровом остается 4 литра). Освобождаем 5-ти литровое ведро и переливаем в него 4 литра из 9-ти литрового. Еще раз заполняем водой из реки 9-ти литровое и из него доливаем в 5-ти литровое 1 литр воды (в 9-ти литровом остается 8 литров). Освобождаем 5-ти литровое и переливаем в него из 9-ти литрового 5 литра воды. В 9-ти литровом ведре останется 3 литра воды.

Слайд 11

Задачи на движения Задача 4. Два теплохода одновременно вышли из портов и с постоянной скоростью движутся во встречном направлении. Скорость одного теплохода 20 км/час, другого – 30 км/час. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться ровно за один час до их встречи? Решение: 1) 20+30=50 (км.) – расстояние друг от друга за 1 час до их встречи. Ответ: 50 километров.

Слайд 12

Логические задачи Задача 5. Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 таких же курей за 12 дней? Решение: 1 курица – 1 яйцо за 3 дня. 1 курица – 4 яйца за 12 дней, значит, 12 курей за 12 дней – 12х4 = 48 яиц. Ответ: 4 8 яиц.

Слайд 13

Вывод Каждая задача уникальна, общих правил для решения нестандартных задач нет . Процесс решения нестандартной задачи: 1) Сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче; 2) Разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач. Гипотеза подтвердилась: рассмотрение решения нескольких нестандартных текстовых задач позволило сделать вывод об отсутствии единого подхода к решению нестандартных математических задач, несмотря на наличие общих рекомендаций для решения того или иного вида школьных текстовых задач.

Слайд 14

Заключение Применение нестандартных методов решения задач по математике, довольно часто помогает быстрее и легче решить сложные задания, но что бы решать таким образом требуется нетрадиционное мышление, умение мыслить не по шаблону.

Слайд 15

Использованная литература: А. Я. Канель-Белов , А. К. Ковальджи «Как решаются нестандартные задачи» — Под ред. В. О. Бугаенко . 4-е изд., МЦНМО, 2008. Интернет-ссылки: http://900igr.net/prezentacija/algebra/issledovatelskij-proekt-reshenie-nekotorykh-nestandartnykh-zadach-po-algebre-260629/tsel-raboty-izuchit-metody-reshenija-nekotorykh-naibolee-chasto-3.html http://festival.1september.ru/articles/623951/ http://pptcloud.ru/pedagogika/kak-reshit-nestandartnuyu-zadachu http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/nestandartnye-metody-reshenija-zadach-236429.html http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/nestandartnye-metody-reshenija-zadach-236429/vstuplenie-2.html https://prezentacii.org/prezentacii/prezentacii-po-matematike/6412-reshenie-nestandartnyh-zadach.html http://www.myshared.ru/slide/803596/

Слайд 16

Спасибо за внимание!

Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 2.

Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.

Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.

В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.

Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.

Задача № 1

Доказать равенствоhello_html_fb55a40.gif

Решение:

hello_html_6600aba1.gif

hello_html_m52d21fa2.gif

hello_html_m20d6b612.gif

hello_html_m3c8ca337.gif

hello_html_m48bce39d.gif

hello_html_m3aa4398b.gif

Задача № 2

Доказать, что выражениеhello_html_2aed1a71.gif не равно нулю, если

a, b, c – попарно не равные между собой числа.

Решение:

hello_html_1768167.gif

hello_html_5808237f.gif=

hello_html_50a51e1.gif

hello_html_7734f764.gifт.к. ahello_html_85b1ed4.gif

.

Задача № 3

Доказать, чтоhello_html_7928d7c9.gif делится на 6 при любом натуральном n.

Решение:

hello_html_16608350.gif

hello_html_m39dc66a7.gifhello_html_18ffb855.gifэто произведение трех последовательных чисел, поэтому делится на 1hello_html_4723b767.gif

.

12n делится на 6 очевидно. Следовательно, hello_html_m6d95d9ed.gif делится на 6, поэтому hello_html_15bc0b6f.gif делится на 6.

Задача № 4

Доказать, что числоhello_html_m1707cf0b.gif делится на 3 при любом натуральном n.

Решение:

hello_html_6d36ad0a.gif

hello_html_m622e0331.gif – три последовательных числа, значит делится на 3.

hello_html_m3f09ea22.gifтакже делится на3. Следовательно, hello_html_m5cfe3633.gif делится на 3, поэтому hello_html_6dc90d6c.gif делится на 3.

Задача № 5

Доказать, что если n – натуральное число и nhello_html_m5690762a.gif

, то hello_html_m7e7bef11.gif составное число.

Решение:

hello_html_m2558705d.gif

Так как n – натуральное, то hello_html_m7742832e.gif– целые числа, не равные 1. Значит, hello_html_m7e7bef11.gif – составное число.

Задача № 6

Доказать равенство:hello_html_19a722d8.gif

Решение:

hello_html_m3891d942.gif

hello_html_6db20ffa.gif

Задача № 7

Доказать равенство: hello_html_2e7baf0a.gif

Решение:

hello_html_m382573a6.gif=hello_html_1c284a81.gif

Задача № 8

Доказать равенство: hello_html_5994e0a8.gif

Решение:

hello_html_m7da7a557.gif

Задача № 9

Доказать равенство: hello_html_1bc6dba5.gif

Решение:

hello_html_1226d623.gif

hello_html_m71f307b.gif

Задача № 10

Доказать равенство:hello_html_m41b3bf6.gif

Решение:

hello_html_2604735e.gif

hello_html_m5c5c9750.gif

Задача № 11

Доказать, что число hello_html_3cef48cd.gif является квадратом некоторого натурального числа x, и найти x.

Решение:

Пусть 1980hello_html_5dddafc5.gif

hello_html_32d73361.gif

hello_html_2f60e3c4.gif

hello_html_17551f5.gif

Значит, x =hello_html_m1d63636b.gif

Задача № 12

Упростить выражение:hello_html_m796bbdc.gif

Решение:

hello_html_m6e61f0dd.gif

hello_html_20803129.gif

Задача № 13

Упростить выражение: hello_html_2c403ac1.gif

Решение:

hello_html_m24922114.gif

hello_html_1ad06f4.gif

hello_html_3bd313ad.gif

hello_html_21470ab7.gif

Задача № 14

Упростить выражение: hello_html_752c7b1b.gif ,если hello_html_3e621558.gif

Решение:

hello_html_mfd057ee.gif

hello_html_m20f4fcc.gif

Если hello_html_3e621558.gif, то B=hello_html_m11aa8d82.gif

Задача № 15

Упростить выражение: hello_html_592dd6d6.gif, если hello_html_m3d526648.gif, где hello_html_m486afe02.gif

Решение:

hello_html_m253eb631.gif

Если hello_html_7bc08245.gif, то hello_html_14ea3d72.gif при hello_html_m2c29fac0.gif

Задача № 16

Найти все значения r, при которых уравнение hello_html_67c8085b.gif имеет:

1) равные корни;

2) корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Решение:

hello_html_67c8085b.gif

1) Уравнение будет иметь равные корни при D=0.

hello_html_m548eee3b.gif

hello_html_7e228adc.gif

hello_html_m1baccdcc.gif

2) Уравнение будет иметь корни, модули которых равны, а знаки противоположны, если второй коэффициент будет равен 0 и это уравнение станет неполным. Значит, при r=0 уравнение примет вид hello_html_36b8bf1c.gif.

Задача № 17

Доказать что если hello_html_m5888c7cd.gif, то квадратное уравнение hello_html_1ada267d.gif. Имеет действительные корни. При каких значениях hello_html_m74c4ce20.gif оба корня этого уравнения отрицательные?

Решение:

1) Докажем ,что данное уравнение имеет действительные корни при hello_html_mca66f2f.gif

hello_html_1ada267d.gif

hello_html_2e4c2a50.gif

hello_html_m7bcd6c87.gif

hello_html_56f9b095.gif

Уравнение будет иметь действительные корни, если hello_html_m6721e49a.gif. Но данный дискриминант будет равен нулю при hello_html_m4583115d.gif, а по условию hello_html_m5888c7cd.gif, значит, этот дискриминант должен быть строго больше нуля. Он больше нуля, т.к.hello_html_3773d815.gif. Значит, уравнениеhello_html_31c3496e.gifимеет действительные корни.

2) Чтобы уравнение имело два отрицательных корня, свободный коэффициент должен быть с положительным знаком, т.к. hello_html_7402b696.gif, а их сумма равна отрицательному числу.

Решим систему неравенств:

hello_html_419bacab.gifhello_html_4f4ec0da.gifhello_html_45e16c3b.gif

Ответ:hello_html_m55c636ed.gif

Задача № 18

Каким условиям удовлетворяют числа a и b ,если биквадратное уравнение hello_html_b5bd3ef.gif имеет четыре различных действительных корня?

Решение:

hello_html_7673f486.gif

hello_html_m66b47495.gif

Так как уравнение hello_html_m7c422862.gifимеет 4 различных корня, то k иhello_html_m189306a6.gif –положительны, т.к. hello_html_6c8b7a02.gif,hello_html_m537618c.gif. Уравнение hello_html_m4f00519c.gifбудет иметь положительные корни hello_html_m6ea08f81.gifпри hello_html_6cf09497.gifи при положительном дискриминанте.

hello_html_m6fbd4fce.gif

hello_html_m909d66e.gif

hello_html_17c048ee.gif

hello_html_13756912.gif

hello_html_m18d99585.gif

Сумма двух чисел будет положительна, только если эти оба числа будут положительны, значит hello_html_m289d40a8.gif

Ответ: hello_html_m89bb772.gif

Задача № 19

Какой цифрой оканчивается число hello_html_mb29508c.gif

Решение:

hello_html_m1f023c44.gifоканчивается цифрой 2.

hello_html_m18457238.gifоканчивается цифрой 4.

hello_html_m31af6aa2.gifоканчивается цифрой 8.

hello_html_281528f6.gifоканчивается цифрой 6.

hello_html_m5b440d9d.gifоканчивается цифрой 2.

hello_html_m3384d1e7.gifоканчивается цифрой 4.

………………………………………..

Т.е. через каждые четыре показателя числа будут оканчиваться теми же цифрами. Так как при делении 1982 на 4 получаем в остатке 2, то число hello_html_mb29508c.gifоканчивается той же цифрой, что hello_html_m18457238.gif, т.е. цифрой 4.

Задача № 20

Пусть hello_html_59e54a35.gif. Доказать что hello_html_m4802723a.gif.

Решение:

hello_html_7578d5f3.gif

hello_html_m751ebb48.gif

Проект по математике «Загадки геометрической прогрессии»

Проектпоматематике
ученицы 9 «Б»класса.  Преображенскойсреднейшколы.

ХайбуллинойДины

Руководитель: РейхертА.Н.

Темапроекта:«Загадкигеометрическойпрогрессии»

Актуальность: Потребностьвдополнительныхзнанийподаннойтеме, связьсжизнью.

Объект работы:Нестандартныезадачигеометрическойпрогрессии, невходящиевшкольныйкурсматематики. Предметисследования:Разнообразие, красота, инеожиданностьзадачгеометрическойпрогрессии. Целиисследования: Поискзанимательныхинестандартныхзадачгеометрическойпрогрессииневходящихвшкольныйкурсматематики.

Задачи исследования:Научитьсяс

 Научиться создавать проектную работу.

Более глубокое изучение геометрической прогрессии.

Поиск и решение интересных и нестандартных задач по геометрической прогрессии.

Этапы подготовки и реализации проекта:

Формулированиепроблемы, обоснованиеактуальностивыбраннойтемы.

Постановкацелииконкретныхзадачисследования.

Определениеобъектаипредметаисследования.

Выборметода (методики) проведенияисследования.

Описаниепроцессаисследования.

Обсуждениерезультатовисследования.

Формулированиевыводовиоценкаполученныхрезультатов.

Вступление.Н

Недавно мы проходили темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сравнивая их мы увидели настолько они отличаются друг от друга. Если арифметическая прогрессия увеличивается или уменьшается незначительно, то с геометрической прогрессией шутить нельзя и в это мы убедились, когда разбирали задачу из учебника про изобретателя шахмат и царя, который хотел выкупить эту игру. После этого мне захотелось узнать, если ещё такие задачи, решение которых не укладывается в голове, и ты не веришь в ответ пока сам не начнёшь их решать. Отсюда и появилась цель провести исследование по теме «Загадки геометрической прогрессии». И сейчас с результатом своей работы я вас познакомлю.

Задача про шахматы и зерно.

По преданию, индийский принц Сирам предложил изобретателю шахматной игры просить у него любую награду. Тот попросил, чтобы ему дали за первый квадрат шахматной доски одно пшеничное зернышко, за второй-2, за третий-4 и т.д., увеличивая вдвое за каждый из следующих квадратов. Принц согласился. Но когда подсчитали количество зерен пшеницы, которое следует выдать за все 64 квадрат шахматной доски, то оказалось, что награда в этом размере не может быть выдана из-за недостатка пшеницы.

Данное исследование позволило мне выйти за рамки школьного курса, узнать много интересных фактов, событий. Расширить свой кругозор. Научиться самостоятельно находить нужную информацию и представлять её в единой системе. И самое важное, что все не понятное в этом мире можно объяснить с помощью математики.

 

Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 1.

Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.

Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.

В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.

Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.

Задача № 1

Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делится на 9 и 11.

Решение:

Пусть 100a + 10b + c – трехзначное число, тогда 100с +10b + a – трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке.

100a + 10b + c – 100с –10b – a = 99а – 99с = 99(а–с)

|99(а–с)| – делится на 9,

|99(а–с)| – делится на 11,

т.к.очевидно, что 99 будет делиться на 9 и на 11.

Задача № 2

Если между цифрами двузначного числа x вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

Решение:

Пусть 100a + b = х – данное двузначное число, тогда 1000а +100а + 10b + b – полученное четырехзначное число, что по условию равно (10а + b)/66. Имеем уравнение:

1000а +100а + 10b + b = (10а + b)/66;

1100а + 11b = 660а + 66b;

440а = 55b;

8а = b;

а  0, т.к. а – первая цифра двузначного числа;

а = 1, b = 8, следовательно, x = 18.

а = 2, b = 16, что невозможно, т.к. b – вторая цифра двузначного числа.

Итак, искомое число 18.

Задача № 3

Доказать, что число 333555 + 555333 делится на 37.

Решение:

hello_html_7f2787b3.gif. Очевидно, что hello_html_6ab02f89.gif делится на 37.

Задача № 4

Доказать, что число 1111 + 1212 + 1313 делится на 10.

Решение:

Число 1111 оканчивается единицей. Выясним, какой цифрой оканчивается число 1212.

1AutoShape 421 = …2

122 = …4

123 = …8

124 = …6

125 = …2

126 = …4

Отметим, что последняя цифра с возрастанием меняется периодически через 4 последовательных показателя. Т.к. 12 : 4 = 3 раза повторится период, то 1212 оканчивается цифрой 6. Теперь выясним, какой цифрой оканчивается число 1313

1AutoShape 531 = …3

132 = …9

133 = …7

134 = …1

135 = …3

136 = …9

Аналогично рассуждая, получаем: 1313 оканчивается цифрой 3. Складываем последние цифры: 1 + 6 + 3 = 10, значит, число 1111 + 1212 + 1313 оканчивается нулем, следовательно, 1111 + 1212 + 1313 делится на 10.

Задача № 5

Доказать, что число 1015 + 1017 – 74 делится на 9.

Решение:

1015 + 1017 – 74 = 1015 – 115 + 1017 – 117 + 2 – 74 = (10 – 1) (…) + (10 – 1) (…) – 72 = 9 (…) +

+9 (…) – 9hello_html_39a778b7.gif8 = 9(… + … – 8) – это число, очевидно, делится на 9.

Задача № 6

Доказать, что при любом целом hello_html_m357ba2ce.gif число hello_html_m214cdf06.gif делится на 30.

Решение:

hello_html_m3b132639.gif. Чтобы произведение делилось на 30, нужно, чтобы оно делилось на 5 и на 6. hello_html_m39dc66a7.gif – произведение трех последовательных чисел, поэтому оно делится на hello_html_m51ee1818.gif. Итак, чтобы доказать, что hello_html_m214cdf06.gif делится на 30, осталось доказать, что оно делится на 5.

Если hello_html_mb6dad07.gif – четное, то его квадрат оканчивается на 4 или 6.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 4, то hello_html_m35c537ae.gif оканчивается на 5.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 6, то hello_html_6d89754c.gif оканчивается на 5.

Если hello_html_258219fd.gif– нечетное, то hello_html_1f36ce8e.gif оканчивается на 1, или на 9, или на 5.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 9, то hello_html_m35c537ae.gif оканчивается на 0.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 1, то hello_html_6d89754c.gif оканчивается на 0.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 5, то hello_html_m357ba2ce.gif оканчивается на 5.

Значит, hello_html_m214cdf06.gif делится на 30.

Задача № 7

Доказать, что при любом целом hello_html_m357ba2ce.gif число hello_html_95e650.gif делится на 120.

Решение:

hello_html_m22147f8.gif – произведение пяти последовательных чисел.

120 = hello_html_63b43184.gif. Значит, hello_html_95e650.gif делится на hello_html_2f4c06cc.gif120.

Задача № 8

Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение:

hello_html_24429066.gif – данное пятизначное число.

При умножении на 9 получим: hello_html_3a111d22.gif. Т.к. числа пятизначные, то hello_html_35e2c967.gif При умножении на 9 число остается пятизначным, поэтому hello_html_m495e53c6.gif Тогда hello_html_16d62df7.gif значит hello_html_19335472.gif. После умножения на 9 получаем

hello_html_153cb748.gif

hello_html_m43477d30.gif

hello_html_m8eaa2f0.gif

hello_html_540ff3bc.gif

Т.к. hello_html_1e84a759.gif – однозначные числа, то даже если hello_html_7c90c489.gif, то правая часть последнего равенства равна hello_html_52d5fcd7.gif поэтому чтобы выполнялось равенство нужно взять hello_html_49c3aecf.gif. Равенство примет вид:

hello_html_243a4893.gif

hello_html_425a4e73.gif

91 не делится на 8, поэтому hello_html_m1842520a.gif делится на 8, значит, hello_html_m4e9efb41.gif. Получаем:

hello_html_m6f49de81.gif

hello_html_4498b187.gif

hello_html_m7ccacc79.gif

hello_html_7e49daab.gif

Т.о. hello_html_m52d5d8aa.gif

Задача № 9

Доказать, что если hello_html_m6dc3bc4c.gif – целые числа такие, что число hello_html_790fb2f8.gif делится на 17, то число hello_html_m5a8aa1a2.gif также делится на 17.

Решение:

hello_html_22812b57.gif

По условию hello_html_790fb2f8.gif делится на 17, значит hello_html_m32b919e5.gif делится на 17. hello_html_m7da47111.gif делится на 17 очевидно, следовательно, hello_html_m4d74e19a.gif делится на 17, т.е. и hello_html_m5a8aa1a2.gif также делится на 17.

Задача № 10

Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.

Решение:

Пусть hello_html_m357ba2ce.gif, hello_html_m357ba2ce.gif +1, hello_html_m357ba2ce.gif +2, hello_html_m357ba2ce.gif +3, hello_html_m357ba2ce.gif +4– пять последовательных целых чисел, тогда

hello_html_m165e3bf4.gif

hello_html_m7e4c05e2.gif

Дискриминант этого hello_html_38cba43a.gif не равен 0, а значит, что 5hello_html_421d177d.gif не равно квадрату какого–то целого числа.

Задача № 11

Доказать, что если p hello_html_18ffb855.gif простое число, большее трех, то число hello_html_m1bfbaced.gif делится на 24.

Решение:

Пусть p–простое число, hello_html_m553e73f.gif . Еслиhello_html_2f04ff60.gif делится на 24, то hello_html_m6b664476.gif, где khello_html_m3279edbb.gif.

hello_html_4b1b7f36.gif

hello_html_m703cffc5.gif

По условию рhello_html_m5e32c600.gif и p – простое число, поэтому р – нечетное. Тогда рhello_html_18ffb855.gif1 и р+1 – четные последовательные числа, значит, рhello_html_18ffb855.gif1 делится на 2, а р+1 делится на 4, т.е. hello_html_m73ac7c95.gif делится на 8. Так как р hello_html_18ffb855.gif простое число , то оно не делится на 3, т.е. р=3k+1 или p=3k+2.

Если p=3k+1, то phello_html_2a0f5104.gif1=3k делится на 3 и тогда hello_html_mb545306.gif делится на 3 hello_html_2ec2fa81.gif 8=24

Если же p=3k+2, тогда p+1=3k+3 делится на 3 и тогда hello_html_m73ac7c95.gif делится на 3hello_html_2ec2fa81.gif 8=24 , что и требовалось доказать.

Задача № 12

Доказать, что если p hello_html_18ffb855.gif простое число и phello_html_3762ddc2.gif5, то остаток от деления числа hello_html_629b3a0f.gif на 12 равен 1.

Решение:

По условию p – простое и phello_html_42b05cc2.gif . Чтобы остаток от деления hello_html_629b3a0f.gif на 12 был равен 1, надо чтобы hello_html_m9524e51.gif, где hello_html_1d038024.gif, т.е.hello_html_3b3b51db.gif – таким образом надо доказать, что hello_html_m1bfbaced.gif делится на 12.

hello_html_m4db76407.gifр – простое, не меньше чем 5,поэтому p – нечетное, тогда p – 1 и p + 1 четные последовательные числа, поэтому одно из них делится на 2, другое на 4. Осталось доказать, что hello_html_m1bfbaced.gif делится на 3.

р – простое число, значит на 3 не делится, т.е. оно имеет вид p=3n+1 или p=3n+2, где nhello_html_m54dcaf3c.gif. Если p=3n+1, тогда phello_html_18ffb855.gif1=3n – делится на 3, значит и hello_html_33699094.gifделится на 3.

Если же p=3n+2, то p+1=3n+3 делится на 3. Это значит, что hello_html_m1bfbaced.gif кратно 12: hello_html_5612b6c4.gif.

hello_html_m9524e51.gif, т.е. остаток от деления hello_html_629b3a0f.gif на 12 равен 1.

Задача № 13

Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех чисел от 1 до 100?

Решение:

Среди чисел от 1 до 100 содержится десять чисел, оканчивающихся нулями. Это 10, 20, 30, …, 90, 100. Произведение этих чисел оканчивается одиннадцатью нулями. Кроме того, среди чисел от 1 до 100 содержатся числа, оканчивающихся пятеркой hello_html_18ffb855.gif это 5, 15, 25, 35,…, 85, 95. Их десять. Каждое из этих чисел при умножении на четное число дает число, оканчивающееся нулем. Итак, еще 10 нулей. Кроме того, числа 25=5hello_html_59b18a8e.gif, 75=5hello_html_m1d64237d.gif и 50=5hello_html_m1364663f.gif, имея в разложении еще по пятерке, при умножении на четное число дадут еще три числа, окачивающихся нулями. Значит, произведение всех чисел то 1 до 100 окачиваются 11+10+3=24 нулями.

Задача № 14

Доказать, что если hello_html_64825b51.gif – корни квадратного уравнения hello_html_m1bbe3844.gif, где rhello_html_m46b0f214.gif0, то выполняется неравенство hello_html_5a918a1f.gif

Решение:

hello_html_4d1eed97.gif

По теореме hello_html_m56292900.gif

hello_html_7381228.gifпри rhello_html_m298f5bb9.gif, что и требовалось доказать.

Задача № 15

Найти все значения r, для которых при действительных значениях x выполняется неравенство hello_html_48d2fdbf.gif

Решение:

Данное неравенство будет выполняться при всех действительных значениях х, если hello_html_29b8ec87.gif

D=hello_html_md47d556.gif

Решаем систему неравенств:

hello_html_m2b2c666.gif

hello_html_m67505748.gif

hello_html_2c53b681.gif

hello_html_63022863.gif

hello_html_5eb034f.gif.

Если же r=1, неравенство принимает вид hello_html_m1dc75989.gif, т.е. hello_html_33a8995d.gif– верно.

Ответ: hello_html_4394683.gif

Задача № 16

Доказать, что при всех действительных значениях x справедливо неравенство:

hello_html_m531bd4cc.gif

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенствhello_html_mf2c1.gif

Так как hello_html_m38e91d1d.gif при любом x, то имеем:

hello_html_5a4a1397.gif

hello_html_m567912d8.gif

hello_html_m39261997.gif

hello_html_38602c.gif

Оба неравенства справедливы при всех действительных значениях х. Значит, исходное неравенство справедливо при hello_html_64741ace.gif

Задача № 17

Доказать неравенство hello_html_m1fce1f45.gif

Решение:

hello_html_m3ed59688.gif=

hello_html_5ef36cb1.gif

hello_html_72790fc1.gif

Задача № 18

Доказать неравенство hello_html_2543dd5d.gif

Решение:

hello_html_m11336086.gif

hello_html_2aa3ec52.gif

hello_html_m1652b433.gif

Задача № 19

Доказать равенство hello_html_174de0b5.gif

Решение:

hello_html_75ea6a50.gif

hello_html_fbe011.gif

hello_html_5726131e.gif

hello_html_4f7560c4.gif

hello_html_2ab4450d.gif

Задача № 20

Доказать равенствоhello_html_m36f15852.gif

Решение:

hello_html_21cdb77e.gif

hello_html_m230147af.gif

hello_html_m19a916d.gif

hello_html_30e01222.gif

hello_html_m36d37226.gif

hello_html_65911c62.gif

hello_html_m37c94d25.gif

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о