Нестандартное решение задач. (исследовательская работа)

Слайд 1

Нестандартное решение задач Автор Козьмина Татьяна, 14 лет, ученица 8 класса, МКОУ «Тальменская СОШ №3», руководитель Перетокина Валентина Борисовна. Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Тальменская средняя общеобразовательная школа №3»

Слайд 2

Введение Решение олимпиадных задач заостряет интеллект. Для того, чтобы научиться решать задачи конкурсного типа самостоятельно, необходимо ознакомиться с некоторым минимумом решения таких задач этот минимум не должен состоять из большого числа задач.

Слайд 3

Актуальность Нестандартные задачи способствуют повышению мотивации к изучению математики; развивают мышление и творческую активность; формируют умения и навыки для решения практических задач.

Слайд 4

Цель: изучить методы решения некоторых, наиболее часто встречающихся, видов школьных математических нестандартных задач Задачи: Изучить различные методы решения нестандартных задач; п рименить рассматриваемые приемы, методы и подходы при решении конкретных задач; развивать интерес к математике.

Слайд 5

Гипотеза: Имеется ли единый подход к решению нестандартных задач или он отсутствует.

Слайд 6

Объект исследования : некоторые виды нестандартных задач по математике. Предмет исследования: решение задачи — как объект конструирования и изобретения.

Слайд 7

Виды нестандартных задач: Алгоритм Евклида; инварианты; задачи на раскраску; логические задачи; арифметические задачи; задачи на разрезание; задачи на переливания; задачи на движение; задачи на взвешивания; задачи на выигрышные ситуации; геометрические задачи.

Слайд 8

Инварианты Задача 2. В каждой клетке доски 7х7 сидит гусеница. В некоторый момент все гусеницы переползают на соседние (по стороне) клетки. Обязательно ли после этого останутся пустые клетки? Решение: Так как общее число клеток шахматной доски 7×7 клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток больше. Тогда гусениц, сидящих на белых клетках, меньше, чем черных клеток. Поэтому хотя бы одна из черных клеток останется пустой, так как на черные клетки переползают только жуки. сидящие на белых клетках.

Слайд 9

Задача на разрезание Задача 1. При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон. Решение:

Слайд 10

Задачи на переливания Задача 3. Как при помощи 5-ти литрового и 9-ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды? Решение: Заполняем водой из реки 9-ти литровое и переливаем из него воду в 5-ти литровое (в 9-ти литровом остается 4 литра). Освобождаем 5-ти литровое ведро и переливаем в него 4 литра из 9-ти литрового. Еще раз заполняем водой из реки 9-ти литровое и из него доливаем в 5-ти литровое 1 литр воды (в 9-ти литровом остается 8 литров). Освобождаем 5-ти литровое и переливаем в него из 9-ти литрового 5 литра воды. В 9-ти литровом ведре останется 3 литра воды.

Слайд 11

Задачи на движения Задача 4. Два теплохода одновременно вышли из портов и с постоянной скоростью движутся во встречном направлении. Скорость одного теплохода 20 км/час, другого – 30 км/час. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться ровно за один час до их встречи? Решение: 1) 20+30=50 (км.) – расстояние друг от друга за 1 час до их встречи. Ответ: 50 километров.

Слайд 12

Логические задачи Задача 5. Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 таких же курей за 12 дней? Решение: 1 курица – 1 яйцо за 3 дня. 1 курица – 4 яйца за 12 дней, значит, 12 курей за 12 дней – 12х4 = 48 яиц. Ответ: 4 8 яиц.

Слайд 13

Вывод Каждая задача уникальна, общих правил для решения нестандартных задач нет . Процесс решения нестандартной задачи: 1) Сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче; 2) Разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач. Гипотеза подтвердилась: рассмотрение решения нескольких нестандартных текстовых задач позволило сделать вывод об отсутствии единого подхода к решению нестандартных математических задач, несмотря на наличие общих рекомендаций для решения того или иного вида школьных текстовых задач.

Слайд 14

Заключение Применение нестандартных методов решения задач по математике, довольно часто помогает быстрее и легче решить сложные задания, но что бы решать таким образом требуется нетрадиционное мышление, умение мыслить не по шаблону.

Слайд 15

Использованная литература: А. Я. Канель-Белов , А. К. Ковальджи «Как решаются нестандартные задачи» — Под ред. В. О. Бугаенко . 4-е изд., МЦНМО, 2008. Интернет-ссылки: http://900igr.net/prezentacija/algebra/issledovatelskij-proekt-reshenie-nekotorykh-nestandartnykh-zadach-po-algebre-260629/tsel-raboty-izuchit-metody-reshenija-nekotorykh-naibolee-chasto-3.html http://festival.1september.ru/articles/623951/ http://pptcloud.ru/pedagogika/kak-reshit-nestandartnuyu-zadachu http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/nestandartnye-metody-reshenija-zadach-236429.html http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/nestandartnye-metody-reshenija-zadach-236429/vstuplenie-2.html https://prezentacii.org/prezentacii/prezentacii-po-matematike/6412-reshenie-nestandartnyh-zadach.html http://www.myshared.ru/slide/803596/

Слайд 16

Спасибо за внимание!

Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 2.

Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.

Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.

В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.

Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.

Задача № 1

Доказать равенство

Решение:

Задача № 2

Доказать, что выражение не равно нулю, если a, b, c – попарно не равные между собой числа.

Решение:

=

т.к. a

.

Задача № 3

Доказать, что делится на 6 при любом натуральном n.

Решение:

это произведение трех последовательных чисел, поэтому делится на 1

.

12n делится на 6 очевидно. Следовательно, делится на 6, поэтому делится на 6.

Задача № 4

Доказать, что число делится на 3 при любом натуральном n.

Решение:

– три последовательных числа, значит делится на 3.

также делится на3. Следовательно, делится на 3, поэтому делится на 3.

Задача № 5

Доказать, что если n – натуральное число и n , то составное число.

Решение:

Так как n – натуральное, то – целые числа, не равные 1. Значит, – составное число.

Задача № 6

Доказать равенство:

Решение:

Задача № 7

Доказать равенство:

Решение:

=

Задача № 8

Доказать равенство:

Решение:

Задача № 9

Доказать равенство:

Решение:

Задача № 10

Доказать равенство:

Решение:

Задача № 11

Доказать, что число является квадратом некоторого натурального числа x, и найти x.

Решение:

Пусть 1980

Значит, x =

Задача № 12

Упростить выражение:

Решение:

Задача № 13

Упростить выражение:

Решение:

Задача № 14

Упростить выражение: ,если

Решение:

Если , то B=

Задача № 15

Упростить выражение: , если , где

Решение:

Если , то при

Задача № 16

Найти все значения r, при которых уравнение имеет:

1) равные корни;

2) корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Решение:

1) Уравнение будет иметь равные корни при D=0.

2) Уравнение будет иметь корни, модули которых равны, а знаки противоположны, если второй коэффициент будет равен 0 и это уравнение станет неполным. Значит, при r=0 уравнение примет вид .

Задача № 17

Доказать что если , то квадратное уравнение . Имеет действительные корни. При каких значениях оба корня этого уравнения отрицательные?

Решение:

1) Докажем ,что данное уравнение имеет действительные корни при

Уравнение будет иметь действительные корни, если . Но данный дискриминант будет равен нулю при , а по условию , значит, этот дискриминант должен быть строго больше нуля. Он больше нуля, т.к.. Значит, уравнениеимеет действительные корни.

2) Чтобы уравнение имело два отрицательных корня, свободный коэффициент должен быть с положительным знаком, т.к. , а их сумма равна отрицательному числу.

Решим систему неравенств:

Ответ:

Задача № 18

Каким условиям удовлетворяют числа a и b ,если биквадратное уравнение имеет четыре различных действительных корня?

Решение:

Так как уравнение имеет 4 различных корня, то k и –положительны, т.к. ,. Уравнение будет иметь положительные корни при и при положительном дискриминанте.

Сумма двух чисел будет положительна, только если эти оба числа будут положительны, значит

Ответ:

Задача № 19

Какой цифрой оканчивается число

Решение:

оканчивается цифрой 2.

оканчивается цифрой 4.

оканчивается цифрой 8.

оканчивается цифрой 6.

оканчивается цифрой 2.

оканчивается цифрой 4.

………………………………………..

Т.е. через каждые четыре показателя числа будут оканчиваться теми же цифрами. Так как при делении 1982 на 4 получаем в остатке 2, то число оканчивается той же цифрой, что , т.е. цифрой 4.

Задача № 20

Пусть . Доказать что .

Решение:

Проект по математике «Загадки геометрической прогрессии»

Проектпоматематике
ученицы 9 «Б»класса.  Преображенскойсреднейшколы.

ХайбуллинойДины

Руководитель: РейхертА.Н.

Темапроекта:«Загадкигеометрическойпрогрессии»

Актуальность: Потребностьвдополнительныхзнанийподаннойтеме, связьсжизнью.

Объект работы:Нестандартныезадачигеометрическойпрогрессии, невходящиевшкольныйкурсматематики. Предметисследования:Разнообразие, красота, инеожиданностьзадачгеометрическойпрогрессии. Целиисследования: Поискзанимательныхинестандартныхзадачгеометрическойпрогрессииневходящихвшкольныйкурсматематики.

Задачи исследования:Научитьсяс

 Научиться создавать проектную работу.

Более глубокое изучение геометрической прогрессии.

Поиск и решение интересных и нестандартных задач по геометрической прогрессии.

Этапы подготовки и реализации проекта:

Формулированиепроблемы, обоснованиеактуальностивыбраннойтемы.

Постановкацелииконкретныхзадачисследования.

Определениеобъектаипредметаисследования.

Выборметода (методики) проведенияисследования.

Описаниепроцессаисследования.

Обсуждениерезультатовисследования.

Формулированиевыводовиоценкаполученныхрезультатов.

Вступление.Н

Недавно мы проходили темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сравнивая их мы увидели настолько они отличаются друг от друга. Если арифметическая прогрессия увеличивается или уменьшается незначительно, то с геометрической прогрессией шутить нельзя и в это мы убедились, когда разбирали задачу из учебника про изобретателя шахмат и царя, который хотел выкупить эту игру. После этого мне захотелось узнать, если ещё такие задачи, решение которых не укладывается в голове, и ты не веришь в ответ пока сам не начнёшь их решать. Отсюда и появилась цель провести исследование по теме «Загадки геометрической прогрессии». И сейчас с результатом своей работы я вас познакомлю.

Задача про шахматы и зерно.

По преданию, индийский принц Сирам предложил изобретателю шахматной игры просить у него любую награду. Тот попросил, чтобы ему дали за первый квадрат шахматной доски одно пшеничное зернышко, за второй-2, за третий-4 и т.д., увеличивая вдвое за каждый из следующих квадратов. Принц согласился. Но когда подсчитали количество зерен пшеницы, которое следует выдать за все 64 квадрат шахматной доски, то оказалось, что награда в этом размере не может быть выдана из-за недостатка пшеницы.

Данное исследование позволило мне выйти за рамки школьного курса, узнать много интересных фактов, событий. Расширить свой кругозор. Научиться самостоятельно находить нужную информацию и представлять её в единой системе. И самое важное, что все не понятное в этом мире можно объяснить с помощью математики.

 

Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 1.

Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.

Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.

В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.

Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.

Задача № 1

Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делится на 9 и 11.

Решение:

Пусть 100a + 10b + c – трехзначное число, тогда 100с +10b + a – трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке.

100a + 10b + c – 100с –10b – a = 99а – 99с = 99(а–с)

|99(а–с)| – делится на 9,

|99(а–с)| – делится на 11,

т.к.очевидно, что 99 будет делиться на 9 и на 11.

Задача № 2

Если между цифрами двузначного числа x вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

Решение:

Пусть 100a + b = х – данное двузначное число, тогда 1000а +100а + 10b + b – полученное четырехзначное число, что по условию равно (10а + b)/66. Имеем уравнение:

1000а +100а + 10b + b = (10а + b)/66;

1100а + 11b = 660а + 66b;

440а = 55b;

8а = b;

а  0, т.к. а – первая цифра двузначного числа;

а = 1, b = 8, следовательно, x = 18.

а = 2, b = 16, что невозможно, т.к. b – вторая цифра двузначного числа.

Итак, искомое число 18.

Задача № 3

Доказать, что число 333⁵⁵⁵ + 555³³³ делится на 37.

Решение:

. Очевидно, что делится на 37.

Задача № 4

Доказать, что число 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ делится на 10.

Решение:

Число 11¹¹ оканчивается единицей. Выясним, какой цифрой оканчивается число 12¹².

12¹ = …2

12² = …4

12³ = …8

12⁴ = …6

12⁵ = …2

12⁶ = …4

…

Отметим, что последняя цифра с возрастанием меняется периодически через 4 последовательных показателя. Т.к. 12 : 4 = 3 раза повторится период, то 12¹² оканчивается цифрой 6. Теперь выясним, какой цифрой оканчивается число 13¹³

13¹ = …3

13² = …9

13³ = …7

13⁴ = …1

13⁵ = …3

13⁶ = …9

…

Аналогично рассуждая, получаем: 13¹³ оканчивается цифрой 3. Складываем последние цифры: 1 + 6 + 3 = 10, значит, число 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ оканчивается нулем, следовательно, 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ делится на 10.

Задача № 5

Доказать, что число 10¹⁵ + 10¹⁷ – 74 делится на 9.

Решение:

10¹⁵ + 10¹⁷ – 74 = 10¹⁵ – 1¹⁵ + 10¹⁷ – 1¹⁷ + 2 – 74 = (10 – 1) (…) + (10 – 1) (…) – 72 = 9 (…) +

+9 (…) – 98 = 9(… + … – 8) – это число, очевидно, делится на 9.

Задача № 6

Доказать, что при любом целом число делится на 30.

Решение:

. Чтобы произведение делилось на 30, нужно, чтобы оно делилось на 5 и на 6. – произведение трех последовательных чисел, поэтому оно делится на . Итак, чтобы доказать, что делится на 30, осталось доказать, что оно делится на 5.

Если – четное, то его квадрат оканчивается на 4 или 6.

Если оканчивается на 4, то оканчивается на 5.

Если оканчивается на 6, то оканчивается на 5.

Если – нечетное, то оканчивается на 1, или на 9, или на 5.

Если оканчивается на 9, то оканчивается на 0.

Если оканчивается на 1, то оканчивается на 0.

Если оканчивается на 5, то оканчивается на 5.

Значит, делится на 30.

Задача № 7

Доказать, что при любом целом число делится на 120.

Решение:

– произведение пяти последовательных чисел.

120 = . Значит, делится на 120.

Задача № 8

Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение:

– данное пятизначное число.

При умножении на 9 получим: . Т.к. числа пятизначные, то При умножении на 9 число остается пятизначным, поэтому Тогда значит . После умножения на 9 получаем

Т.к. – однозначные числа, то даже если , то правая часть последнего равенства равна поэтому чтобы выполнялось равенство нужно взять . Равенство примет вид:

91 не делится на 8, поэтому делится на 8, значит, . Получаем:

Т.о.

Задача № 9

Доказать, что если – целые числа такие, что число делится на 17, то число также делится на 17.

Решение:

По условию делится на 17, значит делится на 17. делится на 17 очевидно, следовательно, делится на 17, т.е. и также делится на 17.

Задача № 10

Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.

Решение:

Пусть , +1, +2, +3, +4– пять последовательных целых чисел, тогда

Дискриминант этого не равен 0, а значит, что 5 не равно квадрату какого–то целого числа.

Задача № 11

Доказать, что если p простое число, большее трех, то число делится на 24.

Решение:

Пусть p–простое число, . Если делится на 24, то , где k.

По условию р и p – простое число, поэтому р – нечетное. Тогда р1 и р+1 – четные последовательные числа, значит, р1 делится на 2, а р+1 делится на 4, т.е. делится на 8. Так как р простое число , то оно не делится на 3, т.е. р=3k+1 или p=3k+2.

Если p=3k+1, то p1=3k делится на 3 и тогда делится на 3 8=24

Если же p=3k+2, тогда p+1=3k+3 делится на 3 и тогда делится на 3 8=24 , что и требовалось доказать.

Задача № 12

Доказать, что если p простое число и p5, то остаток от деления числа на 12 равен 1.

Решение:

По условию p – простое и p . Чтобы остаток от деления на 12 был равен 1, надо чтобы , где , т.е. – таким образом надо доказать, что делится на 12.

р – простое, не меньше чем 5,поэтому p – нечетное, тогда p – 1 и p + 1 четные последовательные числа, поэтому одно из них делится на 2, другое на 4. Осталось доказать, что делится на 3.

р – простое число, значит на 3 не делится, т.е. оно имеет вид p=3n+1 или p=3n+2, где n. Если p=3n+1, тогда p1=3n – делится на 3, значит и делится на 3.

Если же p=3n+2, то p+1=3n+3 делится на 3. Это значит, что кратно 12: .

, т.е. остаток от деления на 12 равен 1.

Задача № 13

Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех чисел от 1 до 100?

Решение:

Среди чисел от 1 до 100 содержится десять чисел, оканчивающихся нулями. Это 10, 20, 30, …, 90, 100. Произведение этих чисел оканчивается одиннадцатью нулями. Кроме того, среди чисел от 1 до 100 содержатся числа, оканчивающихся пятеркой это 5, 15, 25, 35,…, 85, 95. Их десять. Каждое из этих чисел при умножении на четное число дает число, оканчивающееся нулем. Итак, еще 10 нулей. Кроме того, числа 25=5, 75=5 и 50=5, имея в разложении еще по пятерке, при умножении на четное число дадут еще три числа, окачивающихся нулями. Значит, произведение всех чисел то 1 до 100 окачиваются 11+10+3=24 нулями.

Задача № 14

Доказать, что если – корни квадратного уравнения , где r0, то выполняется неравенство

Решение:

По теореме

при r, что и требовалось доказать.

Задача № 15

Найти все значения r, для которых при действительных значениях x выполняется неравенство

Решение:

Данное неравенство будет выполняться при всех действительных значениях х, если

D=

Решаем систему неравенств:

.

Если же r=1, неравенство принимает вид , т.е. – верно.

Ответ:

Задача № 16

Доказать, что при всех действительных значениях x справедливо неравенство:

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенств

Так как при любом x, то имеем:

Оба неравенства справедливы при всех действительных значениях х. Значит, исходное неравенство справедливо при

Задача № 17

Доказать неравенство

Решение:

=

Задача № 18

Доказать неравенство

Решение:

Задача № 19

Доказать равенство

Решение:

Задача № 20

Доказать равенство

Решение: