1. Актуализация знаний. — Посмотрите на аппликации и скажите, из каких геометрических фигур сделаны человечки? (Круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, четырехугольник.)

— На какие группы можно разделить данные фигуры? (Фигуры с углами и фигуры без углов.)

— Назовите геометрические фигуры “без углов”, т.е. фигуры, ограниченные кривыми замкнутыми линиями. (Овал и круг.)

Назовите фигуры из группы тех, что “с углами”. (Квадрат, прямоугольник, треугольник, шестиугольник.)

Как по-другому можно назвать квадрат и прямоугольник? (Четырехугольники.)

Как назвать одним термином геометрические фигуры “с углами”? (Многоугольники.)

Назовите виды многоугольников. (Четырехугольник, треугольник, пятиугольник, шестиугольник.)

От чего зависит название многоугольника? (От количества углов в нем.)

— Итак, угол — это элемент многоугольника, но все-таки нужно уточнить, какая фигура называется многоугольником. Являются ли многоугольниками фигуры, изображающие шляпы человечков?

2. Выравнивание знаний.

Незнайка приготовил задание, какие линии он начертил.’ назовите их по именам. (Прямая а, отрезок АВ, луч ОМ.)

Какая линия называется прямой, отрезком, лучом? (Прямая -это линия, не имеющая начала и конца, которую нужно чертить по линейке. Отрезок-это часть прямой, которая имеет начало и конец. Луч-это часть прямой, которая имеет начало.)

Как по-другому можно прочитать имя данного отрезка? (Отрезок ВА, имя отрезка можно читать слева направо и справа налево.)

А можно ли по-другому прочитать название данного луча? (Нельзя, называем первую букву, которая обозначает начало луча.)

Что общего между прямой, лучом, отрезком? (Луч и отрезок являются частью прямой.)

Чем они различаются? (Отрезок можно измерить, а прямую и луч измерить нельзя, они бесконечны.)

Чем отличаются прямая и луч? (Прямую можно продолжить в двух направлениях, а луч — только в одном. Ведь с другой стороны он ограничен точкой. Это начало луча.)

3. Построение углов.

Какие фигуры: прямую, луч или отрезок — нужно выбрать для построения угла? (Нужно выбрать два луча.)

Незнайка выбрал два луча.

Построил ли он угол? (Нет.)

Почему? (Незнайка не совместил начало лучей.)

— Как должны располагаться лучи? (Лучи должны выходить из одной точки.)

Как называется эта точка? (Вершина угла.)

Как называются лучи? (Сторонами угла.)

Итак, что необходимо выбрать для построения угла? (Нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)

Сейчас каждый из вас построит угол в тетради.

Каким инструментом будете пользоваться? (Линейкой.)

Обозначьте вершину красным карандашом, стороны - синим и зеленым.

— Давайте попробуем дать формулировку углу. Что такое угол? (Угол — это геометрическая фигура, для построения которой нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)

4. Постановка учебной задачи и ее решение.

— Я очень рада, что сегодня на уроке присутствуют все 27 учеников нашего класса. Сколько углов вы построили? (Столько же, 27.)

Как же различать такое количество углов между собой? (Нужно дать углам имена.)

Как вы думаете, как можно обозначить угол? (Можно назвать вершина.)

Назовите угол, (Угол А)

А если я начерчу несколько углов с вершиной в точке А, то как их различать? (Надо как-то “полнее обозначать углы.)

У кого есть другие варианты обозначения? (Можно обозначить лучи: луч АВ и луч АС.)

— Итак, мы обозначили угол, попробуйте назвать его, прочитайте имя. (Угол ВАС, угол CAB, угол АСВ, угол ABC, угол А.)

— Нам нужно выбрать из предложенных вами правильные названия из данных. Для этого я предлагаю выйти к доске и показать угол.

(Дети по-разному показывают углы.)

Ребята, в математике принято показывать угол от одной из сторон к вершине и от вершины к стороне. Как вы думаете, какие из названных вами имен угла будут верными? (Угол ВАС, угол CAB, угол А.)

Правильно. Нужно запомнить, что букву, которой мы обозначаем вершину угла, необходимо называть второй.

Слово “угол” в математике обозначается таким знаком “? ”.

Итак, сколько букв может быть в имени угла? (Одна буква или три.)

Запишите название начерченного вами в тетради угла. Я запишу названия того угла, что на доске, а вы мне подскажете. (Угол ВАС, угол CAB, или просто угол А.)

Как записать названия углов, когда одна точка является началом нескольких лучей? (Сначала надо обозначить лучи, расставить буквы М, К, С, Д.)

Сколько углов получилось у нас? (Два, три, даже больше.)

Чтобы показать, какие углы нужно назвать, их обозначают дугами. Назовите и запишите углы, которые я обозначаю. (Угол МАК, угол САД, угол MAC.)

Есть ли еще углы на этом чертеже? (Да, угол МАД, угол КАД, угол САМ.)

При затруднении учитель показывает угол, и дети его называют. Это задание для “сильных” учеников, для их развития. Вслед за ними учатся и остальные.

5. Обобщение. Углубление знаний о многоугольнике.

Что надо помнить, называя и записывая углы? (Букву, обозначающую вершину, называем посередине.)

Как показывать угол? (Указкой надо “пройти” по лучу — от стороны к вершине, а потом от вершины — по другой стороне.)

6. Физминутка.

— Я покажу карточки с геометрическими фигурами. Увидев многоугольник, вы должны присесть. Увидев фигуру, не являющуюся многоугольником, вы должны встать.

Раз, два, три, четыре, пять,
Все умеем мы считать,
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

7. Закрепление по учебнику.

Стр. 29 № 68. Запиши имена углов, используя этот знак “? ”. Данное задание выполняется комментировано.

— Сколько имен может иметь один угол? (Три имени.)

8. Закрепление нового материала в группах. (Семь групп).

Каждой группе предлагается дать три варианта названия угла.

После выполнения задания командир группы отчитывается. Например:

9. Совершенствование устных вычислительных навыков.

Игра “Расшифруй слово”. Каждому значению выражения соответствует определенная буква. 4 — Г, 5 — Л, 6 — У, 7 — О.

10-8 + 4 = 6	У
2+7-5=4	Г
8-3+2=7	О
1+9-5=5	Л

— Прочитайте слово. (Угол.)

10. Поиск углов в окружающей действительности.

— Посмотрите внимательно вокруг и назовите предметы, в которых есть углы. (Доска, тетрадь, парта, окно и т.д.)

11. Итог.

— Чему новому научились на уроке? (Научились обозначать углы.)

Сколько имен может иметь угол? (Три.)

Что обозначает буква, которая по счету называется второй? (Эта буква обозначает вершину угла.)

Все ли было понятно на уроке? Сможет ли каждый из вас назвать угол и правильно прочитать имя угла? Если да — поднимите карточку с восклицательным знаком, если нет — с вопросительным знаком.

Сегодня на уроке все активно помогали Незнайке помочь усвоить новую тему “Угол”, но еще и уточняли знания о многоугольниках. Что каждый из вас узнал нового о них? (Как удобнее чертить, какая у угла граница. Как показать угол. Чтобы показать многоугольник, его надо закрашивать.)

— Дома начертите 3 угла и дайте им названия. Еще постройте многоугольник и покажите в нем углы, дайте имя.

urok.1sept.ru

Угол. Обозначение углов

Представим себе такую историю.

– Саша, а ты знаешь, что листья на ветке растения всегда располагаются в строгом порядке? – спросил Паша.

– Что значит в строгом порядке? – удивился Саша. – Как числа в натуральном ряду что ли?

– Нет, Саша, листья на ветке растения отстоят друг от друга на определённый угол по или против часовой стрелки – продолжил Паша. – Величина этого угла разная для разных растений.

– Ого! – удивился Саша. – И ведь правда, а я даже и не замечал такого раньше! Но ведь угол – это геометрическое понятие. Зачем растениям углы?

– Такое расположение позволяет листьям растений наиболее эффективно получать влагу и солнечный свет.

– Паша, а ты знаешь, как в математике строят углы? – решил спросить Саша.

– Да, – ответил Паша, – если мы на листе бумаги из одной точки проведём два луча, то получим фигуру, которая называется углом.

– А углы в математике тоже имеют свои названия? – спросил Саша.

– Да, но об этом лучше спросить у Электроши – сказал Паша.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу об углах и их обозначениях, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь поговорим об углах, – продолжил Электроша. – Давайте проведём на листе бумаги два луча ВА и ВС с общим началом в точке В.

Запомните! Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

– Значит, угол – это два луча с общим началом? – спросил Саша.

– Всё верно! – подтвердил Электроша.

Лучи называют сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.

Так, например, в угле, который мы с вами построили, лучи ВА и ВС – это стороны угла, а точка В – его вершина.

– Визуально углы делят на «внешний» и «внутренний». Мы же чаще будем работать именно с внутренними углами.

– А как обозначают углы? – спросил Паша.

– Для обозначения углов используют следующий символ: . Тогда наш угол можно обозначить так: ∠АВС или ∠СВА. Обратите внимание: называть угол можно с любого края, но не с вершины. Буква, которая соответствует вершине угла, должна всегда находиться в середине названия.

Также этот же угол можно обозначить и короче, одной заглавной латинской буквой, указывающей его вершину. Тогда наш угол можно обозначить так: угол В.

– Посмотрите, я построил три различных угла – продолжил Электроша. – Может, вы сможете их назвать? – спросил он у ребят.

– Первый угол можно обозначить, как ∠PQR – начал Саша, – второй ∠EFT, а третий – ∠KOZ.

– Ещё эти углы можно обозначить так, – продолжил Паша, – ∠Q, ∠F и ∠O.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь посмотрите на следующие углы. Попробуйте сосчитать и назвать все углы на рисунке.

– Угол AOB, – начал Паша, – угол BOC и угол AOC.

– Всё верно! – сказал Электроша. – На нашем рисунке изображены три угла.

– А как же угол О? – спросил Саша.

– Ни один из трёх углов на рисунке нельзя обозначить только одной буквой. У них одна и та же вершина – точка О, но сами углы разные.

– Два угла могут иметь одну общую сторону, – продолжил Электроша. – На нашем рисунке углы AOB и BOC имеют общую сторону ОB. Также в этом случае говорят, что луч ОB проходит между сторонами угла АОC и делит его на два угла: АОB и BОC.

– А теперь давайте проведём небольшой эксперимент. Возьмём лист бумаги, отметим на нём точки M, О, N таким образом, как показано на рисунке. Перегнём лист так, чтобы его две соседние стороны совместились. Затем по линии сгиба проведём луч, например, ОP. Обратите внимание, мы получили два угла: угол MОP и угол NОP, которые совпадают.

Запомните! Два угла называют равными, если они совпадают при наложении.

– То есть углы MОP и NОP равны? – решили спросить ребята.

– Да! – ответил Электроша. – Угол MОP равен углу NОP, а записывают это так: . На рисунке равные углы, как правило, отмечают равным количеством дужек.

– Луч ОP имеет своё название. Такой луч называют биссектрисой угла.

Запомните! Биссектриса делит угол на два равных угла.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: отметьте в тетради точку О и проведите через неё две прямые. На прямых отметьте точки А, B, C и D по разные стороны от точки О. Сколько всего углов у вас получилось? Назовите их.

Решение: на рисунке получилось шесть углов: угол АОB, угол BОC, угол CОD, угол DОА, угол АОC и угол BОD.

Следующее задание: на рисунке угол АОC равен углу BОD. Есть ли ещё на рисунке равные углы? Если есть, то назовите их.

Решение: угол АОC состоит из двух углов: угла АОB и угла BОC. Аналогично и угол BОD состоит из углов BОC и CОD. Видим, что угол BОC общий угол углов АОC и BОD. Значит, углы АОB и CОD равны тоже.

– Ребята, вы отлично справляетесь с заданиями! – с радостью сказал Электроша. – А значит, вы обязательно справитесь с моей непростой задачей.

Итак, масса 4 персиков и 3 яблок вместе 425 г. А 3 персика и 4 яблока (вместе) имеют общую массу 345 г. Все персики имеют одинаковую массу. Яблоки тоже весят одинаково. Какова общая масса одного персика и одного яблока (вместе)?

Решение: так как по условию задачи 4 персика и 3 яблока вместе весят 425 г, а также 3 персика и 4 яблока вместе весят 345 г, то можем узнать, сколько будут весить 7 персиков и 7 яблок вместе, то есть к 425 прибавим 345, получим 770 г. А теперь можем найти вес одного персика и одного яблока вместе: 770 разделим на 7 и получим 110 г.

Ответ: 110 грамм общая масса одного персика и одного яблока.

videouroki.net

Вписанный угол — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Доказательство

Пусть ∠ABC{\displaystyle \angle ABC} — вписанный угол окружности с центром O{\displaystyle O}, опирающийся на дугу AC{\displaystyle AC}. Докажем, что ∠ABC=∠AOC/2{\displaystyle \angle ABC=\angle AOC/2}. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч BO{\displaystyle BO} совпадает с одной из сторон ∠ABC{\displaystyle \angle ABC}, например со стороной BC{\displaystyle BC}. В этом случае дуга AC{\displaystyle AC} меньше полуокружности, поэтому ∠AOC=AC{\displaystyle \angle AOC=AC}. Так как ∠AOC{\displaystyle \angle AOC} — внешний угол равнобедренного △ABO{\displaystyle \triangle ABO}, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, один из них это ∠ABC{\displaystyle \angle ABC}, значит их сумма равна 2∠ABC{\displaystyle 2\angle ABC}, a ∠AOC=2∠ABC{\displaystyle \angle AOC=2\angle ABC}. Отсюда следует, что ∠ABC=0,5∠AOC{\displaystyle \angle ABC=0{,}5\angle AOC}.

2. Луч BO{\displaystyle BO} делит ∠ABC{\displaystyle \angle ABC} на два угла. В этом случае луч BO{\displaystyle BO} пересекает дугу AC{\displaystyle AC} в некоторой точке D{\displaystyle D}. Точка D{\displaystyle D} разделяет дугу AC{\displaystyle AC} на две дуги: AD{\displaystyle AD} и DC{\displaystyle DC}. По доказанному в п.1 ∠ABD=0,5AD{\displaystyle \angle ABD=0{,}5AD} и ∠DBC=0,5DC{\displaystyle \angle DBC=0{,}5DC}. Складывая эти равенства почленно, получаем: ∠ABD+∠DBC=0,5AD+0,5DC{\displaystyle \angle ABD+\angle DBC=0{,}5AD+0{,}5DC}, или ∠ABC=0,5AC{\displaystyle \angle ABC=0{,}5AC}.

3. Луч BO{\displaystyle BO} лежит вне ∠ABC{\displaystyle \angle ABC}. В этом случае дуга AC{\displaystyle AC} составляет часть дуги AD{\displaystyle AD}. По доказанному в п.1 ∠ABD=0,5AD{\displaystyle \angle ABD=0{,}5AD} и ∠DBC=0,5DC{\displaystyle \angle DBC=0{,}5DC}. ∠ABC=∠ABD−∠DBC=0,5AD−0,5DC=0,5(AD−DC){\displaystyle \angle ABC=\angle ABD-\angle DBC=0{,}5AD-0{,}5DC=0{,}5(AD-DC)}. Т.к. дуга AC=AD−DC{\displaystyle AC=AD-DC}, то ∠ABC=0,5AC{\displaystyle \angle ABC=0{,}5AC}.

Следствия[править | править код]

• • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  • Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
    • Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.
• Угол между касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла и также равен половине дуги, на которую опирается.
• Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между хордами.

На теореме о вписанном угле основан метод решения геометрических задач, так называемый метод вспомогательной окружности. Идея метода состоит в использовании теоремы о вписанном угле и её обратной для нахождения вписанных четырёхугольников и далее использовании их для нахождения углов.^[1] Следующая задача является классическим примером на использование этого метода:

• Предположим три прямые проходящие через одну точку делят плоскость на 6 равных углов. Доказать, что ортогональные проекции произвольной точки на эти три прямые образуют правильный треугольник.

ru.wikipedia.org

∟ — Прямой угол эмоджи (U+221F)

Начертание символа «Прямой угол» в разных шрифтах

Ваш браузер

Описание символа

Прямой угол. Математические операторы.

Кодировка

unicode-table.com