Примеры обратных функций | Математика
Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.
Чтобы для данной функции y=f(x) найти обратную, надо:
1.В соотношении y=f(x) заменить x на y, а y — на x: x=f(y) .
2.В полученном выражении x=f(y) выразить y через x.
Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны.
Примеры нахождения обратных функций:
1) y=3x-8
1. x=3y-8
2. 3y=x+8
y=(x+8)/3.
2) y=11-5x
1. x=11-5y
2. 5y=11-x
y=(11-x)/5.
Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.
Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции — ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.
Пример обратных функций, заданных на промежутке.
y=x².
Это — квадратичная функция. Она убывает на промежутке (-∞;0), и
возрастает на промежутке (0;∞). Возьмем промежуток [0;∞). На этом промежутке функция монотонна, поэтому обратима. Ищем обратную функцию.
1. x=y²
2. y=√x.
y=x² и y=√x на [0;∞) — взаимно обратные функции.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.
Обратные функции (определение и свойства)
Определение и свойства
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство ⇓
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Доказательство ⇓
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).
Доказательство ⇓
Для возрастающей функции . Для убывающей – .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).
Доказательство ⇓
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на полуинтервале или , то на полуинтервале или определена обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Здесь .
Если строго возрастает, то интервалам и соответствуют интервалы и . Если строго убывает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Эта теорема доказывается тем же способом, что и теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале.
Примеры обратных функций
Арксинус

Графики y = sin x и обратной функции y = arcsin x.
Рассмотрим тригонометрическую функцию синус: . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от –1 до +1. Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения и множество значений .
Логарифм

Графики y = 2x и обратной функции y = log2 x.
Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .
Квадратный корень

Графики y = x2 и обратной функции .
Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения и множество значений .
Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n
Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a. То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n.
Решение
Рассмотрим функцию от переменной x:
(П1) .
Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности, покажем, что
.
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2)
.
Применим арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то отлично от нуля только первое слагаемое:
.
Непрерывность доказана.
Докажем, что функция (П1) строго возрастает при .
Возьмем произвольные числа , связанные неравенствами:
, , .
Нам нужно показать, что . Введем переменные . Тогда . Поскольку , то из (П2) видно, что . Или
.
Строгое возрастание доказано.
Найдем множество значений функции при .
В точке , .
Найдем предел .
Для этого применим неравенство Бернулли. При имеем:
.
Поскольку , то и .
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что .
Таким образом, , .
Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция . То есть для любого существует единственное , удовлетворяющее уравнению . Поскольку у нас , то это означает, что для любого , уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n из числа x:
.
Доказательства свойств и теорем
Доказательство леммы о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Формулировка ⇑ Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. Докажем, что она имеет обратную функцию. Исходя из определения ⇑, нам нужно доказать, что
для всех .
Допустим противное. Пусть существуют числа , так что . Пусть при этом . Иначе, поменяем обозначения, чтобы было . Тогда, в силу строгой монотонности f, должно выполняться одно из неравенств:
если f строго возрастает;
если f строго убывает.
То есть . Возникло противоречие. Следовательно, имеет обратную функцию .
Пусть функция строго возрастает. Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения:
. То есть нам нужно доказать, что если , то .
Допустим противное. Пусть , но .
Если , то . Этот случай отпадает.
Пусть . Тогда, в силу строгого возрастания функции , , или . Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Для строго возрастающей функции лемма доказана. Аналогичным образом можно доказать эту лемму и для строго убывающей функции.
Доказательство свойства о симметрии графиков прямой и обратной функций
Формулировка ⇑ Пусть – произвольная точка графика прямой функции :
(2.1) .
Покажем, что точка , симметричная точке A относительно прямой , принадлежит графику обратной функции :
.
Из определения обратной функции следует, что
(2.2) .
Таким образом, нам нужно показать (2.2).

График обратной функции y = f –1(x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x.
Из точек A и S опустим перпендикуляры на оси координат. Тогда
, .
Через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой . Пусть прямые пересекаются в точке C. На прямой строим точку S так, чтобы . Тогда точка S будет симметрична точке A относительно прямой .
Рассмотрим треугольники и . Они имеют две равные по длине стороны: и , и равные углы между ними: . Поэтому они конгруэнтны. Тогда
.
Рассмотрим треугольник . Поскольку , то
.
Тоже самое относится к треугольнику :
.
Тогда
.
Теперь находим и :
;
.
Итак, уравнение (2.2):
(2.2)
выполняется, поскольку , и выполняется (2.1):
(2.1) .
Так как мы выбрали точку A произвольно, то это относится ко всем точкам графика :
все точки графика функции , симметрично отраженные относительно прямой , принадлежат графику обратной функции .
Далее мы можем поменять и местами. В результате получим, что
все точки графика функции , симметрично отраженные относительно прямой , принадлежат графику функции .
Отсюда следует, что графики функций и симметричны относительно прямой .
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Формулировка ⇑Пусть обозначает область определения функции – отрезок .
1. Покажем, что множеством значений функции является отрезок :
,
где .
Действительно, поскольку функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем минимума и максимума . Тогда по теореме Больцано – Коши функция принимает все значения из отрезка . То есть для любого существует , для которого . Поскольку и есть минимум и максимум, то функция принимает на отрезке только значения из множества .
2. Поскольку функция строго монотонна, то согласно вышеприведенной лемме ⇑, существует обратная функция , которая также строго монотонна (возрастает, если возрастает ; и убывает, если убывает ). Областью определения обратной функции является множество , а множеством значений – множество .
3. Теперь докажем, что обратная функция непрерывна.
3.1. Пусть есть произвольная внутренняя точка отрезка : . Докажем, что обратная функция непрерывна в этой точке.
Пусть ей соответствует точка . Поскольку обратная функция строго монотонна, то есть внутренняя точка отрезка :
.
Согласно определению непрерывности нам нужно доказать, что для любого имеется такая функция , при которой
(3.1) для всех .
Заметим, что мы можем взять сколь угодно малым. Действительно, если мы нашли такую функцию , при которой неравенства (3.1) выполняются при достаточно малых значениях , то они будут автоматически выполняться и при любых больших значениях , если положить при .
Возьмем настолько малым, чтобы точки и принадлежали отрезку :
.
Введем и упорядочим обозначения:
.
Преобразуем первое неравенство (3.1):
(3.1) для всех .
;
;
;
(3.2) .
Поскольку строго монотонна, то отсюда следует, что
(3.3.1) , если возрастает;
(3.3.2) , если убывает.
Поскольку обратная функция также строго монотонна, то из неравенств (3.3) следуют неравенства (3.2).

Для любого ε > 0 существует δ, так что |f -1(y) – f -1(y0)| < ε для всех |y – y0| < δ.
Неравенства (3.3) определяют открытый интервал, концы которого удалены от точки на расстояния и . Пусть есть наименьшее из этих расстояний:
.
В силу строгой монотонности , , . Поэтому и . Тогда интервал будет лежать в интервале, определяемом неравенствами (3.3). И для всех значений , принадлежащих ему будут выполняться неравенства (3.2).
Итак, мы нашли, что для достаточно малого , существует , так что
при .
Теперь изменим обозначения.
Для достаточно малого , существует такое , так что
при .
Это означает, что обратная функция непрерывна во внутренних точках .
3.2. Теперь рассмотрим концы области определения. Здесь все рассуждения остаются теми же самыми. Только нужно рассматривать односторонние окрестности этих точек. Вместо точки будет или , а вместо точки – или .
Так, для возрастающей функции , . Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что
при .
Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что
при .
Для убывающей функции , .
Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что
при .
Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что
при .
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Формулировка ⇑ Пусть обозначает область определения функции – открытый интервал . Пусть – множество ее значений. Согласно приведенной выше лемме ⇑, существует обратная функция , которая имеет область определения , множество значений и является строго монотонной (возрастает если возрастает и убывает если убывает ). Нам осталось доказать, что
1) множеством является открытый интервал , и что
2) обратная функция непрерывна на нем.
Здесь .
1. Покажем, что множеством значений функции является открытый интервал :
.
Как и всякое непустое множество, элементы которого имеют операцию сравнения, множество значений функции имеет нижнюю и верхнюю грани:
.
Здесь и могут быть конечными числами или символами и .
1.1. Покажем, что точки и не принадлежат множеству значений функции. То есть множество значений не может быть отрезком .
Если или является бесконечно удаленной точкой: или , то такая точка не является элементом множества. Поэтому она не может принадлежать множеству значений.
Пусть (или ) является конечным числом. Допустим противное. Пусть точка (или ) принадлежит множеству значений функции . То есть существует такое , для которого (или ). Возьмем точки и , удовлетворяющие неравенствам:
.
Поскольку функция строго монотонна, то
, если f возрастает;
, если f убывает.
То есть мы нашли точку, значение функции в которой меньше (больше ). Но это противоречит определению нижней (верхней) грани, согласно которому
для всех .
Поэтому точки и не могут принадлежать множеству значений функции .
1.2. Теперь покажем, что множество значений является интервалом , а не объединением интервалов и точек. То есть для любой точки существует , для которого .
Согласно определениям нижней и верхней граней, в любой окрестности точек и содержится хотя бы один элемент множества . Пусть – произвольное число, принадлежащее интервалу : . Тогда для окрестности существует , для которого
.
Для окрестности существует , для которого
.
Поскольку и , то . Тогда
(4.1.1) если возрастает;
(4.1.2) если убывает.
Неравенства (4.1) легко доказать от противного. Но можно воспользоваться леммой ⇑, согласно которой на множестве существует обратная функция , которая строго возрастает, если возрастает и строго убывает, если убывает . Тогда сразу получаем неравенства (4.1).
Итак, мы имеем отрезок , где если возрастает;
если убывает.
На концах отрезка функция принимает значения и . Поскольку , то по теореме Больцано – Коши, существует точка , для которой .
Поскольку , то тем самым мы показали, что для любого существует , для которого . Это означает, что множеством значений функции является открытый интервал .
2. Теперь покажем, что обратная функция непрерывна в произвольной точке интервала : . Для этого применим предыдущую теорему ⇑ к отрезку . Поскольку , то обратная функция непрерывна на отрезке , в том числе и в точке .
Теорема доказана.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
Обратная функция — подготовка к ЕГЭ по Математике
Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.
Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.
Например, при
Сделали действие (возвели в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную .
А вот . Подумайте, почему это так.
Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество: для . Для положительных х функции и являются взаимно-обратными.
Еще один пример взаимно-обратных функций:
и при
Вспомним определение функции. Числовая функция y = f(x) — это такое соответствие между двумя числовыми множествами A и B, при котором каждому числу x ∈ A отвечает одно-единственное число y ∈ B. Множество A называется при этом областью определения функции, множество B — областью значений.
Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:
Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:
Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.
Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:
![]() | (1) |
Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.
Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.
То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.
Как вывести формулу обратной функции?
Если вы учитесь в математическом классе или на первом курсе вуза, вам может встретиться такое задание.
Например, у вас есть линейная функция Какая же функция будет к ней обратной?
Действуем следующим образом:
1) Выражаем из формулы функции x через у.
Получаем:
2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:
Другой пример. Найдем обратную функцию для функции .
1) Выражаем из формулы функции x через у. Получаем:
2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Определение функции, обратная функция. Видеоурок. Алгебра 10 Класс
Пусть

Функция
– это соответствие, которое каждому элементу из множества
сопоставляет единственный элемент из множества
.
Природа элементов множества

Если даны числовое множество и правило
, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу
из множества
определенное число


Областью определения функции называют множество всех значений
, для которых функция имеет смысл.
Множество всех значений функции ,
,
– независимая переменная (аргумент)
– зависимая переменная
– область определения функции

Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где
.
Примеры
1. ;
Графиком этой функции является часть гиперболы (см. Рис. 1). Область определения – это проекция графика на ось , область значения – это проекция графика на ось
.
Область определения: .
Область значения: .
Рис. 1. График функции ;
Любая вертикальная прямая (если
принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как, согласно определению функции, закон
такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.
2. (см. Рис. 2).
Рис. 2. График функции
Область определения: .
Область значения: .
3. ;
(см. Рис. 3).
Рис. 3. График функции;
Область определения: .
Область значения: .
4. ;
(см. Рис. 4).
Рис. 4. График функции ;
Область определения: .
Область значения: .
В монотонной функции каждое значение достигается только при одном значении
(на рисунке 5 показан пример графика монотонно возрастающей функции). То есть уравнение
, где
, имеет только одно решение (
достигается при единственном значении
).
Рис. 5. График монотонной функции
Пусть – это монотонная функция. Следовательно, каждому
из области значения сопоставляется единственное значение
из области определения. Тем самым задается функция, которая называется обратной, и обозначается
. В этом случае независимой переменной является
, а зависимой –
.
Обратная функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством значений и областью определения прямой функции.
У каждой монотонной функции есть обратная функция. Однако многие функции кусочно монотонные, обратные функции у них будут существовать только в тех интервалах, где они монотонны.
Например:
1. Функция (см. Рис. 2) немонотонная,
достигается при
и при
, следовательно, на всей области определения для этой функции не существует обратной.
2. Функция ;
(см. Рис. 3) монотонная (возрастающая), например,
достигается только при
, следовательно, для нее существует обратная функция.
3. Функция ;
(см. Рис. 4) монотонная (убывающая), например,
достигается только при
, следовательно, для нее существует обратная функция.
Графиком обратной функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где
.
Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой (см. Рис. 6).
Рис. 6. Графики прямой и обратной функции
Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности: если прямая функция возрастает, то и обратная функция возрастает; если прямая функция убывает, то и обратная функция убывает.
Дано: монотонная функция и ее график.
Найти: обратную функцию и ее график.
Решение
1. Решим относительно уравнение
, где
:
Мы получили обратную функцию в осях . Для удобства изменим название переменных, получим:
– в осях
2. График обратной функции получим симметрией относительно графика прямой функции.
Примеры на применение методики
Задача 1
Дано: монотонная функция.
Найти: обратную функцию и ее график.
Решение
1. Решим относительно уравнение
, получаем:
– обратная функция
Переобозначим переменные и получим:
2. График прямой функции – это правая ветвь параболы, график обратной функции будет симметричен относительно прямой (см. Рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Задача 2
Дано: монотонная функция.
Найти: обратную функцию и ее график.
Решение
1. Решим относительно x уравнение , получаем:
– обратная функция
Переобозначим переменные и получим:
2. График прямой функции – это левая ветвь параболы, график обратной функции будет симметричен относительно прямой (см. Рис. 8).
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Список литературы
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт ege-study.ru (Источник)
2. Интернет-сайт helpmatan.ru (Источник)
3. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)
4. Интернет-сайт mathematics.ru (Источник)
5. Интернет-сайт (Источник)
Домашнее задание
1. Задание 7.21 (а, в), 7.44 (а), 10.4, 10.13 (а, в) (стр. 41-64) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник).
2. Дана функция ;
. Найти обратную функцию и ее график.
3. Пусть область значений функции есть отрезок
. Найдите множество значений функции
.
Обратная функция | Алгебра
Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?
Определение.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
x=f(y).
2) Из полученного равенства выразить y через x:
y=g(x).
Пример.
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6
y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.
Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).
1) x=y².
2)
Так как y≥0, то
то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Обратимая функция — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
График линейной функции, которая является обратимой. График квадратичной функции, которая не является обратимой.Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.
Если функция y=f(x){\displaystyle y=f(x)} такова, что для любого её значения y0{\displaystyle y_{0}} уравнение f(x)=y0{\displaystyle f(x)=y_{0}} имеет относительно x{\displaystyle x} единственный корень, то говорят, что функция f{\displaystyle f} обратима.
- Если функция y=f(x){\displaystyle y=f(x)} определена и возрастает (или убывает) на промежутке X{\displaystyle X} и областью её значений является промежуток Y{\displaystyle Y}, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на X{\displaystyle X}.[1]
- Если функция y=f(x){\displaystyle y=f(x)} задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение f(x)=y{\displaystyle f(x)=y} относительно x{\displaystyle x}, а потом поменять местами x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}.
- Если уравнение f(x)=y{\displaystyle f(x)=y} имеет более одного корня, то функции, обратной функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, не существует.
- Графики обратных функций симметричны относительно прямой y=x{\displaystyle y=x}.
- Если f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} – функции, обратные друг другу, то E(f)=D(g){\displaystyle E(f)=D(g)}, D(f)=E(g){\displaystyle D(f)=E(g)}, где D{\displaystyle D} и E{\displaystyle E} – области определения и значений соответственно.
- Обратная функция может существовать только для обратимой функции.
- ↑ Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — Москва: Просвещение, 1988. — С. 92. — ISBN 5-09-001292-X.
Конспект по математике по теме «Обратная функция»
Обратная функция — определение и примеры нахождения.
Определение обратной функции.
Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения
, область значений этой функции
, тогда на интервале
определена непрерывная строго монотонная функция
с областью значений
, которая является обратной для
.
Другими словами, об обратной функции для функции
на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале
либо возрастает, либо убывает.
Функции f и g называют взаимно обратными.
Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?
Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.
Примеры нахождения взаимнообратных функций.
Например, требуется решить уравнение .
Решениями являются точки .
Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.
Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.
Начнем с линейных взаимнообратных функций.
Пример.
Найти функцию обратную для .
Решение.
Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).
— это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать
.
Таким образом, и
— взаимно обратные функции.
Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.
Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.
Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.
Пример.
Найти функцию обратную для .
Решение.
Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал . Выразим x через y (другими словами, решим уравнение
относительно x).
— это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем
.
Таким образом, и
— показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.
График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.
К началу страницы
Свойства взаимно обратных функций.
Перечислим свойства взаимно обратных функций и
.
Замечание по свойству 1).
Рекомендуем ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО относиться к области определения и области значений функций.
Например: и
— взаимно обратные функции. По первому свойству имеем
. Это равенство верно только для положительных y , для отрицательных y логарифм не определен. Так что не спешите с записями вида
, а если уж так написали, то следует добавить фразу «при положительных y».
Равенство в свою очередь верно для любых действительных x.
Надеемся, Вы уловили этот тонкий момент.
Особенно аккуратными надо быть с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.
К примеру, , так как область значений арксинуса
, а
в нее не попадает.
Правильно будет
В свою очередь есть верное равенство.
То есть при
и
при
.
Еще раз подчеркнем: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ!
К началу страницы
Графики основных элементарных взаимно обратных функций.
Для степенной функции при
обратной является также степенная функция
Если заменить буквы, то получим пару взаимно обратных функций
и
Графики для положительных а и отрицательных а.
Подразумеваем, что а положительное и не равное единице число.
Графики для и для
График главной ветви синуса и арксинуса (светлая область).
График главной ветви косинуса и арккосинуса (светлая область).
График главной ветви тангенса и арктангенса (светлая область).
График главной ветви котангенса и арккотангенса (светлая область).
Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.
Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину
вдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на
.