Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Определение 1

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

1) y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Пример 2

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y»,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0  — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Определение 2

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Определение 3

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Определение 4

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Определение 5

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f»(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ

n-ой степени с постоянными коэффициентами Определение 6

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Решением дифференциального уравнения — Решение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

или

.

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения

называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение — уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и — произвольные постоянные.

В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной

C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения

y ^I = f(x,y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x_o ) = y_o, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y) — правая часть дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) — непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f ^I_y (x,y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение
,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = — 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X² — 3.

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

Интегральные кривые

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.
Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

или

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

6.01. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения

Определение 1. Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у’, у», у»’,… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция У и её аргумент Х Могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется Порядком этого уравнения.

Таким образом,

F(х; у; у’) = 0 (1.1)

— общий вид дифференциального уравнения первого порядка;

F(х; у; у’; у») = 0 (1.2)

— общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т. д.

В соответствии со сказанным выше в уравнении первого порядка (1.1) обязательно наличие лишь У’, а наличие Х и У Не обязательно. В уравнении второго порядка (1.2) обязательно наличие лишь У», а наличие остальных его элементов Х, у и У’ не обязательно.

Определение 2. Решением (частным решением) дифференциального уравнения на некотором промежутке [A; B] оси ох называется функция, удовлетворяющая для всех х є [A;B] дифференциальному уравнению, то есть обращающая его в тождество (верное числовое равенство 0=0). Графики частных решений У = F(х) дифференциального уравнения называется его интегральными кривыми.

Например, функция У = х² является частным решением дифференциального уравнения первого порядка У’-2х = 0 для всех Х От — ∞ до + ∞. А интегральной кривой, соответствующей данному частному решению, является парабола с уравнением У = х².

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = F(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением. Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями Дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение У’-2х = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению У’ = 2х. Следовательно, все функции У, удовлетворяющие этому уравнению, являются первообразными для функции 2х (см. §1, глава 5). Но множество всех первообразных для данной функции – это неопределенный интеграл от неё. Поэтому все частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0 найдутся по формуле:

Формула У = х² + С представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’-2х = 0. Эта формула содержит в себе множество функций (ибо С – неопределенная константа), и все эти функции — частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0. Особых решений у этого дифференциального уравнения нет. Интегральными кривыми данного дифференциального уравнения являются параболы У = х² + С (их бесконечно много). Все частные решения, входящие в общее решение У = х² + С, являются ими для всех Х От — ∞ до + ∞.

А теперь сделаем следующее важное замечание. Функция У = F(х), являющаяся частным решением данного дифференциального уравнения, может быть им лишь для тех Х, для которых определена и она, и все её производные, входящие в дифференциальное уравнение. Вносит свои ограничения и сама структура дифференциального уравнения (что-то в нем может находиться под корнем, что-то под логарифмом и т. д.). А так как у разных функций, вообще говоря, разные области определения (особенно с учетом областей определения их производных), то разные частные решения У = F(х) дифференциального уравнения удовлетворяют этому уравнению, вообще говоря, на разных числовых множествах оси Ох.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка Уу’ = х.

Решение. Проведем следующие тождественные преобразования:

Множество функций содержит в себе все частные решения дифференциального уравнения Уу’ = х. Таким образом, формула является общим решением этого уравнения. Особых решений у него нет.

А теперь проанализируем полученное общее решение уравнения У у’ = х.

А) Если С>0, то и функции , и их производные

Определены для любых Следовательно, при С>0 эти функции являются решениями дифференциального уравнения при любых Х.

Б) Если С=0, то получаем две функции , которые определены для любых Но вот производные у них существует для любых Х, кроме точки Х=0, что наглядно демонстрируют графики этих функции (см. рис.

6.1(а) и 6.1 (б)).

Действительно, согласно геометрического смысла производной (глава 4, формула 1.11) производная функции связана касательной к графику функции. А такой касательной к графикам функций при Х=0, очевидно, не существует. Поэтому функции является решениями дифференциального уравнения для всех Х, кроме Х=0.

В) Если С<0, то –С=>0, и тогда получаем функции , которые определены лишь при Х и при Х, причем их производные определены строго при Х>А и при Х<-А. Поэтому функции являются решениями дифференциального уравнения лишь на интервалах Х>А и Х<-А. При изменении величины А меняются и эти интервалы.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнения первого порядка .

Решение. Очевидно, что функция У=0 является решениям (частным решением) данного дифференциального уравнения. Поищем возможные другие решения этого уравнения, когда . Для этого проведем следующие тождественные преобразования данного уравнения:

|разделим переменные Х и У||проинтегрируем обе части| |

Функции (их бесчисленное множество), как и функция У=0, представляют собой частные решения дифференциального уравнения У’= ху² (убедитесь в этом, найдя У‘ и подставив У и У’ в это уравнение). У каждой из этих функций своя область определения, зависящая от величины константы С. В формуле содержатся все частные решения дифференциального уравнения У’= ху², кроме решения У = 0 (оно не получается по этой формуле ни при каком значении С). Таким образом, формула представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’= ху². А У = 0 – особое решение этого уравнения. Заметим, что и интегральная кривая, соответствующая этому особому решению У=0 (ось Ох) кардинально отличается от кривых .

В примерах (1) – (3) мы решили три различных дифференциальных уравнения первого порядка, и у каждого из них оказалось бесчисленное множество частных решений. Произошло это потому, что в процессе решения каждого из них мы применяли операцию интегрирования (операцию вычисления неопределенных интегралов). Интегрирование привело к появлению неопределенной константы интегрирования С, которая затем вошла в выражение для искомой функции У: у = у(х;С). Таким образом, мы получили множество частных решений дифференциального уравнения. Это множество включало в себя или все частные решения дифференциального уравнения (в примерах 1 и 2), или почти все (в примере 3). Поэтому это множество У = у(х;С) частных решений дифференциального уравнения представляло собой общее решение этого уравнения.

По такой схеме (интегрированием) находят общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0. Действительно, чтобы решить такое уравнение, то есть чтобы найти те функции У = F(х), Которые ему удовлетворяют, нужно «вытащить» функцию У из-под знака её производной. А это как раз и делается с помощью процедуры интегрирования – процедуры, обратной дифференцированию.

Итак, Схема получения общего решения любого дифференциального уравнения первого порядка такова:

|интегрируем уравнение| (1.3)

Отметим, что далеко не всегда удается получить общее решение дифференциального уравнения в явном виде, то есть в виде , когда У выражен через Х И С. Зачастую общее решение получается в неявном виде , из которого выразить У через Х и С Не удается. Тогда его в таком неявном виде и оставляют.

Общее решение дифференцированного уравнения, в каком бы виде (явном, неявном) оно ни было получено, называют ещё Общим интегралом дифференцированного уравнения.

Не факт, что в найденное общее решение (в общий интеграл) дифференцированного уравнения войдут все его частные решения (подтверждением этого служит пример 3). Те частные решения , ,… дифференциального уравнения, которые не войдут в его общее решение, будут его особыми решениями. Их тоже нужно найти (не потерять). В противном случае дифференциальное уравнение окажется решенным неполноценно.

В заключении данного параграфа укажем, в таких задачах естествознания следует ожидать появления дифференциальных уравнений.

Так как решениями дифференциальных уравнений являются функции, а каждая функция в принципе описывает процесс изменения одной переменной при изменении другой переменной , То дифференциальные уравнения, по идее, должны широко встречаться в задачах по исследованию различного рода процессов ( физических, химических, биологических, технологических, экономических, общественных, и т. д.). В следующих параграфах мы приведём примеры, подтверждающее это предположение.

Упражнения

1. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: — общее решение.

2. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: — общее решение.

3. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: — общее решение; У=1 – особое решение.

< Предыдущая		Следующая >

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — это… Что такое ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ?

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения — семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Напр., для уравнения dу=2xdx общим решением является y=x2+C, где С — произвольная постоянная.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

• ОБЩЕЕ ПРАВО
• ОБЩЕЕ ЯЗЫКОЗНАНИЕ

Смотреть что такое «ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ» в других словарях:

• Общее решение — дифференциального уравнения функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где конкретные числа, то функция… …   Википедия

• общее решение — решение в общем виде — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы решение в общем виде EN general solution …   Справочник технического переводчика

• Общее решение —         обыкновенного дифференциального уравнения          у (n) = f (х, у, у ,…, у (n 1)) семейство функций у= φ(x, C1,…, Сп),          непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C1,. .., Cn, такое, что при соответствующем выборе этих… …   Большая советская энциклопедия

• общее решение — дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Например, для уравнения dy = 2xdx общим решением… …   Энциклопедический словарь

• общее решение — bendrasis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. general solution vok. allgemeine Lösung, f rus. общее решение, n pranc. solution générale, f …   Fizikos terminų žodynas

• ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — системы обыкновенных дифференциальных уравнений п гопорядка в области G гладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n параметрическое семейство вектор функций откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое… …   Математическая энциклопедия

• ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соотв. выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение ур ния. Напр., для ур ния dy = 2xdx О. р. является у = х2 + С, где С… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где конкретные числа, то функция вида …   Википедия

• принимавший общее решение — прил., кол во синонимов: 2 • приходивший к взаимному соглашению (4) • уряжавший (9) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

• принявший общее решение — прил., кол во синонимов: 2 • пришедший к соглашению (21) • урядивший (14) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

Урок 26.

простейшие дифференциальные уравнения — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Таблица первообразных.

Функция f(x)	Первообразная F(x)
0	C = const
1	x + C
cos x	sin x + C
sin x	-cos x + C

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Решение

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at²/2

х’(t) = v(t) .

Найдем все первообразные функции 4t+4

х(t)= 4t+2t² +c.

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

х=2t²+4t+10

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t²+4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Решение:

 Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

0=(1)²/2 +с

С=-1/2

Ответ с = -0,5

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Решение

Найдем все первообразные функции 4х+5

Найдем число С , такое, у(-2)=10

Подставим х = – 2, y = 10 , получим:

10=(-2)² +5(-2)+с

С=12

Следовательно, у=5х +2х² +12 ,

Ответ: у=5х +2х² +С, где С= 12

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y»)=0, F(x,y,y’,y»,.., y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x² +y² = 5².

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y)  удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y)  при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y)  которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1  в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x², если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т. е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид:  y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение:   u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0  если y =1  при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, . y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r², y’  через r, yчерез 1:r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p² -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

в) D < 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет комплексные корни, Общее решение дифференциального уравнения выражается, в виде 

Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение

D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение

— частное решение.

IV. Практическая работа

Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)

б)

в)

г)

Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2. а)	2. а)
б)	б)
в)	в)
г)	г)

eUniver — Авторизация

При рассмотрении обращений обучающихся, сотрудников и предподавателей Университета, лицо ответственное за рассмотрение обращения и подготовку ответа руководствуется положенями Закона Республики Казахстан от 12 января 2007 года № 221-III «О порядке рассмотрения обращений физических и юридических лиц». При возникновении вопроса обучающемуся необходимо соблюсти следующий порядок обращения с заявлением: обучающийся обращается к куратору (эдвайзеру), заведующему кафедрой, заместителям декана по воспитательной работе и учебно-методической работе, декану факультета, проректору курирующему данный вопрос. В случае если по вопросу не было принято решение, то обращение обучающегося рассматривается первым руководителем университета. При возникновении вопроса сотруднику университета необходимо соблюсти следующий порядок обращения с заявлением: сотрудник обращается к непосредственному руководителю, проректору, курирующему данный вопрос и в случае если по вопросу не принято решение, обращение рассматривается первым руководителем университета. Преподавателю университета необходимо соблюсти следующий порядок обращения с заявлением, при возникновении вопроса: преподаватель обращается заведующему кафедрой, декану факультета, проректору, курирующему данный вопрос и в случае если решение по вопросу не было принято обращение преподавателя рассматривается первым руководителем университета.

Университет білім алушыларының, қызметкерлері мен оқытушыларының өтініштерін қарау кезінде өтінішті қарауға және жауап дайындауға жауапты тұлға «Жеке және заңды тұлғалардың өтініштерін қарау тәртібі туралы «Қазақстан Республикасының 2007 жылғы 12 қаңтардағы № 221-III Заңының ережелерін басшылыққа алады. Бұл ретте білім алушы өтінішпен жүгінудің келесі тәртібін сақтауы қажет. Проблемалық сұрақ туындаған жағдайда білім алушы кураторға (эдвайзерге) кафедра меңгерушісіне, тәрбие жұмысы немесе оқу-әдістемелік жұмыс жөніндегі деканның орынбасарына, факультет декана, жетекшілік ететін проректора жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды. Университет қызметкері өтініш берудің келесі тәртібін сақтауы қажет. Проблемалық мәселе туындаған жағдайда қызметкер тікелей бөлім басшысына, мәселеге жетекшілік ететін проректорға жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды. Университет оқытушысы өтініш берудің келесі тәртібін сақтауы керек. Проблемалық сұрақ туындаған жағдайда оқытушы кафедра меңгерушісіне, факультет деканына, мәселеге жетекшілік ететін проректорға жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды.

Дифференциальные уравнения — основные понятия

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Основные понятия

В этой главе мы будем рассматривать исключительно линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Наиболее общее линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид.

\ [\ begin {уравнение} p \ left (t \ right) y » + q \ left (t \ right) y ‘+ r \ left (t \ right) y = g \ left (t \ right) \ label {уравнение: уравнение1} \ end {уравнение} \]

На самом деле, мы редко будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами. В случае, когда мы предполагаем постоянные коэффициенты, мы будем использовать следующее дифференциальное уравнение.

\ [\ begin {уравнение} ay » + by ‘+ cy = g \ left (t \ right) \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Там, где это возможно, мы будем использовать \ (\ eqref {eq: eq1} \) только для того, чтобы указать, что определенные факты, теоремы, свойства и / или методы могут использоваться с непостоянной формой. Однако большую часть времени мы будем использовать \ (\ eqref {eq: eq2} \), поскольку решить дифференциальные уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами может быть довольно сложно.

Сначала мы упростим себе жизнь, рассмотрев дифференциальные уравнения с \ (g (t) = 0 \). Когда \ (g (t) = 0 \) мы называем дифференциальное уравнение однородным , а когда \ (g \ left (t \ right) \ ne 0 \), мы называем дифференциальное уравнение неоднородным .

Итак, давайте начнем думать о том, как решить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом.Вот общий постоянный коэффициент, однородное, линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

\ [ay » + by ‘+ cy = 0 \]

Пожалуй, лучше всего начать с примера. Этот пример приведет нас к очень важному факту, который с этого момента мы будем использовать в каждой задаче. Этот пример также подскажет, как их решать в целом.

Пример 1 Определите некоторые решения \ [y » — 9y = 0 \] Показать решение

Мы можем получить здесь некоторые решения, просто осмотрев.{- 3t}} \]

будет решением дифференциального уравнения.

Этот пример приводит нас к очень важному факту, который мы будем использовать практически в каждой задаче в этой главе.

Принцип суперпозиции

Если \ ({y_1} \ left (t \ right) \) и \ ({y_2} \ left (t \ right) \) являются двумя решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то

тоже. \ [\ begin {уравнение} y \ left (t \ right) = {c_1} {y_1} \ left (t \ right) + {c_2} {y_2} \ left (t \ right) \ label {eq: eq3} \ конец {уравнение} \]

Обратите внимание, что мы не включали сюда ограничение постоянного коэффициента или второго порядка.Это будет работать для любого линейного однородного дифференциального уравнения.

Если мы дополнительно примем второй порядок и еще одно условие (которое мы дадим через секунду), мы можем пойти еще дальше.

Если \ ({y_1} \ left (t \ right) \) и \ ({y_2} \ left (t \ right) \) — два решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, и они «достаточно хороши» тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка дается выражением \ (\ eqref {eq: eq3} \).

Итак, что мы подразумеваем под «достаточно хорошим»? Мы отложим это до следующего раздела. Надеюсь, сейчас вы поверите, когда мы скажем, что определенные функции «достаточно хороши».

Итак, если мы теперь сделаем предположение, что имеем дело с линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, теперь мы знаем, что \ (\ eqref {eq: eq3} \) будет его общим решением. Следующий вопрос, который мы можем задать, — как найти константы \ (c_ {1} \) и \ (c_ {2} \).Поскольку у нас есть две константы, есть смысл, будем надеяться, что нам понадобятся два уравнения или условия, чтобы их найти.

Один из способов сделать это — указать значение решения в двух разных точках, или

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0,25 дюйма} y \ left ({{t_1}} \ right) = {y_1} \]

Обычно они называются граничными значениями и не являются основной темой данного курса, поэтому мы не будем с ними работать. Мы дадим краткое введение в граничные значения в следующей главе, если вам интересно узнать, как они работают, и некоторые проблемы, возникающие при работе с граничными значениями.

Другой способ найти константы — указать значение решения и его производную в определенной точке. Или

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0,25 дюйма} y ‘\ left ({{t_0}} \ right) = {y’_0} \]

Это два условия, которые мы здесь будем использовать. Как и в случае с дифференциальными уравнениями первого порядка, они будут называться начальными условиями. {r \, t}} \ label {eq: eq5} \ end {уравнение} \]

Чтобы убедиться, что мы правы, все, что нам нужно сделать, это вставить это в дифференциальное уравнение и посмотреть, что произойдет.2} + br + c = 0 \ label {eq: eq6} \ end {формула} \]

Это уравнение обычно называется характеристическим уравнением для \ (\ eqref {eq: eq4} \).

Итак, как мы можем использовать это, чтобы найти решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Сначала запишите характеристическое уравнение \ (\ eqref {eq: eq6} \) для дифференциального уравнения \ (\ eqref {eq: eq4} \). Это будет квадратное уравнение, поэтому мы должны ожидать два корня, \ (r_ {1} \) и \ (r_ {2} \).{{r _ {\, 2}} \, t}} \ label {eq: eq7} \ end {уравнение} \]

Давайте взглянем на небольшой пример.

Пример 3 Найдите два решения \ [y » — 9y = 0 \] Показать решение

Это то же дифференциальное уравнение, которое мы рассматривали в первом примере. Однако на этот раз давайте не будем просто гадать. Давайте пройдемся по описанному выше процессу, чтобы увидеть, что функции, которые мы предполагаем выше, совпадают с функциями, которые дает нам процесс.{- 3t}} \]

Они совпадают с первыми предположениями, которые мы сделали в первом примере.

Вы заметите, что мы не упомянули, действительно ли два решения, перечисленные в \ (\ eqref {eq: eq7} \), «достаточно хороши», чтобы сформировать общее решение для \ (\ eqref {eq: eq4 } \). Это было сделано намеренно. У нас есть три случая, которые нам нужно рассмотреть, и в каждом из этих случаев они будут рассматриваться по-разному.

Итак, каковы случаи? Как мы ранее отметили, характеристическое уравнение является квадратичным и поэтому будет иметь два корня: \ (r_ {1} \) и \ (r_ {2} \).У корней будет три возможных формы. Это

1. Действительные различные корни, \ ({r_1} \ ne {r_2} \).
2. Комплексный корень, \ ({r_ {1,2}} = \ lambda \ pm \ mu \, i \).
3. Двойные корни, \ ({r_1} = {r_2} = r \).

В следующих трех разделах каждый из них будет рассмотрен более подробно, включая предоставление форм для решения, которое будет «достаточно хорошим», чтобы получить общее решение.

17.2: Неоднородные линейные уравнения — математика LibreTexts

В этом разделе мы исследуем, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

Общее решение неоднородного линейного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \ nonumber \]

Соответствующее однородное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = 0 \ nonumber \]

называется дополнительным уравнением .Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

Определение: частное решение

Решение \ (y_p (x) \) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных постоянных, называется частным решением этого уравнения.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть \ (y_p (x) \) будет любым частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\]

Кроме того, пусть \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения равно

\ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \]

Проба

Чтобы доказать, что \ (y (x) \) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме. Подставляя \ (y (x) \) в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align} a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ′ \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) \ nonumber \\ = [a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ′ + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2)] \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p \ nonumber \\ = 0 + r (x) \\ = r (x).\ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Итак, \ (y (x) \) — решение.

Пусть теперь \ (z (x) \) будет любым решением \ (a_2 (x) y » + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \) Тогда

\ [\ begin {align *} a_2 (x) (z − y_p) ″ + a_1 (x) (z − y_p) ′ + a_0 (x) (z − y_p) = (a_2 (x) z ″ + a_1 (x) z ′ + a_0 (x) z) \ nonumber \\ \; \; \; \ ;−( a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p) \ nonumber \\ = r (x) −r (x) \ nonumber \\ = 0, \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

, поэтому \ (z (x) −y_p (x) \) является решением дополнительного уравнения. Но \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2 \) такие, что

\ [z (x) −y_p (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x).\ nonumber \]

Отсюда видим, что

\ [z (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): проверка общего решения

Учитывая, что \ (y_p (x) = x \) является частным решением дифференциального уравнения \ (y ″ + y = x, \), запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

Решение

Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0, \) имеет общее решение \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x.\) Итак, общее решение неоднородного уравнения

\ [у (х) = с_1 \ соз х + с_2 \ грех х + х. \ nonumber \]

Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

\ [y ′ (x) = — c_1 \ sin x + c_2 \ cos x + 1 \ nonumber \]

и

\ [y ″ (x) = — c_1 \ cos x − c_2 \ sin x. \ nonumber \]

Затем

\ [\ begin {align *} y ″ (x) + y (x) = −c_1 \ cos x − c_2 \ sin x + c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + x \ nonumber \\ = x. \ nonumber \ end {align *} \]

Итак, \ (y (x) \) является решением \ (y ″ + y = x \).{4x} −2 \]

В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида \ (ay ″ + by ′ + cy = r (x) \) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и проблема сводится к нахождению частного решения для неоднородного уравнения. Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

Неопределенные коэффициенты

Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \ (r (x) \).Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Поэтому, когда \ (r (x) \) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): неопределенные коэффициенты, когда \ (r (x) \) является многочленом

Найдите общее решение задачи \ (y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \).{−3x} \). Поскольку \ (r (x) = 3x \), конкретное решение может иметь вид \ (y_p (x) = Ax + B \). Если это так, то мы имеем \ (y_p ′ (x) = A \) и \ (y_p ″ (x) = 0 \). Чтобы \ (y_p \) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align} y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \ nonumber \\ 0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x \ nonumber \\ 3Ax + (4A + 3B) = 3x. \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

\ [\ begin {align *} 3A = 3 \\ 4A + 3B = 0. αx sin βx,” in the second column.»> Таблица \ (\ PageIndex {1} \): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов \ (r (x) \) Первоначальное предположение для \ (y_p (x) \) \ (k \) (постоянная) \ (A \) (постоянная) \ (ах + b \) \ (Ax + B \) ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если \ (b = 0 \).{−2x} \).

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
2. Основываясь на форме \ (r (x) \), сделайте начальное предположение для \ (y_p (x) \).
3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для \ (y_p (x) \) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \ (x. \). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \ (y_p (x) \) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
4. Подставьте \ (y_p (x) \) в дифференциальное уравнение и приравняйте аналогичные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в \ (y_p (x) \).
5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение неоднородных уравнений

Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.{−3x} \) (шаг 1). Основываясь на форме \ (r (x) = — 6 \ cos 3x, \), наше первоначальное предположение для конкретного решения будет \ (y_p (x) = A \ cos 3x + B \ sin 3x \) (шаг 2) . Ни один из членов в \ (y_p (x) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть

\ [y_p ′ (x) = — 3A \ sin 3x + 3B \ cos 3x \ text {and} y_p ″ (x) = — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x, \]

поэтому мы хотим найти такие значения \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align *} y ″ −9y = −6 \ cos 3x \\ — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x − 9 (A \ cos 3x + B \ sin 3x) = −6 \ cos 3x \\ −18A \ cos 3x − 18B \ sin 3x = −6 \ cos 3x.2 + Bt \) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в \ (y_p (t) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому мы подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть \ (y_p ′ (t) = 2At + B \) и \ (y_p ″ (t) = 2A \), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

\ [\ begin {align *} y ″ −3y ′ = −12t \\ 2A − 3 (2At + B) = −12t \\ −6At + (2A − 3B) = −12t. \ end {align *} \]

Следовательно,

\ [\ begin {align *} — 6A = −12 \\ 2A − 3B = 0.{2t} −5 \ cos 2t + \ sin 2t \)

Изменение параметров

Иногда \ (r (x) \) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход под названием метод вариации параметров .

Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на \ (a, \), чтобы у нас был старший коэффициент, равный 1.Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

\ [y ″ + py ′ + qy = r (x), \]

где \ (p \) и \ (q \) — константы.

Если общее решение дополнительного уравнения дается выражением \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \), мы будем искать частное решение вида

\ [y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x). \]

В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения, чтобы сформировать наше частное решение. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями от \ (x \), а не константами.Мы хотим найти функции \ (u (x) \) и \ (v (x) \) такие, что \ (y_p (x) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас

\ [\ begin {align *} y_p = uy_1 + vy_2 \\ y_p ′ = u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′ \\ y_p ″ = (u′y_1 + v′y_2) ′ + u ′ y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″. \ end {align *} \]

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align *} y_p ″ + py_p ′ + qy_p = [(u′y_1 + v′y_2) ′ + u′y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″] \\ \; \ ; \; \; + p [u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′] + q [uy_1 + vy_2] \\ = u [y_1 ″ + p_y1 ′ + qy_1] + v [y_2 ″ + py_2 ′ + qy_2] \\ \; \; \; \; + (u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′).\ end {align *} \]

Обратите внимание, что \ (y_1 \) и \ (y_2 \) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

\ [(u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′) = r (x). \]

Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \ (u′y_1 + v′y_2 = 0 \), первые два члена равны нулю, и это сведется к \ (u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r ( Икс)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\ [\ begin {align *} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x).\ end {align *} \]

Решение этой системы дает нам \ (u ′ \) и \ (v ′ \), которые мы можем проинтегрировать, чтобы найти \ (u \) и \ (v \).

Тогда \ (y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x) \) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей. 2 x \ cos x ( \ text {step 2}).т \ лн | т | \)

Общие и частные решения

Общие и частные решения

Здесь научимся находить общее решение дифференциального уравнения, и используйте это общее решение, чтобы найти конкретное решение. Мы будем также примените это к задачам ускорения, в которых мы используем ускорение и начальные условия объекта для определения положения функция.

Пример 1: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Во-первых, нам нужно найти общее решение.Для этого нам нужно проинтегрировать обе стороны, чтобы найти y:

Это дает нам общее решение. Чтобы найти конкретное решение, нам нужно применить начальные условия, заданные для us (y = 4, x = 0) и решаем относительно C:

После того, как мы решаем C, у нас есть конкретное решение.

Пример 2: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Во-первых, нам нужно интегрировать обе стороны, что дает нам общее решение:

Теперь мы применяем начальные условия (x = 1, y = 4) и решаем для C, которое мы используем для создания нашего конкретного решения:

Пример 3: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциала уравнение, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Сначала мы находим общее решение, интегрируя обе части:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить начальные условия и найти конкретное решение:

Скорость и ускорение

Здесь мы будем применять конкретные решения для нахождения функций скорости и положения от ускорения объекта.

Пример 4: Поиск функции положения

Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть функция ускорения, начальная скорость 10, и начальное положение 5, и ищем функция положения. Мы знаем, что интеграл ускорения равен скорость, поэтому начнем с этого:

Теперь у нас есть общее решение для скорости функция.Чтобы получить конкретное решение, нам нужна начальная скорость. Поскольку это начальная скорость, это скорость в момент времени t = 0; поэтому наше начальное условие v = 10, t = 0:

Теперь, когда у нас есть конкретное решение скорости, мы можем интегрировать его, чтобы найти положение:

Теперь мы можем применить наши начальные условия к этому общее решение, чтобы получить частное решение, которое является позицией функция, которую мы хотим.Как и раньше, x ₀ — это начальное положение
, что означает, что время t = 0 и x = 5:

Это функция положения частицы.

Пример 5: Поиск функции положения

Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть уравнение ускорения, начальное скорость 7 и начальное положение 0.Первый шаг — найти частное решение скорости частицы:

Теперь мы можем использовать функцию скорости, чтобы найти функция положения. Помните, нам нужно будет найти конкретный решение функции положения, а не только общее решение:

Пример 6: Применение дифференциального уравнения

Здесь мы будем использовать реальный пример, чтобы применить то, что мы только что узнали.

Мяч бросается вниз с начальным скорость 20 футов / с от вершины здания высотой 300 футов.Игнорирование воздушного трения, dow долго ли мяч достигает земли, и с какой скоростью это ударило?

Чтобы решить эту проблему, нам нужно поставить это в терминах, которые мы можем понять. Единицы даны в футах и футов в секунду; ускорение свободного падения в этих устройствах составляет -32 фут / с ² .

Мы знаем, что мяч был брошен вниз с начальной скоростью (t = 0) 20 футов / с; так как он идет вниз, скорость будет отрицательной (v ₀ = -10).

Наконец, здание достигает 300 футов в высоту, и мяч брошен сверху. Поскольку мяч начинается с места вверх от уровня земли, начальное положение будет положительным 300 (x ₀ = 300). Давайте представим все это в уравнении, аналогичном предыдущим примерам:

Теперь мы куда-то идем! Вопрос задает о мяч, когда он падает на землю. Чтобы понять информация о том, когда он падает на землю, нам нужно знать, во сколько он хиты.Уравнение, которое связывает положение со временем, — это положение функция, которую мы уже знаем, как получить из предыдущих примеров:

Теперь, когда у нас есть функция позиции, мы можем начните решать за время, которое требуется, чтобы мяч коснулся земли, а скорость, с которой он ударяется. Каждое из этих уравнений должно знать время; например, если мы подставим 2 вместо t в функцию скорости, это даст нам скорость в t = 2 или 2 секунды после броска мяча.Нам нужно знать, в какое время мяч падает на землю; для этого нам нужно установить позицию функция, равная 0, и решите относительно t. Мяч стартовал в 300 футах от земли, и мы использовали 300 в качестве нашего исходное положение. Если мы установим нашу позицию равной 0, это скажет нам когда мяч ударяется о землю:

Мы получаем два значения t: -5 и 3,75. Мы можем отбросить -5, так как у нас не может быть отрицательного ценность времени. Следовательно, время, необходимое мячу для достижения земля 3.75 секунд. Чтобы найти скорость, когда мяч попадает в на земле, мы просто подставляем 3,75 для t в наше уравнение скорости и решаем:

Скорость мяча при ударе о землю составляет -140 фут / с

Пример 7: Применение дифференциального уравнения

Тормоза автомобиля срабатывают, когда он движется по 60 км / ч, обеспечивающий постоянное замедление 12 м / с ² . Как далеко машина проезжает до остановки и сколько времени это занимает?

Хорошо, давайте разберемся с этим.Мы знаем, что ускорение составляет -12 м / с ² . Начальная скорость 60 км / ч; это нужно будет преобразовать в м / с (у нас не может быть проблем с разными единицами):

Начальная скорость автомобиля составляет 16,7 м / с. Мы также можем назвать начальное положение x = 0, так как именно тогда машина начинает замедляться. Собираем все вместе:

Мы знаем, что нам понадобится функция позиции в какой-то момент, так как нам нужно выяснить, как далеко проехала машина, прежде чем подходит к остановке, так что давайте продолжим и уберем это с дороги:

Теперь нам нужно выяснить, в какое время машина останавливается.Мы не знаем, где будет стоять машина. этот момент, но мы знаем, что скорость будет равна 0. Чтобы узнать когда скорость равна 0, нам нужно установить скорость равной 0 и решить:

Автомобиль останавливается через 1,4 секунды после нанесения. тормоза. Как далеко он проходит до остановки? Нам нужно подключить t = 1,4 к функции положения, чтобы узнать:

Автомобиль проходит 11,6 метра до остановки

Дифференциальные уравнения второго порядка

Во многих ситуациях моделирования реальной жизни дифференциальное уравнение для переменной интерес будет зависеть не только от первой производной, но и от более высоких.Естественно, что тогда на экзаменах по математике и продвинутой математике возникают дифференциальные уравнения более высокого порядка. Для чего-либо, кроме второй производной, вопрос почти наверняка проведет вас через некоторые конкретные уловка очень специфична для рассматриваемой проблемы. Однако для дифференциальных уравнений второго порядка вам нужно знать, как их решать в целом. К счастью, применяемая техника проста, и эта статья проведет вас через все, что вам нужно знать, а также на полезном примере!

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Первый основной тип дифференциальных уравнений второго порядка, которые вам придется решать, — это те, которые могут быть записаны для нашей зависимой переменной \ (y \) и независимой переменной \ (t \) как:

\ (\ hspace {3 in } a \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} + b \ frac {dy} {dt} + cy = 0. {n-1} +… + Z \) \ (\ cos \ alpha t \) или \ (\ sin \ alpha t \) \ (P \ cos \ alpha t + Q \ sin \ alpha t \)
Чтобы найти константы, представленные в \ (y_p \) выше, нам просто нужно дважды дифференцировать и подставить в его дифференциальное уравнение. Наконец, вооружившись \ (y_c \) и \ (y_p \), у нас есть общее решение для \ (y \), и мы можем использовать начальные условия, чтобы найти константы в \ (y_c \), если нам потребуется.

Пример

Чтобы поместить все это в контекст, давайте сами рассмотрим особенно сложный случай.2- \ frac {4} {5} t + \ frac {58} {25}. \)

Сводка

Теперь вы увидели почти все, что вам может понадобиться, чтобы подготовиться к тому, чтобы самому начать пытаться самостоятельно выполнить несколько шагов по STEP и другим экзаменам по продвинутой математике.

Основы дифференциальных уравнений — Исчисление Том 2

Цели обучения

• Определите порядок дифференциального уравнения.
• Объясните, что подразумевается под решением дифференциального уравнения.
• Различайте общее решение и частное решение дифференциального уравнения.
• Определите проблему с начальным значением.
• Определите, является ли данная функция решением дифференциального уравнения или задачей с начальным значением.

Исчисление — это математика изменений, а скорость изменения выражается производными. Таким образом, одним из наиболее распространенных способов использования исчисления является составление уравнения, содержащего неизвестную функцию и ее производную, известного как дифференциальное уравнение .Решение таких уравнений часто дает информацию о том, как меняются количества, и часто дает представление о том, как и почему происходят изменения.

Методы решения дифференциальных уравнений могут принимать различные формы, включая прямое решение, использование графиков или компьютерные вычисления. Мы представляем основные идеи в этой главе и более подробно опишем их позже в курсе. В этом разделе мы изучаем, что такое дифференциальные уравнения, как проверять их решения, некоторые методы, которые используются для их решения, а также некоторые примеры общих и полезных уравнений.

Проблемы с начальным значением

Обычно данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому естественно спросить, какое из них мы хотим использовать. Чтобы выбрать одно решение, необходима дополнительная информация. Некоторая конкретная информация, которая может быть полезна, — это начальное значение, которое представляет собой упорядоченную пару, которая используется для поиска конкретного решения.

Дифференциальное уравнение вместе с одним или несколькими начальными значениями называется задачей начальных значений. Общее правило состоит в том, что количество начальных значений, необходимых для задачи с начальными значениями, равно порядку дифференциального уравнения.Например, если у нас есть дифференциальное уравнение, то это начальное значение, а в совокупности эти уравнения образуют задачу с начальным значением. Дифференциальное уравнение второго порядка, поэтому нам нужны два начальных значения. В задачах с начальным значением порядка больше единицы одно и то же значение следует использовать для независимой переменной. Примером начальных значений для этого уравнения второго порядка может быть и Эти два начальных значения вместе с дифференциальным уравнением образуют задачу с начальным значением.Эти проблемы названы так потому, что часто независимой переменной в неизвестной функции является время. Таким образом, значение представляет собой начало проблемы.

Проверка решения проблемы начального значения

Убедитесь, что функция является решением задачи начального значения

Убедитесь, что это решение проблемы начального значения

Подсказка

Сначала убедитесь, что решает дифференциальное уравнение. Затем проверьте начальное значение.

В (рисунок) задача начальной стоимости состояла из двух частей. Первая часть представляла собой дифференциальное уравнение, а вторая часть — начальное значение. Эти два уравнения вместе образуют задачу с начальным значением.

То же и в целом. Задача начальной стоимости будет состоять из двух частей: дифференциального уравнения и начального условия. Дифференциальное уравнение имеет семейство решений, и начальное условие определяет значение. Семейство решений дифференциального уравнения на (рисунке) задается следующим образом: Это семейство решений показано на (рисунке), с помеченным конкретным решением.

Семейство решений дифференциального уравнения. Частное решение помечено.

Решение задачи начального значения

Решите следующую задачу с начальным значением:

Анализ

Разница между общим решением и частным решением состоит в том, что общее решение включает в себя семейство функций, определенных явно или неявно, от независимой переменной. Начальное значение или значения определяют, какое конкретное решение в семействе решений удовлетворяет желаемым условиям.

В физических и инженерных приложениях мы часто рассматриваем силы, действующие на объект, и используем эту информацию, чтобы понять результирующее движение, которое может произойти. Например, если мы начнем с объекта на поверхности Земли, первичной силой, действующей на этот объект, будет гравитация. Физики и инженеры могут использовать эту информацию вместе со вторым законом движения Ньютона (в форме уравнения, где представляет силу, представляет массу и представляет ускорение), чтобы вывести уравнение, которое можно решить.

При падении бейсбольного мяча в воздухе единственной силой, действующей на него, является сила тяжести (без учета сопротивления воздуха).

В (рисунок) мы предполагаем, что единственная сила, действующая на бейсбольный мяч, — это сила тяжести. Это предположение игнорирует сопротивление воздуха. (Сила, создаваемая сопротивлением воздуха, рассматривается в более позднем обсуждении.) Ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет приблизительно. Мы вводим систему отсчета, в которой поверхность Земли находится на высоте 0 метров. Позвольте представить скорость объекта в метрах в секунду.Если мяч поднимается, и если мяч падает ((Рисунок)).

Возможные скорости восходящего / падающего бейсбольного мяча.

Наша цель — найти скорость в любое время. Для этого мы создаем задачу с начальным значением. Предположим, масса мяча измеряется в килограммах. Мы используем второй закон Ньютона, который гласит, что сила, действующая на объект, равна его массе, умноженной на его ускорение. Ускорение является производной скорости, поэтому сила, действующая на бейсбольный мяч, определяется как. Однако эта сила должна быть равна сила тяжести, действующая на объект, которая (опять же, используя второй закон Ньютона) определяется выражением, поскольку эта сила действует в нисходящем направлении.Следовательно, мы получаем уравнение, которое становится равным. Если разделить обе части уравнения на, получим уравнение

Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение остается неизменным независимо от массы объекта.

Теперь нам нужно начальное значение. Поскольку мы решаем для скорости, в контексте задачи имеет смысл предположить, что мы знаем начальную скорость или скорость в момент времени. Это обозначено как

.

Предположим, что камень падает с высоты в несколько метров, и единственная сила, действующая на него, — это сила тяжести.Найдите уравнение для скорости как функции времени, измеряемой в метрах в секунду.

Подсказка

Какая начальная скорость камня? Используйте это с дифференциальным уравнением на (Рисунок), чтобы сформировать задачу с начальным значением, затем решите для

Естественный вопрос, который следует задать после решения проблемы такого типа, — насколько высоко объект будет находиться над поверхностью Земли в данный момент времени. Позвольте обозначить высоту объекта над поверхностью Земли, измеренную в метрах.Поскольку скорость является производной от положения (в данном случае от высоты), это предположение дает уравнение. Необходимо начальное значение; в этом случае подходит начальная высота объекта. Пусть начальная высота задается уравнением. Вместе эти предположения дают начальную задачу

.

Если функция скорости известна, то можно также найти функцию положения.

Ключевые понятия

• Дифференциальное уравнение — это уравнение, включающее функцию и одну или несколько ее производных.Решение — это функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, когда и его производные подставляются в уравнение.
• Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок любой производной неизвестной функции, которая появляется в уравнении.
• Дифференциальное уравнение, связанное с начальным значением, называется задачей начального значения. Чтобы решить задачу с начальным значением, сначала найдите общее решение дифференциального уравнения, а затем определите значение константы.Задачи с начальным значением имеют множество приложений в науке и технике.

Глоссарий

дифференциальное уравнение

уравнение, включающее функцию и одну или несколько ее производных

общее решение (или семейство решений)

полный набор решений данного дифференциального уравнения

начальное значение

значение или набор значений, которым решение дифференциального уравнения удовлетворяет для фиксированного значения независимой переменной

начальная скорость

скорость в момент времени

начальная задача

дифференциальное уравнение вместе с начальным значением или значениями

порядок дифференциального уравнения

наивысший порядок любой производной неизвестной функции, которая появляется в уравнении

частное решение

Член семейства решений дифференциального уравнения, удовлетворяющего определенному начальному условию

Решение дифференциального уравнения

функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению

Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с комплексными корнями

Или, более конкретно, линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными корнями.Да уж, с diff eq всегда много. Да, и мы добавим начальное состояние только для акул и очков. Проблема выглядит так:

Найдите вещественное решение задачи начального значения \ (y » + 4y = 0 \) с \ (y (0) = 0 \) и \ (y ‘(0) = 1 \). Ваше решение должно иметь реальную стоимость, иначе вы не получите полную оценку!

Если вы помните, шаги для решения однородной разницы второго порядка. экв. следующие:

1. Запишите характеристическое уравнение.2 \), \ (y ‘\) с \ (r \) и \ (y \) с 1. Достаточно просто:

   На шаге 2 мы решаем это квадратное уравнение, чтобы получить два корня. Корни будут комплексными числами, но это нормально:

   Шаг 3 говорит нам записать результирующие базовые решения, используя наши два корня:

   Но когда мы переходим к шагу 4, у нас возникает проблема. Мы должны найти решение с реальной оценкой . Ясно, что все, что содержит \ (i \), не является вещественным.Итак, мы СОЛНЕЧНЫ по этому поводу? Возможно, нет. Оказывается, мы можем сделать реальное решение из двух нереальных базисных решений, используя два трюка (и разве diff. Eq. Не сводится к трюкам)?

   Наша первая уловка пришла к нам из Швейцарии через некоего Леонарда Эйлера (произносится «Ойлер»). Она называется, естественно, формулой Эйлера и рассказывает нам, как мы можем превратить комплексную экспоненциальную функцию в сложную тригонометрическую функцию. Не беспокойтесь о том, почему это работает, просто знайте, что формула:

   Довольно круто, да? Другой трюк, который мы собираемся использовать, заключается в том, что любая линейная комбинация решений данного линейного дифференциального уравнения является также решением.Другими словами, мы можем нарезать наши решения на части (умножая их на константы и складывая их вместе), чтобы получить больше решений.

   Очевидно, мы хотим делать наши нарезки и кубики таким образом, чтобы в итоге получить реальное решение. Но какой именно путь не так очевиден. Итак, я покажу вам, и вы можете более или менее полагаться на эту технику для решения схожих типов проблем. Мы собираемся определить два новых решения: одно путем добавления наших базовых решений, а другое путем их вычитания:

   Используя формулу Эйлера, мы можем переписать эти экспоненциальные базисные решения в терминах триггерных функций.Напомним, что косинус — это четная функция, а синус — нечетная функция, поэтому мы можем сделать небольшое упрощение с отрицательным корнем:

   Подставляя это в уравнения для \ (y_ {3} \) и \ (y_ {4} \), мы можем упростить их и получить два хороших, чистых, довольно новых решения:

   Теперь мы можем составить линейную комбинацию из этих решений, чтобы получить наше общее решение:

   Ах, вы можете сказать, а как насчет этого \ (i \) во втором семестре? Обратите внимание, что теперь, когда он благополучно перенесен в начало члена, мы можем просто определить новые постоянные коэффициенты для членов.В конце концов, \ (i \) может быть ненастоящим, но все равно константа. Итак, определяем:

   и получаем:

   Я знаю, дешевый трюк. Но это работает! Теперь, когда у нас есть действительное общее решение, мы можем использовать начальные условия, чтобы найти \ (C_1 \) и \ (C_2 \) и получить решение нашей задачи с начальным значением:

   Вот и все. Как вы могли ожидать из другого опыта, который вы имели с дифференциальными уравнениями, существует ряд не столь очевидных приемов, которые вы должны использовать для решения проблемы.Лучше всего с точки зрения экзамена просто запомнить эти приемы и практиковаться в их многократном применении к аналогичным задачам из учебника.

   .