Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система линейных уравнений — это объединение нескольких линейных равенств, каждое из которых содержит по 2 неизвестных. Решением системы уравнений называется процесс поиска таких значений неизвестных, при которых выражение превращается в верное числовое равенство.

Линейные уравнения

Линейное уравнение с двумя переменными — это выражение вида:

ax + by + c = 0,

где x и y — неизвестные корни.

Это общий вид равенства, позволяющий идентифицировать его как линейное, так как очевидно, что неизвестные икс и игрек стоят в первой степени. Если переменные имеют отличную от единицы степень или сами являются показателями степеней, то такие равенства считаются нелинейными. Система двух линейных уравнений — это классический математический объект, с которым мы впервые встречаемся в шестом классе школы.

Система линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений или СЛАУ — это совокупность n-ного количества равенств, содержащих k-ое количество неизвестных. В школьной алгебре существует негласное правило, что количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть СЛАУ с двумя переменными всегда состоят из двух равенств. Высшая математика может преподносить и другие варианты, однако в школьных примерах это правило действует неукоснительно, и наш калькулятор построен по этому принципу: 2 уравнения и 2 переменных. Выглядит это следующим образом:

• ax + by + c = 0
• dx + fy + g = 0

Под буквами a, b, c, d, f, g скрываются коэффициенты уравнения. Именно их следует вбивать в ячейки калькулятора для решения СЛАУ при помощи нашей программы. Важно учесть, что школьные уравнения обычно представляются в виде:

ax + by = с,

поэтому для корректного ввода данных требуется перенести свободный коэффициент в левую часть равенства с заменой знака на противоположный. Итак, у нас есть СЛАУ с двумя неизвестными. Пусть это будет:

• 3x − y = 14
• 5x + y = 10

Требуется найти такие значения икса и игрека, при которых уравнения превратятся в числовые тождества. При решении системы равенств возможны три варианта развития событий:

• СЛАУ совместна, определена и имеет всего 1 решение;
• система несовместна и решений нет;
• СЛАУ совместна, но неопределена, поэтому существует бесконечное множество решений.

Существует 3 простых способа поиска корней СЛАУ.

Метод подстановки

Это всем известный школьный метод, согласно которому мы выражаем одну переменную через другую, после чего заменяем вторую переменную в другом уравнении и получаем банальное линейное равенство. Посмотрим на второе уравнение нашей СЛАУ:

5x + y = 10

Мы можем спокойно перенести иксы вправо с заменой знака и выразить игрек через икс:

y = 10 − 5x

Теперь подставим это значение игрека в наше первое уравнение и решим его:

• 3x − (10 − 5x) = 14
• 3x + 5x = 14 + 10
• 8x = 24
• x = 3

Теперь вернемся ко второму уравнению и подставим числовое значение икса.

• 5x + y = 10;
• 5 × 3 + y = 10;
• y = 10 − 15;
• y = −5.

Таким образом, x = 3, y = −5 — это корни системы уравнений.

Метод сложения

Данный способ предлагает умножить обе части выражений на такие коэффициенты, чтобы при сложении двух уравнений произошло взаимное уничтожение одной из переменных. После чего метод повторяет алгоритм школьного способа подстановки. Посмотрим на нашу систему:

• 3x − y = 14
• 5x + y = 10

Очевидно, что игреки имеют разные знаки, поэтому при сложении двух уравнений они взаимно уничтожатся, а в результате получим:

Далее алгоритм полностью повторяет школьный метод. Нам повезло, что в условии игреки изначально имели коэффициент 1 с противоположными знаками. Рассмотрим пример, когда это не так. Для этого обратим внимание на иксы и попробуем от них избавиться.

• 3x — y = 14
• 5x + y = 10

Для ликвидации иксов нам потребуется найти наименьшее общее кратное коэффициентов при иксах — НОК (3,5) = 15. Следовательно, нам потребуется умножить первое уравнение на 5, а второе на минус 3. Тогда в каждом равенстве мы получим коэффициент при иксе равный 15, но с разными знаками.

• 15x − 5y = 70,
• −15x − 3y = −30.

Теперь сложим эти уравнения и решим полученное равенство:

Как видим, результат идентичен полученным корням при расчете школьным методом.

Графический метод

Суть данного способа заключается в построении графиков функции уравнений на декартовой плоскости. Так как уравнения линейны, то график их функций − это всегда прямая линия. Точка пересечения прямых и будет решением СЛАУ. Если система несовместна и не имеет корней, то прямые уравнений будут параллельны, а если СЛАУ обладает бесконечным множеством решений, то графики будут совпадать и сливаться в одну прямую.

Использование СЛАУ

Системы линейных уравнений находят широкое применение во многих науках. Такие объекты встречаются в физике, экономике, электротехнике, метрологии, компьютерных играх или криптографии — везде, где используется математический аппарат. И если говорить о математике, то системы линейных уравнений используются для определения кривой регрессии в методе наименьших квадратов, в расчете собственных векторов матриц, сингулярном разложении или методе главных компонент.

Калькулятор решения СЛАУ

Наша программа решает системы линейных уравнений графическим способом. Калькулятор отрисовывает прямые, заданные линейными функциями и отыскивает их точку пересечения. Координаты этой точки вида (x; y) и есть корни системы уравнений. Для решений СЛАУ вам потребуется только ввести коэффициенты равенств в соответствующие ячейки.

Заключение

Системы линейных уравнений — наборы равенств, которые широко используются во всех областях науки. Для развязывания СЛАУ используйте наш калькулятор, который наглядно представит графическое решение системы уравнений.

Диофантовы уравнения с двумя переменными

Следующий калькулятор решает линейные

диофантовы уравнения с 2-мя переменными.

Для начала, давайте же вспомним Диофантовы уравнение. И так, данное уравнение имеет следующий вид ( с двумя переменными):

где a, b, c — целые числа, которые заданы.

x и y — целые числа, которые неизвестны.

Кто хочет почитать о диофантовых уравнених по-больше, то вы можете сделать это на данной страничке:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Для решения системы уравнений вида

существуют общие формулы
,

Эти формулы легко запомнить, если ввести понятие определителя или детерминанта второго порядка, как

Тогда решение уравнений можно представить в виде

т.е. каждое из неизвестных равно дроби, знаменатель которой есть определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель получается из этого определителя заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном на свободные члены.

Решение системы сводится к трем случаям

1. Коэффициенты уравнений непропорциональны
   
   тогда система уравнений имеет единственное решение соответствующее формулам выше

2. Коэффициенты уравнений пропорциональны, но свободные члены непропорциональны
   
   тогда система уравнений не имеет решений, потому что уравнения друг другу противоречат

3. Коэффициенты уравнений пропорциональны, также как и свободные члены
   
   тогда система уравнений имеет бесчисленное множество решений, потому что одно из уравнений есть следствие другого

Калькулятор:

Решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Следующий математический калькулятор может решать системы их 2-х уравнений 1-й степени с 2-мя неизвестными членами.

А вот, собственно, и формулы для решения неизвестных в данной системе уравнений:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.