Решение дифференциальных уравнений | Онлайн калькулятор
Данный онлайн калькулятор позволяет вычислять дифференциальные уравнения практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям.
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x. Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t. С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или не разделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание.
logax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]
sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]
arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]
areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧: &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨: ||
отрицание «НЕ» ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo
Смотрите также
Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор
Порядок производной указывается штрихами —y»’ или числом после одного штриха —y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin, arsin, arcsin
Знак умножения и скобки раставляются дополнительно — запись2sinx сходна2*sin(x)
Список математических функций и констант:
•d(x) — дифференциал
•ln(x) — натуральный логарифм
•sin(x) — синус
•cos(x) — косинус
•tg(x) — тангенс
•ctg(x) — котангенс
•arcsin(x) — арксинус
•arccos(x) — арккосинус
•arctg(x) — арктангенс
•arcctg(x) — арккотангенс
•sh(x) — гиперболический синус
•ch(x) — гиперболический косинус
•th(x) — гиперболический тангенс
•cth(x) — гиперболический котангенс
•sch(x) — гиперболический секанс
•csch(x) — гиперболический косеканс
•arsh(x) — обратный гиперболический синус
•arch(x) — обратный гиперболический косинус
•arth(x) — обратный гиперболический тангенс
•arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
•sec(x) — секанс
•cosec(x) — косеканс
•arcsec(x) — арксеканс
•arccsc(x) — арккосеканс
•arsch(x) — обратный гиперболический секанс
•arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
•abs(x) — модуль
•sqrt(x) — корень
•exp(x) — экспонента в степени x
•pow(a,b) — \(a^b\)
•sqrt7(x) — \(\sqrt[7]{x}\)
•sqrt(n,x) — \(\sqrt[n]{x}\)
•log3(x) — \(\log_3\left(x\right)\)
•log(a,x) — \(\log_a\left(x\right)\)
•pi — \(\pi\)
alpha — \(\alpha\)
beta — \(\beta\)
•sigma — \(\sigma\)
gamma — \(\gamma\)
nu — \(\nu\)
•mu — \(\mu\)
phi — \(\phi\)
psi — \(\psi\)
•tau — \(\tau\)
eta — \(\eta\)
rho — \(\rho\)
•a123 — \(a_{123}\)
x_n — \(x_{n}\)
mu11 — \(\mu_{11}\)
Дифференциальные уравнения
Решение дифференциальных уравнений
Решить онлайн дифференциальные уравнения — просто! Искусственный интеллект постоянно развивавется.
Нашим
специалистам удалось научить его решать различные математические задачи. Например, стали доступны такие
раздеолы, как решение онлайн дифференциальных уравнений или производная функции онлайн.
На нашем сайте вы можете решить любое дифференциальное уравнение используя Калькулятор за пару секунд. Пользоваться калькулятором просто. Начальные условия вводите как обычные условия. Порядок не важен. Чтобы ввести условие, нажмите «+условие»
Например:
Условие 1: y’=y+x
Условие 2: y(0)=1
Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение дифференциальных уравнений.
Что такое дифференциальные уравнения и как их решать
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой
функцией, независимой
переменной и параметрами.
Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с
условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции
второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.
Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.
Как решать дифференциальные уравнения
Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения. Решением
дифференциального уравнения будет функция или семейство функций. Производные могут входить в функцию в
любом порядке и сами производные могут быть любого порядка. Производные, функции, независимые переменные
и параметры могут входить в ДУ в различных комбинациях или же могут вовсе отсутствовать. Однако в
уравнение должна входить хотя бы одна производная, иначе оно бы не будет дифференциальным.
Дифференциальным уравнением является не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции. К
примеру, f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением, а просто обозначает производную от
определённой функции.
При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится верное равенство.
ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.
При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением
будет именно семейство функций,
так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю.
А так как производная от
константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного
дифференциального уравнения.
Не все калькуляторы позволяют решить дифференциальные уравнения онлайн, а только самые
“умные”. Ещё несколько
лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.
Бесплатный онлайн калькулятор дифференциальных уравнений. Производная онлайн калькулятор.
Система дифференциальных уравнений, линейные дифференциальные уравнения
А если у вас остались
вопросы, то
вы
можете задать их в онлайн чате на странице Калькулятора или в нашей группе
Вконтакте: pocketteacher.
Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.Так же читайте нашу статью «Решить систему уравнений методом сложения онлайн решателем»
график дифференциального уравнения онлайн
Вы искали график дифференциального уравнения онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и диф уравнение онлайн, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как график дифференциального уравнения онлайн,диф уравнение онлайн,диф уравнения онлайн,диф уравнения онлайн с подробным решением,дифур онлайн,дифуры онлайн,дифуры онлайн с решением,дифф уравнения онлайн,дифференциальное уравнение калькулятор онлайн,дифференциальное уравнение онлайн,дифференциальное уравнение онлайн калькулятор,дифференциальное уравнение онлайн решение,дифференциальное уравнение онлайн с подробным решением,дифференциальное уравнение первого порядка онлайн,дифференциальное уравнение решение онлайн,дифференциальные однородные уравнения онлайн,дифференциальные уравнения 1 порядка онлайн,дифференциальные уравнения 2 порядка онлайн,дифференциальные уравнения второго порядка онлайн,дифференциальные уравнения калькулятор,дифференциальные уравнения калькулятор онлайн,дифференциальные уравнения калькулятор онлайн с подробным,дифференциальные уравнения калькулятор онлайн с подробным решением,дифференциальные уравнения однородные онлайн,дифференциальные уравнения онлайн,дифференциальные уравнения онлайн второго порядка,дифференциальные уравнения онлайн калькулятор,дифференциальные уравнения онлайн калькулятор с подробным решением,дифференциальные уравнения онлайн однородные,дифференциальные уравнения онлайн первого порядка,дифференциальные уравнения онлайн решение,дифференциальные уравнения онлайн с подробным решением,дифференциальные уравнения онлайн с разделяющимися переменными онлайн,дифференциальные уравнения онлайн с решением,дифференциальные уравнения первого порядка калькулятор онлайн,дифференциальные уравнения первого порядка онлайн,дифференциальные уравнения первого порядка онлайн калькулятор,дифференциальные уравнения решение онлайн,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными калькулятор онлайн,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными онлайн,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными онлайн калькулятор,дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными уравнения онлайн,дифференциальные уравнения с решением онлайн,дифференцированные уравнения онлайн,дифференцированные уравнения онлайн решение,диффуры онлайн,ду онлайн,ду онлайн решение,ду решить онлайн,задача коши для дифференциального уравнения онлайн,задача коши онлайн,задача коши онлайн для дифференциального уравнения,задача коши онлайн калькулятор,задача коши онлайн с подробным решением,изоклины онлайн,калькулятор диф уравнений,калькулятор диф уравнений онлайн,калькулятор дифференциалов онлайн,калькулятор дифференциальное уравнение онлайн,калькулятор дифференциальные уравнения,калькулятор дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными онлайн,калькулятор дифференциальных уравнений,калькулятор дифференциальных уравнений онлайн,калькулятор дифференциальных уравнений онлайн с подробным решением,калькулятор дифференциальных уравнений с подробным решением,калькулятор дифференциальных уравнений с подробным решением онлайн,калькулятор онлайн дифференциальное уравнение,калькулятор онлайн дифференциальные уравнения,калькулятор онлайн дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,калькулятор онлайн дифференциальных уравнений,калькулятор онлайн задача коши,калькулятор онлайн решения дифференциальных уравнений,калькулятор решения дифференциальных уравнений онлайн,коши калькулятор онлайн,коши онлайн калькулятор,линейные дифференциальные уравнения первого порядка онлайн решение,метод изоклин онлайн калькулятор,найдите общее решение дифференциального уравнения онлайн,найдите частное решение дифференциального уравнения,найти дифференциал второго порядка онлайн,найти общее и частное решение дифференциального уравнения калькулятор,найти общее решение,найти общее решение дифференциального уравнения,найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения калькулятор онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн калькулятор,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн с решением,найти общее решение дифференциального уравнения онлайн с решением онлайн,найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка онлайн,найти общее решение уравнения,найти общее решение уравнения онлайн,найти общие интегралы дифференциальных уравнений онлайн,найти общий интеграл дифференциального уравнения калькулятор онлайн,найти общий интеграл дифференциального уравнения онлайн,найти общий интеграл дифференциального уравнения онлайн калькулятор,найти общий интеграл дифференциального уравнения онлайн с решением,найти решение дифференциального уравнения онлайн с решением,найти решение задачи коши онлайн,найти решение задачи коши онлайн с подробным решением,найти решение задачи коши онлайн с решением,найти частное решение дифференциального уравнения калькулятор,найти частное решение дифференциального уравнения калькулятор с решением,найти частные решения дифференциальных уравнений онлайн,общее решение дифференциального уравнения онлайн,общее решение найти,общий интеграл дифференциального уравнения онлайн,общий интеграл дифференциального уравнения онлайн калькулятор,однородные дифференциальные уравнения онлайн,однородные дифференциальные уравнения первого порядка онлайн,оду решение,онлайн диф уравнение,онлайн дифференциальное уравнение первого порядка,онлайн дифференциальные уравнения второго порядка,онлайн калькулятор диф уравнений,онлайн калькулятор дифференциальное уравнение,онлайн калькулятор дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,онлайн калькулятор дифференциальных уравнений,онлайн калькулятор дифференциальных уравнений с подробным решением,онлайн калькулятор задача коши,онлайн калькулятор коши,онлайн калькулятор решения дифференциальных уравнений,онлайн найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка,онлайн решение диф уравнений,онлайн решение дифференциального уравнения,онлайн решение дифференциальное уравнение,онлайн решение дифференциальные уравнения,онлайн решение дифференциальных уравнений,онлайн решение дифференциальных уравнений 2 порядка,онлайн решение дифференциальных уравнений второго порядка,онлайн решение дифференциальных уравнений коши,онлайн решение дифференциальных уравнений первого порядка,онлайн решение дифференциальных уравнений с подробным решением,онлайн решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными,онлайн решение дифференциальных уравнений с решением,онлайн решение ду 2 порядка,онлайн решение линейных дифференциальных уравнений,онлайн решение однородных дифференциальных уравнений,онлайн решение однородных уравнений,онлайн решение систем дифференциальных уравнений,онлайн решение системы дифференциальных уравнений,онлайн решение уравнение коши,онлайн решение уравнений коши онлайн,онлайн решение уравнений с разделяющимися переменными,онлайн решения дифференциальных уравнений,онлайн частное решение дифференциального уравнения,определить тип дифференциального уравнения онлайн,проинтегрировать дифференциальное уравнение онлайн,решение диф уравнений онлайн,решение диф уравнений онлайн с полным решением,решение дифуров онлайн,решение дифф уравнений онлайн,решение дифференциального уравнения онлайн,решение дифференциальное уравнение онлайн,решение дифференциальные уравнения онлайн,решение дифференциальных однородных уравнений первого порядка онлайн,решение дифференциальных систем уравнений онлайн,решение дифференциальных уравнений 2 порядка онлайн,решение дифференциальных уравнений второго порядка онлайн,решение дифференциальных уравнений второго порядка онлайн с решением,решение дифференциальных уравнений коши онлайн,решение дифференциальных уравнений онлайн,решение дифференциальных уравнений онлайн коши,решение дифференциальных уравнений онлайн с подробным решением,решение дифференциальных уравнений онлайн с разделяющимися переменными,решение дифференциальных уравнений онлайн с решением,решение дифференциальных уравнений онлайн с решением в полном виде,решение дифференциальных уравнений первого порядка онлайн,решение дифференциальных уравнений первого порядка онлайн с решением,решение дифференциальных уравнений с подробным решением онлайн,решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными калькулятор,решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными онлайн,решение дифференциальных уравнений с решением онлайн,решение ду 2 порядка онлайн,решение ду онлайн,решение ду онлайн с полным решением,решение задачи коши онлайн с подробным решением,решение линейных дифференциальных уравнений онлайн,решение однородных дифференциальных уравнений онлайн,решение однородных уравнений онлайн,решение онлайн дифференциального уравнения,решение онлайн дифференциальное уравнение,решение онлайн дифференциальных уравнений первого порядка,решение онлайн дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными,решение онлайн линейных дифференциальных уравнений,решение онлайн уравнений с разделяющимися переменными,решение систем дифференциальных уравнений онлайн,решение системы дифференциальных уравнений онлайн,решение уравнение коши онлайн,решение уравнений с разделяющимися переменными онлайн,решения дифференциальных уравнений онлайн,решить диф уравнение онлайн,решить дифференциальное линейное уравнение онлайн,решить дифференциальное уравнение второго порядка онлайн с решением,решить дифференциальное уравнение онлайн,решить дифференциальное уравнение онлайн с подробным решением,решить дифференциальное уравнение онлайн с решением,решить дифференциальное уравнение первого порядка онлайн,решить дифференциальное уравнение первого порядка онлайн с решением,решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными онлайн,решить дифференциальное уравнение с решением онлайн,решить ду,решить ду онлайн,решить задачу коши онлайн,решить задачу коши онлайн калькулятор с подробным решением,решить задачу коши онлайн с решением,решить линейное дифференциальное уравнение онлайн,решить однородное дифференциальное уравнение онлайн,решить онлайн дифференциальное уравнение,решить онлайн ду,решить онлайн задачу коши,решить онлайн линейное дифференциальное уравнение,решить онлайн уравнение в полных дифференциалах,решить систему дифференциальных уравнений онлайн,решить уравнение y x y,решить уравнение в полных дифференциалах онлайн,система дифференциальных уравнений онлайн,система дифференциальных уравнений онлайн калькулятор с решением,уравнение в полных дифференциалах решить онлайн,уравнение коши онлайн,уравнение коши решение онлайн,уравнения с разделяющимися переменными онлайн,уравнения с разделяющимися переменными онлайн калькулятор,частное решение дифференциального уравнения калькулятор,частное решение дифференциального уравнения онлайн.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же график дифференциального уравнения онлайн Онлайн?
Решить задачу график дифференциального уравнения онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную,
неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все
её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную.
В нём могут не содержаться явно производные
некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде .
Решение состоит в нахождении функции по её производной.
Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть
первообразная для , т. е.
.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2.
Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
,
.
В результате мы получили общее решение —
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3.
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1
при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
.
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
.
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x, получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид
,
то есть, в нём в некотором виде появился x.
Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:
,
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду
,
после чего интегрируем обе части уравнения:
.
Оба интеграла — табличные, находим их:
и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:
.
Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Пусть в линейном уравнении
и
— постоянные
действительные числа.
Частное решение уравнения будем искать в виде функции , где – действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по , получаем:
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:
Отсюда, учитывая, что , имеем:
Это уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Это уравнение второй степени, поэтому имеет два корня. Обозначим их через и . Возможны три случая:
Корни действительные и разные
В этом случае общее решение уравнения:
Пример 1
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:
Решение характеристического уравнения:
Общее решение исходного дифуравнения:
Корни действительные и равные
В этом случае общее решение уравнения:
Пример 2
Решение
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
Характеристическое уравнение имеет вид:
Решение характеристического уравнения:
Общее решение исходного дифуравнения:
Корни комплексные
В этом случае общее решение уравнения:
Пример 3
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:
Решение характеристического уравнения:
Общее решение исходного дифуравнения:
Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
где
и
– постоянные
действительные числа,
– известная непрерывная
функция в интервале
. Для нахождения общего решения такого
дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего
однородного дифференциального уравнения
и частное
решение
.
Рассмотрим
некоторые случаи:
Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:
Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:
Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.
Если нуль – однократный корень характеристического уравнения, то
Если нуль – двухкратный корень характеристического уравнения, то
Аналогично обстоит дело, если – многочлен произвольной степени
Пример 4
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного дифуравнения:
Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:
Искомое частное решение:
Общее решение исходного дифуравнения:
Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:
Частное решение ищем в виде
, где
– неопределенный
коэффициент.
Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.
Если – корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде , когда – однократный корень, и , когда – двукратный корень.
Пример 5
Решение
Характеристическое уравнение:
Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Найдем частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения:
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:
Общее решение дифуравнения:
Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:
В этом случае частное решение ищем в форме тригонометрического двучлена:
где и – неопределенные коэффициенты
Подставляя
и
в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.
Эти уравнения определяют коэффициенты и кроме случая, когда (или когда – корни характеристического уравнения). В последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:
Пример 6
Решение
Характеристическое уравнение:
Общее решение соответствующего однородного дифуравнения:
Найдем частное решение неоднородного дифуравнения
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:
Общее решение исходного дифуравнения:
примеры решения диффуров (ДУ) в математике
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство.
Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела.
Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Решение уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Математика
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем).
А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:
Решатель дифференциальных уравнений — онлайн-инструмент
Поиск инструмента
Решатель дифференциальных уравнений
Инструмент / решатель для решения дифференциальных уравнений (например, разрешение для первой или второй степени) в соответствии с именем функции и переменной.
Результаты
Решатель дифференциальных уравнений — dCode
Тег (и): функции, символьные вычисления
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор дифференциальных уравнений
Ответы на вопросы (FAQ)
Как рассчитать дифференциальное уравнение на dCode?
Уравнение должно следовать строгому синтаксису, чтобы получить решение в программе решения дифференциальных уравнений:
— Используйте ‘для представления производной порядка 1,’ ‘для производной порядка 2,’ » для производной порядка 3 и т.
Д.{-x} +1 $ с константой $ c_1 $
— Дифференцируема только функция, а не их комбинация
Пример: (1 / f) ‘недействительно, но 1 / (f’) правильно
Что такое дифференциальное уравнение? (определение)
Как добавить начальные значения / условия?
Можно добавить одно или несколько начальных условий в соответствующее поле, добавив логический оператор && между двумя уравнениями.
Пример: Запишите f ‘(0) = — 1 && f (1) = 0
Как найти значения констант c?
Используйте известную информацию о функции и ее производной (ах) в качестве начальных условий системы.
Пример: Положение объекта — $ h $ в начале эксперимента, напишите что-нибудь вроде $ f (0) = h $
Пример: Скорость объекта равна $ 0 $ через $ n $ секунд, напишите что-то вроде $ f ‘(n) = 0 $
Какие обозначения в дифференциальных уравнениях?
Существует несколько обозначений функции f:
Пример: $$ f ‘(x) = \ frac {\ mathrm {d} f (x)} {\ mathrm {d} x} $$
Пример: $$ f » (x) = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 f (x)} {\ mathrm {d} x ^ 2} $$
Апостроф указывает порядок / степень происхождения, буква в скобках — переменная происхождения.
Показатель степени указывает порядок / степень деривации, буква знаменателя — переменная деривации.
Как пошагово решить дифференциальное уравнение?
Шаги вычислений решателя dCode не отображаются, потому что они представляют собой компьютерные операции, далекие от шагов процесса студента.
Задайте новый вопросИсходный код
dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель дифференциальных уравнений».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма «Решателя дифференциальных уравнений» (преобразователь, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Дифференциальный Функция Equation Solver (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т.
Д.), Без загрузки данных , скрипт, копипаст или доступ к API для «Решателя дифференциальных уравнений» будет бесплатным, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Вопросы / комментарии
Сводка
Похожие страницы
Поддержка
Форум / Справка
Ключевые слова
дифференциал, уравнение, дифференциал, дифференциал, порядок, степень, калькулятор
Ссылки
Источник: https: // www.dcode.fr/differential-equation-solver
© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.Дифференциальные уравнения
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.
е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Я постарался сделать эти заметки как можно более самодостаточными, поэтому вся информация, необходимая для их прочтения, взята либо из класса математики или алгебры, либо содержится в других разделах заметок.
Вот несколько предупреждений моим ученикам, которые могут быть здесь, чтобы получить копию того, что произошло в день, который вы пропустили.
- Поскольку я хотел сделать это довольно полным набором заметок для всех, кто хочет изучать дифференциальные уравнения, я включил некоторый материал, который у меня обычно нет времени, чтобы охватить в классе, и поскольку это меняется от семестра к семестру, он здесь не отмечен . Вам нужно будет найти кого-нибудь из одноклассников, чтобы увидеть, есть ли в этих заметках что-то, чего не было в классе.
- В общем, в классе я стараюсь решать задачи, отличные от моих заметок.Тем не менее, с помощью дифференциального уравнения многие проблемы трудно решить в мгновение ока, поэтому в этом классе моя классная работа будет следовать этим примечаниям, насколько это возможно. При этом я буду время от времени работать над проблемами из головы, когда смогу привести больше примеров, чем только те, что указаны в моих заметках.
Кроме того, у меня часто нет времени в классе, чтобы проработать все задачи в заметках, поэтому вы обнаружите, что некоторые разделы содержат задачи, которые не были решены в классе из-за ограничений по времени. - Иногда вопросы в классе приводят к путям, которые здесь не описаны. Когда я их составляю, я стараюсь предвидеть как можно больше вопросов, но в действительности я не могу предвидеть все вопросы. Иногда в классе задают очень хороший вопрос, который приводит к мысли, которую я здесь не включил. Вам всегда следует поговорить с кем-то, кто был в классе в тот день, когда вы пропустили, сравнить эти записи с их записями и посмотреть, в чем разница.
- Это в некоторой степени связано с предыдущими тремя пунктами, но достаточно важно, чтобы заслужить отдельный пункт.ЭТИ ЗАПИСИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ЗАМЕНАМИ ДЛЯ ПОСЕЩЕНИЯ КЛАССА !! Использование этих заметок в качестве замены урока может доставить вам неприятности. Как уже отмечалось, не все в этих заметках освещается в классе, и часто материал или идеи, отсутствующие в этих заметках, рассматриваются в классе.
Кроме того, у меня часто нет времени в классе, чтобы проработать все задачи в заметках, поэтому вы обнаружите, что некоторые разделы содержат задачи, которые не были решены в классе из-за ограничений по времени.
Вот список (и краткое описание) материалов, содержащихся в этом наборе примечаний.
Основные понятия — В этой главе мы вводим многие из основных понятий и определений, которые встречаются в типичном курсе дифференциальных уравнений.Мы также рассмотрим поля направлений и то, как их можно использовать для определения поведения решений дифференциальных уравнений. Определения — В этом разделе вводятся некоторые общие определения и концепции в курсе дифференциальных уравнений, включая порядок, линейное и нелинейное, начальные условия, задачу начального значения и интервал действия.Поля направления — в этом разделе мы обсуждаем поля направления и их рисование. Мы также исследуем, как поля направления могут использоваться для определения некоторой информации о решении дифференциального уравнения, не имея фактического решения.
Заключительные мысли — В этом разделе мы дадим пару заключительных мыслей о том, что мы будем рассматривать в течение этого курса.
Дифференциальные уравнения первого порядка — В этой главе мы рассмотрим несколько стандартных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка, включая линейные, разделимые, точные и дифференциальные уравнения Бернулли. Мы также рассмотрим интервалы применимости, равновесные решения и метод Эйлера. Кроме того, мы моделируем некоторые физические ситуации с помощью дифференциальных уравнений первого порядка.Линейные уравнения — в этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. дифференциальные уравнения в форме \ (y ‘+ p (t) y = g (t) \). Мы даем подробный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциального уравнения, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего коэффициента, используемого в процессе решения.
Разделимые уравнения — В этом разделе мы решаем разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \ (N (y) y ‘= M (x) \).Мы дадим вывод процесса решения этого типа дифференциального уравнения.
Мы также начнем искать интервал применимости решения дифференциального уравнения. Точные уравнения — В этом разделе мы обсудим определение и решение точных дифференциальных уравнений. Мы разработаем тест, который можно использовать для идентификации точных дифференциальных уравнений и дать подробное объяснение процесса решения. Здесь мы также сделаем еще несколько интервалов проверки действительности.{n} \). В этом разделе также будет представлена идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.
Подстановки — в этом разделе мы продолжим с того места, где закончился последний раздел, и рассмотрим несколько других подстановок, которые можно использовать для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида \ (y ‘= F (\ frac {y} {x}) \) и \ (y’ = G (ax + by) \).
Интервалы действительности — В этом разделе мы подробно рассмотрим интервалы достоверности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.
Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка — В этом разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим проблемы смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкость как на входе, так и на выходе), проблемы популяции (моделирование популяции в различных ситуациях, в которых популяция может входить или выходить) и падающие объекты. (моделирование скорости падающего объекта под действием силы тяжести и сопротивления воздуха).
Равновесные решения — В этом разделе мы определим равновесные решения (или точки равновесия) для автономных дифференциальных уравнений, \ (y ‘= f (y) \). Мы обсуждаем классификацию равновесных решений как асимптотически устойчивые, нестабильные или полустабильные равновесные решения.
Метод Эйлера — В этом разделе мы кратко рассмотрим довольно простой метод приближения решений дифференциальных уравнений. Мы выводим формулы, используемые методом Эйлера, и даем краткое обсуждение ошибок в приближении решений.
Дифференциальные уравнения второго порядка — В этой главе мы начнем рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка. Мы сосредоточимся в основном на дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы получим решения для однородных дифференциальных уравнений, и мы будем использовать методы неопределенных коэффициентов и вариации параметров для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Кроме того, мы обсудим снижение порядка, основы множеств решений, вронскиан и механические колебания.Основные концепции — в этом разделе подробно обсуждается процесс, используемый для решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка, \ (ay » + by ‘+ cy = 0 \). Мы выводим характеристический многочлен и обсуждаем, как принцип суперпозиции используется для получения общего решения.
Вещественные корни — В этом разделе мы обсуждаем решение однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка \ (ay » + by ‘+ cy = 0 \), в котором корни характеристического многочлена \ (ar ^ { 2} + br + c = 0 \), являются различными действительными корнями.
{2} + br + c = 0 \), повторяются, т. Е. двойные, корни. Мы будем использовать сокращение порядка, чтобы получить второе решение, необходимое для получения общего решения в этом случае. Снижение порядка — в этом разделе мы обсудим снижение порядка, процесс, используемый для получения решения случая повторяющихся корней для однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка, более подробно. Это будет один из немногих случаев в этой главе, когда будет рассмотрено дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами.
Фундаментальные наборы решений — В этом разделе мы рассмотрим некоторые теории, лежащие в основе решения дифференциальных уравнений второго порядка. Мы определяем фундаментальные наборы решений и обсуждаем, как их можно использовать для получения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка. Мы также определим вронскиан и покажем, как его можно использовать, чтобы определить, является ли пара решений фундаментальным набором решений.
Подробнее о вронскиане — В этом разделе мы рассмотрим, как вронскиан, представленный в предыдущем разделе, можно использовать для определения того, являются ли две функции линейно независимыми или линейно зависимыми.Мы также дадим альтернативный метод нахождения вронскиана.
Неоднородные дифференциальные уравнения — В этом разделе мы обсудим основы решения неоднородных дифференциальных уравнений. Мы определяем дополнительное и частное решение и даем форму общего решения неоднородного дифференциального уравнения.
Неопределенные коэффициенты — В этом разделе мы вводим метод неопределенных коэффициентов для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения.Мы работаем с множеством примеров, иллюстрирующих множество рекомендаций по первоначальному предположению о форме конкретного решения, необходимого для метода.
Изменение параметров — В этом разделе мы представляем метод изменения параметров для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения.
Мы подробно исследуем метод, а также выводим формулу, которая может быть использована для поиска конкретных решений. Механические колебания — В этом разделе мы рассмотрим механические колебания.В частности, мы будем моделировать объект, связанный с пружиной и движущийся вверх и вниз. Мы также допускаем введение в систему демпфера и общие внешние силы, действующие на объект. Также обратите внимание, что хотя мы приводим примеры механических колебаний в этом разделе, простое изменение обозначений (и соответствующее изменение того, что представляют собой величины) может переместить это практически в любую другую область техники.
Преобразования Лапласа — В этой главе мы познакомимся с преобразованиями Лапласа и их использованием для решения задач начального значения.С введением преобразований Лапласа мы теперь можем решить некоторые проблемы с начальными значениями, которые иначе мы не смогли бы решить. Мы будем решать дифференциальные уравнения, включающие дельта-функции Хевисайда и Дирака.
Мы также дадим краткий обзор использования преобразований Лапласа для решения дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами. Кроме того, мы определим интеграл свертки и покажем, как его можно использовать для обратных преобразований.
Определение — В этом разделе мы даем определение преобразования Лапласа.Мы также вычислим пару преобразований Лапласа, используя определение. Преобразования Лапласа — В этом разделе мы представляем способ, которым мы обычно вычисляем преобразования Лапласа, который избегает необходимости использовать определение. Мы обсуждаем таблицу преобразований Лапласа, используемую в этом материале, и приводим множество примеров, иллюстрирующих использование таблицы преобразований Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа — В этом разделе мы задаем вопрос, противоположный предыдущему. Другими словами, какую функцию мы изначально имели при преобразовании Лапласа? Мы снова проработаем множество примеров, иллюстрирующих, как использовать для этого таблицу преобразований Лапласа, а также некоторые манипуляции с данным преобразованием Лапласа, которые необходимы для использования таблицы.
Step Functions — В этом разделе мы представляем шаг или функцию Хевисайда. Мы проиллюстрируем, как написать кусочную функцию в терминах функций Хевисайда. Мы также работаем с множеством примеров, показывающих, как использовать преобразования Лапласа и обратные преобразования Лапласа, которые включают функции Хевисайда. Мы также выводим формулы для преобразования Лапласа функций, которые включают функции Хевисайда.
Решение IVP с преобразованиями Лапласа — В этом разделе мы рассмотрим, как использовать преобразования Лапласа для решения IVP.Примеры в этом разделе ограничены дифференциальными уравнениями, которые можно решить без использования преобразования Лапласа. Преимущество начала работы с этим типом дифференциального уравнения заключается в том, что работа, как правило, не такая сложная, и мы всегда можем проверить свои ответы, если захотим.
IVP с непостоянным коэффициентом — В этом разделе мы дадим краткий обзор использования преобразований Лапласа для решения некоторых IVP с непостоянным коэффициентом.
В этом разделе мы не работаем с большим количеством примеров.Мы работаем только с парой, чтобы проиллюстрировать, как этот процесс работает с преобразованиями Лапласа. IVP с пошаговыми функциями — это раздел, в котором действительно становится очевидной причина использования преобразований Лапласа. Мы будем использовать преобразования Лапласа для решения IVP, содержащих функции Хевисайда (или ступенчатые). Без преобразований Лапласа их решение потребовало бы довольно много работы. Хотя мы действительно работаем с одним из этих примеров без преобразований Лапласа, мы делаем это только для того, чтобы показать, что будет, если мы попытаемся решить один из примеров без использования преобразований Лапласа.
Дельта-функция Дирака — В этом разделе мы вводим дельта-функцию Дирака и выводим преобразование Лапласа для дельта-функции Дирака. Мы работаем над парой примеров решения дифференциальных уравнений, включающих дельта-функции Дирака, и, в отличие от задач с функциями Хевисайда, наш единственный реальный вариант для такого рода дифференциальных уравнений — использовать преобразования Лапласа.
Мы также показываем хорошую взаимосвязь между функциями Хевисайда и дельта Дирака. Интеграл свертки — В этом разделе мы даем краткое введение в интеграл свертки и как его можно использовать для получения обратных преобразований Лапласа.Мы также проиллюстрируем его использование при решении дифференциального уравнения, в котором функция принуждения (, т. Е. , член без каких-либо y) неизвестна.
Таблица преобразований Лапласа — Этот раздел представляет собой таблицу преобразований Лапласа, которую мы будем использовать в материале. Мы даем как можно больше разнообразных преобразований Лапласа, включая те, которые не часто приводятся в таблицах преобразований Лапласа.
Системы дифференциальных уравнений — В этой главе мы рассмотрим решение систем дифференциальных уравнений.Мы ограничимся системами двух линейных дифференциальных уравнений в целях обсуждения, но многие из методов будут распространяться на более крупные системы линейных дифференциальных уравнений.
Мы также исследуем эскизные фазовые плоскости / портреты для систем двух дифференциальных уравнений. Кроме того, мы даем краткие обсуждения использования преобразований Лапласа для решения систем и некоторого моделирования, которое приводит к системам дифференциальных уравнений.
Обзор: Системы уравнений — В этом разделе мы дадим обзор традиционной отправной точки для класса линейной алгебры.Мы будем использовать методы линейной алгебры для решения системы уравнений, а также дадим несколько полезных фактов о количестве решений, которые может иметь система уравнений. Обзор : матрицы и векторы — В этом разделе мы дадим краткий обзор матриц и векторов. Мы рассмотрим арифметику, включающую матрицы и векторы, нахождение обратной матрицы, вычисление определителя матрицы, линейно зависимых / независимых векторов и преобразование систем уравнений в матричную форму.Обзор
: собственные значения и собственные векторы — в этом разделе мы познакомим вас с концепцией собственных значений и собственных векторов матрицы.
Мы определяем характеристический полином и показываем, как его можно использовать для нахождения собственных значений матрицы. Когда у нас есть собственные значения для матрицы, мы также показываем, как найти соответствующие собственные значения для матрицы. Системы дифференциальных уравнений — В этом разделе мы рассмотрим некоторые основы систем дифференциальных уравнений. Мы показываем, как преобразовать систему дифференциальных уравнений в матричную форму.{\ text {th}} \) дифференциальное уравнение порядка в систему дифференциальных уравнений.
Решения систем — В этом разделе мы дадим краткий обзор того, как мы решаем системы дифференциальных уравнений в матричной форме. Мы также определяем вронскиан для систем дифференциальных уравнений и показываем, как его можно использовать, чтобы определить, есть ли у нас общее решение системы дифференциальных уравнений.
Phase Plane — В этом разделе мы дадим краткое введение в фазовую плоскость и фазовые портреты.Мы определяем равновесное решение / точку для однородной системы дифференциальных уравнений и то, как фазовые портреты могут использоваться для определения устойчивости равновесного решения.
Мы также показываем формальный метод построения фазовых портретов. Действительные собственные значения — в этом разделе мы будем решать системы двух линейных дифференциальных уравнений, в которых собственные значения являются различными действительными числами. Мы также покажем, как рисовать фазовые портреты, связанные с реальными различными собственными значениями (седловые точки и узлы).
Комплексные собственные значения — в этом разделе мы будем решать системы двух линейных дифференциальных уравнений, в которых собственные значения являются комплексными числами. Это будет включать в себя иллюстрацию того, как получить решение, которое не включает комплексные числа, которые мы обычно ищем в этих случаях. Мы также покажем, как рисовать фазовые портреты, связанные со сложными собственными значениями (центрами и спиралями).
Повторяющиеся собственные значения — в этом разделе мы будем решать системы двух линейных дифференциальных уравнений, в которых собственные значения являются действительными повторяющимися (в данном случае двойными) числами.
Это будет включать получение второго линейно независимого решения, которое нам понадобится для формирования общего решения системы. Мы также покажем, как рисовать фазовые портреты, связанные с реальными повторяющимися собственными значениями (несобственные узлы). Неоднородные системы — В этом разделе мы рассмотрим быстрые примеры, иллюстрирующие использование неопределенных коэффициентов и изменение параметров для решения неоднородных систем дифференциальных уравнений. Метод неопределенных коэффициентов будет работать примерно так же, как и для дифференциальных уравнений n-го порядка, в то время как изменение параметров потребует некоторой дополнительной работы по выводу, чтобы получить формулу / процесс, которые мы можем использовать в системах.
Преобразования Лапласа — В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример, показывающий, как преобразования Лапласа могут использоваться для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений.
Моделирование — В этом разделе мы кратко рассмотрим некоторые расширения некоторых моделей моделирования, которые мы выполняли в предыдущих главах, которые приводят к системам дифференциальных уравнений.
В частности, мы рассмотрим задачи смешивания, в которых у нас есть два соединенных между собой резервуара с водой, задачу хищник-жертва, в которой учитываются популяции обоих, и задачу механической вибрации с двумя массами, связанными с пружиной и каждая из которых подключена к стена с пружиной.Решения дифференциальных уравнений серии — В этой главе мы кратко рассмотрим, как представить решение дифференциального уравнения степенным рядом. Мы также рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Эйлера. Кроме того, мы сделаем краткий обзор степенных рядов и рядов Тейлора, чтобы помочь в работе с этой главой. Обзор: степенные ряды — в этом разделе мы даем краткий обзор некоторых основ степенных рядов. Включены обсуждения использования теста отношения для определения сходимости степенного ряда, сложения / вычитания степенного ряда, дифференцирования степенного ряда и сдвигов индекса для степенного ряда.{x} \) и \ (\ cos (x) \) о \ (x = 0 \), а также показывает, как записать ряд Тейлора для многочлена.
Решения серии — в этом разделе мы определяем обыкновенные и особые точки для дифференциального уравнения. Мы также показываем, кто должен строить рядное решение дифференциального уравнения относительно обыкновенной точки. Метод, проиллюстрированный в этом разделе, полезен при решении или, по крайней мере, приближении решения дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами.{2} y » + b x y ‘+ c y = 0 \). Обратите внимание, что, хотя это не связано с серийным решением, оно включено в главу о серийном решении, поскольку показывает, как получить решение хотя бы одного типа дифференциального уравнения в особой точке.
Дифференциальные уравнения высшего порядка — В этой главе мы рассмотрим расширение многих идей предыдущих глав на дифференциальные уравнения более высокого порядка, чем 2-й порядок. В некоторых случаях это будет просто означать работу с примером, чтобы проиллюстрировать, что процесс на самом деле не меняется, но в большинстве случаев есть некоторые вопросы, которые нужно обсудить.{\ text {th}} \) Линейные уравнения порядка — в этом разделе мы начнем главу с краткого обзора некоторых основных идей, лежащих в основе решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Включены обновленные определения / факты для принципа суперпозиции, линейно независимых функций и вронскиана.
Линейные однородные дифференциальные уравнения — В этом разделе мы расширим идеи, лежащие в основе решения 2 линейных однородных дифференциальных уравнений порядка и , до более высокого порядка.Как мы увидим, большая часть процесса идентична с несколькими естественными расширениями повторяющихся реальных корней, которые встречаются более двух раз. Нам также нужно будет обсудить, как поступать с повторяющимися сложными корнями, что теперь возможно. Кроме того, мы увидим, что основная трудность в случаях более высокого порядка состоит в простом нахождении всех корней характеристического многочлена. Неопределенные коэффициенты
— В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример, чтобы проиллюстрировать, что использование неопределенных коэффициентов в дифференциальных уравнениях более высокого порядка ничем не отличается от того, когда мы использовали его в 2 дифференциальных уравнениях и порядка с одним небольшим естественным расширением.
Изменение параметров — В этом разделе мы подробно обсудим процесс использования изменения параметров для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Мы также разработаем формулу, которую можно использовать в этих случаях. Мы также увидим, что работа, связанная с использованием изменения параметров в дифференциальных уравнениях более высокого порядка, иногда может быть весьма сложной. Преобразования Лапласа
— В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример использования преобразований Лапласа для решения дифференциального уравнения для дифференциального уравнения 3-го порядка rd , просто чтобы сказать, что мы рассмотрели уравнение с порядком выше 2 и .Как мы увидим, кроме необходимости формулы для преобразования Лапласа \ (y » ‘\), которую мы можем получить из общей формулы, нет реальной разницы в том, как преобразования Лапласа используются для дифференциальных уравнений более высокого порядка. .
Системы дифференциальных уравнений — В этом разделе мы кратко рассмотрим распространение обсужденных нами идей решения \ (2 \ times 2 \) систем дифференциальных уравнений на системы размера \ (3 \ times 3 \). Как мы увидим, они в основном являются естественным продолжением того, что мы уже знаем, кому делать.Мы также сделаем пару быстрых комментариев о системах \ (4 \ times 4 \). Решения серии
— В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример, показывающий, что процесс поиска решений ряда для дифференциальных уравнений более высокого порядка во многом аналогичен тому, который используется в 2 дифференциальных уравнениях и порядка.
Граничные задачи и ряды Фурье — в этой главе мы представим две темы, которые являются неотъемлемой частью основных методов решения уравнений в частных производных.Первая тема, краевые задачи, встречается практически во всех уравнениях в частных производных. Вторая тема, ряды Фурье, — это то, что заставляет работать один из основных методов решения. Краевые задачи — в этом разделе мы определим граничные условия (в отличие от начальных условий, с которыми мы уже должны быть знакомы на этом этапе) и краевую задачу. Мы также рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих некоторые интересные различия в использовании граничных значений вместо начальных условий при решении дифференциальных уравнений.
Собственные значения и собственные функции — в этом разделе мы определим собственные значения и собственные функции для краевых задач. Мы проработаем довольно много примеров, иллюстрирующих, как находить собственные значения и собственные функции. В одном примере лучшее, что мы сможем сделать, — это оценить собственные значения, поскольку это то, что будет происходить на довольно регулярной основе с подобными проблемами.
Периодические функции и ортогональные функции — в этом разделе мы определим периодические функции, ортогональные функции и взаимно ортогональные функции.\ infty {{B_n} \ sin \ left ({\ frac {{n \ pi x}} {L}} \ right)} \). Мы также рассмотрим несколько примеров нахождения ряда Фурье для функции.
Сходимость рядов Фурье — В этом разделе мы определим кусочно-гладкие функции и периодическое продолжение функции. Кроме того, мы приведем множество фактов о том, к чему будет сходиться ряд Фурье и когда можно ожидать, что производная или интеграл ряда Фурье сходится к производной или интегралу функции, которую он представляет.
Уравнения с частными производными — В этой главе мы вводим разделение переменных, один из основных методов решения уравнений с частными производными. Включены частные производные для теплового уравнения и волнового уравнения. Кроме того, мы приводим решения примеров для уравнения теплопроводности, волнового уравнения и уравнения Лапласа. Уравнение теплопроводности — в этом разделе мы сделаем частный вывод уравнения теплопроводности, которое можно решить, чтобы определить температуру в одномерном столбце длиной L.Кроме того, мы даем несколько возможных граничных условий, которые можно использовать в этой ситуации. Мы также определяем лапласиан в этом разделе и даем версию уравнения теплопроводности для двух- или трехмерных ситуаций.
Волновое уравнение — В этом разделе мы делаем частный вывод волнового уравнения, которое можно использовать для нахождения одномерного смещения колеблющейся струны. Кроме того, мы также приводим двумерную и трехмерную версии волнового уравнения. Терминология
— В этом разделе мы кратко рассмотрим некоторые термины, которые мы будем использовать в оставшейся части этой главы.В частности, мы определим линейный оператор, линейное уравнение в частных производных и однородное уравнение в частных производных. Мы также быстро напомним принцип суперпозиции.
Разделение переменных — В этом разделе показано, как метод разделения переменных может быть применен к уравнению в частных производных, чтобы уменьшить уравнение в частных производных до двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы применяем этот метод к нескольким дифференциальным уравнениям в частных производных.Однако мы не продвигаемся дальше в процессе решения уравнений в частных производных. Это будет сделано в следующих разделах. Цель этого раздела — только проиллюстрировать, как работает метод.
Решение теплового уравнения — В этом разделе мы рассмотрим процесс полного разделения переменных, включая решение двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которые генерирует процесс. Мы сделаем это, решив уравнение теплопроводности с тремя различными наборами граничных условий. Включен пример решения уравнения теплопроводности на стержне длиной \ (L \), но вместо этого на тонком круглом кольце.
Уравнение теплопроводности с ненулевыми границами температуры — В этом разделе мы кратко рассмотрим решение уравнения теплопроводности с фиксированными граничными условиями и ненулевой температурой. Обратите внимание, что это отличается от предыдущего раздела, когда мы обычно требовали, чтобы граничные условия были как фиксированными, так и нулевыми.
Уравнение Лапласа — В этом разделе мы обсуждаем решение уравнения Лапласа. Как мы увидим, это именно то уравнение, которое нам нужно было бы решить, если бы мы хотели найти равновесное решение ( i.е. не зависит от времени) для двумерного уравнения теплопроводности без источников. Мы также преобразуем уравнение Лапласа в полярные координаты и решим его на диске радиуса \ (a \).
Вибрирующая струна — в этом разделе мы решаем одномерное волновое уравнение, чтобы получить смещение вибрирующей струны.
Сводка разделения переменных — В этом заключительном разделе мы даем краткое описание метода разделения переменных для решения уравнений в частных производных.
1.Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение (или «DE») содержит производных или дифференциалов .
Наша задача решить дифференциальное уравнение. В какой-то момент это потребует интеграции, и мы (в основном) получим выражение типа « y = …».
Вспомните из раздела «Дифференциал» в главе «Интегрирование», что дифференциал можно рассматривать как производную , где dy / dx на самом деле не записывается в дробной форме.
Примеры дифференциалов
dx (это означает «бесконечно малое изменение в x »)
`d \ theta` (это означает« бесконечно малое изменение в `\ theta`»)
`dt` (это означает« бесконечно малое изменение в т »)
Примеры дифференциальных уравнений
Пример 1
Мы видели следующий пример во введении к этой главе. 2-3`
Как и раньше, интегрируем.3 / 3-3x + К`
Но откуда взялся этот dy из `(dy) / (dx)`? Почему оно как будто исчезло?
В этом примере кажется, что мы интегрируем только часть x (справа), но на самом деле мы интегрировали также и относительно y (слева). DE похожи на это — вам нужно интегрировать по одной (иногда и больше) разных переменных, по одной за раз.
Мы могли бы написать наш вопрос, только используя дифференциалы :
dy = ( x 2 — 3) dx
(Все, что я сделал, это умножил обе стороны исходного dy / dx в вопросе на dx .3 / 3-3x + К`
С левой стороны мы интегрировали int dy = int 1 dy, чтобы получить y.
Примечание о константе: Мы интегрировали обе стороны, но есть постоянная интеграции только с правой стороны. 2 d \ theta = sin (t + 0.3} / 3 = -cos (t + 0,2) + K`
Мы проинтегрировали по θ слева и по t справа.
Вот график нашего решения, взяв K = 2:
Типичный график решения для примера 2 DE: `theta (t) = root (3) (- 3cos (t + 0.2) +6)`.
Решение дифференциального уравнения
Из приведенных выше примеров мы видим, что решение DE означает нахождение уравнение без производных, удовлетворяющее заданной DE.Решение дифференциального уравнения всегда включает одно или несколько интеграции шагов.
Важно уметь идентифицировать тип DE , с которым мы имеем дело, прежде чем пытаться Найди решение.
Определения
DE первого порядка: Содержит только первые производные
Второй порядок DE: Содержит вторые производные (и возможно также первые производные)
Степень: наивысшая мощность из наивысшая производная , встречающаяся в DE.7-5лет = 3`
Это DE имеет порядок 2 (самая высокая производная вторая производная ) и градусов 4 (степень старшей производной 4.)
Общие и частные решения
Когда мы впервые выполнили интеграцию, мы получили общий раствор (с константой K ).
Мы получили частное решение заменой известных значения для x и y .Эти известные условия называется граничными условиями (или начальными условия ).
Это та же концепция, что и при решении дифференциальных уравнений — сначала найдите общее решение, а затем замените заданные числа, чтобы найти частные решения.
Рассмотрим несколько примеров ДУ первого порядка и первой степени.
Пример 4
а. Найдите общее решение для дифференциала уравнение
`dy + 7x dx = 0`
г.2 + К`
Ответ тот же — способ его написания и мышления несколько отличается.
ПРИМЕЧАНИЕ 2: «int dy» означает «int1 dy», что дает нам ответ «y».
У нас также могло быть:
`intdt = t`
`intd theta = theta`
`int da = a`
и так далее. Мы будем часто встречать такие интегралы в этом разделе.
(b) Теперь мы используем информацию y (0) = 3, чтобы найти K.2 + 3`.
Пример 5
Найдите частное решение
`y ‘= 5`
с учетом того, что когда `x = 0, y = 2`.
Ответ
Мы можем написать
г ‘ = 5
как дифференциальное уравнение:
dy = 5 dx
Объединение обеих сторон дает:
y = 5 x + K
Применяя граничные условия: x = 0, y = 2, получаем K = 2, поэтому:
y = 5 x + 2
Пример 6
Найдите частное решение
`у » = 0`
при том, что:
у (0) = 3, у (1) = 4, у (2) = 6`
Ответ
Поскольку y » ‘ = 0, когда мы интегрируем один раз, получаем:
y ‘ = A ( A — постоянная)
Повторное интегрирование дает:
y ‘ = Ax + B ( A, B — константы)
Еще раз:
`y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` ( A, B и C — константы)
Граничные условия:
y (0) = 3, y ‘ (1) = 4, y’ ‘ (2) = 6
Нам нужно подставить эти значения в наши выражения для y ‘ и y’ и наше общее решение, `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` .
Сейчас
y (0) = 3 дает C = 3.
и
y ‘ (2) = 6 дает A = 6
(Фактически, y » = 6 для любого значения x в этой задаче, поскольку нет члена x )
Наконец,
y ‘ (1) = 4 дает B = -2.
Итак, конкретное решение этого вопроса:
y = 3 x 2 — 2 x + 3
Проверка решения путем дифференцирования и подстановки начальных условий:
y ‘= 6 x — 2
y ‘ (1) = 6 (1) — 2 = 4
y ‘= 6
г » = 0
Наше решение правильное.
Пример 7
После решения дифференциала уравнение,
`(dy) / (dx) ln x-y / x = 0`
(мы увидим, как решить эту DE в следующих раздел Разделение переменных), получаем результат
`y = c ln x`
Получили ли мы правильное общее решение?
Ответ
Теперь, если `y = c ln x`, то` (dy) / (dx) = c / x`
[См. Производную логарифмической функции, если вы не знаете этого.)
Так
`» LHS «= (dy) / (dx) ln x-y / x`
`= (c / x) ln x — ((c ln x)) / x`
`= 0`
`=» RHS «`
Делаем вывод, что у нас есть правильное решение.
DE второго порядка
Мы включили сюда еще два примера, чтобы дать вам представление о DE второго порядка. Позже в этой главе мы увидим, как решать такие линейные DE второго порядка.
Пример 8
Общее решение второго порядка DE
y ‘+ a 2 y = 0
это
`y = A cos ax + B sin ax`
Пример 9
Общее решение второго порядка DE
y » — 3 y ‘+ 2 y = 0
это
y = Ae 2 x + Be x
Если у нас есть следующие граничные условия:
y (0) = 4, y ‘ (0) = 5
, то конкретное решение дает:
y = e 2 x + 3 e x
Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием DE второго порядка, где нам дается окончательный ответ, и нам нужно проверить, является ли это правильным решением. (2x)`
Это очевидно.2) = 2 (dy) / (dx) `
Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений
1Решенный пример дифференциальных уравнений
$ \ frac {dy} {dx} = \ sin \ left (5x \ right) $
2Сгруппируйте члены дифференциального уравнения.Переместите члены переменной $ y $ в левую сторону, а члены переменной $ x $ — в правую сторону
$ dy = \ sin \ left (5x \ right) \ cdot dx $
3Интегрируйте обе части дифференциального уравнения, левую часть относительно $ y $ и правую часть относительно $ x $
$ \ int1dy = \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $
Промежуточные ступени
Интеграл от константы равен константе, умноженной на переменную интеграла
$ и
$ 4Решите интеграл $ \ int1dy $ и замените результат в дифференциальном уравнении
$ y = \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $
Объясните подробнееПромежуточные ступени
Мы можем решить интеграл $ \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $, применив интегрирование методом подстановки (также называемое U-подстановкой).Во-первых, мы должны идентифицировать секцию внутри интеграла с новой переменной (назовем ее $ u $), которая при замене упрощает интеграл. Мы видим, что $ 5x $ — это хороший кандидат на замену. Определим переменную $ u $ и присвоим ее выбранной части
.$ u = 5x $
Теперь, чтобы переписать $ dx $ через $ du $, нам нужно найти производную от $ u $. Нам нужно вычислить $ du $, мы можем сделать это, выведя уравнение выше
.$ du = 5dx $
Изолировать $ dx $ в предыдущем уравнении
$ \ frac {du} {5} = dx $
Замена $ u $ и $ dx $ в интеграл и упрощение
$ \ int \ frac {\ sin \ left (u \ right)} {5} за
долларов СШАИзвлечь константу $ \ frac {1} {5} $ из интеграла
$ \ frac {1} {5} \ int \ sin \ left (u \ right) du $
Примените интеграл функции синуса: $ \ int \ sin (x) dx = — \ cos (x) $
$ — \ frac {1} {5} \ cos \ left (u \ right)
$Замените $ u $ значением, которое мы присвоили ему в начале: $ 5x $
$ — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right)
$ 5Решите интеграл $ \ int \ sin \ left (5x \ right) dx $ и замените результат в дифференциальном уравнении
$ y = — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right) $
Объясните подробнее 6Поскольку интеграл, который мы решаем, является неопределенным интегралом, когда мы закончим интегрирование, мы должны добавить константу интегрирования $ C $
$ y = — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right) + C_0 $
Окончательный ответ$ y = — \ frac {1} {5} \ cos \ left (5x \ right) + C_0 $
На веб-сайте EqWorld представлена обширная информация о решениях для различные классы обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, функциональные уравнения, и другие математические уравнения. Copyright © 2004-2017 Андрей Д. Полянин |
Дифференциальные уравнения второго порядка
Здесь мы узнаем, как решать уравнения этого типа:
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:
Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx
Заказать
Порядок — это старшая производная (первая производная? Вторая производная и т. Д.):
Пример:
dy dx + y 2 = 5x
Он имеет только первую производную dy dx , как и «Первый порядок»
Пример:
d 2 y dx 2 + xy = sin (x)
Имеет вторую производную d 2 y dx 2 , как и «Второй порядок» или «Порядок 2»
Пример:
d 3 y dx 3 + x dy dx + y = e x
У этого есть третья производная d 3 y dx 3 , которая превосходит dy dx , так же как и «третий порядок» или «порядок 3»
Прежде чем приступить к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка типа:
d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)
, где P (x), Q (x) и f (x) являются функциями x, используя:
Вариация параметров, которая работает только тогда, когда f (x) является полиномом, экспонентой, синусом, косинусом или их линейной комбинацией.
Undetermined Coefficients, который немного сложнее, но работает с более широким спектром функций.
Но здесь мы начнем с изучения случая, когда f (x) = 0 (это делает его «однородным»):
d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y = 0
, а также где функции P (X) и Q (x) являются константами p и q :
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
Давайте научимся их решать!
e на помощьМы собираемся использовать специальное свойство производной экспоненциальной функции:
В любой момент наклон (производная) e x равен значению e x :
И когда мы вводим значение «r» вот так:
f (x) = e rx
Находим:
- первая производная f ‘(x) = re rx
- вторая производная равна f » (x) = r 2 e rx
Другими словами, первая и вторая производные f (x) обе являются кратными f (x)
Это нам очень поможет!
Пример 1: Решить
d 2 y dx 2 + dy dx — 6y = 0
Пусть y = e rx , получаем:
- dy dx = re rx
- d 2 y dx 2 = r 2 e rx
Подставьте их в уравнение выше:
r 2 e rx + re rx — 6e rx = 0
Упростить:
e rx (r 2 + r — 6) = 0
г 2 + г — 6 = 0
Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!
Этому квадратному уравнению присвоено специальное название характеристическое уравнение .
Мы можем разложить это на:
(г — 2) (г + 3) = 0
Итак, r = 2 или −3
Итак, у нас есть два решения:
y = e 2x
y = e −3x
Но это не окончательный ответ, потому что мы можем объединить различные , кратные из этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:
y = Ae 2x + Be −3x
Чек
Давайте проверим этот ответ.Производные по первому требованию:
y = Ae 2x + Be −3x
dy dx = 2Ae 2x — 3Be −3x
d 2 y dx 2 = 4Ae 2x + 9Be −3x
Теперь подставьте в исходное уравнение:
d 2 y dx 2 + dy dx — 6y = 0
(4Ae 2x + 9Be −3x ) + (2Ae 2x — 3Be −3x ) — 6 (Ae 2x + Be −3x ) = 0
4Ae 2x + 9Be −3x + 2Ae 2x — 3Be −3x — 6Ae 2x — 6Be −3x = 0
4Ae 2x + 2Ae 2x — 6Ae 2x + 9Be −3x — 3Be −3x — 6Be −3x = 0
0 = 0
Сработало!
Итак, этот метод вообще работает?
Ну и да, и нет.Ответ на этот вопрос зависит от констант p и q .
При y = e rx как решение дифференциального уравнения:
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
получаем:
r 2 e rx + pre rx + qe rx = 0
e rx (r 2 + pr + q) = 0
р 2 + пр + д = 0
Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:
- два настоящих корня
- один настоящий корень (т.е. оба настоящих корня одинаковые)
- два сложных корня
Как мы решаем, зависит от типа!
Мы можем легко определить, какой тип, вычислив дискриминант p 2 — 4q . Когда это
- положительный получаем два настоящих корня
- ноль получаем один реальный корень
- отрицательно получаем два комплексных корня
Два настоящих корня
Когда дискриминант p 2 — 4q равен положительным , мы можем сразу перейти к дифференциальному уравнению
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
через «характеристическое уравнение»:
р 2 + пр + д = 0
к общему решению с двумя действительными корнями r 1 и r 2 :
y = Ae r 1 x + Be r 2 x
Пример 2: Решитьd 2 y dx 2 — 9 dy dx + 20y = 0
Характеристическое уравнение:
r 2 — 9r + 20 = 0
Фактор:
(г — 4) (г — 5) = 0
r = 4 или 5
Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:
y = Ae 4x + Be 5x
А вот несколько примеров значений:
Пример 3: Решить6 d 2 y dx 2 + 5 dy dx — 6y = 0
Характеристическое уравнение:
6 ряд 2 + 5 ряд — 6 = 0
Фактор:
(3r — 2) (2r + 3) = 0
r = 2 3 или −3 2
Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:
y = Ae ( 2 3 x) + Be ( −3 2 x)
Пример 4: Решить9 d 2 y dx 2 — 6 dy dx — y = 0
Характеристическое уравнение:
9r 2 — 6r — 1 = 0
Это нелегко разложить на множители, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:
x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
с a = 9, b = −6 и c = −1
x = — (- 6) ± √ ((- 6) 2 — 4 × 9 × (−1)) 2 × 9
x = 6 ± √ (36 + 36) 18
x = 6 ± 6√2 18
x = 1 ± √2 3
Итак, общее решение дифференциального уравнения —
.y = Ae ( 1 + √2 3 ) x + Be ( 1 — √2 3 ) x
Один настоящий корень
Когда дискриминант p 2 — 4q равен нулю , мы получаем один действительный корень (т.е.е. оба действительных корня равны).
Вот несколько примеров:
Пример 5: Решитьd 2 y dx 2 -10 dy dx + 25y = 0
Характеристическое уравнение:
r 2 — 10r + 25 = 0
Фактор:
(г — 5) (г — 5) = 0
г = 5
Итак, у нас есть одно решение: y = e 5x
НО , когда e 5x — это решение, тогда xe 5x — это , также — решение!
Почему? Я могу показать вам:
y = xe 5x
dy dx = e 5x + 5xe 5x
d 2 y dx 2 = 5e 5x + 5e 5x + 25xe 5x
Так
d 2 y dx 2 -10 dy dx + 25y
= 5e 5x + 5e 5x + 25xe 5x -10 (e 5x + 5xe 5x ) + 25xe 5x
= (5e 5x + 5e 5x — 10e 5x ) + (25xe 5x — 50xe 5x + 25xe 5x ) = 0
Итак, в данном случае наше решение:
y = Ae 5x + Bxe 5x
Как это работает в общем случае?
При y = xe rx получаем производные:
- dy dx = e rx + rxe rx
- d 2 y dx 2 = re rx + re rx + r 2 xe rx
Так
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy
= (re rx + re rx + r 2 xe rx ) + p (e rx + rxe rx ) + q (xe rx )
= e rx (r + r + r 2 x + p + prx + qx)
= e rx (2r + p + x (r 2 + pr + q))
= e rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r 2 + pr + q = 0
И когда r 2 + pr + q имеет повторяющийся корень, то r = −p 2 и 2r + p = 0
Итак, если r — повторяющийся корень характеристического уравнения, то общее решение равно
.y = Ae rx + Bxe rx
Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:
Пример 6: Решить4 d 2 y dx 2 + 4 dy dx + y = 0
Характеристическое уравнение:
4к 2 + 4к + 1 = 0
Тогда:
(2к + 1) 2 = 0
г = — 1 2
Итак, решение дифференциального уравнения:
y = Ae (−½) x + Bxe (−½) x
Сложные корни
Когда дискриминант p 2 — 4q равен отрицательным , мы получаем комплексные корни.
Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как это сделать:
Пример 7: Решитьd 2 y dx 2 — 4 dy dx + 13y = 0
Характеристическое уравнение:
r 2 — 4r + 13 = 0
Это не фактор, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:
x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
с a = 1, b = −4 и c = 13
x = — (- 4) ± √ ((- 4) 2 — 4 × 1 × 13) 2 × 1
x = 4 ± √ (16 — 52) 2
x = 4 ± √ (−36) 2
x = 4 ± 6i 2
х = 2 ± 3i
Если мы будем следовать методу, используемому для двух действительных корней, то мы можем попробовать решение:
y = Ae (2 + 3i) x + Be (2−3i) x
Мы можем упростить это, так как e 2x является общим множителем:
y = e 2x (Ae 3ix + Be −3ix )
Но мы еще не закончили…!
Формула Эйлера говорит нам, что:e ix = cos (x) + i sin (x)
Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конечном итоге) сделать вещи проще.
Если посмотреть только на часть «А плюс Б»:
Ae 3ix + Be −3ix
A (cos (3x) + i sin (3x)) + B (cos (−3x) + i sin (−3x))
Acos (3x) + Bcos (−3x) + i (Asin (3x) + Bsin (−3x))
Теперь примените тригонометрические тождества: cos (−θ) = cos (θ) и sin (−θ) = — sin (θ):
.Acos (3x) + Bcos (3x) + i (Asin (3x) — Bsin (3x)
(A + B) cos (3x) + i (A − B) sin (3x)
Заменить A + B на C и A − B на D:
Ccos (3x) + iDsin (3x)
И получаем решение:
y = e 2x (Ccos (3x) + iDsin (3x))
Чек
У нас есть ответ, но, возможно, нам следует проверить, действительно ли он удовлетворяет исходному уравнению:
y = e 2x (Ccos (3x) + iDsin (3x))
dy dx = e 2x (−3Csin (3x) + 3iDcos (3x)) + 2e 2x (Ccos (3x) + iDsin (3x))
d 2 y dx 2 = e 2x (- (6C + 9iD) sin (3x) + (−9C + 6iD) cos (3x)) + 2e 2x (2C + 3iD) cos (3x) + (−3C + 2iD) sin (3x))
Запасной:
d 2 y dx 2 — 4 dy dx + 13y = e 2x (- (6C + 9iD) sin (3x) + (−9C + 6iD) cos (3x )) + 2e 2x (2C + 3iD) cos (3x) + (−3C + 2iD) sin (3x)) — 4 (e 2x (−3Csin (3x) + 3iDcos (3x)) + 2e 2x (Ccos (3x) + iDsin (3x))) + 13 (e 2x (Ccos (3x) + iDsin (3x)))
… эй, почему бы ВАМ не попробовать сложить все термины, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дайте мне знать, хорошо?
Как это обобщить?
Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения: r 1 = v + wi и r 2 = v — wi
Итак, общее решение дифференциального уравнения —
.y = e vx (Ccos (wx) + iDsin (wx))
Пример 8: Решитьd 2 y dx 2 — 6 dy dx + 25y = 0
Характеристическое уравнение:
r 2 — 6r + 25 = 0
Воспользуйтесь формулой квадратного уравнения:
x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
с a = 1, b = −6 и c = 25
x = — (- 6) ± √ ((- 6) 2 — 4 × 1 × 25) 2 × 1
x = 6 ± √ (36 — 100) 2
x = 6 ± √ (−64) 2
x = 6 ± 8i 2
х = 3 ± 4i
И получаем решение:
y = e 3x (Ccos (4x) + iDsin (4x))
Пример 9: Решить9 d 2 y dx 2 + 12 dy dx + 29y = 0
Характеристическое уравнение:
9r 2 + 12r + 29 = 0
Воспользуйтесь формулой квадратного уравнения:
x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
с a = 9, b = 12 и c = 29
x = −12 ± √ (12 2 — 4 × 9 × 29) 2 × 9
x = −12 ± √ (144 — 1044) 18
x = −12 ± √ (−900) 18
x = −12 ± 30i 18
х = — 2 3 ± 5 3 i
И получаем решение:
y = e (- 2 3 ) x (Ccos ( 5 3 x) + iDsin ( 5 3 x))
Сводка
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка вида
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
, где p и q — константы, необходимо найти корни характеристического уравнения
р 2 + пр + д = 0
Возможны три случая, в зависимости от дискриминанта p 2 — 4q .Когда это
положительный получаем два действительных корня, и решение равно
y = Ae r 1 x + Be r 2 x
ноль получаем один действительный корень, а решение —
y = Ae rx + Bxe rx
отрицательный получаем два комплексных корня r 1 = v + wi и r 2 = v — wi , и решение равно
y = e vx (Ccos (wx) + iDsin (wx))
Изучите дифференциальные уравнения с помощью онлайн-курсов и уроков
Что такое дифференциальные уравнения?
Дифференциальные уравнения — это уравнения, которые учитывают любую функцию с ее производными.Эти уравнения часто используются для описания того, как вещи меняются с течением времени, помогая нам делать прогнозы и учитывать как начальные условия, так и эволюцию переменных. Дифференциальные уравнения используются для описания всевозможных природных явлений, но иногда их бывает сложно решить. В чистой математике мы изучаем дифференциальные уравнения с разных точек зрения, а для более сложных уравнений мы используем возможности компьютерной обработки для аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения включают множество типов: линейные уравнения и нелинейные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных и, наконец, однородные уравнения и неоднородные уравнения.Общие решения или исследования зависят от расшифровки типа уравнения.
Узнайте о дифференциальных уравнениях
Дифференциальные уравнения играют важную роль в нашем понимании большинства областей науки. Изучение их функций может помочь в ваших исследованиях и помочь в сообщении о сложных природных явлениях. Различные типы дифференциальных уравнений могут использоваться для описания различных скоростей изменения динамических систем. Приблизительное значение этих скоростей изменений дает вам преимущество в открытии.EdX.org предлагает курсы, разработанные в сотрудничестве с лидерами в области математики и естественных наук, которые могут познакомить вас с этими сложными уравнениями, не выходя из дома или офиса.
Курсы и сертификаты по дифференциальным уравнениям
MIT предлагает вводный курс по дифференциальным уравнениям. Вы научитесь решать уравнения первого порядка, автономные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Вы примените эти знания, используя такие вещи, как волновые уравнения и другие численные методы.Вы можете расширить эти знания с помощью курса MIT «Системы 2×2», предназначенного для введения связанных дифференциальных уравнений. Вы поймете, как решать скорости изменения с помощью дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений. Вы можете продолжить изучение всей серии X, изучая все более и более сложные уравнения, включая дифференциальные уравнения второго порядка и частные производные. Оттуда вы можете пройти практические курсы, предназначенные для интеграции использования дифференциальных уравнений в практические приложения.MISIS предлагает курс «Комплексный анализ с физическими приложениями», призванный дать вам возможность исследовать мир сложных уравнений.