Онлайн решить систему уравнений методом обратной матрицы: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Решение уравнений методом обратной матрицы онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод обратной матрицы применяется в математике для решения систем линейных алгебраических уравнений в том случае, когда число неизвестных равно количеству уравнений в системе.

Так же читайте нашу статью «Решить показательное уравнение онлайн»

Допустим, дана следующая система линейных уравнений:

\[\left\{\begin{matrix} 2x_1-x_2+3x_3=1\\ -2x_2+2x_3=2\\ 3x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right.\]

Определим матрицу коэффициентов при неизвестных:

\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & -2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Определим матрицу неизвестных:

\[x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\]

Определим матрицу свободных членов:

\[B = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\]

Определим матрицу, обратную матрице коэффициентов:

\[A ^-1=1/4 \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4\\ 6 & -7 & -4\\ 6 & -5 & -4 \end{pmatrix}\]

Найдем матрицу неизвестных:

\[x=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4\\ 6 & -7 & -4\\ 6 & -5 & -4\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\]

Решением систему методом обратной матрицы является:

\[x_1=1\]

\[x_2=2\]

\[x_3=-1\]

Проверить правильность ответа можно, подставив данные значения на место неизвестных в систему.

Где можно решить уравнение с помощью обратной матрицы онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решить систему тремя способами

Любые системы уравнений

Этот онлайн калькулятор в два шага:

  • Добавить нужное кол-во уравнений
  • Ввести уравнения

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

Методом Гаусса

Этот онлайн калькулятор в три шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести количество незвестных
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n – матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n – столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n – столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A – 1 :

A – 1 × A × X = A – 1 × B .

Так как А – 1 × А = Е , то Е × X = А – 1 × В или X = А – 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 – 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 – 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 2

  • Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

  • Выражаем из этого уравнения X :
  • Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 = 2 × ( – 2 ) × 5 + 3 × ( – 4 ) × 4 + 3 × ( – 1 ) × 1 – 3 × ( – 2 ) × 3 – – 1 × ( – 4 ) × 5 – 2 × 4 – ( – 1 ) = – 20 – 48 – 3 + 18 + 20 + 8 = – 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

  • Находим обратную матрицу А – 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( – 1 ) ( 1 + 1 ) – 2 4 – 1 5 = – 10 + 4 = – 6 ,

А 12 = ( – 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = – ( 5 – 12 ) = 7 ,

А 13 = ( – 1 ) 1 + 3 1 – 2 3 – 1 = – 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( – 1 ) 2 + 1 – 4 3 – 1 5 = – ( – 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( – 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 – 10 – 9 = 1 ,

А 23 = ( – 1 ) 2 + 3 2 – 4 3 – 1 = – ( – 2 + 12 ) = – 10 ,

А 31 = ( – 1 ) 3 + 1 – 4 3 – 2 4 = – 16 + 6 = – 10 ,

А 32 = ( – 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = – ( 8 – 3 ) = – 5 ,

А 33 = ( – 1 ) 3 + 3 2 – 4 1 – 2 = – 4 + 4 = 0 .

  • Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = – 6 7 5 17 1 – 10 – 10 – 5 0

  • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A – 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А – 1 = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 ,

  • Умножаем обратную матрицу А – 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A – 1 × B = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 1 3 2 = – 1 25 – 6 + 51 – 20 7 + 3 – 10 5 – 30 + 0 = – 1 0 1

Ответ: x 1 = – 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений через обратную матрицу

Калькулятор основан на решении неоднородной системы линейных алгебраических уравнений при помощи матричного метода ( другими словами данный метод еще называют решением через обратную матрицу).

Кто еще не знаком с решениями неоднородной системы алгебраических уравнений, то вы можете ознакомится с теорией на данной страничке:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character.

Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Система линейных уравнений метод обратной матрицы онлайн. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т. д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E — единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы

A запишем единичную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом

X = A -1 · B , где A -1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A -1 — матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B

Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B .

Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица — таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

  • Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
  • Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .

Основные виды матриц:

  • Квадратная — такая матрица, где число строк = числу столбцов (
    m=n
    ).
  • Нулевая — где все элементы матрицы = 0.
  • Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
  • Единичная — все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
  • Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «+»; так же, для 2го определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «-«, то есть по такой схеме:

При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком «+»; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком «-«:

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ — это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k n — 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Вычисляем алгебраические дополнения.
  3. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
  4. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  5. Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный — метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям:

Определение обратной матрицы на основании главной матрицы:

Умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений.

Допустим, дано СЛАУ следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\]

Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы:

Матрица правой части:

Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 — сама матрица должна быть невырожденной; 2 — ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных элементов на определитель матрицы. Получим:

\[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \]

2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения СЛАУ:

Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Основные понятия.

Определение 1 . Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

где и — числа.

Определение 2 . Решением системы (I) называется такой набор неизвестных , при котором каждое уравнение этой системы обращается в тождество.

Определение 3 . Система (I) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение и несовместной , если она не имеет решений. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной в противном случае.

Определение 4 . Уравнение вида

называется нулевым , а уравнение вида

называется несовместным . Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной.

Определение 5 . Две системы линейных уравнений называются равносильными , если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой.

Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему (I) (см. §1).

Обозначим:

Матрица коэффициентов при неизвестных

Матрица – столбец свободных членов

Матрица – столбец неизвестных

.

Определение 1. Матрица называется основной матрицей системы (I), а матрица — расширенной матрицей системы (I).

По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство:

.

Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1 ) можно разложить на множители:

, т.е.

Равенство (2) называется матричной записью системы (I) .

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Пусть в системе (I) (см. §1) m=n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение

где Δ = det A называется главным определителем системы (I), Δ i получается из определителя Δ заменой i -го столбца на столбец из свободных членов системы (I).

Пример.Решить систему методом Крамера:

.

По формулам (3) .

Вычисляем определители системы:

,

,

.

Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пусть в системе(I) (см. §1) m=n и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2 ):

т.к. матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1 ). Умножим обе части равенства (2) на матрицу , тогда

По определению обратной матрицы . Из равенства (3) имеем

Решить систему с помощью обратной матрицы

.

Обозначим

В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4) , т.е.

. (5)

Найдем матрицу (см. §6 главы 1 )

, , ,

, , ,

,

.

Метод Гаусса.

Пусть задана система линейных уравнений:

. (I)

Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.

Определение 1. Назовем элементарным преобразованием системы (I) любое из трёх действий:

1) вычёркивание нулевого уравнения;

2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l;

3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.

Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.

Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы:

.

Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице .

Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.

В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х 1 , 2-ой столбец — из коэффициентов при х 2 и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х 2 , а во 2-ом столбце — коэффициенты при х 1 .

Будем решать систему (I) методом Гаусса.

1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).

2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.

3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a 11 =0 , то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).

4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x 1 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a 11 :

.

5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a 22 / =0 , если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем — элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a 22 /

.

Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х 2 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1 ) :

,

Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I)

.

Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим .

Замечание 1. Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.

1. Система (I) несовместна.

2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных ().

3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных ().

Отсюда имеет место следующая теорема.

Теорема. Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.

Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:

б) ;

а) Перепишем заданную систему в виде:

.

Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).

Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим

.

Матрице соответствует система уравнений). — (см. определение 3§7 главы 1).

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн

Одним из известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод обратной матрицы . Предположим, у нас есть СЛАУ двух уравнений с двумя неизвестными.

a11xa12yb1a21xa22yb2

Введите обозначения: А — Матрица СЛАУ вида:

Aa11a12a21a22

Икс — вектор-столбец неизвестных, которые необходимо найти:

Xxy

B — векторный столбец свободных коэффициентов:

Bb1b2

Итак, исходную СЛАУ можно переписать в матричных обозначениях:

AXB

Чтобы решить это матричное уравнение, умножьте обе его части слева на Матрица -1 :

A1AXA1B

Здесь, А -1 — обратная матрица матрицы А. Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. ее определитель не равен нулю).

Приведенные выше условия показывают границы применения метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Прежде всего: матрица СЛАУ А должен быть квадратным. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству переменных. Во-вторых: определитель матрицы А не должно быть равно нулю:

A0

Кроме того, у обратной матрицы есть замечательная особенность: ее произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:

A1AAA1E

Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:

EXXA1B

Итак, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь нужно проверить, существует ли обратная матрица, а затем найти ее и умножить на вектор Б.

Наш онлайн-калькулятор предназначен для решает СЛАУ методом обратной матрицы . Калькулятор находит пошаговое решение. Уравнения СЛАУ вводятся в их естественном виде. Коэффициент уравнения может быть не только числом и дробью, но и параметрами — в этом случае калькулятор дает решение общепринятого вида.

Найдите обратную матрицу с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В этом разделе мультипликативные элементы идентичности и мультипликативные инверсии вводятся и используются для решения матричных уравнений.Это приводит к другому метод решения систем уравнений.

МАТРИЦЫ ИДЕНТИЧНОСТИ Свойство идентичности для вещественных чисел говорит, что a * I = a и I * a = a для любого действительного числа a. Если будет мультипликативный единичная матрица I, такая что:

AI = A и IA = A,

для любой матрицы A, тогда A и I должны быть квадратными матрицами одинакового размера. В противном случае было бы невозможно найти оба продукта. Например, пусть A будет матрица 2 X 2 и пусть

представляют собой единичную матрицу 2 X 2.Чтобы найти I, используйте тот факт, что IA = A, или

Умножая две матрицы в левой части этого уравнения и задавая элементы матрицы продукта, равные соответствующим элементам A, дает следующая система уравнений с переменными x11, x12, x21 и x22

Обратите внимание, что на самом деле это две системы уравнений с двумя переменными. Используйте один из методы предыдущей главы, чтобы найти решение этой системы: x11 = 1, x12 = x21 = 0 и X22 = 1.Из решения системы, 2 X 2 единичная матрица

Убедитесь, что с этим определением I как Al = A, так и IA = A.

Пример 1 ПРОВЕРКА ИДЕНТИФИКАЦИОННОЙ СОБСТВЕННОСТИ

Пусть

Убедитесь, что MI = M и IM = M

Найденная выше единичная матрица 2 X 2 предлагает следующее обобщение:

n x n МАТРИЦА ИДЕНТИФИКАЦИИ

Для любого значения n существует единичная матрица n X n, имеющая единицы вниз по диагонали и 0 в другом месте. (- 1).(-1). Этот матрица должна удовлетворять утверждениям


Мультипликативная обратная матрица может быть найдена с помощью преобразования строк матрицы, приведенные в предыдущем руководстве и повторенные здесь для удобство.

МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДА

Преобразования строк матрицы:

  1. меняет местами любые две строки матрицы;

  2. умножение элементов любой строки матрицы на то же ненулевой скаляр k; и

  3. добавление нескольких элементов одной строки к элементам другого ряда.(-1) = 1 или

    Путем умножения матриц,


    Уравнивание соответствующих элементов дает систему уравнений


    Поскольку уравнения (1) и (3) включают только x и z, а уравнения (2) и (4) включают только y и w, эти четыре уравнения приводят к двум системам уравнений:

    2x + 4z = 1
    x-z = 0

    и

    2y + 4w = 0
    y-w = 1.

    Запись двух систем в виде расширенных матриц дает

    Каждая из этих систем может быть решена методом Гаусса-Жордана.Однако, поскольку элементы слева от вертикальной полосы идентичны, две системы могут можно объединить в одну расширенную матрицу,

    и решить одновременно следующим образом. Поменяйте местами две строки, чтобы получить 1 в левый верхний угол.

    Умножьте первую строку на -2 и добавьте результаты ко второй строке, чтобы получить


    Теперь, чтобы получить I во второй строке, позиции второго столбца, умножьте второй ряд на 1/6.

    Наконец, добавьте вторую строку к первой строке, чтобы получить 0 во втором столбце. выше 1.(-1) — это просто обозначение обратной матрицы A.

    Метод обратной матрицы — Бесплатная справка по математике

    Решение системы линейных уравнений: (урок 5 из 5)

    Метод обратной матрицы

    Предположим, вам дано уравнение с одной переменной, например, $ 4x = 10 $. потом вы найдете значение $ x $, которое решает это уравнение, умножив уравнение, обратное 4: $ \ color {blue} {\ frac14} \ cdot 4x = \ color {blue} {\ frac14} \ cdot 10 $, так что решение будет $ x = 2.5 $.

    Иногда мы можем сделать что-то очень похожее, чтобы решить системы линейных уравнения; в этом случае мы будем использовать обратную матрицу коэффициентов. Но сначала мы должны проверить, что эта инверсия существует! Условия существования матрицы, обратной матрицы коэффициентов, такие же, как и для использования Правило Крамера, то есть

    1. В системе должно быть одинаковое количество уравнения как переменные, то есть матрица коэффициентов системы должна быть квадратный.

    2. Определитель матрица коэффициентов должна быть ненулевой. Причина, конечно, в том, что обратное матрицы существует именно тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

    3. Чтобы использовать этот метод, следуйте шаги, продемонстрированные на следующей системе:

    $$ \ begin {выровнено} -x + 3y + z & = 1 \\ 2х + 5у & = 3 \\ 3x + y — 2z & = -2 \ end {выровнен} $$

    Шаг 1: Перепишите систему, используя умножение матриц:

    $$ \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} — 1 \\ 2 \\ 3 \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}} 3 \\ 5 \\ 1 \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}} 1 \\ 0 \\ — 2 \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} Икс\\ у \\ z \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 \\ 3 \\ — 2 \ end {array}} \ right) $$

    и записав матрицу коэффициентов как A, мы имеем

    $$ A \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} Икс\\ у \\ z \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 \\ 3 \\ — 2 \ end {array}} \ right) $$

    Шаг 2: Найдите обратную матрицу коэффициентов A. {- 1}} \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 \\ 3 \\ {- 2} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {{10}} {9}} \\ {\ frac {4} {9}} \\ {- \ frac {{13}} {9}} \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}} {\ frac {7} {9}} \\ {- \ frac {1} {9}} \\ {\ frac {{10}} {9}} \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}} {- \ frac {5} {9}} \\ {\ frac {2} {9}} \\ {- \ frac {{11}} {9}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 \\ 3 \\ {- 2} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {21} \\ {- 3} \\ {39} \ end {array}} \ right) $$

    , поэтому решение —

    . $$ \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} Икс\\ у \\ z \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {21} \\ {- 3} \\ {39} \ end {array}} \ right) $$

    7.7 Решение систем с обратными — College Algebra

    Задачи обучения

    В этом разделе вы:

    • Найдите обратную матрицу.
    • Решите систему линейных уравнений, используя обратную матрицу.

    Нэнси планирует инвестировать 10 500 долларов в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность 10%, а вторая облигация — 6% годовых. Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере 8,5% от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему?

    Есть несколько способов решить эту проблему.Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами. После изучения этого раздела у нас будут инструменты для решения проблемы облигаций с использованием обратной матрицы.

    Нахождение обратной матрицы

    Мы знаем, что мультипликативная обратная величина действительного числа aa равна a − 1, a − 1 и aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1.aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1. Например, 2−1 = 122−1 = 12 и (12) 2 = 1. (12) 2 = 1. Мультипликативная обратная матрица аналогична по концепции, за исключением того, что произведение матрицы AA и ее обратной A − 1A − 1 равно единичной матрице. Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем единичные матрицы с помощью InIn, где nn представляет собой размерность матрицы. Упражнение 7.384 и следующие уравнения.

    I3 = [100010001] I3 = [100010001]

    Единичная матрица действует как 1 в матричной алгебре. Например, AI = IA = A.AI = IA = A.

    Матрица, имеющая мультипликативную обратную, имеет свойства

    AA-1 = IA-1A = IAA-1 = IA-1A = I

    Матрица, имеющая мультипликативную обратную матрицу, называется обратимой матрицей.Только квадратная матрица может иметь мультипликативную обратную, поскольку обратимость, AA-1 = A-1A = I, AA-1 = A-1A = I, является требованием. Не все квадратные матрицы имеют обратную матрицу, но если AA обратима, то A − 1A − 1 единственна. Мы рассмотрим два метода поиска обратной матрицы 2 × 22 × 2 и третий метод, который можно использовать как для матриц 2 × 22 × 2, так и 3 × 33 × 3.

    Матрица идентичности и обратная мультипликативная величина

    Единичная матрица In, In представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.

    I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3 I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3

    Если AA — это n × nn × n матрица, а BB — n × nn × n матрица такая, что AB = BA = In, AB = BA = In, тогда B = A − 1, B = A − 1, мультипликативная обратная матрица A.A.

    Пример 1

    Показывает, что матрица идентичности действует как 1

    Для данной матрицы A покажите, что AI = IA = A.AI = IA = A.

    Решение

    Используйте матричное умножение, чтобы показать, что произведение AA и единицы равно произведению единицы и A.

    AI = [34−25] [1001] = [3⋅1 + 4⋅03⋅0 + 4⋅1−2⋅1 + 5⋅0−2⋅0 + 5⋅1] = [34−25] AI = [34−25] [1001] = [3⋅1 + 4⋅03⋅0 + 4⋅1−2⋅1 + 5⋅0−2⋅0 + 5⋅1] = [34−25] IA = [1001 ] [34−25] = [1⋅3 + 0⋅ (−2) 1⋅4 + 0⋅50⋅3 + 1⋅ (−2) 0⋅4 + 1⋅5] = [34−25] IA = [1001] [34−25] = [1⋅3 + 0⋅ (−2) 1⋅4 + 0⋅50⋅3 + 1⋅ (−2) 0⋅4 + 1⋅5] = [34−25]

    Как к

    Даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативной инверсией другой.

    1. Даны матрица AA порядка n × nn × n и матрица BB порядка n × nn × n умножить AB.AB.
    2. Если AB = I, AB = I, найти произведение BA.BA. Если BA = I, BA = I, то B = A − 1B = A − 1 и A = B − 1.A = B − 1.

    Пример 2

    , показывающая, что матрица
    A является мультипликативной обратной матрицей B

    Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

    A = [15−2−9], B = [- 9−521] A = [15−2−9], B = [- 9−521]
    Решение

    Умножьте ABAB и BA.BA. Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

    AB = [15−2−9] · [−9−521] = [1 (−9) +5 (2) 1 (−5) +5 (1) −2 (−9) −9 (2) — 2 (−5) −9 (1)] = [1001] AB = [15−2−9] · [−9−521] = [1 (−9) +5 (2) 1 (−5) +5 (1) −2 (−9) −9 (2) −2 (−5) −9 (1)] = [1001] BA = [- 9−521] · [15−2−9] = [- 9 (1) −5 (−2) −9 (5) −5 (−9) 2 (1) +1 (−2) 2 (−5) +1 (−9)] = [1001] BA = [- 9−521] · [15−2−9] = [- 9 (1) −5 (−2) −9 (5) −5 (−9) 2 (1) +1 (−2) 2 (−5) ) +1 (−9)] = [1001]

    AA и BB противоположны друг другу.

    Попробуй # 1

    Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

    A = [14−1−3], B = [- 3−411] A = [14−1−3], B = [- 3−411]
    Нахождение обратного умножения с помощью умножения матрицы

    Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение с помощью умножения матриц.

    Пример 3

    Нахождение обратного умножения с помощью умножения матрицы

    Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

    A = [1-22-3] A = [1-22-3]
    Решение

    Для этого метода мы умножаем AA на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

    [1-22-3] [abcd] = [1001] [1-22-3] [abcd] = [1001]

    Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

    [1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d] [1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d]

    Затем настройте система уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, 1.Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, которая равна 0.

    1a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R21a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R2

    Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: (−2) R1 + R2 → R2. (- 2) R1 + R2 → R2. Сложите уравнения и решите относительно c.c.

    1a − 2c = 10 + 1c = −2c = −21a − 2c = 10 + 1c = −2c = −2

    Обратная подстановка для решения для a.a.

    a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3

    Напишите другую систему уравнений, задав запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы равно соответствующему элементу тождества, 0. Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

    1b − 2d = 0R12b − 3d = 1R21b − 2d = 0R12b − 3d = 1R2

    Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: (−2) R1 + R2 = R2. (- 2) R1 + R2 = R2. Сложите два уравнения и решите относительно d.d.

    1b − 2d = 00 + 1d = 1d = 11b − 2d = 00 + 1d = 1d = 1

    Еще раз выполните обратную замену и решите относительно b.b.

    b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2 A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]
    Нахождение мультипликативного обратного с помощью тождества

    Другой способ найти мультипликативный обратный — это увеличить с помощью тождества.Когда матрица AA преобразуется в I, I, расширенная матрица II преобразуется в A-1.A-1.

    Например, учитывая

    дополнить AA с идентификатором

    Выполнять операции со строками с целью превращения AA в удостоверение.

    1. Поменяйте местами ряды 1 и 2.
    2. Умножим строку 2 на −2−2 и прибавим к строке 1. [1121 | −2110] [1121 | −2110]
    3. Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [110−1 | −215−2] [110−1 | −215−2]
    4. Добавьте строку 2 к строке 1.[100−1 | 3−15−2] [100−1 | 3−15−2]
    5. Умножим строку 2 на -1. [1001 | 3−1−52] [1001 | 3−1−52]

    Найденная матрица имеет вид A − 1.A − 1.

    A − 1 = [3−1−52] A − 1 = [3−1−52]
    Нахождение мультипликативной обратной матрицы 2 × 2 по формуле

    Когда нам нужно найти мультипликативную обратную матрицу 2 × Матрица 22 × 2, мы можем использовать специальную формулу вместо умножения матриц или увеличения на единицу.

    Если AA — матрица 2 × 22 × 2, например

    мультипликативная обратная величина AA определяется формулой

    A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca]

    , где ad − bc ≠ 0. ad − bc ≠ 0. Если ad − bc = 0, ad − bc = 0, то у AA нет обратного.

    Пример 4

    Использование формулы для нахождения обратной мультипликативной матрицы
    A

    Воспользуйтесь формулой, чтобы найти обратное умножение числа

    . A = [1-22-3] A = [1-22-3]
    Решение

    Используя формулу, имеем

    A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21] A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21]
    Анализ

    Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного.Давайте дополним AA идентичностью.

    [1-22-3 | 1001] [1-22-3 | 1001]

    Выполнять операции со строками с целью превращения AA в удостоверение.

    1. Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [1−201 | 10−21] [1−201 | 10−21]
    2. Умножить строку 1 на 2 и прибавить к строке 1. [1001 | −32−21] [1001 | −32−21]

    Итак, мы проверили наше исходное решение.

    A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

    Попробуй # 2

    Используйте формулу, чтобы найти матрицу, обратную матрице A.A. Проверьте свой ответ, добавив единичную матрицу.

    Пример 5

    Нахождение обратной матрицы, если она существует

    Найдите обратную матрицу, если она существует.

    Решение

    Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

    1. Поменяйте местами ряды 1 и 2.
    2. Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2. [1200 | 10−31] [1200 | 10−31]
    3. Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.
    Нахождение обратной мультипликативной матрицы для матриц 3 × 3

    К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы 2 × 22 × 2, чтобы найти обратную матрицу 3 × 33 × 3. Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

    Учитывая 3 × 33 × 3 матрица

    A = [231331241] A = [231331241]

    дополнить AA с единичной матрицей

    A | I = [231331241 | 100010001] A | I = [231331241 | 100010001]

    Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и AA слева. Выполняя элементарные операции со строками так, чтобы единичная матрица появилась слева, мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

    Как к

    Для данной матрицы 3 × 33 × 3 найдите обратную

    1. Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
    2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
    3. Справа получается матрица, обратная исходной.
    4. Используйте матричное умножение, чтобы показать, что AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

    Пример 6

    Нахождение обратной матрицы 3 × 3

    Дан матрица A, A 3 × 33 × 3, найдите обратную.

    A = [231331241] A = [231331241]
    Решение

    Дополните AA единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит A.A. Матрица справа будет обратной матрицей A. A.

    [231331241 | 100010001] → Развязка R2and R1 [331231241 | 010100001] [231331241 | 100010001] → Развязка R2and R1 [331231241 | 010100001] −R2 + R1 = R1 → [100231241 | −110100001] −R2 + R1 = R1 → [100231241 | −110100001] −R2 + R3 = R3 → [100231010 | −110100−101] −R2 + R3 = R3 → [100231010 | −110100−101] R3↔ R2 → [100010231 | −110−101100] R3↔ R2 → [100010231 | −110−101100] −2R1 + R3 = R3 → [100010031 | −110−1013−20] −2R1 + R3 = R3 → [100010031 | −110−1013−20] −3R2 + R3 = R3 → [100010001 | −110−1016−2−3] −3R2 + R3 = R3 → [100010001 | −110−1016−2− 3]

    Таким образом,

    A − 1 = B = [- 110−1016−2−3] A − 1 = B = [- 110−1016−2−3]
    Анализ

    Чтобы доказать, что B = A − 1, B = A − 1, давайте перемножим две матрицы, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

    AA − 1 = [231331241] [−110−1016−2−3] = [2 (−1) +3 (−1) +1 (6) 2 (1) +3 (0) +1 (−2) ) 2 (0) +3 (1) +1 (−3) 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) 3 (1) +3 (0) +1 (−2) 3 (0 ) +3 (1) +1 (−3) 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) 2 (1) +4 (0) +1 (−2) 2 (0) +4 ( 1) +1 (−3)] = [100010001] AA − 1 = [231331241] [−110−1016−2−3] = [2 (−1) +3 (−1) +1 (6) 2 ( 1) +3 (0) +1 (−2) 2 (0) +3 (1) +1 (−3) 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) 3 (1) +3 (0) +1 (−2) 3 (0) +3 (1) +1 (−3) 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) 2 (1) +4 (0) + 1 (−2) 2 (0) +4 (1) +1 (−3)] = [100010001] A − 1A = [- 110−1016−2−3] [231331241] = [- 1 (2) + 1 (3) +0 (2) −1 (3) +1 (3) +0 (4) −1 (1) +1 (1) +0 (1) −1 (2) +0 (3) + 1 (2) −1 (3) +0 (3) +1 (4) −1 (1) +0 (1) +1 (1) 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1)] = [100010001] A − 1A = [- 110−1016−2−3 ] [231331241] = [- 1 (2) +1 (3) +0 (2) −1 (3) +1 (3) +0 (4) −1 (1) +1 (1) +0 (1) ) −1 (2) +0 (3) +1 (2) −1 (3) +0 (3) +1 (4) −1 (1) +0 (1) +1 (1) 6 (2) + −2 (3) + — 3 (2) 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1)] = [100010001]

    Попробовать # 3

    Найдите обратную матрицу 3 × 33 × 3.

    A = [2−1711−111−703−2] A = [2−1711−111−703−2]

    Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

    Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: XX — это матрица, представляющая переменные системы, а BB — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, что и

    Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть AA будет матрицей коэффициентов, пусть XX будет переменной матрицей и пусть BB будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему AX = B.AX = B. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

    a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

    В этой системе матрица коэффициентов равна

    Матрица переменных —

    А постоянная матрица

    Тогда AX = BAX = B выглядит как

    [a1b1a2b2] [xy] = [c1c2] [a1b1a2b2] [xy] = [c1c2]

    Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, (2−1) 2 = (12) 2 = 1 . (2−1) 2 = (12) 2 = 1. Чтобы решить одно линейное уравнение ax = bax = b относительно x, x, мы просто умножим обе части уравнения на мультипликативную обратную (обратную) величину a.a. Таким образом,

    ax = b (1a) ax = (1a) b (a − 1) ax = (a − 1) b [(a − 1) a] x = (a − 1) b 1x = (a − 1 ) b x = (a − 1) b ax = b (1a) ax = (1a) b (a − 1) ax = (a − 1) b [(a − 1) a] x = (a − 1) b 1x = (a − 1) b x = (a − 1) b

    Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, и матрица умножение — более длительный процесс.Однако цель та же — изолировать переменную.

    Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы 2 × 22 × 2, а затем перейти к системе 3 × 33 × 3.

    Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы

    Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов A, A, переменную матрицу X, X и постоянную матрицу B. B.Тогда

    Умножьте обе части на обратную величину AA, чтобы получить решение.

    (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

    Вопросы и ответы

    Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что система не имеет решения?

    Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

    Пример 7

    Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы

    Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу.

    3x + 8y = 54x + 11y = 73x + 8y = 54x + 11y = 7
    Решение

    Запишите систему в виде матрицы коэффициентов, матрицы переменных и постоянной матрицы.

    A = [38411], X = [xy], B = [57] A = [38411], X = [xy], B = [57]

    Тогда

    [38411] [xy] = [57] [38411] [xy] = [57]

    Сначала нам нужно вычислить A − 1.A − 1. Используя формулу для вычисления обратной матрицы 2 на 2, мы имеем:

    A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43] A − 1 = 1ad − bc [d− b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43]

    Итак,

    A − 1 = [11−8−4 3] A − 1 = [11−8−4 3]

    Теперь мы готовы к решению.Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1.

    (A − 1) AX = (A − 1) B [11−8−43] [38411] [xy] = [11−8−43] [57] [1001] [xy] = [11 (5) + (−8) 7−4 (5) +3 (7)] [xy] = [- 11] (A − 1) AX = (A − 1) B [11−8−43] [38411] [xy] = [11−8−43] [57] [1001] [xy] = [11 (5) + (- 8) 7−4 (5) +3 (7)] [xy] = [- 11]

    решение равно (−1,1). (- 1,1).

    Вопросы и ответы

    Можем ли мы решить XX, найдя произведение BA − 1? BA − 1?

    Нет, напомним, что умножение матриц не коммутативно, поэтому A − 1B ≠ BA − 1. A − 1B ≠ BA − 1. Рассмотрим наши шаги по решению матричного уравнения.

    (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

    Обратите внимание, что на первом этапе мы умножили обе части уравнение равно A − 1, A − 1, но A − 1A − 1 находился слева от AA на левой стороне и слева от BB на правой стороне. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

    Пример 8

    Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

    Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

    5x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −75x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −7
    Решение

    Напишите уравнение AX = B.AX = B.

    [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26−7] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26− 7]

    Во-первых, мы найдем обратное к AA, добавив тождество.

    [51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001] [51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001]

    Умножить строку 1 на 15,15.

    [13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001] [13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001]

    Умножить строку 1 на 4 и прибавить к строке 2.

    [1356501195−1−3−11 | 15004510001] [1356501195−1−3−11 | 15004510001]

    Добавить строку 1 к строке 3.

    [13565011950015 | 150045101501] [13565011950015 | 150045101501]

    Умножить строку 2 на −3 и прибавить к строке 1.

    [10−15011950015 | −115−3045101501] [10−15011950015 | −115−3045101501]

    Умножить строку 3 на 5.

    [10−1501195001 | −115−304510105] [10−1501195001 | −115−304510105]

    Умножить строку 3 на 1515 и прибавить к строке 1.

    [10001195001 | −2−314510105] [10001195001 | −2−314510105]

    Умножить строку 3 на −195−195 и прибавить к строке 2.

    [100010001 | −2−31−31−19105] [100010001 | −2−31−31−19105]

    Итак,

    A − 1 = [- 2−31−31−19105] A − 1 = [- 2−31−31−19105]

    Умножаем обе части уравнения на A − 1. A − 1. Нам нужно A − 1AX = A − 1B: A − 1AX = A − 1B:

    [−2−31−31−19105] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [- 2−31−31−19105] [35−26−7] [- 2− 31−31−19105] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [- 2−31−31−19105] [35−26−7]

    Таким образом,

    A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [120] A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [ 120]

    Решение (1,2,0).(1,2,0).

    Попробуй # 4

    Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

    2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2 2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2

    Как к

    Дана система уравнений. Решите с помощью обратных матриц с помощью калькулятора.

    1. Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные [A] [A] и [B].[B].
    2. Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
    3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

    Пример 9

    Использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами

    Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

    2x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −22x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −2
    Решение

    На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную [A], [A] и введите постоянную матрицу как матричную переменную [B].[B].

    [A] = [231331241], [B] = [32−27−2] [A] = [231331241], [B] = [32−27−2] »

    На главном экране калькулятора введите умножение для определения X, X, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.

    Вычислите выражение.

    [−59−34252] [- 59−34252]

    7.7 Упражнения по разделам

    Устные
    1.

    В предыдущем разделе мы показали, что умножение матриц не коммутативно, то есть AB ≠ BAAB ≠ BA в большинстве случаев.Можете ли вы объяснить, почему матричное умножение коммутативно для обратных матриц, то есть A − 1A = AA − 1? A − 1A = AA − 1?

    2.

    У каждой матрицы 2 × 22 × 2 есть обратная? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, какое условие необходимо для существования инверсии.

    3.

    Можете ли вы объяснить, может ли матрица 2 × 22 × 2 со всей строкой нулей иметь обратную?

    4.

    Может ли матрица с целым столбцом нулей иметь инверсию? Объясните, почему да или почему нет.

    5.

    Может ли матрица с нулями по диагонали иметь инверсию? Если да, то найди пример. Если нет, докажите, почему нет. Для простоты предположим, что это матрица 2 × 22 × 2.

    Algebraic

    В следующих упражнениях покажите, что матрица AA является обратной матрицей B.B.

    6.

    A = [10-11], B = [1011] A = [10-11], B = [1011]

    7.

    A = [1234], B = [- 2132−12] A = [1234], B = [- 2132−12]

    8.

    A = [4570], B = [01715-435] A = [4570], B = [01715-435]

    9.

    A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4] A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4]

    10.

    A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11] A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11]

    11.

    A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224] A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224]

    12.

    A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225] A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225]

    Для следующих упражнений найдите обратную мультипликативную матрицу для каждой матрицы, если она существует.

    16.

    [−4−3−58] [- 4−3−58]

    19.

    [0,51,51-0,5] [0,51,51-0,5]

    20.

    [106−217302] [106−217302]

    21.

    [01-3410105] [01-3410105]

    22.

    [12−1−341−2−4−5] [12−1−341−2−4−5]

    23.

    [19−32564−27] [19−32564−27]

    24.

    [1-23-48-12142] [1-23-48-12142]

    25.

    [121212131415161718] [121212131415161718]

    Для следующих упражнений решите систему, используя обратную матрицу 2 × 22 × 2.

    27.

    5x − 6y = −614x + 3y = −25x − 6y = −614x + 3y = −2

    28.

    8x + 4y = −1003x − 4y = 18x + 4y = −1003x − 4y = 1

    29.

    3x − 2y = 6 − x + 5y = −23x − 2y = 6 − x + 5y = −2

    30.

    5x − 4y = −54x + y = 2,35x − 4y = −54x + y = 2,3

    31.

    −3x − 4y = 912x + 4y = −6−3x − 4y = 912x + 4y = −6

    32.

    −2x + 3y = 310 − x + 5y = 12−2x + 3y = 310 − x + 5y = 12

    33.

    85x − 45y = 25−85x + 15y = 71085x − 45y = 25−85x + 15y = 710

    34.

    12x + 15y = −1412x − 35y = −9412x + 15y = −1412x − 35y = −94

    Для следующих упражнений решите систему, обратную 3 × 33 × 3 матрица.

    35.

    3x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 53x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 5

    36.

    4x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 94x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 9

    37.

    6x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 136x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 13

    38.

    6x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 126x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 12

    39.

    4x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 14x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 1

    40.

    110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23

    41.

    12x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 1412x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 14

    42.

    0,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0,60,4y + 0,9z = −20,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0.60.4y + 0.9z = −2

    Technology

    В следующих упражнениях используйте калькулятор для решения системы уравнений с обратными матрицами.

    43.

    2x − y = −3 − x + 2y = 2,32x − y = −3 − x + 2y = 2,3

    44.

    −12x − 32y = −432052x + 115y = 314−12x − 32y = −432052x + 115y = 314

    45.

    12.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −1012.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −10

    46. ​​

    0,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 00,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 0

    Расширения

    Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

    47.

    [1010010101100011] [1010010101100011]

    48.

    [−1025000202−101−301] [- 1025000202−101−301]

    49.

    [1−230010214−23−5011] [1−230010214−23−5011]

    50.

    [1202302100003010200100120] [1202302100003010200100120]

    51.

    [100000010000001000000100000010111111] [100000010000001000000100000010111111]

    Реальные приложения

    Для следующих упражнений напишите систему уравнений, описывающую ситуацию. Затем решите систему, используя обратную матрицу.

    52.

    На баскетбольный матч продано 2 400 билетов. Если цены на этаж 1 и этаж 2 были разными, а общая сумма принесенных денег составила 64 000 долларов, сколько была цена каждого билета?

    53.

    В предыдущем упражнении, если бы вам сказали, что на этаж 2 было продано на 400 билетов больше, чем на этаж 1, сколько была цена каждого билета?

    54.

    Продовольственная группа собрала два разных вида консервов: стручковую фасоль и фасоль. Общее количество собранных банок составило 350, а общий вес всей пожертвованной еды — 348 фунтов 12 унций. Если банки с зеленой фасолью весят на 2 унции меньше, чем банки с фасолью, сколько из каждой банки было пожертвовано?

    55.

    Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты.95% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были вдвое популярнее бананов, а яблоки на 5% менее популярны, чем бананы, каков процент каждого отдельного фрукта?

    56.

    Женский клуб провел распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавал пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 1 доллар и печенье с шоколадной крошкой в ​​0,75 доллара. Они собрали 700 долларов и продали 850 вещей. Сколько было продано пирожных и печенья?

    57.

    Магазин одежды должен заказать новый инвентарь.В продаже есть три разных типа шляп: соломенные шляпы, шапочки и ковбойские шляпы. Соломенная шляпа стоит 13,99 доллара, шапка-бини — 7,99 доллара, а ковбойская шляпа — 14,49 доллара. Если в прошедшем квартале было продано 100 головных уборов, продажи составили 1119 долларов, а количество проданных шапок было на 10 больше, чем ковбойских шляп, сколько каждой из них магазин одежды должен заказать, чтобы заменить уже проданные?

    58.

    Анна, Эшли и Андреа вместе весят 370 фунтов. Если Андреа весит на 20 фунтов больше, чем Эшли, а Анна весит 1 кг.В 5 раз больше, чем Эшли, сколько весит каждая девушка?

    59.

    Трое соседей по комнате разделили упаковку из 12 плиток мороженого, но никто не помнит, кто сколько ел. Если Том ел вдвое больше плиток мороженого, чем Джо, а Альберт ел на три меньше, чем Том, сколько плиток мороженого съел каждый сосед по комнате?

    60.

    Фермер построил курятник из проволочной сетки, дерева и фанеры. Металлическая сетка стоила 2 доллара за квадратный фут, древесина — 10 долларов за квадратный фут, а фанера — 5 долларов за квадратный фут.Фермер потратил в общей сложности 51 доллар, а общее количество использованных материалов составило 14 футов 2,14 футов 2. Он использовал на 3 фута 23 фута больше проволочной сетки, чем фанеры. Сколько каждого материала использовал фермер?

    61.

    У Джея на заднем дворе растут лимонные, апельсиновые и гранатовые деревья. Апельсин весит 8 унций, лимон — 5 унций, а гранат — 11 унций. Джей собрал 142 фрукта общим весом 70 фунтов 10 унций. Он собрал в 15,5 раз больше апельсинов, чем гранатов. Сколько плодов собрал Джей?

    Система линейных уравнений и обращения матриц

    Система линейных уравнений и обращения матриц

    Этот обучающий объект JavaScript E-labs предназначен для нахождения решения систем линейных уравнений, содержащих до трех уравнений с тремя неизвестными.Это также позволяет нам найти обратную матрицу.

    Другие учебные объекты JavaScript для принятия решений в этой серии классифицируются по различным областям приложений в разделе MENU на этой странице.


    При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу Tab , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.

    Инструкции и приложения:

    1. Неизвестные имена переменных: X1, X2, X3 ,..и X10, в зависимости от того, есть ли у вас одно уравнение, два уравнения или три уравнения с одной неизвестной, двумя неизвестными или тремя неизвестными переменными, соответственно.
    2. Начиная с левого верхнего угла, при необходимости замените столько нулей в матрице данных на коэффициенты неизвестных переменных в уравнениях вместе с их значениями в правой части. Матрица коэффициентов должна быть квадратной матрицей, которая появляется в верхнем левом углу матрицы данных, поэтому не оставляйте пустых строк между ними.
    3. JavaScript основан на строковых операциях Гаусса-Джордана (GJ). Требование для операций GJ состоит в том, что первый элемент в матрице коэффициентов должен быть ненулевым. Поэтому сначала введите коэффициенты всех уравнений с ненулевым коэффициентом X1; затем введите все остальные уравнения. То есть любое уравнение с нулевыми коэффициентами для X1 должно появиться в конце таблицы ввода данных.

      Численный пример 1: Рассмотрим следующую систему уравнений:

      Х2 + Х3 = 5
      3X1 + X3 = 6
      -X1 + X2 = 1

      Матрица коэффициентов переменных:

      0 1 1
      3 0 1
      -1 1 0

      Первая запись первого столбца равна нулю, хотя в ней всегда есть хотя бы один ненулевой элемент.Следовательно, мы должны перестроить систему уравнений таким образом, чтобы любое уравнение с нулевым коэффициентом X1 появилось среди последней системы уравнений. То есть, рассматривая эквивалентную систему уравнений:

      3X1 + X3 = 6
      -X1 + X2 = 1
      Х2 + Х3 = 5

      Решите эту эквивалентную систему уравнений, введя ее коэффициент и значения RHS в таблицу ввода данных, затем нажмите кнопку «Рассчитать». На выходе получается решение: X1 = 1, X2 = 2 и X3 = 3, которое можно проверить с помощью подстановок.

    4. Нахождение обратной матрицы с помощью решателя системы уравнений: Чтобы найти обратную квадратную матрицу размера n, решите n систем уравнений с единичным вектором в качестве правой части. Следующий числовой пример иллюстрирует процесс:

      Числовой пример 2: Предположим, мы хотим найти обратную (A -1 ) следующую матрицу (если она существует) A:

      В общем, чтобы найти A -1 , столбец за столбцом, решите n систем уравнений, имеющих матрицу коэффициентов A, но с n различными единичными векторами в качестве их значения RHS.

      Для этого числового примера мы должны решить следующие две системы уравнений:

      2X1 + X1 = 1
      Х1 — Х2 = 0

      а также

      2X1 + X1 = 0
      Х1 — Х2 = 1

      Обратите внимание, что коэффициенты переменных X1 и X2 представляют собой матрицу A в обеих системах уравнений, однако RHS — это два единичных вектора в n = 2-мерном пространстве.

      Решения, соответствующие приведенной выше инструкции, первой и второй систем уравнений дают первый и второй столбцы матрицы A -1 .

      Чтобы найти первый столбец A -1 , решите:

      2X1 + X1 = 1
      Х1 — Х2 = 0

      Это дает X1 = 1/3, X2 = 1/3. Чтобы найти второй столбец A -1 , решите:

      2X1 + X1 = 0
      Х1 — Х2 = 1

      Это дает X1 = 1/3, X2 = -2/3. Следовательно, A -1 p равно

      1/3 1/3
      А -1 =
      1/3 -2/3
    5. Примечание: Матрица, имеющая инверсию, называется невырожденной или обратимой.Матрица называется сингулярной, если у нее нет обратной. Например, следующая матрица является сингулярной:

      1 6 4
      2 4 -1
      -1 2 5

      Следовательно, при применении описанной выше процедуры обращения матрицы, если матрица является сингулярной, то по крайней мере одна из систем уравнений не имеет решения.

    6. Для редактирования ваших данных, включая добавление / изменение / удаление, вам не нужно нажимать кнопку «очистить» и заново вводить данные заново. Вы можете просто добавить, изменить число на другое в той же ячейке или удалить число из ячейки, установив его значение на ноль. После редактирования нажмите кнопку «рассчитать».

      Это полезно, например, в найти инверсию матрицы A 10×10 , где нам нужно изменить только значения RHS.

      Для расширенного редактирования или использования JavaScript для нового набора данных используйте кнопку «Очистить».



    Для технических подробностей, назад:
    Темы линейной алгебры

    Пожалуйста, отправьте свои комментарии по адресу:
    Профессор Хоссейн Аршам


    МЕНЮ


    Заявление об авторских правах. Добросовестное использование материалов, представленных на этом веб-сайте, в соответствии с Принципами добросовестного использования образовательных мультимедиа от 1996 года, разрешено только в некоммерческих и учебных целях.
    Этот сайт может быть переведен и / или отражен без изменений (включая эти уведомления) на любом сервере с открытым доступом. Все файлы доступны по адресу http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat для зеркалирования.

    Пожалуйста, пришлите мне по электронной почте свои комментарии, предложения и проблемы. Спасибо.


    Вернуться к:

    Домашняя страница доктора Аршама


    EOF: 1994-2015.

    7.8: Решение систем с инверсиями

    Нэнси планирует инвестировать \ (10 ​​500 долларов) в две разные облигации, чтобы распределить свой риск.Первая облигация имеет годовую доходность \ (10% \), а вторая облигация имеет годовую доходность \ (6% \). Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере \ (8,5% \) от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему? Есть несколько способов решить эту проблему. Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами. После изучения этого раздела у нас будут инструменты для решения проблемы облигаций с использованием обратной матрицы.{−1} \) равняется единичной матрице . Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем единичные матрицы как \ (I_n \), где \ (n \) представляет размерность матрицы. Уравнения \ ref {eq1} и \ ref {eq2} являются единичными матрицами для матрицы \ (2 × 2 \) и матрицы \ (3 × 3 \) соответственно:

    \ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq1} \]

    \ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq2} \]

    Единичная матрица действует как \ (1 \) в матричной алгебре.{−1} \) уникален. Мы рассмотрим два метода поиска обратной матрицы для матрицы \ (2 × 2 \) и третий метод, который можно использовать как для матриц \ (2 × 2 \), так и для \ (3 × 3 \).

    Определения: МАТРИЦА ИДЕНТИЧНОСТИ И МНОЖЕСТВЕННАЯ ИНВЕРСИЯ

    Единичная матрица , \ (I_n \), представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы на главной диагонали и нули везде.

    \ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

    как для единичной матрицы \ (2 × 2 \)

    \ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

    как для единичной матрицы \ (3 × 3 \)

    Если \ (A \) — матрица \ (n × n \), а \ (B \) — матрица \ (n × n \) такая, что \ (AB = BA = I_n \), то \ (B = A − 1 \), мультипликативная обратная () матрица \ (A \).

    Пример \ (\ PageIndex {1} \): показывает, что матрица идентичности действует как 1

    Для данной матрицы \ (A \) покажите, что \ (AI = IA = A \).

    \ [A = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \]

    Решение

    Используйте матричное умножение, чтобы показать, что произведение \ (A \) и единичной матрицы равно произведению единичной матрицы и \ (A \).

    \ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 \ nonumber \\ −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

    \ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 \ nonumber \\ 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

    Как сделать: даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативной обратной величиной другой

    • Даны матрица \ (A \) порядка \ (n × n \) и матрица \ (B \) порядка \ (n × n \) умножить \ (AB \). {−1} \).

    Пример \ (\ PageIndex {2} \): Показано, что матрица \ (A \) является мультипликативной обратной матрицей \ (B \)

    Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

    \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} \]

    и

    \ [B = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} \]

    Решение

    Умножить \ (AB \) и \ (BA \). Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

    \ [\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) \ nonumber \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

    и

    \ [\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & — 9 (5) −5 (−9) \ nonumber \\ 2 (1) +1 (- 2) & 2 (−5) +1 (−9) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \ ]

    \ (A \) и \ (B \) противоположны друг другу.

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

    \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \]

    и

    \ [B = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

    Ответ

    \ (\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (- 3) + — 3 (1) & — 1 (−4) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

    \ (\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −3 (1) + — 4 (−1) & — 3 (4) + — 4 (−3) \ nonumber \\ [4pt ] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

    Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

    Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение, используя умножение матрицы на .

    Пример \ (\ PageIndex {3} \): Нахождение обратного умножения с помощью умножения матрицы

    Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

    \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

    Решение

    Для этого метода мы умножаем \ (A \) на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

    \ (\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

    Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

    \ [\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1a − 2c & 1b − 2d \ nonumber \\ [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d \ end {bmatrix} \]

    Затем создайте систему уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, \ (1 \). Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, которая равна \ (0 \).

    \ (1a − 2c = 1 \ пробел R_1 \)

    \ (2a − 3c = 0 \ пробел R_2 \)

    Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 \ rightarrow R_2 \).Сложите уравнения и решите относительно \ (c \).

    \ [\ begin {align *} 1a − 2c & = 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 + 1c & = — 2 \ nonumber \\ [4pt] c = −2 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

    Обратный заменитель для решения \ (a \).

    \ [\ begin {align *} a − 2 (−2) & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a + 4 & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a & = — 3 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

    Напишите другую систему уравнений, установив запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы, равной соответствующей записи тождества, \ (0 \).Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

    \ (1b − 2d = 0 \ пробел R_1 \)

    \ (2b − 3d = 1 \ пробел R_2 \)

    Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 \). {- 1} = \ begin {bmatrix} −3 & 2 \ nonumber \\ [4pt] −2 & 1 \ end {bmatrix} \]

    Нахождение мультипликативной обратной с помощью тождества

    Другой способ найти мультипликативную обратную величину — это добавить тождество.{−1} \).

    Например, учитывая

    \ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 5 & 3 \ end {bmatrix} \)

    аугмент \ (A \) с тождеством

    \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

    Выполнение операций со строками с целью превращения A в удостоверение.

    1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

    2. Умножьте строку 2 на −2 и прибавьте к строке 1.{−1} = \ begin {bmatrix} 3 & −1 \ nonumber \\ [4pt] −5 & 2 \ end {bmatrix} \)

      Нахождение мультипликативной обратной матрицы \ (2 × 2 \) матриц по формуле

      Когда нам нужно найти мультипликативную инверсию для матрицы \ (2 × 2 \), мы можем использовать специальную формулу вместо умножения матриц или увеличения на единицу. {- 1} = \ dfrac {1} {ad − bc} \ begin {bmatrix} d & −b \ nonumber \\ [4pt] −c & a \ end {bmatrix} \)

      где \ (ad − bc ≠ 0 \).Если \ (ad − bc = 0 \), то \ (A \) не имеет обратного.

      Пример \ (\ PageIndex {4} \): Использование формулы для поиска мультипликативной обратной матрицы \ (A \)

      Воспользуйтесь формулой, чтобы найти обратное умножение числа

      .

      \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

      Решение

      Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного. Пополним \ (A \) единицей.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Выполнение операций со строками с целью превращения \ (A \) в тождество.{−1} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {3} {5} & \ dfrac {1} {5} \ nonumber \\ [4pt] — \ dfrac {2} {5} & \ dfrac {1} { 5} \ end {bmatrix} \)

      Пример \ (\ PageIndex {5} \): поиск обратной матрицы, если она существует

      Найдите обратную матрицу, если она существует.

      \ (A = \ begin {bmatrix} 3 & 6 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 2 \ end {bmatrix} \)

      Решение

      Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.

        \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

      2. Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2.

        \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 \ end {array} \ right] \)

      3. Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.
      Нахождение мультипликативной обратной матрицы для \ (3 × 3 \) матриц

      К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы \ (2 × 2 \), чтобы найти обратную матрицу \ (3 × 3 \). Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

      Для матрицы \ (3 × 3 \)

      \ [A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

      Дополнение \ (A \) с единичной матрицей

      \ [\ begin {array} {c | c} A&I \ end {array} = \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \]

      Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и \ (A \) слева.Выполнив элементарные операции со строками так, чтобы единичная матрица появилась слева, мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

      Как: по матрице \ (3 × 3 \) найти обратную

      1. Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
      2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
      3. Справа получается матрица, обратная исходной.{−1} A = I \).

      Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск инверсии матрицы \ (3 × 3 \)

      Для матрицы \ (3 × 3 \) \ (A \) найдите обратное.

      \ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \)

      Решение

      Дополните \ (A \) единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит \ (A \). Матрица справа будет обратной для \ (A \).

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ xrightarrow {Interchange \ space R_2 \ space и \ пробел R_1} \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      \ (- R_2 + R_1 = R_1 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

      \ (- R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ end {array} \ справа] \)

      \ (R_2 \ leftrightarrow R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ end {array} \ right ] \)

      \ (- 2R_1 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 \ end { array} \ right] \)

      \ (- 3R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 \ конец {array} \ right] \)

      Таким образом,

      \ (A ^ {- 1} = B = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \)

      Анализ

      Чтобы доказать, что \ (B = A ^ {- 1} \), давайте умножим две матрицы вместе, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если \ (AA ^ {- 1} = I \) и \ (A ^ {−1} A = I \). {- 1} A & = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] — 1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} & 2 & 31 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [ 4pt] & = \ begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1 ) +0 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) +1 (4) & −1 (1) +0 (1) +1 (1) \ nonumber \\ [4pt] 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) & 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) & 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 \ non номер \\ [4pt] 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

      Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

      Найдите матрицу, обратную матрице \ (3 × 3 \).{−1} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & −3 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & −5 \ end {bmatrix} \)

      Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

      Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: \ (X \) — это матрица, представляющая переменные системы, и \ (B \) — это матрица, представляющая константы. Используя умножение матрицы на , мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как

      \ (AX = B \)

      Для решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть \ (A \) будет матрицей коэффициентов, пусть \ (X \) будет переменной матрицей, и пусть \ (B \) будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему \ (AX = B \). Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

      \ (a_1x + b_1y = c_1 \)

      \ (a_2x + b_2y = c_2 \)

      Из этой системы матрица коэффициентов равна

      .

      \ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \)

      Матрица переменных —

      \ (X = \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} \)

      А постоянная матрица

      \ (B = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

      Тогда \ (AX = B \) выглядит как

      \ (\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

      Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, \ ((2 ^ {- 1}) 2 = \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) 2 = 1 \). {-1} \ right) b \ end {align *} \]

      Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

      Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы \ (2 × 2 \), а затем перейти к системе \ (3 × 3 \).

      РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

      Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов \ (A \), переменную матрицу \ (X \) и постоянную матрицу \ (B \).{-1} \ right) B \ end {align *} \]

      Q&A: Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

      Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

      Пример \ (\ PageIndex {7} \): решение системы \ (2 × 2 \) с использованием обратной матрицы

      Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу. {- 1} \).{−1} \ right) B \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 8 \ nonumber \\ [4pt] 4 & 11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} 5 \ nonumber \\ [4pt] 7 \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 \ nonumber \\ [4pt] −4 (5) +3 (7) \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} −1 \ nonumber \\ [4pt] 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

      Решение: \ ((- 1,1) \).{−1} \) находился слева от \ (A \) слева и слева от \ (B \) справа. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

      Пример \ (\ PageIndex {8} \): решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

      Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

      Решение

      Запишите уравнение \ (AX = B \).

      \ (\ begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ nonumber \\ [4pt] z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 35 \ nonumber \\ [4pt] −26 \ nonumber \\ [4pt] −7 \ end {bmatrix} \)

      Сначала мы найдем обратное к \ (A \), добавив тождество.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

      Умножьте строку 1 на \ (\ dfrac {1} {5} \).

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Умножить строку 1 на \ (4 \) и прибавить к строке 2.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Добавить строку 1 к строке 3.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Умножить строку 2 на \ (- 3 \) и прибавить к строке 1.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ )

      Умножить строку 3 на \ (5 \).

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] \)

      Умножить строку 3 на \ (\ dfrac {1} {5} \) и прибавить к строке 1. {- 1} B = \ begin {bmatrix} −70 + 78−7 \ nonumber \\ [4pt] −105−26 + 133 \ nonumber \\ [4pt] 35 + 0−35 \ end { bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 \ nonumber \\ [4pt] 0 \ end {bmatrix} \)

      Решение: \ ((1,2,0) \).

      Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

      Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

      Ответ

      \ (X = \ begin {bmatrix} 4 \ nonumber \\ [4pt] 38 \ nonumber \\ [4pt] 58 \ end {bmatrix} \)

      Как: решить систему уравнений с обращенными матрицами с помощью калькулятора

      1. Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные \ ([A] \) и \ ([B] \).
      2. Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
      3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

      Пример \ (\ PageIndex {9} \): Использование калькулятора для решения системы уравнений с инверсной матрицей

      Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

      Решение

      На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную \ ([A] \) и введите постоянную матрицу как матричную переменную \ ([B] \). {−1} × [B] \)

      Вычислите выражение.

      \ (\ begin {bmatrix} −59 \ nonumber \\ [4pt] −34 \ nonumber \\ [4pt] 252 \ end {bmatrix} \)

      Медиа

      Воспользуйтесь этими онлайн-ресурсами, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем с обратными числами.

      Решение систем уравнений с использованием обратных матриц

      Этот метод может применяться только в том случае, если матрица коэффициентов является квадратной матрицей и не является сингулярной. Рассмотрим матричное уравнение AX = B,

      . Предварительно умножив обе части (1) на A −1 , мы получим

      A −1 (AX) = A −1 B

      (A −1 A) X = A −1 B

      IX = A −1 B

      X = A −1 B

      Решенные вопросы


      Вопрос 1:

      Решите следующую систему линейных уравнений методом обращения матриц:

      (i) 2x + 5y = −2, x + 2y = −3

      Решение:

      X = A -1 B

      A -1 = (1 / | A |) прил A

      | A | = 4–5 = -1

      Следовательно, значения x и y равны -11 и 4 соответственно.

      Вопрос 2:

      (ii) 2x — y = 8, 3x + 2y = −2

      Решение:

      X = A -1 B

      A -1 = (1 / | A |) прил A

      | A | = 4 + 3 = 7

      x = 14/7 = 2

      y = -28/7 = -4

      Следовательно, значения x и y равны 2 и -4 соответственно.

      Вопрос 3:

      (iii) 2x + 3y — z = 9, x + y + z = 9, 3x — y — z = −1

      Решение:

      | A | = 2 (-1 + 1) — 3 (-1-3) — 1 (-1-3)

      = 2 (0) — 3 (-4) — 1 (-4)

      = 12 + 4

      | A | = 16

      x = 32/16 = 2

      y = 48/16 = 3

      z = 64/16 = 4

      Следовательно, значения x, y и z равны 2, 3 и 4 соответственно.

      Вопрос 4:

      (iv) x + y + z — 2 = 0, 6x — 4y + 5z — 31 = 0, 5x + 2y + 2z = 13

      Решение:

      | A | = 1 (-8-10) — 1 (12-25) + 1 (12 + 20)

      = 1 (-18) — 1 (-13) + 1 (32)

      = -18 + 13 + 32

      = 27

      x = 81/27 = 3

      y = -54/27 = -2

      z = 27/27 = 1

      Следовательно, значения x, y и z равны 3, -2 и 1 соответственно.

      Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

      Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

      [email protected]

      Мы всегда ценим ваши отзывы.

      Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

      ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

      Задачи со словами HCF и LCM

      Задачи со словами на простых уравнениях

      Задачи со словами на линейных уравнениях

      Задачи со словами на квадратных уравнениях

      Алгебраные задачи со словами

      Проблемы со словами в поездах

      Проблемы со словами по площади и периметру

      Проблемы со словами по прямой и обратной вариации

      Проблемы со словами по цене за единицу

      Проблемы со словами по цене за единицу

      Word задачи по сравнению ставок

      Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи

      Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах

      Word задачи по простому проценту

      Word по сложным процентам

      Word по типам ngles

      Дополнительные и дополнительные угловые проблемы со словами

      Двойные проблемы со словами

      Тригонометрические проблемы со словами

      Процентные проблемы со словами

      Проблемы со словами о прибылях и убытках

      Разметка и разметка Задачи

      Задачи с десятичными словами

      Задачи со словами о дробях

      Задачи со словами о смешанных фракциях

      Одношаговые задачи с уравнениями со словами

      Проблемы со словами о линейных неравенствах

      Слово соотношения и пропорции Задачи со словами

      Проблемы со временем и рабочими словами

      Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

      Проблемы со словами на возрастах

      Проблемы со словами по теореме Пифагора

      Процент числового слова pr проблемы

      Word проблемы на постоянной скорости

      Word проблемы на средней скорости

      Word задачи на сумму углов треугольника 180 градусов

      ДРУГИЕ ТЕМЫ

      Сокращения прибылей и убытков

      Сокращение в процентах

      Сокращение в таблице времен

      Сокращение времени, скорости и расстояния

      Сокращение соотношения и пропорции

      Домен и диапазон рациональных функций

      Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

      Графики рациональных функций

      Графики рациональных функций с отверстиями

      Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

      Десятичное представление рациональных чисел

      Нахождение квадратного корня с помощью длинного di видение

      L. Метод CM для решения временных и рабочих задач

      Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

      Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

      Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

      Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

      Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

      Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

      Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

      Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

      Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

      Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *