Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Основные определения и свойства цилиндра

      Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости   α   и   β   и произвольную окружность радиуса   r   с центром в точке   O ,   лежащую в плоскости   α   (рис. 1).

Рис.1

      Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость   β,   то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости   β   окружность радиуса   r,   центр   O₁   которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   O   на плоскость   β   (рис.2).

Рис.2

      Определение 1.

	Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром   O   на плоскость  β ,   который заключен между плоскостями   α   и   β ,   называют образующей цилиндра.
	Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью.
	Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями   α   и   β,   называют цилиндром.
	Отрезок   OO1   называют осью цилиндра .
	Радиус окружности Радиус окружности на плоскости   α   с центром в точке   O   называют радиусом цилиндра.
	Расстояние между плоскостямиРасстояние между плоскостями   α   и   β ,   называют высотой цилиндра.
	Круги с центрами   O   и   O1   на плоскостях   α   и   β ,   называют основаниями цилиндра.

      Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра.

      Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

     Замечание 3. Прямая   OO₁   является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка   OO₁   является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

      Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
      Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

      На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник   AA₁B₁B .

     Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом  r и высотой   h   является прямоугольником со сторонами   2r   и   h .

      Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Рис.4

      Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса   r .

      Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

      Для цилиндра с радиусом   r   и высотой   h   (рис. 5)

Рис.5

введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

S_осн = πr²,

V = S_оснh = πr²h,

S_бок= 2πrh,

S_полн = 2πr² + 2πrh =
= 2π(r + h).

      Замечание 7. Формула объема цилиндра   V = πr²h   может быть получена из формулы объема правильной n – угольной призмыформулы объема правильной n – угольной призмы

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

ось цилиндра — это… Что такое ось цилиндра?

Ось цилиндра — ось, поддерживающая цилиндр и его пружину. Она состоит из цилиндрической части, которую называют центром и крюком, к которому прикреплен внутренний конец основной пружины. Верхняя цапфа оси цилиндра вырезана в форме квадрата для храпового колеса …   Словарь часов

ось подшипника — Ось внутреннего (тугого) кольца подшипника или цилиндра, вписанного в комплект тел качения. Примечание Если внутреннее кольцо отсутствует, то осью подшипника является ось цилиндра, вписанного в комплект тел качения. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472… …   Справочник технического переводчика

ось внутреннего (для упорного подшипника — тугого) кольца подшипника — Ось цилиндра, прилегающего к отверстию внутреннего (тугого) кольца подшипника. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472 78)] Тематики подшипники …   Справочник технического переводчика

ось наружного (для упорного подшипника — свободного) кольца подшипника

— Ось цилиндра, прилегающего к наружной поверхности наружного (свободного) кольца подшипника. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472 78)] Тематики подшипники …   Справочник технического переводчика

Ось — 75. Ось D. Achse E. Axis F. Axe Деталь, предназначенная для поддержания вращающихся частей прибора без передачи крутящих моментов Источник: ГОСТ 21830 76: Приборы геодезические. Термины и определения оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ось внутреннего кольца — 3.3.2 ось внутреннего кольца: Ось цилиндра или конуса, вписанного соответственно в цилиндрическое или коническое отверстие внутреннего кольца. Источник: ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ось наружного кольца — 3.3.3 ось наружного кольца: Ось цилиндра, описанного вокруг наружной цилиндрической поверхности наружного кольца. Источник: ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

геометрическая ось реальной поверхности вращения — В качестве геометрической оси реальной поверхности вращения допускается принимать ось цилиндра наименьшего возможного диаметра, внутри которого располагается реальная ось в пределах нормируемого участка. [ГОСТ 24642 81] Тематики нормы… …   Справочник технического переводчика

выявленная средняя линия цилиндра — 3.7.1 выявленная средняя линия цилиндра: Геометрическое место центров поперечных сечений. Примечания 1 Центрами поперечных сечений являются центры присоединенных окружностей. 2 Поперечные сечения перпендикулярны к оси присоединенного цилиндра,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 520-2002: Подшипники качения. Общие технические условия

— Терминология ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа: 3.6.1.3 асинхронное радиальное биение внутреннего кольца собранного радиального подшипника Kiaa: Разность между наибольшим и наименьшим расстояниями в… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС …   Википедия

ось цилиндра — это… Что такое ось цилиндра?

Ось цилиндра — ось, поддерживающая цилиндр и его пружину. Она состоит из цилиндрической части, которую называют центром и крюком, к которому прикреплен внутренний конец основной пружины. Верхняя цапфа оси цилиндра вырезана в форме квадрата для храпового колеса …   Словарь часов

ось подшипника — Ось внутреннего (тугого) кольца подшипника или цилиндра, вписанного в комплект тел качения. Примечание Если внутреннее кольцо отсутствует, то осью подшипника является ось цилиндра, вписанного в комплект тел качения. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472… …   Справочник технического переводчика

ось внутреннего (для упорного подшипника — тугого) кольца подшипника — Ось цилиндра, прилегающего к отверстию внутреннего (тугого) кольца подшипника. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472 78)] Тематики подшипники …   Справочник технического переводчика

ось наружного (для упорного подшипника — свободного) кольца подшипника — Ось цилиндра, прилегающего к наружной поверхности наружного (свободного) кольца подшипника. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472 78)] Тематики подшипники …   Справочник технического переводчика

Ось — 75. Ось D. Achse E. Axis F. Axe Деталь, предназначенная для поддержания вращающихся частей прибора без передачи крутящих моментов Источник: ГОСТ 21830 76: Приборы геодезические. Термины и определения оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ось внутреннего кольца — 3.3.2 ось внутреннего кольца: Ось цилиндра или конуса, вписанного соответственно в цилиндрическое или коническое отверстие внутреннего кольца. Источник: ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ось наружного кольца — 3.3.3 ось наружного кольца: Ось цилиндра, описанного вокруг наружной цилиндрической поверхности наружного кольца. Источник: ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

геометрическая ось реальной поверхности вращения — В качестве геометрической оси реальной поверхности вращения допускается принимать ось цилиндра наименьшего возможного диаметра, внутри которого располагается реальная ось в пределах нормируемого участка. [ГОСТ 24642 81] Тематики нормы… …   Справочник технического переводчика

выявленная средняя линия цилиндра — 3.7.1 выявленная средняя линия цилиндра: Геометрическое место центров поперечных сечений. Примечания 1 Центрами поперечных сечений являются центры присоединенных окружностей. 2 Поперечные сечения перпендикулярны к оси присоединенного цилиндра,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 520-2002: Подшипники качения. Общие технические условия — Терминология ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа: 3.6.1.3 асинхронное радиальное биение внутреннего кольца собранного радиального подшипника Kiaa: Разность между наибольшим и наименьшим расстояниями в… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС …   Википедия

ось цилиндра — это… Что такое ось цилиндра?

Ось цилиндра — ось, поддерживающая цилиндр и его пружину. Она состоит из цилиндрической части, которую называют центром и крюком, к которому прикреплен внутренний конец основной пружины. Верхняя цапфа оси цилиндра вырезана в форме квадрата для храпового колеса …   Словарь часов

ось подшипника — Ось внутреннего (тугого) кольца подшипника или цилиндра, вписанного в комплект тел качения. Примечание Если внутреннее кольцо отсутствует, то осью подшипника является ось цилиндра, вписанного в комплект тел качения. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472… …   Справочник технического переводчика

ось внутреннего (для упорного подшипника — тугого) кольца подшипника — Ось цилиндра, прилегающего к отверстию внутреннего (тугого) кольца подшипника. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472 78)] Тематики подшипники …   Справочник технического переводчика

ось наружного (для упорного подшипника — свободного) кольца подшипника

— Ось цилиндра, прилегающего к наружной поверхности наружного (свободного) кольца подшипника. [ГОСТ 25256 82 (СТ СЭВ 1472 78)] Тематики подшипники …   Справочник технического переводчика

Ось — 75. Ось D. Achse E. Axis F. Axe Деталь, предназначенная для поддержания вращающихся частей прибора без передачи крутящих моментов Источник: ГОСТ 21830 76: Приборы геодезические. Термины и определения оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ось внутреннего кольца — 3.3.2 ось внутреннего кольца: Ось цилиндра или конуса, вписанного соответственно в цилиндрическое или коническое отверстие внутреннего кольца. Источник: ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ось наружного кольца — 3.3.3 ось наружного кольца: Ось цилиндра, описанного вокруг наружной цилиндрической поверхности наружного кольца. Источник: ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

геометрическая ось реальной поверхности вращения — В качестве геометрической оси реальной поверхности вращения допускается принимать ось цилиндра наименьшего возможного диаметра, внутри которого располагается реальная ось в пределах нормируемого участка. [ГОСТ 24642 81] Тематики нормы… …   Справочник технического переводчика

выявленная средняя линия цилиндра — 3.7.1 выявленная средняя линия цилиндра: Геометрическое место центров поперечных сечений. Примечания 1 Центрами поперечных сечений являются центры присоединенных окружностей. 2 Поперечные сечения перпендикулярны к оси присоединенного цилиндра,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 520-2002: Подшипники качения. Общие технические условия — Терминология ГОСТ 520 2002: Подшипники качения. Общие технические условия оригинал документа: 3.6.1.3 асинхронное радиальное биение внутреннего кольца собранного радиального подшипника Kiaa: Разность между наибольшим и наименьшим расстояниями в… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС …   Википедия

Момент инерции цилиндра сплошного и полого относительно разных осей. Пример задачи :: SYL.ru

Как известно, масса в динамике поступательного движения играет важную роль, определяя инерционные свойства движущихся тел. В динамике вращения вместо массы пользуются моментом инерции. Рассмотрим в статье, что это за величина и как определяется момент инерции цилиндра относительно оси.

Что такое момент инерции?

Эту величину обычно обозначают буквой I. Для материальной точки математическая формула момента инерции записывается так:

I = m*r².

Где r — расстояние до оси вращения от точки массой m. Из формулы понятно, что единицей измерения величины являются килограммы на квадратный метр (кг*м²).

Если тело имеет сложную форму и его объемная плотность является переменной, тогда для определения I следует использовать такое интегральное выражение:

I = ∫_m(r²*dm) = ∫_V(r²*ρ*dV).

Где dm — это элементарная масса, находящаяся от оси вращения на расстоянии r.

Таким образом, момент инерции определяет распределение материи в теле сложной формы относительно конкретной оси вращения системы.

Сплошной цилиндр и главная ось

Момент инерции сплошного цилиндра может быть вычислен вокруг абсолютно любой оси с использованием интегрального выражения, записанного в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим ситуацию, когда цилиндр массой M, радиусом R и высотой L вращается вокруг главной оси. Последняя представляет собой прямую, параллельную генератрисе фигуры и проходящую через центры ее круглых оснований.

Не будем вдаваться в подробности математических вычислений по интегральной формуле, а приведем сразу конечное выражение:

I₁ = 1/2*M*R².

Мы видим, что чем больше масса цилиндра и его радиус, тем больше момент инерции I₁. В то же время эта величина никак не зависит от высоты фигуры L, то есть момент инерции тонкого диска можно вычислить также по этой формуле.

Отметим, что если всю массу цилиндра собрать в одну материальную точку, находящуюся от оси вращения на расстоянии радиуса R, то для нее момент инерции окажется в два раза больше, чем для сплошного цилиндра.

Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось

Теперь возьмем однородный цилиндр из примера выше и перевернем его на бок. Начнем вращать объект вокруг оси, которая проходит также через центр его масс, но уже перпендикулярна генератрисе (главной оси). Чему будет равен момент инерции цилиндра однородного в данном случае?

Как и в примере выше, здесь также ограничимся приведением соответствующего выражения. Оно будет иметь следующий вид:

I₂ = 1/4*M*R² + 1/12*M*L².

Момент инерции I₂ имеет более сложную зависимость от параметров цилиндра, чем I₁, поскольку он определяется не только массой и радиусом, но и высотой фигуры. Заметим, что два слагаемых этой формулы представляют собой два крайних случая:

• Если цилиндр слишком маленькую высоту имеет, то мы получаем диск, который, вращаясь вокруг оси, проходящей через его диаметр, будет иметь момент 1/4*M*R².
• Если радиус цилиндра стремится к нулю, то рассматриваемый объект превратится в стержень, и его момент инерции станет равным 1/12*M*L².

Полый цилиндр

Выше мы рассмотрели, как рассчитывать момент инерции цилиндра вращающегося и однородного. Теперь предположим, что высота цилиндра и его масса остались теми же самыми, однако он стал полым, то есть, имеет два радиуса: внешний R₁ и внутренний R₂.

Применение все той же интегральной формулы позволяет получить выражение для момента инерции цилиндра полого, который вращается вокруг своей главной оси. Соответствующая формула выглядит так:

I₃ = 1/2*M*(R₁²+R₂²).

Это выражение позволяет сделать важный вывод: при одинаковых массах полого и сплошного цилиндров первый обладает большим моментом инерции. Связан этот факт с тем, что большая часть массы полого цилиндра находится дальше от оси вращения, а как видно из формул, от радиуса изучаемая величина растет квадратично.

Где используются знания величин I для цилиндров?

Пожалуй, основной областью применения изложенной выше теории является автомобильная промышленность. В частности, коленчатый вал автомобиля снабжен тяжелым сплошным маховиком, имеющим цилиндрическую форму. Необходим маховик для того, чтобы обеспечить максимальную плавность вращения коленчатого вала, что отражается на плавности автомобильного хода. Маховик гасит любые большие угловые ускорения как во время разгона транспортного средства, так при его торможении.

Из формулы выше для момента инерции I₁ понятно, что для увеличения этой величины выгоднее увеличить радиус, чем массу цилиндра (маховика). Так, удвоение массы приведет лишь к удвоению момента инерции. Однако если увеличить в два раза радиус, то I₁ возрастет аж в 4 раза, что обеспечит более эффективное использование маховика.

Пример решения задачи

Прежде чем решать задачу, скажем несколько слов о динамике вращения. Как и в динамике поступательного движения, в ней существует формула, подобная второму закону Ньютона. Эта формула называется уравнением моментов. Записывается она так:

dL/dt = M.

Где L — момент импульса, M — момент внешних сил. Чаще всего это уравнение записывают в следующем виде:

M = I*α.

Здесь α — ускорение угловое. Из этого выражения видна аналогия со вторым ньютоновским законом.

Теперь перейдем к решению задачи. Известно, что сила в 100 Н действует по касательной к цилиндрической поверхности перпендикулярно главной оси вращения сплошного цилиндра на расстоянии 20 см. Масса цилиндра равна 10 кг, а его радиус составляет 20 см. Необходимо определить угловую скорость ω цилиндра через 5 секунд после начала действия силы.

Угловая скорость рассчитывается по формуле для равноускоренного движения:

ω = α*t.

Выражая ускорение из уравнения моментов и подставляя его в выражение, получим:

ω = M*t/I.

Момент силы вычисляется так:

M = F*d.

Где по условию задачи d = R. Подставляя это выражение и выражение для I сплошного цилиндра, получим конечную рабочую формулу:

ω = 2*F*t/(m*R).

Осталось сюда подставить все величины в единицах СИ и записать ответ: ω = 500 рад/с, что равно приблизительно 80 оборотам в секунду.

Ответы Mail.ru: что такое образующая цилиндра?

Линия (условно высота чилиндра), которая при ее вращении вокруг оси проходящей, через центр цилиндра, образует этот цилиндр

отрезок на поверхности цилиндра, параллельный оси цилиндра. Если его вращать вокруг оси, то он образует цилиндр.

прямолинейная

В геометрии описание цилиндра тесно связано с образующей и её движением. Хотя на мой взгляд это не полностью описывает цилиндр. Только его выпуклые стенки. Это будет типо трубки без торцов.

Цилиндром (или цилиндрической поверхностью) называется поверхность, порожденная прямой Е, называемой образующей, которая движется параллельно самой себе по некоторой фиксированной кривой D, называемой директрисой. Если образующая, двигаясь по директрисе, всегда проходит через одну и ту же точку А, называемую вершиной, то получаемая в результате движения поверхность называется конусом. <table><tr><td><img src=»//content-18.foto.my.mail.ru/mail/ysladkov/_answers/i-269.jpg» width=600 height=241></td></tr></table> а — образующая цилиндра; б — прямой круговой цилиндр; в — наклонный круговой цилиндр; г — образующая конуса. Если цилиндр неподвижен, то траектория прямая, если цилиндр вращается, то траектория спираль. <table><tr><td><img src=»//content-4.foto.my.mail.ru/mail/ysladkov/_answers/i-270.jpg» width=338 height=338></td></tr></table>

Что такое цилиндр 🚩 как называется часть цилиндра 🚩 Авто 🚩 Другое

Цилиндр автомобильного двигателя представляет собой трубку с толстыми стенками. Это одна из основных частей поршневого двигателя внутреннего сгорания, который является самым распространенным типом двигателя. Поршневой двигатель используется в разных видах транспорта, сельскохозяйственной и строительной технике, компрессорах, насосах и т.д.В разных поршневых двигателях может быть от 1 до 24 цилиндров. При этом общий объем двигателя равен суммарному объему всех цилиндров. Цилиндр состоит из двух частей: внутренней (гильзы) и внешней (рубашки). Гильза называется рабочей поверхностью цилиндра и отливается из высокопрочного чугуна или стали. Гильзу называют зеркалом цилиндра, она имеет очень большую чистоту.Рубашка цилиндра – это его внешняя часть, которая обычно изготавливается из единого материала со станиной двигателя. Когда цилиндров больше одного, они располагаются в двигателе единым блоком, имея общее зарубашечное пространство. В этом случае рубашки всех цилиндров представляют собой целую отливку и называются блоком цилиндров.Во время работы двигателя в цилиндр поступают продукты сгорания топлива в газообразном состоянии. Эти газы расширяются и их возрастающая тепловая энергия двигает поршень, который вставлен в цилиндр. Движение поршня в свою очередь заставляет вращаться коленчатый вал, количество колен которого обычно совпадает с числом цилиндров. Полный рабочий цикл двигателя представляет собой последовательность тактов, т.е. этапов полного движения поршня из одной крайней точки в другую.Во время работы двигатель сильно нагревается, поэтому предусматривается система охлаждения, которое происходит в рубашечном отделе цилиндров. Различают два типа системы охлаждения поршневых двигателей:1. Воздушная. Избыток тепловой энергии выбрасывается в быстрый поток воздуха через рубашки цилиндров, которые имеет ребристую поверхность.2. Жидкостная. Для охлаждения используется специальная жидкость, которая проходит через рубашку цилиндра, а затем уходит в радиатор охлаждения, в котором снова охлаждается системой вентиляции. Охлаждающей жидкостью может быть масло, вода или антифриз.Основные характеристики цилиндров поршневого двигателя:- рабочий объем – это объем, который высвобождается поршнем при движении от крайней верхней точки до крайней нижней;- полный объем – это объем пространства, находящегося над поршнем, когда он достигает крайнего нижнего положения. Полный объем складывается из рабочего объема и объема камеры сгорания.Литраж многоцилиндрового двигателя можно вычислить через произведение рабочего объема на количество цилиндров.